Penentuan Peluang Transisi t Langkah Dalam Rantai Markov Dan Penerapannya Di Bidang Pertanian

(1)

PENENTUAN PELUANG TRANSISI t LANGKAH DALAM

RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG

PERTANIAN

SKRIPSI

RUDY ASWIN

060823038

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FALULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(2)

PENENTUAN PELUANG TRANSISI t LANGKAH DALAM

RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG

PERTANIAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana sains

RUDY ASWIN

060823038

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FALULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

(3)

PERSETUJUAN

Judul : PENENTUAN PELUANG TRANSISI t

LANGKAH DALAM RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG PERTANIAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : RUDY ASWIN

Nomor Induk Mahasiswa : 060823038

Program Studi : SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Juni 2010

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si Dra.Rahmawati Pane, M.Si

NIP : 130 810 774 NIP : 131 474 682

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Dr.Saib Suwilo, M.Sc NIP : 131 796 149

(4)

PERNYATAAN

PENENTUAN PELUANG TRANSISI t LANGKAH DALAM RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG PERTANIAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2010-06-24

Rudy Aswin 060823038

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Dra.Rahmawati Pane, M.Si dan Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional telah diberikan kepada saya agar penulis menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr.Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan – rekan kuliah pada program studi ekstension matematika stambuk 2006. Akhirnya, tidak terlupakan kepada Ayahanda Syafwin Haikal dan Ibunda Aswani serta Kakak-kakak dan adikku tercinta. Penulis mengucapkan terima kasih yang tulus atas do’a dan doronganya kepada penulis yang selama ini memberikan bantuan baik moril maupun materi yang tak terbatas. Semoga Allah SWT yang akan membalasnya, Amin.

(6)

ABSTRAK

Rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang akan datang hanya bergantung kepada kejadian yang sekarang dan tidak tergantung kepada kejadian yang lalu. Secara matematika dapat dituliskan sebagai berikut :

{

Xt jX i X i Xt i Xt it

}

(

Xt j X_t i

)

Pij

P +1 = 0 = 0, 1 = 1,..., −1 = 1−1, = = +1 = = = ,

j i

P, adalah peluang perpindahan dari state i ke state j. Rantai Markov yang

digunakan pada skripsi adalah untuk menentukan peluang perpindahan dari state yang satu ke satate yang lainnya. Peramalan yang digunakan berdasarkan pada matriks transisi, peluang perpindahan dari satu state ke state yang lainnya, berdasarkan peluang state t langkah peralihan. Aplikasinya diterapkan dalam bidang pertanian yaitu pada bidang sosial ekonomi pertanian. sebagai contoh adalah peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu state ke state lainnya. hasil yang diperoleh adalah seluruh merek bibit kelapa sawit mengalami pergeseranpeminatan kecuali merek lainnya yang tidak diperhitungkan sebelumnya mengalami kenaikan.

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Pembatasan Masalah 5

1.6 Manfaat Penelitian 5

1.7 Metode Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Pengantar 7

2.2 Data 7

2.2.1 Defenisi Data 7

2.3 Matriks 8

2.3.1 Defenisi Matriks 8

2.3.2 Teorema Matriks 9

2.3.3 Operasi Matriks 10

2.4 Probabilitas 12

2.4.1 Defenisi Probabilitas 13

2.4.2 Probabilitas Beberapa Peristiwa 14

2.5 Teorema Bayes 17

(8)

2.6.1 Defenisi rantai Markov 19

2.6.2 Sifat Markov 19

2.6.3 Asumsi – asumsi dasar rantai Markov 20

2.6.4 Keadaan awal rantai Markov 20

2.7 Persamaan Chapman- Kolmogorov 21

2.7 Matriks Probabilitas Transisi 19 2.8 Peluang state t langkah 22 2.8.1 Defenisi 22

2.9 Rantai Markov 22 2.9.1 Defenisi Rantai Markov 22 2.9.2 Sifat Markov 22 2.9.3 Asumsi- asumsi Dasar Rantai Markov 23

2.9.4 Keadaan Awal Rantai Markov 23

2.9.5 Keadaan Transisi dan Probabilitasnya 24

Bab 3 Pembahasan 26 3.1 Penerapan Di Bidang Pertanian 26

3.2 Matriks Transisi Empat Langkah 34 3.3 Peluang State Delapan Langkah 35

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 44

4.1 Kesimpulan 44

4.2 Saran 45

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Merek Bibit Kelapa Sawit dan Jumlah Pengguna 27

Tabel 3.2 Alasan Pengguna (Petani) Memilih Bibit Kelapa Sawit 28

Tabel 3.3 Jumlah Pengguna Bibit Kelapa Sawit saat ini dan sebelumnya 30

Tabel 3.4 Perolehan dan Kehilangan Konsumen pada Berbagai Merek Bibit Kelapa Sawit 30

Tabel 3.5 Brand Switching Patern 32

Tabel 3.6 Probabilitas Transisi 32

Tabel 3.7 Peluang Proporsi Pengguna Bibit Kelapa Sawit 41

Tabel 3.8 Peluang perpindahan merek Bibit Kelapa Sawit dari satu merek ke merek lainnya 44

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.4 Perpindahan Konsumen Pada Berbagai Merek

(11)

ABSTRAK

{

Xt jX i X i Xt i Xt it

}

(

Xt j X_t i

)

Pij

P +1 = 0 = 0, 1 = 1,..., −1 = 1−1, = = +1 = = = ,

j i

P, adalah peluang perpindahan dari state i ke state j. Rantai Markov yang

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan nyata, hampir seluruh fenomena alam mengandung ketidak pastian atau bersifat probabilistik, misalnya pergerakan lempengan bumi yang menyebabkan gempa, naik turunnya harga saham, keadaan cuaca, dan lain sebagainya. Salah satu model yang saat ini banyak dikembangkan adalah rantai Markov. Aplikasi dari proses Markov melalui rantai Markov banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Rantai Markov dapat digunakan sebagai model dari berbagai bentuk permainan, salah satu contohnya adalah permainan ular tangga. Dibidang ekonomi, kita bisa melihat pergerakan selera konsumen atas beberapa jenis produk yang sama menggunakan rantai Markov. Selain itu, proses Markov juga berperan dalam menentukan urutan halaman dari sebuah webpage sebagaimana yang digunakan oleh Google. Dalam memodelkan fenomena alam dengan model ini, diasumsikan bahwa proses yang terlibat didalamnya mengikuti sifat Markov yaitu peluang keadaan proses pada suatu saat hanya bergantung kepada keadaan disatu kurun waktu sebelumnya. Misalnya keadaan besok tergantung pada keadaan hari ini. Umumnya, peluang bersyarat ini disajikan sebagai suatu matriks.

Dalam analisis markov yang dihasilkan adalah suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pembuatan keputusan, jadi analisis ini bukan suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik deskriptif . Analisis Markov merupakan suatu bentuk khusus dari model probabilistik yang lebih umum yang

(13)

dinamakan stochastic process. Analisis ini sangat sering digunakan untuk membantu pembuatan keputusan dalam bisnis dan industri, misalnya dalam masalah ganti merek, masalah hutang-piutang, masalah operasi mesin, analisis pengawasan dan lain-lain.

Berdasarkan ruang keadaan dan ruang parameternya Proses Markov dapat dikelompokkan menjadi proses markov dengan ruang sampel diskrit. sebagai contoh, salah satu proses stokastik dengan ruang sampel diskrit adalah banyaknya pengunjung yang datang kesuatu pertokoan pada hari ke-t. Dan proses Markov dengan ruang sampel kontinu. Contoh proses stokastik dengan ruang sampel kontinu adalah selang waktu antar kedatangan pengunjung kesuatu pertokoan pada waktu t sembarang. yang dinamakan sebuah rantai adalah jika state spacenya diskret. Rantai Markov diskrit adalah sebuah proses Markov yang ruang statenya adalah bilangan yang dapat dihitung, dan bilangan indeksnya adalah T = (0, 1, 2, ...) Dalam bentuk formal, sifat Markov dinyatakan sebagai :

{

Xn+1 = jXn =i,Xn−1 =in−1,...,X1 =i1,X0 =i0

}

=Pr

(

Xn+1 = jX_n =i

)

untuk semua titik waktu n dan semua state i₀,...,i_n₋₁,i,j.

Umumnya ruang state dari rantai Markov dinyatakan dengan bilangan bulat tak negatif {0, 1, 2, ...}, dan Xn =i menyatakan X berada pada state i. n

Seperti yang telah diuraikan diatas rantai Markov bisa diterapkan diberbagai bidang antara lain ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian dan lain-lain. Dalam tulisan ini mencoba menggali labih jauh penerapannya pada bidang pertanian, yaitu dalam bidang sosial ekonomi pertanian. Oleh karena itu penulis mencoba membahas mengenai ”PENENTUAN PELUANG TRANSISI t

LANGKAH DALAM RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA

(14)

1.2Identifikasi Permasalahan

Dalam tugas akhir ini rumusan masalah yang akan dibahas adalah bagaimana cara untuk menentukan peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu merek ke merek lainnya (dari state yang satu ke state yang lainnya) dengan menggunakan matriks peluang transisi pada rantai Markov.

1.3Tinjauan Pustaka

Proses Markov diperkenalkan oleh seorang ahli Matemetika berkebangsaan Rusia yang bernama Andrey Anddreevich Markov pada tahun 1906. Andrey Anddreevich Markov memperkenalkan proses Markov berupa teori dasarnya saja. Pada tahun 1963, seorang ahli matematika berkebangsaan Rusia lainnya bernama Kolmogorov membuat generalisasi pada ruang state yang terhitung dan terbatas.

Dalam rantai Markov, salah satu hal menarik adalah dapat mempelajari perubahan keadaan pada proses. untuk rantai Markov dengan ruang parameter diskret peluang Xt+1 berada pada keadaan it+1 bila diberikan V berada pada keadaan t i t

dinamakan peluang transisi satu langkah dan dinotasikan dengan P_i_,_j

{

Xt jX i X i Xt i Xt it

}

(

Xt j X_t i

)

Pij

P ₊₁ = ₀ = ₀, ₁ = ₁,..., ₋₁ = ₁₋₁, = = ₊₁ = = = _, dimana

∑

= =

j j i

, dan Pi,j ≥0,i= j =1,2,...,n

(15)

Disney Clark (1985) menyatakan untuk menghitung peluang vektor peluang state dalam t langkah, didapat dengan mengalikan state awal P( )0 dengan matriks satu langkah pangkat t

P( )t = P( )0 Pt−1,t ≥1

( )t ₌

P Vektor pembagian state pada waktu t,t≥1

P = Vektor pembagian state awal

−

P = Matriks transisi P dalam t langkah

Menurut Sheldon (1969) persamaan Chapman Kolmogorov dalam menghitung peluang peralihan t langkah :

t m t m

ij ik kj

P P P

∞ +

∑

t ik

P = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah t langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state i

m kj

P = Peluang peralihan dari state k ke state j setelah m langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state k Pijt m

+ _{= Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah t+m}

langkah.

Menurut P. Sianipar (1996) Matriks adalah suatu susunan atau kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya jumlah baris dan kolom serta dibatasi dengan tanda kurung. Matriks bujur sangkar (square) adalah matriks dimana jumlah baris dan kolomnya adalah sama (r=c).

(16)

1.4Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan dalam tugas akhir ini adalah untuk mengetahui peluang transisi t langkah dalam rantai markov untuk mendapatkan peluang perpindahan penggunaan merek bibit kelapa sawit dari satu merek ke merek lainnya.

1.5Pembatasan Masalah

Agar penelitian ini tepat sasaran penulis menetapkan permasalahan dibatasi penyusunan matriks probabilitas transisi, kemungkinan Market Share diwaktu yang akan datang serta interprestasi hasil probabilitas.

1.6 Manfaat Penelitian

Penulis berharap bahwa hasil dari tugas akhir ini dapat menambah wawasan tentang penggunaan rantai Markov pada data yang telah ada. Ini juga diharapkan dapat memberikan gambaran yang lebih jelas tentang parameter yang terdapat dalam rantai Markov serta dapat membawa masalah-masalah baru dalam bidang proses stokastik sehingga akan muncul penelitian-penelitian baru yang lebih bermanfaat

1.7Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Membahas dan mempelajari proses Stokastik sebagai dasar proses Markov b. Membahas dan mempelajari sifat-sifat dari proses Markov

(17)

d. Membuat tabel jumlah pengguna bibit kelapa sawit dari masing-masing merek

e. Membuat tabel pola perpindahan penggunaan merek dari satu merek ke merek lainnya

f. Membuat Matriks Probabilitas Transisional. g. Menghitung Peluang state t langkah peralihan.

p(t) = p(0)pt−1

Dimana

) (t

P = Vektor pembagian state pada waktu t

P = Vektor pembagian state awal

−

(18)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pengantar

Proses stokastik merupakan suatu cara untuk mempelajari hubungan yang dinamis dari suatu runtunan peristiwa atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti. Dalam memodelkan perubahan dari suatu sistem yang mengandung ketidakpastian seperti pergerakan harga saham, banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi, keadaan cuaca, dan lain sebagainya, proses stokastik banyak digunakan didalam kehidupan sehari-hari..

2.2 Data

2.2.1 Defenisi

Data adalah suatu sumber informasi yang diketahui atau diasumsikan untuk memberikan suatu gambaran mengenai suatu keadaan. Syarat data yang baik adalah yang memenuhi persyaratn berikut ini :

a. Objektif

b. Representatif

c. Standard errornya kecil

(19)

Data terbagi atas dua jenis yaitu :

a. Data kuntitatif adalah data yang berbentuk bilangan atau angka, harganya berubah-ubah dan bersifat variabel

b. Data kualitatif adalah data yang berbentuk suatu kategori.

Data dapat diklasifikasikan berdasarkan pengumpulan data yaitu :

a. Data primer adalah data yang diperoleh langsung dari sumber pertama baik dari individu maupun perorangan seperti hasil wawancara atau hasil pengisian kuesioner yang dilakukan oleh peneliti.

b. Darta sekunder adlah data primer atau data dalam bentuk jadi biasanya telah dikelola oleh pihak lain.

2.3 Matriks

2.3.1 Defenisi Matriks

Matriks ialah suatu kumpulan angka-angka Atau sering disebut elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya kolom dan baris yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks A yang berukuran pxq dapat ditulis :

      

     =

pq p

q q

a a

    

 

2 1

2 22

1 12

Atau dapat disingkat dengan :

( )

aij

A= , dimana i = 1,2,3,...p dan j = 1,2,3,...q.

Matriks diatas disebut matriks tingkat pxq atau disingkat matriks pxq karena terdiri dari p baris dan q kolom.. Setiap a disebut elemen (unsur) dari matriks itu ij

(20)

sedangkan indeks i dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen

a terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j.

2.3.2 Teorema Matriks

Berikut beberapa teorema dari matriks :

a. Jika A=

( )

a_ij danB=

( )

b_ij yang berukuran sama pxq, maka )

(a_ij b_ij B

A+ = +

b. Jika A=

( )

a_ij merupakan matriks berukuran pxq dan k adalah skalar, maka

( )

kaij

k. =

c. Jika A=

( )

aij matriks berukuran pxn dan B=

( )

bij matriks berukuran nxq

maka perkalian matriks A dan B berlaku apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.

d. Jika A=

( )

aij dan B=

( )

bij keduanya merupakan matriks berukuran pxq maka

A=B, jika aij =bij untuk semua nilai i dan j.

A≥B; jika a_ij ≥b_ij untuk semua nilai i dan j. A>B; jika a_ij >b_ij untuk semua nilai i dan j. Demikian juga halnya untuk A≤B dan A<B.

e. Matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

      

     =

nn n

n n

a a

    

 

2 1

2 22

1 12

f. Matriks Identitas I adalah matriks bujur sangkar dimana elemen di n

(21)

mempunyai nilai entry 1. Sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol. Untuk n = 3, matriks identitasnya adalah :

     

    =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

g. Matriks Transpos adalah matriks jika baris dan kolom dari suatu matriks pxq dipertukarkan ( baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya ), maka diperoleh suatu matriks qxp yang disebut transpos. Jika matriks A adalah :

     

    =

32 31

22 21

12 11

a a

a a A

maka transpose dari matriks A dinotasikan dengan A yaitu : T

  

 =

32 22 12

31 21 11

a a a

a a a AT

2.3.3 Operasi Matriks

a. Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika kedua matriks identik. Artinya kedua matriks tersebut mempunyai orde yang sama dan elemen – elemen yang berkesesuaian sama. Jadi Matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika

ij ij b

(22)

b. Jumlah dan Selisih Matriks

Matriks – matriks yang mempunyai ukuran sama dapat diambil jumlah atau selisihnya. Jumlah atau selisih dari dua matriks berukuran pxq yakni matriks A dan B adalah matriks C dengan ukuran yang sama. Jadi :

C B

A± =

Dimana setiap elemen dari matriks C adalah :

ij ij

ij a b

c = ±

Hal ini dapat diperluas untuk beberapa matriks yang mempunyai ukuran sama. Jadi untuk matriks A, B dan C berlaku :

A±B±C =D dimana d_ij =a_ij ±b_ij ±c_ij

c. Pergandaan Matriks dengan Skalar

Jika suatu matriks A digandakan dengan skalar k dimana (k ≠0)ditulis kA, maka matriks B yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A dengan skalar k. Jadi B=

( )

kA dimana bij =kaij untuk semua i dan j.

d. Sifat – sifat pokok Matriks terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar.

Jika A, B dan C merupakan matriks yang mempunyai dimensi sama serta skalar 0

, 2

1 k ≠

k , maka :

a. A+B=B+A, dinamakan sifat Komutatif

b. A+(B+C)=(A+B)+C, dinamakan sifat Asosiatif c. k₁(A+B)=k₁A+k₁B, dinamakan sifat Distributif

(23)

d. (k₁ +k₂)A=k₁A+k₂A

e. (k₁k₂)A=k₁(k₂A)

f. A+0= A, 0 adalah matriks nol g. A+(−A)= A−A=0

h. 1A= Adan 0A=0

i. Terdapat matriks D sedemikian sehingga A+D=B. Dan dari sifat d dan sifat h

dapat diturunkan bahwa :

A A

A+ =2 , A+A+A=3A, dan seterusnya.

e. Pergandaan dua Matriks atau lebih.

Pergandaan dari dua matriks atau lebih dapat dilakukan jika banyak kolom dari matriks pengali sama dengan banyak baris matriks yang dikali. Dengan kata lain hasil perkalian dari matriks A yang berukuran pxn dan matriks B yang berukuran nxq adalah matriks C yang berukuran pxq dimana elemen – elemen dari matriks C merupakan jumlah hasil ganda elemen – elemen yang bersesuaian dari matriks A baris ke i dengan kolom j dari matriks B. Jadi elemen matriks C dapat ditulis :

( )

_∑

= q

kj ik

ij a b

c C

dimana i = 1,2,...p dan j = 1,2,...q.

f. Sifat – sifat pokok Pergandaaan Matriks.

Andaikan matriks A, B dan C dapat digandakan dan k (k ≠0)adalah skalar, maka dapat diturunkan sifat – sifat sebagai berikut :

1.(AB)C = A(BC), dinamakan sifat Asosiatif

2.A(B+C)= AB+AC, dinamakan sifat Distributif Kiri 3.(B+C)A=BA+CA, dinamakan sifat Distributif Kanan

(24)

4.k(AB)=(kA)B= A(kB)

5.AB=0, tidak perlu harus A=0atau B=0 6.AB=BC, tidak perlu harus B=C

7.0A=0 dan B0=0, 0 adalah matriks nol

2.4 Probabilitas

Probabilitas mempunyai banyak persamaan seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Probabilitas menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang bersifat acak. Suatu peristiwa disebut acak jika terjadinya peristiwa tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, probabilitas dapat digunakan sebagai alat ukur terjadinya peristiwa di masa yang akan datang.

Nilai probabilitas yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai probabilitas yang terbesar adalah 1 yang berarti bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi. Secara umum, nilai probabilitas suatu peristiwa A adalah :

0≤ Pr( A)≤1

2.4.1 Definisi Probabilitas

Definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.

A. Pendekatan Klasik

Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.

(25)

Dirumuskan :

) (

) ( ) Pr(

S n

A n

A = ( 2.1 )

dimana :

Pr( A = probabilitas terjadinya peristiwa A )

n( A) = jumlah peristiwa A

n(S) = jumlah peristiwa yang mungkin.

B. Pendekatan Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan sebagai berikut:

1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil.

2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut.

Dirumuskan :

n f x

X ) lim

Pr( = = , untuk n→∞.

Dimana :

)

Pr(X =x = probabilitas terjadinya peristiwa x f = frekuensi peristiwa x

(26)

C. Pendekatan Subjektif

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Probabilitas tertinggi ( kemungkinan diterima ) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

2.4.2 Probabilitas Beberapa Peristiwa

A. Probabilitas Saling Lepas ( Mutually Exclusive )

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B = A + B .

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B∪C = A + B + C

Sehingga dapat disimpulkan, untuk n buah peristiwa yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( )... Pr( ) Pr( ) Pr( ) ...

(27)

B. Probabilitas Tidak Saling Lepas ( Non Mutually Exclusive )

Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr(

) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B = A + B − A∩B

Untuk tiga peristiwa A ,B dan C yang tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr(

) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C

C. Probabilitas Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ). Pr( )

Pr(A∩B = A B

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling bebas probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ). Pr( ). Pr( )

(28)

D. Probabilitas Tidak Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya.Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ). Pr( )

Pr(A∩B = A BA

Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) (

Pr( ) Pr( ). Pr( )

Pr(A∩B∩C = A BA C A∩B

E. Probabilitas Bersyarat

Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat peristiwa lain telah terjadi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr(

A A B A

B = ∩

F. Probabilitas Komplementer

Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah :

(29)

Yang juga berarti bahwa :

Pr(A)=1−Pr(B)

Pr(B)=1−Pr(A).

2.5 Teorema Bayes

Misalkan S adalah Ruang sampel dari kejadian. B1,B2,...,B_n adalah kejadian

didalam S dimana B₁,B₂,...,B_n adalah kejadian saling lepas dan membentuk partisi didalam S

Jika B₁,B₂,...,B_n membentuk partisi dalam S dan A adalah peristiwa lain dalam S maka

(

A∩B1

) (

, A∩B2

) (

, A∩B3

) (

,..., A∩Bn

)

akan membentuk partisi sehingga :

(

A∩B₁

) (

∪ A∩B₂

) (

∪ A∩B₃

) (

,..., A∩B_n

)

(2.2)

Karena kejadian-kejadian secara eksklusif secara bersama-sama maka :

( ) (

A =P A∩B1

) (

+P A∩B2

) (

+P A∩B3

)

+...+P

(

A∩Bn

)

( ) ( ) (

A =P B₁ P A/B₁

) ( ) (

+P B₂ P A/B₂

)

+...+P

( ) (

B_n P A/B_n

)

( )

( ) (

)

i j

j P A B

B P A

∑

(2.3)

Dengan demikian akan didapat :

(

) (

)

( )

A P

B A P A B

P i i

∩ =

(

) ( )

( )

A P

B P B A

P / i i

(30)

(

) ( )

( ) (

)

(

)

( ) (

n n

)

i i

B A P B P B

A P B P B a P B P

B P B A P

/ ....

/ /

/ 2 2

1 + +

Sehingga :

(

)

(

) ( )

( ) (

)

∑

₌

= n j

j j

i i i

B A P B P

B P B A P A B P

/ /

(2.4)

Jika A i = 1,2,...,n maka peluang kondisional i, A dengan syarat n A1,A2,...,An−1

telah terjadi sebelumnya ialah :

(

) (

)

(

1 2 1

)

2 1 1

2 1

,...., ,

... ,...,

, /

− − = ∩ ∩

n n n

A A A P

A A

A P A

A A A P

atau dapat ditulis juga :

(

A1∩A2,...,∩An

) ( ) (

=P A1 P A2/A1

) (

P A3/A1∩A2

) (

...P An /A1∩A2 ∩...An−1

)

(2.5)

Sifat yang paling mendasar adalah bahwa tiap-tiap barisan kejadian merupakan kejadian yang hanya tergantung pada kejadian sebelumnya yaitu A_j₊₁ tergantung pada A akan tetapi _j A_j₊₁ tidak tergantung pada A_j₋₁,A_j₋₂,...,A₁ maka persamaan ini dengan asumsi diatas dapat disederhanakan menjadi

(

A1∩A2,...,∩An

) ( ) (

=P A1 P A2/A1

) (

P A3/A2

) (

....P An /An−1

)

(31)

2.6 Rantai Markov

2.6.1 Definisi Rantai Markov

Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang melibatkan waktu dan lebih dikenal sebagai proses Stokastik. Rantai Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel acak

{

X_t;t=0,1,2,3...

}

yang membentuk suatu deret dan memenuhi sifat Markov.

2.6.2 Sifat Markov

Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu ( past states) X₀,X₁,X₂,...,X_t₋₁ dan kejadian yang sedang berlangsung ( present state )

X , maka kejadian yang akan datang ( future state )X_t₊₁ bersifat bebas (

independen ) dari kejadian-kejadian yang telah berlalu ( past state )

1 2

0 X X Xt−

X , , ,..., . Artinya kejadian yang akan datang ( future state ) Xt+1 hanya

bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung ( present state) X . _t

Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai waktu ke t, maka distribusi nilai proses dari waktu ke t+1 hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu t.

Secara umum dapat dituliskan :

) Pr(

) ,

,..., ,

Pr(X_t₊₁=iX₀= j₀ X₁= j₁ X_t₋₁= j_t₋₁ X_t = j_t = X_t₊₁=iX_t = j (2.7)

2.6.3 Asumsi – asumsi Dasar Rantai Markov

Penggunaan rantai Markov terhadap suatu masalah memerlukan pemahaman tentang tiga keadaan yaitu keadaan awal, keadaan transisi dan keadaan setimbangnya. Dari tiga keadaan di atas, keadaan transisi merupakan yang

(32)

terpenting. Oleh karena itulah asumsi – asumsi dalam rantai Markov hanya berhubungan dengan keadaan transisi.

Asumsi – asumsi dalam rantai Markov adalah sebagai berikut : a. Jumlah probabilitas transisi keadaan adalah 1

b. Probabilitas transisi tidak berubah selamanya.

c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang, bukan pada periode sebelumnya.

2.6.4 Keadan Awal Rantai Markov

Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan n kejadian adalah vektor kolom dengan n baris. Untuk keadaan awal, vektor pada rantai Markov adalah keadaan ataupun probabilitas yang terjadi pada waktu yang sedang berlangsung dan dinotasikan dengan X . ₀

Dapat dituliskan :

              =

x x x

, , ,

0 2 0

1 0 0



2.6.5 Keadaan Transisi dan Probabilitasnya

Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan ( status ) ke keadaan lain pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Probabilitas ini dikenal sebagai probabilitas transisi. Probabilitas ini dapat digunakan untuk menentukan probabilitas keadaan

(33)

periode berikutnya. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal diberikan perubahan melalui suatu matriks yang disebut matriks probabilitas transisi

Jika rantai Markov mencapai situasi satsuoner maka probabilitas tersebuttidak lagi bergantung pada t, sehingga dituliskan besaran probabilitas sebagai P . Dengan _ij

demikian maka probabilitas proses berpindah dari status i ke status j homogen dalam waktu. Jadi kita dapat mendefenisikan seluruh probabilitas proses dalam bentuk matriks P.

00 01 02 0

10 11 12 1

. . .

0 1 2

. . . .

... ... ... ...

... ... j

i i i ij

p p p p

P p p p p

p p p p

 

 

=  

 

 

Yang disebut sebagai matrik probabilitas transisi (disingkat matriks transisi) dari rantai Markov. Jika jumlah status adalah berhingga yaitu t maka matriks transisi ini akan berukuran t baris x t kolom. Seriap elemen matriks P adalah positif _ij

(P_ij ≥0, untuk setiap i,j = 0, 1, 2, ...). Total Probabilitas dalam setiap baris adalah 1 (

ij j

∞ = =

∑

, untuk setiap baris i = 0, 1, 2, ...).

2.7 Persamaan Chapman- Kolmogorov

Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan sebuah metode untuk menghubungkan peluang peralihan t langkah yang berurutan. Untuk dapat menghitung peluang peralihan t langkah digunakanlah persamaan ini yaitu :

(34)

t m t m

ij ik kj

P P P

∞ +

∑

(2.8)

P = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah t langkah dan diketahui _ikt

sebelumnya telah berada dalam state i

m kj

P = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah m langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state k t m

P + = Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah t+m langkah.

Dengan menggunakan persamaan Chapman Kolmogorov kita dapat membuktikan bahwa P( )t =Pt matriks peluang peralihan t langkah

( )

P sama dengan matriks t

peluang peralihan satu langkah pangkat t.

Jika α_iP

(

_X

₀=i

)

(

0 0, i 1,... t 1 t 1, t t

)

_X

_i

_X

_i

_X

₋ =

_i

₋

_X

_i

1 ,

0 1 1 2...

t it

i i i i _i

P P

P

₋

= ( )2

0 ,

ij ik kj

P

∑

∞=

P P

( )1

0 ,

t t

ij ik kj

P

∑

∞=

P P

− ,

( ) _{( ) ( )}

t m t m

k ik kj ij

p

+ =

∑

∞=

P P

( )t m ( ) ( )t m

P

+ =

P P

( )t t

P

(

)

( )

t k

t ij

P j

(35)

Maka,

(

0 0, 1 1,..., t 1 t 1, t t

)

_X

_i

_X

_i

_X

₋ =

_i

₋

_X

_i

(

0 0

)

(

1 1 0 0

) (

2 2 0 0, 1 1

)

_X

_i

_X

_i

_X

_i

_X

_i

_X

_i

_X

_i

(

0 0 1 1 1 1

)

...P

_X

_t=

_i

_X

_i

_X

_i

,...

_X

_t₋ =

_i

_t₋

(

0 0

)

(

1 1 0

)

(

2 2 1 1

)

(

1 1

)

1, 2... 1,

t t t t

i i it it

_X

_i

_X

_i

_X

_i

_X

_i

_X

_i

_X

_i

P

− − −

= = = = = = =

Untuk 0 < t < m,

(

0 , t , m

)

_X

= j

_X

(

)

(

t 0

) (

m 0 , t

)

_X

i P

_X

i P

_X

= = = = = = =

(

)

(

) (

)

( )

( ) ( )

0 0

t m t

t m t ij jk

_X

i P

_X

i P

_X

k α i

_{P P}

−

= = = = = = =

( )

(

)

(

)

(

)

0 0

, ,

t m t t m

ij t m

P i k j

P j i

P i

X

P

X

+ +

= = =

= = = =

= ( )

( )

( ) ( )

0 0

t m

kj t m

k k ik kj

i P P

P P

α

∞ ∞

∑

Sehingga

(

)

(

)

(

)

( )

0 0 0 0

i i

t t ij

(36)

Sifat Matriks:

( ) ( )1

.

P P

P

= −

Yaitu peluang peralihan dari tahap i ke j adalah elemen dari matriks transisi Pt atau :

Kejadian perpindahan dari tahap i ke j dalam n langkah dapat dipandang dengan cara yang saling lepas dimana pada langkah pertama menuju tahap k (k = 0,1, ...), selanjutnya dari tahap j dalam sisanya (t -1) langkah (peralihan). Karena sifat rantai Markov maka peluang pada langkah ke dua adalah

_P

( )_kjt−1 dimana peluang pada langkah 1 adalah

_P

_ik. dengan menggunakan sifat peluang total. Tahapan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

(

)

( )

0 t

ij P t j i

P

X

(

1 0

)

t k

_X

∞ =

∑

= = =

(

₁ ₀

)

t k

_X

∞ =

∑

= = = P

(

X

1=k

X

0=i

)

(

₁

)

t k

_X

∞ =

∑

= = P

(

X

1=k

X

0=i

)

( )1

t ik kj

P P

∞ ₋

∑

Jika dilakukan induksi t = 1 dan m = t-1 maka persamaan (2.8) menjadi :

∑

= =

− − ₌

0 0

1 1

k k

kj t ik t

kj ik t

ij P P P P

dengan t ij

P adalah anggota atau elemen dari matriks P dan t P dan ik

−

t kj

P anggota

dari matrik P. Persamaan diatas memperlihatkan peluang peralihan t langkah dapat diperoleh dari peluang beralih satu langkah. Misalkan untuk t = 2

∑

= = = =

0 0 0

k k

kj ik

ik kj

ik t

ij P P P P

(37)

karena Pij2 merupakan elemen dari matriks 2

P , P dan ik

−

t kj

P elemen dari matriks

P, maka P2 = P.P yaitu perkalian matriks peralihan satu langkah dengan matriks

itu sendiri. Untuk t langkah secara umu dapat diperoleh :

t t t t t

P P P P P P P P P

P = . .... = = . −1 = −1. =

Sehingga dapat dikatakan bahwa peluang peralihan t langkah dapat diperoleh dengan memangkatkan t, matriks beralih satu langkah.

2.8 Peluang State t langkah

2.8.1 Defenisi

Andaikan Pt =

(

P₀t,P₁t,...

)

adalah vektor peluang state setelah t langkah maka P_jt, vektor peluang statenya adalah P yaitu vektor peluang berada pada state j jt

setelah t langkah dengan n≥1,j∈E

(

)

∑

(

)

= = =

i t t

j P x j P x j x i

(

x i

) (

P x_t j x j

)

o i

= =

∑

= 0 0

∑

= 0

0 i

t ij i P

P (2.9)

Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah t langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan (2.9) dapat dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk t = 1

P1 =P0P

atau

(38)

(

)

∑

(

)

= = − =

= = =

t t t

j P x j P x j x i

(

x i

) (

P xt j xt j

)

o i

t = = =

= −

∑

1 \ 1

∑

= −

= 0

1 i

ij t i P

P (2.10)

Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah t langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan (2.10) dapat dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk t = 1

( )0 ( )0 2 1

2 0 1

P P PP P P P P

P P P

= =

Dapat disimpulkan vektor peluang state dalam t langkah diperoleh dengan mengalikan statei awal P( )0 dengan matriks satu langkah pangkat t.

Pt =Pt−1Pt =P( )0 Pt, n≥1

(39)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penerapan di Bidang Pertanian

Aplikasi Rantai Markov di bidang pertanian paling banyak digunakan dibidang sosial ekonomi. Sebagai statenya antara lain adalah banyaknya jumlah produksi industri pertanian, lokasi industri pertanian, pertumbuhan ekonomi, pembangunan pertanian, struktur pasar dan berbagai jenis merek suatu produk pertanian. Seperti yang dijelaskan pada bab yang sebelumnya, rantai Markov atau proses Markov akan digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penulisan skripsi ini. Data yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah peluang perpindahan penggunaan suatu merek bibit kelapa sawit ke merek yang lainnya.

Untuk memperjelas aplikasi Rantai Markov tersebut, akan diberikan ilustrasi pada berbagai merek bibit kelapa sawit. The American Marketing Association dalam Basu Swasta (1980) mengartikan merek sebagai suatu nama, istilah, simbol, disain, atau kombinasinya sebagai tanda pengenal produk atau jasa suatu penjual yang membedakan dengan produk-produk lainnya.

Dasar pemilihan merek adalah faktor-faktor lingkungan yang mendorong pengguna (petani) untuk memilih bibit kelapa sawit tertentu.

(40)

Merek Bibit Kelapa Sawit yang Dipilih :

Dari data yang diperoleh menunjukkan merek-merek bibit kelapa sawit yang digunakan oleh petani adalah seperti tabel berikut :

Tabel 3.1 Merek Bibit Kelapa Sawit dan Jumlah Pengguna

No Merek Pengguna (Petani) Proporsi

1 DxP Marihat 43 56,58%

2 Dxp Yangambi 14 18,42%

3 Dxp La Me 8 10,53%

4 DxP Dolok Sinumbah 2 2,63%

5 DxP Bah jambi 2 2,63%

6 DxPAvros 1 1,32%

7 Lainnya 6 7,89%

Jumlah 76

Sumbe

Tabel tersebut memperlihatkan bahwa 3 merek yang paling digemari yaitu DxP Marihat (56,58%), DxP Yangambi (18,42%), DxP La Me (10,53%). Urutan berikutnya DxP Dolok Sinumbah dan DxP Bah jambi masing-masing dipilih oleh 2 petani atau 2,63%, sisanya DxP Avros dan sementara lainnya merupakan gabungan dari beberapa merek yang diminati hanya oleh satu orang petani saja.

Alasan yang dikemukakan oleh petani dalam memilih merek Bibit Kelapa Sawit saat ini adalah seperti tabel berikut ini :

(41)

Tabel 3.2 Alasan Pengguna (Petani) Memilih Merek Bibit Kelapa Sawit

N o

Alasan Memilih

Merek

Marihat

Avros

Yangambi Dolok Sinum

bah

Bah

jambi La Me

Lainnya

1 Sekedar Mencoba

1 1 3 - 1 1 1

2 Kandungan Minyak

3 - 1 1 - - -

3 Mudah didapat

- - 1 - - 2 2

4 Harganya Murah

8 - 4 - - 3 1

5 Bersertifikat 28 - 4 - 1 1 -

6 Anjuran orang lain

2 - 2 1 - - -

7 Umur mulai berproduksi

1 - - - -

8 Berat tandan - - - 1 1

Total Pengguna

43 1 15 2 2 8 5

Konsumen banyak menggunakan DxP Marihat karena Bersertifikat dan harganya murah. Demikian juga DxP Yangambi dipilih karena bersertifikat, harganya murah dan sekedar mencoba-coba. Sedangkan DxP La Me dibeli karena harganya murah dan mudah didapat. Merek lainnya juga dipilih karena mudah diidapat.

Perpindahan dalam Memilih Merek Bibit Kelapa Sawit

Selera konsumen selalu berubah dalam menggunakan suatu produk. Perpindahan merk Bibit Kelapa Sawit adalah gejala yang umum terjadi dikalangan Petani Kelapa Sawit. Untuk memahami lebih jelas tentang pergeseran atau perpindahan

(42)

konsumen dari satu merek Bibit Kelapa Sawit ke merek lainnya dapat dilihat pada tabel-tabel berikut ini :

Tabel 3.3 Memperlihatkan DxP Marihat sebagai merek yang paling diminati, saat ini digunakan oleh 43 orang dari 76 pengguna akan tetapi sebelumnya dimiati oleh 49 orang atau telah berkurang 6. Ini karena DxP Marihat memperoleh tambahan dari merek lain 14 dan berpindah ke merek lainnya sebanyak 20 orang.

DxP Avros yang semula dipilih oleh 6 orang, saat ini tinggal 1 orang, karena 5 orang berpindah ke merek lain

DxP Yangambi yang semula 10 orang saat ini digunakan oleh 14 orang atau bertambah 4 orang, ini disebabkan ada yang berpindah dari merek lain 9 orang, tetapi keluar memilih merek lain 5 orang.

DxP Dolok Sinumbah semula dimiliki oleh 3 orang memperoleh tambahan 2 orang akan tetapi pindah ke merek lain 3 orang.

DxP Bah jambi semula 1 orang, saat ini menjadi 2 orang. Sementara itu DxP La Me saat ini dimiliki oleh 8 orang atau naik 2 orang dibanding sebelumnya, hal ini karena berpindah dari merek lain 6 orang dan berpindah ke merek lain 4 orang.

(43)

Tabel 3.3 Jumlah Pengguna Bibit Kelapa Sawit saat ini dan sebelumnya

No Merek Bibit Kelapa Sawit

Pengguna Sebelumnya

Perolehan Kehilangan Pengguna Saat ini

1 DxP Marihat 49 14 20 43

2 Dxp Avros 6 0 5 1

3 Dxp Yangambi 10 9 5 14

4 DxP Dolok Sinumbah

3 2 3 2

5 DxP Bah jambi 1 2 1 2

6 DxP La M e 6 6 4 8

7 Lainnya 1 5 0 6

Total 76 38 38 76

Secara lebih rinci perolehan dan kehilangan konsumen pada setiap merek bibit kelapa sawit di perlihatkan dalam Tabel 3.4

(44)

Tabel 3.4 Perolehan dan Kehilangan Konsumen pada Berbagai Merek Bibit Kelapa Sawit

Merek Bibit Kelapa

Sawit

Perolehan Kehilangan

Mar

iha

anga

ok S

inum

ah j

a Me

nnya

Mar

iha

anga

ok S

inum

mbi

a Me

nnya

Marihat - 3 5 2 1 3 0 - 0 7 2 2 4 5

Avros 0 - 0 0 0 0 0 3 - 1 0 0 1 0

Yangam bi

7 1 - 0 0 1 0 5 0 - 0 0 0 0

Dolok Sinumba h

2 0 0 - 0 0 0 2 0 0 - 0 1 0

Bah jambi

2 0 0 0 - 0 0 1 0 0 0 - 0 0

La Me 4 1 0 1 0 - 0 3 0 1 0 0 - 0

Lainnya 5 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 -

Jumlah

20 5 5 3 1 4 0 14 0 9 2 2 6 5

Kehilangan Perolehan

Tabel di atas menunjukkan bahwa DxP Marihat memperoleh tambahan orang yaitu berasal dari DxP Avros 3, dari DxP Yangambi 5, dari DxP Dolok Sinumbah 2, dari DxP Bah jambi 1, dan dari DxP La Me 3, Sedangkan yang berpindah sebanyak 20 orang yaitu ke DxP Yangambi 7, Ke DxP Dolok Sinumbah 2, ke DxP Bah jambi 2, ke DxP La Me 4 dan ke lainnya 5 orang. Demikian seterusnya untuk merek-merek lainnya dapat dibaca secara horizontal dari kiri ke kanan. Sedangkan angka total dibagian bawah menunjukkan jumlah kehilangan dan perolehan dari masing-masing merek.

(45)

5 1 1 7 2

3 5

4 2

1 1

3 2

Gambar 3.4 Perpindahan Konsumen pada Berbagai Merek Bibit Kelapa Sawit

D x P Dolok Sinumba

h 2 D x P

Marihat 43

Lainnya 6

D x P La Me

D x P Bah Jambi

2 D x P

Yangam bi 14

D x P Avros

(46)

Tabel 3.5 Merupakan tabel yang memperlihatkan pola perpindahan penggunaan merek dari satu merek ke merek lainnya. Baris (horizontal) merupakan merek yang dipilih sebelumnya dan kolom (vertikal) sebagai merek tujuan atau yang dipilih saat ini. Sebagai contoh DxP Marihat yang saat ini berjumlah 43 orang itu berasal dari konsumen yang loyal 29 orang, berpindah dari DxP Avros 3 orang, dari DxP Yangambi 5, dari dolok Sinumbah 2, dari DxP Bah jambi, dan dari DxP La Me 3. Atau pelanggan DxP Marihat yang berpindah ke merek lain adalah 7 orang ke DxP Yangambi, 2 ke DxP Dolok Sinumbah, 2 ke DxP Bah jambi, 4 ke DxP La Me,dan 5 ke merek lainnya.

Pengguna DxP Yangambi saat ini berjumlah 14 orang yaitu 5 orang yang loyal, pindahan dari DxP Marihat 7, dari DxP Avros 1, dan dari DxP La Me 1.

Yang menarik adalah bahwa setiap merek memiliki konsumen yang loyal seperti DxP Marihat 29 orang, DxP Avros 1 orang, DxP Yangambi 5 orang, DxP La Me 2 orang.

(47)

Tabel 3.5 Pola Perpindahan Penggunaan Merek Bibit Kelapa Sawit

D a r i

M e r e k

Merek Bibit Kelapa sawit

Ke Merek

Mar

iha

anga

lok

inum

ah j

a Me

nnya

engguna

ebe

lum

nya

Marihat 29 0 7 2 2 4 5 49

Avros 3 1 1 0 0 1 0 6

Yangambi 5 0 5 0 0 0 0 10

Dolok Sinumbah

2 0 0 0 0 1 0 3

Bah jambi 1 0 0 0 0 0 0 1

La Me 3 0 1 0 0 2 0 6

Lainnya 0 0 0 0 0 0 1 1

Pengguna Saat ini

43 1 14 2 2 8 6 76

Bila diasumsikan bahwa pergeseran diantara merek bibit kelapa sawit dianggap stabil maka dapat dibuat probabilitas transisinya seperti pada tabel 3.6 dibawah ini.

(48)

Tabel 3.6 Probabilitas Transisi

Dari

Ke Merek Marihat Avros Yangambi Dolok

Sinumbah

Bah jambi

La Me

Lainnya

Marihat 0,59 0,00 0,14 0,04 0,04 0,08 0,10

Avros 0,50 0,17 0,17 0,00 0,00 0,17 0,00

Yangambi 0,50 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00

Dolok Sinumbah

0,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00

Bah jambi 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

La Me 0,50 0,00 0,17 0,00 0,00 0,33 0,00

Lainnya 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00

Market Share 0,57 0,01 0,18 0,03 0,03 0,11 0,08

Dari tabel 3.6 dapat dilihat bahwa pelanggan DxP Marihat yang loyal adalah 59%, berpindah dari DxP Marihat ke DxP Yangambi 14%, ke DxP Bah jambi 4%, ke DxP La Me 8% dan ke merek lain 10%.

Pelanggan DxP Avros yang pindah ke DxP Marihat 50%, pelanggan yang loyal 17%, berpindah ke DxP Yangambi 17%, dan ke DxP La Me 17%.

Pelanggan DxP Yangambi yang berpindah ke DxP Marihat 50%, pelanggan loyal 50%. Pelanggan DxP Dolok Sinumbah yang pindah ke DxP Marihat 67%dan ke DxP La Me 33%. DxP Bah jambi 100% pindah ke DxP Marihat dan DxP La Me pindah ke DxP Marihat 50 %, ke DxP Yangambi 17% dan yang loyal 33%.

Sedangkan baris paling bawah menunjukkan pangsa pasar saat ini untuk semua jenis merek bibit kelapa sawit.

(49)

Berdasarkan data pada tabel diatas maka diperoleh sebuah matriks transisi satu langkah dengan merek bibit kelapa sawit sebagai state spacenya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}                       = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 1 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 67 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 17 , 0 50 , 0 10 , 0 08 , 0 04 , 0 04 , 0 14 , 0 00 , 0 59 , 0 p

3.2 Matriks Transisi Empat Langkah

Karena telah diperoleh matriks transisi satu langkah maka dengan menggunakan rumus Chapman Kolmograv bahwa p(t) = ptyaitu p diperoleh dengan t

mengalikan matriks transisi P sebanyak n kali diman n = 1,2,3,4.

                      = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 1 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 67 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 17 , 0 50 , 0 10 , 0 08 , 0 04 , 0 04 , 0 14 , 0 00 , 0 59 , 0 p

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi p yaitu 2

(50)

                      = 0000 , 1 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0500 , 0 1489 , 0 0200 , 0 0200 , 0 2111 , 0 0000 , 0 5450 , 0 1000 , 0 0800 , 0 0400 , 0 0400 , 0 1400 , 0 0000 , 0 5900 , 0 0670 , 0 1625 , 0 0268 , 0 0268 , 0 1499 , 0 0000 , 0 5603 , 0 0500 , 0 0400 , 0 0200 , 0 0200 , 0 3200 , 0 0000 , 0 5450 , 0 0500 , 0 1250 , 0 0200 , 0 0200 , 0 2128 , 0 0289 , 0 5500 , 0 1590 , 0 0868 , 0 0236 , 0 0236 , 0 1662 , 0 0000 , 0 5249 , 0 p

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi p yaitu 3

matriks transisi P tahun ketiga

                      = 0000 , 1 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 1578 , 0 0826 , 0 0212 , 0 0212 , 0 1951 , 0 0000 , 0 5051 , 0 2114 , 0 0748 , 0 0264 , 0 0264 , 0 1711 , 0 0000 , 0 4755 , 0 1088 , 0 0850 , 0 0210 , 0 0210 , 0 1830 , 0 0000 , 0 4950 , 0 1579 , 0 0708 , 0 0213 , 0 0213 , 0 2070 , 0 0000 , 0 5052 , 0 15898 , 0 0832 , 0 0214 , 0 0214 , 0 1975 , 0 0008 , 0 5144 , 0 2588 , 0 0706 , 0 0188 , 0 0188 , 0 1654 , 0 0000 , 0 4404 , 0 p

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi p yaitu 4

matriks transisi P tahun keempat

                      = 0000 , 1 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 3390 , 0 0596 , 0 0161 , 0 0161 , 0 2923 , 0 0000 , 0 3830 , 0 3820 , 0 0562 , 0 0152 , 0 0152 , 0 1385 , 0 0000 , 0 3608 , 0 5978 , 0 0581 , 0 2163 , 0 2163 , 0 1434 , 0 0000 , 0 3330 , 0 3403 , 0 0594 , 0 1053 , 0 1053 , 0 1475 , 0 0000 , 0 3832 , 0 3423 , 0 0602 , 0 0164 , 0 0164 , 0 1491 , 0 0000 , 0 3879 , 0 4141 , 0 0514 , 0 0138 , 0 0138 , 0 1273 , 0 0000 , 0 3312 , 0 p

Dari matriks yang diperoleh maka dapat diketahui bahwa peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dapat dilihat dari matriks di atas.

(51)

3.3 Peluang state t langkah

Dengan diketahui matriks P, maka berdasarkan vektor awal dapat diprediksi vektor distribusi perpindahan merek bibit kelapa sawit dengan menggunakan rumus Chapman Kolmogorov yaitu peluang n langkah.

t t

p p

p() = (0) , n = 1,2,...,8 =

p Vektor pembagian state pada waktu t, t = 1,2,...,8 =

p Vektor pembagian state awal =

p Matriks transisi P dalam t langkah

         

 

         

 

7 6 5 4 3 2 1

p p p p p p p

DimanaP_j adalah peluang sistem saat berada pada state j,j = 1,2,3...,7

Seperti yang telah diperlihatkan pada tabel 3.6 pada kolom market share maka kemungkinan perpindahan jalurnya diberikan oleh vektor-vektor keadaan awal yaitu

(

0,57 0,01 0,18 0,03 0,03 0,11 0,08

)

0 =

(52)

(

0,57 0,01 0,18 0,03 0,03 0,11 0,08

)

0 =

maka diperoleh p1 = p0p

sehingga:

(

0,530 0,020 0,193 0,023 0,023 0,092 0,140

)

1 =

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 2 p

p2 = 1

atau p2 = p0p2

maka 1 =

(

0,530 0,020 0,193 0,023 0,023 0,092 0,140

)

p                       = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 1 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 67 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 17 , 0 50 , 0 10 , 0 08 , 0 04 , 0 04 , 0 14 , 0 00 , 0 59 , 0 p

(53)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 3 p

p3 = 2

atau p3 = p0p3

maka p2 =

(

0,50 0,00 0,19 0,02 0,02 0,08 0,19

)

maka p3 =

(

0,46 0,00 0,18 0,02 0,02 0,08 0,24

)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 4 p

p4 = 3

atau p4 = p0p4

maka p3 =

(

0,46 0,00 0,18 0,02 0,02 0,08 0,24

)

(54)

maka p4 =

(

0,43 0,00 0,17 0,02 0,02 0,07 0,28

)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 5 p

p5 = 4

atau p5 = p0p5

maka p4 =

(

0,43 0,00 0,17 0,02 0,02 0,07 0,28

)

maka p5 =

(

0,40 0,00 0,16 0,02 0,02 0,06 0,34

)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 5 p

p6 = 5

atau p6 = p0p6

maka 5 =

(

0,40 0,00 0,16 0,02 0,02 0,06 0,34

)

(55)

maka p6 =

(

0,38 0,00 0,15 0,02 0,02 0,05 0,38

)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 7 p

p7 = 6

atau p7 = p0p7

maka p6 =

(

0,38 0,00 0,15 0,02 0,02 0,05 0,38

)

maka p7 =

(

0,35 0,00 0,14 0,02 0,02 0,05 0,42

)

sedangkan untuk mendapatkan 8

p diperoleh dengan menggunakan rumus

p p

p8 = 7

atau p8 = p0p8

(56)

maka p8 =

(

0,335 0,00 0,13 0,014 0,014 0,05 0,45

)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 9

p p

p9 = 8

atau p9 = p0p9

maka p8 =

(

0,335 0,00 0,13 0,014 0,014 0,05 0,45

)

maka p9 =

(

0,31 0,00 0,12 0,013 0,013 0,04 0,48

)

dengan menggunakan vektor ini dan teorema dapat ditentukan keadaan vektor selanjutnya pada tabel dibawah ini:

(57)

Tabel 3.7 Peluang Proporsi Pengguna Bibit Kelapa Sawit

DxP Marihat

DxP Avros

DxP Yangambi

DxP Dolok Sinumbah

DxP Bah jambi

DxP

La Me Lainnya

A B C D E F G

57% 1% 18% 3% 3% 11% 8%

53% 0% 19% 2% 2% 9% 14%

50% 0% 19% 2% 2% 8% 19%

46% 0% 18% 2% 2% 8% 24%

43% 0% 17% 2% 2% 7% 28%

40% 0% 16% 2% 2% 6% 34%

38% 0% 15% 2% 2% 5% 38%

35% 0% 14% 2% 2% 5% 42%

33% 0% 13% 1% 1% 5% 45%

31% 0% 12% 1% 1% 4% 48%

Menarik sekali jika mencermati peluang proporsi pengguna bibit kelapa sawit, dimana DxP Marihat sebagai merek yang digemari ternyata pangsa pasarnya secara perlahan semakin berkurang, yang semula 57% kemudian tinggal 31%. DxP Avros tidak diminati lagi. Pangsa pasar DxP Yangambi juga mengalami penurunan berkisar antara 18%-12%. DxP Dolok Sinumbah dan DxP Bah jambi sama semula 3% selanjutnya tinggal 1%. DxP La Me semula 11% kemudian turun menjadi 4%.

Sementara itu merek lainnya yang semula hanya 8%, secara signifikan meningkat menjadi 48%, yang semula tidak diperhitungkan akan tetapi ternyata merek-merek tersebut mulai banyak diminati, hal ini karena harganya yang relatif murah.

(58)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dalam satu dasawarasa terakhir, Proses stokastik Markov banyak digunakan dalam berbagai bidang, salah satunya adalah bidang pertanian khususnya dalam sosial ekonomi pertanian. Dari studi literatur mengenai rantai Markov dan beberapa penemuan yang didapat dalam tugas akhir ini, dapat disimpulkan bahwa :

1. Peluang perpindahan merek Bibit Kelapa Sawit dari satu merek ke merek lainnya adalah :

Tabel 3.8 Peluang perpindahan merek Bibit Kelapa Sawit dari satu merek ke merek lainnya

Dari

Ke Merek Marihat Avros Yangambi Dolok

Sinumbah

Bah

Jambi La Me Lainnya Marihat 0,3312 0,0000 0,1273 0,0138 0,0138 0,0514 0,4141

Avros 0,3879 0,0000 0,1491 0,0164 0,0164 0,0602 0,3423 Yangambi 0,3832 0,0000 0,1475 0,1053 0,1053 0,0594 0,3403

Dolok

Sinumbah 0,3330 0,0000 0,1434 0,2163 0,2163 0,0581 0,5978 Bah Jambi 0,3608 0,0000 0,1385 0,0152 0,0152 0,0562 0,3820 La Me 0,3830 0,0000 0,2923 0,0161 0,0161 0,0596 0,3390 Lainnya 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

(59)

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu merek ke merek yang lainnya mengalami perubahan.

2. Vektor peluang setiap state (merek) berdasarkan peluang state 8 langkah adalah

(

0,31 0,00 0,12 0,013 0,013 0,04 0,48

)

9 =

(

0,530 0,020 0,193 0,023 0,023 0,092 0,140

)

1 =

Hasil perbandingan diantara p dan 1 p mengalami perubahan. Dimana 9

Peluang pangsa pasar pada setiap merek bibit kelapa sawit tidak jauh berbeda dengan yang lainnya.

3. Merek Bibit Kelapa Sawit yang banyak diminati adalah DxP Marihat karena Kandungan Minyak dan harganya murah, urutan kedua di tempati DxP Yangambi dipilih karena Bersertifikat, harganya murah dan sekedar mencoba-coba. Sedangkan DxP La Me dipilih karena harganya murah dan mudah di dapat. Merek Lainnya juga dipilih karena murah harganya.

4. Seluruh Merek Bibit Kelapa Sawit mengalami pergeseran peminatan kecuali merek lainnya (merek-merek yang tidak di perhitungkan sebelumnya) mengalami kenaikan.

(60)

4.2 Saran

Rantai Markov merupakan salah satu cara dalam pengambilan keputusan dimana aplikasinya dapat digunakan dalam berbagai bidang. Dengan ilustrasi merek bibit kelapa sawit diatas, diharapkan dapat memberikan gambaran untuk dapat diterapkan dalam aplikasi lainnya dibidang pertanian maupun bidang-bidang yang lainnya. Rantai Markov dalam tugas akhir ini menggunakan parameter diskrit, oleh karena itu penulis menyarankan bagi seseorang yang ingin meneliti mungkin dapat menerapkan rantai markov dengan waktu kontinu.

(1)

maka p8 =

(

0,335 0,00 0,13 0,014 0,014 0,05 0,45

)

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 9

p p p9 = 8

atau p9 = p0p9

maka p8 =

(

0,335 0,00 0,13 0,014 0,014 0,05 0,45

)

maka p9 =

(

0,31 0,00 0,12 0,013 0,013 0,04 0,48

)

dengan menggunakan vektor ini dan teorema dapat ditentukan keadaan vektor selanjutnya pada tabel dibawah ini:

(2)

Tabel 3.7 Peluang Proporsi Pengguna Bibit Kelapa Sawit

DxP Marihat

DxP Avros

DxP Yangambi

DxP Dolok Sinumbah

DxP Bah jambi

DxP

La Me Lainnya

A B C D E F G

57% 1% 18% 3% 3% 11% 8%

53% 0% 19% 2% 2% 9% 14%

50% 0% 19% 2% 2% 8% 19%

46% 0% 18% 2% 2% 8% 24%

43% 0% 17% 2% 2% 7% 28%

40% 0% 16% 2% 2% 6% 34%

38% 0% 15% 2% 2% 5% 38%

35% 0% 14% 2% 2% 5% 42%

33% 0% 13% 1% 1% 5% 45%

31% 0% 12% 1% 1% 4% 48%

(3)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Peluang perpindahan merek Bibit Kelapa Sawit dari satu merek ke merek lainnya adalah :

Tabel 3.8 Peluang perpindahan merek Bibit Kelapa Sawit dari satu merek ke merek lainnya

Dari

Ke Merek

Marihat Avros Yangambi Dolok Sinumbah

Bah

Jambi La Me Lainnya Marihat 0,3312 0,0000 0,1273 0,0138 0,0138 0,0514 0,4141

Avros 0,3879 0,0000 0,1491 0,0164 0,0164 0,0602 0,3423 Yangambi 0,3832 0,0000 0,1475 0,1053 0,1053 0,0594 0,3403

Dolok

(4)

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu merek ke merek yang lainnya mengalami perubahan.

2. Vektor peluang setiap state (merek) berdasarkan peluang state 8 langkah adalah

(

0,31 0,00 0,12 0,013 0,013 0,04 0,48

)

(

0,530 0,020 0,193 0,023 0,023 0,092 0,140

)

1 =

Hasil perbandingan diantara p dan 1 p mengalami perubahan. Dimana 9

Peluang pangsa pasar pada setiap merek bibit kelapa sawit tidak jauh berbeda dengan yang lainnya.

4. Seluruh Merek Bibit Kelapa Sawit mengalami pergeseran peminatan kecuali merek lainnya (merek-merek yang tidak di perhitungkan sebelumnya) mengalami kenaikan.

(5)

4.2 Saran

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Athanosius, Papoulis. 1984. Probabilitas Variabel Random dan Proses Stokastik.

Edisi II. Jakarta: Gajah Mada University Press.

Clarke, Bruce, A.1985. Probability And Random Processes, A First Course With Applications. Second Editions. USA: Jhon Wiley & Sons Inc.

Karlin, S, & Taylor, 1975 H.M. A First Course in Stochastic Processes. Academic pres, New York.

M. Iqbal Hasan. 2001. Pokok-pokok Materi Statistik 2, Ghalia Indonesia, Jakarta

Ross, M, Sheldon. 1969. Applied Probability Models With Optimization

Applications.

California: Holden-Day,Inc

Sianipar, Pangeran. 1995 Aljabar Linier. Medan : Intan Dirja Lela