Perbandingan Penduga Minimum Covariance Determinant (MCD) Dengan Maximum Likelihood Estimation (MLE) pada Analisis Diskriminan untuk Data yang Mengandung Pencilan

(1)

PERBAN

(MCD) D

ANAL

FAKU

NDINGAN

DENGAN M

LISIS DISK

ULTAS MA

PENDUGA

MAXIMUM

KRIMINAN

TR

DEPAR

ATEMATI

INSTITU

A MINIMU

M LIKELIH

N UNTUK

PENCIL

RI HARDI

RTEMEN S

IKA DAN I

UT PERTA

BOGO

2013

UM COVAR

HOOD EST

K DATA YA

LAN

PUTRA

STATISTIK

ILMU PEN

ANIAN BOG

OR

3 RIANCE DE

TIMATION

ANG MENG

KA

NGETAHU

GOR

ETERMIN

N (MLE) PA

GANDUNG

UAN ALAM

NANT

ADA

G

(2)

RINGKASAN

TRI HARDI PUTRA. Perbandingan Penduga Minimum Covariance Determinant (MCD) Dengan

Maximum Likelihood Estimation (MLE) pada Analisis Diskriminan untuk Data yang Mengandung

Pencilan. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan DIAN KUSUMANINGRUM

Penerapan analisis diskriminan untuk mengelompokkan objek atau individu ke dalam salah satu kelompok yang telah diketahui dalam suatu populasi begitu saja tidaklah cukup, perlu dipertimbangkan adanya pengaruh pencilan peubah ganda. Fungsi diskriminan klasik dibentuk berdasarkan pada pendugaan vektor rata-rata dan mariks ragam peragam yang diukur dengan kriteria rasio kemungkinan maksimum yang disebut sebagai Wilk’s lambda. Seperti yang kita tahu bahwa statistik Wilk’s lambda yang dibangun berdasarkan penduga Maximum Likelihood Estimation (MLE) sangat sensitif terhadap pengaruh pencilan. Dalam penulisan ini, versi kekar dari statistik Wilk’s lambda akan di bangun berdasarkan penduga Minimum Covariance Determinant (MCD) yang mempunyai efisiensi lebih tinggi. Dengan menggunakan metode MCD maka akan menghasilkan vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam yang kekar terhadap pencilan sehingga fungsi diskriminan yang dihasilkan juga kekar. Penerapan penduga MCD dan MLE dalam analisis diskriminan juga akan mempengaruhi hasil penduga tingkat kesalahan klasifikasi

Kata kunci: Analisis Diskriminan, Pencilan Peubah Ganda, Maximum Likelihood Estimation

(MLE), Minimum Covariance Determinant (MCD), Penduga Tingkat Kesalahan Klasifikasi

(3)

PERBANDINGAN PENDUGA MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT

(MCD) DENGAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) PADA

ANALISIS DISKRIMINAN UNTUK DATA YANG MENGANDUNG

PENCILAN

TRI HARDI PUTRA

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Statistika pada

Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

(4)

Judul : Perbandingan Penduga

Minimum Covariance Determinant

(MCD)

Dengan

Maximum Likelihood Estimation

(MLE) pada Analisis

Diskriminan untuk Data yang Mengandung Pencilan

Nama : Tri Hardi Putra

NRP : G14080078

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si Dian Kusumaningrum, M.Si

NIP : 196909121997021001

Mengetahui :

Ketua Departemen Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS

NIP : 19650421 199002 1 001

(5)

PRAKATA

Alhamdulillahi Rabbil ‘Alamiin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, dan pengikutnya hingga akhir zaman.

Karya ilmiah ini berjudul “Perbandingan Penduga Minimum Covariance Determinant

(MCD) Dengan Maximum Likelihood Estimation (MLE) pada Analisis Diskriminan untuk Data yang Mengandung Pencilan”. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr.Ir. Kusman Sadik, M.Si dan Ibu Dian Kusumaningrum, M.Si selaku dosen pembimbing atas bimbingan, saran, dan masukan yang diberikan sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ayah dan Ibu serta adik-adikku atas segala doa, kasih sayang, dukungan, dan semangat yang telah diberikan kepada penulis. Di samping itu penulis juga mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan nasihat yang bermanfaat bagi penulis. Bimbingan yang diberikan oleh Maya Wulan Arini dan Ibu Epi dari Perum Bulog sangat membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, terima kasih tidak lupa saya ucapkan kepada keduanya. Tidak lupa juga kepada seluruh Staf Tata Usaha Departemen Statistika yang telah membantu dalam administrasi penulis selama perkuliahan. Teman-teman Statistika 45 serta semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis selama ini yang tidak dapat disebutkan satu- persatu. Terima kasih untuk semuanya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.

Bogor, Februari 2013

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 11 November 1990 dari pasangan Bapak Jayadi dan Ibu Muhimah S.Pd. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara. Tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri 02 Lenteng Agung, kemudian melanjutkan studi di SLTPN 98 hingga tahun 2005. Selanjutnya penulis menyelesaikan pendidikan di SMAN 38 Jakarta dan lulus pada tahun 2008. Pada tahun yang sama penulis diterima di IPB melalui jalur SNMPTN sebagai mahasiswa Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama di IPB penulis aktif di Organisasi Kemahasiswaan diantaranya, sebagai staf divisi Beta Club pada periode kepengurusan 2009-2010.Penulis menjalankan tugas Praktik Lapang pada tanggal 13 Februari sampai 11 April 2012 di Badan Penelitian Kacang-kacangan dan Umbi-umbian, Malang.

(7)

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA ... 1

Analisis Diskriminan ... 1

Uji Kenormalan Ganda ... 2

Uji Kesamaan Vektor Rata-Rata ... 2

Uji Kehomogenan Ragam (Box-M) ... 2

Pencilan Peubah Ganda ... 3

Penduga Kemungkinan Maksimum ... 3

Penduga Kekar MCD ... 3

Penduga Tingkat Kesalahan Klasifikasi ... 4

METODOLOGI ... 4

Data ... 4

Metode Penelitian ... 5

Metode Simulasi ... 5

Penerapan pada Data Riil ... 5

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 5

Karakteristik Data Simulasi ... 5

Pencilan Peubah Ganda ... 6

Vektor Rata-Rata Penduga MCD dan MLE ... 6

Matriks Ragam-Peragam Penduga MCD dan MLE ... 7

Skor Diskriminan Penduga MCD dan MLE ... 8

Hasil Salah Klasifikasi Penduga MCD dan MLE ... 9

Eksplorasi Data ... 10

Uji Kenormalan Ganda ... 11

Uji Kesamaan Vektor Rataan dan Uji Kehomogenan Matriks Ragam-peragam ... 11

Pengidentifikasian Pencilan Penduga MCD dan MLE ... 11

Skor Diskriminan Penduga MCD dan MLE ... 12

Kelompok Akhir Divre ... 12

KESIMPULAN ... 13

SARAN ... 13

(8)

DAFTAR TABEL

Halaman

1. Tabel Kesalahan Klasifikasi ... ...4

2. Tabel Keterangan Skor Diskriminan ... ...5

3. Tabel Keterangan Peubah Bebas ... ...5

4. Nilai Rata-rata Matriks Ragam-Peragam Penduga MCD dari Semua Ukuran Data ...7

5. Nilai Rata-rata Matriks Ragam-Peragam Penduga MLE dari Semua Ukuran Data ...8

6. Contoh Pengelompokkan Kembali Amatan Pencilan dengan Skor Diskriminan MCD...8

7. Contoh Pengelompokkan Kembali Amatan Pencilan dengan Skor Diskriminan MLE...9

8. Nilai Rata-rata Salah Klasifikasi n=20 ... ...9

9. Nilai Rata-rata Salah Klasifikasi n=40 ... ...10

10.Nilai Rata-rata Salah Klasifikasi n=200 ... ...10

11.Kesalahan Klasifikasi Penduga MCD ... ...10

12.Hasil Uji Kehomogenan Matriks Ragam-peragam ... ...11

13.Hasil Pengidentifikasian Pencilan dengan Penduga MCD ... ...12

14.Pengelompokkan Kembali Amatan Pencilan dengan Skor Disriminan MCD ... ...12

15.Pengelompokkan Kembali Amatan Pencilan dengan Skor Disriminan MLE ... ...12

DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Grafik Selisih Vektor Rata-rata MCD dengan Vektor Rata-rata Awal ... 6

2. Grafik Selisih Vektor Rata-rata MCD dengan Vektor Rata-rata Awal ... 7

3. Persentase Kelompok Awal Divre ... 11

4. Plot Jarak Mahalanobis dengan Amatan ... 11

5. Plot Kuantil Khi-Kuadrat ... 11

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Pembangkitan Ukuran Data Kelompok dan Proporsi Pencilan ... 15

2. Contoh Salah Klasifikasi PendugaMCD dan MLE n=40 dengan Pencilan 10% ... 16

3. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-Peragam Penduga MCD dan MLE n=20 ... 17

4. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-Peragam Penduga MCD dan MLE n=40 ... 18

5. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-Peragam Penduga MCD dan MLE n=200 ... 19

6. Daftar Divre Kelompok Awal ... 20

7. Hasil Uji Kesamaan Vektor Rataan ... 20

8. Analisis Diskriminan Kuadratik dengan Penduga MCD ... 21

9. Pengelompokan Divre dengan Analisis Diskriminan Penduga MCD dan MLE ... 22

10. Makro MINITAB Pengujian Kenormalan Ganda ... 23

11. Makro MINITAB Pendeteksian Pencilan ... 24

(9)

PENDAHULUAN Latar belakang

Salah satu kajian dalam analisis statistika adalah kajian yang membahas tentang pengelompokkan suatu individu yang berdasarkan pada beberapa karakteristik data. Dalam meneliti karakteristik data ini ditentukan beberapa peubah penciri yang membedakan suatu kelompok dengan kelompok lainnya. Analisis diskriminan dapat digunakan untuk mengetahui peubah-peubah penciri yang membedakan anggota kelompok suatu populasi dan sebagai kriteria pengelompokkan (Huberty 1934). Penerapan analisis diskriminan untuk mengelompokkan objek atau individu ke dalam salah satu kelompok yang telah diketahui dalam suatu populasi tidaklah cukup, perlu dipertimbangkan adanya pengaruh pencilan karena data yang mengandung pencilan mempengaruhi pengelompokkan di dalam analisis diskriminan. Data yang terkontaminasi oleh adanya pencilan akan menyebabkan terjadinya kesalahan klasifikasi jika penduga yang digunakan tidak memiliki vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam yang kekar terhadap pencilan. Oleh sebab itu penduga MCD digunakan untuk mengatasi masalah ini karena sifatnya yang kekar terhadap pencilan.

Fungsi diskriminan klasik dibentuk berdasarkan pada pendugaan vektor rata-rata dan mariks ragam peragam yang diukur dengan kriteria rasio kemungkinan maksimum yang disebut sebagai Wilk’s lambda. Seperti yang kita tahu bahwa statistik Wilk’s lambda yang dibangun

berdasarkan penduga Maximum Likelihood

Estimation (MLE) sangat sensitif terhadap

pengaruh pencilan (Todorov 2007). Dalam penulisan ini, versi kekar dari statistik Wilk’s lambda akan di bangun berdasarkan penduga

Minimum Covariance Determinant (MCD) yang

mempunyai efisiensi lebih tinggi dalam mendeteksi pencilan. Dengan menggunakan metode MCD maka akan menghasilkan vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam yang kekar terhadap pencilan sehingga fungsi diskriminan yang dihasilkan juga kekar. Metode MCD diperkenalkan oleh Rousseeuw pada tahun 1985, tujuan dari metode pendugaan MCD adalah mencari himpunan bagian sebanyak h elemen yang matriks ragam-peragamnya memiliki determinan terkecil (Rousseeuw 1999).

Penelitian ini mengacu kepada penelitian yang berjudul Analisis Diskriminan Kuadratik Kekar (Arini 2011) dengan studi kasus divisi regional perum BULOG tahun 2009. Hasil dari penelitian itu memberikan informasi bahwa penduga MCD menghasilkan kinerja yang baik dalam mengelompokkan data pada analisis diskriminan

kuadratik yang mengandung amatan pencilan. Penelitian ini berbeda dengan penelitian sebelumnya, karena dalam penelitian ini menggunakan analisis diskriminan linier yang diberikan proporsi pencilan dengan menggunakan proses simulasi.

Penelitian ini menggunakan pendekatan data simulasi dan data riil yang menyebar normal ganda. Data simulasi terdiri dari tiga peubah penjelas dan dua kelompok dengan analisis diskriminan linier karena menggunakan matriks ragam-peragam yang homogen dalam pembangkitannya. Berbeda dengan data simulasi data riil dalam penelitian ini terdiri dari empat peubah penjelas dan tiga kelompok dengan menggunakan analisis diskriminan kuadratik karena matriks ragam-peragamnya yang tidak homogen.

Tujuan

Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk membandingkan kekekaran metode MLE dengan metode MCD dalam analisis diskriminan pada data yang mengandung pencilan.

TINJAUAN PUSTAKA Analisis Diskriminan

Analisis Diskriminan adalah teknik statistika yang digunakan untuk mengklasifikasikan individu atau objek ke dalam suatu kelompok berdasarkan kumpulan peubah-peubah penjelas. Kelompok–kelompok yang terbentuk bersifat saling lepas artinya setiap amatan hanya dapat dimasukkan ke dalam salah satu kelompok saja (Huberty 1934). Ada dua asumsi utama yang perlu diperhatikan pada analisis diskriminan, yaitu:

1. Sejumlah p peubah penjelas diasumsikan

menyebar normal ganda.

2. Matriks ragam-peragam berukuran pxp dari

peubah-peubah bebas dalam setiap kelompok sama (homogen), apabila tidak homogen maka yang dibentuk adalah fungsi diskriminan kuadratik.

Skor diskriminan linear dibentuk berdasarkan matriks koragam antar kelompok yang homogen. Skor diskriminan linier didefinisikan dengan,

(x) =

Dimana :

= skor diskriminan linier.

= vektor rata-rata kelompok ke-k.

Σk = matriks ragam-peragam kelompok ke-k.

x = matriks amatan pada data.

Observasi x akan termasuk ke dalam

(10)

( )

max

{

( )

; 1, . . . , g

}

k k

d x = d x k=

Apabila matriks ragam-peragam antar kelompok tidak homogen, skor yang dibentuk adalah skor diskriminan kuadratik (Johnson dan

Winchern 1998). Sebuah observasi x_akan

termasuk dalam kelompok k jika skor diskriminan kuadratik,

( )

max

{

( )

; 1, . . . , g ,

}

Q Q

k k

d x = d x k=

dengan,

(x) = ln | | (x- )t (x- ) + ln pk

matriks ragam-peragam dalam kelompok k.

vektor rataan dalam kelompok ke-k.

pk = Prior probability kelompok ke-k

Penduga tak bias untuk dan adalah k

dan Sk. Skor diskriminan kuadratik berdasarkan

data sampel dihitung dengan formula :

(x) = ln | | (x- )t (x- )

+ ln ( k )

akan tetapi, kedua penduga kdan Sk sangat

dipengaruhi oleh keberadaan amatan pencilan. Akibatnya penduga yang dihasilkan menjadi tidak

kekar sehingga dan harus diduga dengan

penduga kekar. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi pencilan dalam data

yaitu metode penduga MCD (Minimum

Covariance Determinant) yang dikembangkan

oleh Rousseeuw dan Driessen (1999).

Uji Kenormalan Ganda

Uji kenormalan ganda menggunakan nilai

jarak Mahalanobis ( 2)

d dan nilai Khi-kuadrat.

Nilai jarak Mahalanobis di dapat dengan rumus 2

d =(xi - ′ Σ-1 (xi - ) sedangkan nilai

kuadrat didapat dengan melihat nilai tabel Khi-kuadarat yang sudah tersedia. Apabila terdapat lebih dari 50% nilai < χ2p, (1-α) dari seluruh jumlah amatan, maka data menyebar normal ganda (Johnson dan Winchern 1998).

Uji Kesamaan Vektor Rata-Rata

Pengujian terhadap vektor nilai rata-rata antar kelompok dilakukan dengan hipotesis :

H0 : μ1 = μ2=...= μk.

H1 : minimal ada dua kelompok yang berbeda

dimana μi≠μjuntuk i≠j dengan i dan j= 1,

2,...p

Statistik uji yang digunakan adalah statistik V- Bartlett yang mengikuti sebaran Khi-kuadrat dengan derajat bebas p(k-1). Statistik V-bartlett didapat melalui :

V = - [(n-1) – (p+k)/2] ln (Λ) Dimana :

n = total banyaknya pengamatan . p = total banyaknya peubah penjelas. k = total banyaknya kelompok.

Λ = |W|

|B W| = Wilk’s Lambda

Dalam hal ini :

W = matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok.

B = matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data antar kelompok.

Apabila V > χ2 p(k-1), (1-α) maka H0 ditolak, hal

ini menunjukkan bahwa terdapat perbedaan vektor nilai rata-rata antar kelompok sehingga layak disusun untuk mengkaji hubungan antar kelompok dan berguna untuk mengkelompokkan suatu objek baru ke dalam salah satu kelompok tersebut (Todorov dan Filzmoser 2007).

Uji Kehomogenan Ragam (Box-M)

Beberapa analisis statistika peubah ganda seperti analisis diskriminan linier membutuhkan asumsi matriks ragam-peragam yang homogen. Untuk menguji asumsi ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipotesis dan statistik uji Box-M adalah,

H0 : Σ1 = Σ2 = ... = Σk

H1 : minimal ada dua kelompok yang berbeda

dimana Σi = Σj untuk i≠j dengan i dan j=1,

2...p Statistik uji :

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − − =

∑

= = k i k ii i pool i i

hitung c v v

1 1 1 2 ln 2 1 ln 2 1 ) 1 (

2 S S

χ dan

∑

= = = _k i i k i i i pool v v 1 1 S S ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =

∑

= = ) 1 )( 1 ( 6 1 3 2 1 1 2 1 1 1 k p p p v v c k i k i i i 1 − = _i i n v Dimana :

ni = banyaknya pengamatan kelompok ke-i.

p = total banyaknya peubah penjelas.

Si = matriks ragam-peragam kelompok ke-i.

(11)

Jika,

≤ (k-1) p(p+1), (1-α)

maka terima hipotesis nol yang berarti matriks ragam-peragam bersifat homogen (Huberty 1934).

Pencilan Peubah Ganda

Data pencilan adalah suatu pengamatan yang menyimpang cukup jauh dari pengamatan lainnya sehingga menimbulkan kecurigaan bahwa pengamatan tersebut berasal dari distribusi data yang berbeda (Hawkins dalam Suryani 2009). Identifikasi data pencilan pada data multivariat umumnya menggunakan jarak kuadrat Mahalanobis. Pengamatan ke-i didefinisikan sebagai data pencilan peubah ganda jika jarak Mahalanobisnya lebih besar dari nilai Khi-kuadratnya pada p buah peubah (Jhonson 1998).

d2MD =(xi - ′Σ-1 (xi - ) > χ2 p,(1-α) dan Σ menyatakan vektor rataan dan matriks ragam-peragam. Penggunaan jarak Mahalanobis untuk mengidentifikasi pencilan peubah ganda tidak maksimal jika data mengandung lebih dari satu pengamatan pencilan. Hal ini muncul akibat

adanya pengaruh Masking dan Swamping

(Rousseuw 1990). Masking terjadi pada saat

pengamatan pencilan tidak terdeteksi sebagai pencilan karena adanya pengamatan pencilan lain

yang berdekatan sedangkan Swamping terjadi saat

pengamatan bukan pencilan teridentifikasi sebagai pengamatan pencilan.

Masking maupun Swamping dapat diatasi

dengan menggunakan penduga kekar. MCD adalah salah satu penduga kekar untuk menduga vektor rataan dan matriks ragam-peragam yang digunakan untuk menduga jarak Mahalanobis sehingga disebut jarak kuadrat Mahalanobis kekar. Pengamatan ke-i diidentifikasikan sebagai pencilan peubah ganda jika jarak Mahalanobis kekarnya lebih besar dari nilai Khi-kuadratnya pada p buah peubah.

d2MD = (xi - ′S-1mcd (xi - ) > χ2 p,(1-α)

mcd dan Smcd menyatakan vektor rataan dan

matriks ragam-peragam yang di duga dengan metode MCD.

Penduga Kemungkinan Maksimum

Vektor rataan dan matriks ragam-peragam biasanya diduga dengan penduga kemungkinan

maksimum atau Maximum Likelihood Estimation

(MLE) (Johnson 1998). Metode ini biasa disebut dengan Wilk’s lambda, pada dasarnya prinsip metode ini adalah memaksimumkan fungsi peluang bersama dari data contoh yang kita miliki.

Jika terdapat contoh acak berukuran n yang terdiri atas p buah peubah x1, x2,…,xp, maka matriks X

yang berukuran nxp dapat didefinisikan sebagai berikut,

Pendugaan vektor rataan dan matriks ragam-peragam bagi contoh acak tersebut dengan menggunakan metode pendugaan MLE adalah sebagai berikut :

= ∑ = n-1 1

Σ

∑ ′

X adalah matriks berukuran nxp dan 1 adalah

vektor berukuran nx1 yang elemen elemennya adalah 1.

Penduga Kekar MCD

Penduga kekar MCD dalam analisis

diskriminan kuadratik menghasilkan proporsi salah pengelompokan yang lebih kecil bila

dibandingkan dengan penduga kekar lainnya

seperti S dan MWCD (Minimum Weighted

Covariance Determinant) (Suryana 2008).

Penduga MCD dihasilkan dari algoritma FAST-MCD (Rousseeuw dan Driessen 1999).

MCD merupakan pasangan t(x) dan C(X) dari

suatu sub sampel berukuran h pengamatan yang

memiliki determinan matriks ragam-peragam terkecil. Batas selang sub-sampel h yaitu h0 ≤

h ≤ n

dengan h0 = ((n+p+1)/2)(Rousseeuw dan Driessen 1999),

( )

(

)

{

}

min det _m , 1, . . . , n

MCD C m

h ⎛ ⎞ ≈ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ X , dengan ( ) 1 1 h i i t h = =

∑

x x ( )

(

( )

)

(

( )

)

1 1 1 h _t i i i

C t t

h =

= − −

−

∑

X x x x x

Penduga MCD dengan algoritma FAST-MCD dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Ambil sejumlah h0 pengamatan yang berbeda.

Sehingga dari n pengamatan akan dihasilkan himpunan baru dengan h0 ≤ h ≤ n. Nilai h0

yang optimal memenuhi (n + p + 1)/2.

b. Definisikan himpunan pertama sebagai H1.

(12)

dan matriks ragam-peragam ( 1 , S1), selanjutnya hitung det(S1).

c. Definisikan himpunan kedua H2. Berdasarkan

himpunan H1 hitung vektor rataan dan matriks

ragam-peragam ( 2 , S2), selanjutnya hitung

det(S2).

d. Bandingkan det(S2) dengan det(S1). Bila

det(S2) ≠ det(S1) ulangi langkah pada poin c

untuk himpunan berikutnya sampai dipenuhi kondisi det(Sm+1) = det(Sm).

e. Tetapkan anggota himpunan Hm sebagai

himpunan dengan determinan matriks ragam-peragam terkecil.

f. Berdasarkan Hm data selanjutnya diberi bobot

(

)

(

)

,0.975

1 jika 0 jika lainnya

i m m i m p

i w χ − ⎧ ₋ ₋ _≤ ⎪ = ⎨ ⎪⎩

x x S x x

(3)

g. Berdasarkan bobot pada (3), maka penduga

MCD untuk kelompok ke k dihitung sebagai:

(

)(

)

1 1 1 1 1 n i i i MCD n i i n t

i i MCD i MCD

i MCD n i i w w w w = = = = = − − = −

∑

x x

x x x x

(4)

Skor diskriminan kuadratik dengan menggunakan penduga kekar MCD diperoleh dengan menggantikan penduga vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam dengan (4). Skor diskriminan kuadratik menjadi:

( )

1 1

(

)

(

) ( )

_ˆ

ln ln

2 2

t QMCD

k MCDk MCDk MCDk MCDk k

d x=− S − x x− S− x x− + p

Observasi x akan termasuk dalam kelompok k jika skor diskriminan kuadratik

( )

max

{

( )

; 1, . . . ,

}

QMCD QMCD

k k

d x = d x k= g

Penduga Tingkat Kesalahan Klasifikasi

Keputusan pengklasifikasian berdasarkan kriteria tertentu tidak selalu memiliki ketepatan yang sempurna. Tingkat kesalahan klasifikasi dapat dilihat menggunakan tabel kesalahan klasifikasi berikut :

Tabel 1 Tabel Kesalahan Klasifikasi.

Taksiran (Predicted class) Kel 1 Kel 2 Kel 3 Hasil

Observasi

Kel 1 n11 n12 n13

Kel 2 n21 n22 n23

(Actual class) _{Kel 3} _n

31 n32 n33

Apparent Error Rate (APER) didefinisikan

sebagai nilai dari besar kecilnya jumlah observasi yang salah diklasifikasikan oleh fungsi klasifikasi (Johnson & Wichern 1998). Semakin kecil nilai APER maka mengindikasikan nilai salah klasifikasi semakin sedikit, APER dapat dihitung dengan menggunakan tabel klasifikasi yaitu :

APER = ∑

N dengan (i≠j).

Keterangan :

N = Total seluruh amatan.

METODOLOGI Data

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data simulasi dan data riil. Data simulasi di dapat melalui pembangkitkan data dengan menggunakan perangkat lunak statistika. Penggunaan data simulasi ini bertujuan untuk mengevaluasi kekekaran penduga MCD dan MLE terhadap data pencilan, sedangkan data riil digunakan untuk penerapan dalam membandingkan pengaruh penduga MCD dan MLE terhadap data yang mengandung pencilan.

Data simulasi ini terdiri dari 3 peubah penjelas dengan dua kelompok yang masing masing kelompoknya diberikan proporsi pencilan sebanyak 0%, 5%, 10%, 15% dan 20% dari jumlah data masing-masing kelompok. Matriks ragam-peragam antara kelompok tidak homogen dan antar peubah penjelas tidak saling berkorelasi.

Data riil pada penelitian ini bersumber dari Perum Bulog tahun 2010 tentang pengklasifikasian 26 wilayah di Indonesia terhadap besarnya operasional di wilayahnya. Selama ini Bulog telah membagi Divisi Regional (Divre) menjadi tiga kelompok yaitu Divre dengan tipe A, tipe B dan tipe C. Pembentukkan ketiga kelompok divre ini tidak hanya berdasarkan ketersediaan stok beras yang melebihi, mencukupi atau kurang pada setiap wilayah tetapi juga memperhatikan besarnya operasional seperti

wilayah kerja (coverage area), penyaluran dan

daerah khusus. Semakin besar beban operasional suatu Divre maka akan semakin bagus dan dikatagorikan sebagai Divre bertipe A.

Bulog perlu menggunakan teknik statistika untuk mengevaluasi kelompok Divre. Salah satu teknik statistika yang dapat digunakan adalah analisis diskriminan. Dengan menggunakan analisis diskriminan ini diharapkan 26 wilayah yang ada di Indonesia dapat dikelompokkan secara tepat sehingga dengan informasi yang tersedia Perum Bulog dapat membuat suatu keputusan dengan baik.

(13)

Data ini terdiri dari 26 amatan dengan empat peubah bebas dan tiga kelompok. Wilayah yang termasuk ke dalam 26 amatan ini dapat dilihat pada Lampiran 6, sedangkan macam-macam kelompok dan peubah bebas dapat dilihat pada Tabel 2 dan Tabel 3.

Tabel 2 Tabel Keterangan Skor Diskriminan. Peubah Keterangan

Y1 Divisi Regional A.

Y2 Divisi Regional B.

Y3 Divisi Regional C.

Tabel 3 Tabel Keterangan Peubah Bebas. Peubah Keterangan

X1 Produksi beras (ton/tahun).

X2 Pengadaan (ton/tahun).

X3 Raskin (ton/tahun).

X4 Jumlah Penduduk (jiwa).

Metode Penelitian

Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

A. Metode Simulasi

1. Menetapkan parameter μ1, μ2, 1, 2 dan Σ

μ1=(1,2,3), μ2=(6,7,8), 1=(21,22,23),

2=(23,21,22) dan Σ=diag(3,3,3) dengan

nilai ragam=3 dan peragam=0.

2. Membangkitkan X(1)~MN(μ1,Σ) dan

X(2)~MN(μ2,Σ) untuk kelompok-1 dan

kelompok-2 berukuran nxp dengan n=95

dan p=3 dengan kondisi antar peubahnya tidak saling berkorelasi, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Lampiran 1.

3. Membangkitkan data pencilan multivariat

5% untuk kelompok-1 dan kelompok-2 X(pencilan(1))~MN( 1,Σ) dan X(pencilan(2))

~MN( 2,Σ) berukuran n*xp dengan n*=5

dan p=3 dengan kondisi antar peubah bebasnya tidak saling berkorelasi, untuk yang lain dapat dilihat pada Lampiran 1.

4. Menggabungkan matriks data kelompok-1

beserta pencilannya dan matriks data kelompok-2 beserta pencilannya kedalam satu gugus data lalu uji kenormalan ganda dengan menggunakan plot kuantil khi-kuadrat.

5. Melakukan pengelompokan menggunakan

analisis diskriminan dengan penduga kekar MCD dan MLE.

6. Melakukan perhitungan tingkat kesalahan

klasifikasi.

7. Mengulangi langkah di atas sebanyak 100

kali ulangan.

8. Ulangi langkah satu sampai tujuh dengan

ukuran contoh dan proporsi pencilan sesuai dengan Lampiran 1.

B. Penerapan Pada Data Riil

1. Melakukan eksplorasi data.

2. Melakukan uji kesamaan vektor rataan

antar kelompok : H0: μ1 = μ2 = μ3

H1: sedikitnya ada dua kelompok dimana

μi≠μj untuk i≠j dengan i dan j= 1,2,…p

diharapkan dari uji ini adalah H0 ditolak,

sehingga kita mempunyai informasi awal bahwa peubah yang sedang diteliti memang membedakan antar kelompok.

3. Melakukan uji kehomogenan matriks

ragam-peragam dengan uji Box’s M.

4. Melakukan pengelompokan menggunakan

analisis diskriminan dengan penduga kekar MCD dan MLE.

5. Melakukan perhitungan tingkat kesalahan

klasifikasi.

HASIL DAN PEMBAHASAN Karakteristik Data Simulasi

Pembangkitan data yang dilakukan dalam penelitian ini adalah pembangkitan data dengan dua kelompok yang mengikuti sebaran normal ganda dengan cara pembangkitan data yang telah dijelaskan dalam metode penelitian. Data simulasi yang digunakan adalah data yang mewakili ketiga ukuran data yaitu kecil, sedang dan besar. D a t a d e n g a n u k u r a n k e c i l d i w a k i l i o l e h n = 2 0 , d a t a u k u r a n s e d a n g o l e h n = 4 0 d a n d a t a u k u r a n b e s a r o l e h n = 2 0 0 . Data

dibangkitkan secara acak mengikuti sebaran

normal ganda yang kemudian dikontaminasi dengan proporsi pencilan sebesar 0%, 5%, 10%, 15% dan 20% dari jumlah amatan masing masing kelompok. Pembangkitan data ini dilakukan sebanyak 100 kali ulangan dengan seluruh kombinasi ukuran data beserta proporsi pencilannya.

Vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam disesuaikan dengan asumsi yang digunakan pada analisis diskriminan linier. Asumsi pertama adalah peubah penjelas mampu membedakan kedua kelompok dengan baik, oleh sebab itu diberikanlah vektor rata-rata kelompok-1 sebesar

μ1=(1,2,3) dan vektor rata-rata kelompok-2

sebesar μ2=(6,7,8) agar dapat membedakan kedua

kelompok. Asumsi lain yang dibutuhkan pada analisis diskriminan linier adalah kehomogenan ragam. Agar asumsi tersebut terpenuhi maka matriks ragam-peragam yang digunakan untuk semua kelompok dan pencilan bernilai sama yaitu sebesar Σ=diag(3,3,3).

(14)

Σ=diag(3,3,3) =

Ruang lingkup masalah yang dibahas pada penelitian ini hanya menggunakan peubah penjelas dan kelompok yang berjumlah sedikit yaitu dengan tiga peubah penjelas dan dua kelompok. Ragam yang diberikan pada proses simulasi hanya mewakili satu ukuran ragam yaitu dengan ragam=3.

Pencilan Peubah Ganda

Pemberian proporsi pencilan pada data dilakukan ketika data bangkitan kelompok-1 dan kelompok-2 telah terbentuk dan memenuhi semua asumsi yang dibutuhkan. Data simulasi yang telah digabungkan antara data kelompok-1 dan kelompok-2 beserta pencilannya untuk masing-masing kelompok disebut dengan data awal. Pendeteksian pencilan pada data awal berguna untuk memberi informasi bahwa jika terdapat pencilan dalam data maka solusi yang dapat diberikan untuk melakukan pengelompokkan adalah dengan menggunakan penduga MCD. Hal ini dikarenakan penduga MCD memiliki vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam yang kekar terhadap pencilan.

Pembangkitan pencilan dilakukan dengan memberikan nilai vektor rata-rata yang sangat jauh dari nilai vektor rata-rata kedua kelompok, proporsi pencilan yang diberikan terdiri dari 0%-20% dari jumlah amatan setiap kelompok. Pencilan ini dapat diidentifikasikan dengan menggunakan jarak Mahalanobis.

Jarak Mahalanobis pada data awal berbeda dengan jarak Mahalanobis pada penduga MCD dan MLE. Jarak Mahalanobis pada data awal menggunakan vektor rata-rata yang berasal dari gabungan kedua kelompok, sedangkan jarak Mahalanobis penduga MCD dan MLE menggunakan vektor rata-rata yang sudah dipisahkan kedalam dua kelompok. Kekurangan dari jarak Mahalanobis penduga MLE ini adalah tidak mampu mengidentifikasikan pencilan yang terdapat pada masing-masing kelompok sehingga vektor rata-rata yang dihasilkan masih terkontaminasi oleh pencilan. Berbeda dengan penduga MLE, jarak Mahalanobis pada penduga MCD mempunyai vektor rata-rata yang kekar terhadap pencilan sehingga vektor rata-rata yang dihasilkan untuk setiap kelompok sudah terbebas dari pengaruh pencilan.

Amatan yang diduga sebagai pencilan oleh masing-masing nilai jarak Mahalanobis pada penduga MLE dan MCD di beri bobot=0 sedangkan amatan yang tidak diduga sebagai pencilan diberi bobot=1. Hasil yang lebih lengkap

mengenai pencilan ini dapat dilihat pada Lampiran 2.

Vektor Rata-Rata Penduga MCD dan MLE

Hasil dari pengelompokkan dengan menggunakan penduga MCD dan MLE menghasilkan nilai vektor rata-rata masing-masing penduga. Gambar 1 dan 2 menampilkan hasil dari selisih vektor rata-rata penduga MCD dan MLE dengan vektor rata-rata awalnya.

Gambar 1 Grafik Selisih Rata-rata Vektor Rataan MCD dengan Vektor Rata-Rata Awal. Pembangkitan data pada penelitian ini membangkitkan vektor rata-rata kelompok-1 sebesar μ1=(1,2,3) dan vektor rata-rata

kelompok-2 sebesar μ2=(6,7,8) dengan vektor rata-rata

pencilan sebesar 1=(21,22,23) dan

2=(23,21,22). Gambar 1 merupakan hasil dari

selisih rata-rata vektor rataan penduga MCD dengan vektor rata-rata awal untuk semua ukuran contoh dari berbagai proporsi pencilan. Hasil tersebut menunjukkan bahwa pada proporsi pencilan pada rentang 0% sampai 20% memiliki selisih hampir mendekati nilai nol, hal ini mengindikasikan bahwa vektor rata-rata penduga MCD memiliki nilai yang hampir sama dengan nilai vektor rata-rata awal. Lampiran 3, 4 dan 5 memberikan hasil yang lebih lengkap mengenai vektor rata rata masing-masing penduga. Jika membandingkan vektor rata-rata penduga MCD dari semua ukuran contoh hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda, namun dapat dilihat bahwa semakin besar ukuran contoh maka vektor rata-ratanya semakin dekat dengan vektor rata-rata awal meskipun hanya terdapat perbedaan yang sedikit dari ukuran contoh yang lainnya. Hal tersebut terjadi karena semakin besar ukuran contoh yang diberikan maka model yang dihasilkan akan semakin tepat dan mendekati pendugaan parameternya (Purwadi).

Kelompok

(15)

Vektor rata-rata penduga MCD memiliki nilai yang hampir sama dengan vektor rata-rata awal dari masing-masing kelompok karena penduga MCD memiliki sifat kekar terhadap pencilan sehingga mampu mengidentifikasikan pencilan yang terdapat pada masing-masing kelompok. Amatan yang diidentifikasikan sebagai pencilan diberi bobot=0 sedangkan yang tidak teridentifikasikan sebagai pencilan diberi bobot=1. Setelah seluruh amatan sudah terboboti, maka kita dapat membedakan amatan yang merupakan pencilan atau bukan pencilan.

Vektor rata-rata penduga MCD untuk kelompok-1 dan kelompok-2 dihasilkan dari nilai rata-rata amatan yang memiliki bobot=1 yang terdapat pada masing-masing kelompok sedangkan vektor rata-rata penduga MLE untuk kelompok-1 dan kelompok-2 dihasilkan dari nilai rata-rata seluruh amatan pada masing-masing kelompok tanpa memisahkan amatan yang mengandung pencilan.

Gambar 2 Grafik Selisih Rata-rata Vektor Rataan MLE dengan Vektor Rata-Rata Awal. Gambar 2 menampilkan hasil dari selisih rata-rata vektor rata-rataan penduga MLE dengan vektor rata-rata awalnya. Vektor rata-rata penduga MLE menghasilkan nilai yang sama baiknya dengan penduga MCD pada data yang tidak terkontaminasi oleh pencilan (0%). Hal tersebut dapat dilihat pada selisih vektor rataan penduga MLE pada proporsi pencilan 0% yang mendekati nilai nol. Seiring bertambahnya proporsi pencilan, maka vektor rata-rata yang dihasilkan semakin jauh dari vektor rata-rata awal. Hal ini terlihat dari grafik proporsi pencilan 5%-20% yang makin menjauhi nilai nol.

Nilai vektor rata-rata penduga MLE untuk semua ukuran contoh memiliki karakteristik yang sama seperti yang terlihat pada Lampiran 2. Banyaknya ukuran contoh tidak mempengaruhi nilai vektor rata-ratanya tetapi semakin banyak

proporsi pencilan yang diberikan maka nilai vektor rata-rata penduga MLE semakin jauh dari nilai vektor rata-rata awal untuk masing-masing kelompok.

Penduga MLE tidak mampu mengidenifikasikan pencilan dengan baik. Hal tersebut dapat dilihat pada Lampiran 2 dimana pada amatan 11, 18, 32, 39 dan 40 penduga MLE tidak mampu mengidentifikasikannya sebagai suatu pencilan. Ketidakmampuan pendeteksian pencilan tersebut diakibatkan oleh jarak Mahalanobis pada penduga MLE yang dibangun berdasarkan nilai vektor rata-rata yang masih terdapat pencilan didalamnya.

Matriks Ragam-PeragamPenduga MCD dan MLE

Asumsi kehomogenan ragam adalah salah satu asumsi yang harus terpenuhi pada analisis diskriminan linier, karena itu penelitian ini menggunakan matriks ragam-peragam yang sama untuk semua kelompok dan pencilan. Tabel 4 menunjukkan bahwa nilai matriks ragam-peragam yang dihasilkan penduga MCD untuk berbagai proporsi pencilan mendekati dengan nilai ragam peragam yang diberikan pada awal proses simulasi. Hasil matriks ragam-peragam untuk semua ukuran dapat dilihat pada Lampiran 3, 4 dan 5.

Tabel 4 Nilai Rata-rata Matriks Ragam-Peragam Penduga MCD dari Semua Ukuran Data.

Pencilan Matriks Ragam-Peragam MCD

0% . . .

. . .

10% ._. _.. ._.

. . .

15%

. . .

20%

. . .

Nilai matriks ragam-peragam penduga MCD untuk semua ukuran contoh memiliki karakteristik yang sama dimana besarnya ukuran contoh pada data tidak mempengaruhi nilai matriks ragam-‐1

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

pencilan 0% pencilan 5% pencilan 10% pencilan 15% pencilan 20%

(16)

peragam yang dihasilkan. Masing masing ukuran memiliki matriks ragam-peragam yang hampir mendekati matriks ragam-peragam awal seperti yang terlihat pada Lampiran 3, 4 dan 5

Sama halnya dengan mencari nilai vektor rata-rata penduga MCD, matriks ragam-peragam ini didapat melalui perhitungan dari amatan yang hanya diidentifikasikan bukan sebagai pencilan dengan bobot (Bbt)=1. Nilai vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam diperoleh melalui proses algoritma FAST-MCD sehingga mendapatkan himpunan dengan determinan matriks ragam-peragam terkecil.

Vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam pada masing-masing penduga digunakan untuk menghitung nilai jarak Mahalanobis. Jarak Mahalanobis ini berfungsi untuk mengidentifikasikan amatan yang termasuk ke dalam pencilan atau bukan pencilan. Pada penduga MCD jarak Mahalanobis dibangun berdasarkan vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam yang kekar terhadap pencilan sehingga disebut juga dengan jarak Mahalanobis kekar. Sifat inilah yang membuat penduga MCD mampu mengidentifikasi suatu pencilan.

Tabel 5 Nilai Rata-rata Matriks Ragam-Peragam Penduga MLE Dari Semua Ukuran Data.

Pencilan Matriks Ragam-Peragam MLE

0% . . . . . . . . . 5% . . . . . . . . .

10% _.. ._. _..

. . . 15% . . . . . . . . . 20% . . . . . . . . .

Tabel 5 memberikan informasi bahwa penduga MLE memiliki kelemahan dalam mengidentifikasikan pencilan yang akan berpengaruh terhadap hasil matriks ragam-peragam yang nilainya jauh berbeda dengan nilai yang diberikan pada proses awal simulasi. Seperti yang terlihat dalam matriks ragam-peragam pada

proporsi pencilan 5%, 10%, 15% dan 20%. Semuanya memiliki nilai matriks ragam-peragam yang jauh dari nilai matriks ragam-peragam yang diberikan pada awal proses simulasi. Matriks ragam-peragam yang dihasilkan penduga MLE tidak seperti penduga MCD karena dalam proses perhitungannya masih terdapat amatan yang mengandung pencilan. Besarnya ukuran pada data juga tidak mempengaruhi nilai matriks ragam-peragam yang dihasilkan oleh penduga MLE, tetapi semakin besar proporsi pencilan yang diberikan maka nilai ragam dan peragamnya juga akan semakin besar.

Skor Diskriminan Penduga MCD dan MLE

Amatan yang teridentifikasikan sebagai pencilan oleh penduga MCD merupakan amatan yang di duga terdapat pada kelompok yang tidak tepat. Misalkan pada amatan ke-32, 39 dan 40 Tabel 6, kelompok-1 memiliki vektor rata-rata yang lebih kecil dari kelompok-2. Jika salah satu amatan pada data yang terdapat pada kelompok-2 memiliki nilai peubah penjelas yang jauh lebih besar dari nilai vektor rata-rata kelompok-2 maka jarak Mahalanobis kekar akan mengidentifikasikan amatan tersebut sebagai pencilan tetapi skor diskriminannya tetap mengelompokkan amatan tersebut ke dalam kelompok-2. Pada contoh yang lain pada amatan ke-19 Tabel 6, jika suatu amatan yang terdapat pada kelompok-1 memiliki nilai peubah penjelas yang jauh lebih besar dari nilai vektor rata-rata kelompok-2 maka jarak Mahalanobis kekar akan mengidentifikasikan amatan tersebut sebagai pencilan dan skor diskriminan akan mengelompokkan kembali amatan tersebut menjadi kelompok-2.

Tabel 6 Contoh Pengelompokkan Kembali

Amatan Pencilan dengan Skor Diskriminan MCD.

Data Bangkitan

JMK Bbt KA MCD

No x1 x2 x3

11 0.1 2.8 -0.1 13.6 0 1 1 18 1.3 2.4 -0.2 12.5 0 1 1

19 21.3 24.6 21.6 915.8 0 1 2

20 18.9 21 24.1 865.5 0 1 2

32 3.8 10.3 12.2 20.6 0 2 2

39 22.3 23 21.1 482.4 0 2 2

40 20.7 19.7 22.4 425.6 0 2 2

Keterangan:

JMK = Jarak Mahalanobis Kekar. Bbt = Bobot.

KA = Kelompok Awal.

Amatan yang digaris bawahi adalah amatan yang salah klasifikasi.

(17)

Tabel 6 dan 7 adalah tabel yang memberikan informasi tentang pengelompokkan kembali amatan yang mengandung pencilan ke kelompok yang sebenarnya dengan menggunakan skor diskriminan penduga MCD. Tabel ini merupakan contoh kasus pada ukuran contoh data dengan nilai n=40 (kelompok-1=20 dan kelompok-2=20). Dalam proses pembangkitan data, tidak semua data yang dihasilkan sesuai dengan nilai vektor rata-rata awal yang diberikan. Ada amatan yang memiliki nilai peubah penjelas yang berbeda dari vektor rata-rata awal yang diberikan pada masing-masing kelompok. Amatan 11, 18 dan 32 adalah contoh amatan pencilan yang bukan berasal dari pemberian pencilan yang dilakukan oleh peneliti. Amatan tersebut diidentifikasikan sebagai pencilan karena memiliki nilai peubah penjelas yang jauh berbeda dari vektor rata-rata awal masing-masing kelompoknya.

Pencilan amatan 11, 18 dan 32 ini kemudian dikelompokkan kembali dengan menggunakan skor diskriminan penduga MCD. Hasil pengelompokkan tersebut ternyata sama dengan kelompok awal (KA), hal tersebut dapat dilihat secara eksplorasi bahwa amatan 11 dan 18 memang memiliki vektor rata-rata yang kecil sehingga dikelompokkan ke dalam kelompok-1, hal ini terjadi karena kelompok-1 memang disimulasikan memiliki vektor rata-rata yang lebih kecil dari kelompok-2, sedangkan amatan 32 yang memiliki vektor rata-rata lebih besar dikelompokkan ke kelompok-2.

Amatan 19, 20, 39 dan 40 adalah amatan pencilan yang sengaja peneliti berikan di awal simulasi. Pada Lampiran 1 dapat dilihat bahwa penduga MLE mampu mendeteksi amatan 19 dan 20 sebagai pencilan tetapi tidak mampu mengidentifikasikan amatan 39 dan 40 sebagai pencilan. Berbeda dengan penduga MLE, pada Tabel 6 terlihat bahwa penduga MCD mampu mendeteksi semua pencilan yang diberikan oleh peneliti. Amatan pencilan tersebut kemudian dikelompokkan kembali dengan menggunakan skor diskriminan penduga MCD. Amatan 19 dan 20 berubah kelompok menjadi kelompok-2, hal tersebut dapat dibuktikan secara eksplorasi bahwa vektor rata-rata amatan 19 dan 20 memiliki vektor rata-rata yang besar sehingga diklasifikasikan ke dalam kelompok-2 yang memiliki nilai vektor rata-rata lebih besar dari kelompok-1. Amatan 39 dan 40 tidak mengalami perubahan kelompok karena memang secara eksplorasi amatan tersebut memiliki vektor rata-rata yang besar sehingga dikelompokkan ke kelompok-2.

Tabel 7 merupakan sebagian data amatan yang berasal dari Lampiran 2. Tabel ini memberikan informasi tentang pengidentifikasian pencilan dan kesalahan pengklasifikasian oleh penduga MLE.

Amatan yang dapat diidentifikasikan sebagai pencilan pada penduga MLE hanya amatan 19 dan 20 sedangkan pencilan yang terdapat pada data juga ada pada amatan 11, 18, 32, 39 dan 40. Kelemahan dari penduga MLE ini adalah vektor rata-rata dan matriks ragam-peragamnya yang tidak kekar terhadap pencilan. Bandingkan dengan Tabel 6 dimana penduga MCD mampu mengidentifikasikan pencilan dengan lebih optimal.

Tabel 7 Contoh Pengelompokkan Kembali

Amatan Pencilan dengan Skor Diskriminan MLE.

Data Bangkitan

JM Bbt KA MLE

No x1 x2 x3

19 21.3 24.6 21.6 915.8 0 1 2

20 18.9 21 24.1 865.5 0 1 2

27 8.01 7.03 7.65 1.505 1 2 1

30 7.32 7.94 5.67 3.19 1 2 1

38 7.48 4.86 8.94 2.726 1 2 1

Keterangan:

JM = Jarak Mahalanobis Bbt = Bobot

KA = Kelompok Awal

Kekurangan lain dari penduga MLE ini adalah adanya kesalahan pengklasifikasian. Amatan 27, 30 dan 38 yang seharusnya masuk ke kelompok-2 tetapi di klasifikasikan oleh penduga MLE ke kelompok-1. Secara eksplorasi kita sudah dapat mengetahui bahwa vektor rata-rata ketiga amatan tersebut mendekati kategori nilai vektor rata-rata kelompok 2. Hal tersebut juga dapat diuji dengan menggunaan rumus skor diskriminan pada penduga MCD. Ukuran contoh yang diberikan pada Tabel 6 dan 7 berlaku secara umum untuk ukuran yang berbeda tetapi semakin banyak ukuran contoh yang dibangkitkan maka peluang terjadinya kesalahn klasifikasi oleh penduga MCD juga semakin besar.

Hasil Salah Klasifikasi Penduga MCD dan MLE

Tahapan terakhir dari penelitian ini adalah dengan mencari nilai salah klasifikasi pada kedua penduga. Dibawah ini disajikan tabel salah klasifikasi untuk ketiga ukuran dengan berbagai proporsi pencilan yang diberikan.

Tabel 8 Nilai Rata-rata Salah Klasifikasi n=20.

pencilan nilai salah klasifikasi

MLE MCD 0% 0.05% 0% 10% 20.83% 0% 20% 30.35% 0%

(18)

Tabel 9 Nilai Rata-rata Salah Klasifikasi n=40.

pencilan nilai salah klasifikasi

MLE MCD 0% 0.33% 0% 5% 10.25% 0% 10% 20.08% 0% 15% 29% 0% 20% 33.08 0% Tabel 10 Nilai Rata-rata Salah Klasifikasi n=200.

pencilan nilai salah klasifikasi

MLE MCD

0% 0.67% 0.05%

5% 6.75% 0.09%

10% 17.01% 0.12% 15% 29.75% 0.14% 20% 35.7% 0.23% Hasil dari ketiga tabel menunjukkan bahwa penduga MLE dan MCD pada data yang tidak mengandung pencilan menghasilkan nilai salah klasifikasi yang hampir sama baiknya dari kedua penduga. Seiring bertambahnya proporsi pencilan penduga MLE menghasilkan nilai salah klasifikasi yang semakin besar sedangkan penduga MCD menghasilkan nilai salah klasifikasi yang cenderung tetap.

Semakin besar ukuran contoh yang dibangkitkan maka kemungkinan terjadinya kesalahan klasifikasi oleh penduga MCD semakin dapat terjadi meskipun dalam persentase yang kecil. Tabel 11 akan memberikan penjelasan mengenai hal ini.

Tabel 11 Kesalahan Klasifikasi Penduga MCD.

Data Bangkitan

JMK Bbt KA MCD

No x1 x2 x3

… … …

33 2.09 6.15 5.12 8.87 1 1 2

… … …

150 3.3 3.58 5.99 8.21 1 2 1

… … …

Tabel 11 diambil dari ukuran contoh besar dengan n=200 (n1=100, n2=100). Dalam pembangkitan data simulasi, semakin besar contoh data yang dibangkitkan maka akan semakin banyak juga berbagai bentuk amatan yang dihasilkan. Ada amatan yang sesuai dengan nilai vektor rata-rata awal, ada yang menyimpang

jauh dan ada juga yang terletak diantara nilai vektor rata-rata kelompok-1 dan kelompok-2. Amatan 33 adalah contoh amatan kelompok 1 yang diklasifikasikan menjadi kelompok-2 oleh penduga MCD sedangkan amatan 150 adalah amatan kelompok-2 yang diklasifikasikan menjadi kelompok-1. Kedua amatan ini tidak diidentifikasikan sebagai pencilan oleh penduga MCD terlihat dari bobot (Bbt) yang dihasilkan berniali satu. Secara eksplorasi jika melihat masing-masing peubah penjelas kedua amatan tersebut maka nilainya terletak diantara nilai vektor rata-rata awal kedua kelompok. Amatan seperti ini adalah contoh amatan yang menyebabkan kesalahan klasifikasi oleh penduga MCD. Kemungkinan terjadinya amatan tersebut dalam simulasi hanya sedikit, yaitu ketika membangkitkan data dengan ukuran contoh yang besar. Hal tersebut dapat terlihat pada Tabel 10 yang merupakan proses simulasi dengan ukuran contoh yang besar dengan ulangan sebanyak 100 kali. Hasil dari Tabel 10 menunjukkan bahwa semakin besar proporsi pencilan yang diberikan maka kemungkinan terjadinya kesalahan klasifikasi oleh penduga MCD semakin besar meskipun dalam persentase yang relative kecil.

Fungsi utama dari penduga MCD adalah mengidentifikasikan pencilan pada data untuk kemudian amatan yang diidentifikasikan sebagai pencilan tersebut di kelompokkan kembali ke dalam kelompok yang sebenarnya dengan menggunakan skor diskrimananya. Skor diskriminan ini dibangun berdasarkan vektor rata-rata dan matriks ragam-peragam penduga MCD yang kekar terhadap pencilan. Hal inilah yang tidak terdapat pada penduga MLE sehingga penduga tersebut tidak optimal ketika digunakan pada data yang mengandung pencilan.

B. Penerapan Pada Data Riil

Eksplorasi data

Penelitian ini menggunakan data yang terdiri dari 26 amatan dengan empat peubah bebas. Data tersebut merupakan data tahun 2010 yang bersumber dari Perum Bulog. Penentuan kelompok awal didasari oleh keputusan direksi Perum Bulog tahun 2009 tentang organisasi dan tata kerja Divre Perum Bulog. Keputusan tersebut menghasilkan klasifikasi Divre berdasarkan beban kerja di wilayahnya dalam arti jumlah pengadaan dan penyaluran beras yang harus dilakukannya. Bulog telah membagi Divisi Regional (Divre) menjadi tiga kelompok yaitu Divre dengan tipe A, tipe B dan tipe C. Pembentukkan ketiga kelompok divre ini tidak hanya berdasarkan ketersediaan stok beras yang melebihi, mencukupi atau kurang pada setiap wilayah tetapi juga memperhatikan

(19)

besarnya operasional seperti wilayah kerja

(coverage area), penyaluran dan daerah khusus. Semakin besar beban operasional suatu Divre maka akan semakin bagus dan dikatagorikan sebagai Divre bertipe A.

Dalam penelitian ini peneliti menemukan adanya data pencilan yang terlihat pada Gambar 4. Pencilan yang terdapat pada data riil diduga dapat menyebabkan kesalahan klasifikasi, untuk itu peneliti melakukan analisis diskriminan dengan menggunakan penduga MCD dan MLE yang sudah diterapkan pada simulasi dengan data pencilan yang dibangkitkan.

Kelompok awal Divre dapat dilihat pada Lampiran 6. Gambar 3 menunjukan persentase tiap kelompok awal Divre. Persentase Divre A sebesar 19%, Divre B sebesar 39% dan Divre C sebesar 42%.

Gambar 3 Persentase Kelompok Awal Divre Pencilan yang terdapat pada data didapat dengan membuat plot antara jarak Mahalanobis dengan urutan amatan yang terdapat pada data. Gambar 4 menunjukkan bahwa pencilan yang terdapat pada data terdapat pada amatan ke 9, 10, 11, 13 dan 21 yaitu masing-masing wilayahnya adalah DKI Jakarta, Jabar, Jateng, Jatim dan Sulsel dengan persentase 19.23%. Penentuan pencilan berdasarkan nilai dari jarak Mahalanobis, amatan yang mempunyai nilai jarak Mahalanobis

yang besar dengan batasan 2

05 . 0 , 2 p i

d > χ , maka

amatan tersebut dideteksi sebagai suatu pencilan.

25 20 15 10 5 0 14 12 10 8 6 4 2 0

Amat an- ke

Ja ra k M a h a la n o b is

Gambar 4 Plot Jarak Mahalanobis dengan Amatan

Uji Kenormalan Ganda

Hasil uji kenormalan ganda dengan menggunakan plot kuantil Khi-kuadrat menunjukan bahwa data menyebar normal ganda. Pada Gambar 5 plot kuantil Khi-kuadrat cenderung membentuk garis lurus dan ada lebih

dari 50% (61.53%) nilai 2

05 . 0 , 2 p i

d ≤ χ , sehingga

data cenderung menyebar normal ganda (Johnson dan Winchern 1998).

20 15 10 5 0 12 10 8 6 4 2 0 dd q

Gambar 5 Plot Kuantil Khi-kuadrat.

Uji Kesamaan Vektor Rataan dan Uji Kehomogenan Matriks Ragam-peragam

Hasil uji kesamaan vektor rataan menunjukan

p-value tiap peubah kurang dari α (0.05) sehingga keempat peubah yang digunakan dianggap dapat membedakan ketiga kelompok Divre dengan baik. Hal tersebut dapat dilihat pada Lampiran 7. Uji box’s M pada Tabel 12 menunjukan bahwa matriks ragam-peragam untuk ketiga kelompok berbeda nyata dengan nilai signifikan karena

memiliki nilai kurang dari α (0.05). Hal ini

menunjukkan bahwa matriks ragam-peragam antara kelompok tidak homogen, karena sifat matriks ragam-peragamnya yang tidak homogen maka digunakan analisis diskriminan kuadaratik dalam proses pengolahannya.

Tabel 12 Hasil Uji Kehomogenan Matriks

Ragam-peragam. Hasil Uji

Box’s M 131.876

F Penduga. 4.411 db1 20 db2 631.270 Sig. 0.00 Pengidentifikasian Pencilan Penduga MCD dan MLE

Hasil pengidentifikasian pencilan dengan penduga MCD dapat dilihat dalam Tabel 13.

Divre C 42% Divre A

19% Divre B

(20)

Tabel 13 Hasil Pengidentifikasian Pencilan dengan Penduga MCD.

Amatan JMK Bbt KA MCD

Sumut 77.4185 0 2 1

Sumbar 131.668 0 3 2

Sumsel 26.5578 0 2 1

Kalbar 84.5003 0 3 2

Kinerja penduga MCD pada data simulasi yang telah dilakukan sebelumnya ternyata memberikan hasil yang sama ketika diterapkan pada data riil. Penduga MCD mampu mengidentifikasikan empat wilayah yang merupakan pencilan yaitu Sumut, Sumbar, Sumsel dan Kalbar. Jarak Mahalanobis kekar (JMK) menunjukkan bahwa pada ke empat wilayah tersebut menghasilkan nilai yang lebih besar dari nilai Khi-kuadratnya pada p buah peubah (Jhonson 1998).

Hasil yang berbeda ditunjukkan oleh penduga MLE. Hasil tersebut dapat dilihat pada Lampiran 9, dimana tidak ada pembobot yang menghasilkan bobot (Bbt) bernilai=0 karena jarak Mahalanobisnya (JM) lebih kecil dari nilai Khi-kuadratnya pada p buah peubah sehingga tidak adanya indikasi pencilan yang teridentifikasi.

Skor Diskriminan Penduga MCD dan MLE

Hasil dari pengelompokkan kembali penduga MCD dan penduga MLE dapat dilihat pada Tabel 14 dan 15.

Tabel 14 Pengelompokkan Kembali Amatan

Pencilan dengan Skor Diskriminan MCD.

Amatan JMK Bbt KA MCD

Sumut 77.4185 0 2 1

Sumbar 131.668 0 3 2

Sumsel 26.5578 0 2 1

Kalbar 84.5003 0 3 2

Sulut 2.245441 1 2 3

Amatan yang teridentifikasikan sebagai pencilan oleh penduga MCD merupakan amatan yang salah dalam pengelompokkannya. Skor diskriminan penduga MCD berfungsi untuk mengelompokkan kembali amatan yang diidentifikasikan sebagai pencilan tersebut Pengelompokkan kembali suatu amatan dilakukan dengan menghitung nilai masing-masing

kelompoknya. Amatan dikelompokkan ke kelompok yang memiliki nilai yang paling maksimum diantara ketiga kelompok tersebut.

Wilayah Sulut pada Tabel 14 bukan merupakan suatu pencilan yang teridentifikasi oleh penduga MCD, tetapi penduga ini merubah kelompok tersebut dari kelompok-2 (Divre B) menjadi kelompok-3 (Divre C). Hal inilah yang menjadi kesalahan pengklasifikasian oleh penduga MCD.

Tabel 15 Pengelompokkan Kembali Amatan

Pencilan dengan Skor Diskriminan MLE

Amatan JM Bbt KA MLE

Kalsel _{5.832614 1 2 3}

Sulut _{2.263824 1 2 3}

Penduga MLE tidak mampu mengidentifikasikan pencilan satu pun dalam perhitungannya. Hasil lengkap pengidentifikasian penduga MLE dapat dilihat pada Lampiran 9. Pembobot yang dihasilkan tidak ada yang bernilai=0 karena jarak Mahalanobisnya yang lebih kecil dari nilai Khi-kuadratnya pada p buah peubah. Wilayah Kalsel dan Sulut dikelompokkan masuk ke kelompok-3 (Divre C) oleh penduga MLE. Hal inilah yang menjadi kesalahan klasifikasi pada penduga MLE karena wilayah Kalsel dan Sulut termasuk ke dalam kelompok-2 (Divre B).

Kelompok Akhir Divre

Berdasarkan pengelompokkan dengan penduga MLE dan MCD maka didapatkan informasi bahwa pengelompokkan keputusan direksi Perum Bulog memiliki hasil yang hampir sama dengan penduga MLE daripada penduga MCD. Tetapi berdasarkan proses simulasi dibuktikan bahwa penduga MCD mampu mendeteksi pencilan pada data dengan baik.

Pada data riil penduga MCD mampu mendeteksi adanya 4 wilayah yang termasuk ke dalam pencilan yaitu Sumut, Sumbar, Sumsel dan Kalbar. Keempat wilayah ini kemudian dikelompokkan kembali dengan menggunakan skor diskriminanya. Hasil akhir pengelompokkan ini sepenuhnya berada dalam kebijakan direksi karena Perum Bulog yang mengetahui keadaan masing masing wilayah dengan sangat baik. Penelitian ini hanya memberikan gambaran bahwa pada data yang mengandung pencilan penduga MCD lebih baik digunakan daripada penduga MLE

(21)

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Pada data tanpa pencilan, penduga MCD

hampir sama baiknya dengan penduga MLE tetapi semakin besar proporsi pencilan yang diberikan maka kesalahan klasifikasi oleh penduga MLE akan semakin besar sedangkan penduga MCD cendrung tetap.

2. Berdasarkan proses simulasi, semakin besar

ukuran contoh yang digunakan dalam proses simulasi maka kemungkinan terjadinya kesalahan klasifikasi oleh penduga MCD akan semakin dapat terjadi meskipun dalam persentase yang kecil.

3. Vektor rata-rata dan matriks ragam peragam

yang dihasilkan oleh penduga MCD mampu mengidentifikasikan pencilan pada data dengan lebih baik daripada penduga MLE.

4. Skor diskriminan yang dihasilkan penduga

MCD mampu mengelompokkan kembali suatu pencilan ke dalam kelompok yang sebenarnya dibandingkan penduga MLE.

SARAN

Berdasarkan paparan metodologi dan pembahasan penelitian ini, saran yang peneliti

1. Menggunakan peubah penjelas dan kelompok

dengan jumlah yang lebih besar

2. Menggunakan nilai ragam pada data simulasi

dengan nilai ragam yang mewakili ukuran ragam kecil, sedang dan besar kemudian dibandingkan hasilnya.

3. Menggunakan nilai ragam yang tidak homogen

pada proses simulasi sehingga menggunakan diskriminan kuadratik dalam analisisnya.

DAFTAR PUSTAKA

Arini MW. 2011. Analisis Diskriminan Kuadratik

Kekar [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Departemen Statistik, Institut Pertanian Bogor.

Huberty JC. 1934. Applied MANOVA and

Discriminant Analysis.-2nd ed Inc. 605 Third Avenue. New York.

Johnson RA, Winchern DW. 1998. Applied to

Multivariate Analysis Sixth Edition. New York : John willey & Sons.

Purwadi. 2008. Kajian Pengaruh Ukuran Contoh

(n) Terhadap Pemodelan State Space

[Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Departemen Statistik, Institut Pertanian Bogor.

Rousseeuw PJ, Driessen K Van. 1999. A Fast

Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics. Vol. 41, 212-223.

Suryana. 2008. Perbandingan Kinerja Penaksir

Kekar MCD dan MWCD dalam Analisis

Diskriminan Kuadratik [Tesis]. Surabaya:

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Surabaya.

Suryani Yani. 2009. Metode Pendugaan Matriks

Ragam-Peragam Dalam Analisis Regresi

Komponen Utama (RKU) [Skripsi]. Bogor:

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Departemen Statistik, Institut Pertanian Bogor.

Todorov V, Filzmoser P. 2007. Robust Statistics

for the One-way MANOVA. The views

expressed herein are those of the authors and do not necessarily reflect the views of the United Nations Industrial Development Organization.

(22)

(23)

Lampiran 1. Pembangkitan Ukuran Data Kelompok dan Proporsi Pencilan

Pencilan Kelompok

n=20 n=40 n=200

(n1=10, n2=10) (n1=20, n2=20) (n1=100, n2=100)

n n* n n* n n*

0% 1 10 0 20 0 100 0

2 10 0 20 0 100 0

5% 1 - - 19 1 95 5

2 - - 19 1 95 5

10% 1 9 1 18 2 90 10

2 9 1 18 2 90 10

15% 1 - - 17 3 85 15

2 - - 17 3 85 15

20% 1 8 2 16 4 80 20

2 8 2 16 4 80 20 Keterangan :

n = Jumlah Amatan

(24)

Lampiran 2. Contoh Analisis Diskriminan linier Dengan Penduga MCD dan MLE n=40 dengan Pencilan 10%.

Data Bangkitan

JM Bobot KA MLE JMK Bobot KA MCD

No x1 x2 x3

1 1.338887 0.778761 6.069947 2.6225 1 1 1 2.84236 1 1 1 2 3.103603 5.140607 1.397612 3.9585 1 1 1 5.1005 1 1 1 3 1.020158 4.02046 4.086508 1.2172 1 1 1 2.36232 1 1 1 4 3.644424 2.119439 3.374822 1.0808 1 1 1 0.96955 1 1 1 5 -0.89356 1.784769 5.60966 3.562 1 1 1 4.07464 1 1 1 6 3.4114 2.58962 4.025134 0.4437 1 1 1 0.86042 1 1 1 7 0.134241 1.505988 2.670425 0.4971 1 1 1 3.4085 1 1 1 8 4.200101 0.851707 3.438501 2.9904 1 1 1 2.82815 1 1 1 9 3.038386 3.134883 4.500211 0.0704 1 1 1 1.60112 1 1 1 10 3.340915 3.106414 1.722199 2.0248 1 1 1 2.8924 1 1 1 11 0.108532 2.836 -0.19941 3.5501 1 1 1 13.6858 0 1 1 12 -0.67349 2.121729 5.840847 3.5653 1 1 1 4.46641 1 1 1 13 2.94591 2.81245 4.0706 0.1586 1 1 1 0.65174 1 1 1 14 1.419317 2.18364 2.831772 0.2701 1 1 1 1.03176 1 1 1 15 1.59481 -1.33763 5.266417 4.8311 1 1 1 5.20794 1 1 1 16 3.658242 2.223267 3.321304 1.0588 1 1 1 0.98187 1 1 1 17 0.672363 1.341863 5.197728 1.4803 1 1 1 1.40773 1 1 1 18 1.316955 2.439088 -0.218 3.1638 1 1 1 12.5212 0 1 1 19 21.34661 24.61603 21.65205 13.405 0 1 2 915.899 0 1 2 20 18.94559 21.03562 24.09794 13.076 0 1 2 865.538 0 1 2 21 6.060385 9.852152 7.768155 2.3034 1 2 2 2.99254 1 2 2 22 6.292092 7.034349 11.06956 1.2155 1 2 2 3.74524 1 2 2 23 2.348417 8.30048 7.409628 4.9063 1 2 2 7.47815 1 2 2 24 8.063144 5.141848 9.740653 3.2789 1 2 2 3.25696 1 2 2 25 3.759557 7.234505 9.707012 2.2153 1 2 2 2.47631 1 2 2 26 3.948137 5.573377 9.039863 1.3085 1 2 2 3.05699 1 2 2 27 8.014036 7.028605 7.645599 1.5047 1 2 1 1.77592 1 2 2 28 6.635117 5.400341 8.768931 1.2075 1 2 2 1.7754 1 2 2 29 5.420662 5.126895 8.335478 0.7657 1 2 2 3.27165 1 2 2 30 7.322313 7.942287 5.673122 3.1898 1 2 1 5.95158 1 2 2 31 4.921224 8.320042 8.343295 1.1626 1 2 2 1.24546 1 2 2 32 3.882472 10.37143 12.22407 7.449 1 2 2 20.6407 0 2 2 33 8.133193 7.705662 9.272483 0.5009 1 2 2 1.83957 1 2 2 34 4.874956 8.806823 7.824418 1.8693 1 2 2 2.06035 1 2 2 35 6.928873 6.96927 9.397157 0.2871 1 2 2 0.46578 1 2 2 36 8.588652 7.268378 10.28524 1.1302 1 2 2 4.26248 1 2 2 37 8.443099 10.51916 8.183568 2.1283 1 2 2 6.42643 1 2 2 38 7.478787 4.864718 8.939445 2.7262 1 2 1 3.23177 1 2 2 39 22.37023 23.04691 21.15179 8.0836 1 2 2 482.495 0 2 2 40 20.78344 19.75075 22.40506 6.7414 1 2 2 425.641 0 2 2

(25)

Keterangan :

JM = Jarak Mahalanobis KA = Kelompok Awal

JMK = Jarak Mahalanobis Kekar

Amatan yang digaris bawahi adalah amatan yang mengandung pencilan Keterangan Pada Bobot :

1 = Bukan Pencilan 0 = Pencilan

Lampiran 3. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-peragam Penduga MLE dan MCD Untuk n=20.

N Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MCD MCD Deviasi

1 _. _. _.

. . .

[0.96 2.14 2.95] [0.93 0.61 0.62] 2 _{[6.46 7.30 8.10]} _{[0.26 0.51 0.41]}

10%

1 . . .

. . .

[0.67 1.94 3.48] [0.92 0.55 0.82] 2 _{[6.46 7.00 8.04]} _{[0.24 0.56 0.40]}

20%

1 _. _. _.

. . .

[0.98 1.86 2.54] [0.88 0.32 0.76] 2 _{[6.23 6.85 8.20]} _{[0.47 0.48 0.31]}

n Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MLE _MLE Deviasi

1 . . .

. . .

[0.93 1.91 2.92] [0.72 0.36 0.80] 2 [6.02 6.91 7.98] [0.10 0.44 0.41]

10%

1 . . .

. . .

[2.73 3.97 5.35] [0.81 0.45 0.72] 2 [8.04 8.24 9.42] [0.20 0.40 0.30]

20%

1 _. _. _.

. . .

[4.93 5.83 6.74] [0.65 0.34 0.65] 2 _{[9.57 9.68 10.9]} _{[0.42 0.42 0.25]}

(26)

Lampiran 4. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-peragam Penduga MLE dan MCD Untuk n=40.

Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MCD MCD Deviasi

0% 1

. . .

[1.06 1.74 3.11] [0.45 0.63 0.37] 2 _{[5.92 6.86 8.05]} _{[0.27 0.51 0.71]}

1 . . .

. . .

[0.71 1.66 3.04] [0.43 0.64 0.27] 2 _{[6.16 7.03 8.13]} _{[0.34 0.36 0.50]}

10%

1 . . .

. . .

[0.93 2.01 2.93] [0.55 0.42 0.44] 2 _{[5.97 7.04 7.91]} _{[0.40 0.52 0.66]}

15%

1 . . .

. . .

[0.88 1.96 2.89] [0.47 0.63 0.36] 2 _{[5.96 7.13 7.83]} _{[0.26 0.41 0.74]}

20%

1 . . .

. . .

[1.18 1.84 2.80] [0.48 0.49 0.30] 2 _{[5.92 6.88 7.98]} _{[0.27 0.41 0.57]}

n Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MLE _MLE Deviasi

1 . . .

. . .

[1.22 1.76 3.19] [0.39 0.50 0.42] 2 [6.01 6.91 8.00] [0.25 0.22 0.68]

1 . . .

. . .

[1.89 2.69 4.19] [0.42 0.67 0.32] 2 [7.00 7.75 8.74] [0.37 0.32 0.47]

10%

1 . . .

. . .

[2.98 3.80 4.91] [0.43 0.55 0.29] 2 _{[7.67 8.44 9.29] [0.27 0.33 0.64]}

15%

1 . . .

. . .

[4.03 4.79 5.86] [0.35 0.57 0.27] 2 [8.43 9.18 9.98] [0.28 0.38 0.70]

20%

1 . . .

. . .

[5.21 5.84 6.94] [0.35 0.43 0.22] 2 _{[9.34 9.83 10.8] [0.33 0.27 0.55]}

(27)

Lampiran 5. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-peragam Penduga MLE dan MCD Untuk n=200.

n Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MCD _MCD Deviasi

200

0% 1

. . .

[0.97 2.00 3.04] [0.13 0.14 0.20] 2 _{[5.97 7.07 8.10]} _{[0.12 0.06 0.10]}

1 . . .

. . .

[0.94 1.89 3.05] [0.16 0.22 0.18] 2 [6.03 6.92 8.08] [0.21 0.14 0.15]

10%

1 . . .

. . .

[0.92 1.89 3.03] [0.14 0.19 0.16] 2 _{[6.06 6.92 8.05]} _{[0.19 0.17 0.14]}

15%

1 . . .

. . .

[0.95 1.93 3.05] [0.16 0.20 0.16] 2 [6.00 6.97 7.98] [0.17 0.16 0.23]

20%

1 . . .

. . .

[0.97 1.96 3.03] [0.14 0.22 0.14] 2 _{[5.99 6.97 7.99]} _{[0.19 0.15 0.24]}

n Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MLE _MLE Deviasi

200

0% 1

. . .

[0.99 2.03 3.01] [0.13 0.09 0.18] 2 [5.99 7.07 8.09] [0.17 0.06 0.08]

1 . . .

. . .

[1.99 2.92 4.07] [0.12 0.22 0.15] 2 _{[6.84 7.63 8.75]} _{[0.20 0.11 0.13]}

10%

1 . . .

. . .

[2.97 3.91 5.05] [0.11 0.18 0.16] 2 [7.73 8.36 9.42] [0.20 0.16 0.12]

15%

1 . . .

. . .

[3.96 4.94 6.05] [0.13 0.20 0.12] 2 _{[8.55 9.04 10.1]} _{[0.14 0.13 0.16]}

20%

1 . . .

. . .

[4.93 5.97 7.04] [0.13 0.22 0.11] 2 [9.40 9.79 10.8] [0.16 0.18 0.17]

(28)

Lampiran 6. Daftar Divre Kelompok Awal

Divre Kelompok Awal

Aceh 2 Sumut 2 Riau 2 Sumbar 3 Jambi 3 Sumsel 2 Bengkulu 3 Lampung 2 D.K.I. Jakarta 1

Jabar 1 Jateng 1 Yogyakarta 3 Jatim 1 Kalbar 3 Kaltim 3 Kalsel 2 Kalteng 3 Sulut 2 Sulteng 3 Sultra 3 Sulsesl 1 Bali 3 N.T.B. 2 N.T.T. 2 Maluku 3 Papua 2 Keterangan:

1 = Divre A 2 = Divre B 3 = Divre C

Lampiran 7. Hasil Uji Kesamaan Vektor Rataan

Tests of Equality of Group Means

Wilks'

Lambda F df1 df2 Sig. VAR00001 0.33 23.346 2 23 0 VAR00002 0.336 22.716 2 23 0 VAR00003 0.363 20.175 2 23 0 VAR00004 0.265 31.839 2 23 0

(29)

Lampiran 8. Analisis diskriminan kuadratik dengan penduga MCD n Divre Jarak

kekar Bobot

Kelompok awal

Kelompok akhir

1 Aceh 0.581316 1 2 2

2 Jambi 2.94395 1 3 3

3 Kaltim 1.353589 1 3 3

4 Sulut 2.245441 1 2 3

5 Lampung 4.423956 1 2 2

6 Kalteng 1.636784 1 3 3

7 Jabar 3.2 1 1 1

8 Jateng 3.2 1 1 1

9 Jatim 3.2 1 1 1

10 Sulsel 3.2 1 1 1

11 D.K.I. Jakarta 3.2 1 1 1

12 N.T.B. 2.02219 1 2 2

13 Bengkulu 3.964938 1 3 3 14 Yogyakarta 2.25297 1 3 3 15 Maluku 4.445234 1 3 3

16 Bali 5.438625 1 3 3

17 Sultra 5.0727 1 3 3

18 Papua 3.751909 1 2 2

19 Kalsel 4.851385 1 2 2

20 Riau 5.222608 1 2 2

21 N.T.T. 4.901196 1 2 2 22 Sulteng 4.89121 1 3 3

23 Kalbar 84.50029 0 3 2*

24 Sumsel 26.55776 0 2 1*

25 Sumbar 131.6684 0 3 2*

26 Sumut 77.41853 0 2 1*

Keterangan: (*) pencilan

(30)

Lampiran 9. Pengelompokan Divre dengan Analisis Diskriminan Penduga MCD dan MLE

No x1 x2 x3 x4 JM Bobot KA MLE JMK Bobot KA MCD

Aceh 1627545 38016.6 90058 4675500 0.64 1 2 2 0.58 1 2 2 Sumut 3586861 14172.2 141741 13661600 7.34 1 2 2 77.4 0 2 1 Riau 546550 0 55804 5987200 5.31 1 2 2 5.22 1 2 2 Sumbar 2192288 4668.33 42321 4829500 6.75 1 3 3 132 0 3 2 Jambi 658271 350 22631 2810100 2.94 1 3 3 2.94 1 3 3 Sumsel 3274868 89052.4 105536 9312600 6.21 1 2 2 26.6 0 2 1 Bengkulu 512212 2000 19377 1813600 2.41 1 3 3 3.97 1 3 3 Lampung 2701699 60063.9 125733 7714000 1.87 1 2 2 4.42 1 2 2 D.K.I.Jakarta 2059912 27715.4 118129 18697100 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Jabar 11650160 313589 475554 40179300 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Jateng 10079212 235869 491021 34843600 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Yogyakarta 830545 11670.8 34277 3233300 1.98 1 3 3 2.25 1 3 3 Jatim 11375779 419393 523569 36720000 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Kalbar 1358292 11102.8 58935 4671800 5.57 1 3 3 84.5 0 3 2 Kaltim 580654 5701.43 31930 2869200 0.73 1 3 3 1.35 1 3 3 Kalsel 1944888 5672.11 28235 3349400 5.83 1 2 3 4.85 1 2 2 Kalteng 644781 5651 23518 2194000 1.14 1 3 3 1.64 1 3 3 Sulut 844453 3096.47 31673 3161000 2.26 1 2 3 2.25 1 2 3 Sulteng 986126 5550.72 27051 2493700 2.15 1 3 3 4.89 1 3 3 Sultra 455200 14051.5 43020 2167700 5.79 1 3 3 5.07 1 3 3 Sulsesl 4638437 165555 102798 9231500 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Bali 846896 9742.13 22852 3457300 6.27 1 3 3 5.44 1 3 3 N.T.B. 1779187 48208.2 95078 4600800 1.25 1 2 2 2.02 1 2 2 N.T.T. 540771 4082 94141 4396800 2.13 1 2 2 4.9 1 2 2 Maluku 126354 3548.62 34101 2228900 4.27 1 3 3 4.45 1 3 3 Papua 138729 20951.1 94252 2697100 3.16 1 2 2 3.75 1 2 2

Keterangan :

JM = Jarak Mahalanobis KA = Kelompok Awal

JMK = Jarak Mahalanobis Kekar

Amatan yang digaris bawahi adalah amatan yang mengandung pencilan dan salah klasifikasi Keterangan Pada Bobot :

1 = Bukan Pencilan 0 = Pencilan

(31)

Lampiran 10. Makro MINITAB Pengujian Kenormalan Ganda #Memulai makro untuk qq dan peubah x1-xp #

macro. qq x.1-x.p

#Menentukan konstanta, kolom dan matriks# mconstant i n p t chis

mcolumn d x.1-x.p dd pi q ss tt mmatrix s sinv ma mb mc md

#Memulai perhitungan pengamatan dari x1

sebanyaka n pengamatan# let n=count(x.1)

#Mencari matriks ragam-peragam dari x1 s/d

xp dan nilai inversnya#

cova x.1-x.p s invert s sinv

#Mencari nilai vektor rata-rata dari x1 s/d xp

Lakukan dari data pengamatan satu sampai data pengamatan ke-n (xi - ) i= 1,….n #

do i=1:p

let x.i=x.i-mean(x.i) enddo

do i=1:n

copy x.1-x.p ma; use i

#Mencari nilai jarak mahalanobis# transpose ma mb

multiply ma sinv mc multiply mc mb md copy md tt

let t=tt(1) let d(i)=t enddo set pi 1:n end

#Menghitung nilai pi dan mengurutkan nilai dd dari kecil ke besar#

let pi=(pi-0.5)/n sort d dd invcdf pi q; chis p

# Buat scatter-plot

d

₍2_i₎dengan

q

_idan menentukkan nilai Khi-kuadrat ( )# plot q*dd

invcdf 0.5 chis; chis p.

#Menentukan dan menghitung banyaknya jarak mahalanobis setiap pengamatan yang lebih kecil dari nilai Khi-kuadratnya# let ss=dd<chis

let t=sum(ss)/n print t

#Mengidentifikasikan apakah data menyebar multinormal atau bukan#

if t>0.5

note distribusi data multinormal endif

if t<=0.5 note distribusi data bukan multinormal endif

#Mengakhiri makro# endmacro

(32)

Lampiran 11. Makro MINITAB Pendeteksian Pencilan #Memulai makro dengan observasi pencilan dari y1 s/d yp#

Macro

outlier obs y.1-y.p

#Menentukan konstanta, kolom dan matriks# mconstant i n p df

mcolumn d x.1-x.p y.1-y.p dd pi f_value tt obs p1 sig_f

mmatrix s sinv ma mb mc md

#Memulai perhitungan pengamatan dari y1

sebanyaka n pengamatan# let n=count(y.1)

#Mencari matriks ragam-peragam dari y1 s/d yp

dan nilai inversnya# cova y.1-y.p s invert s sinv

#Mencari nilai vektor rata-rata dari y1 s/d yp

Lakukan dari data pengamatan satu sampai data pengamatan ke-n (xi - ) i= 1,….n #

do i=1:p

let x.i=y.i-mean(y.i) enddo

do i=1:n

copy x.1-x.p ma; use i

#Mencari nilai jarak mahalanobis# transpose ma mb

multiply ma sinv mc multiply mc mb md copy md tt

let d(i)=tt(1) enddo

#Mencari nilai f_value

let f_value=((n-p-1)*n*d)/(p*(n-1)**2-n*p*d) let df=n-p-1

#menentukan nilai derajat bebas# cdf f_value p1;

f p df

#menghitung nilai sig_f

let sig_f=1-p1 print obs d f_value sig_f

#Makro berakhir endmacro

(33)

PERBAN

(MCD) D

ANAL

FAKU

NDINGAN

DENGAN M

LISIS DISK

ULTAS MA

PENDUGA

MAXIMUM

KRIMINAN

TR

DEPAR

ATEMATI

INSTITU

A MINIMU

M LIKELIH

N UNTUK

PENCIL

RI HARDI

RTEMEN S

IKA DAN I

UT PERTA

BOGO

2013

UM COVAR

HOOD EST

K DATA YA

LAN

PUTRA

STATISTIK

ILMU PEN

ANIAN BOG

OR

3 RIANCE DE

TIMATION

ANG MENG

KA

NGETAHU

GOR

ETERMIN

N (MLE) PA

GANDUNG

UAN ALAM

NANT

ADA

G

(34)

RINGKASAN

TRI HARDI PUTRA. Perbandingan Penduga Minimum Covariance Determinant (MCD) Dengan

Maximum Likelihood Estimation (MLE) pada Analisis Diskriminan untuk Data yang Mengandung

Pencilan. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan DIAN KUSUMANINGRUM

Kata kunci: Analisis Diskriminan, Pencilan Peubah Ganda, Maximum Likelihood Estimation

(MLE), Minimum Covariance Determinant (MCD), Penduga Tingkat Kesalahan Klasifikasi

(1)

Lampiran 5. Nilai Vektor Rata-rata dan Matriks Ragam-peragam Penduga MLE dan MCD Untuk n=200.

n Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MCD _MCD Deviasi

200

0% 1

. . .

[0.97 2.00 3.04] [0.13 0.14 0.20] 2 _{[5.97 7.07 8.10]} _{[0.12 0.06 0.10]}

1 . . .

. . .

[0.94 1.89 3.05] [0.16 0.22 0.18] 2 [6.03 6.92 8.08] [0.21 0.14 0.15]

10%

1 . . .

. . .

[0.92 1.89 3.03] [0.14 0.19 0.16] 2 _{[6.06 6.92 8.05]} _{[0.19 0.17 0.14]}

15%

1 . . .

. . .

[0.95 1.93 3.05] [0.16 0.20 0.16] 2 [6.00 6.97 7.98] [0.17 0.16 0.23]

20%

1 . . .

. . .

[0.97 1.96 3.03] [0.14 0.22 0.14] 2 _{[5.99 6.97 7.99]} _{[0.19 0.15 0.24]}

n Pencilan Kel Matriks Vektor Rata-rata Standar Ragam-peragam MLE _MLE Deviasi

200

0% 1

. . .

[0.99 2.03 3.01] [0.13 0.09 0.18] 2 [5.99 7.07 8.09] [0.17 0.06 0.08]

1 . . .

. . .

[1.99 2.92 4.07] [0.12 0.22 0.15] 2 _{[6.84 7.63 8.75]} _{[0.20 0.11 0.13]}

10%

1 . . .

. . .

[2.97 3.91 5.05] [0.11 0.18 0.16] 2 [7.73 8.36 9.42] [0.20 0.16 0.12]

15%

1 . . .

. . .

[3.96 4.94 6.05] [0.13 0.20 0.12] 2 _{[8.55 9.04 10.1]} _{[0.14 0.13 0.16]}

20%

1 . . .

. . .

[4.93 5.97 7.04] [0.13 0.22 0.11] 2 [9.40 9.79 10.8] [0.16 0.18 0.17]

(2)

Lampiran 6. Daftar Divre Kelompok Awal

Divre Kelompok Awal

Aceh 2 Sumut 2 Riau 2 Sumbar 3 Jambi 3 Sumsel 2 Bengkulu 3 Lampung 2 D.K.I. Jakarta 1

Jabar 1 Jateng 1 Yogyakarta 3 Jatim 1 Kalbar 3 Kaltim 3 Kalsel 2 Kalteng 3 Sulut 2 Sulteng 3 Sultra 3 Sulsesl 1 Bali 3 N.T.B. 2 N.T.T. 2 Maluku 3 Papua 2 Keterangan:

1 = Divre A 2 = Divre B 3 = Divre C

Lampiran 7. Hasil Uji Kesamaan Vektor Rataan

Tests of Equality of Group Means Wilks'

Lambda F df1 df2 Sig.

VAR00001 0.33 23.346 2 23 0 VAR00002 0.336 22.716 2 23 0 VAR00003 0.363 20.175 2 23 0

(3)

Lampiran 8. Analisis diskriminan kuadratik dengan penduga MCD n Divre Jarak

kekar Bobot

Kelompok awal

Kelompok akhir

1 Aceh 0.581316 1 2 2

2 Jambi 2.94395 1 3 3

3 Kaltim 1.353589 1 3 3

4 Sulut 2.245441 1 2 3

5 Lampung 4.423956 1 2 2

6 Kalteng 1.636784 1 3 3

7 Jabar 3.2 1 1 1

8 Jateng 3.2 1 1 1

9 Jatim 3.2 1 1 1

10 Sulsel 3.2 1 1 1

11 D.K.I. Jakarta 3.2 1 1 1

12 N.T.B. 2.02219 1 2 2

13 Bengkulu 3.964938 1 3 3

14 Yogyakarta 2.25297 1 3 3

15 Maluku 4.445234 1 3 3

16 Bali 5.438625 1 3 3

17 Sultra 5.0727 1 3 3

18 Papua 3.751909 1 2 2

19 Kalsel 4.851385 1 2 2

20 Riau 5.222608 1 2 2

21 N.T.T. 4.901196 1 2 2

22 Sulteng 4.89121 1 3 3

23 Kalbar 84.50029 0 3 2*

24 Sumsel 26.55776 0 2 1*

25 Sumbar 131.6684 0 3 2*

26 Sumut 77.41853 0 2 1*

(4)

Lampiran 9. Pengelompokan Divre dengan Analisis Diskriminan Penduga MCD dan MLE

No x1 x2 x3 x4 JM Bobot KA MLE JMK Bobot KA MCD Aceh 1627545 38016.6 90058 4675500 0.64 1 2 2 0.58 1 2 2 Sumut 3586861 14172.2 141741 13661600 7.34 1 2 2 77.4 0 2 1 Riau 546550 0 55804 5987200 5.31 1 2 2 5.22 1 2 2 Sumbar 2192288 4668.33 42321 4829500 6.75 1 3 3 132 0 3 2 Jambi 658271 350 22631 2810100 2.94 1 3 3 2.94 1 3 3 Sumsel 3274868 89052.4 105536 9312600 6.21 1 2 2 26.6 0 2 1 Bengkulu 512212 2000 19377 1813600 2.41 1 3 3 3.97 1 3 3 Lampung 2701699 60063.9 125733 7714000 1.87 1 2 2 4.42 1 2 2 D.K.I.Jakarta 2059912 27715.4 118129 18697100 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Jabar 11650160 313589 475554 40179300 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Jateng 10079212 235869 491021 34843600 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Yogyakarta 830545 11670.8 34277 3233300 1.98 1 3 3 2.25 1 3 3 Jatim 11375779 419393 523569 36720000 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Kalbar 1358292 11102.8 58935 4671800 5.57 1 3 3 84.5 0 3 2 Kaltim 580654 5701.43 31930 2869200 0.73 1 3 3 1.35 1 3 3 Kalsel 1944888 5672.11 28235 3349400 5.83 1 2 3 4.85 1 2 2 Kalteng 644781 5651 23518 2194000 1.14 1 3 3 1.64 1 3 3 Sulut 844453 3096.47 31673 3161000 2.26 1 2 3 2.25 1 2 3 Sulteng 986126 5550.72 27051 2493700 2.15 1 3 3 4.89 1 3 3 Sultra 455200 14051.5 43020 2167700 5.79 1 3 3 5.07 1 3 3 Sulsesl 4638437 165555 102798 9231500 3.2 1 1 1 3.2 1 1 1 Bali 846896 9742.13 22852 3457300 6.27 1 3 3 5.44 1 3 3 N.T.B. 1779187 48208.2 95078 4600800 1.25 1 2 2 2.02 1 2 2 N.T.T. 540771 4082 94141 4396800 2.13 1 2 2 4.9 1 2 2 Maluku 126354 3548.62 34101 2228900 4.27 1 3 3 4.45 1 3 3 Papua 138729 20951.1 94252 2697100 3.16 1 2 2 3.75 1 2 2

Keterangan :

JM = Jarak Mahalanobis KA = Kelompok Awal

JMK = Jarak Mahalanobis Kekar

Amatan yang digaris bawahi adalah amatan yang mengandung pencilan dan salah klasifikasi Keterangan Pada Bobot :

1 = Bukan Pencilan 0 = Pencilan

(5)

Lampiran 10. Makro MINITAB Pengujian Kenormalan Ganda #Memulai makro untuk qq dan peubah x1-xp #

macro. qq x.1-x.p

#Menentukan konstanta, kolom dan matriks# mconstant i n p t chis

mcolumn d x.1-x.p dd pi q ss tt mmatrix s sinv ma mb mc md

#Memulai perhitungan pengamatan dari x1 sebanyaka n pengamatan#

let n=count(x.1)

#Mencari matriks ragam-peragam dari x1 s/d xp dan nilai inversnya#

cova x.1-x.p s invert s sinv

#Mencari nilai vektor rata-rata dari x1 s/d xp Lakukan dari data pengamatan satu sampai data pengamatan ke-n (xi- ) i= 1,….n #

do i=1:p

let x.i=x.i-mean(x.i) enddo

do i=1:n

copy x.1-x.p ma; use i

#Mencari nilai jarak mahalanobis# transpose ma mb

multiply ma sinv mc multiply mc mb md copy md tt

let t=tt(1) let d(i)=t enddo set pi 1:n end

#Menghitung nilai pi dan mengurutkan nilai dd dari kecil ke besar#

let pi=(pi-0.5)/n sort d dd invcdf pi q; chis p

# Buat scatter-plot

d

₍2_i₎dengan

q

_idan menentukkan nilai Khi-kuadrat ( )# plot q*dd

invcdf 0.5 chis; chis p.

#Menentukan dan menghitung banyaknya jarak mahalanobis setiap pengamatan yang lebih kecil dari nilai Khi-kuadratnya# let ss=dd<chis

let t=sum(ss)/n print t

#Mengidentifikasikan apakah data menyebar multinormal atau bukan#

if t>0.5

note distribusi data multinormal endif

if t<=0.5 note distribusi data bukan multinormal endif

#Mengakhiri makro# endmacro

(6)

Lampiran 11. Makro MINITAB Pendeteksian Pencilan #Memulai makro dengan observasi pencilan dari y1 s/d yp#

Macro

outlier obs y.1-y.p

#Menentukan konstanta, kolom dan matriks# mconstant i n p df

mcolumn d x.1-x.p y.1-y.p dd pi f_value tt obs p1 sig_f

mmatrix s sinv ma mb mc md

#Memulai perhitungan pengamatan dari y1 sebanyaka n pengamatan#

let n=count(y.1)

#Mencari matriks ragam-peragam dari y1 s/d yp dan nilai inversnya#

cova y.1-y.p s invert s sinv

#Mencari nilai vektor rata-rata dari y1 s/d yp Lakukan dari data pengamatan satu sampai data pengamatan ke-n (xi- ) i= 1,….n #

do i=1:p

let x.i=y.i-mean(y.i) enddo

do i=1:n

copy x.1-x.p ma; use i

#Mencari nilai jarak mahalanobis# transpose ma mb

multiply ma sinv mc multiply mc mb md copy md tt

let d(i)=tt(1) enddo

#Mencari nilai f_value

let f_value=((n-p-1)*n*d)/(p*(n-1)**2-n*p*d) let df=n-p-1

#menentukan nilai derajat bebas# cdf f_value p1;

f p df

#menghitung nilai sig_f

let sig_f=1-p1 print obs d f_value sig_f

#Makro berakhir endmacro