Toeri Dasar Graf Graf
9
Contoh 2.4
Gambar 2.2 Graf B
Dari gambar 2.2 Graf B di atas, simpul v
5
adalah simpul terpencil.
Definisi 2.5 Graf Nol Munir, 2009: 366 Graf Nol adalah graf yang himpunan rusuknya merupakan himpunan kosong.
Notasinya adalah N
n
, yang dalam hal ini
n
adalah jumlah simpul. Contoh 2.5
Gambar 2.3 Graf N
4
Definisi 2.6 Derajat
Degree
Munir, 2009: 366
Derajat suatu simpul pada graf G adalah jumlah rusuk yang bersesuaian dengan simpul tersebut. Notasi dv menyatakan derajat simpul.
Contoh 2.6 Dari gambar 2.1 Graf A, banyaknya derajat tiap simpul sebagai berikut.
dv
1
= 2 , dv
2
= 3, dv
3
= 2 , dv
4
= 3.
B
N
v
5
v
4
v
3
v
2
v
1
e
1
e
2
e
3
e
4
v
5
v
1
v
3
v
2
v
4
10
Definisi 2.7 Rosen, 2003: 41
Sebuah rusuk dikatakan
loop
jika rusuk tersebut menguhubungkan simpul yang sama. Dengan kata lain
e
adalah
loop
, jika
e
=
v
,
v
. Jika dua buah rusuk atau lebih menghubungkan dua simpul yang sama, maka rusuk-rusuk tersebut
dikatakan rusuk ganda
multiple edges
atau
paralel edges
. Contoh 2.7
Gambar 2.4 Graf C
Dari graf C pada gambar 2.4 di atas rusuk e
5
adalah sebuah loop. Rusuk ganda yaitu e
6
dan e
7
karena menghubungkan simpul v
2
,v
3
dan e
3
,e
4
yang menghubungkan simpul v
1
,v
2
. Berdasarkan keberadaan loop dan sisi ganda, graf digolongkan menjadi dua
jenis yaitu graf sederhana dan graf tak-sederhana. a.
Graf Sederhana
simple graf
Definisi 2.8 Rosen, 2003: 44
Graf yang tidak mengandung
loop
maupun rusuk ganda dinamakan graf sederhana.
Contoh 2.8 Dari gambar 2.1 Graf A merupakan contoh graf sederhana.
b.
Graf Tak-Sederhana Definisi 2.9 Rosen, 2003: 45
C
v
1
v
2
v
4
v
3
e
2
e
1
e
3
e
4
e
7
e
6
e
5
e
8
11
Graf yang mengandung rusuk ganda atau
loop
dinamakan graf tak-sederhana
unsimple graf
atau
multigrapf
. Contoh 2.9
Graf C pada gambar 2.4 merupakan graf tak-sederhana karena mempunyai rusuk ganda pada simpul v
2
,v
3
, v
1
,v
2
dan mempunyai
loop
pada simpul v
2
yaitu rusuk e
8
.
Berdasarkan orientasi arah, graf dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu graf berarah dan graf tak-berarah.
a. Graf Berarah
Directed Graph
Definisi 2.10 Rosen, 2003: 46
Graf berarah adalah graf yang rusuknya mempunyai orientasi arah. Contoh 2.10
Gambar 2.5 Graf D
12
Graf D pada gambar 2.5 memiliki VD=v
1
,v
2
,v
3
,v
4
, ED=e
1
,e
2
,e
3
,e
4
,e
5
, sedangkan e
1
=v
2
,v
1
, e
2
=v
1
,v
2
, e
3
=v
4
,v
2
, e
4
=v
1
,v
4
, e
5
=v
4
,v
3
Graf D pada gambar 2.6 menunjukkan rusuk e
1
tidak sama dengan e
2
. b.
Graf Tak-Berarah
Undirected Graph
Definisi 2.11Rosen, 2003: 47
Graf tak berarah adalah graf yang rusuknya tidak mempunyai orientasi arah. Contoh 2.11
Graf A dari gambar 2.1 merupakan contoh graf tak-berarah.
Berdasarkan ada tidaknya bobot, graf dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu graf berbobot dan graf tak-berbobot.
a. Graf Berbobot
Defnisi 2.12 Rosen, 2003: 48
Suatu graf dikatakan sebagai graf berbobot jika setiap rusuknya mempunyai nilai atau bobot tertentu. Bobot pada graf biasanya dinotasikan dengan w
ij
dimana i dan j sebagai simpul yang bersisian dengan rusuk yang memiliki bobot w tersebut.
Contoh 2.12 Diberikan graf E sebagai berikut.
Gambar 2.6 Graf E
E
v
1
v
3
v
2
v
4
2 1
2 3
13
Graf E pada gambar 2.6 merupakan graf berbobot, dimana E={v
1
,v
3
, v
1
,v
4
, v
2
,v
3
, v
3
,v
4
} dan wv
1
,v
3
= 1, wv
1
,v
4
= 2, wv
2
,v
3
= 3 dan wv
3
,v
4
= 2. Graf E juga dapat dinyatakan dalam graf berikut.
Gambar 2.7 Graf F representasi Graf E
b. Graf Tak-Berbobot
Defnisi 2.13 Rosen, 2003: 49
Suatu graf dikatakan sebagai graf tidak berbobot jika setiap rusuknya tidak mempunyai nilai atau bobot tertentu.
Contoh 2.13 Graf A pada gambar 2.1 merupakan contoh dari graf tidak berbobot.
B.
Konektivitas Graf Keterhubungan Graf Definisi 2.14 Jalan
Walk
Munir, 2009: 370 Jalan
Walk
pada suatu Graf G adalah sebagai suatu barisan yang tak kosong dan
berhingga yang
suku-sukunya bergantian
antara simpul
dan rusuk
v
1,
e
2,
v
2,
e
2
,...,
e
i,
v
i
...
e
n,
v
n
. Jalan boleh saja memuat simpul dan rusuk yang sama. Jalan dapat ditulis barisan simpul saja atau barisan rusuk saja.
v
1
v
3
v
2
v
4
F
14
Contoh 2.14
Gambar 2.8 Graf H
Salah satu contoh
walk
dari v
1
ke v
7
Graf H adalah v
1
,v
2
,v
6
,v
4
,v
3
,v
5
,v
4
,v
6
,v
7
, dengan memuat simpul v
4,
v
6
dan rusuk v
4,
v
6
dua kali.
Definisi 2.15 Jejak
Trail
Munir, 2009: 370
Jejak adalah
walk
dengan semua rusuk dalam barisan adalah berbeda.
Contoh 2.15 Salah satu contoh lintasan pada graf H pada gambar 2.8 diatas adalah
v
1
,v
2
,v
6
,v
4
,v
3
,v
5
,v
6
,v
7,
dengan memuat simpul v
6
sebanyak dua kali dengan rusuk yang berbeda. Jejak yang simpul awal dan simpul akhirnya berlainan disebut jejak
tertutup.
Definisi 2.16 Lintasan
Path
Munir, 2009: 370 Lintasan adalah
Walk
yang semua simpul dalam barisan adalah berbeda. Contoh 2.16
Salah satu contoh lintasan pada graf H gambar 2.9 diatas adalah v
1
,v
2
,v
3
,v
4
,v
5
,v
6
,v
7
. Selanjutnya jika pada suatu lintasan simpul awal dan simpul akhirnya sama maka lintasan tersebut disebut lintasan tertutup.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
H
15
Definisi 2.17 Siklus Munir, 2009: 371
Siklus adalah sebuah lintasan tertutup. Atau Jejak tertutup yang simpul awal dan simpul internalnya berlainan. Siklus dengan banyaknya simpul
n
, dinotasikan dengan C
n
. Contoh 2.17
Contoh siklus pada graf H gambar 2.8 diatas adalah v
1
,v
2
,v
6
,v
7
,v
4
,v
5
,v
3
,v
1
.
C.
Travelling Salessmen Problem
TSP Definisi 2.18
Traveling Salesman Problem
Vasudev, 2006: 88 Suatu permasalahan optimasi yang bertujuan untuk mendapatkan rute terpendek
minimum dari beberapa tempat atau kota yang harus dilalui seorang
salesman
tepat satu kali ia hingga kembali ke tempat awal keberangkatannya. Secara sederhana
traveling salesman problem
merupakan permasalahan seorang salesman
yang harus melakukan kunjungan tepat satu kali pada semua kota dalam sebuah lintasan sebelum dia kembali ke titik awal keberangkatannya.
Misalkan di,j adalah jarak perjalanan dari kota
i
ke kota
j
dan salesman ingin
melakukan perjalanan dengan biaya total yang minimum, yang mana biaya total adalah jumlah masing-masing biaya tiap rusuk
atau lintasan perjalanannya Vasudev, 2006: 88.
Model dari permasalahan
traveling salesman problem
dapat digambarkan sebagai graf tak-berarah dan graf
berbobot. Berikut representasi banyaknya lintasan tertutup TSP dalam graf.
16
Gambar 2.9 Graf K Berbobot
Dari Graf K berbobot dicari banyaknya lintasan tertutup dari simpul A kembali lagi ke simpul A. Terdapat 6 lintasan tertutup pada Graf K yaitu, A-B-C-
D-A, A-D-C-B-A, A-C-D-B-A, A-B-D-C-A, A-D-B-C-A, dan A-C-B-D-A, sehingga banyaknya lintasan tertutup s dapat dicari dengan
. 1
n
s
Dalam graf K, rusuk-rusuknya tidak berarah sehingga
, ,
,
A B
w B
A w
sehingga banyaknya lintasan menjadi
, 2
1
n s
karena lintasan A-B-C-D-A = A-D-C-B-A, A-C-D-B-A= A-C-D-B-A, dan A-C- B-D-A = A-D-B-C-A. Jadi banyaknya semua kemungkinan lintasan tertutup
ditentukan dengan rumus 2.2. Pada Skripsi ini, lintasan tertutup dalam permasalahan TSP disebut dengan rute perjalanan.
1 .
2
2 .
2 K
17