Estimasi Perubahan Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika Tahun 2005 Menggunakan Estimasi Model ARCH-GARCH

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN
ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

SUSI IRMAYANI
020803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007

Universitas Sumatera Utara

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN
ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains

SUSI IRMAYANI
020803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007

Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul

Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas

: ESTIMASI VOLATILITAS NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA TAHUN
2005 MENGGUNAKAN ESTIMASI MODEL
ARCH-GARCH
: SKRIPSI
: SUSI IRMAYANI
: 020803048
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
: MATEMATIKA
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA

Medan, September 2007

Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Rahmawati Pane, M.Si
NIP.131474682

Dr. Sutarman, M.Sc
NIP. 131945359

Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN
ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

September 2007

SUSI IRMAYANI
020803048

Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan
dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc
dan Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian tugas
akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya
untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah
diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima
kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika, Dr.
Saib Suwilo, M.Si dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,
semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU
dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada bapak, ibu dan semua
ahli keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan.
Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.

Medan, September 2007
Penulis,

Susi Irmayani

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Skripsi ini membahas pemodelan dan estimasi volatilitas nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi ARCH-GARCH. Data volatilitas nilai tukar rupiah dapat diterangkan oleh model ARCH-GARCH
karena sifat variabel tersebut berfluktuasi (naik-turun) dari satu periode tertentu
keperiode berikutnya. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh melalui program
eviews dapat diketahui bahwa data tersebut mengandung heteroskedastisitas, stasioner dan tidak mengandung otokorelasi.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

This thesis discusses about United State dolar exchange rate estimation and model using ARCH-GARCH in 2005. Exchange rate volatility can be explained by
ARCH-GARCH because the nature of the variabel can fluctuate on certain period
with followed by the stabilization of the next period. According to the result of
the estimation, we know that data have heteroscedasticity, stationerity and do not
have otocorelation.

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.

1

Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Batasan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metode Penelitian

1
3
3
3
3
4
4

2. LANDASAN TEORI

5

2.1. Heteroskedastisitas
2.2. Stasioner
2.3. Model ARCH dan GARCH

5
11
16

3. PEMBAHASAN
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

21

Deskripsi Data

Uji Heteroskedastisitas
Otokorelasi (Autokorelasi)
Model ARCH-GARCH
Estimasi Parameter-parameter Dengan Estimasi Maximum
Likelihood

4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

21
22
22
22
23
25
25
26
27

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Skripsi ini membahas pemodelan dan estimasi volatilitas nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi ARCH-GARCH. Data volatilitas nilai tukar rupiah dapat diterangkan oleh model ARCH-GARCH
karena sifat variabel tersebut berfluktuasi (naik-turun) dari satu periode tertentu
keperiode berikutnya. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh melalui program
eviews dapat diketahui bahwa data tersebut mengandung heteroskedastisitas, stasioner dan tidak mengandung otokorelasi.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

This thesis discusses about United State dolar exchange rate estimation and model using ARCH-GARCH in 2005. Exchange rate volatility can be explained by
ARCH-GARCH because the nature of the variabel can fluctuate on certain period
with followed by the stabilization of the next period. According to the result of
the estimation, we know that data have heteroscedasticity, stationerity and do not
have otocorelation.

Universitas Sumatera Utara

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN
ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

SUSI IRMAYANI
020803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007

Universitas Sumatera Utara

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN
ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains

SUSI IRMAYANI
020803048

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007

Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul

Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas

: ESTIMASI VOLATILITAS NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA TAHUN
2005 MENGGUNAKAN ESTIMASI MODEL
ARCH-GARCH
: SKRIPSI
: SUSI IRMAYANI
: 020803048
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
: MATEMATIKA
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA

Medan, September 2007
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Rahmawati Pane, M.Si
NIP.131474682

Dr. Sutarman, M.Sc
NIP. 131945359

Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

ESTIMASI PERUBAHAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP
DOLAR AMERIKA TAHUN 2005 MENGGUNAKAN
ESTIMASI MODEL ARCH-GARCH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

September 2007

SUSI IRMAYANI
020803048

Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan
dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc
dan Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian tugas
akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya
untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah
diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima
kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika, Dr.
Saib Suwilo, M.Si dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,
semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU
dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada bapak, ibu dan semua
ahli keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan.
Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.

Medan, September 2007
Penulis,

Susi Irmayani

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Skripsi ini membahas pemodelan dan estimasi volatilitas nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi ARCH-GARCH. Data volatilitas nilai tukar rupiah dapat diterangkan oleh model ARCH-GARCH
karena sifat variabel tersebut berfluktuasi (naik-turun) dari satu periode tertentu
keperiode berikutnya. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh melalui program
eviews dapat diketahui bahwa data tersebut mengandung heteroskedastisitas, stasioner dan tidak mengandung otokorelasi.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

This thesis discusses about United State dolar exchange rate estimation and model using ARCH-GARCH in 2005. Exchange rate volatility can be explained by
ARCH-GARCH because the nature of the variabel can fluctuate on certain period
with followed by the stabilization of the next period. According to the result of
the estimation, we know that data have heteroscedasticity, stationerity and do not
have otocorelation.

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.

1

Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Batasan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metode Penelitian

1
3
3
3
3
4
4

2. LANDASAN TEORI

5

2.1. Heteroskedastisitas
2.2. Stasioner
2.3. Model ARCH dan GARCH

5
11
16

3. PEMBAHASAN
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

21

Deskripsi Data
Uji Heteroskedastisitas
Otokorelasi (Autokorelasi)
Model ARCH-GARCH
Estimasi Parameter-parameter Dengan Estimasi Maximum
Likelihood

4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

21
22
22
22
23
25
25
26
27

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square/OLS) telah banyak digunakan
dalam berbagai kesempatan. Pada umumnya metode ini digunakan untuk mengetahui hubungan antarvariabel. Dalam metode kuadrat terkecil, Teorema Gauss
Markov, salah satunya mensyaratkan agar varians dari residu bersifat konstan atau
tidak berubah-ubah. Hal ini agar estimator yang didapat adalah BLUE (Best Linier Unbiased Estimater) atau mempunyai sifat yang linier, tidak bias dan varians
minimum. Data yang digunakan dalam metode ini dapat berupa data penampang
(cross section) dan data runtun waktu (time series). Data penampang adalah data
yang diperoleh dari pengamatan yang berbeda pada waktu yang sama, sedangkan
data runtun waktu adalah data yang diperoleh dari pengamatan yang sama pada waktu yang berbeda. Contohnya besarnya kompensasi yang diberikan kepada
karyawan industri makanan, tekstil, pakaian, percetakan dan lain-lain berdasarkan
jumlah karyawan. Semakin besar industri (makin banyak jumlah karyawannya),
maka kompensasi yang diberikan semakin besar. Data penampang sering memunculkan varians dan residu yang berubah-ubah, namun bukan berarti data runtun
waktu terhindar dari permasalahan tersebut.
Ada beberapa alasan mengapa variansi kesalahan pengganggu ei selalu
berubah-ubah, antara lain sebagai berikut:
1. Mengikuti model berbuat kesalahan dalam belajar, yaitu kalau orang belajar
terus, kesalahan untuk melakukan apa yang dipelajari semakin menurun,
sebab ketrampilan semakin meningkat. Dalam hal ini diharapkan variansi
σi2 diharapkan menurun nilainya.

Universitas Sumatera Utara

2
2. Kalau pendapatan tumbuh/berkembang, makin banyak orang menerima pendapatan yang sangat berbeda jumlahnya, kemungkinan mempunyai lebih
banyak alternatif untuk mengeluarkan/menggunakan pendapatan itu, sehingga variansi makin membesar dengan kenaikan pendapatan.
3. Kalau teknik pengumpulan data semakin membaik, nilai σ 2 cenderung mengecil.
Data runtun waktu terutama data finansial seperti data harga indeks saham, tingkat bunga, nilai tukar sering kali berubah-ubah (volatilitas). Akibat
data yang bervolatilitas adalah varians dan residu tidak konstan. Dengan kata
lain data semacam itu mengalami heteroskedastisitas. Adanya heteroskedastisitas
menyebabkan perkiraan (estimasi) parameter berdasarkan OLS menjadi tidak efesien baik dalam sampel kacil maupun sampel besar sehingga estimasi varians akan
bias dan menyebabkan pengujian hipotesis tentang parameter tidak tepat.
Bagaimana cara mendeteksi dan mengatasi adanya heteroskedastisitas akan
dibahas pada bab berikutnya. Heteroskedastisitas dipandang bukan sebagai suatu masalah, tetapi justru memanfaatkan kondisi tersebut untuk membuat model.
Bahkan dengan memanfaatkan heteroskedastisitas dalam residu dengan tepat, maka akan diperoleh varians yang lebih efisien. Model ini dikenal dengan nama Auto
Regressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) dan General Auto Regressive
Conditional Heteroskedasticity (GARCH).
Volatilitas diperlukan dalam penukaran mata uang untuk menganalisis resiko pemegang aset dari investasi pilihan, meramalkan interval keyakinan sehingga
dapat diperoleh interval yang lebih tepat dengan memodelkan varians, residu dan
estimasi yang lebih efesien bila heteroskedastisitas digunakan dengan tepat.
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis memilih judul skripsi ini sebagai: Estimasi Volatilitas Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar AmeriUniversitas
Sumatera
Utara
ka Tahun 2005 Menggunakan Estimasi Model Auto
Regressive
Con-

3
ditional Heteroskdastisitas-General Auto Regressive Conditional Heteroskdastisitas (ARCH-GARCH).

1.2 Perumusan Masalah
Adapun yang menjadi permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana membuat
dan mengestimasi parameter model ARCH-GARCH pada data volatilitas nilai
tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi model
ARCH-GARCH.

1.3 Tinjauan Pustaka
Engle (2001) menyatakan bahwa ARCH adalah variabel yang dipengaruhi oleh
variabel itu sendiri berdasarkan informasi masa lalu dan variansnya berubah-ubah
pada periode-periode sebelumnya.
Sumargono dan Laksono (2004) menyatakan bahwa GARCH telah secara
luas dipakai sebagai pendekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.
J.Supranto (2004) Heteroskedastisitas ialah suatu keadaan dimana variansi
dari kesalahan pengganggu ei tidak konstan untuk semua variabel bebas.
Surya dan Hariadi (2003) telah melakukan pemodelan volatilitas beberapa
saham menggunakan model GARCH(1,1).

1.4 Batasan Masalah
Untuk menyelesaikan masalah pemodelan dan estimasi volatilitas, penulis membatasi orde/derajat pada ARCH-GARCH, yaitu GARCH(1,1).

1.5 Tujuan Penelitian
Tulisan ini bertujuan untuk membuat dan mengestimasi model ARCH-GARCH
Sumatera
Utara
untuk data volatilitas yang berbentuk heteroskedastisitas Universitas
agar parameter
model

4
menjadi lebih efesien yaitu mempunyai varians yang minimum.

1.6 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur tentang model dan estimasi ARCH-GARCH untuk data
volatilitas dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan sebagai pendekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.
1.7 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam menganalisis data adalah estimasi ARCH-GARCH
bila data berbentuk heteroskedastisitas. Bila data berbentuk homoskedastisitas,
maka data diestimasi menggunakan estimasi OLS.
Langkah-langkah untuk membuat model dan estimasinya adalah sebagai
berikut:

1. Pengumpulan data.
2. Uji korelasi dan uji heteroskedastisitas menggunakan uji white noise.
3. Menghilangkan otokorelasi (jika ada). Untuk mengetahui ada atau tidaknya
otokorelasi dilakukan dengan uji Durbin Watson.
d=

Σni=2 (ei − ei−1 )2
Σni=1 e2i

4. Membuat model sederhana ARCH-GARCH.
2
σi2 = α0 + α1 e2i−1 + βσi−1

5. Estimasi menggunakan metode kemungkinan terbesar.
1
1 e2i
1
)
logℓ = Σni=1 (− log2π − logσi2 −
2
2
2 σi2
6. Kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Skripsi ini membahas pemodelan dan estimasi volatilitas nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi ARCH-GARCH. Data volatilitas nilai tukar rupiah dapat diterangkan oleh model ARCH-GARCH
karena sifat variabel tersebut berfluktuasi (naik-turun) dari satu periode tertentu
keperiode berikutnya. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh melalui program
eviews dapat diketahui bahwa data tersebut mengandung heteroskedastisitas, stasioner dan tidak mengandung otokorelasi.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

This thesis discusses about United State dolar exchange rate estimation and model using ARCH-GARCH in 2005. Exchange rate volatility can be explained by
ARCH-GARCH because the nature of the variabel can fluctuate on certain period
with followed by the stabilization of the next period. According to the result of
the estimation, we know that data have heteroscedasticity, stationerity and do not
have otocorelation.

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

v

ABSTRACT

vi

DAFTAR ISI

vii

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.

1

Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Batasan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metode Penelitian

1
3
3
3
3
4
4

2. LANDASAN TEORI

5

2.1. Heteroskedastisitas
2.2. Stasioner
2.3. Model ARCH dan GARCH

5
11
16

3. PEMBAHASAN
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

21

Deskripsi Data
Uji Heteroskedastisitas
Otokorelasi (Autokorelasi)
Model ARCH-GARCH
Estimasi Parameter-parameter Dengan Estimasi Maximum
Likelihood

4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

21
22
22
22
23
25
25
26
27

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square/OLS) telah banyak digunakan
dalam berbagai kesempatan. Pada umumnya metode ini digunakan untuk mengetahui hubungan antarvariabel. Dalam metode kuadrat terkecil, Teorema Gauss
Markov, salah satunya mensyaratkan agar varians dari residu bersifat konstan atau
tidak berubah-ubah. Hal ini agar estimator yang didapat adalah BLUE (Best Linier Unbiased Estimater) atau mempunyai sifat yang linier, tidak bias dan varians
minimum. Data yang digunakan dalam metode ini dapat berupa data penampang
(cross section) dan data runtun waktu (time series). Data penampang adalah data
yang diperoleh dari pengamatan yang berbeda pada waktu yang sama, sedangkan
data runtun waktu adalah data yang diperoleh dari pengamatan yang sama pada waktu yang berbeda. Contohnya besarnya kompensasi yang diberikan kepada
karyawan industri makanan, tekstil, pakaian, percetakan dan lain-lain berdasarkan
jumlah karyawan. Semakin besar industri (makin banyak jumlah karyawannya),
maka kompensasi yang diberikan semakin besar. Data penampang sering memunculkan varians dan residu yang berubah-ubah, namun bukan berarti data runtun
waktu terhindar dari permasalahan tersebut.
Ada beberapa alasan mengapa variansi kesalahan pengganggu ei selalu
berubah-ubah, antara lain sebagai berikut:
1. Mengikuti model berbuat kesalahan dalam belajar, yaitu kalau orang belajar
terus, kesalahan untuk melakukan apa yang dipelajari semakin menurun,
sebab ketrampilan semakin meningkat. Dalam hal ini diharapkan variansi
σi2 diharapkan menurun nilainya.

Universitas Sumatera Utara

2
2. Kalau pendapatan tumbuh/berkembang, makin banyak orang menerima pendapatan yang sangat berbeda jumlahnya, kemungkinan mempunyai lebih
banyak alternatif untuk mengeluarkan/menggunakan pendapatan itu, sehingga variansi makin membesar dengan kenaikan pendapatan.
3. Kalau teknik pengumpulan data semakin membaik, nilai σ 2 cenderung mengecil.
Data runtun waktu terutama data finansial seperti data harga indeks saham, tingkat bunga, nilai tukar sering kali berubah-ubah (volatilitas). Akibat
data yang bervolatilitas adalah varians dan residu tidak konstan. Dengan kata
lain data semacam itu mengalami heteroskedastisitas. Adanya heteroskedastisitas
menyebabkan perkiraan (estimasi) parameter berdasarkan OLS menjadi tidak efesien baik dalam sampel kacil maupun sampel besar sehingga estimasi varians akan
bias dan menyebabkan pengujian hipotesis tentang parameter tidak tepat.
Bagaimana cara mendeteksi dan mengatasi adanya heteroskedastisitas akan
dibahas pada bab berikutnya. Heteroskedastisitas dipandang bukan sebagai suatu masalah, tetapi justru memanfaatkan kondisi tersebut untuk membuat model.
Bahkan dengan memanfaatkan heteroskedastisitas dalam residu dengan tepat, maka akan diperoleh varians yang lebih efisien. Model ini dikenal dengan nama Auto
Regressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) dan General Auto Regressive
Conditional Heteroskedasticity (GARCH).
Volatilitas diperlukan dalam penukaran mata uang untuk menganalisis resiko pemegang aset dari investasi pilihan, meramalkan interval keyakinan sehingga
dapat diperoleh interval yang lebih tepat dengan memodelkan varians, residu dan
estimasi yang lebih efesien bila heteroskedastisitas digunakan dengan tepat.
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis memilih judul skripsi ini sebagai: Estimasi Volatilitas Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar AmeriUniversitas
Sumatera
Utara
ka Tahun 2005 Menggunakan Estimasi Model Auto
Regressive
Con-

3
ditional Heteroskdastisitas-General Auto Regressive Conditional Heteroskdastisitas (ARCH-GARCH).

1.2 Perumusan Masalah
Adapun yang menjadi permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana membuat
dan mengestimasi parameter model ARCH-GARCH pada data volatilitas nilai
tukar rupiah terhadap dolar Amerika tahun 2005 menggunakan estimasi model
ARCH-GARCH.

1.3 Tinjauan Pustaka
Engle (2001) menyatakan bahwa ARCH adalah variabel yang dipengaruhi oleh
variabel itu sendiri berdasarkan informasi masa lalu dan variansnya berubah-ubah
pada periode-periode sebelumnya.
Sumargono dan Laksono (2004) menyatakan bahwa GARCH telah secara
luas dipakai sebagai pendekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.
J.Supranto (2004) Heteroskedastisitas ialah suatu keadaan dimana variansi
dari kesalahan pengganggu ei tidak konstan untuk semua variabel bebas.
Surya dan Hariadi (2003) telah melakukan pemodelan volatilitas beberapa
saham menggunakan model GARCH(1,1).

1.4 Batasan Masalah
Untuk menyelesaikan masalah pemodelan dan estimasi volatilitas, penulis membatasi orde/derajat pada ARCH-GARCH, yaitu GARCH(1,1).

1.5 Tujuan Penelitian
Tulisan ini bertujuan untuk membuat dan mengestimasi model ARCH-GARCH
Sumatera
Utara
untuk data volatilitas yang berbentuk heteroskedastisitas Universitas
agar parameter
model

4
menjadi lebih efesien yaitu mempunyai varians yang minimum.

1.6 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur tentang model dan estimasi ARCH-GARCH untuk data
volatilitas dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan sebagai pendekatan pada variabel ekonomi khususnya volatilitas.
1.7 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam menganalisis data adalah estimasi ARCH-GARCH
bila data berbentuk heteroskedastisitas. Bila data berbentuk homoskedastisitas,
maka data diestimasi menggunakan estimasi OLS.
Langkah-langkah untuk membuat model dan estimasinya adalah sebagai
berikut:

1. Pengumpulan data.
2. Uji korelasi dan uji heteroskedastisitas menggunakan uji white noise.
3. Menghilangkan otokorelasi (jika ada). Untuk mengetahui ada atau tidaknya
otokorelasi dilakukan dengan uji Durbin Watson.
d=

Σni=2 (ei − ei−1 )2
Σni=1 e2i

4. Membuat model sederhana ARCH-GARCH.
2
σi2 = α0 + α1 e2i−1 + βσi−1

5. Estimasi menggunakan metode kemungkinan terbesar.
1
1 e2i
1
)
logℓ = Σni=1 (− log2π − logσi2 −
2
2
2 σi2
6. Kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2
LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan dan
mendukung untuk mendapatkan model dan bagaimana mengestimasi model tersebut.

Materi-materi tersebut antara lain: heteroskedastisitas, stasioner model

ARCH-GARCH. Dengan demikian, akan mempermudah dalam hal pembahasan
hasil utama pada bab berikutnya.

2.1 Heteroskedastisitas
Heteroskedastisitas adalah suatu kondisi dimana varians dari kesalahan/pengganggu
tidak konstan untuk semua nilai variabel bebas.

2.1.1 Dampak Heteroskedastsitas.
Beberapa akibat yang ditimbulkan heteroskedastisitas adalah sebagai berikut:

(i) Estimasi OLS menjadi tidak bias.
(ii) Varians dari parameter OLS tidak minimum.
(iii) Estimasi OLS menjadi tidak konsisten.

2.1.2 Teknik Mendeteksi Heteroskedastisitas.
Untuk mendeteksi heteroskedastisitas dapat diketahui dengan dua cara, yaitu dengan metode grafik dan uji formal.

Universitas Sumatera Utara

6
1. Metode Grafik
Heteroskedastisitas merupakan suatu kondisi dimana varians tidak konstan.
Dengan demikian pada suatu nilai variabel bebas akan mempunyai nilai varians yang berbeda dengan variabel bebas lainnya. Oleh karena itu, bila nilainilai varians diplot dengan nilai-nilai variabel bebas akan ditemui suatu pola
atau bentuk yang sistematis.
2. Uji Formal
Salah satu kelemahan pengujian secara grafik adalah tidak jarang kita ragu
terhadap pola yang ditunjukkan grafik. Keputusan secara subyektif tentunya dapat mengakibatkan berbedanya keputusan antara satu orang dengan
orang lainnya. Oleh karena itu, kadang-kadang dibutuhkan uji formal untuk
memutuskannya. Uji formal tersedia cukup banyak, seperti uji P ark dan
Goldfeld − Quandt, uji Breusch-Pagan Godfrey (uji BPG), uji white dan
lain-lain. Pada bagian ini hanya akan membahas uji BPG dan uji white
karena uji ini telah tersedia dalam program eviews.

(a) Uji Breusch-Pagan Godfrey (BPG)
Pada prinsipnya uji ini tidak jauh berbeda dengan uji lainnya, yaitu mencoba mengukur varians akibat perubahan nilai-nilai variabel bebasnya. Perhatikan model regresi ganda pada persamaan (2.1) berikut:
Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + ... + βk Xki + ei

(2.1)

dengan i = 1, 2, 3, ..., n. k = 0, 2, 3, ..., n. n = Banyak pengamatan.
Diasumsikan var(e2i ) = σi2 merupakan fungsi linier.
Adapun langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk menguji ini adalah:
1. Buat hipotesis
H0 : Varians ei homoskedastisitas
H1 : Varians ei heteroskedastisitas

Universitas Sumatera Utara

7
2. Estimasi model regresi dan cari eˆi .
3. Cari :
σ
˜2 =

eˆ2i
n

4. Uji BPG dilambangkan dengan p, dengan rumus:
pi =

eˆ2i
σ
˜2

5. Regresikan pi dengan X sehingga didapat:
p2i = γ0 + γ1 X1i + γ2 X2i + ... + γm Xmi + ei
dengan ei adalah residual.
6. Hitung jumlah kuadrat regresi (Sum Of Square Regression/SSR) dan
cari:
1
Θ = SSR
2
7. Bandingkan dengan tabel Chi Square dengan derajat bebas (m − 1)
dimana m adalah jumlah parameter yang digunakan.
Jika Θ > χ2(m−1), maka tolak hipotesis yang menyatakan homoskedastisitas.
(b) Uji White noise (White General Heteroscedastisity Test)
Model ini lebih mudah digunakan dibandingkan dengan uji-uji lainnya. Perhatikan persamaan regresi ganda berikut:
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βk Xki + ei
k = Banyaknya variabel yang tercakup dalam persamaan regresi.
Berdasarkan persamaan regresi ganda di atas kita dapat melakukan
uji white noise dengan beberapa tahap, yaitu:
1. Hasil estimasi dari model di atas akan menghasilkan residu, yaitu: eˆ2i .
2. Dengan hipotesis:

Universitas Sumatera Utara

8
H0 : Varians ei homoskedastisitas.
H1 : Varians ei heteroskedastisitas.
Sampel berukuran n dan koefesien determinasi R2 yang didapat dari
regresi akan mengikuti distribusi Chi Square dengan derajat bebas,
jumlah variabel bebas atau jumlah parameter regresi di luar intercept.
Dengan demikian, rumus uji white noise adalah sebagai berikut:
nR2 ∼ χ2
3. Jika nilai penghitungan melebihi nilai kritis dengan α yang dipilih, diputuskan bahwa tidak terdapat heteroskedastisitas. Hal ini disebabkan
α1 = α2 = α3 = ... = αk = 0, sehingga eˆ2i = α0 (konstan).

2.1.3 Teknik Mengatasi Heteroskedastisitas.
Menurut Nachrowi dan Usman (2006) ada beberapa teknik yang dapat digunakan
untuk mengatasi heteroskedastisitas, yaitu:

(a) Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang
Metode ini hanya dapat diterapkan jika σi2 diketahui. Perhatikan model
berikut:
Yi = β0 + β1Xi + ei dengan var(ei) = σi2
Jika persamaan tersebut masing-masing dikalikan

(2.3)
1
,
σi

maka:

1
Xi
ei
Yi
= β0( ) + β1( ) + ( )
σi
σi
σi
σi
Jika

1
σi

(2.4)

disubstitusi dengan * maka model tersebut dapat dituliskan sebagai:
Yi∗ = β0∗ + β1Xi∗ + e∗i

(2.5)

Dapat dibuktikan bahwa model (2.4) telah homoskedastisitas.
Perhatikan pembuktian di bawah ini:

Universitas Sumatera Utara

9

E(e∗2
i ) = E(

e2i
1
1
2
2
2 ) = 2 E(ei ) = 2 = σ
σi
σi
σi

(2.6)

Oleh karena residu telah homoskedastisitas karena mempunyai varians yang
konstan, maka model (2.4) dapat diduga dengan OLS, dan penduga yang
diperoleh akan bersifat BLUE, sedangkan model awal (2.3) yang belum ditransformasikan bila diestimasi dengan OLS, estimasi tidak bersifat BLUE.
(b) Transformasi dengan

1
Xi

Dalam banyak pembuatan model regresi, ternyata nilai-nilai σi2 hampir tidak
pernah diketahui. Untuk menanggulangi kendala tersebut maka digunakan
asumsi untuk menentukan nilai σi2. Asumsikan bahwa:
E(e2i ) = σ 2 Xi2

(2.7)

Dengan asumsi demikian, maka transformasi dilakukan dengan membagi
model awal (2.3) dengan Xi . Maka model menjadi:
1
ei
Yi
= β0( ) + β1 + ( )
Xi
Xi
Xi
Jika

1
Xi

(2.8)

disubstitusi dengan * maka model tersebut dapat ditulis sebagai:
Yi∗ = β0∗ +β1 +e∗i

(2.9)

Apakah sudah homoskedastisitas? Perhatikan bukti berikut:
E(e∗2
i ) = E(

1
1
e2i
) = 2 E(e2i ) = 2 (σ 2Xi2 ) = σ 2
2
Xi
Xi
Xi

(2.10)

Ternyata hasil transformasi tersebut telah menyebabkan residual konstan,
dan berarti residual telah homoskedastisitas. Mengingat hal tersebut, maka
sekarang OLS dapat digunakan dengan meregresikan

Yi
Xi

dengan

1
.
Xi

Lihat

kembali persamaan (2.8). Persamaan hasil transformasi menunjukkan bahwa
yang menjadi slope adalah β0 dan yang menjadi intercept adalah β1.
Universitas Sumatera Utara

10
(c) Transformasi dengan

√1
Xi

Pada transformasi ini diasumsikan bahwa E(e2i ) = σ 2Xi . Setelah ditransformasikan persamaan (2.3) menjadi:
p
Yi
1
ei
√ = β0( √ ) + β1 Xi + ( √ )
Xi
Xi
Xi

(2.11)

Atau dapat ditulis dengan:
Jika

√1
Xi

disubstitusi dengan * maka model tersebut dapat ditulis sebaga:
Yi∗ = β0∗ + β1 + e∗i

Pembuktian bahwa hasil transformasi konstan adalah:
1
1 2
e2i
E(e∗2
E(e2i ) =
(σ Xi ) = σ 2
)
=
E(
√ 2) =
i
X
X
i
i
Xi

(2.12)

(d) Transformasi dengan E(Yi )
Transformasi ini dilandasi dengan asumsi bahwa:
E(e2i ) = σ 2[E(Yi )]2
Hasil transformasi adalah:
ei
1
Xi
Yi
= β0 (
) + β1(
)+(
)
E(Yi )
E(Yi )
E(Yi )
E(Yi )

(2.13)

Atau dapat ditulis dengan:
Yi∗ = β0∗ + β1X1∗ + ei
Kembali akan dibuktikan, apakah residu telah homoskedastisitas?
E(e∗2
i ) = E(

1
1
e2i
)=
E(e2i ) =
(σ 2[E(Yi )]2) = σ 2 (2.14)
2
2
[E(Yi )]
[E(Yi )]
[E(Yi )]2

Permasalahan dalam transformasi ini adalah tidak diketahuinya nilai β0 dan
β1, sehingga [E(Yi)] juga tidak dapat diketahui. Oleh karena itu, transformasi dapat dilakukan dengan memanfaatkan model regresi yang diduga,
Universitas Sumatera Utara

11
yaitu: Yi = b0 +b1Xi , yang sekaligus merupakan penduga [E(Yi )], atau sering
dinotasikan dengan Yˆ . Persamaan hasil transformasinya adalah:
Yi
1
Xi
ei
= β0( ) + β1 ( ) + ( )
ˆ
ˆ
ˆ
Yi
Yi
Yi
Yˆi

(2.15)

2.2 Stasioner
Sekumpulan data dinyatakan stasioner jika nilai rata-rata dan varians dari data
runtun waktu tidak mengalami perubahan (rata-rata dan varians konstan).
Data runtun waktu sangat banyak digunakan, ternyata data runtun waktu
menyimpan berbagai permasalahan. Salah satunya adalah otokorelasi. Otokorelasi
adalah penyebab yang mengakibatkan data menjadi tidak stasioner, sehingga bila
data distasionerkan maka otokorelasi akan hilang dengan sendirinya, karena itu
transformasi data untuk membuat data yang tidak stasioner menjadi stasioner
sama dengan transformasi data untuk menghilangkan otokorelasi.
Mengapa data harus stasioner? Hal ini berkaitan dengan metode estimasi
yang digunakan. Misalnya regresi, tidak stasionernya data mengakibatkan kurang
baiknya model yang diestimasi akibat heteroskedastisitas.
Proses yang stasioner mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. P (Yi , ..., Y(i+k)) = P (Y(i+m) , ..., Y(i+k+m) ), ∀k, m, i
2. EYi = µy tidak tergantung pada i.
3. V ar(Yi ) = σy2 = E[Yi − µi 2 ] tidak tergantung pada i.
4. γk = cov(Yi , Y(i+k) ) : tidak tergantung pada = cov(Y(i+m) , Y(i+k+m) )

Sebagai catatan: k = 0, berlaku:
γ0 = cov(Yi , Yi ) = V ar(Yi ) = µy

Universitas Sumatera Utara

12
dengan k = Beda waktu (lag) dan m = Panjang lag.
2.2.1 Uji Kestasioneran Data.
Uji yang sangat sederhana untuk melihat stasioner data adalah dengan analisis
grafik, yang dilakukan dengan membuat plot antara nilai observasi (Y ) dan waktu
(i). Akan tetapi analisis grafik mempunyai kelemahan karena keputusan diambil secara subyektif, sehingga memungkinkan terjadinya perbedaan pengambilan
keputusan. Untuk itulah digunakan uji formal dalam menentukan stasioner data. Ada beberapa macam pengujian yang dapat dilakukan yaitu Uji Bartlett, Uji
Box-Pierce, Uji Ljung-Box(LB) dan Unit Root Test.
(a) Uji Bartlett
Uji ini dilakukan untuk melihat signifikan rk satu per satu. Bartlett menunjukkan
bahwa jika suatu runtun waktu dibentuk melalui proses white noise, maka sampel
otokorelasinya akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata nol dan standar
deviasi

1
,
n1/2

di mana n banyaknya pengamatan, atau dinotasikan dengan rk ∼

1
N (0, n1/2
). Oleh karena itu, bila ada rk > 0.2 (dua kali standar deviasi), maka

kita yakin dengan kepercayaan 95% bahwa ρ 6= 0 dan berarti runtun waktu yang
sedang kita analisis bukan berasal dari proses white noise. Atau secara sistematis
dapat ditulis:
rk ± Za2 s.e
Di mana: s.e = standar error.

H0 : Homoskedastisitas
H1 : Lainnya.

Jika interval rk tidak mengandung nilai nol, maka H0 diterima, akan tetapi
jika interval H0 tidak mengandung nilai 0, maka H0 ditolak.

Universitas Sumatera Utara

13
(b) Uji Box-Pierce
Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah nilai ρk pada sekumpulan waktu secara
nyata berbeda dengan nol. Dengan demikian hipotesisnya adalah:

H0 : Semua ρk = 0
H1 : Paling sedikit ada satu ρk 6= 0
Untuk menguji hipotesis tersebut, kita gunakan uji Q yang dikenalkan oleh
Box dan Pierce, dengan formulasi:
2
Q = nΣm
k=1 rk

Dengan:
n = Banyaknya pengamatan.
m = Panjangnya lag.
Nilai uji Q ini dibandingkan dengan Tabel Chi-Square dengan derajat bebas
sama dengan m. jika Q > χ2(m,5), maka kita dapat menolak hipotesis, atau dapat
juga dikatakan, kita yakin dengan tingkat kepercayaan 95% bawha tidak semua
ρk = 0. Bila ini terjadi, runtun waktu tidak berasal dari proses white noise.

(c) Uji Ljung-Box (LB)
Fungsi uji ini sesungguhnya sama dengan Uji Q, tetapi untuk sampel yang berukuran kecil, teknik yang merupakan pengembangan dari Statistik Q ini lebih ”powerfull”.
Rumus dari pengujian ini adalah sebagai berikut:
LB = n(n + 2)Σm
k=1 (

rk2
)
n−k

Universitas Sumatera Utara

14
Sama pula dengan Uji Q, nilai LB dibandingkan dengan tabel Chi Square dengan
derajat bebas sama dengan m.
(d) Uji Unit Root
Selain membuat korelogram, stasioner juga dapat dilihat dengan menggunakan
uji formal yang dikenal dengan uji Unit Root. Pengujian ini merupakan uji yang
sangat populer, dan dikenalkan oleh David Dickey dan Wayne Fuller. Untuk
memudahkan pengertian mengenai Unit Root, perhatikan model berikut:
Yi = ρYi−1 + ei
Jika ρk = 1, maka model menjadi acak tanpa trend. Disini kita akan menghadapi masalah dimana varian Yi tidak stasioner. Dengan demikian Yi dapat
disebut mempunyai unit root atau data tidak stasioner.
Bila persamaan tersebut dikurangi pada Yi−1 sisi kanan dan kiri, maka
persamaannya menjadi:
Yi − Yi−1 = ρYi−1 + ei − Yi−1
Yi − Yi−1 = (ρ − 1)Yi−1 + ei
Atau dapat ditulis dengan:
∆Yi = δYi−1 + ei
Dari persamaan tersebut dapat dibuat hipotesis:

H0 : δ = 0
H1 : δ 6= 0
Jika kita menolak hipotesis δ = 0, maka ρ = 1. Artinya kita memiliki unit
root, dimana data runtun waktu Yi tidak stasioner.
Universitas Sumatera Utara

15
2.2.2 Transformasi Data Tidak Stasioner Menjadi Stasioner.
Teknik transformasi yang digunakan adalah proses pembedaan stasioner
(Difference Stasionarity Process/DSP). Untuk keperluan tersebut, perhatikan model berikut:
Yi = α + ρYi−1 + ei
dengan memasukkan variabel bebas waktu(i), maka model menjadi:
Yi = α + βi + ρYi−1 + ei
Andaikan α = 0, β = 0, dan ρ 6= 0, maka modelnya menjadi:
Yi = Yi−1 + ei
Atau dapat ditulis dengan:
Yi − Yi−1 = ei
atau
∆Yi = ei
Sehingga, E(∆Yi ) = 0, dan var(∆Yi) = σ 2, maka model tersebut menjadi
stasioner. Proses inilah yang disebut proses pembedaan stasioner. Andaikan α 6=
0, β = 0, dan ρ 6= 0, maka modelnya menjadi:
Yi = α + Yi−1 + ei
Model tersebut adalah Random Walk dengan intercep yang tidak stasioner.
Bila model ditulis dengan:
Yi − Yi−1 = α + ei
atau
∆Yi = α + ei

Universitas Sumatera Utara

16
maka:
E(∆Yi ) = E(α + ei ) = α
dan
var(∆Yi) = var(α + ei) = σ 2
Kita lihat bahwa rata-rata maupun varians telah konstan, yang berarti ∆Yi
telah stasioner. Berarti persamaan ini juga merupakan proses pembedaan stasioner, karena ketidakstasioneran Yi dapat dieliminasi pada pembedaan pertama.
Andaikan α 6= 0, β 6= 0, dan ρ = 0, maka modelnya menjadi:
Yi = α + βi + ei
Dengan rata-rata adalah sebagai berikut:
E(Yi ) = α + βi
dan
E(Yi ) = σ 2
Dari persamaan rata-rata dan varians di atas dapat kita lihat bahwa rata-rata
berubah sesuai waktu, sehingga tidak stasioner.
2.3 Model ARCH dan GARCH
2.3.1 Model ARCH.
Model ARCH yang sangat sederhana dan mudah digunakan adalah model linier
orde pertama (I). Andaikan {ei} adalah nilai riil dan {ai } adalah sebuah white
noise dengan ψi adalah kumpulan semua informasi yang diperoleh pada waktu i.
Pada intinya, model ARCH dapat dijelaskan sebagai berikut:
Perhatikan model regresi ganda di bawah ini:

Universitas Sumatera Utara

17
yi = b0 + b1x1i + b2x2i + ei
σi2 atau varians ei heteroskedastisitas, dan mengikuti persamaan berikut:
σi2 = α0 + α1 e2i−1 ; σi2 = var(ei)
Perhatikan bahwa var(ei) dijelaskan oleh dua komponen:
(a) Komponen konstanta: α0
(b) Komponen variabel: α1 e2i−1 ; yang disebut komponen ARCH
Pada model ini, ei heteroskedastisitas, tergantung (conditional) pada ei−1.
Dengan menambahkan informasi ”conditional” ini estimator dari b0 , b1 dan b2
menjadi lebih efesien.
Model ARCH di atas, dengan var(ei) tergantung hanya pada volatilitas satu
periode lalu, seperti pada σi2 = α0 + α1e2i−1 , disebut model ARCH(1). Sedangkan
secara umum, bila var(ei) tergantung hanya pada volatilitas beberapa periode lalu,
seperti σi2 = α0 + α1 e2i−1 + α2 e2i−2 + α3 e2i−3 + ... + αp e2i−p disebut model ARCH(p)
dengan α0 > 0 dan α1, α2 , α3 , ..., αp ≥ 0.
p = Orde/derajat model.
= 0, 1, ..., ∞
Atau ditulis dengan:
σi2 = α0 + Σpi=1 αi e2i−1
Pada model ini, agar varians menjadi positif (var(e2) > 0), maka harus
dibuat pembatasan, yaitu: α0 > 0 dan 0 < α1 < 1. Sebuah proses ARCH(p)
stasioner jika:
0 ≤ Σpi=1 αi < 1
Perhatikan model ARCH(p) di atas. Dengan jumlah p yang relatif be-

Universitas Sumatera Utara

18
sar akan mengakibatkan banyaknya parameter yang harus diestimasi sehingga
ketelitian dari estimator tersebut berkurang. hal semacam ini sering dijumpai
pada analisis data harian.
Untuk mengatasi estimasi parameter yang terlalu banyak, var(ei) dapat
dijadikan model berikut:
2
σi2 = α0 + α1 e2i−1 + βσi−1

Model ini disebut model GARCH(1,1), karena σi2 tergantung pada e2i−1 dan
2
yang masing-masing mempunyai beda waktu satu hari, maksudnya waktu
σi−1

yang diperlukan variabel tak bebas terhadap perubahan-perubahan variabel bebas
adalah satu hari. Sama halnya dengan model ARCH, agar varians menjadi positif
(var(e2i ) > 0), maka pada model ini juga harus dibuat pembatasan, yaitu: α0 > 0;
α1 , β ≥ 0; dan α1 + β < 1 untuk menjamin bahwa data mempuyai varians yang
stationer.
Sebagaimana model ARCH, maka model GARCH ini juga dapat diestimasi
dengan teknik maximum likelihood. Secara umum, var(ei) dapat ditulis:
2
2
+ ... + βq σi−q
σi2 = α0 + α1 e2i−1 + ... + αpe2i−p + β1 σi−1

Model di atas disebut model GARCH(p, q). Dari model di atas terlihat
bahwa besaran var(ei) selain diduga tergantung pada e2 juga tergantung pada σ 2
pada masa lalu. Parameter dari model GARCH memberi informasi seberapa erat
pengaruh masa lalu terhadap perubahan nilai volatilitas.
2.3.1.1 Sifat-sifat Model ARCH(1) Linier.
Dengan menggunakan persamaan E(ei) = E{E(ei|ψi−1 )}, sifat dari ARCH(1)
linier dapat ditunjukkan. Sifat-sifatnya adalah sebagai berikut:
(i) Varians E(ei ) = 0, α0 > 0 dan 0 ≤ α1 < 1
(ii) V (ei ) =

α0
1−α

Universitas Sumatera Utara

19
(iii) cov(ei, ei−k ) = 0, ∀k 6= 0
1−α2

3α0
1
(iv) E(e4i ) = [ (1−α
2 ][ 1−3α2 ], α0 > 0 dan 0 ≤ α1 < 1
1)
1

Teorema 2.3.1 Asumsikan bahwa ei adalah proses ARCH(1) dengan variabel
(ei) = σ 2 < ∞. Maka ei adalah white noise.
Bukti. Dari E(ei |ψi−1 ) sedemikian sehingga E(ei ) = 0, dan
cov(ei, ei−k ) = E(ei |ψi−1 )
= E[E(ei ei−k |ψi−1 )]
= E[ei−k E(ei |ψi−1 )]
= E[ei−k , 0]
= E[0]
= 0.

Teorema 2.3.2 (Ketidakkondisionalan varians dari ARCH(1)) Asumsikan proses
ei adalah proses ARCH(1) dengan var(ei) = σ 2 < ∞ sedemikian sehingga σ 2 =
α0
.
1−α1

Bukti
σ 2 = E(e2i )
= E[E(e2i |ψi−1 )]
= α0 + αE(e2i−1 )
= α0 + α1σ 2
σ 2(1 − α1 ) = α0
σ2 =

α0
, α1 < 1.
1 − α1
Universitas Sumatera Utara

20
2.3.2 Estimasi Model ARCH(p) Linier.
Estimasi dari model ARCH adalah berdistribusi normal menggunakan metode
maximum likelihood. Asumsikan bahwa ei berdistribusi normal.
1

− 12

e
ℓ(ei |ψi−1 ) = p
2πσ12
1

− 12

logℓ = log( p
e
2πσ12
1

− 12

e
logℓ = log( p
2πσ12

e2
1
2
σ1

e2
1
2
σ1

e2
1
2
σ1

1

e2
2
2
σ2

− 12

.p
e
2πσ22
1

− 12

.p
e
2πσ22
1

− 21

) + log( p
e
2πσ22
logℓ =

e2
2
2
σ2

− 12

.p
e
2πσ32
1

− 12

.p
e
2πσ32

e2
2
2
σ2

Σni=1 log( p

1

e2
3
2
σ3

e2
3
2
σ3

1

... p
e
2πσi2
1

1

2πσi2

− 12

e

e2
i
σ2
i

− 12

... p
e
2πσi2
− 12

) + log( p
e
2πσ32

1

− 12

e2
3
2
σ3

e2
i
σ2
i

e2
i
σ2
i

)
1

− 12

) + ... + log( p
e
2πσi2

)

1
1 e2i
1
logℓ = Σni=1 (− log2π − logσi2 −
)
2
2
2 σi2
n = Jumlah pengamatan dari Yi .

Universitas Sumatera Utara

e2
i
σ2
i

)

BAB 3
PEMBAHASAN

3.1 Deskripsi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data nilai tukar rupiah terhadap
dolar Amerika tahun 2005 yang diperoleh dari Bank Sentral Republik Indonesia
melalui internet pada tanggal 28 agustus 2006 pukul 10.00 WIB dengan alamat:
http : //www.bi.go.id/biwb/templates/Dynamic/Kurs ID.aspx?N RMODE =
P − ublished&NRORIGIN ALU RL = %2fweb%2fid%2fIn.
Data terdiri dari dua model, yaitu model untuk nilai tukar jual dan model
nilai tukar beli. Data terlampir pada lapiran A dan B.
Adapun model yang digunakan adalah model ARCH-GARCH yang terdiri
dari dua persamaan, yaitu persamaan regresi dan persamaan varians
Peramaan regresi:
Yi = γXi + ei
Yi = Tingkat penurunan rupiah terhadap dolar Amerika pada waktu i.
Xi = Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada waktu i.
ei = Residu pada waktu i
i = 1, 2, 3, ..., 246.
Persamaan varians:
2
σi2 = α0 +α1 e2i−1 +βσi−1

γ, α0, α1 dan β = Koefesien-koefesien model.

(3.1)
Universitas Sumatera Utara

22
Data terdiri dari dua variabel, yaitu variabel X dan variabel Y . Persamaan (3.1)
menunjukkan conditional varians dan peramalan varians dari satu periode ke depan, σi2 berdasarkan informasi masa lalu. Conditional varians merupakan fungsi
tiga hal, yaitu (1) rata-rata, α0 ; (2) Volatilitas masa lalu yang diukur dari residu
kuadrat masa lalu, e2i−1 dan merupakan bentuk ARCH; dan (3) varians masa lalu
2
yang merupakan bentuk GARCH. Parameter-parameter yang akan diestimasi
σi−1

adalah γ, α0 , α1 dan β. Untuk mengestimasi parameter model GARCH digunakan
perangkat lunak, yaitu eviews.
3.2 Uji Heteroskedastisitas
Untuk menentukan adanya heteroskedastisitas dilakukan Uji White. Baik nilai
tukar jual maupun beli, hasilnya menunjukkan bahwa probabilitas statistik Obs*RSquared sangat tinggi bila dibandingkan dengan F Statistik, yaitu 8, 636584 >
4, 421271 untuk nilai tukar jual, sedangkan untuk nilai tukar beli 8, 701900 >
4, 455939. Atau dapat disimpulkan bahwa residu dari model regresi yang dibuat
mengandung heteroskedastisitas.
3.3 Otokorelasi (Autokorelasi)
Untuk mengetahui apakah data otokorelasi digunakan uji Durbin Watson (DW )
Statistik. Untuk nilai tukar jual diperoleh nilai DW =1.626662 (mendekati dua),
maka ρ akan benilai nol, yang berarti tidak ada otokorelasi. Begitu juga untuk
nilai tukar beli, DW =1.626850. Berarti baik nilai tukar jual maupun beli tidak
ada otokorelai
3.4 Model ARCH-GARCH
Berdasarkan output pada lampiran diperoleh persamaan sebagai berikut: persamaan regresi dan varians untuk nilai tukar jual:
Yi = 481.4049371 − 0.04854932027∗ Xi
Universitas Sumatera Utara

23
2
σi2 = 888.2988 + 0.913962e2i−1 + 0.026251σi−1

Xi bertanda negatif (- 0.04854932027), artinya semakin tinggi nilai tukar jual
rupiah terhadap dolar, maka semakin rendah tingkat penurunan rupiah terhadap
dolar.
Persamaan regresi dan varians untuk nilai tukar beli:
Yi = 432.4236279 − 0.04841952591∗ Xi
2
σi2 = 903.410 + 0.905105e2i−1 + 0.030720σi−1

Xi bertanda negatif (- 0.04841952591), artinya semakin tinggi nilai tukar beli
rupiah terhadap dolar, maka semakin rendah tingkat penurunan rupiah terhadap
dolar.
3.5 Estimasi Parameter-parameter Dengan Estimasi Maximum Likelihood
Untuk mengestimasi model ARCH-GARCH digunakan estimasi likelihood. Fungsi
likelihoodnya adalah:
1
1 e2i
1
)
logℓ = Σni=1 (− log2π − logσi2 −
2
2
2 σi2
Berdasarkan output, maka diperoleh model sebagai berikut:
Estimasi likelihood untuk nilai tukar jual adalah sebagai berikut:
1
1 1.113962
1
logℓ = − log2(3.14) − log(0.026251) −
2
2
2 0.026251
= −20.823644
Estimasi likelihood untuk nilai tukar beli adalah sebagai berikut:
1
1 1.095105
1
ℓi = − log2(3.14) − log(0.030720) −
2
2
2 0.030720
= −17.566605
Universitas Sumatera Utara

24
Melalui pendekatan estimasi maximum likelihood parameter-parameter yang
diperoleh dapat dilihat dari tabel berikut ini:
Tabel 3.1

: Hasil estimasi γ, α dan β menggunakan metode estimasi
maximum likelihood

Variabel

γ

α

β

(StandaarError(SE)

Nilaitukarjual 888.2988

0.913962

0.026251

81.40337

Nilaitukarbeli

0.905105

0.030720

81.36871

903.410

Koefesien regresi yang dihasilkan ternyata untuk γ hasilnya paling besar
yaitu 903.410 pada nilai tukar beli sedang untuk α hasil yang paling besar pada
nilai tukar jual, yaitu sebesar 0.913962. Untuk β hasil yang paling besar adalah
pada nilai tukar jual, yaitu sebesar 0.030720, sedangkan untuk Standart Error
yang paling besar adalah pada nilai tukar beli, yaitu sebesar 81.40337.
Dari hasil estimasi terlihat bahwa estimasi ARCH terdiri dari dua bagian,
bagian atas untuk persamaan rata-rata (mean) dan bagian bawah untuk persamaan varians. α ditunjukkan oleh koefesien ARCH, sedangkan β ditunjukkan
oleh koefesien GARCH. Koefesien ARCH-GARCH memberi informasi seberapa
besar pengaruh masa lalu terhadap perubahan nilai volatilitas nilai tukar. Pada output terbawah menunjukkan sekumpulan satistik regresi yang menggunakan
residu dari persamaan rata-rata.
Jumlah parameter ARCH dan GARCH hampir mendekati satu tepatnya
0.940213 untuk nilai tukar jual, sedangkan untuk nilai tukar beli 0.935825. Apabila jumlah parameter ARCH dan GARCH mendekati 1 (satu) maka volatilitas
bersifat tetap. Model ARCH-GARCH membutuhkan 198 iterasi, untuk nilai tukar
jual dan 123 iterasi untuk nilai tukar beli untuk mencapai fungsi likelihood yang
maksimum.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan di atas dapat diambil kasimpulan sebagai berikut:

1. Dari uji white diketahui bahwa nilai tukar jual dan beli mengandung heteroskedastsitas.
2. Dari uji Durbin Watson Statistik diketahui bahwa nilai tukar jual dan beli
tidak mengandung otokorelasi.
3. Persamaan regresi dan varians nilai tukar jual:
Yi = 481.4049371 − 0.04854932027∗ Xi
2
σi2 = 888.2988 + 0.913962e2i−1 + 0.026251σi−1

Persamaan regresi dan varians nilai tukar beli:
Yi = 432.4236279 − 0.04841952591∗ Xi
2
σi2 = 903.410 + 0.905105e2i−1 + 0.030720σi−1

i = 1, 2, 3, ..., 246.
4. Data mempunyai varians yang stasioner, karena jumlah koefesien ARCH
dan GARCH lebih kecil dari satu, yaitu 0.940213 untuk nilai tukar jual dan
0.935825 untuk nilai tukar beli.

Universitas Sumatera Utara

26
4.2 Saran
Model GARCH(1,1) yang dikembangkan masih terlalu sederhana yaitu data
Yi hanya mempertimbangkan variabel ei , hal ini bisa dikembangkan lebih lanjut
misalnya dengan menyertakan data Yi−1 atau dengan meningkatkan derajat/orde
GARCH.

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA

Asokan, M.V. Chenouri, S. dan Mahmoodabadi, A.K. 2001. ARCH and GARCH
Models. Dept Of Statistics and Actuarial Science University. Waterloo On
Canada.
Engle, Robert. 2001. GARCH 101: The Use Of ARCH/GARCH Model in Applied
Econometrics. Journal Of Econometric Presvektive, Vol.15. Num. 4.
Gujarati, D. 1995. Ekonometri Dasar. Erlangga. Ciracas, Jakarta.
Hasibuan, Nurimandjah. 1982. Pengantar Ekonometrika. Bagian Penerbitan Fakultas
Ekonomi, UGM. Yogyakarta.
Nachrowi, D.N. dan Usman, Hardius. 2006. Ekonometrika. Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia. Jakarta.
Pornchaiwiseskul, P. ARCH Models. Faculty Of Economics Chulalongkorn
University.
Sugiarto, Harijono. 2000. Peramalam Bisnis. PT Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.
Sumargono, B. dan Laksono, Y.G. 2004. Pemodelan Volatilitas Nilai Tukar Yen
Dengan Model ARCH-GARCH. Jurnal Mat Stat, Vol. 4. No. 2.
Sumodiningrat, Gunawan. 2001. Ekonometrika Pengantar. BPFE. Yogyakarta.
Supranto, J. 2004. Ekonometrika. Ghalia Indonesia. Jakarta.
Surya, Y. dan Hariadi, Y. 2003. Peramalan Dalam Selang GARCH(1,1). Working
Papers WPF. Bandung Fe Institut