3 untuk
mengevaluasi kebutuhan
oksigen secara
biokimia. BOD
didefinisikan sebagai jumlah oksigen yang diperlukan oleh bakteri untuk
mendekomposisikan bahan organik hingga stabil pada kondisi aerobik.
Oleh karena itu, tujuan pemeriksaan BOD adalah untuk menentukan
pencemaran air
akibat limbah
domestik atau
limbah industri.
Umumnya makin tinggi BOD makin tinggi tingkat pencemarannya.
2.2 Transformasi Laplace
Metode transformasi Laplace adalah suatu metode operasional
yang dapat digunakan secara mudah untuk
menyelesaikan persamaan
diferensial linier.
Definisi 2.1
Misalkan ft merupakan suatu fungsi dari t terdefinisi untuk t 0.
Kemudian
∫
∞ −
dt t
f e
pt
, jika ada dinamakan suatu fungsi dari p,
katakan Fp. Fungsi Fp ini dinamakan transformasi Laplace dari
ft dan dinotasikan dengan £{ft}. Jadi £{ft}= Fp =
∫
∞ −
dt t
f e
pt
Operasi yang
baru ditunjukkan yang menghasilkan Fp
dari suatu fungsi ft yang diberikan, disebut transformasi Laplace.
Teorema 2.2
Tranformasi Laplace
dari penjumlahan selisih dua fungsi
adalah sama dengan penjumlahan selisih
transformasi Laplace
masing-masing fungsi. £{f
1
t ±
f
2
t} = £ [f
1
t] ±
£[ f
2
t]
Teorema 2.3
Transformasi Laplace
suatu konstanta dikalikan dengan suatu
fungsi adalah sama dengan konstanta tersebut
dikalikan dengan
transformasi Laplace dari fungsi tersebut.
£[kft] = k£[ft]
Teorema 2.4
Transformasi laplace dari e
-at
dikali dengan suatu fungsi adalah sama
dengan transformasi laplace dari fungsi itu dengan p diganti oleh
p+a. £[ e
-at
ft] = = Fp+a
4
Teorema 2.5
Jika £{ft}=Fp, maka £
t
f dt
d =
pFp – f0
Definisi 2.6
Jika £{ft} = Fp, maka ft dinamakan
transformasi Laplace
invers dari Fp dan dinotasikan dengan ft = £
-1
{Fp}. Kemudian untuk mencari £
-1
{ }
p F
harus dicari suatu fungsi dari t yang transformasi
Laplacenya adalah Fp.
2.3 Integral Konvolusi
Misalkan ft
dan gt
merupakan suatu fungsi dari t. Transformasi
Laplace dari
ft dituliskan dengan £{ft}= Fp dan
transformasi Laplace
dari gt
dituliskan dengan £{gt}= Gp. Transformasi Laplace ht dituliskan
sebagai £{ht }= Hp = FpGp dimana Fp dan Gp adalah
transformasi pada fungsi f dan g. Akan tetapi £{ftgt}
≠ £ft £ gt.
Teorema 2.7
Misalkan Fp = £ {ft} dan Gp = £ {gt} untuk setiap p a
≥ 0.
Maka Hp = Fp Gp = £ {ht} untuk p a dimana :
ht =
∫
−
t
d g
t f
τ τ
τ
=
∫
−
t
d t
g t
f τ
τ Fungsi ht pada Teorema 2.7
adalah konvolusi pada f dan g dan integralnya
dikatakan sebagai
integral konvolusi.
Integral konvolusi dapat dituliskan sebagai
ht = fgt.
2.4 Integral Eksponensial
