Bahan ajar matdas
1..Rata-rata Hitung (Mean)
Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung.
Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang
´x .
a. Rataan data tunggal
Perhitungan nilai rata-rata untuk data yang belum dikelompokkan ke dalam daftar
distribusi frekuensi dinyatakan dengan rumus :
X=
∑ X i = X 1+ X 2+ …+ X n
n
n
contoh:
dari 10 orang siswa yang mengikuti ulangan matematika tercatat mendapatkan nilai
sebagai berikut:
Nilai Ulangan matematika
No
Nama
Nilai
1
Wulan
85
2
Dammar
75
3
Sita
70
4
Yanawar
80
5
Doni
90
6
Anwar
45
7
Andi
50
8
Ganang
65
9
Ambar
35
10
Anto
40
Rata-rata hitungnya adalah:
X=
∑ X i = X 1+ X 2+ …+ X n
n
n
=
85+75+70+80+ 90+45+50+ 65+35+40
10
=
63,5
b. Rataaan data berkelompok
Metode biasa
Perhitungan dengan menggunakan metode biasa,yaitu merupakan perhitungan
yang di dasarkan pada jumlah dari hasil perkalian antara frekuensi tiap kelas interval
dengan nilai tengah.
X=
∑ f i . xi
∑ fi
Dimana:
∑ f i . xi
∑fi
: Jumlah perkalian frekuensi dengan nilai tengah
: Jumlah data
Metode simpangan rata-rata (rata-rata sementara)
Metode simpangan rata-rata pada hakikatnya sama dengan menghitung
ratarata data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas
sebagai xi. Dengan menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut.
a. Menentukan rataan sementaranya.
b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.
c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini.
d. Menghitung rataan sesungguhnya.
n
∑ f i di
´x = x´ s + i=1n
∑ fi
i =1
Dimana:
x´ s : rata-rata sementara
n
∑ f i di
: jumlah frekuensi x simpangan
i=1
Nb: rata-rata sementara anda cari dengan memperkirakan letak titik tengah kelas dari
data yang paling besar frekuensinya (paling banyak muncul)
Berikut diberikan contoh sajian data dalam daftar distribusi frekuensi mengenai nilai
ujian mata pelajaran matematika
Data nilai ulangan mata pelajaran
matematika
Interval kelas
ferekuensi
31 – 40
4
41 – 50
6
51 – 60
8
61 – 70
14
71 – 80
26
81 – 90
12
91 – 100
20
Jumlah
90
Diminta : tentukan rata-rata hitungnya dengan metode biasa dan dengan rata-rata sementara
Jawab:
-
Metode biasa
Data nilai ulangan mata pelajaran
matematika
Interval kelas
ferekuensi
Xi
Fi. Xi
31 – 40
4
35,5
142
41 – 50
6
45,5
273
51 – 60
8
55,5
444
61 - 70
14
65,5
917
71 – 80
26
75,5
1.963
81 – 90
12
85,5
1.026
91 - 100
20
95,5
1.910
jumlah
90
X=
Maka rata-rata hitungnya adalah :
-
6.675
6.675
=74,167
90
Metode rata-rata sementara
Data nilai ujian mata pelajaran
matematika
fi
xi
di
f i . di
1
55
-12
-12
57 – 59
2
58
-9
-18
60 – 62
5
61
-6
-30
9
64
-3
-27
Interval kelas
54 – 56
63 - 65
66 – 68
12
67
0
0
69 – 71
8
70
3
24
72 - 74
2
73
6
12
75 - 77
1
76
9
9
jumlah
40
-42
Rata – rata sementara dari data di atas adalah 67
n
∑ f i di
´x = x´ s + i=1n
∑ fi
i =1
´x =67+(
−42
) = 67 + 1,05 = 65,95
40
2. Median
Yang dimaksud dengan median adalah nilai data tengah (dengan pengertian bahwa
dari sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama dan pembagi nya disebut
sebagai median ). Adapun untuk menentukan nilai median dapat dilakukan dengan cara:
a. Untuk data yang belum di kelompokkan (data tunggal).
langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan penyusunan data
berdasarkan urutan data dimulai dari data terkecil sampai data terbesar,lalu tentukan
median nya sesuai dengan jumlah data nya (ganjil atau genap). Untuk sekumpulan data
yang berjumlah ganjil maka nilai median nya adalah merupakan data yang paling
tengah dan untuk sekumpulan data yang berjumlah genap,maka median nya adalah
jumlah dua data tengah di bagi 2(dua).berikut di sajikan contoh:
Untuk data ganjil:
Diberikan data sbb:
8,12,5,3,16,7,2,3,8
Setelah diurutkan datanya menjadi : 2,3,3,5,7,8,8,12,16
Jadi Me= 7
Untuk data genap:
Misal data nya : 8,12,5,3,16,7,2,3,8,17 ,
Urutan data : 2,3,3,5,7,8,8,12,16,17
Me =
7 +8
2
= 7,5
b. untuk data yang sudah di kelompokkan (data bergolong atau data berkelompok)
Dalam hal median untuk data yang sudah di kelompokkan ke dalam daftar distribusi
frekuensi,dirumuskan sbb:
Me=b+ p
n
−F
2
f
( )
b : batas bawah dimana median terdapat
p : panjang kelas dimana median terdapat
n : jumlah data
F: frekuensi kumulatif / frekuensi sebelum kelas median
f : frekuensi kelas median
contoh : jika di ketahui hasil tabulasi data yang telah tersusun ke dalam dafar distribusi
frekuensi mengenai nilai statistika seperti dibawa ini:
Data nilai ulangan mata pelajaran
matematika
Interval kelas
31 – 40
ferekuensi
fk
4
4
41 – 50
6
10
51 – 60
8
18
61 - 70
14
32
71 – 80
26
58
81 – 90
12
70
91 - 100
20
90
jumlah
90
Tentukan nilai median nya?
Jawab:
Letak median yaitu pada data yang ke 90/2 = 45 (artinya median yang dicari terletak
pada data yang ke 45 atau lebih).
Dari daftar diatas ternyata nilai median yang dicarinya berada pada kelas interval ke 5
yang mempunyai batas bawah(b)= 70,5 , panjang kelas(p)=10, jumlah frekuensi
sebelum kelas median(F)=32 dan frekuensi pada kelas median tersebut (f)= 26,sehingga
nilai mediannya adalah:
Me= 70,5 + 10
90
−32
2
26
( )
= 75,5
3. Modus
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi
tertinggi.
Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua
modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut
multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
a. modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi
tertinggi
b. modus data berkelompok / bergolong
modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :
M o=b o +c (
d1
)
d 1+d 2
Keterangan :
bo = tepi bawah kelas median
C = lebar kelas
d 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh :
Tentukan modus dari tabel di bawah ini
Nilai
frekuensi
50-54
2
55-59
4
60-64
6
65-69
18
70-74
9
75-79
15
80-84
6
Penyelesaian
Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 – 69, dan tepi bawah frekuensi modus
bo = 64,5
d 1 = 18 – 6 = 12
d 2 = 18 – 9 = 9
c = 69,5 – 64,5 = 5
M o=b o +c (
d1
) = 64,5 + 5
d 1+ d 2
12
12+ 9
= 64,5 + 2,86 = 67,36
Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung.
Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang
´x .
a. Rataan data tunggal
Perhitungan nilai rata-rata untuk data yang belum dikelompokkan ke dalam daftar
distribusi frekuensi dinyatakan dengan rumus :
X=
∑ X i = X 1+ X 2+ …+ X n
n
n
contoh:
dari 10 orang siswa yang mengikuti ulangan matematika tercatat mendapatkan nilai
sebagai berikut:
Nilai Ulangan matematika
No
Nama
Nilai
1
Wulan
85
2
Dammar
75
3
Sita
70
4
Yanawar
80
5
Doni
90
6
Anwar
45
7
Andi
50
8
Ganang
65
9
Ambar
35
10
Anto
40
Rata-rata hitungnya adalah:
X=
∑ X i = X 1+ X 2+ …+ X n
n
n
=
85+75+70+80+ 90+45+50+ 65+35+40
10
=
63,5
b. Rataaan data berkelompok
Metode biasa
Perhitungan dengan menggunakan metode biasa,yaitu merupakan perhitungan
yang di dasarkan pada jumlah dari hasil perkalian antara frekuensi tiap kelas interval
dengan nilai tengah.
X=
∑ f i . xi
∑ fi
Dimana:
∑ f i . xi
∑fi
: Jumlah perkalian frekuensi dengan nilai tengah
: Jumlah data
Metode simpangan rata-rata (rata-rata sementara)
Metode simpangan rata-rata pada hakikatnya sama dengan menghitung
ratarata data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas
sebagai xi. Dengan menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut.
a. Menentukan rataan sementaranya.
b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.
c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini.
d. Menghitung rataan sesungguhnya.
n
∑ f i di
´x = x´ s + i=1n
∑ fi
i =1
Dimana:
x´ s : rata-rata sementara
n
∑ f i di
: jumlah frekuensi x simpangan
i=1
Nb: rata-rata sementara anda cari dengan memperkirakan letak titik tengah kelas dari
data yang paling besar frekuensinya (paling banyak muncul)
Berikut diberikan contoh sajian data dalam daftar distribusi frekuensi mengenai nilai
ujian mata pelajaran matematika
Data nilai ulangan mata pelajaran
matematika
Interval kelas
ferekuensi
31 – 40
4
41 – 50
6
51 – 60
8
61 – 70
14
71 – 80
26
81 – 90
12
91 – 100
20
Jumlah
90
Diminta : tentukan rata-rata hitungnya dengan metode biasa dan dengan rata-rata sementara
Jawab:
-
Metode biasa
Data nilai ulangan mata pelajaran
matematika
Interval kelas
ferekuensi
Xi
Fi. Xi
31 – 40
4
35,5
142
41 – 50
6
45,5
273
51 – 60
8
55,5
444
61 - 70
14
65,5
917
71 – 80
26
75,5
1.963
81 – 90
12
85,5
1.026
91 - 100
20
95,5
1.910
jumlah
90
X=
Maka rata-rata hitungnya adalah :
-
6.675
6.675
=74,167
90
Metode rata-rata sementara
Data nilai ujian mata pelajaran
matematika
fi
xi
di
f i . di
1
55
-12
-12
57 – 59
2
58
-9
-18
60 – 62
5
61
-6
-30
9
64
-3
-27
Interval kelas
54 – 56
63 - 65
66 – 68
12
67
0
0
69 – 71
8
70
3
24
72 - 74
2
73
6
12
75 - 77
1
76
9
9
jumlah
40
-42
Rata – rata sementara dari data di atas adalah 67
n
∑ f i di
´x = x´ s + i=1n
∑ fi
i =1
´x =67+(
−42
) = 67 + 1,05 = 65,95
40
2. Median
Yang dimaksud dengan median adalah nilai data tengah (dengan pengertian bahwa
dari sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama dan pembagi nya disebut
sebagai median ). Adapun untuk menentukan nilai median dapat dilakukan dengan cara:
a. Untuk data yang belum di kelompokkan (data tunggal).
langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan penyusunan data
berdasarkan urutan data dimulai dari data terkecil sampai data terbesar,lalu tentukan
median nya sesuai dengan jumlah data nya (ganjil atau genap). Untuk sekumpulan data
yang berjumlah ganjil maka nilai median nya adalah merupakan data yang paling
tengah dan untuk sekumpulan data yang berjumlah genap,maka median nya adalah
jumlah dua data tengah di bagi 2(dua).berikut di sajikan contoh:
Untuk data ganjil:
Diberikan data sbb:
8,12,5,3,16,7,2,3,8
Setelah diurutkan datanya menjadi : 2,3,3,5,7,8,8,12,16
Jadi Me= 7
Untuk data genap:
Misal data nya : 8,12,5,3,16,7,2,3,8,17 ,
Urutan data : 2,3,3,5,7,8,8,12,16,17
Me =
7 +8
2
= 7,5
b. untuk data yang sudah di kelompokkan (data bergolong atau data berkelompok)
Dalam hal median untuk data yang sudah di kelompokkan ke dalam daftar distribusi
frekuensi,dirumuskan sbb:
Me=b+ p
n
−F
2
f
( )
b : batas bawah dimana median terdapat
p : panjang kelas dimana median terdapat
n : jumlah data
F: frekuensi kumulatif / frekuensi sebelum kelas median
f : frekuensi kelas median
contoh : jika di ketahui hasil tabulasi data yang telah tersusun ke dalam dafar distribusi
frekuensi mengenai nilai statistika seperti dibawa ini:
Data nilai ulangan mata pelajaran
matematika
Interval kelas
31 – 40
ferekuensi
fk
4
4
41 – 50
6
10
51 – 60
8
18
61 - 70
14
32
71 – 80
26
58
81 – 90
12
70
91 - 100
20
90
jumlah
90
Tentukan nilai median nya?
Jawab:
Letak median yaitu pada data yang ke 90/2 = 45 (artinya median yang dicari terletak
pada data yang ke 45 atau lebih).
Dari daftar diatas ternyata nilai median yang dicarinya berada pada kelas interval ke 5
yang mempunyai batas bawah(b)= 70,5 , panjang kelas(p)=10, jumlah frekuensi
sebelum kelas median(F)=32 dan frekuensi pada kelas median tersebut (f)= 26,sehingga
nilai mediannya adalah:
Me= 70,5 + 10
90
−32
2
26
( )
= 75,5
3. Modus
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi
tertinggi.
Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua
modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut
multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
a. modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi
tertinggi
b. modus data berkelompok / bergolong
modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :
M o=b o +c (
d1
)
d 1+d 2
Keterangan :
bo = tepi bawah kelas median
C = lebar kelas
d 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh :
Tentukan modus dari tabel di bawah ini
Nilai
frekuensi
50-54
2
55-59
4
60-64
6
65-69
18
70-74
9
75-79
15
80-84
6
Penyelesaian
Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 – 69, dan tepi bawah frekuensi modus
bo = 64,5
d 1 = 18 – 6 = 12
d 2 = 18 – 9 = 9
c = 69,5 – 64,5 = 5
M o=b o +c (
d1
) = 64,5 + 5
d 1+ d 2
12
12+ 9
= 64,5 + 2,86 = 67,36