I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan asal Swiss, yaitu Leonard
Euler, pada tahun 1736. Euler menemukan penyelesaian untuk permasalahan jembatan
Konigsberg Konigsberg bridge problem. Sejak saat itu, Euler dijuluki The Father of
Graph Theory.
Seiring dengan perkembangannya, teori graf tidak
hanya dapat
menyelesaikan permasalahan transportasi dan riset operasi,
tetapi juga mulai dikembangkan di bidang kimia,
fisika dan
bahkan permainan.
Permainan yang pertama kali dikembangkan dari teori graf adalah permainan puzzle oleh
W. R.
Hamilton pada
tahun 1856.
Permasalahan graf pada permainan ini adalah bagaimana membuat perjalanan ke setiap sisi
dengan melewati setiap simpul tepat satu kali. Pada tahun 1995, Tiger Electronics
memproduksi permainan
dengan array
berukuran 5 × 5 yang disebut dengan permainan Lights Out. Cara memainkan
permainan ini adalah memilih suatu simpul misalnya simpul x sehingga warna simpul x
dan simpul-simpul yang bersebelahan dengan x berubah warna. Tujuan dari permainan ini
adalah menjadikan semua simpul pada array tersebut
memiliki warna
yang sama.
Anderson Feil 1998 Perkembangan dari permainan Lights Out
adalah permainan Elimination-Lit Lights Out ELLO yang diperkenalkan pada tahun 2007.
Perbedaan antara permainan ELLO dan Lights Out adalah adanya proses penghapusan simpul
yang dipilih pada permainan ELLO.
Untuk permainan ELLO yang diberikan, permainan diklasifikasikan menjadi dua, yaitu
permainan yang
dapat dimenangkan
winnable dan permainan yang tidak dapat dimenangkan
unwinnable. Terdapat
beberapa ciri
permainan yang
dapat dimenangkan. Ciri-ciri tersebut biasa disebut
dengan karakteristik permainan yang dapat dimenangkan.
Karya ilmiah
ini akan
membahas karakteristik graf 2 warna yang dapat dimenangkan dengan rujukan utama
Craft et al. 2007.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengklasifikasikan graf 2 warna yang
diberikan menjadi permainan yang dapat dimenangkan dan permainan yang tidak dapat
dimenangkan.
II LANDASAN TEORI
2.1 Definisi-Definisi Dasar pada Graf
Berikut diberikan definisi-definisi dasar pada graf.
Definisi 1 Graf
Suatu graf
G
adalah pasangan terurut
, V E
dengan
V
himpunan takkosong dan berhingga dan
E
himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-
elemen
. V
Graf
G
dinotasikan dengan
, . G
V E
Elemen
V
disebut simpul vertex, node sedangkan elemen
E
disebut sisi edge. Himpunan dari simpul-simpul
pada graf
G
dinotasikan dengan
, V G
sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf
G
dapat dinotasikan dengan
. E G
Foulds 1992 Berikut ini adalah contoh graf dengan 6
simpul dan 6 sisi.
G
:
u v
w x
y z
Gambar 1 Graf
, . G
V E
Himpunan simpul pada graf pada Gambar 1 adalah
{ , , , , , }. V G
u v w x y z
Himpunan sisi pada
graf pada
Gambar 1
adalah
{{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }}. E G
u v u w
v x w x
x y y z
Definisi 2 Order dan Size
Misalkan diberikan graf
. G
Banyaknya simpul pada graf
G
disebut order dari
G
dan dinotasikan dengan
| | V G
dan banyaknya
sisi pada graf
G
disebut size dari
G
dan dinotasikan dengan
| | .
E G
Chartrand Oellermann 1993 Untuk graf pada Gambar 1, nilai
| | 6 V G
dan
| | 6.
E G
Definisi 3 Incident dan Adjacent
Misalkan diberikan graf
, G
V E
. Jika
{ , } e
u v E G
dengan
, ,
u v V G
maka u dikatakan adjacent dengan v di
G
dan e dikatakan incident dengan u dan .
v
Chartrand Oellermann 1993 Untuk graf pada Gambar 1, misalkan
{ , } ,
e u v
E G
maka u dikatakan adjacent dengan v dan e incindent dengan u dan v.
Definisi 4 Neighborhood
Misalkan diberikan graf
, G
V E
dan
. v
V G
Neighborhood dari v atau
N v
didefinisikan dengan
| .
N v u
V G uv
E G
Chartrand Oellermann 1993 Untuk graf pada Gambar 1, neighborhood dari
simpul u adalah simpul
v
dan
, w
sehingga
{ , }. N u
v w
Definisi 5 Derajat
Derajat atau degree dinotasikan dengan deg v atau
d v
merupakan banyaknya simpul yang adjacent dengan v, untuk
. v
V G
Chartrand Oellermann 1993 Untuk graf pada Gambar 1, derajat untuk
setiap simpul, yaitu :
deg 2
deg 2
deg 2
deg 3
deg 2
deg 1
u v
w x
y z
Definisi 6 Walk
Suatu walk pada graf
, G
V E
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G
dengan bentuk :
1 1
2 2
2 3
3 1
{ ,{ , }, ,{ , }, ,...,{
, }, }
n n
n
v v v
v v v
v v
v v
dan dapat ditulis sebagai
1 2
{ , ,..., }
n
v v v
atau
1 2
, ,...,
n
v v v
. Walk yang menghubungkan
1
v
dan
n
v
dikatakan tertutup jika
1
.
n
v v
Jika
1 n
v v
maka walk tersebut dikatakan terbuka. Foulds 1992
Untuk graf pada Gambar 1, contoh walk terbuka yang berawal dari simpul u dan
berakhir pada simpul z adalah walk
{ ,{ , }, ,{ , }, ,{ , }, ,{ , }, } u u v v v x x x y y y z z
dan contoh walk tertutup yang berawal dan
berakhir pada simpul u adalah walk
{ ,{ , }, ,{ , }, ,{ , }, ,{ , }, }. u u v v v x x x y y y u u
Definisi 6 Path Path pada suatu graf
G
adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda.
Foulds 1992 Untuk graf pada Gambar 1, salah satu contoh
path yang menghubungkan simpul u dan z
adalah
, , , , . u v x y z
Definisi 7 Graf terhubungkan dan tak terhubungkan
Graf
G
dikatakan terhubungkan jika setiap 2 simpul yang berbeda pada
G
dihubungkan oleh suatu path dan dikatakan tak terhubungkan jika pada 2 simpul yang
berbeda, tidak ada path yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Foulds 1992 Graf pada Gambar 1 merupakan graf
terhubungkan. Berikut adalah contoh graf takterhubungkan.
J
:
u v
w x
y z
Gambar 2 Graf J tak terhubungkan.
Definisi 8 Subgraf
Misal diberikan graf
G
dan
. H
Graf
H
disebut subgraf dari
G
jika
V H V G
dan
. E H
E G
Chartrand Oellermann 1993 Misalkan
{ , , , } V H
u w x y V G
dan
{{ , }} ,
E H w x
E G
maka
H
adalah
subgraf dari graf
G
pada Gambar 1. Berikut adalah gambar subgraf H dari graf G.
H
:
u
w x
y
Gambar 3 H subgraf dari graf G.
Definisi 9 Graf Lengkap
Graf berorder p sehingga setiap dua
simpulnya adjacent disebut graf lengkap dan dinotasikan dengan
.
p
K Chartrand Oellermann 1993
Berikut ini adalah contoh graf lengkap ber- order 4.
4
K
:
u
w x
v
Gambar 4 Graf lengkap ber-order 4.
Definisi 10 Penghapusan Simpul
Misalkan diberikan graf
G
dan
. v V G
Jika v adalah simpul pada graf ,
G maka
G v
merupakan subgraf dari
G
yang terbentuk
dengan menghapus
menghilangkan simpul v dari graf
G
. Penghapusan
simpul pada
graf selalu
mengakibatkan penghapusan semua sisi yang incident dengan simpul tersebut.
Deo 1974 Untuk graf pada Gambar 1, penghapusan
simpul x mengakibatkan sisi
{ , }, v x { , }
w x
dan
{ , } x y
terhapus. Berikut adalah graf
G
setelah penghapusan simpul x.
G x
:
u v
w y
z
Gambar 5 Graf G setelah simpul x diambil.
2.2 Permainan ELLO
