12
2.8 Momen
Karakterisasi terhadap suatu distribusi dapat dilakukan dengan mengkaji momen
dari distribusi tersebut. Momen memiliki peran penting dalam statistika karena mampu menjelaskan sebaran dari peubah acak. Momen didefinisikan sebagai
berikut : Definisi 2.8
Momen ke-r di sekitar titik asal dari peubah acak didefinisikan oleh
� ′
= �
�
. Jika X peubah acak diskrit, maka
� ′
= �
�
=
�
2.15
Dan jika X peubah acak kontinu, maka
� ′
= �
�
=
� ∞
−∞
2.16 Bila momen pertama dan kedua di sekitar titik asal dinyatakan dengan
1= ′
� dan
2 ′
= E X
2
, maka rataan dan variansi suatu peubah acak dapat ditulis sebagai berikut:
= � =
′ 1
dan � � � =
2 ′
−
2
Walck, 2007 Pada sub-bab selanjutnya akan diuraikan mengenai fungsi pembangkit kumulan
dari distribusi generalized eksponensial.
13
2.9 Fungsi Pembangkit Kumulan
Fungsi pembangkit kumulan digunakan untuk menghitung kumulan dari variabel
acak X. Fungsi pembangkit kumulan disimbolkan dengan � � , didefinisikan
sebagai berikut : Definisi 2.9
Fungsi Pembangkit Kumulan didefinisikan sebagai �
�
� ≡ ��
∞ =1
� ln �
�
� = ln
��
2.17
Dimana �
�
� : Fungsi Karakteristik �
�
� : Fungsi Pembangkit momen Walck, 2007
Karakteristik lain dari distribusi generalized eksponensial yang akan dicari dalam penelitian ini adalah kumulan. Definisi kumulan akan diuraikan pada sub-bab
selanjutnya.
2.10 Kumulan
Kumulan merupakan suatu karakteristik dari suatu distribusi peluang. Kumulan
dapat dicari menggunakan cara langsung atau dengan penurunan fungsi pembangkit kumulan.
14
Definisi 2.10 Kumulan
�
didefinisikan sebagai berikut: �
�
� ≡ ��
∞ =1
2.18
Dengan menggunakan deret Maclaurin maka didapat : �
�
� = ��
1 ′
+
1 2
��
2 2
′
−
1 ′ 2
+
1 3
��
3
2
1 ′ 3
− 3
1 ′
2 ′
+
3 ′
+ 1
4 ��
4
−6
1 ′ 4
+ 12
1 ′ 2
2 ′
− 3
1 ′ 2
− 4
1 ′
3 ′
+
4 ′
+ 1
5 ��
5
24
1 ′ 5
− 60
1 ′ 3
2 ′
+ 20
1 ′ 2
3 ′
− 10
2 ′
3 ′
+5
1 ′
6
2 ′ 2
−
4 ′
+
5 ′
+ ⋯
Dimana
� ′
momen baku, maka dapat dituis kembali sebagai berikut:
1
=
1 ′
2
=
2 ′
−
1 ′ 2
3
= 2
1 ′ 3
− 3
1 ′
2 ′
+
3 ′
4
= −6
1 ′ 4
+ 12
1 ′ 2
2 ′
− 3
2 ′ 2
− 4
1 ′
3 ′
+
4 ′
� − �
� �� �
�
=
� ′
− � − 1
− 1
�−1 =1
�− ′
Kendall Stuart, 1977 Kemudian, kumulan-kumulan diatas dapat digunakan untuk mencari skewness
yang akan dijelaskan pada sub-bab selanjutnya.
15
2.11 Skewness
Kemencengan atau kecondongan skewness adalah tingkat ketidaksimetrisan atau
kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.
Definisi 2.11 Skewness dari suatu variable random X yang dinotasikan dengan Skew[X]
didefinisikan sebagai: � =
[ � −
3
] [
� −
2
]
3 2
= �
3
�
2 3
2
2.19
Skewness merupakan ukuran dari kesimetrisan atau lebih tepatnya kekurang- simetrisan. Suatu distribusi dikatakan simetris jika distribusi tersebut nampak
sama antara sebelah kanan dan sebelah kiri titik.pusatnya. Distribusi - distribusi yang simetris misalnya distribusi normal, distribusi t dan distribusi seragam.
Distribusi –distribusi yang mempunyai skewness positif misalnya distribusi
eksponensial, distribusi Chi-kuadrat, distribusi Poisson dan distribusi Binomial dengan p 0.5 sedangkan distribusi yang mempunyai skewness negatif misalnya
distribusi Binomial dengan p 0.5. deGunst dan van der Vaart, 1993
Selain itu, kumulan juga dapat digunakan untuk mencari kurtosis yang akan dijelaskan definisinya pada sub-bab selanjutnya.
Kategori