C
B A
C B
A B
A Y
X B
Y A
X ;
;
2.2 Logika Predikat L
o
RW
+
. Selanjutnya, dipelajari tentang logika predikat L
o
RW
+
. Logika predikat
L
o
RW
+
adalah logika proposisional L
o
RW
+
yang dilengkapi dengan aturan quantifiers.
Quantifiers adalah simbol khusus yang digunakan untuk membentuk kalimat umum tentang semua hal atau tentang beberapa paling sedikit satu hal.
http:en.wikipedia.orgwikiPredicate_language.html. Quantifiers ada 2 macam, yaitu:
1. Universal quantifiers .
1.
x
diterjemahkan sebagai “untuk setiap x” . 2.
xF x
disebut sebagai universal generalization. 3.
xF x
benar jika
F x benar untuk setiap x, dengan kata lain,
xF x
benar jika
1
2
...
i
F x F x
F x
benar.
2. Existensial quantifiers .
1. x
diterjemahkan sebagai “terdapat x” atau “terdapat paling sedikit satu x
” . 2.
xF x
disebut sebagai existensial generalization.
C
B A
C B
A ,
3.
xF x
benar jika
F x benar untuk paling sedikit satu x, dengan kata lain,
xF x
benar jika
1
2
...
i
F x F x
F x
benar.
Definisi aturan quantifiers yaitu :
Definisi 2.2.1
Surarso, 1995 Aturan-aturan quantifiers:
D z
zA X
D t
A X
z zA
X x
A X
D z
zA X
D x
A X
z zA
X t
A X
, ,
, ,
, ,
, ,
Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari
dan
.
Sehingga definisi logika predikat L
o
RW
+
yaitu :
Definisi 2.2.2 Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika predikat L
o
RW
+
terdiri dari initial sequent :
A A
Dan aturan-aturan inferensi berikut : Aturan struktural :
weak E
D Y
X D
X
, Aturan-aturan untuk logical connectives :
C
X B
A C
B A
X B
A X
B A
X ;
;
B
A Y
X B
Y A
X C
B A
C B
C A
,
2 1
B A
X B
X B
A X
A X
C
B A
C B
A B
A Y
X B
Y A
X ;
;
Aturan-aturan quantifiers :
D z
zA X
D t
A X
z zA
X x
A X
D z
zA X
D x
A X
z zA
X t
A X
, ,
, ,
, ,
, ,
Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari
dan
. 2.3.
Logika Predikat L R
+
.
Sebuah ekspresi X
digunakan untuk menandakan struktur dengan
sebuah indikasi kemunculan struktur X di dalam X
. Kemudian kita misalkan
bahwa Y
struktur yang diperoleh dari
X
dengan menggantikan indikasi kemunculan struktur X di dalam
X
dengan sebuah struktur Y.
Logika predikat L
o
R
+
diperoleh dari logika predikat L
o
RW
+
dengan menambahkan aturan struktural contraction.
C
B A
C B
A ,
Aturan contraction :
con I
C X
C X
X
;
Sehingga definisi logika predikat L
o
R
+
yaitu :
Definisi 2.3.1 Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika predikat L
o
R
+
terdiri dari initial sequent :
A A
Dan aturan-aturan inferensi berikut : Aturan struktural :
weak E
D Y
X D
X
,
con I
C X
C X
X
;
Aturan-aturan untuk logical connectives :
C
X B
A C
B A
X B
A X
B A
X ;
;
B
A Y
X B
Y A
X C
B A
C B
C A
,
2 1
B A
X B
X B
A X
A X
C
B A
C B
A B
A Y
X B
Y A
X ;
;
C
B A
C B
A ,
Aturan-aturan quantifiers :
D z
zA X
D t
A X
z zA
X x
A X
D z
zA X
D x
A X
z zA
X t
A X
, ,
, ,
, ,
, ,
Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari
dan
. Bukti dari sequent
A X
dalam L R
+
didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.3.2 Surarso, 1995 :
Sebuah bukti P dari sequent
A X
adalah sebuah pohon sequent tree dari sequent-sequent sebagai berikut :
1. Sequent paling atas adalah inisial sequent.
2. Setiap sequent pada P, kecuali sequent paling bawah, merupakan
sequent atas dari aturan inferensi yang mempunyai sequent bawah
yang termasuk didalam P.
3. Sequent paling bawah adalah
A X
. Contoh: Berikut adalah bukti dari sequent
C A
B A
C B
A
2 ,
, 1
, ,
C A
B A
C A
C A
C A
C C
A A
C A
B A
B A
B A
B A
B B
A A
Definisi bukti dari suatu formula yaitu : ,
C
A B
A C
B A
C A
B A
C B
A
Definisi 2.3.3 Surarso, 1995
Sebuah bukti dari suatu formula A adalah bukti dari sequent
A
2.4 Induksi Matematika
Kategori