TEOREMA INTERPOLASI UNTUK LOGIKA PREDIKAT LoRW+ DAN LoR+ - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)
SKRIPSI
Disusun Oleh : INDRIYO LUKITO
J2A 004 022
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG 2008
(2)
ABSTRAK
Pada Tugas Akhir ini, dipelajari mengenai pembuktian teorema interpolasi untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+. Logika predikat LoRW+ adalah logika
proposisional LoRW+ yang dilengkapi dengan aturan quantifiers. Sedangkan
logika predikat LoR+ adalah logika predikat LoRW+ dengan menambahkan aturan struktural contraction. Dengan menggunakan modifikasi metode maehara dan dengan menggunakan suatu teorema yang bentuknya lebih umum dari interpolasi, dibuktikan bahwa teorema interpolasi berlaku untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+.
(3)
ABSTRACT
In this paper, we study the proof of interpolation theorem for predicate logics LoRW+ and LoR+. Predicate logic LoRW+ can be obtained from propotitional logic LoRW+ by adding quantifiers rules. Predicate logic LoR+ can be obtained from predicate logic LoRW+ by adding contraction structural rule. By using modification of maehara’s method and by using a general form theorem of interpolation, we prove that the interpolation theorem holds for predicate logics LoRW+ and LoR+.
(4)
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.
Logika intuisionistik (intuitionistic logics) merupakan formulasi suatu logika yang dikenalkan oleh Gentzen pada tahun 1935. Formulasi tersebut yang kemudian lebih dikenal sebagai sistem sequent tipe-Gentzen LJ memuat tiga aturan struktural yaitu aturan weakening, contraction dan exchange. Sedangkan logika substruktural adalah logika yang tidak memuat salah satu atau beberapa aturan-aturan struktural tersebut.
( Troelstra dan Schwichtenberg, 2000)
Pada logika substruktural distributif, sistem sequent tipe Gentzen berisi dua jenis struktur yang lebih kompleks yaitu intensional dan extensional, yang mana dapat berkaitan satu sama lain. Di dalam struktur intensional bisa terdapat struktur extensional. Di dalam struktur extensional bisa terdapat struktur intensional. Begitu juga seterusnya. Kemudian karena kekomplekskan, maka beberapa kesulitan akan muncul. Pada tulisan ini, dengan menggunakan sistem logika predikat LoRW+ dan LoR+, kita akan menyelesaikan kesulitan dan
menunjukkan bahwa teorema interpolasi berlaku untuk logika RW+ dan R+ yaitu
(5)
1.2 Perumusan Masalah.
Berdasar latar belakang yang sudah dijelaskan, permasalahan yang
akan diangkat dalam Tugas Akhir ini adalah akan dibuktikan bahwa teorema
interpolasi berlaku untuk sistem logika substruktural distributif tanpa aturan weakening. Teorema interpolasi tersebut secara berturut-turut dapat dibuktikan untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+.
1.3 Pembatasan Masalah.
Penulisan Tugas Akhir ini hanya membahas pembuktian teorema
interpolasi untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+ yang hanya mempunyai satu
sequent inisial saja, yaitu AA.
1.4 Tujuan Penulisan.
Berdasarkan permasalahan di atas, maka tujuan penulisan Tugas Akhir
ini adalah untuk membuktikan bahwa teorema interpolasi berlaku pada sistem
logika substruktural distributif tanpa aturan weakening khususnya untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+.
1.5 Sistematika Penulisan.
Tugas Akhir ini terdiri dari 4 bab dan beberapa subbab, Bab I Pendahuluan yang berisi latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Pada Bab II diberikan Dasar Teori yang perlu diketahui untuk pembahasan selanjutnya. Kemudian pada Bab III
(6)
Pembahasan yang membahas tentang pembuktian teorema interpolasi untuk sistem logika substruktural distributif dan perluasannya tanpa aturan weakening
yaitu pada logika predikat LoRW+ dan LoR+. Sedangkan pada Bab IV berisi
tentang kesimpulan dari pembahasan-pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dan saran tentang problem-problem selanjutnya yang dapat dipelajari.
(7)
BAB II
DASAR TEORI
Pada bagian ini dibahas teori-teori yang menunjang pembahasan.
2.1 Logika proposisional LoRW+.
Sebelum mempelajari tentang logika proposisional LoRW+, diberikan
beberapa definisi berikut : Definisi term yaitu :
Definisi 2.1.1 (http://en.wikipedia.org/wiki/Formula.html)
1. Suatu variabel adalah term. 2. Suatu konstanta adalah term.
3. Jika f adalah simbol fungsi dan t t1, ,...,2 t adalah term maka n f t t
1, ,...,2 tn
adalah term.
Contoh :
1. m, n, y, z. 2. 6, 7, 8, 9.
3. f( a, b ) = a2 + b2.
Definisi proposisi yaitu :
Definisi 2.1.2 (http://en.wikipedia.org/wiki/Formula.html )
(8)
2. Jika R adalah simbol relasi dan t1,…,tn adalah term maka R
t1,...,tn
adalah proposisi.
Contoh :
1. m = 3.
2. R ( 5,3 ). R menyatakan lebih dari R( 5,3 ) = 5 >3.
Definisi formula yaitu :
Definisi 2.1.3 (http://en.wikipedia.org/wiki/Formula.html)
1. Proposisi adalah formula.
2. Jika A adalah formula dan B adalah formula maka
AB
, AB
, AB
, AB
adalah formula.3. Jika x adalah variabel dan A(x) adalah formula maka xA x
adalah formula.4. Jika x adalah variabel dan A(x) adalah formula maka xA x
adalah formula.Contoh :
1. n = 5.
2. Jika a2 adalah formula dan b2 adalah formula maka
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
, a b a b a b
b
a adalah formula. 3. xA x
= x(2x2> x).4. xA x
= 32 1
( x
x
(9)
Definisi subformula yaitu :
Definisi 2.1.4 (http://planetmath.org/encyclopedia/Subformula.html)
Misalkan A adalah formula, maka subformula dari A didefinisikan sebagai berikut:
1. A subformula dari A.
2. A dan B subformula dari
AB
,
AB
,
AB
dan
AB
. 3. A(t) subformula dari xA x
untuk suatu t yang bebas dari x di A(x). 4. A(t) subformula dari xA x
untuk suatu t yang bebas dari x di A(x).Penjelasan dari “t bebas dari x di A(x)”, artinya bahwa setelah
mensubstitusi term t ke variabel x dalam formula A(x), tidak ada variabel bebas di t menjadi variabel terikat di A(t).
Suatu variabel dikatakan bebas jika dan hanya jika tanpa terikat quantifier. Untuk lebih jelasnya, maka akan diberikan contoh berikut :
1. y
t2 y2 8
adalah subformula dari x
y
(x2 y2 8
= xA(x) selama t adalah term yang tidak mengandung variabel y.2. Jika t=y+2, maka y
y2
2 y2 8
= A(y2) bukan subformula dari
2 2 8
x y x y karena t mengandung variabel y. Tetapi jika t=z+2,
maka y
z2
2 y2 8
=A(z2) subformula dari z
y
z2 y2 8
karena t tidakmengandung variabel y.(10)
Definisi struktur yaitu :
Definisi 2.1.5 (Surarso, 1998)
1. Suatu formula A adalah struktur.
2. Untuk n 2, jika setiap xi adalah suatu struktur untuk setiap i = 1, ..., n maka multiset ( x1; ...; xn) dan himpunan ( x1, ..., xn) adalah struktur.
Contoh :
1. m = 3.
2. Misal x1 adalah struktur, x21 adalah struktur, x22 adalah struktur, x3 adalah struktur, x41 adalah struktur, x42 adalah struktur, x5 adalah struktur, maka :
o x21, x22 dan x41, x42 merupakan struktur..
o x1 ; ( x21, x22) ; x3 ; ( x41, x42 ) ; x5 merupakan struktur.
Logika proposisional LoRW+ mengandung penghubung logika ,, dan
( penggandaan atau fusi).
Sequent pada logika proposisional LoRW+ mempunyai definisi yaitu
sebagai berikut :
Definisi 2.1.6 (Surarso, 1995)
Sebuah sequent adalah ekspresi dari bentuk X A dimana X adalah struktur dan A adalah formula.
Struktur X di sebelah kiri tanda panah sequent disebut anteseden
(antecedent), sedangkan formula A di sebelah kanan tanda panah sequent disebut
(11)
Definisi aturan inferensi pada logika proposisional LoRW+ yaitu :
Definisi 2.1.7 (Surarso, 1995)
Pada aturan inferensi, formula yang memuat penghubung logika dan muncul pada sequent bawah dari aturan untuk penghubung logika selanjutnya disebut prinsipal formula (formula utama). Struktur dari bentuk ( X1, … ,Xn ) disebut extensional dan bentuk dari ( X1; … ;Xn ) disebut intensional. Untuk bentuk struktur ( X1; … ;Xn ) dapat diekspresikan oleh formula X1 … Xn. Sedangkan bentuk struktur ( X1, … ,Xn ) dapat diekspresikan oleh formula X1… Xn. Diasumsikan bahwa ( X1; … ;Xn ) adalah sebuah multiset yang secara tidak
langsung bahwa aturan exchange berlaku untuk dan diasumsikan bahwa ( X1, …
,Xn ) adalah sebuah multiset yang secara tidak langsung bahwa aturan exchange dan aturan contraction berlaku untuk .
Sehingga definisi dari logika proposisional LoRW+ yaitu :
Definisi 2.1.8
Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika proposisional LoRW+ terdiri dari
initial sequent :
A
A
Aturan - aturan untuk logical connectives :
C X B A C B A X B A X B A X ) ; ( ) ( ;
B A Y X B Y A X C B A C B C A , ) ( ) ( ) (
1
2
B A X B X B A X A X
(12)
C B A
C B A B
A Y X
B Y A X
) (
) ; ( ;
2.2 Logika Predikat LoRW+.
Selanjutnya, dipelajari tentang logika predikat LoRW+. Logika predikat
LoRW+ adalah logika proposisional LoRW+ yang dilengkapi dengan aturan quantifiers.
Quantifiers adalah simbol khusus yang digunakan untuk membentuk kalimat umum tentang semua hal atau tentang beberapa (paling sedikit satu) hal. (http://en.wikipedia.org/wiki/Predicate_language.html).
Quantifiers ada 2 macam, yaitu: 1. Universal quantifiers ().
1. x diterjemahkan sebagai “untuk setiap x” .
2. xF x
disebut sebagai universal generalization.3. xF x
benar jika F x
benar untuk setiap x, dengan kata lain, xF x
benar jika
1 2 ... i
F x F x F x benar.
2. Existensial quantifiers ().
1. x diterjemahkan sebagai “terdapat x” atau “terdapat paling sedikit satu x” .
2. xF x
disebut sebagai existensial generalization.
C B A
C B A
) (
) , (
(13)
3. xF x
benar jika F x
benar untuk paling sedikit satu x, dengan katalain, xF x
benar jika
1 2 ... i
F x F x F x benar.
Definisi aturan quantifiers yaitu :
Definisi 2.2.1 ( Surarso, 1995)
Aturan-aturan quantifiers:
D z zA X D t A X z zA X x A X D z zA X D x A X z zA X t A X , , , , , , , ,Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari
dan
.Sehingga definisi logika predikat LoRW+ yaitu :
Definisi 2.2.2
Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika predikat LoRW+ terdiri dari initial
sequent :
A
A
Dan aturan-aturan inferensi berikut : Aturan struktural :
E weak
D Y X D X ) , ( ) (
Aturan-aturan untuk logical connectives :
C X B A C B A X B A X B A X ) ; ( ) ( ;(14)
B A Y X B Y A X C B A C B C A , ) ( ) ( ) (
1
2
B A X B X B A X A X
C B A C B A B A Y X B Y A X ) ( ) ; ( ;Aturan-aturan quantifiers :
D z zA X D t A X z zA X x A X D z zA X D x A X z zA X t A X , , , , , , , ,Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari
dan
.2.3. Logika Predikat L0R+.
Sebuah ekspresi (X)digunakan untuk menandakan struktur dengan
sebuah indikasi kemunculan struktur X di dalam (X). Kemudian kita misalkan
bahwa (Y) struktur yang diperoleh dari (X) dengan menggantikan indikasi kemunculan struktur X di dalam (X) dengan sebuah struktur Y.
Logika predikat LoR+ diperoleh dari logika predikat LoRW+ dengan
menambahkan aturan struktural contraction.
C B A C B A ) ( ) , ((15)
Aturan contraction :
I con
C X C X X ) ( ) ; (Sehingga definisi logika predikat LoR+ yaitu :
Definisi 2.3.1
Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika predikat LoR+ terdiri dari initial sequent :
A
A
Dan aturan-aturan inferensi berikut : Aturan struktural :
E weak
D Y X D X ) , ( ) (
I con
C X C X X ) ( ) ; (
Aturan-aturan untuk logical connectives :
C X B A C B A X B A X B A X ) ; ( ) ( ;
B A Y X B Y A X C B A C B C A , ) ( ) ( ) (
1
2
B A X B X B A X A X
C B A C B A B A Y X B Y A X ) ( ) ; ( ;
C B A C B A ) ( ) , ((16)
Aturan-aturan quantifiers :
D z zA X D t A X z zA X x A X D z zA X D x A X z zA X t A X , , , , , , , ,Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari
dan
.Bukti dari sequent X A dalam L0R+ didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.3.2 (Surarso, 1995) :
Sebuah bukti P dari sequent X A adalah sebuah pohon sequent (tree) dari sequent-sequent sebagai berikut :
1. Sequent paling atas adalah inisial sequent.
2. Setiap sequent pada P, kecuali sequent paling bawah, merupakan sequent atas dari aturan inferensi yang mempunyai sequent bawah yangtermasuk didalam P.
3. Sequent paling bawah adalah X A.
Contoh: Berikut adalah bukti dari sequent A(BC)(AB)(AC)
2
) ( ) ( , ) ( , 1 ) ( ) ( , ) ( , C A B A C A C A C A C C A A C A B A B A B A B A B B A A
Definisi bukti dari suatu formula yaitu : ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , C A B A C B A C A B A C B A ) (
(17)
Definisi 2.3.3 (Surarso, 1995)
Sebuah bukti dari suatu formula A adalah bukti dari sequent A
2.4 Induksi Matematika
a. Untuk membuktikan suatu sifat S berlaku pada x, dimana x adalah
bilangan asli, yaitu dengan melakukan proses induksi sebagai berikut:
1) The Basis : Dibuktikan sifat S tersebut berlaku pada x = 1.
2) The Induktive step : Dibuktikan jika sifat S berlaku pada x = k, maka sifat S akan berlaku pula pada x = k+1.
b. Untuk membuktikan suatu sifat S berlaku pada x, dimana x adalah
bilangan asli, yaitu dengan melakukan proses induksi sebagai berikut:
1) The Basis : Dibuktikan sifat S tersebut berlaku pada x = 0.
2) The Induktive step : Dibuktikan jika sifat S berlaku pada x < k, maka sifat S akan berlaku pula pada x = k.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction).
Pada pembahasan selanjutnya, induksi matematika yang dipakai adalah induksi matematika ( b ).
(18)
BAB III PEMBAHASAN
Pada logika substruktural distributif, sistem sequentnya berisi dua jenis struktur yaitu pertama, intensional dimana struktur intensional adalah struktur
yang dihubungkan oleh penghubung intensional “;” sebagai contoh struktur
(X1;…;Xn) dan kedua, extensional dimana struktur extensional adalah struktur yang dihubungkan oleh penghubung extensional “,” sebagai contoh (X1,…,Xn), yang mana dapat berkaitan satu sama lain. Di dalam struktur intensional bisa terdapat struktur extensional. Di dalam struktur extensional bisa terdapat struktur intensional. Begitu juga seterusnya. Untuk mempermudah pemahaman akan diberikan contoh sebagai berikut :
X = X1; X2; X3; X4; X5.
= X1;( X21, X22, X23 ); X3;( X41, X42, X43); X5.
= X1;( X21,( X221;X222;X223 ), X23); X3; ( X41,( X421;X422;X423 ), X43); X5. Pada berikutnya, U{ c / z } akan menandakan bahwa struktur diperoleh dari U
dengan menggantikan kemunculan struktur Z di dalamnya dengan formula C, dan
U { - / z } akan menandakan bahwa struktur diperoleh dari U dengan menghilangkan kemunculan struktur Z di dalamnya. Himpunan dari variabel proposisional yang muncul dalam sebuah struktur U akan dicatat oleh V( U ).
(19)
3.1. Bukti Teorema Interpolasi Untuk Logika Predikat LoRW+ dan LoR+
Sebelum membuktikan teorema interpolasi untuk logika predikat LoRW+
dan LoR+, didefinisikan sebuah kemunculan struktur X dalam U yang extensional maksimal yaitu jika tidak terdapat kemunculan struktur extensional di dalam U yang diperlukan. Sebagai contoh ambil U = (M,(N1;N2;N3));A. U adalah extensional maksimal. M,(N1;N2;N3) adalah extensional maksimal. A adalah extensional maksimal. Di pihak lain, N1 dan N1;N2;N3 adalah bukan extensional maksimal.
Selanjutnya dibuktikan bahwa interpolasi berlaku untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+ dengan menunjukkan bentuk berikut berlaku
Teorema 3.1. Misalkan bahwa UD adalah sequent yang terbukti. Misalkan
juga jika Z adalah kemunculan struktur yang extensional maksimal dalam U. Maka dalam Z terdapat formula C sedemikian sehingga :
1) Z Cterbukti. 2) U{C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ( U{ - / Z }) V ( D )].
3.1.1. Bukti Teorema 3.1 Untuk Logika Predikat LoRW+
Pertama kita mempertimbangkan bukti dari teorema di atas untuk logika predikat LoRW+. Teorema itu dibuktikan dengan induksi pada banyaknya dari
aturan inferensi dalam gambar bukti dari sebuah sequent U D. Kita perhatikan
upper sequent dari aturan inferensi terakhir yaitu U D. Karena banyaknya
(20)
berdasarkan aturan induksi matematika sequent tersebut memenuhi teorema 3.1.
Dari sini didapatkan bahwa U D juga memenuhi teorema 3.1.
Kasus 1. Aturan terakhir adalah (E – weak). Di sini U D harus berbentuk
D Y X
( , ) dan aturan terakhirnya adalah bentuk berikut :
( )
) , (
) (
weak E
D Y X
D X
Andaikan Z adalah sebuah kemunculan struktur yang extensional maksimal dalam
( X,Y ).
Sub kasus 1.1. Z memuat tampilan X,Y.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (X,Y){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z } ) V ( D )].
Andaikan W Z{/Y} dan Z (X,Y). Maka kita perhatikan sequent atas.
Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C sedemikian
sehingga :
1) W C terbukti.
2) (X){C/W}D terbukti.
3) V ( C ) V ( W ) [V (( X ){ - / W }) V ( D )].
Mengingat hubungan W Z{/Y} dan Z (X,Y) serta dengan menerapkan
)
(Eweak sehingga :
(21)
) (
) , (
) ,
( { / }
weak E
C Y X
C Y
X Y
Selanjutnya, (X){C/W}(X,Y){C/Z}. Jadi dengan 2) (X,Y){C/Z}D
terbukti.
Karena V ( W ) V ( Z ) dan V (( X ){ - / W }) = V (( X,Y ){ - / Z } ). Bukti :
V ( W ) = V ((X,Y){/Y} )...( I ). V ( Z ) = V ((X,Y) ) ...( II ). Terlihat bahwa formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) tetapi tidak demikian sebaliknya. Jadi V ( W ) V ( Z ).
V (( X ){ - / W }) = V (( X ){/Z{/Y}} ) = V (( X ){/(X,Y){/Y}})....( I ).
V (( X,Y ){ - / Z } ) = V (( X, Y ){/(X,Y)} ) ...( II ).
Dengan ( I ) dan ( II ) didapat bahwa V (( X ){ - / W }) = V((X,Y){- / Z } ). Jadi dengan 3) V ( C ) V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z } ) V ( D )].
Sub kasus 1.2. Z adalah kemunculan struktur yang terluar dari tampilan X,Y.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (X,Y){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z } ) V ( D )].
Maka kita perhatikan sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi
terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga :
(22)
1) Z C terbukti.
2) (X){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( X ){ - / Z }) V ( D )].
Maka dengan 2) dan dengan menerapkan (Eweak)pada (X){C/Z}D, kita
mendapatkan bukti (X,Y){C/Z}D.
) (
) , (
) (
} / {
} / {
weak E
D Y
X
D X
Z C
Z C
Dengan 3)V ( C ) V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z }) V ( D )].
Kasus 2. Aturan terakhir adalah (). Bentuk UD adalah bentuk
B A
U dan aturan terakhirnya adalah bentuk di bawah ini :
; ()
B A U
B A U
Andaikan Z adalah kemunculan struktur extensional maksimal dalam U.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) U{C/Z}AB terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ( U{ - / Z } ) V ( AB )].
Maka kita pertimbangkan sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi
terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga :
1) Z C terbukti.
2) U{C/Z};AB terbukti.
(23)
3) V ( C ) V ( Z ) [V ( U{ - / Z }; A ) V ( B )].
( perhatikan bahwa terdapat (U;A){C/Z}U{C/Z};A dan (U;A){/Z}U{/Z};A).
Karena bentuk ( U ; A ){ C / Z } dan ( U ; A ){ - / Z } adalah sebuah multiset, maka dapat ditulis juga berturut-turut ke dalam bentuk ( U ){ C / Z } ; A dan ( U ){ - / Z }; A Sekarang, dengan menerapkan () pada U{C/Z};AB kita mendapatkan
B A
U{C/Z} . Jadi dengan 2) kita dapat bukti dari U{C/Z}AB sebagai
berikut :
) ( ;
} / {
} / {
B A U
B A U
Z C
Z C
Kemudian, V ( U{ - / Z } ; A ) V ( B ) = V ( U{ - / Z }) V ( A B ).
Bukti : karena formula yang muncul pada struktur sebelah kiri muncul juga pada struktur sebelah kanan begitu juga sebaliknya sehingga V ( U{ - / Z } ; A )
V ( B ) = V ( U{ - / Z }) V ( A B ).
Jadi dengan 3)V ( C ) V ( Z ) [V ( U{ - / Z } ) V ( AB )].
Kasus 3. Aturan terakhir adalah (). Di sini Z D adalah bentuk
D X B
A
( ; ) dan aturan terakhir adalah bentuk sebagai berikut :
X A (B)D
Andaikan Z adalah kemunculan struktur extensional maksimal dalam
) ;
(AB X
.
D X B
A
(24)
Sub kasus 3.1. Zmemuat tampilan AB;X . Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z{AB;X/AB;X}C terbukti. 2) (AB;X){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ((AB;X){/Z}) V ( D )].
Andaikan W Z{B/AB;X} dan Z(AB;X). Maka kita perhatikan sequent
kanan atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C
sedemikian sehingga :
1) W C terbukti.
2) (B){C/W}D terbukti.
3) V ( C ) V ( W ) [V (( B ){ - / W }) V ( D )].
Mengingat hubungan W Z{B/AB;X} dan Z(AB;X) sehingga kita
mempunyai bentuk sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada sequent kiri atas X A dan sequent W C
kita mendapatkan Z C. Jadi dengan 1) kita dapat bukti dari Z C sebagai berikut :
A X
C Z{B/AB;X)
Selanjutnya, (B){C/W}(AB;X){C/Z}D. Jadi dengan 2)
D X
B
A C Z
( ; ){ / } terbukti.
)
(
C Z{A B;X/AB;X}
(25)
) ( )
(W V Z
V dan (V((B){/(AB;X){B/AB;X}})) =
)} ; ( / {
) ; (
( A B X A B X
V ). Bukti :
V ( W ) = V ((AB;X){B/AB;X} ) = V ( B )...( I ). V ( Z ) = V ((AB;X)) ...( II ). Terlihat bahwa formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) tetapi tidak demikian sebaliknya. Jadi V(W)V(Z).
V((B){/W} = V ((B){/(AB;X){B/AB;X}}) ...( I ).
} / {
) ; (
( A B X Z
V = V((AB;X){/(AB;X)})...( II ).
Dengan ( I ) dan ( II ) didapat bahwa V((B){/W} = V((AB;X){/Z}.
Jadi dengan 3) V ( C ) V ( Z ) [V ((AB;X){/Z}) V ( D )].
Sub kasus 3.2. Zmemuat tampilan A B, sebuah kemunculan struktur di dalam
X dan kemunculan struktur di luar dari AB;X , akan tetapi Z tidak memuat X.
Catatan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :
) ( )
; ; ;
(
) ; ( ;
2 1 2
1
D X
X B A Y
B B Y A
X X
dan ambil Z Y;AB;X1.
Berikut dibuktikan bahwa :
(26)
2) (Y;AB;X1;X2){C2C1/Z}D terbukti.
3) V( C2 C1 ) V( Y;AB;X1 ) [V( (Y ; A B; X1; X2 ){ - / Y;AB;X1}
V( D )].
Andaikan WZ{B/AB;X1}Y;B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas.
Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) W C1 terbukti.
2a) (Y;B){C1/W}D terbukti.
3a) V ( C1) V ( W ) [V ((Y ; B ){ - / W }) V ( D )].
Kemudian kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) X2C2 terbukti.
2b) X1;X2{C2/X2}A terbukti.
3b) V ( C2) V ( X2 ) [V ( X1; X2{ - / X2 } ) V ( A )].
Mengingat hubungan WZ{B/AB;X1}Y;B sehingga kita mempunyai bentuk
sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X1;X2{C2/X2}Adan W C1 kita
mendapatkan Z;C2C1. Maka dengan 1a) dan 2b) dan dengan menerapkan
)
( ke dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari ZC2C1 sebagai
berikut :
( )
; ;
) ( ;
; ;
; ;
1 2 1
1 2 1
1 2
1
C C X B A Y
C C X B A Y
C B Y A C X
(27)
Kemudian, dengan menerapkan () pada X2C2dan (Y;B){C1/W}D
kita mendapatkan sequent
D X
B
Y C C W
( ; ; 2){ 2 1/ } .(Y;B;X2){C2C1/W}(Y;AB;X1;X2){C2C1/Z}.
Jadi dengan 2a) dan 1b) kita dapat memperoleh bukti dari
D X
X B A
Y C C Z
( ; ; 1; 2){ 2 1/ } sebagai berikut :
) ( )
; (
) (
2 1 2
1 2
2
D X
C C
D C
C X
Terakhir, V( C2 C1 ) [V( Y;B ) V( X1 ) V( A )] = V( Z ) dan V( C2 C1 ) [V( X2 ) V(Y;B){- / Y;B} ) V(D)] = [V((Y;AB;X1;X2 ){- / Z } V( D )]. Bukti :
V ( C1C2) [V ( Y ; B ) V( X1) V ( A )]...( I ).
V( Z ) = V( Y ; A B ; X1 ) ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( Y ; B ) V( X1 )
V( A )] = V( Z ) .
V( C2 C1 ) [V( X2 ) V( Y ; B ){ - / Y ; B} ) V( D )] = V( C2 C1 ) [V( X2) V( D )] ...( I ). [V((Y ; A B ; X1; X2 ){ - / Z }V( D )] = [V((Y ; A B ; X1; X2 ){ - /
1 ; ;A B X
(28)
Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( X2 ) V( Y ; B ) { - / Y ; B} ) V( D )] = [V( ( Y ; A B ; X1; X2 ){ - / Z } V( D )]. Jadi dengan 3a) dan 3b) V( C2 C1 ) V( Y;AB;X1 ) [V( (Y ; A B; X1; X2 ){ - / Y;AB;X1} V( D )].
Sub kasus 3.3. Z memuat tampilan A B dan sebuah kemunculan struktur di
dalam X, tetapi Z bukan terdiri dari X bukan pula terdiri dari kemunculan struktur terluar dari AB;X .
Catatan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :
A X X1; 2
(B)B()
dan ambil Z AB;X1.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) AB;X1C2C1 terbukti.
2) (AB;X1;X2){C2C1/Z}D terbukti.
3) V( C2 C1 ) V( AB;X1 ) [V( (A B; X1; X2 ){ - / AB;X1 }V( D )].
Andaikan WZ{B/AB;X1}B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan
menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) W C1 terbukti.
2a) (B){C1/W}D terbukti.
3a) V ( C1) V ( W ) [V ((B ){ - / W }) V ( D )].
D X
X B
A
(29)
Kemudian kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) X2C2 terbukti.
2b) X1;X2{C2/X2}D terbukti.
3b) V ( C2) V ( X2) [V ( X1; X2{ - / X2 } ) V ( A )].
Mengingat hubungan W Z{B/AB;X1}B sehingga kita mempunyai bentuk
sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X1;X2{C2/X2}Adan W C1 kita
mendapatkan Z;C2C1. Maka dengan 1a) dan 2b) dan dengan menerapkan
)
( ke dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari ZC2C1 sebagai
berikut : ) ( ; ) ( ; ; ; 1 2 1 1 2 1 1 2 1 C C X B A C C X B A C B A C X
Kemudian, dengan menerapkan () pada X2C2 dan (B){C1/W}D, kita
mendapatkan sequent (B;X2){C2C1/W}D.
} / { 2 1 } / {
2) 2 1 ( ; ; ) 2 1
;
(B X C C W AB X X C C W
. Jadi dengan 2a) dan 1b) kita
dapat memperoleh bukti dari (AB;X1;X2){C2C1/Z}D sebagai berikut :
) ( ) ; ( ) ( 2 1 2 1 2 2 D X C C D C C X
(30)
Terakhir, V( C2 C1 ) [V( B ) V( X1) V( A )] = V( Z ) dan V( C2 C1 )
[V( X2 ) V( B ){ - / B} ) V( D )] = [V( (A B ; X1 ; X2 ){ - / Z } V(D )]. Bukti :
V ( C1C2) [V ( B ) V( X1) V ( A )]...( I ).
V( Z ) = V( A B ; X1) ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( B ) V( X1)
V( A )] = V( Z ) .
V( C2 C1 ) [V( X2 ) V( B ){ - / B} ) V( D )]= V( C2 C1 ) [V(
X2) V( D )] ...( I ). [V( ( A B ; X1 ; X2 ){ - / Z } V(D )] = [V( ( A B ; X1; X2 ){ - /
1 ;X B
A } V( D )] = [V( ( X2 ) V( D )] ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( X2 ) V( B ){ - /
B} ) V( D )] = [V( (A B ; X1 ; X2 ){ - / Z } V(D )].
Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V( C2 C1 ) V( AB;X1 ) [V( ( A B; X1; X2 ){ - / AB;X1 } V( D )].
Sub kasus 3.4. Z memuat tampilan A B dan sebuah kemunculan struktur
terluar dari AB;X , tetapi Z bukan terdiri dari kemunculan struktur di dalam X.
Catatan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :
X A (Y;B)B()
D X B A
Y
(31)
dan ambil Z Y;AB. Berikut dibuktikan bahwa :
1) Y;ABC2C1 terbukti.
2) (Y;AB;X2){C2C1/Z}D terbukti.
3) V( C2 C1 ) V( Y;A B ) [V( (Y ; A B ; X2 ){- / Y ; A B}V(D )]. Andaikan WZ{B/AB}Y;B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan
menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) W C1 terbukti.
2a) (Y;B){C1/W}D terbukti.
3a) V ( C1) V ( W ) [V ((Y ; B ){ - / W }) V ( D )].
Kemudian kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) X C2 terbukti.
2b) X{C2/X}A terbukti.
3b) V ( C2) V ( X ) [V (X{ - / X } ) V ( A )].
Mengingat hubungan WZ{B/AB}Y;B sehingga kita mempunyai bentuk
sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X{C2/X}Adan W C1 kita mendapatkan 1
2
;C C
Z . Maka dengan 1a) dan 2b) dan dengan menerapkan () ke
dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari Z C2C1 sebagai berikut :
A C2
Y;BC1
1 2
;A B C C
Y
)
(
1 2
;
;A BC C
Y
)
(32)
Kemudian, dengan menerapkan () pada X C2 dan (Y;B){C1/W}D,
kita mendapatkan sequent (Y;B;X){C2C1/W}D.
} / { }
/
{ 2 1 ( ; ; ) 2 1
) ; ;
(Y B X C C W Y AB X C C W
. Jadi dengan 2a) dan 1b) kita
dapat memperoleh bukti dari (Y;AB;X){C2C1/Z}D sebagai berikut :
2 C X
D C
( 1)
Terakhir, V( C2 C1 ) [V( Y ; B ) V( A )] = V( Z ) dan V( C2 C1 ) [V(
X ) V( Y ; B ){ - / Y ; B} ) V( D )] = [V( ( Y ; A B ; X ){ - / Z } V( D )]. Bukti :
V ( C1C2) [V ( Y ; B ) V ( A )]...( I ).
V( Z ) = V( Y ; A B ) ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( Y ; B ) V( A )] = V( Z ).
V( C2 C1 ) [V( X ) V( Y ; B ){ - /Y ; B} ) V( D )] = V( C2 C1 )
[V( X ) V( D )] ...( I ). [V( ( Y ; A B ; X ){ - / Z } V( D )]= [V( ( Y ; A B ; X ){ - / Y;AB
} ) V( D )]= [V( ( X ) V( D )] ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( X ) V(B { - /B} ) V( D )] = [V( ( A B ; X ){ - / Z } ) V( D )].
D X C
C
( 2 1; )
)
(33)
Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V( C2 C1 ) V( Y;A B ) [V( ( Y ; A B ; X2 ){ - / Y ; A B } V( D )].
Sub kasus 3.5. Z = A B.
Catatan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :
A X
(B)B()
dan ambil ZAB. Berikut dibuktikan bahwa :
1) ABC2C1 terbukti.
2) (AB;X2){C2C1/Z}D terbukti.
3) V( C2 C1 ) V( A B ) [V( ( A B ; X ){ - / A B } V( D )].
Andaikan W Z{B/AB}B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan
menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) W C1 terbukti.
2a) (B){C1/W}D terbukti.
3a) V ( C1) V ( W ) [V ((B ){ - / W }) V ( D )].
Maka kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) X C2 terbukti.
2b) X{C2/X}A terbukti.
3b) V ( C2) V ( X ) [V (X{ - / X } ) V ( A )]. D X B
A
(34)
Mengingat hubungan W Z{B/AB}B sehingga kita mempunyai bentuk
sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X{C2/X}Adan W C1 kita mendapatkan 1
2
;C C
Z . Maka dengan 1a) dan 2b) dan dengan menerapkan () ke
dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari Z C2C1 sebagai berikut :
) ( ) ( ; 1 2 1 2 1 2 C C B A C C B A C B A C
Kemudian, dengan menerapkan () pada X C2dan (B){C1/W}D, kita
mendapatkan sequent (B;X){C2C1/W}D.
} / { 2 } /
{ 2 1 ( ; ) 2 1
) ;
(B X C C W AB X C C W
. Jadi dengan 2a) dan 1b) kita dapat
memperoleh bukti dari (AB;X){C2C1/Z}Dsebagai berikut :
2 C X D C
( 1)
Terakhir, V( C2 C1 ) [V(B ) V( A )] = V( Z ) dan V( C2 C1 ) [V( X )
V(B ){ - /B} ) V( D )] = [V( ( A B ; X ){ - / Z } V( D )]. Bukti :
V ( C1C2) [V ( B ) V ( A )]...( I ).
V( Z ) = V( A B ) ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V(C2 C1)[V(B )V(A )] = V( Z ).
D X C
C
( 2 1; )
)
(35)
V( C2 C1 ) [V( X ) V(B ){ - /B} ) V( D )] = V( C2 C1 ) [V(
X ) V( D )] ...( I ). [V( ( A B ; X ){ - / Z } V( D )] = [V( ( A B ; X ){ - / AB }
V( D )] = [V( ( X ) V( D )] ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 ) [V( X ) V(B ){ - /B} ) V( D )] = [V( ( A B ; X ){ - / Z } V( D )].
Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V( C2 C1 ) V( AB ) [V( ( AB ; X ){ - / A B } V( D )].
Sub kasus 3.6. Z terdiri sebuah kemunculan struktur di dalam X dan sebuah
kemunculan struktur terluar dari AB;X , tetapi Z bukan hanya terdiri dari X
bukan pula AB.
Perhatikan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :
) ( )
; ; ; (
) ; ( ;
2 1 2
1
D Y X X B A
D Y B A
X X
dan ambil Z X2;Y .
Berikut dibuktikan bahwa :
1) X2;YC2C1 terbukti.
2) (AB;X1;X2;Y){C2C1/Z}D terbukti.
(36)
Andaikan W Z{/X2}Y. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan
menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) W C1 terbukti.
2a) (B;Y){C1/W}D terbukti.
3a) V ( C1 ) V ( W ) [V (( B ; Y ){ - / W }) V ( D )].
Kemudian kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) X2C2 terbukti.
2b) X1;X2{C2/X2}A terbukti.
3b) V ( C2) V ( X2) [V ( X1; X2{ - / X2 } ) V ( A )].
Mengingat hubungan W Z{/X2}Y sehingga kita mempunyai bentuk sebagai
berikut :
Dengan menerapkan () pada X2C2 dan W C1 kita dapat
memperolehZC2C1. Jadi dengan 1a) dan 1b) kita dapat memperoleh bukti
dari ZC2C1 sebagai berikut :
2
2 C
X
) (
1
C Y
Kemudian, dengan menerapkan () pada X1;X2{C2/X2}A dan
D Y
B C W
( ; ){ 1/ } kita mendapatkan (AB;X1;X2;Y){C2;C1/Z}D. Jadi
dengan 2a) dan 2b) dan dengan menerapkan () ke dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari (AB;X1;X2;Y){C2C1/Z}Dsebagai berikut :
1 * 2
2;Y C C
(37)
A C X1; 2
D C
B
( ; 1)
Terakhir, V( C2C1) [V( Y ) V( X2)] = V( Z )dan V( C2C1 ) [V( ( B )
V ( D )] [V( X1) V( A )] = [V(( A B ; X1; X2; Y ){ - / Z } ) V ( D )]. Bukti :
V ( C1C2) [V ( Y ) V ( X2)] = V ( C1C2) V ( Y; X2) terbukti. V ( C1C2)[V( ( B ) V ( D )] [V( X1) V( A )]...( I ).
[V(( A B ; X1; X2; Y ){ - / Z } ) V ( D )] = [V(( A B ; X1 ; X2; Y
){ - / X2;Y } ) V ( D )] = [V(( A B ; X1 )) V ( D )] ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2C1 ) [V( ( B ) V ( D )]
[V( X1 ) V( A )] = [V(( A B ; X1; X2; Y ){ - / Z } ) V ( D )]. Jadi dengan 3a) dan 3b) V( C2C1 )V(X2;Y)[V((AB;X1;X2;Y ){- /X2;Y} )
V( D )].
Sub kasus 3.7. Zadalah sebuah kemunculan struktur di dalam tampilan X.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (AB;X){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V( ( A B ; X ){ - / Z } ) V( D )].
D C
C X B A
D C
C X B A
) * ; ; (
) * ; ; (
1 2 1
1 2 1
)
(
) (
(38)
Maka kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi
terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga :
1) Z C terbukti.
2) X{C/Z}A terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ( X{ - / Z }) V ( A )].
Sekarang, dengan menerapkan () pada X{C/Z}A dan sequent kanan atas
D B
( ) , kita mendapatkan (AB;X){C/Z}D. Jadi dengan 2) kita dapat
memperoleh bukti dari (AB;X){C/Z}D sebagai berikut :
.
A X{C/Z}
D B
( )
Karena [V ( X{ - / Z }) V ( A )] [V( ( A B ; X ){ - / Z } ) V( D )]. Bukti :
[V ( X{ - / Z }) V ( A )] ...( I ). [V( ( A B ; X ){ - / Z } ) V( D )] ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) tetapi tidak sebaliknya sehingga [V ( X{ - / Z }) V ( A )] [V( ( A B ; X ){ - / Z
} ) V( D )].
Jadi dengan 3) didapat V ( C ) V ( Z ) [V( ( A B ; X ){ - / Z } ) V( D )].
D X
B
A C Z ( ; ){ / }
)
(39)
Sub kasus 3.8. Z adalah kemunculan struktur terluar dari tampilan AB;X . Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (AB;X){C/Z}Dterbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ((AB;X){/Z}) V ( D )].
Maka kita perhatikan sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi
terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga :
1) Z C terbukti.
2) (B){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( B ){ - / Z }) V ( D )].
Maka dengan 2) dan dengan menerapkan () pada (B){C/Z}D, kita
mendapatkan bukti (AB;X){C/Z}D.
D X
B A
D B
A X
Z C
Z C
} / {
} / {
) ; (
) (
Dengan 3) didapat V ( C ) V ( Z ) [V ((AB;X){/Z}) V ( D )].
Kasus 4. Aturan terakhir adalah (). Pada kasus ini U D adalah bentuk
B A Y
X, dan aturan terakhir adalah bentuk sebagai berikut :
) (
,
B A Y X
B Y A X
(40)
Berikut dibuktikan bahwa :
1) X,YC1C2 terbukti. 2) C1C2AB terbukti.
3) V( C1 C2 ) V( X , Y ) V( A B ).
Maka kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) X C1 terbukti. 2a) C1A terbukti.
3a)V( C1 ) V( X ) V( A ).
Kemudian kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) Y C2 terbukti.
2b) C2B terbukti.
3b) V ( C2) V ( Y ) V ( B ).
Mengingat bahwa Z X,Y sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X C1 dan Y C2 kita dapat memperoleh 2
1
,Y C C
X . Jadi dengan 1a) dan 1b) sequent ini terbukti.
) (
, 1 2
2
1
C C Y X
C Y C X
Kemudian, dengan menerapkan () pada C1A dan C2B kita dapat
(41)
kita dapat memperoleh C1C2AB. Jadi dengan 2a) dan 2b) sequent
terakhir juga terbukti.
) ( ) ( ,
2 1
2 1
2 1
B A C C
B A C C
B C A C
Terakhir, dengan 3a) dan 3b) didapat V( C1 C2 ) V( X , Y ) V( A B ).
Kasus 5. Aturan terakhir adalah (). Pada kasus ini U D adalah bentuk
D B A
( ) dan aturan terakhir adalah bentuk berikut :
) ( ) (
) (
D B A
D ,
Andaikan Z adalah sebuah kemunculan struktur extensional maksimal dalam ( A
B ).
Sub kasus 5.1. Z memuat tampilanA B.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (AB){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( ){ - / Z } ) V ( D )].
Andaikan W Z{A,B/AB} dan Z (AB) . Maka kita perhatikan sequent
atas. Dengan mengggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C
(42)
1) W C terbukti.
2) (A,B){C/W}D terbukti.
3) V ( C ) V ( W ) [V (( , ){ - / W } ) V ( D )].
Mengingat hubungan W Z{A,B/AB} dan Z (AB) sehingga kita
mempunyai bentuk sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada W C kita dapat memperoleh Z C. Jadi
dengan 1) Z C terbukti.
) ( )
( )
( { , / }
C B A
C B
A A B A B
Kemudian, (AB){C/Z}D equivalen pada (A,B){C/W}D. Jadi dengan 2) (AB){C/Z}D terbukti.
Terakhir, V( W ) = V( Z ) dan ( , ){ - / W } = ( ){ - / Z } . Bukti :
V( W ) = V( Z{A, B /AB) = V((AB){A, B /AB) ...( I ).
V( Z ) = V((AB)) ...( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga V( W ) = V( Z ).
( , ){ - / W } = ( , ){ - / Z{A,B/AB} } = ( , ){ - / (AB){A,B/AB} } ....( I ). )
(
{ - / Z } = ( ){ - / (AB) } ...( II ). Jadi dengan 3) didapat V ( C ) V ( Z ) [V (( ){ - / Z } ) V ( D )].
(43)
Sub kasus 5.2. Z tidak memuat tampilanA B. Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (AB){C/Z}Dterbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ((AB){/Z}) V ( D )].
Maka kita perhatikan sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi
terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga :
1) Z C terbukti.
2) (A,B){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V ((A,B){/Z}) V ( D )].
Maka dengan 2) dan dengan menerapkan () pada (A,B){C/Z}D, kita
mendapatkan bukti (AB){C/Z}D.
) ( )
( ) , (
} / {
} / {
D B
A
D B
A
Z C
Z C
Dengan 3) didapat V ( C ) V ( Z ) [V ((AB){/Z}) V ( D )].
Kasus 6. Aturan terakhir adalah (). Pada kasus ini (U D) adalah bentuk
) ;
(X Y AB . Dan aturan terakhir adalah bentuk berikut :
A X
) ( B Y
Andaikan Z adalah kemunculan struktur extensional maksimal dalam X;Y.
B A Y
(44)
Sub kasus 6.1. Z= X ; Y.
Catatan bahwa dengan kondisi untuk Z, pada kasus ini Z X;Y. Berikut dibuktikan bahwa :
1) X;YC1C2 terbukti. 2) C1C2AB terbukti.
3) V( C1 C2 ) V( X ; Y ) V( A B ).
Maka kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) X C1 terbukti. 2a) C1A terbukti.
3a)V( C1 ) V( X ) V( A ).
Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) Y C2 terbukti.
2b) C2B terbukti.
3b) V ( C2) V ( Y ) V ( B ).
Mengingat bahwa Z X;Y sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X C1 dan Y C2 kita dapat memperoleh 2
1
;Y C C
X . Jadi dengan 1a) dan 1b) sequent ini terbukti.
1 C X
Y C2()
2 1
;Y C C
X
(45)
Maka, dengan menerapkan () pada C1A dan C2B kita dapat
memperoleh C1;C2AB. Maka dengan menerapkan () pada sequent ini
kita dapat memperoleh C1C2AB. Jadi dengan 2a) dan 2b) sequent terakhir
juga terbukti.
A
C1 C2B
Terakhir, dengan 3a) dan 3b) didapat V( C1 C2 ) V( X ; Y ) V( A B ).
Sub kasus 6.2. Z memuat sebuah kemunculan struktur di dalam X dan sebuah
kemunculan struktur di dalam Y, tetapi Z tidak memuat tampilan X dan tampilan
Y.
Catatan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :
A X X1; 2
Y1;Y2B()
dan ambil Z X2;Y1.
Berikut dibuktikan bahwa :
1) X2;Y1C1C2 terbukti.
2) X1;X2;Y1;Y2{C1C2/X2;Y1}AB terbukti.
3) V ( C1* C2) V( X2 ; Y1 ) [V ( X1; X2 ; Y1; Y2{ - / X2 ; Y1 } ) V( A * B)]. B
A Y Y X
X1; 2; 1; 2 *
) (
) (
B A C C
B A C C
2 1
2 1;
(46)
Maka kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :
1a) X2C1 terbukti.
2a) X1;X2{C1/X2}A terbukti.
3b) V ( C1) V ( X2) [V ( X1; X2{ - / X2 } ) V ( A )].
Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesis induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :
1b) Y1C2 terbukti.
2b) Y1;Y2{C2/Y1}B terbukti.
3b) V ( C2 ) V ( Y1) [V ( Y1; Y2{ - / Y1 } ) V ( B )].
Mengingat bahwa Z X2;Y1, sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :
Dengan menerapkan () pada X2C1 dan Y1C2 kita dapat memperoleh
2
1 C
C
Z . Jadi dengan 1a) dan 1b), sequent ini terbukti.
1
2 C
X
) (
2 1
C Y
Maka, dengan menerapkan () pada X1;X2{C1/X2}A dan Y1;Y2{C2/Y1}B
kita mendapatkan X1;X2;Y1;Y2{C1;C2/Z}AB. Maka dengan menerapkan
)
( pada X1;X2{C1/X2}A dan Y1;Y2{C2/Y1}B kita mendapatkan B
A Y
Y X
X1; 2; 1; 2{C1C2/Z} . Jadi dengan 2a) dan 2b), sequent ini terbukti. 2
1 1
2;Y C C
X
(1)
) ( ; 1 1 1 con I C X C X X
Kemudian, dengan menerapkan (Icon) pada sequent D
X X X
X C W
( 1; 1; 2; 2){ / } kita dapat memperoleh (X1;X2){C/Z}D. Jadi dengan 2) kita dapat memperoleh bukti dari (X1;X2){C/Z}D sebagai berikut : ) ( ) ; ( ) ; ; ( 2 2 2 con I D X C D X X C
Terakhir, V(W)V(Z) dan V((X1;X1;X2;X2){/W}) = V((X1;X2){/Z}). Bukti :
V ( W ) = V ( X1 ; X1) ……….( I ).
V ( Z ) = V ( X1) ………..………..( II ).
Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga V(W)V(Z).
V((X1;X1;X2;X2){/W}) = V((X1;X1;X2;X2){/X1;X1}) = ))
; ( ( X2 X2
V ………..( I ).
) ) ; (
( X1 X2{ /Z}
V = V((X1;X2){/X1}) = V((X2)) ……….( II ). Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun sebaliknya sehingga V((X1;X1;X2;X2){/W}) = V((X1;X2){/Z}). Jadi dengan 3), V(C)V(X1)[V((X1;X2){/X1})V(D)].
(2)
Sub kasus 15.4. Z adalah kemunculan struktur terluar dari X. Berikut dibuktikan bahwa :
1) Z C terbukti.
2) (X){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z }) V ( D )].
Andaikan ini terdiri dari sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C sebagai berikut :
1) Z C terbukti.
2) (X){C/Z}D terbukti.
3) V ( C ) V ( Z ) [V (( X ){ - / Z }) V ( D )].
Kemudian dengan 2) dan dengan menerapkan ( E – weak ) pada D
X C Z
( ){ / } , kita mendapatkan bukti (X,Y){C/Z}D.
) ( ) , ( ) ( } / { } / { weak E D Y X D X Z C Z C
Dengan 3) didapat V ( C ) V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z }) V ( D )].
3.1.3. Teorema Interpolasi Untuk Logika Predikat LoRW+ dan LoR+
Dengan terbuktinya teorema yang mempunyai bentuk yang lebih umum (Teorema 3.1) untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+, kita dapat dengan mudah
membuktikan bahwa teorema interpolasi berlaku untuk logika predikat LoRW+
dan LoR+.
(3)
Teorema akibat (Teorema 3.2) Andaikan AD terbukti ( dalam logika predikat LoRW+ atau LoR+ ). Maka terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga formula AC dan formula CD keduanya terbukti dan V( C ) V( A ) V( D ).
Bukti :
Berikut dibuktikan bahwa : 1) AC terbukti. 2) CDterbukti.
3) V(C)V(A)V(D)].
Misalkan bahwa AD adalah sequent yang terbukti. Misalkan juga A adalah kemunculan struktur yang extensional maksimal dalam A itu sendiri. Berdasarkan teorema 3.1 dengan mengambil U = A, perhatikan bahwa karena U = A, maka Z = A. Maka dalam A terdapat formula C sedemikian sehingga :
1) Z C terbukti. 2) U{C/Z}Dterbukti.
3) V(C)V(Z)[V(U{/Z})V(D)].
Mengingat hubungan U = A dan Z = A, maka dengan 1) didapat bukti bahwa C
A . Selanjutnya dengan 2) U{C/Z} A{C/A}C sehingga CD terbukti. Jadi dengan 3) V(C)V(A)V(D)].
(4)
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, diperoleh kesimpulan:
Dengan adanya teorema yang bentuknya lebih umum dari teorema interpolasi (teorema 3.1), maka terbukti bahwa teorema interpolasi berlaku untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+.
4.2 Saran
Telah dibuktikan bahwa teorema interpolasi berlaku untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+, maka untuk selanjutnya dapat dipelajari apakah logika
predikat LoRW+ dan LoR+ memenuhi sifat-sifat lain seperti Prinsip
(5)
DAFTAR PUSTAKA
Surarso, B. 1995. A Study of Noncommutative substructural logics. Master Thesis, Hiroshima University.
Troelstra, A.S. and Schwichtenberg, H. 2000. Basic Proof Theory, Second Edition. Madrid. Cambrige University Press.
Surarso, B. 1998. A Proof-Theoritical Investigation on Intuitionistic Substructural Logics. Thesis, The Graduate School of Engineering of Hiroshima University. Japan.
Surarso, B. 2004. Gentzen-type system for logic BB’I and its noncommutative standard extension, Journal of Sciences & Mathematics (JSM) Vol. 12, No. 3, Fakultas MIPA UNIVERSITAS DIPONEGORO, Semarang.
Surarso, B. 2004. Interpolation Theorem for Noncommutative Standard Extension
of Logic BB’I, Jurnal Matematika dan Komputer (JMK) Vol. 7, No. 2, Fakultas MIPA UNIVERSITAS DIPONEGORO, Semarang.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gentzen's_consistency_proof (2008) . http://answer.com/topic/formula/formula_mathematical logic (2008) . http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction (2008) .
http://planetmath.org/encyclopedia/Subformula.html. (2008) . http://en.wikipedia.org/wiki/Relevant_Logic. (2008) .
http://en.wikipedia.org/wiki/Predicate_Language. (2008) . http://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_Language. (2008) .
(6)