Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU
DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN
NUR FATHONI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kajian Model Hidden Markov
Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen adalah karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun
kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Bogor, Juli 2008
Nur Fathoni
NIM G551060011
ABSTRACT
NUR FATHONI. The Study of Continuous Hidden Markov Model and Its
Application on Harvest Dry Rice Price. Under direction of BERLIAN
SETIAWATY and N. K. KUTHA ARDANA.
Continuous hidden Markov model (Elliot et al. 1995) is a model that
consists of the cause of event and observations process. This model assumes that
the cause of event is a Markov chain which is not observed directly, and the
observations have continuous-range. Parameters of this model are transition
probabilities, expectation and variance of observation process. They are estimated
by using the maximum likelihood method and expectation maximization
algorithm that involves the change of measure. Model parameters were estimated
by using Mathematica 6.0_a functional program based computer algebra systems.
The model was applied on price change of harvest dry rice in 2000 until
2007. The estimated parameters were used to calculate the expectation value of
harvest dry rice price.
The result of this study showed that the continuous hidden Markov model
could be applied on harvest dry rice price.
KeyWords: Markov chain, continuous hidden Markov model, expectation
maximization algorithm
RINGKASAN
NUR FATHONI. Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada
Harga Gabah Kering Panen. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan
N. K. KUTHA ARDANA.
Proses Markov merupakan proses stokastik dengan sifat bahwa perilaku
stokastik di masa yang akan datang hanya bergantung pada perilaku masa
sekarang. Setiap kejadian berkaitan erat dengan penyebab kejadian tersebut. Jika
penyebab kejadian tersebut tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai
Markov maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan
model hidden Markov (HMM).
Misalkan X
Xk;k
adalah rantai Markov yang bersifat homogen
dan tidak diamati secara langsung, sedangkan Y
observasinya. Pasangan
X k , Yk
Yk ; k
adalah proses
merupakan model hidden Markov. Pada tesis
ini dikaji model hidden Markov kontinu (Elliot 1995) yang berbentuk:
X k 1 AX k Vk 1
Yk
1
c Xk
di mana ruang state dari X adalah S x
A
a ji
N N
Xk
k 1
e1 , e2 ,..., e3 dengan ei vektor unit di
adalah matriks peluang transisi, dengan a ji
P Xk
ej Xk
1
N
.
ei
N
a ji
dan memenuhi
1 . Vk memenuhi E Vk
1
Fk
0 , dengan F k , k
j 1
adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh X. Proses observasi Yk bernilai
skalar dan kontinu, dan c X k
c, X k
dan
Xk
, Xk
dengan
c
1 i
c1 , c2 ,..., cN
N , dan
T
,
k 1
1
,
2
,...,
T
N
, serta
diasumsikan
i
0
untuk
adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik
menyebar normal N(0,1).
Pendugaan parameter model tersebut dilakukan menggunakan metode
Maximum Likelihood dan pendugaan ulang menggunakan metode Expectation
Maximization (EM) yang melibatkan perubahan ukuran. Perubahan ukuran
dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan secara matematik. Perubahan
ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang
baru. Dari ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang
asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym.
Pendugaan parameter menggunakan metode EM menghasilkan parameter
dalam bentuk pendugaan rekursif. Pendugaan rekursif diperlukan untuk menduga
parameter baru. Pendugaan rekursif meliputi pendugaan untuk state, banyaknya
lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi.
Parameter yang digunakan pada model tersebut adalah
: a ji ,1 i, j N , ci ,1 i N , i ,1 i N .
Dengan menggunakan algoritma EM ditentukan himpunan parameter baru,
ˆ
aˆ ji ,1 i, j
N , cˆi ,1 i
N , ˆ i ,1 i
N
yang memaksimumkan fungsi log-likelihood bersyaratnya. Dari hasil kajian
diperoleh penduga parameter model sebagai berikut.
rs
k 1 J k 1
aˆsr k 1
r
k 1 Ok 1
cˆr k 1
k 1
T kr 1 Y
k 1
ˆr k 1
k 1
O kr 1
T kr 1 Y 2
2cr
k 1
k 1
T kr 1 Y
c r2
k 1
O kr 1
O kr 1
Pada tulisan ini, model tersebut diaplikasikan pada perubahan harga gabah
kering panen dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2007. Data input yang
digunakan merupakan harga rata-rata gabah kering panen tiap bulan di tingkat
produsen di wilayah I, yaitu Jawa, Bali, Nusa Tenggara Barat, Sulawesi Selatan,
dan Sulawesi Tenggara dari bulan Januari 2000 hingga bulan Maret 2007. Sumber
data diambil dari www.bulog.co.id. Ada sebanyak 87 buah data pengamatan.
Harga gabah kering panen mengalami perubahan yang berfluktuasi. Hal ini
dipengaruhi oleh banyak hal, diantaranya kebijakan pemerintah (misalnya:
kebijakan impor beras, harga pupuk, harga bahan bakar minyak), gagal panen,
bencana alam, situasi politik dan keamanan, dan lain sebagainya. Kejadiankejadian tersebut dapat berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya.
Diasumsikan bahwa harga gabah kering panen dibangkitkan oleh proses
pengamatan yang dipengaruhi oleh proses penyebab yang merupakan rantai
Markov. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan harga gabah
kering panen diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov X k yang tidak
diamati. Misalkan banyaknya faktor tersebut adalah N. Pada setiap state, data
harga gabah kering panen dibangkitkan oleh peubah acak Yk yang menyebar
dengan sebaran tertentu pada ruang peluang , F , P . Pada penelitian ini, dipilih
banyaknya penyebab kejadian N 2,3, 4,5, 6.
Untuk mempermudah mencari penduga parameter, dibuat suatu program
komputasi berbasis pemrograman fungsional menggunakan Mathematica 6.0.
Penduga parameter yang diperoleh digunakan untuk menghitung nilai harapan
dari harga gabah kering panen.
Dari hasil yang diperoleh, model hidden Markov kontinu cukup baik
menjelaskan perilaku harga gabah kering panen. Semakin banyak penyebab
kejadian nilai dugaan akan semakin baik. Dengan membandingkan galat untuk
masing-masing N penyebab kejadian dan menggunakan prinsip kesederhanaan
model, maka dapat dapat diambil kesimpulan bahwa banyaknya penyebab
kejadian N 3 sudah cukup dijadikan nilai prediksi harga gabah kering panen,
karena dengan penambahan banyaknya kejadian tidak terlalu berpengaruh secara
signifikan.
Kata kunci : Rantai Markov , model hidden Markov kontinu, metode Expectation
Maximization, perubahan ukuran.
©Hak cipta milik IPB, tahun 2008
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya ini tanpa mencantumkan
atau menyebut sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan
suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU
DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN
NUR FATHONI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis
Nama
NIM
: Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada
Harga Gabah Kering Panen
: Nur Fathoni
: G551060011
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Berlian Setiawaty, MS
Ketua
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian: 11 Juli 2008
Tanggal Lulus:
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam
semoga dilimpahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW yang menjadi suri
tauladan bagi umatnya dan kita nantikan syafa’atnya di dunia sampai akherat.
Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada orang tua dan seluruh
keluarga yang telah memberikan dukungan, doa dan kasih sayangnya. Selanjutnya
penulis sampaikan terima kasih kepada:
1. Dr. Berlian Setiawaty, MS dan Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku
pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan
penuh kesabaran kepada penulis.
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba selaku penguji yang telah memberikan saran
dan kritiknya.
3. Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan
beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program
magister di Institut Pertanian Bogor.
4. Mahasiswa S-2 Matematika Terapan IPB angkatan 2006 atas
persahabatannya selama ini dan semoga tidak akan berakhir.
5. Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak bisa penulis
sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Semoga
karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain
yang membutuhkan.
Bogor, Juli 2008
Nur Fathoni
urn MOD,,
H,,,,
IblARKo, K
,,,
DAN APLIUSINYA PADA IPARGA GABAH KERING PANEN
MJR FATWONI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTPTUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN
NUR FATHONI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kajian Model Hidden Markov
Kontinu dan Aplikasinya pada Harga Gabah Kering Panen adalah karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun
kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Bogor, Juli 2008
Nur Fathoni
NIM G551060011
ABSTRACT
NUR FATHONI. The Study of Continuous Hidden Markov Model and Its
Application on Harvest Dry Rice Price. Under direction of BERLIAN
SETIAWATY and N. K. KUTHA ARDANA.
Continuous hidden Markov model (Elliot et al. 1995) is a model that
consists of the cause of event and observations process. This model assumes that
the cause of event is a Markov chain which is not observed directly, and the
observations have continuous-range. Parameters of this model are transition
probabilities, expectation and variance of observation process. They are estimated
by using the maximum likelihood method and expectation maximization
algorithm that involves the change of measure. Model parameters were estimated
by using Mathematica 6.0_a functional program based computer algebra systems.
The model was applied on price change of harvest dry rice in 2000 until
2007. The estimated parameters were used to calculate the expectation value of
harvest dry rice price.
The result of this study showed that the continuous hidden Markov model
could be applied on harvest dry rice price.
KeyWords: Markov chain, continuous hidden Markov model, expectation
maximization algorithm
RINGKASAN
NUR FATHONI. Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada
Harga Gabah Kering Panen. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan
N. K. KUTHA ARDANA.
Proses Markov merupakan proses stokastik dengan sifat bahwa perilaku
stokastik di masa yang akan datang hanya bergantung pada perilaku masa
sekarang. Setiap kejadian berkaitan erat dengan penyebab kejadian tersebut. Jika
penyebab kejadian tersebut tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai
Markov maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan
model hidden Markov (HMM).
Misalkan X
Xk;k
adalah rantai Markov yang bersifat homogen
dan tidak diamati secara langsung, sedangkan Y
observasinya. Pasangan
X k , Yk
Yk ; k
adalah proses
merupakan model hidden Markov. Pada tesis
ini dikaji model hidden Markov kontinu (Elliot 1995) yang berbentuk:
X k 1 AX k Vk 1
Yk
1
c Xk
di mana ruang state dari X adalah S x
A
a ji
N N
Xk
k 1
e1 , e2 ,..., e3 dengan ei vektor unit di
adalah matriks peluang transisi, dengan a ji
P Xk
ej Xk
1
N
.
ei
N
a ji
dan memenuhi
1 . Vk memenuhi E Vk
1
Fk
0 , dengan F k , k
j 1
adalah filtrasi lengkap yang dibangkitkan oleh X. Proses observasi Yk bernilai
skalar dan kontinu, dan c X k
c, X k
dan
Xk
, Xk
dengan
c
1 i
c1 , c2 ,..., cN
N , dan
T
,
k 1
1
,
2
,...,
T
N
, serta
diasumsikan
i
0
untuk
adalah barisan peubah acak yang bebas stokastik identik
menyebar normal N(0,1).
Pendugaan parameter model tersebut dilakukan menggunakan metode
Maximum Likelihood dan pendugaan ulang menggunakan metode Expectation
Maximization (EM) yang melibatkan perubahan ukuran. Perubahan ukuran
dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan secara matematik. Perubahan
ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang
baru. Dari ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang
asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym.
Pendugaan parameter menggunakan metode EM menghasilkan parameter
dalam bentuk pendugaan rekursif. Pendugaan rekursif diperlukan untuk menduga
parameter baru. Pendugaan rekursif meliputi pendugaan untuk state, banyaknya
lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi.
Parameter yang digunakan pada model tersebut adalah
: a ji ,1 i, j N , ci ,1 i N , i ,1 i N .
Dengan menggunakan algoritma EM ditentukan himpunan parameter baru,
ˆ
aˆ ji ,1 i, j
N , cˆi ,1 i
N , ˆ i ,1 i
N
yang memaksimumkan fungsi log-likelihood bersyaratnya. Dari hasil kajian
diperoleh penduga parameter model sebagai berikut.
rs
k 1 J k 1
aˆsr k 1
r
k 1 Ok 1
cˆr k 1
k 1
T kr 1 Y
k 1
ˆr k 1
k 1
O kr 1
T kr 1 Y 2
2cr
k 1
k 1
T kr 1 Y
c r2
k 1
O kr 1
O kr 1
Pada tulisan ini, model tersebut diaplikasikan pada perubahan harga gabah
kering panen dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2007. Data input yang
digunakan merupakan harga rata-rata gabah kering panen tiap bulan di tingkat
produsen di wilayah I, yaitu Jawa, Bali, Nusa Tenggara Barat, Sulawesi Selatan,
dan Sulawesi Tenggara dari bulan Januari 2000 hingga bulan Maret 2007. Sumber
data diambil dari www.bulog.co.id. Ada sebanyak 87 buah data pengamatan.
Harga gabah kering panen mengalami perubahan yang berfluktuasi. Hal ini
dipengaruhi oleh banyak hal, diantaranya kebijakan pemerintah (misalnya:
kebijakan impor beras, harga pupuk, harga bahan bakar minyak), gagal panen,
bencana alam, situasi politik dan keamanan, dan lain sebagainya. Kejadiankejadian tersebut dapat berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya.
Diasumsikan bahwa harga gabah kering panen dibangkitkan oleh proses
pengamatan yang dipengaruhi oleh proses penyebab yang merupakan rantai
Markov. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan harga gabah
kering panen diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov X k yang tidak
diamati. Misalkan banyaknya faktor tersebut adalah N. Pada setiap state, data
harga gabah kering panen dibangkitkan oleh peubah acak Yk yang menyebar
dengan sebaran tertentu pada ruang peluang , F , P . Pada penelitian ini, dipilih
banyaknya penyebab kejadian N 2,3, 4,5, 6.
Untuk mempermudah mencari penduga parameter, dibuat suatu program
komputasi berbasis pemrograman fungsional menggunakan Mathematica 6.0.
Penduga parameter yang diperoleh digunakan untuk menghitung nilai harapan
dari harga gabah kering panen.
Dari hasil yang diperoleh, model hidden Markov kontinu cukup baik
menjelaskan perilaku harga gabah kering panen. Semakin banyak penyebab
kejadian nilai dugaan akan semakin baik. Dengan membandingkan galat untuk
masing-masing N penyebab kejadian dan menggunakan prinsip kesederhanaan
model, maka dapat dapat diambil kesimpulan bahwa banyaknya penyebab
kejadian N 3 sudah cukup dijadikan nilai prediksi harga gabah kering panen,
karena dengan penambahan banyaknya kejadian tidak terlalu berpengaruh secara
signifikan.
Kata kunci : Rantai Markov , model hidden Markov kontinu, metode Expectation
Maximization, perubahan ukuran.
©Hak cipta milik IPB, tahun 2008
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya ini tanpa mencantumkan
atau menyebut sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan
suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU
DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN
NUR FATHONI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis
Nama
NIM
: Kajian Model Hidden Markov Kontinu dan Aplikasinya pada
Harga Gabah Kering Panen
: Nur Fathoni
: G551060011
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Berlian Setiawaty, MS
Ketua
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian: 11 Juli 2008
Tanggal Lulus:
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam
semoga dilimpahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW yang menjadi suri
tauladan bagi umatnya dan kita nantikan syafa’atnya di dunia sampai akherat.
Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada orang tua dan seluruh
keluarga yang telah memberikan dukungan, doa dan kasih sayangnya. Selanjutnya
penulis sampaikan terima kasih kepada:
1. Dr. Berlian Setiawaty, MS dan Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku
pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan
penuh kesabaran kepada penulis.
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba selaku penguji yang telah memberikan saran
dan kritiknya.
3. Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan
beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program
magister di Institut Pertanian Bogor.
4. Mahasiswa S-2 Matematika Terapan IPB angkatan 2006 atas
persahabatannya selama ini dan semoga tidak akan berakhir.
5. Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak bisa penulis
sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Semoga
karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain
yang membutuhkan.
Bogor, Juli 2008
Nur Fathoni
urn MOD,,
H,,,,
IblARKo, K
,,,
DAN APLIUSINYA PADA IPARGA GABAH KERING PANEN
MJR FATWONI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTPTUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008