Model Hidden Markov Untuk Persoalan Optimisasi Finansial

MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL
TESIS Oleh AMIN HARAHAP 107021012/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012

MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh AMIN HARAHAP
107021012/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL
: Amin Harahap : 107021012 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Marwan Ramli, M.Si)

Ketua

Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Desember 2012

Telah diuji pada Tanggal : 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Prof. Dr.Muhammad Zarlis

PERNYATAAN

MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar Magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Desember 2012 Penulis, Amin Harahap
i

ABSTRAK
Salah satu faktor penyebab terjadinya kerugian bank, batas akhir/ limit pembayaran oleh debitur atau nasabah tidak dapat tercapai sehingga merugikan pihak bank. Untuk itu perlu dilakukan suatu metode pendekatan terhadap debitur agar bank dapat memberikan kredit sehingga dapat meminimalkan risiko kredit perbankan, perubahan debitur tidak dapat diobservasi (hidden). Kejadian-kejadian perubahan debitur dapat berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Diasumsikan bahwa faktor penyebab kejadian perubahan debitur tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai markov. Untuk itu diperlukan suatu model yang dapat meminimalkan risiko kredit perbankan yakni menggunakan model hidden markov, dimana proses yang tidak dapat diobservasi (hidden),dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi, dengan langkah-langkah pelaksanaan (1) Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju dan algoritma mundur(2)Menentukan keadaan yang tersembunyi (Hidden State) dengan algoritma viterbi, (3)Penaksiran Parameter HMM dengan Algoritma Baum-Welch, dengan hasil yang diperoleh diharapkan dapat digunakan untuk meramalkan perubahan debitur tersebut selanjutnya. Kata kunci: Kredit Bank,Proses Markov, Model Hidden Markov
ii

ABSTRACT One of the factors contributing to the losses, the deadline / limit the payment by the debtor or the customer can not be achieved to the detriment of the bank. It is necessary for an approach to the debtor so that the banks can provide credit so as to minimmize the risk of bank credit, changes in the debtor can not be observed (hidden). Such events can be repeated debtor changes but uncertain time. It is assumed that the factors causing the change event the debtor is not observed directly and form a Markov chain. For that we need a model that can minimize the use of bank credit risk of hidden markov models, which The process that is not observable (hidden) can be observed through a process that can be observed, with the implementation of the measures (1) Calculate the chance observation with forward algorithma and backward algorithma (2) Determine the state of the hidden (Hidden State)with viterbi algorithma , (3) Parameter Estimation HMM with Baum-Welch algorithm , with the results expected to be used to predict subsequent changes in the debtor. Keyword : Credit Bank, Procces Markov, Hidden Markov Models
iii

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis mengucapkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: MODEL HIDDEN MARKOV UNTUK PERSOALAN OPTIMISASI FINANSIAL . Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara. Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, MSi dan Prof Dr Muhammad Zarlis selaku Tim Pembanding Tesis. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan
iv

pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2010/2011 Zulhendri, Agus, Hindra, Gomar, Dhia, Lena, Aghni, Rina, Vivi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Lahja Harahap dan Ibunda Harmaini Siregar yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, kepada abang dan adik-adikku Irwansyah Hrp, Ambi Hrp dan Meriyani Hrp dan Saudari Fitri Meilani Lubis yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Allah Swt membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, amin.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan.
Medan, Penulis,
Amin Harahap
v

RIWAYAT HIDUP Amin Harahap dilahirkan di desa pangarungan, kecamatan Torgamba, Kabupaten Labuhan Batuselatan Pada Tangga 21 Juli 1987 dari pasangan Lahja Harahap & Harmaini Siregar, dan merupakan anak ke dua dari empat bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri No 115497 desa Pangarungan pada tahun 2000, Madrasah Sanawiyah Swasta (MTS)/Pondok Pesantren Darul Falah Langga Payung pada tahun 2003, Madrasah Aliyah Negeri (MAN) Rantau Prapat pada tahun 2006. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Institut Agama Islam Negeri Sumatera Utara (IAIN SU) fakultas Tarbiyah Program Studi Pendidikan Matematika pada Jenjang Strata Satu (S-1)dan menyelesaikan perkuliahan pada tahun 2010. Pada awal tahun 2011 mengikuti program studi Magister Matematika di Pasca Sarjana FMIPA Universitas Sumatera Utara dan menyelesaikan perkuliahan pada akhir tahun 2012.
vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Konstribusi 1.5 Metode Penelitian
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA

i ii iii iv vi vii
1

1 2 3 3 3
6

BAB 3 LANDASAN TEORI
3.1 Risiko Kredit Bank 3.2 Proses Markov 3.3 Pengukuran Risiko 3.4 Persoalan Pemilihan Fortopolio BAB 4 HIDDEN MARKOV MODEL
4.1 Model Matematika untuk Persoalan Optimisasi Finansial

9
9 10 11 13 14
14

vii

4.2 Asumsi pada HMM

15

4.3 Persoalan dalam HMM

16

4.3.1 Menghitung peluang observasi

16

4.3.2 Menetukan barisan keadaan tersembunyi

16

4.3.3 Menaksir parameter-parameter HMM

17

4.4 Metode Penyelesaian Masalah-Masalah dalam HMM

17

4.4.1 Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju 17

4.4.2 Menghitung peluang observasi dengan algoritma mundur 18

4.4.3 Menentukan barisan keadaan tersembunyi dengan meng-

gunakan algoritma viterbi

19

4.4.4 Penaksiran parameter HMM dengan algoritma Baum-

Welch

20

BAB 5 KESIMPULAN

22

5.1 Kesimpulan DAFTAR PUSTAKA

22 23

viii

ABSTRAK
Salah satu faktor penyebab terjadinya kerugian bank, batas akhir/ limit pembayaran oleh debitur atau nasabah tidak dapat tercapai sehingga merugikan pihak bank. Untuk itu perlu dilakukan suatu metode pendekatan terhadap debitur agar bank dapat memberikan kredit sehingga dapat meminimalkan risiko kredit perbankan, perubahan debitur tidak dapat diobservasi (hidden). Kejadian-kejadian perubahan debitur dapat berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Diasumsikan bahwa faktor penyebab kejadian perubahan debitur tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai markov. Untuk itu diperlukan suatu model yang dapat meminimalkan risiko kredit perbankan yakni menggunakan model hidden markov, dimana proses yang tidak dapat diobservasi (hidden),dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi, dengan langkah-langkah pelaksanaan (1) Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju dan algoritma mundur(2)Menentukan keadaan yang tersembunyi (Hidden State) dengan algoritma viterbi, (3)Penaksiran Parameter HMM dengan Algoritma Baum-Welch, dengan hasil yang diperoleh diharapkan dapat digunakan untuk meramalkan perubahan debitur tersebut selanjutnya. Kata kunci: Kredit Bank,Proses Markov, Model Hidden Markov
ii

ABSTRACT One of the factors contributing to the losses, the deadline / limit the payment by the debtor or the customer can not be achieved to the detriment of the bank. It is necessary for an approach to the debtor so that the banks can provide credit so as to minimmize the risk of bank credit, changes in the debtor can not be observed (hidden). Such events can be repeated debtor changes but uncertain time. It is assumed that the factors causing the change event the debtor is not observed directly and form a Markov chain. For that we need a model that can minimize the use of bank credit risk of hidden markov models, which The process that is not observable (hidden) can be observed through a process that can be observed, with the implementation of the measures (1) Calculate the chance observation with forward algorithma and backward algorithma (2) Determine the state of the hidden (Hidden State)with viterbi algorithma , (3) Parameter Estimation HMM with Baum-Welch algorithm , with the results expected to be used to predict subsequent changes in the debtor. Keyword : Credit Bank, Procces Markov, Hidden Markov Models
iii

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Persoalan pemrograman stokastik adalah suatu persoalan optimisasi dimana beberapa parameter tidak diketahui dengan pasti, tapi dijelaskan oleh variabel acak (untuk persoalan satu periode) atau proses stokastik (untuk persoalan beberapa periode). Dalam banyak kasus, tidak mungkin membentuk suatu model optimisasi yang terhubung rantai dengan fungsi distribusi kontiniu. Model parameter yang tidak pasti harus didekati oleh fungsi distribusi diskrit dengan jumlah hasil skenario yang terbatas, atau dengan kata lain, skenario harus digenerasikan.
Dalam beberapa tahun terakhir, persoalan optimisasi finansial banyak menarik perhatian karena cakupan penerapannya termasuk analisis pasar saham, peramalan nilai tukar asing, prediksi bank yang gagal, risiko keuangan manajemen, resiko kredit bank, manajemen hubungan pelanggan, dan lainnya. Dalam penelitian ini dipilih persoalan resiko kredit bank.
Bank sebagai sebuah lembaga yang diberikan izin oleh otoritas perbankan memberikan kredit (Badan Sertifikasi Manajemen Risiko, 2007), tentunya tidak akan lepas dari risiko pada setiap aktivitas yang ada di dalamnya. Risiko seringkali diasumsikan dengan suatu peluang untuk terjadinya hasil yang buruk (Badan Sertifikasi Manajemen Risiko, 2007). Bank telah mengembangkan sebuah model risiko finansial yang dikenal dengan Value at Risk (VaR). Model VaR tersebut digunakan untuk mengukur besarnya nilai (value) yang memiliki risiko (at Risk) sebagai akibat kegiatan perdagangan yang dilakukan bank (GARP dan BSMR, 2006). Sektor perbankan melakukan pembagian sektor industri dalam memberikan kreditnya, hal ini lebih dikenal sebagai portofolio kredit perbankan. Setiap bank berhak menentukan pemberian kredit yang akan diberikan pada sektor ekonomi tertentu sesuai dengan risiko yang telah dipertimbangkan oleh masing masing manajemen perbankan itu sendiri. Penyebaran portofolio kredit yang dilakukan hampir seluruh bank sampai saat ini masih tetap banyak menim-
1

2
bulkan risiko yang tinggi, meskipun masing-masing perbankan telah memilih sektor ekonomi apa yang akan diberikan kredit dan kemungkinan memiliki risiko default paling kecil, namun tetap saja hal itu belum dapat diminimalisasi karena ada beberapa faktor yang tidak dapat diteliti atau tersembunyi (hidden)
Faktor penyebab terjadinya kerugian bank dalam memberikan kredit adalah kegagalan debitur dalam melakukan pembayaran yang tidak dapat diperkirakan atau karena debitur tidak dapat memenuhi kewajibannya sesuai perjanjian. Untuk itu perlu dilakukan suatu metode pendekatan terhadap debitur untuk meminimalkan risiko kredit perbankan agar bank dapat memberikan kredit.

Dalam tesis ini, digunakan sebuah pendekatan hidden markov model (HMM) untuk meminimalkan risiko kredit perbankan. Pendekatan ini berlandaskan pada dua aspek, yang pertama, proses pembayaran kredit memiliki rangkaian sifat transisi, (debitur dapat berubah sewaktu-waktu, melakukan pembayaran atau tidak melakukan pembayaran) yang membentuk sebuah state (status), yang masingmasing state ditandai dengan bentuk parameter yang berbeda. Kedua, perubahan debitur dapat diidentifikasi dengan mempertimbangkan status (state) yang sesuai.
HMM diterapkan pada beberapa bidang, Pengenalan Suara, Rabiner(1989). Hidden Markov Model dalam Custering Sequence Protein Globin, Sri Mulyana (2008), Tinjauan HMM dan penerapanannya di sajikan dalam (Ephraim,2002). Gupta (2004) menerapkan HMM pada masalah multi sequence alignment, yaitu suatu masalah pengenalan dan pembandingan pola sequence protein.
Dalam penelitian ini dijelaskan langkah-langkah dalam meminimalkan risiko kredit perbankan, pertama menjelaskan pengertian risiko kredit bank dan persoalan-persoalan dari risiko kredit bank yang diakibatkan kegagalan debitur dalam melunasi hutang-hutangnya, kedua membuat model untuk meminimalkan risiko kredit bank dengan mengimplementasikan Model Hidden Markov (HMM)
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, dalam persoalan kredit per-

3
bankan, debitur mengalami keterlambatan atau tidak dapat melunasi hutang dalam proses pembayaran kredit bank, yang memngakibatkan pihak bank mengalami kerugian, sehingga diperlukan suatu model untuk meminimalkan kerugian pihak bank.
Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam penelitian ini terkait dengan meminimalkan kerugian pihak bank dalam memberikan kreditnya kepada nasabah/debitur dengan menggunakan model hidden markov (HMM)
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengimplementasikan model hidden markov (HMM)untuk meminimalkan kerugian bank
1.4 Konstribusi Penelitian ini diharapkan bermanfaat bagi penulis maupun pembaca untuk menambah literatur tentang penggunaan model hidden markov (HMM) dalam persoalan optimisasi finansial.
1.5 Metode Penelitian Untuk merumuskan suatu model optimisasi finansial dengan hidden Markov Model diperlukan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju (the F orward Algo− rithm)
εs(k) = P (Q1, Q2, ...Qs, Ys = k|γ) dengan menyatakan εs(k) total peluang observasi yang berakhir pada state k pada saat s dimana s = 1, 2, S jika diketahui suatu barisan observasi {Q1, Q2, ..., Qs}. 2. Menghitung peluang observasi dengan algoritma mundur (backward Algorithm) dalam algoritma mundur (Q1, Q2, ...Qs) dirubah menjadi (Qs−1, Qs−2, ...Qt)

4

maka :

τs(k) = P (Qs−1, Qs−2, ..., Qs|Ys = k, γ)

3. Menentukan keadaan yang tersembunyi (hidden state)

θs(k) = maxY1,Y2,...,Ys−1P (Q1),Q2,...,Qs,Y1,Y2,...Ys−1,Ys=k|γ
dan µs(l) = argmaxk≤1≤C {θs−1(k)dkl}
Variabel θs(k) menyatakan probabilitas terbesar sepanjang k observasi pertama dan berakhir pada state k, sehingga θs(k) merupakan probabilitas dari state yang paling optimal untuk barisan observasi secara parsial. Sementara µs(l) menyimpan state sebelumnya yang akan membentuk barisan state yang optimal.

4. Penaksiran parameter HMM dengan Algoritma Baum Welch. Algoritma Baum Welch juga dikenal sebagai algoritma maju-mundur dengan variabel maju dan mundurnya didefinisikan sebagai :

 εs(k) = P (Q1, Q2, ..., Qs, Ys = k|γ)
τs(k) = P (Qs−1, Qs−2, ..., Qs, Ys = k|γ)

(1)

Kemudian didefinisikan sebuah variabel baru ϑs(k, l) dimana ϑs(k, l) adalah probabilitas proses berada pada state k pada waktu s dan berada pada state l pada waktu l bila diketahui barisan observasi dan model :

ϑs(k, l) = P (Ys = k, Ys+1 = k|Q, γ)

(2)

Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat dan aturan bayes, maka

variabel ϑs(k, l) dapat dinyatakan sebagai

ϑs(k, l)

=

εs (k)εk,lhl (Qs+1 )τs+1 (l) P (Q|γ)

(3)

Dengan diperoleh nilai ϑs(k, l) maka bisa dihitung peluang yang berada

pada state k pada waktu s,βs(k) dengan menjumlahkan ϑs(k, l) atas l

n
βs(k) = ϑs(k, l)
k=1

(4)

5

Karena diketahui dari hasil sebelumnya βs(k) merupakan peluang proses yang berada pada state k pada waktu s, maka penaksiran parameter α :

α(k) = β1(i)

(5)

sementara untuk penaksiran dkl adalah

dkl =

S−1 s=1

ϑs(k,

l)

s−1 s=1

βs(k)

(6)

Penaksiran tersebut diperoleh dengan membagi jumlah transisi dari state k ke state l dengan total seluruh transisi dari state k, begitu juga dengan penaksiran hk(l) yaitu :

hk(l) =

S s=0,Qs=k

βs(l)

S s=1

βs(l)

(7)

yang diperoleh dengan membagi jumlah state yang menghasilkan observasi l pada saat proses berada pada state k dengan jumlah seluruh proses yang berada pada state k

BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
Bank sebagai sebuah lembaga yang diberikan izin oleh otoritas perbankan memberikan kredit (Badan Sertifikasi Manajemen Risiko, 2007), tentunya tidak akan lepas dari risiko pada setiap aktivitas yang ada di dalamnya. Risiko seringkali diasumsikan dengan suatu peluang untuk terjadinya hasil yang buruk (Badan Sertifikasi Manajemen Risiko, 2007). Risiko dapat didefinisikan sebagai volatilitas outcome yang umumnya berupa nilai dari suatu aktiva atau hutang (Ghozali, 2007).
Sektor perbankan melakukan pembagian sektor industri dalam memberikan kreditnya, hal ini lebih dikenal sebagai portofolio kredit perbankan. Setiap bank berhak menentukan pemberian kredit yag akan diberikan pada sektor ekonomi tertentu sesuai dengan risiko yang telah dipertimbangkan oleh masing masing manajemen perbankan itu sendiri. Penyebaran portofolio kredit yang dilakukan hampir seluruh bank sampai saat ini masih tetap banyak menimbulkan risiko yang tinggi, meskipun masing-masing perbankan telah memilih sektor ekonomi apa yang akan diberikan kredit dan kemungkinan memiliki risiko kegagalan paling kecil, namun tetap saja hal itu belum dapat diminimalisasi.
Risiko kredit adalah risiko yang timbul sebagai akibat kegagalan pihak lawan memenuhi kewajibannya (Tampubolon, 2004). Risiko ini dapat timbul karena kinerja satu atau lebih debitur yang buruk. Kinerja debitur yang buruk ini dapat berupa ketidak mampuan debitur untuk memenuhi sebagian atau seluruh isi perjanjian kredit yang telah disepakati bersama sebelumnya. Sementara itu definisi lain menjelaskan risiko kredit merupakan risiko yang timbul akibat tidak terpenuhinya kewajiban nasabah kredit untuk membayar angsuran pinjaman maupun bunga kredit yang berakibat hilangnya aset serta turunnya laba bank tersebut (Juli dkk, 2004). Risiko kredit merupakan kerugian yang disebabkan terjadinya default dari debitur atau karena terjadinya penurunan kualitas kredit debitur (Bessis Joel, 1998). Pada saat terjadinya penurunan kualitas kre-
6

7
dit, meskipun belum default, sudah mencerminkan adanya kenaikan risiko kredit, hal tersebut mencerminkan membesarnya peluang terjadi default akibat turunya kualitas kredit. Down dan Kevin (1999) mendefinisikan risiko kredit sebagai risiko meningkatnya kerugian akibat kegagalan nasabah memenuhi pembayaran pada waktu yang telah disepakati. Sementara Kountur (2006) mendefinisikan risiko adalah kemungkinan kejadian yang merugikan. Risiko akan menjadi besar apabila semakin banyak/kompleknya aktifitas yang dilakukan maka semakin besar risiko yang dihadapi. Namun risiko bank menurut Tampubolon (2004) adalah sebagai kombinasi dari tingkat kemungkinan sebuah peristiwa terjadi disertai dampak dari peristiwa tersebut pada bank. Setiap kegiatan mengandung potensi sebuah peristiwa terjadi atau tidak terjadi, dengan dampak yang memberi peluang untuk untung atau mengancam sebuah kesuksesan.
Dari asumsi diatas debitur dapat menimbulkan risiko yang mengakibatkan pihak perbankan dapat mengalami kerugian, perubahan debitur tidak dapat diobservasi (hidden) sehingga diperlukan suatu model yang dapat mengobservasi debitur melalui state yang dapat diobservasi yaitu dengan menggunakan model hidden markov (HMM). Model hidden markov (HMM) menggabungkan dua atau lebih rantai markov dengan hanya satu rantai yang terdiri dari state yang dapat diobservasi dan rantai lainnya membentuk state yang tidak dapat di observasi (hidden) yang mempengaruhi hasil dari state yang dapat diobservasi
HMM didefinisikan sebagai 5 pasangan dimana masing-masing anggota bisa berupa himpunan atau ukuran sebagai berikut :

1. Banyaknya elemen keadaan yang tersembunyi (hidden state) terhadap model yang dinotasikan dengan C.

2. Matrik peluang transisi D = {dkl} dimana dkl adalah elemen dari D yang

merupakan peluang bersyarat dari keadaan pada s + 1 , jika diketahui

keadaan Y pada saat s, atau dkl = P (Ys+1 = l|Ys = k) dimana 1 ≤ k, l ≤ C.

Karena itu D berukuran CxC. Hal yang perlu jadi catatan adalah dkl ≥ 0

untuk setiap dan untuk setiap 1 ≤ k, l ≤ C dan

C k=1

dij

=

1

untuk

setiap

≤ i ≥ C . Artinya jumlah elemen masing-masing baris adalah 1.

8

3. Banyaknya elemen keadaan yang terobservasi B. B biasanya tetap, dan ditentukan oleh peneliti.

4. Distribusi peluang observasi pada saat s, pada keadaan k, yang dikenal dengan matriks emisi H = {hk(r)} dimana :

hrk = hk(r) = P (Qs = r|Ys = k), 1 ≤ k ≤ c, 1 ≤ r ≤ B

(1)

r adalah observasi pada waktu ke- s bernilai r, jadi H adalah matriks berukuran CxB, dan seperti pada matriks transisi D, jumlah elemen setiap baris adalah 1.

5. Keadaan awal

α(k) = P (Y1 = k)1 ≤ k ≤ C

(2)

Dari nilai 5 urutan (C, B, D, H, λ) terdapat tiga komponen yang merupakan ukuran probabilitas yaitu D, H, λ, sehingga HMM dikenal dengan notasi θ = (A, B, λ) dengan D berukuran CxC dan B berukuran CXB

BAB 3
LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan beberapa teori dasar mengenai risiko kredit yang menyebabkan perbankan mengalami kerugian, pada persoalan ini ditandai dengan parameter-parameter yang dapat diobservasi melalalui proses markov. Model yang dapat membantu pihak perbankan dalam mengukur besarnya nilai (value) yang memiliki risiko (at Risk), salah satunya model V aR (value at Risk).
3.1 Risiko Kredit Bank
Bank sebagai lembaga keuangan yang salah satu fungsinya menjadi moderator antara pihak yang memiliki dana dengan pihak yang membutuhkan pinjaman dana baik untuk usaha maupun konsumsi pribadi yang mengharuskan bank untuk dapat memaksimalkan kredit dan tentunya meminimalkan risiko kredit yang dapat timbul karena pemberian kredit tersebut, dimana LDR (Loan To Deposit Ratio) diusahakan maksimum, namun risiko kredit harus ditekan. Menurut Suhardjono (2003), Risiko kredit merupakan risiko kerugian yang diakibatkan oleh kegagalan debitur yang tidak dapat diperkirakan atau karena debitur tidak dapat memenuhi kewajibannya sesuai perjanjian atau penurunan kualitas kredit nasabah. Menurut Masyhud Ali (2006), menyatakan bahwa Risiko kredit adalah risiko kerugian yang diderita bank karena debitur tidak melunasi kembali pokok pinjaman (plus bunga). Menurut (Ghozali, 2007), risiko kredit dalam perbankan didefinisikan sebagai risiko kerugian yang dikaitkan dengan kemungkinan kegagalan debitur membayar kewajibannya atau tidak dapat melunasi hutangnya. Menurut Rachmat Firdaus dan Maya Ariyanti (2009), menyatakan bahwa Risiko kredit merupakan suatu risiko yang mungkin timbul akibat gagalnya pengembalian sebagian kredit yang diberikan dan menjadi kredit bermasalah sehingga mempengaruhi pendapatan bank. Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan risiko kredit adalah risiko yang terjadi diakibatkan oleh kegagalan pihak debitur yang tidak dapat diperkirakan untuk memenuhi kewajibannya atau tidak dapat melunasi hutangnya. Menurut Ghozali (2007), sumber risiko kredit antara lain:
9

10

1. Lending risk yaitu risiko akibat debitur atau nasabah tidak mampu melunasi fasilitas yang telah disediakan oleh bank. Baik fasilitas kredit langsung maupun tidak langsung (cashloanmaupunnoncashloan)
2. Counterparty Risk yaitu risiko yang timbul karena pasangan usaha tidak dapat melunasi kewajibannya, baik sebelum maupun pada tanggal kesepakatan
3. Issuer Risk yaitu yang timbul karena penerbit suatu surat berharga tidak dapat melunasi sejumlah nilai surat berharga yang dimiliki bank

3.2 Proses Markov

Proses markov adalah suatu proses stokastik dengan sifat, jika keadaan untuk saat sekarang diketahui, peluang keadaan dari proses di satu langkah ke depan hanya dipengaruhi oleh keadaan proses disaat sekarang. Artinya, keadaan proses diwaktu-waktu lampau tidak mempengaruhi keadaan ke depan.

Rantai Markov mempunyai sifat sebagai berikut : Proses stokastik {Xt} dikatakan mempunyai sifat markov jika P {Xt+1 = j|X0 = s0, X1 = s1, ..., st−1 = st−1, Xt−1, Xt = i} = P {Xt+1 = j|Xt = i} Untuk t = 0, 1, ..., dan setiap urutan i, j, S1, ..., St−1(Hillier dan Lieberman, 2008). Sifat Markov ini menyatakan bahwa peluang bersyarat dari kejadian mendatang dengan kejadian masa lampau dan state saat ini adalah independent terhadap kejadian di waktu lalu dan hanya tergantung pada keadaan saat ini (Hillier dan Lieberman, 2008).

Peluang bersyarat P = {Xt+1 = j|Xt = i} untuk rantai markov disebut peluang transisi. Jika untuk setiap i dan j, P {Xt−1 = j|Xt = i} = P {X1 = j|X0 = i} untuk t = 1, 2, maka peluang transisi (satu langkah) dikatakan stasioner. Oleh karena itu, peluang transisi stasioner menyiratkan bahwa peluang transisi tidak berubah seiring dengan waktu. Keberadaan peluang transisi stasioner (satu langkah) juga menyiratkan bahwa untuk tiap i, j, dan v , (v = 0, 1, 2, ..., )

P {Xt+v = j|Xt = i} = P {Xv = j|X0 = i}

(1)

untuk semua t = 0, 1, peluang bersyarat ini disebut peluang transisi v-langkah (Hillier dan Lieberman, 2008).

11

Untuk menyederhanakan notasi penulisan dengan peluang transisi stasioner, misal-

kan:

Pij = P {Xt+1|Xt = i}

(2)

Pi(jv) = P {Xt+v|Xt = i}

(3)

Oleh karena itu, peluang transisi v langkah Pi(jv) hanyalah merupakan peluang bersyarat sehingga sistem akan berada pada state j tepat setelah v langkah(satuan

waktu), jika sistem tersebut bermula pada state i pada waktu t kapanpun. Oleh

karena Pi(jv) adalah peluang bersyarat, peluang tersebut harus nonnegatif, dan

oleh karena prosesnya harus membuat perubahan ke state lain maka peluang

tersebut harus memenuhi sifat Pi(jv) > 0, untuk semua i dan j ; v = 0, 1, 2, . Dan

l j=0

Pi(jv)

=

1

untuk

semua

i;

v

=

0,

1,

2,

.

dan

j

=

0,

1,

2,

l

(Hillier

dan

Lieberman,

2008). Bentuk matriks (matriks peluang transisi v-langkah) untuk menunjukkan

semua peluang transisi :

p0v0
pv10   
pvi0

pv01 . . . pv11 . . .
pvi1 . . .

p0vl
pv1l   
pivl

(4)

3.3 Pengukuran Risiko

Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting dalam analisis keuangan mengingat hal ini berkenaan dengan investasi dana yang cukup besar yang seringkali pula berkenaan dengan dana publik. Bank telah mengembangkan sebuah model risiko finansial yang dikenal dengan V alue at Risk (V aR). Model VaR tersebut di gunakan untuk mengukur besarnya nilai (value) yang memiliki risiko (Risk) sebagai akibat kegiatan perdagangan (trading) yang dilakukan bank (GARP dan BSMR, 2006) yang merupakan pengukuran kemungkinan kerugian terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T , dengan tingkat kepercayaan sebesar α , secara sederhana VaR ingin menjawab pertanyaan, seberapa besar (dalam persen atau sejumlah uang tertentu) bank dapat merugi selama waktu investasi T dengan tingkat kepercayaan sebesar α. Dalam hal ini, nilai tingkat kepercayaan harus dapat merefleksikan probabilitas baku dari horizon (batas) waktu infestasi yang teramati. Kurun waktu perhitungan resiko

12

pun mesti memperhatikan periode likuidisasi dari aset berisiko dari proses-proses berisiko yang terhitung gagal (khun dan Neu, 2003)

V alue at Risk (V aR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan lainnya. Hal ini diartikan sebagai kerugian untuk suatu tingkat kepercayaan yang di berikan. Untuk suatu tingkat kepercyaan p = 99% , seorang percaya bahwa 99% pada akhir risiko terpilih tidak akan terdapat lebih besar kerugian dari VaR. Dalam teori peluang, VaR adalah kuartil, secara umum (1 − p)% kuartil dari keuntungan dan distribusi kerugian.

Pendekatan dalam menentukan VaR dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu

pendekatan umum berdasarkan empirik (numeric) atau pendekatan parametric.

VaR numeric, misalkan untuk menghitung VaR dari suatu portofolio, dapat digu-

nakan distribusi empiris yang didapatkan dari data observasi (misalnya dari data

historis). Dengan mendefinisikan Po = investasi awal, dan Q = rate of return terendah dengan espektasi (harapan) = τ dan volatilitas π serta P 1 = nilai teren-

dah pada tingkat kepercayaan R, maka VaR dapat didefinisikan sebagai kerugian

relatif terhadap mean :V aR = M(P ) − P 1 = P0(τ − Q1) VaR juga dapat didefinisikan sebagai VaR absolute yaitu V aR = P0 − P 1 = P0Q1 baik dalam VaR relatif atau absolute, menentukan VaR ekuivalen dengan mengidentifikasi nilai minimum

P 1 atau cut of f return. Dalam bentuk umum, VaR dapat dihitung dari fungsi

densitas probabilitas dari nilai portofolio yang akan datang R(p). apabila P 1 =

nilai portofolio terendah pada tingkat kepercayaan B, maka P 1 dicari sedemikian

hingga probabilitas melebihi nilai tingkat kepercayaan B : B =

∞ P1

R(p)dp

atau

probabilitas suatu nilai kecil dariP 1, P = probabilitas P ≤ P 1, adalah 1 − B :

atau 1 − B =

P∗ −∞

R(p)dp

=

P

dengan

kata

lain,

area

dari

−∞

sampai

P1

harus

sejumlah P = 1 − B, misal 1 bilangan P 1 disebut kuantil sampel dari distribusi

tersebut. Jadi untuk memperoleh P 1 tidak digunakan standar deviasi. Kita dapat

menurunkan VaR pada tingkat 95%.

VaR Parametrik, misal untuk menghitung VaR dengan pendekatan parametrik, dilakukan estimasi parameter standart deviasi. Pendekatan ini tidak langsung melihat kuantil distribusi empiris yang didapatkan dari data observasi. Perhitungan VaR dengan tingkat kepercayaan C, dapat diperoleh dari standart deviasi

13

dengan vaktor pengali λ yang tergantung dari tingkat kepercayaan yang diperoleh

dengan melihat tabel distribusi normal. Pada penetapan VaR dengan pendekatan

parametrik, R(P ) diubah kedalam bentuk distribusi normal standar γ(υ) dengan

υ yang memiliki mean nol dan standar deviasi 1. P 1 diperoleh dari cut return Q1

dengan menggunakan persamaan P 1 = P0(1 + Q1), Q1 dapat dihitung dengan

−λ

:

−λ

=

−|Q∗|−τ γ

hal

ini

ekuivalen dengan

1−B

=

P1 −∞

f (p)dw

dengan

demikian

mencari VaR sama dengan mencari nilai λ.

3.4 Persoalan Pemilihan Fortopolio

Masalah pemilihan portofolio dapat dijelaskan. Pada saat ini terdapat sejumlah modal yang di investasikan dalam serangkain n yang tersedia. Keputusankeputusan dibutuhkan pada proporsi modal yang di investasikan pada setiap aset, sehingga pada periode akhir investasi pendapatan dapat diraih sebesar mungkin. Setiap aset j di dalam (1, ..., n) memberikan suatu nilai (Rj) pada akhir periode investasi. (Rj) adalah variabel acak (karena aset di masa akan datang tidak diketahui), yang distribusinya didekati melalui pergerakan skenario distribusi diskrit dengan hasil yang terbatas. Misalkan (Xj) adalah suatu proporsi modal yang di investasi dalam aset j(xjwj|w) dimana wj adalah modal yang diinvestasikan dalam aset j dan w adalah jumlah keseluruhan modal yang diinvestasikan. Dan misalkan x = (x1, ..., xn) , maka dari itu untuk mengambil keputusan x = (x1, ..., xn) kriteria untuk memilih variabel-variabel acak harus dikhususkan atau dengan kata lain sebuah model pengambilan keputusan tertentu harus dipilih. Sektor perbankan melakukan pembagian sektor industri dalam memberikan kreditnya, hal ini lebih dikenal sebagai portofolio kredit perbankan. Setiap bank berhak menentukan pemberian kredit yag akan diberikan pada sektor ekonomi tertentu sesuai dengan risiko yang telah dipertimbangkan oleh masing masing manajemen perbankan itu sendiri. Penyebaran portofolio kredit yang dilakukan hampir seluruh bank sampai saat ini masih tetap banyak menimbulkan risiko yang tinggi, meskipun masingmasing perbankan telah memilih sektor ekonomi apa yang akan diberikan kredit dan kemungkinan memiliki risiko default paling kecil, namun tetap saja hal itu belum dapat diminimalisasi, untuk itu dibutuhkan suatu model untuk mengoptimalkan risiko kredit yang statenya tidak dapat di observasi (hidden)

BAB 4 HIDDEN MARKOV MODEL

Pada bab ini akan dipaparkan penggunaan model hidden markov (HMM) untuk meminimalkan kerugian bank yang diakibatkan debitur atau nasabah yang mengalami keterlambatan atau kegagalan dalam meyelesaikan perjanjian kredit yang telah disepakati bersama sebelumnya.

4.1 Model Matematika untuk Persoalan Optimisasi Finansial
Hidden Markov Model (HMM) adalah suatu proses stokastik ganda dimana salah satu prosesnya tidak dapat diobservasi (hidden). Proses yang tidak dapat diobservasi ini hanya dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi. Jika Y = {Y1, Y2, ...Yn} adalah sebuah proses markov, dan Y = {Q1, Q2, ...Qn} adalah sebuah fungsi dari Y . Maka Y adalah sebuah HMM yang dapat diobservasi melalui Q , atau dapat ditulis Q = f(Y ) untuk suatu fungsi f . Parameter Y menyatakan proses state yang tersembunyi (hidden), sementara parameter Q menyatakan proses observasi yang dapat diobservasi.
HMM didefinisikan sebagai 5 pasangan dimana masing-masing anggota bisa berupa himpunan atau ukuran sebagai berikut :

1. Banyaknya elemen keadaan yang tersembunyi (hidden state) terhadap model yang dinotasikan dengan C.

2. Matrik peluang transisi D = {dkl} dimana dkl adalah elemen dari D yang

merupakan peluang bersyarat dari keadaan pada s + 1 , jika diketahui

keadaan Y pada saat s, atau dkl = P (Ys+1 = l|Ys = k) dimana 1 ≤ k, l ≤ C.

Karena itu D berukuran CxC. Hal yang perlu jadi catatan adalah dkl ≥ 0

untuk setiap dan untuk setiap 1 ≤ k, l ≤ C dan

C k=1

dij

=

1

untuk

setiap

≤ i ≥ C . Artinya jumlah elemen masing-masing baris adalah 1.

3. Banyaknya elemen keadaan yang terobservasi B. B biasanya tetap, dan ditentukan oleh peneliti.

14

15

4. Distribusi peluang observasi pada saat s, pada keadaan k, yang dikenal dengan matriks emisi H = {hk(r)} dimana :

hkr = hk(r) = P (Qs = r|Ys = k), 1 ≤ k ≤ c, 1 ≤ r ≤ B

(1)

r adalah observasi pada waktu ke- s bernilai r, jadi H adalah matriks berukuran CxB, dan seperti pada matriks transisi D, jumlah elemen setiap baris adalah 1.

5. Keadaan awal

α(k) = P (Y1 = k)1 ≤ k ≤ C

(2)

Dari nilai 5 urutan (C, B, D, H, λ) terdapat tiga komponen yang merupakan

ukuran probabilitas yaitu D, H, λ dan , sehingga HMM dikenal dengan no-

tasi θ = (A, B, λ) dengan D berukuran CxC dan B berukuran CXB

4.2 Asumsi pada HMM ada tiga asumsi pokok yang dibutuhkan dalam analisis HMM

1. Asumsi markov Asumsi ini menyatakan bahwa keadaan berikutnya hanya dipengaruhi oleh keadaan saat ini.
2. Asumsi stasioneritas Asumsi ini menyatakan bahwa peluang transisi dari suatu keadaan lainnya independen dengan waktu saat transisi itu terjadi, sehingga untuk sembarang s1 dan s2 berlaku :

P (Ys1+1 = l|Ys1 = k) = P (Ys2+1 = k|Ys2 = l) = Pkl

(3)

3. Asumsi independensi kebebasan

Jika diketahui suatu barisan observasi Q = Q1, Q2, ..., Qs dan suatu barisan keadaan Y = Y1, Y2, ..., Ys maka pengmatan saat ini bersifat independen dengan pengamatan sebelumnya. Atau dapat dibuat

S
P (Q|Y, α) = P (Qs|Ys, α))
s=1

(4)

16

4.3 Persoalan dalam HMM

4.3.1 Menghitung peluang observasi

Bila diketahui sebuah model γ = (D, H, α) dan sebuah barisan observasi Q = Q1, Q2, ..., Qt , kemudian akan di hitung P (Q|Y, γ) dapat ditulis sebagai :

P (Q|γ) = P (Q|Y, γP (Y |γ)
Y

(5)

dimana Y = (Y1, Y2, ..., Ys) adalah suatu barisan, P (Q|Y, γ) adalah probabilitas barisan observasi Q untuk suatu barisan state Y . dan P (Y |γ) merupakan probabilitas dari Y bila diberikan sebuah model, karena pada HMM barisan observasi diasumsikan independen, sehingga :

S
P (Q|Y, γ) = P (Qs|Y, γ = h1(Q1), Q2(Q2), ...hS(QS)
s=1
dengan demikian diperoleh :

(6)

P (Q|γ) = P (Q|Y, γ)P (Y |γ) =

α(1)h1(Q1), d12h12(Q2)d23, ...ds−1,ShS (QS)

y 1,2,..S

(7)

Untuk menghitung P (Q|γ) diperlukan 2S.CS kali operasi perhitungan. Dengan

CS adalah kemungkinan hidden state yang terjadi jika barisan observasi sepanjang

S dan hidden state-nya sebanyak C . Sehingga meskipun untuk C dan S yang

bernilai kecil, jumlah operasi perhitungan yang dibutuhkan akan sangat banyak.

Untuk itu diperlukan algoritma yang lebih efisien dalam menyelesaikan masalah

ini. Algoritma yang digunakan dalam penyelesaian masalah ini adalah algoritma

maju (forward algorithm) dan algoritma mundur (backward algorithm).

4.3.2 Menetukan barisan keadaan tersembunyi
Permasalahan selanjutnya yaitu menemukan barisan state terbaik (optimal) yang berasosiasi dengan barisan observasi Q dari sebuah model γ yang juga telah diketahui. Barisan state yang optimal didefinisikan sebagai barisan state yang mempunyai probabilitas tertinggi dalam menghasilkan barisan observasi yang telah diketahui sebelumnya. Sehingga pada akhirnya diperoleh suatu barisan

17

state Y yang akan memaksimumkan P (Y |Q, β). Misal, didefinisikan β(k)dimana β(k) = P (Ys = k|Q, γ) jika β(k) dijumlahkan terhadap k, karena Ys = k merupakan partisi dari Y maka menurut aturan bayes mengenai partisi, hasilnya men-

jadi:

C

β(k) = P (Ys = k|Q, γ) = 1

(8)

K=1

dapat dinyatakan bahwa state yang paling optimal untuk masing-masing s bisa

diperoleh dari

Ys = arg max1≤k≥Cβ(k)

(9)

Dengan demikian akan diperoleh barisan state yang paling optimal yaitu, terhadap suatu observasi yang diberikan. namun, pencarian barisan state yang paling optimal dengan cara tersebut akan berpeluang menimbulkan barisan yang tidak valid, karena tidak mempertimbangkan probabilitas transisi state. misalnya, apabila hasil dari perhitungan, sementara diketahui bahwa proses tidak mungkin berpindah dari state l ke state r, untuk menghindari masalah tersebut perlu digunakan suatu metode yang mempertimbangkan probabilitas transisi state pada proses pencarian barisan state yang paling optimal. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini antara lain algorithma Viterbi.

4.3.3 Menaksir parameter-parameter HMM
permasalahan ketiga adalah masalah optimasi, permasalahan yang harus dipecahkan adalah mengestimasi model terbaik yang dapat menjelaskan suatu barisan observasi yang berkaitan dengan bagaimana menentukan estimasi parameter HMM A, B dan π sehingga terbentuk model baru λˆ(Aˆ, Bˆ, πˆ) dimana P (O|λˆ) ≥ P (O|λ). untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan Algoritma Baum Welch.

4.4 Metode Penyelesaian Masalah-Masalah dalam HMM 4.4.1 Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju
Algoritma ini adalah proses iterasi yang berdasarkan pada perhitungan pelu-

18

ang bersyarat melalui sifat-sifat pada peluang. dengan menggunakan definisi peluang bersyarat P (Q|γ) dapat dihitung : di definisikan εs(k) sebagai variabel maju, dimana :

εs(k) = P (Q1, Q2, ...Qs, Ys = k|γ)

(10)

Dengan menyatakan εs(k) total peluang observasi yang berakhir pada state k pada saat s dimana s = 1, 2, S jika diketahui suatu barisan observasi {Q1, Q2, ..., Qs}.

1. inisialisasi

εs(k) = α(k)hk(Q1)

(11)

dimana 1 ≤ k ≤ C Persamaan tersebut diperoleh dari dafinisi variabel maju dengan cara mensubtitusikan dua defenisi parameter HMM yaitu α(k) = P (Ys = k) dan hk(r) = P (Qs = r|Ys = k)

2. tahap induksi

εs+1(l) =

α(k)hk(Q1) hl(Qs+1)

(12)

3. Tahap terminasi

C
P (Q|γ) = εs(k)
k=1

(13)

4.4.2 Menghitung peluang observasi dengan algoritma mundur

dalam algoritma mundur (Q1, Q2, ...Qs) pada persamaan (4.3.1)dirubah maka menjadi (Qs−1, Qs−2, ...Qt)sehingga :

τs(k) = P (Qs−1, Qs−2, ..., Qs|Ys = k, γ)

(14)

adapaun tahap-tahap algoritma mundur :

1. Tahap inisialisasi untuk k = 1, 2, ...C

τs(k) = 1

(15)

2. Tahap induksi

C

τs(k) = hl(Qs+1τs+1(l)dkl

k=1

untuk s = s − 1, s − 2, ....1 dan k = 1, 2, ..., C

3. tahap terminasi

C
P (Q|γ) = hk(1)α(k)τ1(k)
k=1

19 (16) (17)

4.4.3 Menentukan barisan keadaan tersembunyi dengan menggunakan algoritma viterbi

Algoritma viterbi digunakan dalam HMM untuk mencari barisan keadaan tersembunyi yang paling optimal dari suatu barisan observasi dengan mendefinisikan arg maxq{v} Yaitu argumen q yang bersesuaian dengan nilai maksimum dari v. Algoritma viterbi memaksimalkan P (Y, Q) dan probabilitas bersyarat P (Y |Q) Algoritma viterbi didefinisikan

θs(k) = maxY1,Y2,...,Ys−1P (Q1),Q2,...,Qs,Y1,Y2,...Ys−1,Ys=k|γ

(18)

dan

µs(l) = argmaxk≤1≤C {θs−1(k)dkl}

(19)

Variabel θs(k) menyatakan probabilitas terbesar sepanjang k observasi pertama dan berakhir pada state k, sehingga θs(k) merupakan probabilitas dari state yang paling optimal untuk barisan observasi secara parsial. Sementara µs(l) menyimpan state sebelumnya yang akan membentuk barisan state yang optimal. Adapun tahap-tahap algoritma viterbi

1. Tahap inisialisasi

θ1(k) = hk(Q1)α(k)

pada tahap ini µ1(k) = 0

(20)

20

2. Tahap rekursi

θs(l) = hl(Qs)max1≤k≤C {dklθs−1(k)}

3. Tahap Terminasi

P = max1≤k≤C{θs−1(k)} YS = argmax1≤k≤C {θs−1(k)}

4. Tahap backtracking

YS = µs+1(Y(Y +1), S = s − 1, s − 2, ..., 1

(21) (22)
(23)

4.4.4 Penaksiran parameter HMM dengan algoritma Baum-Welch Algoritma Baum Welch juga dikenal sebagai algoritma maju-mundur dengan
variabel maju dan mundurnya didefinisikan sebagai :

 εs(k) = P (Q1, Q2, ..., Qs, Ys = k|γ)
τs(k) = P (Qs−1, Qs−2, ..., Qs, Ys = k|γ)

(24)

Kemudian didefinisikan sebuah variabel baru ϑs(k, l) dimana ϑs(k, l) adalah probabilitas proses berada pada state k pada waktu s dan berada pada state l pada waktu l bila diketahui barisan observasi dan model :

ϑs(k, l) = P (Ys = k, Ys+1 = k|Q, γ)

(25)

Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat dan aturan bayes, maka variabel

ϑs(k, l) dapat dinyatakan sebagai

ϑs(k,

l)

=

εs(k)εk,lhl(Qs+1)τs+1(l) P (Q|γ)

(26)

Dengan diperoleh nilai ϑs(k, l) maka bisa dihitung peluang yang berada pada

state k pada waktu s,βs(k) dengan menjumlahkan ϑs(k, l) atas l

n
βs(k) = ϑs(k, l)
k=1

(27)

Karena diketahui dari hasil sebelumnya βs(k) merupakan peluang proses yang

berada pada state k pada waktu s, maka penaksiran parameter α :

α(k) = β1(i)

(28)

21

sementara untuk penaksiran dkl adalah

dkl =

S−1 s=1

ϑs(k,

l)

s−1 s=1

βs(k)

(29)

Penaksiran tersebut diperoleh dengan membagi jumlah transisi dari state k ke state l dengan total seluruh transisi dari state k, begitu juga dengan penaksiran

hk(l) yaitu :

hk(l) =

S s=0,Qs=k

βs(l)

S s=1

βs(l)

(30)

yang diperoleh dengan membagi jumlah state yang menghasilkan observasi l pada

saat proses berada pada state k dengan jumlah seluruh proses yang berada pada

state k

BAB 5 KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan
Telah diformulasikan sebuah model yang dapat digunakan untuk meneliti perubahan debitur yang tidak dapat diobservasi hidden, sehingga dapat meminimalkan risiko kerugian bank dalam memberikan kredit kepada debitur. Model yang digunakan adalah Hidden Markov Model (HMM), dimana proses yang tidak dapat diobservasi (hidden) dapat diobservasi melalui proses yang dapat diobservasi, model ini di formulasikan dengan cara :

1. Menghitung peluang observasi dengan algoritma maju dan mundur

εs(k) = P (Q1, Q2, ...Qs, Ys = k|γ)

τs(k) = P (Qs−1, Qs−2, ..., Qs|Ys = k, γ)

2. Menetukan keadaan yang tersembunyi (Hidden State), dengan algoritma viterbi θs(k) = maxY1,Y2,...,Ys−1P (Q1),Q2,...,Qs,Y1,Y2,...Ys−1,Ys=k|γ
dan µs(l) = argmaxk≤1≤C {θs−1(k)dkl}

3. Penaksiran Parameter HMM dengan Algoritma Baum-Welch

dkl = hk(l) =

S−1 s=1

ϑs(k,

l)

s−1 s=1

βs(k)

S s=0,Qs=k

βs(l)

S s=1

βs(l)

22

DAFTAR PUSTAKA
Ali, Masyhud. (2006), Manajemen Risiko, Strategi Perbankan Dan Dunia Usaha Menghadapi Tantangan Globalisasi Bisnis, PT. Raja Grafindo Persada, Jakarta.
Azzouzi, M and Nabney. (1999).Modelling Financial Time Series with Switching State Space Models. Proceedings of the IEEE/IAFE 1999 Conference on Computational Intelligence for Financial Engineering, 240 249
Badan Sertifikasi Manajemen Risiko. (2007)
Bengio, y, Lauzon, dan Ducharme, r. (2001) Experiments on the Application of IOHMMs to Model Financial Returns Series. IEEE Transactions on Neural Networks 12(1), 113-123
Bessis, Joel. (1998), Risk Management in Banking. John Wiley dan Sons, New York.
Ephraim, Y. and Merhav, N. (2002) Hidden Markov Processes. IEEE Transactions on Information Theory 48(6), 1518- 1569.
Ghozali dan Imam, (2007). Manajemen Risiko Perbankan- Pendekatan Value at Risk. Badan Penerbit Universitas Diponegoro. Semarang
http://repositori.upi.edu/operator/ta.mtk.0706664-chater 3.
Hillier, F. S., and Lieberman, G. J. (2008). Introduction to Operation Research. Elex Media Komputindo, Jakarta, 2004
Kahar, Yuskar. (2009), Perhitungan value at risk pada institusi perbankan berdasarkan metode Variance Covariance.
Kountur, Ronny. (2006), Manajemen Resiko. Abdi Tandur, Jakarta
Khn, R. dan Neu, P. (2003). Functional Correlation Approach to Operational Risk in Banking
Messina, E. and Toscani (2007). Hidden Markov Models for Scenario Generation, IMA Journal of Management Maths Advance Access published online on October 8, 2007
Mulyana, Sri (2008) Penerapan Hidden Markov Model dalam clustering Sequence Protein Globin
abiner, L. R. (1989) A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition. Proc. of the IEEE 77(2), 257286.
Firdaus, Rahmad dan Maya ariyanti, (2009). manajemen perkreditan bank Umum teori, masalah kebijakan dan aplikasinya, Bandung: Alfabet
Rockafeller, dan S. Uryasev (2002). Conditional Value-at-Risk for general loss distributions. Journal of Banking and Finance 26(7), 1443-1471.
23

24
Sartono, R.Agus dan Sri Zulaihati, (1998). Rasionalitas Investor Terhadap Pemilihan Saham dan Penentuan Portorfolio Optimal Dengan Model Indeks Tunggal di BEJ, Kelola No. 17/VII
Shi, S. dan Weigend, A. S. (1997) Taking Time Seriously: Hidden Markov Experts Applied to Financial Engineering. Proc. of the IEEE/IAFE 1997 Conference on Computational Intelligence for Financial Engineering, 244-252
Suhardjono, (2003). Manajemen Perkreditan Usaha Kecil dan Menengah. Jakarta : UPP AMP YKPN Ikut Mencerdaskan Bangsa
Tampubolon, Robert. (2004), Manajemen Resiko Pendekatan Kualitatif untuk Bank
Zhang, Yingjian. (2004). Prediction of financial time series with Hidden Markov Models. M.Sc. Thesis, Simon Fraser University, China