Satu-Faktorisasi Bebas K-Cycle Dari Graph Lengkap
SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH
LENGKAP
TESIS
Oleh
ASTRI SYAFRIANTY
097021003/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH
LENGKAP
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ASTRI SYAFRIANTY
097021003/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa
Nomor Pokok
Program Studi
:
:
:
:
SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP
Astri Syafrianty
097021003
Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Marwan Ramli, M.Scı)
Anggota
Direktur
(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Tanggal lulus:
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
:
1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2.
3.
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
jhgadj
Kata kunci: Satu-faktorisasi.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
ajdb
Keyword:
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan
puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkatNya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul: SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program
Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya
kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa, B, M.Sc selaku Direktur Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis
untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan
dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah
banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam
penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan
yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan
dorongan kepada penulis dalam penulisan
iii
Universitas Sumatera Utara
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Armaini Lubis dan ayahanda
Buyung Damanik yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada
penulis, terlebi yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama
mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. yang telah memberikan
semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.
Medan,
Penulis,
Astri Syafrianty
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Alfred Hasiholan Silalahi dilahirkan di Batu V Pematangsiantar pada tanggal 31 Oktober 1969 dari pasangan Bapak St. Maruli Silalhi, BA & Ibu Tiomina
br. Simanjuntak dan merupakan anak ke empat dari delapan bersaudara. Penulis
menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) HKBP Batu IV Pematangsiantar
tahun 1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP) HKBP Batu IV Pematangsiantar
tahun 1984, Sekolah Menengah Atas (SMA) PGRI 29 Perumnas Batu VI Pematangsiantar tahun 1987. Pada tahun 1987 memasuki Perguruan Tinggi Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar jurusan PMIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Diploma III Proyek Pengembangan Pendidikan Tenaga
Kependidikan (P 3TK) dan lulus tahun 1990. Kemudian pada tahun 1990 penulis
melanjutkan perkuliahan ke jenjang Strata Satu (S-1) pada Universitas HKBP
Nommensen Pematangsiantar dan lulus tahun 1991.
Pada tahun 1990 1993, penulis menjadi guru honorer pada SMP HKBP
Batu IV Pematangsiantar. Kemudian pada tahun 1993 1995, penulis bekerja
sebagai Mechanic - A pada PT. Budi Bora Jaya Duri Riau. Pada tahun 1995
1997, penulis bekerja sebagai Lead Mechanic pada PT. Timbul Permata Jaya Duri
Riau. Pada tahun 1997 1999, penulis merantau ke Jakarta dan bekerja sebagai
guru honorer pada SMP Negeri 70 Tanah Abang, SMK Negeri 9 Pinangsia Jakarta
Barat, SMK Corpotarin Jakarta Timur, SMK TIO Bekasi, dan part time sebagai
Debt Collector pada Astra Credit Company (ACC) Jakarta. Pada tahun 1998,
penulis mengikuti Test CPNS di Jakarta dan Lulus, kemudian pada tanggal 1
Maret 1998, penulis diangkat menjadi CPNS dan ditempatkan pada SLTP Negeri
1 Sabu Barat Kabupaten Kupang Nusa Tenggara Timur, tetapi penulis baru
pergi ke NTT untuk melaksanakan tugas pada bulan Juli 1999 dan langsung
mendapat nota tugas sebagai guru pada SMA Negeri 1 Atambua Kabupaten Belu
NTT untuk mengatasi jumlah siswa pengungsi yang membludak akibat korban
jajak pendapat di Timor-Timur. Pada Tahun 2000, penulis pulang ke Medan
untuk menikah dengan isteri tercinta Delima Christin Rajagukguk, SE. Tuhan
mengaruniakan 2 anak perempuan bernama Gracia Monica Silalahi & Anasthasya
Silalahi dan 1 anak laki-laki bernama Yehezkiel Silalahi.
Pada tahun 2004, penulis dan keluarga pindah ke Pematangsiantar dan mendapat tugas sebagai guru di SMA Negeri 2 Bandar Kabupaten Simalungun. Pada
v
Universitas Sumatera Utara
tahun 2006 sekarang, penulis menjabat sebagai Wakil Kepala Sekolah Urusan
Kurikulum pada SMA Negeri 2 Bandar Kabupaten Simalungun. Selama melaksanakan tugas, penulis telah banyak mengikuti Pendidikan dan Pelatihan (Diklat)
yang berhubungan dengan peningkatan kompetensi Guru baik pada tingkat kabupaten maupun provinsi. Pada tahun 2008, penulis mendapat beasiswa dari Pemerintah Provinsi Sumatera Utara untuk melanjutkan pendidikan pada Program
Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 3 SATU-FAKTORISASI DARI GRAPH LENGKAP DAN PERKEMBANGANNYA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2 Graph Lengkap dan Graph Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3 Subgraph dan Spanning Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4 Satu-Faktorisasi dan Graph Lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5 Satu-Faktorisasi K2r , r > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.5.1 Strategi Shift and Rotate (S-R) . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.5.2 Strategi Butterfly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.5.3 Metode Lain untuk Menghitung Satu-Faktorisasi K2r ,
r>1 ................................
13
3.5.4 Metode MIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.5.5 Metode RAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.6 Satu-Faktorisasi Bebas k-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
BAB 4 HASIL UTAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1 Satu-faktorisasi dari K2m untuk m = 2r , r ≥ 2 . . . . . . . . . . .
23
4.1.1 Metode Silang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
viii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri dari himpunan titik-titik
berhingga tak kosong V yang disebut verteks dari G dan himpunan garis E
yang menghubungkan verteks-verteks yang anggotanya disebut edge dari G dan
dinotasikan dengan G(V, E), (Gross dan Yellen, 2006). Suatu edge dari verteks u
ke v dinotasikan dengan (u, v). Suatu walk dari u ke v dengan panjang m adalah
barisan edge dalam bentuk
u = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = v
dengan v0 = u dan vm = v. Suatu walk dari u ke v disingkat sebagai uv-walk. Suatu uv−walk dikatakan terbuka bila u 6= v dan dikatakan tertutup bila sebaliknya.
Suatu uv − path adalah suatu uv − walk yang tidak mengandung verteks berulang
kecuali mungkin u = v. Suatu uv − path tertutup disebut cycle.
Graph Lengkap Kn adalah suatu graph dengan n verteks, yang setiap dua
verteks berbeda dihubungkan oleh satu edge. Graph lengkap Kn mempunyai
edge sebanyak E(Kn ) =
1
n(n
2
− 1) dan setiap verteksnya mempunyai derajat
(n−1), (Deo N, 1986). Graph Regular adalah suatu graph yang semua verteksnya
berderajat sama. Graph regular yang semua verteksnya berderajat k disebut
k − regular. Graph lengkap Kn disebut juga (n − 1) − regular.
Suatu graph G1 dikatakan subgraph dari graph G jika semua verteks dan edge
dari G1 ada dalam graph G, dan setiap edge dari G1 mempunyai verteks ujung
yang sama dengan edge dari graph G. Suatu subgraph G1 yang memuat semua
verteks disebut spanning subgraph dari G. Suatu spanning subgraph k − regular
dari graph G disebut k − f aktor dari graph G, (Gross dan Yellen, 2006).
Satu − f aktor dari suatu graph G adalah suatu spanning subgraph regular berderajat satu. Satu − f aktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan
F = {F1, F2, ..., Fn} dari edge-disjoint satu-faktor sedemikian hingga E(G) =
Sn
i=1 E(Fi ). Dengan kata lain, gabungan dua edge-disjoint satu-faktor adalah
Universitas Sumatera Utara
1
2
dua-faktor yang terdiri dari cycle-cycle dengan panjang genap, (Gross dan Yellen,
2006).
Satu-faktorisasi F = {F1 , F2, ..., Fn} dari G dikatakan bebas k-cycle jika
gabungan dari dua satu-faktor tidak memuat panjang-panjang cycle dari himpunan S, khususnya jika S = {4, 6, ..., k} maka F disebut bebas k-cycle. Dengan
perkataan lain, F mempunyai cycle dengan panjang k jika ada dua satu-faktor
pada F , (Meszka M, 2009). Penelitian ini menentukan untuk setiap m = 2r , r ≥ 2
dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi
bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan.
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan setiap k ≥ 4
genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas k-cycle dengan
satu edge persekutuan. Masalah dalam penelitian ini apa syarat perlu atau syarat
cukup dari graph yang demikian.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah menentukan syarat
perlu atau syarat cukup dari graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan
setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas
k-cycle dengan satu edge persekutuan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang satu faktorisasi
bebas k-cycle dari graph lengkap.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk mencari
syarat perlu atau syarat cukup dari graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2
dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi
bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan dilakukan dengan pendekatan sebagai
berikut :
Universitas Sumatera Utara
3
1. Mencari bentuk satu-faktorisasi dari suatu graph lengkap
2. Mencari satu atau lebih satu-faktorisasi yang lain dari suatu graph lengkap
sedemikian hingga mempunyai mempunyai satu edge persekutuan dengan
satu-faktorisasi sebelumnya.
3. Membuat metode yang tepat untuk membentuk satu-faktorisasi
4. Menggabungkan dua satu-faktor dari satu-faktorisasi yang pertama dan kedua yang mempunyai satu edge persekutuan sedemikian hingga bebas kcycle.
5. Menentukan pola dari graph yang telah diperoleh kemudian membuat formulanya dan disusun menjadi syarat perlu atau syarat cukup dari graph
tersebut.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Istilah-istilah baku graph dalam tulisan ini diambil dari Gross dan Yellen
(2006). Mendelsohn dan Rosa (1985) menemukan jumlah tepat N(2m) untuk
2m ≤ 14, antara lain N(4) = N(6) = 1, N(8) = 6, N(10) = 396 dengan N adalah
semua pasangan berurut dari satu-faktorisasi tak-isomorfik pada graph lengkap
K2m dan m adalah banyaknya edge dari graph lengkap. Kemudian Dinitz, et. al.
(1994) menemukan untuk N(12) = 526, 915, 620. Oleh karena itu, banyak investigasi (termasuk enumerasi) berkenaan dengan satu-faktorisasi pada K2m yang
dianggap layak jika dibatasi suatu subclass yang memenuhi beberapa sifat tambahan. Suatu pertanyaan timbul berkenaan dengan keberadaan dari keseragaman
(sempurna) satu-faktorisasi. Satu-faktorisasi dikatakan sempurna jika gabungan
dari dua satu-faktor adalah isomorfik dengan cycle Hamilton.
Satu-faktorisasi sempurna dari graph lengkap diperkenalkan oleh Kotzig
(1964). Kemudian Anderson (1973) menemukan class dari satu-faktorisasi sempurna ketika m prima. Hal yang sama juga ditemukan oleh Bryant, et. al.
(2006) ketika 2m − 1 adalah prima. Satu-faktorisasi sempurna sangat jarang
ditemukan diantara semua satu-faktorisasi. Pernyataan ini didukung oleh hasil
penelitian yang dilakukan oleh Seah (1991) yang menemukan P (2m), yaitu untuk P (4) = P (6) = P (8) = P (10) = 1, P (12) = 5 dengan P adalah pasangan
berurut dari satu-faktorisasi sempurna tak-isomorfik. Meszka dan Rosa (2003)
melakukan penelitian yang sama dan menemukan P (16) ≥ 88. Faktanya, hanya
ada tiga klasifikasi tak berhingga dari satu-faktorisasi dan contoh-contoh yang
jarang dari satu-faktorisasi seragam tidak-sempurna. Gopal, et. al. (2007) menemukan metode untuk menghitung satu-faktorisasi dari graph lengkap dengan jumlah verteks merupakan perpangkatan 2. Metode tersebut juga dapat digunakan
untuk memperoleh satu-faktorisasi dari graph lengkap dengan jumlah verteks kelipatan 4 atau graph lengkap dengan mn verteks jika satu-faktorisasi dari Km dan
satu-faktorisasi dari Kn diketahui.
Dinitz, et. al. (2005) menginvestigasi panjang-panjang cycle yang mungkin
muncul dari gabungan sebarang dua satu-faktor pada graph lengkap. Dalam
penelitian tersebut ditemukan untuk m ≥ 3 dan k genap sedemikian hingga
Universitas Sumatera Utara
4
5
4 ≤ k ≤ 2m, satu faktorisasi dari graph lengkap terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika k/2 | 2m − 1 atau k − 1 | 2m − 1. Oleh karena itu,
diperoleh beberapa klasifikasi tak berhingga dari satu-faktorisasi bebas k-cycle.
Selanjutnya Meszka (2009) menentukan untuk setiap m ≥ 3 dan untuk setiap
k ≥ 4 dengan k 6= 2m, maka terdapat satu-faktorisasi dari graph lengkap K2m
sedemikian hingga sebarang dua satu-faktor dari K2m bebas dari k−cycle. Untuk
2m 6= p + 1, p prima atau 2m 6≡ 6, 12, 18(mod24), maka satu-faktorisasi dari K2m
bebas 2m−cycle.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
SATU-FAKTORISASI DARI GRAPH LENGKAP DAN
PERKEMBANGANNYA
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan
dan mendukung untuk satu-faktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap. Materi
tersebut akan dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini
sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun materi-materi tersebut mencakup pengertian graph, contoh graph,
pengertian graph lengkap, pengertian satu-faktorisasi, beberapa metode untuk
membangun satu-faktorisasi dari graph lengkap, dan fakta-fakta tentang satufaktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap.
3.1 Graph
Secara sederhana suatu graph adalah kumpulan titik-titik yang dihubungkan
oleh garis. Secara matematis suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri atas
dua himpunan, yakni :
• Himpunan berhingga tak kosong V . Unsur dari V disebut verteks dari G.
• Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut
dari unsur-unsur di V . Unsur dari E disebut edge dari G.
Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan dengan G(V , E). Andaikan u dan v adalah dua verteks di G. Suatu edge (u, v) atau
juga dapat dinotasikan dengan u−v adalah suatu edge di G yang menghubungkan
verteks u dan v.
Contoh 1 : Himpunan verteks V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan edge
E = {1 − 5, 5 − 4, 5 − 2, 4 − 2, 2 − 1, 2 − 3, 4 − 3, 3 − 3} adalah suatu graph dengan
5 verteks dan 8 edge.
Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis
dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu
titik atau lingkaran kecil dan setiap edge u − v yang terdapat dalam graph itu diUniversitas Sumatera Utara
6
7
representasikan sebagai garis berarah dari u ke v. Representasi graph pada contoh
1 diperlihatkan pada Gambar 3.1.
1
t
❅
❅
❅
5
4
t
t
❅t
t
2
3
Gambar 3.1 : Graph dengan 5 verteks dan 7 edge
Andaikan G(V , E) adalah suatu graph dan u,v ∈ V . Suatu walk dari u ke v
dinotasikan dengan uv-walk atau wuv (untuk selanjutnya dipakai notasi uv-walk).
Suatu walk dari u ke v yang panjangnya m adalah suatu barisan edge dalam
bentuk
u = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = v
Suatu walk dikatakan terbuka jika verteks u 6= v dan dikatakan tertutup
jika u = v. Panjang dari suatu walk wuv adalah banyaknya edge yang menyusun
walk tersebut dan dinotasikan dengan ℓ(uv-walk). Suatu path adalah suatu walk
tanpa ada perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir.
Suatu path yang menghubungkan verteks u dan v dinotasikan dengan uv-path
dan panjangnya dinotasikan dengan ℓ(uv-path). Suatu cycle adalah suatu path
tertutup. Cycle yang panjangnya k dinotasikan dengan k − cycle
Perhatikan graph pada Gambar 3.1 yang terdiri dari 5 verteks dan 7 edge.
Berikut ini diperlihatkan contoh dari walk, path, dan cycle.
1. 2 − 1 − 5 − 2 − 3 adalah suatu uv-walk dengan panjang 4. Walk ini bukan
merupakan suatu path karena verteks v2 berulang.
2. 5 − 4 − 3 − 2 adalah suatu uv-path dengan panjang 3.
3. 5 − 4 − 3 − 2 − 1 adalah suatu uv-path tertutup atau cycle dengan panjang
5.
Andaikan G1 (V1 , E1 ) dan G2 (V2 , E2 ) masing-masing adalah suatu graph.
Dua buah graph G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika dan hanya jika terdapat koUniversitas Sumatera Utara
8
respondensi satu-satu antara verteks-verteks dan edge-edgenya sedemikian hingga sifat insident tetap terpelihara atau dengan perkataan lain graph G1 dan
G2 dikatakan isomorfik jika terdapat pemetaan bijektif θ : V1 → V2 sehingga
memenuhi u − v ∈ E1 ⇔ θ(v) ∈ E2 untuk sebarang verteks u, v ∈ V1 dan dinotasikan dengan E1 ∼
= E2.
Syarat perlu agar dua buah graph G1 dan G2 isomorfik , yaitu jika G1 dan
G2 isomorfik, maka G1 dan G2 harus memenuhi :
1. Banyak verteks di G1 dan G2 sama
2. Banyak edge di G1 dan G2 sama
3. Derajat setiap verteks yang berkorespodensi sama
Contoh 2 : Berikut ini akan diberikan satu contoh dari dua buah graph yang
isomorfik.
v4
u4
u3
t
✚
t
✚
u1
✚
✚
✚
✚
✚
✚
t
t
u2
t
✁❆
✁ ❆
✁ v2❆
✁ t ❆
✁
❅ ❆
❅ ❆
✁
✁
❅❆
❆t
❅
t✁
v1
G2
G1
Gambar 3.2 : Dua graph yang isomorfik
v3
Perhatikan graph G1 dan G2 . Berikut ini diperlihatkan pemetaan bijektif θ , yaitu
: θ(u1) = v1, θ(u2) = v4 , θ(u3) = v3, dan θ(u4 ) = v2 dan memenuhi u1 − u2 ∈ E1
⇔ v1 − v4 ∈ E2 , u1 − u3 ∈ E1 ⇔ v1 − v3 ∈ E2, u1 − u4 ∈ E1 ⇔ v1 − v2 ∈ E2 ,
u2 − u3 ∈ E1 ⇔ v4 − v3 ∈ E2 , dan u3 − u4 ∈ E1 ⇔ v3 − v2 ∈ E2 . Jadi G1 ∼
= G2 .
3.2 Graph Lengkap dan Graph Regular
Suatu graph lengkap Kn adalah suatu graph dengan n verteks, yang setiap
dua verteks berbeda dihubungkan oleh satu edge. Pada Gambar 3.3 berikut akan
diperlihatkan graph lengkap atas satu, dua, tiga, empat, lima, dan enam verteks.
Contoh 3 : Gambar di samping merupakan contoh dari graph lengkap
Universitas Sumatera Utara
9
Gambar 3.3 : Graph Lengkap
Teorema 3.2.1 Banyaknya edge dari suatu graph lengkap dengan n verteks adalah
1
E(Kn ) = n(n − 1).
2
Bukti. Andaikan G adalah suatu graph lengkap dengan n verteks 1, 2, 3, ..., n.
Ambil sebarang verteks 1, karena G merupakan graph lengkap maka 1 dihubungkan
dengan (n−1) verteks lainnya (2, 3, ..., n). Dengan demikian terdapat (n−1) edge.
Selanjutnya, ambil sebarang verteks kedua 2. Karena G adalah graph lengkap,
maka 2 juga dihubungkan dengan verteks lainnya (1, 3, ..., n), sehingga terdapat
(n − 1) edge yang terhubung dengan 2. Salah satu edge tersebut menghubungkan
2 dan 1. Edge ini sudah dihitung ketika menghitung banyaknya edge yang terhubung dengan 1. Jadi, terdapat (n − 2) edge yang belum dihitung. Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya edge yang terhubung dengan 3, 4, ..., n dan
yang belum dihitung sebelumnya. Banyaknya edge yang diperoleh berturut-turut
adalah (n − 3), (n − 4), ..., 3, 2, 1. Oleh karena itu, secara keseluruhan terdapat
1
(n − 1 + (n − 2) + (n − 3) + ... + 3 + 2 + 1 = n(n − 1) edge.
2
Derajat pada suatu verteks u adalah banyaknya edge yang terhubung dengan
verteks tersebut dan dinotasikan dengan du . Graph lengkap Kn mempunyai edge
1
sebanyak E(Kn ) = n(n − 1) dan setiap verteksnya mempunyai derajat (n − 1).
2
Graph Regular adalah suatu graph yang semua verteksnya berderajat sama.
Graph regular yang semua verteksnya berderajat k disebut k-regular. Graph
lengkap Kn disebut juga (n − 1)-regular.
3.3 Subgraph dan Spanning Subgraph
Suatu graph G1 dikatakan subgraph dari graph G jika semua verteks dan
semua edge dari G1 ada dalam graph G, dan setiap edge dari G1 mempunyai
Universitas Sumatera Utara
10
verteks ujung sama dengan edge dari graph G. Spanning subgraph dari G adalah
suatu subraph G2 yang memuat semua verteks dari graph G.
Contoh 4 : Gambar berikut ini merupakan contoh graph regular
1s
2s
1s
6s
s3
❅
❅
❅s
❅
6s
❅
❅
❅s
s
5
2s
4
2s
P
✏✏❅
✏
❅P
P
✏✏ PPP ❅
✏✏ ❅
P❅
s
✏
Ps3
✏
6 PP
❅
✏✏
❅ PP
✏
❅
P✏
❅
P✏
❅s✏✏ P❅
❅
Ps
❅
❅s3
s
5
1-regular
1s
5
4
2-regular
4
5-regular
Gambar 3.4 : Graph Regular
Contoh 5 : Berikut ini diberikan graph G(6, 8) kemudian diperlihatkan juga
subgraph dan spanning subgraph dari G.
1s
❅
6s
❅
❅
❅s
5
2s
❅
❅
❅
❅
❅s3
❅
❅
❅s
4
Gambar 3.5 : G(6, 8)
1s
6s
❅
❅
❅
❅
❅s
5
s2
❅
❅
❅
❅s
1 s
❅
❅
6s
s
4
Subgraph G1
5
2s
❅
❅
❅
❅
❅s3
❅
❅s
4
Spanning subgraph G2
Gambar 3.6 : Subgraph dan Spanning subgraph dari graph G(6, 8)
3.4 Satu-Faktorisasi dan Graph Lengkap
Suatu f aktor dari graph G adalah suatu spanning subgraph dari graph
G. Suatu f aktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan faktor-faktor yang
Universitas Sumatera Utara
11
himpunan-himpunan edge nya membentuk suatu partisi dari himpunan edge pada graph G. k-faktor dari graph G adalah suatu spanning subgraph k-regular
dari graph G. Satu-faktor dari graph G adalah suatu spanning subgraph regular berderajat satu. Satu-faktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan F =
n
S
{F1 , F2, ..., Fn} dari edge disjoint satu-faktor sedemikian hingga E(G) =
E (Fi ).
i=1
Satu-faktorisasi dari graph lengkap K2m mempunyai 2m − 1 satu-faktor, masingmasing satu-faktor mempunyai m edge. F mempunyai cycle dengan panjang k
jika terdapat dua satu-faktor di F .
Contoh 6 : Gambar 3.6 berikut adalah contoh satu-faktor dari K6 .
1s
2s
6s
❅
❅
1s
s3
❅s
5
s
4
2s
6s
s3
s
s
5
4
1s
2
5
4
s
PP
PP
PP
PPs
6 sPP
3
PP
PP
PPs
s
Gambar 3.7 : Satu-faktor
Contoh 7 : Satu-Faktorisasi dari K6 diperlihatkan oleh Gambar 3.8 berikut :
1,2
3,4
5,6
1,3
2,6
4,5
1,4
2,5
3,6
1,5
2,3
4,6
1,6
2,4
3,5
Gambar 3.8 : Satu-faktorisasi K6
Dari gambar di atas diketahui graph mempunyai edge m = 3, dan satuS6
faktor sebanyak 2m − 1 = 2(3) − 1 = 5. Maka, E(K6 ) = i=1 E(Fi) = 15
Satu-faktorisasi {F1, F2, ..., F2m−1} dari K2m adalah sequentially uniform jika
satu-faktor dapat diurutkan menjadi {F1, F2, ..., F2m−1} sedemikian hingga graph
dengan himpunan edge Fi ∪ Fi+1 isomorfik untuk semua 1 ≤ i ≤ 2m − 1. Karena
gabungan dua satu-faktor adalah suatu graph 2-regular dengan 2-edge-colorable,
isomorfik dengan gabungan saling lepas dari cycle-cycle genap. Dikatakan multiset T = (k1 , k2 , kr ) adalah jenis dari satu-faktorisasi sequentially uniform jika
Fi ∪ Fi+1 isomorfik dengan gabungan saling lepas dari cycle-cycle dengan panjang
Universitas Sumatera Utara
12
k1 , k2, ..., kr , dengan k1 + k2 + ... + kr = 2m. Jika gabungan setiap dua satu-faktor
berurutan adalah suatu cycle Hamilton, satu-faktorisasi dikatakan sequentially
perfect (Dinitz, et. al. , 2005).
Suatu ide yang mempertimbangkan pengurutan satu-faktor dalam satufaktorisasi K2m tidak sepenuhnya akademik. Faktanya, pengurutan satu-faktorisasi
K2m telah diperlihatkan sebelumnya pada penjadwalan permainan untuk roundrobin tournament yang dimainkan dalam 2m − 1 babak.
Definisi di atas adalah suatu relaksasi dari definisi uniform (perfect) satufaktorisasi K2m yang mengharuskan gabungan sebarang dua satu-faktor isomorfik dengan cycle Hamilton. Variasi uniform satu-faktorisai telah dibangun dari
Steiner triple system.
Sebagai contoh, ketika m = 2r untuk sebarang r bi-
langan bulat positif memberikan suatu konstruksi dari uniform satu-faktorisasi
K2m jenis (4, 4, ..., 4). Selain itu contoh lain diberikan untuk perfect Steiner triple
system yaitu uniform satu-faktorisasi jenis (2m − 4, 4). Jika m = 3r , uniform
satu-faktorisai jenis (4, 6, ..., 6) dan ketika terdapat suatu p dengan p adalah prima ganjil maka terdapat suatu uniform satu-faktorisasi jenis (p + 1, 2p, ..., 2p),
(Mendelsohn dan Rosa, 1985).
3.5 Satu-Faktorisasi K2r , r > 1
Graph lengkap atas 2m verteks secara umum dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari tiga graph yaitu dua Km yang diberi indeks dengan verteks
1 sampai m dan m + 1 sampai 2m, dan graph bipartit komplit Km,m dengan m
verteks yang masing-masing sisi dipartisi. Andaikan 2m merupakan perpangkatan
dua. Satu-faktorisasi dari Km terdiri dari m − 1 satu-faktor yang masing-masing
terdiri dari m/2 edge. Maka dengan menempatkan satu-faktorisasi diantara Km
secara bersamaan akan menghasilkan (m − 1) satu-faktor masing-masing terdiri
dari m edge. Satu-faktorisasi dari Km,m mempunyai m satu-faktor yang masingmasing terdiri dari m edge. Maka jumlah total adalah m − 1 + 1 = 2m − 1
satu-faktor terdiri dari total m(2m − 1) edge, yang merupakan jumlah edge K2m .
Karena masing-masing edge K2m mempunyai tepat satu satu-faktor, metode ini
menghasilkan satu-faktorisasi K2m .
Berikut diberikan beberapa metode untuk membangun satu-faktorisasi dari
K2m dengan 2m merupakan perpangkatan dua (Gopal, et. al. 2007).
Universitas Sumatera Utara
13
3.5.1 Strategi Shift and Rotate (S-R)
Pada strategi ini untuk membangun satu-faktorisasi Km,m dicatat bahwa
untuk setiap satu-faktor mempunyai 1, 2, 3, ..., m sebagai titik-akhir yang pertama dari m edge dan m + 1 sampai 2m sebagai titik-akhir yang kedua. Titik
akhir yang kedua berurut berbeda untuk setiap satu-faktor dimulai dengan satufaktor (1, m + 1), (2, m + 2), ..., (m, 2m). Untuk membangun satu-faktor ke-i, shift
and rotate barisan m + 1, m + 2, ..., 2m dengan i berpindah ke kiri memberikan
penambahan ke-i faktor (1, m + i + 1), (2, m + i + 2), ..., (m, 2m + i − m).
Untuk menunjukkan hasil satu-faktor pembentuk satu-faktorisasi, bentuk
formalnya adalah sebagai berikut. Satu-faktor berkorespondensi ke edge Km,m ,
masing-masing edge Km,m muncul tepat satu kali pada satu-faktor. Diberikan
edge (i, j) dengan 1 ≤ i ≤ m dan m + 1 ≤ j ≤ 2m dengan order dari satu-faktor
edge (i, j) muncul ke j − i + 1 satu-faktor sebagai titik-akhir i.
3.5.2 Strategi Butterfly
Dengan ketentuan mendaftarkan masing-masing satu-faktor sebagai m edge
dengan titik-akhir pertama 1 sampai m, sehingga jenis satu-faktor dapat ditulis,
(1, v1), (2, v2 ), ..., (m, vm)
dengan m + 1 ≤ v1, v2, ..., vm ≤ 2m.
Untuk l = 0, satu-faktor F0 disebut faktor identitas yaitu :
{(1, m), (2, m + 1), (3, m + 2), ..., (m, 2m)}.
Untuk l = 1, 2, ..., m − 1 satu-faktor ke-l , Fi dihitung sebagai berikut :
Jika l merupakan perpangkatan dua, maka Fl adalah edge (i, j) ∈ Fl jika edge
(i′ , j ′) ∈ F0 sedemikian hingga i′ = (i + l) mod m, dan j ′ = j. Sebaliknya
andaikan l′ = 2⌊log2 l⌋ dan r = l − l′. Andaikan Fl′ menjadi faktor ke-l, (i, j) ∈ Fl
jika (i′, j ′) ∈ Fl′ sedemikian hingga i′ = (i + r) mod m dan j ′ = j.
3.5.3 Metode Lain untuk Menghitung Satu-Faktorisasi K2r , r > 1
Selain dari dua metode di atas, ada pendekatan lain untuk mendirikan
satu-faktorisasi sempurna untuk Km,m dan K2m dengan m perpangkatan dari
2. Observasi sederhana adalah untuk membangun satu-faktorisasi Km,m . Dimulai
dengan sebarang m!, satu-faktor sebagai F1 dan gunakan strategi Shift and Rotate. Anggap satu-faktor F1 dan tunjukkan masing-masing edge dalam F1 sebagai
Universitas Sumatera Utara
14
{(u1 , v1)}m
i=1 yang mana semua ui pada partisi yang sama dan vi pada partisi yang
lain.
Andaikan ui sebagai titik-akhir pertama dan vi sebagai titik-akhir kedua.
Himpunan lain dari titik-akhir, misalkan {u1, u2, ..., um} ditukar dengan memutar
untuk mendapatkan satu-faktor yang lain. Akibat operasi shift pada {u1, u2 , ..., um}
adalah {u2, u3, ..., um, u1} jika ditukar ke kiri (dengan operasi rotate). Pada class
strategi Shift and Rotate, tukar titik-akhir pertama atau titik-akhir kedua dari
edge pada F1 untuk memperoleh F2 hingga Fm−1 .
Contoh 8 : Satu-faktorisasi dengan m = 4, maka K2m = K8 . Titik-pertama 4
faktor dari K4,4 adalah 1 hingga 4 dan titik-akhir kedua 8 menurun ke 5. Maka
satu-faktorisasi Km,m dibangun mulai dari faktor identitas
F0 = (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).
Selanjutnya shift and rotate titik-akhir pertama ke kiri untuk mendapatkan (m −
1)-faktor yang lain, hingga diperoleh satu-faktorisasi dari K8 .
1,8
2,7
3,6
4,5
2,8
3,7
4,6
1,5
3,8
4,7
1,6
2,5
4,8
1,7
2,6
3,5
1,4
2,3
5,8
6,7
2,4
1,3
6,8
5,7
1,2
3,4
5,6
7,8
Gambar 3.9 : Satu-faktorisasi K8 dengan strategi Shift and Rotate
Selanjutnya akan diberikan metode lain untuk membangun satu-faktorisasi
dari K2m menggunakan heuristik. Dengan cara ini dibuktikan bahwa satu-faktorisasi
F dari K2m mempunyai 2m − 1 matching sempurna di dalamnya. Setiap matching sempuna mempunyai m edge. Ambil (1, i) sebagai edge awal dan kemudian diperpanjang menaik sedemikian hingga Fi menjadi matching sempurna.
Tahap selanjutnya jika ingin membangun edge ke j, (uj , vj ) untuk matching ke Fi
memilih edge tambahan hanya dari himpunan E\{F1 ∪ F2 ... ∪ Fi−1 ∪ Ei } dengan
Ei = ei1 , ei2 , ei3 , ..., eij−1 dan eik adalah edge ke k yang dipilih untuk matching
ke Fi . Untuk efisiensi waktu pilih verteks pertama uj sebagai verteks yang paling
Universitas Sumatera Utara
15
terkeci dari verteks V ′ = {v1 , v2, v3, ..., vi} dengan vi ∈ V ′ jika dan hanya jika
vi tidak dimuat oleh Fi . Verteks kedua vj dapat dipilih dengan menggunakan
metode MIN atau RAND.
3.5.4 Metode MIN
Pada metode ini untuk memilih edge ke j, (uj , vj ) untuk matching ke Fi ,
verteks terkecil dari semua verteks yang tidak dimuat Fi dipilih sebagai verteks
uj . Untuk mengambil verteks kedua, lakukan strategi yang sama seperti pada
pengambilan pertama. Jika edge (uj , vj ) sudah digunakan pada satu-faktorisasi
F , maka verteks terkecil selanjutnya vj ∈ V ′ dipilih sebagai vj . Proses ini berlanjut hingga edge yang cocok diperoleh sehingga Fi diperluas. Jika tidak berhasil
memperluas Fi menggunakan semua verteks, maka kembali dan susun kembali
edge sebelumnya (uj−1 , vj−1 ) pada matching. Jika j = 0 maka susun kembali
edge sebelumnya pada faktor Fi−1 .
3.5.5 Metode RAND
Pada metode ini, untuk menambah edge ke-j (uj , vj ) untuk matching ke
Fi , verteks uj dipilih sebagai verteks terkecil pada V ′. Verteks vj kemudian dipilih seragam secara acak dari himpunan V ′ \{uj }. Jika (uj , vj ) tidak dapat digunakan pada perluasan Fi , maka tetap memilih verteks vj seragam secara acak dari
V ′\{uj } hingga ditemukan edge yang dapat digunakan pada perluasan Fi. Jika
tidak sukses pada perluasan Fi menggunakan semua verteks, maka kembali dan
susun kembali edge sebelumnnya (uj−1 , vj−1 ) pada matching. Jika j = 0 maka
susun kembali edge sebelumnya pada faktor Fi−1 . metode RAND tidak memenuhi
sebarang satu-faktorisasi melalui pemilihan acak yang sesuai selama tahapan.
3.6 Satu-Faktorisasi Bebas k-cycle
Satu-faktorisasi F = {F1, F2, ..., Fn} dari G dikatakan bebas k-cycle jika
gabungan dua satu-faktor tidak memuat cycle dengan panjang k. F adalah bebas S-cycle jika gabungan sebarang dua satu-faktor tidak memuat cycle dengan
panjang diambil dari himpunan S. Jika S = {4, 6, ..., k} maka F disebut bebas
k < −cycle.
Klaim 3.6.1 Untuk n ≥ 2, jika l adalah bilangan bulat positif terkecil sedemiUniversitas Sumatera Utara
16
kian hingga gcd(l, n) > 1, maka gcd(l, n) = l. Meskipun untuk n′ ≥ 3, jika
l′ adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian hingga gcd(l′ , n′ ) > 1,
maka gcd(l′ , n′) = l′/2.
Klaim 3.6.2 Jika k > 2m ≥ 4, maka satu-fasktorisasi dari K2m adalah bebas
k-cycle.
Hasil investigasi yang dilakukan oleh Dinitz, et. al. (2005) terhadap panjangpanjang cycle yang mungkin muncul dari gabungan sebarang dua satu-faktor pada
graph lengkap diberikan pada lemma berikut.
Lemma 3.6.3 Untuk m ≥ 3 dan k genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m, satufaktorisasi dari K2m terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika k/2
| 2m − 1 atau k − 1 | 2m − 1.
Bukti. Andaikan p = 2m − 1. Asumsikan bahwa satu-faktorisasi terdiri dari
cycle Ck dengan panjang k yang terdapat pada gabungan dua satu-faktor Fh dan
Fi , untuk h < i dan h, i ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Andaikan z = i − h, dibagi menjadi
dua kasus.
Kasus 1 : Ck terdiri dari verteks ∞. Tetangga dari ∞ adalah h dan i. Verteks
konsekutif sepanjang cycle Ck adalah : ∞, i, h−z, i+2z, h−3z, i+4z, h−5z, ..., i+
(k − 2)z, ∞, dengan k adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian
hingga i + (k − 2)z ≡ h (mod p) (ekiuvalen ke (k − 1)z ≡ 0 (mod p). Karena
0 < z < p dan Klaim 3.6.1 maka gcd(k − 1, p) = k − 1.
Kasus 2 : Ck tidak terdiri dari ∞. Andaikan h + z adalah verteks di Ck . Maka
x 6= 0 dan tetangga dari h + x adalah h + z, h − x, i + z + x, h − 2z − x, i + 3z +
x, h − 4z − x, ..., h − (k − 2)z − x, h + z, dengan k adalah bilangan bulat positif
genap sedemikian hingga h − (k − 2)z − x ≡ i + z − x (mod p). Sama halnya
dengan kasus 1, karena 0 < z < p dan Klaim 3.6.1 oleh sifat ekiuvalen dari kz ≡ 0
(mod p) maka gcd(k, p) = k/2.
Untuk membuktikan syarat cukup, pertama anggap bahwa k < 2n dan k/2|p.
Maka k ≡ 2(mod 4). Untuk menemukan suatu cycle dengan panjang k, ambil
p
. Andaikan l adalah panjang dari
dua satu-faktor F0 dan Fi , dengan i =
k/2
cycle yang tidak terdiri dari ∞ pada gabungan F0 dan Fi . Hitung kembali Kasus
2, l adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian hingga li ≡ 0 (mod
Universitas Sumatera Utara
17
lp
≡ 0 (mod p), selanjutnya karena k/2 ganjil, l = k. Hal yang
k/2
sama untuk sebarang k ≤ 2m genap dengan k − 1|p, dua satu-faktor F0 dan Fi
p
. Jika l adalah panjang dari suatu cycle yang terdiri
diperoleh, dengan j =
k−1
dari ∞, oleh Kasus 1, l adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian
p). Maka
hingga (l − 1)j ≡ 0 (mod p). Maka l = k.
Berikut ini diberikan hasil yang ekiuvalen dengan Lemma 3.6.1 di atas.
Akibat 3.6.4 Untuk m ≥ 3 dan k ≥ 4 genap, satu-faktorisai K2m adalah bebas
k-cycle jika dan hanya jika k/2 6 | 2m − 1 atau k − 1 6 | 2m − 1.
Akibat 3.6.5 Andaikan r adalah faktor prima terkecil dari 2m − 1. Jika r ≥ 5,
maka satu-faktorisasi dari K2 m adalah (r − 1) < − cycle bebas.
Diketahui bahwa satu-faktorisasi dari K2m adalah sempurna jika dan hanya
jika m bilangan prima, (Anderson, 1973). Lemma berikut merupakan sifat satufaktorisasi dari K2m .
Lemma 3.6.6 Untuk m ≥ 3 ganjil dan k genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m,
satu-faktorisasi dari K2m terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika
k/2 | m.
Bukti. Asumsikan satu-faktorisasi terdiri dari cycle dengan panjang k yang
merupakan gabungan dari dua satu faktor Fi dan Fh , dengan h < i dan h, i ∈
{0, 1, ..., 2m − 2}. Anggap dibagi menjadi tiga kasus.
Kasus 1 : h < i < m−1. Jika konstruksi satu-faktorisasi Km+1 verteks himpunan
bagian V (Km+1 )\{∞} ditempatkan dengan Vp , untuk p = 0, 1, dan selain itu satufaktorisasi Km+1 dibatasi untuk verteks Vp , maka satu-faktorisasi dekat dengan
Km menjadi dekat satu-faktor Fip = {{(i − j)p, (i + j)p } : j = 1, 2, ..., (m − 1)/2}
diperoleh, dengan i = 0, 1, ..., m − 1. Oleh karena itu, Fim ⊂ Fi (satu-faktor K2m
untuk setiap i dan p. Suatu k−cycle mempunyai semua verteks dari salah satu
pada V0 atau pada V1 atau pada keduanya sekaligus. Pada kasus sebelumnya, k ≡
2(mod 4) dan k−cycle yang terdiri dari dua path dengan panjang k/2 − 1 (salah
satunya dengan semua verteks pada V0 dan yang lainnya verteks pada V1 ) bersama
dengan edge (h0, h1 ) pada Fh dan (i0, i1) pada Fi. Dua path ini bergabung dengan suatu path dengan verteks akhir h dan i yang termasuk dalam cycle yang
Universitas Sumatera Utara
18
panjangnya k/2 + 1 (terdiri dari verteks ∞) melalui induksi satu-faktor dengan
memberi indeks pada h dan i pada satu-faktorisasi Km+1 . Maka oleh Kasus I
pada Lemma 3.6.3, gcd(k/2, m) = k/2.
Kasus 2 : h < m ≤ i, anggap dibagi menjadi dua subkasus.
2.A : h0 bukan verteks pada k−cycle. Maka h1 juga bukan verteks pada k−cycle.
Diketahui bahwa panjang k−cycle merupakan pembagi 4. Andaikan (h + x)0
merupakan verteks pada k−cycle untuk x 6= 0. Maka tetangga (h + x)0 adalah
(h + x)0 dan (h + x + i + 1)1 . Verteks konsekutif pada k−cycle adalah (h +
x)0 , (h + x + i
+ 1)1 , (h − x −i − 1)1 , (h − x − 2i − 2)0 , (h + x + 2i + 2)0 , (h +
x + 3i + 3)1 , ..., h − x −
k(i+1)
2
, (h + x)0, dengan k adalah bilangan bulat positif
≡ h − x (mod m). Karena
genap terkecil sedemikian hingga h − x − k(i+1)
2
0
m < i + 1 < 2m, oleh sifat ekuivalen di atas k2 (i + 1) ≡ 0 (mod m) dan Klaim
3.6.1 maka gcd(k/2, m) = k/2.
2.B : h0 adalah verteks pada k−cycle. Maka h1 juga ada pada k−cycle. Diketahui bahwa k ≡ 2 (mod 4). Tetangga dari h0 adalah h1 dan (h + i + 1)1. Verteks
konsekutif pada k−cycle adalah h0 , (h
, (h − i − 1)1 , (h − 2i − 2)0 , (h +
+ i + 1)1
2i + 2)0 , (h + 3i + 3)1, (h − 3i − 3)1, ..., h +
k(i+1)
2
, h0 , dengan k adalah bilangan
k(i+1)
bulat positif genap terkecil sedemikian hingga h + 2
≡ h (mod m). Sama
1
halnya dengan kasus sebelumnya, karena m < i + 1 < 2m, oleh Klaim 3.6.1 maka
gcd(k/2, m) = k/2.
Kasus 3 : m ≤ h < i. Tetangga y0 adalah (y + h + 1)1 dan (y + i + 1)1 . Verteks
konsekutif pada k−cycle y0, (y + i + 1)1 , (y + i − h)0 , (y + 2i − h + 1)1 , (y + 2i −
ki−(k−2)h+2)
ki−(k−2)h+2)
2h)0 , ..., y +
≡ y + h + 1 (mod m)
, y0, dengan y +
2
2
1
dan Klaim 3.6.1 maka gcd(k/2, m) = k/2.
Untuk syarat cukup, anggap bahwa k ≤ 2m dan k/2|m. Untuk menemukan cycle
dengan panjang k, ambil satu-faktor Fm dan Fi sedemikian hingga i = m +
m
.
k/2
Jika l adalah panjang cycle dari gabungan Fm dan Fi , maka l adalah bilangan
bulat genap terkecil sedemikian hingga 2l (i − m) ≡ 0 (mod m). Maka
lm
2k/2
≡0
(mod m), l = k.
Berikut ini diberikan hasil yang ekiuvalen dengan Lemma 3.6.6.
Akibat 3.6.7 Untuk m ≥ 3 ganjil dan k ≥ 4 genap, satu-faktorisai K2m adalah
bebas k-cycle jika dan hanya jika k/2 6 | m.
Universitas Sumatera Utara
19
Akibat 3.6.8 Andaikan m ≥ 3 ganjil. Andaikan r adalah faktor prima terkecil
dari m. Maka satu-faktorisasi dari K2 m adalah (2r − 2) < − cycle bebas.
Hasil di atas memenuhi untuk membangun satu-faktorisasi K2m bebas k−cycle
dengan m genap dan k 6≡ 4 (mod 8).
Lemma 3.6.9 Untuk m ≥ 4 genap dan k ≥ 6 genap sedemikian hingga k 6≡
4(mod 8), jika terdapat satu-faktorisai bebas k-cycle pada Km , maka satu-faktorisasi
bebas k-cycle pada K2m memenuhi.
Bukti. Asumsikan bahwa satu-faktorisasi F bebas k-cycle dari Km diberikan.
andaikan H adalah gabungan dua satu-faktor Fh dan Fi pada satu-faktorisasi
K2m , dengan h < i dan h, i ∈ {0, 1, ..., 2m − 2}. Jika keduanya h, i < m − 1, maka
H tidak mempunyai cycle dengan panjang k karena semua cycle di H merupakan penggandaan dari cycle-cycle yang diperoleh dari satu-faktorisasi F pada
Km yang merupakan bebas k-cycle. Jika i = m − 1 atau h = m − 1, maka
setiap cycle di H mempunyai panjang 4. Selanjutnya asumsikan i ≥ m. Jika
i − h = m, maka setiap cycle di H juga mempunyai cycle dengan panjang 4.
Sebaliknya i − h 6= m. Dicatat bahwa setiap cycle di H terhubung ke suatu cycle pada gabungan satu-faktor Fh dan Fi−m pada Km . Andaikan l dinotasikan
sebagai cycle dengan panjang l pada Fh ∪ Fi−m dengan verteks v 1 , v 2, v 3, ..., v l.
Anggap bahwa h < m − 1. Cycle dengan panjang l terhubung ke l′-cycle (jika
l ≡ 0 (mod 4)) dengan panjang l atau ke l”-cycle (jika l ≡ 2 (mod 4)) dengan panjang 2l di H, verteks l′-cycle adalah v01 , v02, v03, v04, ..., v1l−1, v1l , verteks l”cycle v01, v02, v13, v14, ..., v0l−1, v0l , v1l+1 , v1l+2, ..., v12l−1, v12l. Pada kasus sebelumnya, oleh
asumsi k 6= 2l. Anggap kasus terakhir m ≤ h. Maka l-cycle terhubung dengan cycle lm -cycle di H dengan panjang sama dengan l. Maka Km adalah bebas k-cycle,
k 6= l pernyataan memenuhi.
Lemma 3.6.10 Untuk m ≥ 4 genap dan k ≥ 12 sedemikian hingga k ≡ 4(mod 8),
jika terdapat satu-faktorisasi bebas {k/2, k}-cycle pada Km , maka satu-faktorisasi
{k/2, k}-cycle pada K2m memenuhi.
Bukti. Pembuktian Lemma 3.6.7 mengikuti Lemma 3.6.6. Dengan mengasumsikan satu-faktorisai Km tidak terdiri dari cycle dengan panjang l sedemikian
Universitas Sumatera Utara
20
hingga l ≡ 2 (mod 4). Maka oleh pembuktian Lemma 3.6.6, setiap cycle dalam
satu-faktorisasi K2m mempunyai panjang 4 atau sama dengan panjang cycle yang
terhubung pada satu-faktorisasi pada Km .
Dari hasil yang diperoleh sebelumnya, maka teorema berikut memberikan
syarat perlu dari satu-faktorisasi K2m bebas k−cycle.
Teorema 3.6.11 Untuk setiap m dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga
k 6= 2m, graph lengkap K2m mempunyai satu-faktorisasi bebas k−cycle.
Bukti. Andaikan 2λ0 pλ1 1 pλ2 2 ...pλww adalah faktorisasi prima dari k ke faktor nontrivial, λj ≥ 1 untuk setiap pj dan p1 < p2 < ... < pw . Karena k genap, λ0 ≥ 1.
Jika k ≥ 2m, oleh Klaim 3.6.2 pernyataan benar. Maka, hasil trivial untuk m = 4.
Andaikan k < 2m, untuk induksi asumsikan bahwa satu-faktorisasi bebas k−cycle
dari K2m ada untuk setiap r sedemikian hingga 2 ≤ r < m dan 2r 6 k. Anggap
dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1 : k/2 6 | m. Untuk m ganjil oleh Akibat 3.6.7, satu-faktorisasi adalah
bebas k−cycle. Asumsikan m genap. Jika λ0 6= 2, maka untuk menemukan satufaktorisasi K2m gunakan Lemma 3.6.9. Anggap kasus λ0 = 2. Diketahui bahwa
k > 4 karena sebaliknya k/2 = 2 | m. Andaikan x = max{y : gcd(2y , m) = 2y }.
Maka k 6= m/2y untuk setiap y ≤ x. Andaikan m′ = m/2x . Diketahui bahwa
k/2 6 |m′ dan k/4 6 |m′ . Maka satu-faktorisasi diperileh, oleh Lemma 3.6.10 satufaktorisasi dari K4m′ , K8m′ , ..., K2m adalah bebas {k/2, k}−cycle.
Kasus 2 : k/2 | m. Untuk setiap j = 1, 2, ..., w, pj | m dan pj 6 |2m − 1. Maka
gcd(k/2, 2m − 1) = 1. Jika gcd(k − 1, m − 1) < k − 1, oleh Akibat 3.6.4 satufaktorisasi K2m adalah bebas k−cycle. Anggap kasus sebaliknya gcd(k − 1, m −
2m − 1
1) = k − 1. Andaikan f faktor nontrivial faktor dari 2m − 1 dan e =
.
f
Maka e ≥ f ≥ 3 dan gcd(e, (f − 1)/2) = 1. Selain itu, karena gcd(k/2, ef) = 1,
gcd(k/2, e) = 1, dan f 6 |k/2 maka k 6≡ 0 (mod 2f). Tujuannya adalah untuk
menunjukkan bahwa e 6= k − 1. Anggap sebaliknya bahwa e = k − 1. Maka
2m − 1 = ef = (k − 1)f dan karena m = z k2 untuk beberapa bilanga bulat z,
k(f − z) = f − 1. Maka k adalah pembagi dari f − 1 yang mana f ≥ k + 1 = e + 2,
kontradiksi dengan fakta bahwa f adalah faktor terkecil dari 2m−1. Oleh induksi
diasumsikan terdapat satu-faktorisasi bebas k−cycle dari Ke+1 .
Universitas Sumatera Utara
21
Teorema 3.6.12 Andaikan 2m 6= p + 1, dengan p prima, atau 2m 6≡ 6, 12, 18
(mod 24). Maka graph lengkap K2m mempunyai satu-faktorisasi bebas 2m−cycle.
Bukti. Andaikan 2m 6= p+1 untuk setiap p prima. Andaikan f faktor prima dari
2m − 1
. Jika 2m ≡ 2, 4 (mod 6), maka diperoleh satu-faktorisasi
2m − 1 dan e =
f
dengan orde 2m adalah bebas 2m−cycle. Faktanya gabungan sebarang dua satufaktor terdiri dari cycle dengan panjang k. Jika 2m ≡ 0 (mod 8), maka m genap.
Oleh Klaim 3.6.2 satu-faktorisasi dari Km adalah bebas 2m−cycle.
Pada kenyataannya permasalahan satu-faktorisasi K2m bebas k−cycle ketika
k = 2m hanya sebagian saja yang dapat diselesaikan. Sebaliknya untuk satufaktorisasi sempurna, jika 2m = p+1 dengan p prima merupakan yang paling sulit
untuk membentuk satu-faktorisasi K2m bebas 2m−cycle. Namun untuk setiap
orde 2n 6≡ 2 (mod 4), satu-faktorisasi K2m bebas 6 < −cycle dapat dibentuk,
(Meszka, 2009).
Teorema 3.6.13 Untuk setiap m ≥ 5 ganjil, terdapat satu-faktorisasi dari K2m
bebas 6 < −cycle.
Bukti. Andaikan q adalah faktor prima terkecil dari m. Jika q ≥ 5, maka satufaktorisasi dari K2m oleh Akibat 3.6.8 adalah bebas 8 < −cycle. Oleh karena
itu, asumsikan q = 3 diperoleh 3 6 |2m − 1. Jika 5 bukan faktor dari 2m − 1,
maka satu-faktorisasi K2m , oleh Akibat 3.6.5 adalah bebas 6 < −cycle. Andaikan
2m − 1 = r1r2 ...rv adalah faktorisasi prima dari 2m − 1 ke faktor non-trivial
dengan 5 = r1 ≤ r2 ≤ ... ≤ rv dan v ≥ 2. Diketahui bahwa untuk rv ≥ 7
terdapat satu-faktorisasi dari Krv +1 bebas 6 < −cycle, oleh Akibat 3.6.5 satufaktorisasi tersebut dapat disubstitusikan untuk memperoleh satu-faktorisasi dari
Kv+1 . Sebaliknya jika rv = 5 dan 2m − 1 = 5x untuk x ≥ 2. Andaikan satufaktorisasi dari K52 +1 sempurna, maka pada tahap selanjutnya jika rv = 5 dengan
induksi diperoleh satu-faktorisasi bebas 6 < −cycle untuk graph dengan orde 2m.
Berikut diberikan contoh satu-faktor dari satu-faktorisasi bebas 18-cycle dari
K18 .
Contoh 9 : Diketahui V (K18 ) = {1, 2, 3, ..., 18}, maka satu-faktorisasi bebas 18cycle dari K18 adalah
Universitas Sumatera Utara
22
1,2
3,4
5,6
7,8
9,18
10,11
12,13
14,15
16,17
1,3
2,4
5,8
6,9
7,16
10,12
11,13
14,17
15,18
1,4
2,3
5,14
6,7
8,9
10,13
11,12
15,16
17,18
1,5
2,6
3,7
4,9
8,17
10,14
11,15
12,16
13,18
1,6
2,5
3,12
4,8
7,9
10,15
11,14
13,17
16,18
1,7
2,8
3,9
4,5
6,15
10,16
11,17
12,18
13,14
1,8
2,7
3,6
4,13
5,9
10,17
11,16
12,15
14,18
1,9
2,11
3,5
4,7
6,8
10,18
12,14
13,16
15,17
1,10
2,9
3,8
4,6
5,7
11,18
12,17
13,15
14,16
1,11
2,10
3,13
4,12
5,15
6,17
7,18
8,16
9,14
1,12
2,18
3,17
4,10
5,16
6,13
7,14
8,15
9,11
1,13
2,12
3,11
4,16
5,10
6,14
7,15
8,18
9,17
1,14
2,15
3,16
4,18
5,17
6,11
7,12
8,13
9,10
1,15
2,14
3,18
4,17
5,11
6,10
7,13
8,12
9,16
1,16
2,13
3,10
4,11
5,12
6,18
7,17
8,14
9,15
1,17
2,16
3,14
4,15
5,18
6,12
7,11
8,10
9,13
1,18
2,17
3,15
4,14
5,13
6,16
7,10
8,11
9,12
Gambar 3.10 : Satu-faktorisasi K18 bebas 18−cycle
Dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya diperoleh bahwa
tidak mungkin untuk membangun satu-faktorisasi bebas k < − cycle untuk semua
orde 2m ≥ k ≥ 6. Namun oleh Akibat 3.6.5, satu-faktorisasi dari K2m adalah
bebas k < −cycle untuk setiap orde 2m sedemikian hingga faktorisasi prima dari
2m − 1 tidak terdiri dari suatu faktor lebih kecil dari k. Andaikan m ≥ 3 dan
r ≥ 5, l =max{r1 − 1, 2r2 − 2} denga
LENGKAP
TESIS
Oleh
ASTRI SYAFRIANTY
097021003/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH
LENGKAP
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ASTRI SYAFRIANTY
097021003/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa
Nomor Pokok
Program Studi
:
:
:
:
SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP
Astri Syafrianty
097021003
Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Marwan Ramli, M.Scı)
Anggota
Direktur
(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Tanggal lulus:
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota
:
1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
2.
3.
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
jhgadj
Kata kunci: Satu-faktorisasi.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
ajdb
Keyword:
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan
puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkatNya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul: SATU-FAKTORISASI BEBAS K-CYCLE DARI GRAPH LENGKAP.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program
Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya
kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa, B, M.Sc selaku Direktur Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis
untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan
dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah
banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam
penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan
yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan
dorongan kepada penulis dalam penulisan
iii
Universitas Sumatera Utara
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Armaini Lubis dan ayahanda
Buyung Damanik yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada
penulis, terlebi yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama
mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. yang telah memberikan
semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.
Medan,
Penulis,
Astri Syafrianty
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Alfred Hasiholan Silalahi dilahirkan di Batu V Pematangsiantar pada tanggal 31 Oktober 1969 dari pasangan Bapak St. Maruli Silalhi, BA & Ibu Tiomina
br. Simanjuntak dan merupakan anak ke empat dari delapan bersaudara. Penulis
menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) HKBP Batu IV Pematangsiantar
tahun 1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP) HKBP Batu IV Pematangsiantar
tahun 1984, Sekolah Menengah Atas (SMA) PGRI 29 Perumnas Batu VI Pematangsiantar tahun 1987. Pada tahun 1987 memasuki Perguruan Tinggi Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar jurusan PMIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Diploma III Proyek Pengembangan Pendidikan Tenaga
Kependidikan (P 3TK) dan lulus tahun 1990. Kemudian pada tahun 1990 penulis
melanjutkan perkuliahan ke jenjang Strata Satu (S-1) pada Universitas HKBP
Nommensen Pematangsiantar dan lulus tahun 1991.
Pada tahun 1990 1993, penulis menjadi guru honorer pada SMP HKBP
Batu IV Pematangsiantar. Kemudian pada tahun 1993 1995, penulis bekerja
sebagai Mechanic - A pada PT. Budi Bora Jaya Duri Riau. Pada tahun 1995
1997, penulis bekerja sebagai Lead Mechanic pada PT. Timbul Permata Jaya Duri
Riau. Pada tahun 1997 1999, penulis merantau ke Jakarta dan bekerja sebagai
guru honorer pada SMP Negeri 70 Tanah Abang, SMK Negeri 9 Pinangsia Jakarta
Barat, SMK Corpotarin Jakarta Timur, SMK TIO Bekasi, dan part time sebagai
Debt Collector pada Astra Credit Company (ACC) Jakarta. Pada tahun 1998,
penulis mengikuti Test CPNS di Jakarta dan Lulus, kemudian pada tanggal 1
Maret 1998, penulis diangkat menjadi CPNS dan ditempatkan pada SLTP Negeri
1 Sabu Barat Kabupaten Kupang Nusa Tenggara Timur, tetapi penulis baru
pergi ke NTT untuk melaksanakan tugas pada bulan Juli 1999 dan langsung
mendapat nota tugas sebagai guru pada SMA Negeri 1 Atambua Kabupaten Belu
NTT untuk mengatasi jumlah siswa pengungsi yang membludak akibat korban
jajak pendapat di Timor-Timur. Pada Tahun 2000, penulis pulang ke Medan
untuk menikah dengan isteri tercinta Delima Christin Rajagukguk, SE. Tuhan
mengaruniakan 2 anak perempuan bernama Gracia Monica Silalahi & Anasthasya
Silalahi dan 1 anak laki-laki bernama Yehezkiel Silalahi.
Pada tahun 2004, penulis dan keluarga pindah ke Pematangsiantar dan mendapat tugas sebagai guru di SMA Negeri 2 Bandar Kabupaten Simalungun. Pada
v
Universitas Sumatera Utara
tahun 2006 sekarang, penulis menjabat sebagai Wakil Kepala Sekolah Urusan
Kurikulum pada SMA Negeri 2 Bandar Kabupaten Simalungun. Selama melaksanakan tugas, penulis telah banyak mengikuti Pendidikan dan Pelatihan (Diklat)
yang berhubungan dengan peningkatan kompetensi Guru baik pada tingkat kabupaten maupun provinsi. Pada tahun 2008, penulis mendapat beasiswa dari Pemerintah Provinsi Sumatera Utara untuk melanjutkan pendidikan pada Program
Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 3 SATU-FAKTORISASI DARI GRAPH LENGKAP DAN PERKEMBANGANNYA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2 Graph Lengkap dan Graph Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3 Subgraph dan Spanning Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4 Satu-Faktorisasi dan Graph Lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5 Satu-Faktorisasi K2r , r > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.5.1 Strategi Shift and Rotate (S-R) . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.5.2 Strategi Butterfly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.5.3 Metode Lain untuk Menghitung Satu-Faktorisasi K2r ,
r>1 ................................
13
3.5.4 Metode MIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.5.5 Metode RAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.6 Satu-Faktorisasi Bebas k-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
BAB 4 HASIL UTAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1 Satu-faktorisasi dari K2m untuk m = 2r , r ≥ 2 . . . . . . . . . . .
23
4.1.1 Metode Silang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
viii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri dari himpunan titik-titik
berhingga tak kosong V yang disebut verteks dari G dan himpunan garis E
yang menghubungkan verteks-verteks yang anggotanya disebut edge dari G dan
dinotasikan dengan G(V, E), (Gross dan Yellen, 2006). Suatu edge dari verteks u
ke v dinotasikan dengan (u, v). Suatu walk dari u ke v dengan panjang m adalah
barisan edge dalam bentuk
u = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = v
dengan v0 = u dan vm = v. Suatu walk dari u ke v disingkat sebagai uv-walk. Suatu uv−walk dikatakan terbuka bila u 6= v dan dikatakan tertutup bila sebaliknya.
Suatu uv − path adalah suatu uv − walk yang tidak mengandung verteks berulang
kecuali mungkin u = v. Suatu uv − path tertutup disebut cycle.
Graph Lengkap Kn adalah suatu graph dengan n verteks, yang setiap dua
verteks berbeda dihubungkan oleh satu edge. Graph lengkap Kn mempunyai
edge sebanyak E(Kn ) =
1
n(n
2
− 1) dan setiap verteksnya mempunyai derajat
(n−1), (Deo N, 1986). Graph Regular adalah suatu graph yang semua verteksnya
berderajat sama. Graph regular yang semua verteksnya berderajat k disebut
k − regular. Graph lengkap Kn disebut juga (n − 1) − regular.
Suatu graph G1 dikatakan subgraph dari graph G jika semua verteks dan edge
dari G1 ada dalam graph G, dan setiap edge dari G1 mempunyai verteks ujung
yang sama dengan edge dari graph G. Suatu subgraph G1 yang memuat semua
verteks disebut spanning subgraph dari G. Suatu spanning subgraph k − regular
dari graph G disebut k − f aktor dari graph G, (Gross dan Yellen, 2006).
Satu − f aktor dari suatu graph G adalah suatu spanning subgraph regular berderajat satu. Satu − f aktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan
F = {F1, F2, ..., Fn} dari edge-disjoint satu-faktor sedemikian hingga E(G) =
Sn
i=1 E(Fi ). Dengan kata lain, gabungan dua edge-disjoint satu-faktor adalah
Universitas Sumatera Utara
1
2
dua-faktor yang terdiri dari cycle-cycle dengan panjang genap, (Gross dan Yellen,
2006).
Satu-faktorisasi F = {F1 , F2, ..., Fn} dari G dikatakan bebas k-cycle jika
gabungan dari dua satu-faktor tidak memuat panjang-panjang cycle dari himpunan S, khususnya jika S = {4, 6, ..., k} maka F disebut bebas k-cycle. Dengan
perkataan lain, F mempunyai cycle dengan panjang k jika ada dua satu-faktor
pada F , (Meszka M, 2009). Penelitian ini menentukan untuk setiap m = 2r , r ≥ 2
dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi
bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan.
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan setiap k ≥ 4
genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas k-cycle dengan
satu edge persekutuan. Masalah dalam penelitian ini apa syarat perlu atau syarat
cukup dari graph yang demikian.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah menentukan syarat
perlu atau syarat cukup dari graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2 dan
setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi bebas
k-cycle dengan satu edge persekutuan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang satu faktorisasi
bebas k-cycle dari graph lengkap.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk mencari
syarat perlu atau syarat cukup dari graph lengkap K2m untuk setiap m = 2r , r ≥ 2
dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m adalah satu-faktorisasi
bebas k-cycle dengan satu edge persekutuan dilakukan dengan pendekatan sebagai
berikut :
Universitas Sumatera Utara
3
1. Mencari bentuk satu-faktorisasi dari suatu graph lengkap
2. Mencari satu atau lebih satu-faktorisasi yang lain dari suatu graph lengkap
sedemikian hingga mempunyai mempunyai satu edge persekutuan dengan
satu-faktorisasi sebelumnya.
3. Membuat metode yang tepat untuk membentuk satu-faktorisasi
4. Menggabungkan dua satu-faktor dari satu-faktorisasi yang pertama dan kedua yang mempunyai satu edge persekutuan sedemikian hingga bebas kcycle.
5. Menentukan pola dari graph yang telah diperoleh kemudian membuat formulanya dan disusun menjadi syarat perlu atau syarat cukup dari graph
tersebut.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Istilah-istilah baku graph dalam tulisan ini diambil dari Gross dan Yellen
(2006). Mendelsohn dan Rosa (1985) menemukan jumlah tepat N(2m) untuk
2m ≤ 14, antara lain N(4) = N(6) = 1, N(8) = 6, N(10) = 396 dengan N adalah
semua pasangan berurut dari satu-faktorisasi tak-isomorfik pada graph lengkap
K2m dan m adalah banyaknya edge dari graph lengkap. Kemudian Dinitz, et. al.
(1994) menemukan untuk N(12) = 526, 915, 620. Oleh karena itu, banyak investigasi (termasuk enumerasi) berkenaan dengan satu-faktorisasi pada K2m yang
dianggap layak jika dibatasi suatu subclass yang memenuhi beberapa sifat tambahan. Suatu pertanyaan timbul berkenaan dengan keberadaan dari keseragaman
(sempurna) satu-faktorisasi. Satu-faktorisasi dikatakan sempurna jika gabungan
dari dua satu-faktor adalah isomorfik dengan cycle Hamilton.
Satu-faktorisasi sempurna dari graph lengkap diperkenalkan oleh Kotzig
(1964). Kemudian Anderson (1973) menemukan class dari satu-faktorisasi sempurna ketika m prima. Hal yang sama juga ditemukan oleh Bryant, et. al.
(2006) ketika 2m − 1 adalah prima. Satu-faktorisasi sempurna sangat jarang
ditemukan diantara semua satu-faktorisasi. Pernyataan ini didukung oleh hasil
penelitian yang dilakukan oleh Seah (1991) yang menemukan P (2m), yaitu untuk P (4) = P (6) = P (8) = P (10) = 1, P (12) = 5 dengan P adalah pasangan
berurut dari satu-faktorisasi sempurna tak-isomorfik. Meszka dan Rosa (2003)
melakukan penelitian yang sama dan menemukan P (16) ≥ 88. Faktanya, hanya
ada tiga klasifikasi tak berhingga dari satu-faktorisasi dan contoh-contoh yang
jarang dari satu-faktorisasi seragam tidak-sempurna. Gopal, et. al. (2007) menemukan metode untuk menghitung satu-faktorisasi dari graph lengkap dengan jumlah verteks merupakan perpangkatan 2. Metode tersebut juga dapat digunakan
untuk memperoleh satu-faktorisasi dari graph lengkap dengan jumlah verteks kelipatan 4 atau graph lengkap dengan mn verteks jika satu-faktorisasi dari Km dan
satu-faktorisasi dari Kn diketahui.
Dinitz, et. al. (2005) menginvestigasi panjang-panjang cycle yang mungkin
muncul dari gabungan sebarang dua satu-faktor pada graph lengkap. Dalam
penelitian tersebut ditemukan untuk m ≥ 3 dan k genap sedemikian hingga
Universitas Sumatera Utara
4
5
4 ≤ k ≤ 2m, satu faktorisasi dari graph lengkap terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika k/2 | 2m − 1 atau k − 1 | 2m − 1. Oleh karena itu,
diperoleh beberapa klasifikasi tak berhingga dari satu-faktorisasi bebas k-cycle.
Selanjutnya Meszka (2009) menentukan untuk setiap m ≥ 3 dan untuk setiap
k ≥ 4 dengan k 6= 2m, maka terdapat satu-faktorisasi dari graph lengkap K2m
sedemikian hingga sebarang dua satu-faktor dari K2m bebas dari k−cycle. Untuk
2m 6= p + 1, p prima atau 2m 6≡ 6, 12, 18(mod24), maka satu-faktorisasi dari K2m
bebas 2m−cycle.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
SATU-FAKTORISASI DARI GRAPH LENGKAP DAN
PERKEMBANGANNYA
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan
dan mendukung untuk satu-faktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap. Materi
tersebut akan dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini
sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun materi-materi tersebut mencakup pengertian graph, contoh graph,
pengertian graph lengkap, pengertian satu-faktorisasi, beberapa metode untuk
membangun satu-faktorisasi dari graph lengkap, dan fakta-fakta tentang satufaktorisasi bebas k-cycle dari graph lengkap.
3.1 Graph
Secara sederhana suatu graph adalah kumpulan titik-titik yang dihubungkan
oleh garis. Secara matematis suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri atas
dua himpunan, yakni :
• Himpunan berhingga tak kosong V . Unsur dari V disebut verteks dari G.
• Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut
dari unsur-unsur di V . Unsur dari E disebut edge dari G.
Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan dengan G(V , E). Andaikan u dan v adalah dua verteks di G. Suatu edge (u, v) atau
juga dapat dinotasikan dengan u−v adalah suatu edge di G yang menghubungkan
verteks u dan v.
Contoh 1 : Himpunan verteks V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan edge
E = {1 − 5, 5 − 4, 5 − 2, 4 − 2, 2 − 1, 2 − 3, 4 − 3, 3 − 3} adalah suatu graph dengan
5 verteks dan 8 edge.
Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis
dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu
titik atau lingkaran kecil dan setiap edge u − v yang terdapat dalam graph itu diUniversitas Sumatera Utara
6
7
representasikan sebagai garis berarah dari u ke v. Representasi graph pada contoh
1 diperlihatkan pada Gambar 3.1.
1
t
❅
❅
❅
5
4
t
t
❅t
t
2
3
Gambar 3.1 : Graph dengan 5 verteks dan 7 edge
Andaikan G(V , E) adalah suatu graph dan u,v ∈ V . Suatu walk dari u ke v
dinotasikan dengan uv-walk atau wuv (untuk selanjutnya dipakai notasi uv-walk).
Suatu walk dari u ke v yang panjangnya m adalah suatu barisan edge dalam
bentuk
u = v0 − v1 − v2 − . . . − vm−1 − vm = v
Suatu walk dikatakan terbuka jika verteks u 6= v dan dikatakan tertutup
jika u = v. Panjang dari suatu walk wuv adalah banyaknya edge yang menyusun
walk tersebut dan dinotasikan dengan ℓ(uv-walk). Suatu path adalah suatu walk
tanpa ada perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir.
Suatu path yang menghubungkan verteks u dan v dinotasikan dengan uv-path
dan panjangnya dinotasikan dengan ℓ(uv-path). Suatu cycle adalah suatu path
tertutup. Cycle yang panjangnya k dinotasikan dengan k − cycle
Perhatikan graph pada Gambar 3.1 yang terdiri dari 5 verteks dan 7 edge.
Berikut ini diperlihatkan contoh dari walk, path, dan cycle.
1. 2 − 1 − 5 − 2 − 3 adalah suatu uv-walk dengan panjang 4. Walk ini bukan
merupakan suatu path karena verteks v2 berulang.
2. 5 − 4 − 3 − 2 adalah suatu uv-path dengan panjang 3.
3. 5 − 4 − 3 − 2 − 1 adalah suatu uv-path tertutup atau cycle dengan panjang
5.
Andaikan G1 (V1 , E1 ) dan G2 (V2 , E2 ) masing-masing adalah suatu graph.
Dua buah graph G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika dan hanya jika terdapat koUniversitas Sumatera Utara
8
respondensi satu-satu antara verteks-verteks dan edge-edgenya sedemikian hingga sifat insident tetap terpelihara atau dengan perkataan lain graph G1 dan
G2 dikatakan isomorfik jika terdapat pemetaan bijektif θ : V1 → V2 sehingga
memenuhi u − v ∈ E1 ⇔ θ(v) ∈ E2 untuk sebarang verteks u, v ∈ V1 dan dinotasikan dengan E1 ∼
= E2.
Syarat perlu agar dua buah graph G1 dan G2 isomorfik , yaitu jika G1 dan
G2 isomorfik, maka G1 dan G2 harus memenuhi :
1. Banyak verteks di G1 dan G2 sama
2. Banyak edge di G1 dan G2 sama
3. Derajat setiap verteks yang berkorespodensi sama
Contoh 2 : Berikut ini akan diberikan satu contoh dari dua buah graph yang
isomorfik.
v4
u4
u3
t
✚
t
✚
u1
✚
✚
✚
✚
✚
✚
t
t
u2
t
✁❆
✁ ❆
✁ v2❆
✁ t ❆
✁
❅ ❆
❅ ❆
✁
✁
❅❆
❆t
❅
t✁
v1
G2
G1
Gambar 3.2 : Dua graph yang isomorfik
v3
Perhatikan graph G1 dan G2 . Berikut ini diperlihatkan pemetaan bijektif θ , yaitu
: θ(u1) = v1, θ(u2) = v4 , θ(u3) = v3, dan θ(u4 ) = v2 dan memenuhi u1 − u2 ∈ E1
⇔ v1 − v4 ∈ E2 , u1 − u3 ∈ E1 ⇔ v1 − v3 ∈ E2, u1 − u4 ∈ E1 ⇔ v1 − v2 ∈ E2 ,
u2 − u3 ∈ E1 ⇔ v4 − v3 ∈ E2 , dan u3 − u4 ∈ E1 ⇔ v3 − v2 ∈ E2 . Jadi G1 ∼
= G2 .
3.2 Graph Lengkap dan Graph Regular
Suatu graph lengkap Kn adalah suatu graph dengan n verteks, yang setiap
dua verteks berbeda dihubungkan oleh satu edge. Pada Gambar 3.3 berikut akan
diperlihatkan graph lengkap atas satu, dua, tiga, empat, lima, dan enam verteks.
Contoh 3 : Gambar di samping merupakan contoh dari graph lengkap
Universitas Sumatera Utara
9
Gambar 3.3 : Graph Lengkap
Teorema 3.2.1 Banyaknya edge dari suatu graph lengkap dengan n verteks adalah
1
E(Kn ) = n(n − 1).
2
Bukti. Andaikan G adalah suatu graph lengkap dengan n verteks 1, 2, 3, ..., n.
Ambil sebarang verteks 1, karena G merupakan graph lengkap maka 1 dihubungkan
dengan (n−1) verteks lainnya (2, 3, ..., n). Dengan demikian terdapat (n−1) edge.
Selanjutnya, ambil sebarang verteks kedua 2. Karena G adalah graph lengkap,
maka 2 juga dihubungkan dengan verteks lainnya (1, 3, ..., n), sehingga terdapat
(n − 1) edge yang terhubung dengan 2. Salah satu edge tersebut menghubungkan
2 dan 1. Edge ini sudah dihitung ketika menghitung banyaknya edge yang terhubung dengan 1. Jadi, terdapat (n − 2) edge yang belum dihitung. Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya edge yang terhubung dengan 3, 4, ..., n dan
yang belum dihitung sebelumnya. Banyaknya edge yang diperoleh berturut-turut
adalah (n − 3), (n − 4), ..., 3, 2, 1. Oleh karena itu, secara keseluruhan terdapat
1
(n − 1 + (n − 2) + (n − 3) + ... + 3 + 2 + 1 = n(n − 1) edge.
2
Derajat pada suatu verteks u adalah banyaknya edge yang terhubung dengan
verteks tersebut dan dinotasikan dengan du . Graph lengkap Kn mempunyai edge
1
sebanyak E(Kn ) = n(n − 1) dan setiap verteksnya mempunyai derajat (n − 1).
2
Graph Regular adalah suatu graph yang semua verteksnya berderajat sama.
Graph regular yang semua verteksnya berderajat k disebut k-regular. Graph
lengkap Kn disebut juga (n − 1)-regular.
3.3 Subgraph dan Spanning Subgraph
Suatu graph G1 dikatakan subgraph dari graph G jika semua verteks dan
semua edge dari G1 ada dalam graph G, dan setiap edge dari G1 mempunyai
Universitas Sumatera Utara
10
verteks ujung sama dengan edge dari graph G. Spanning subgraph dari G adalah
suatu subraph G2 yang memuat semua verteks dari graph G.
Contoh 4 : Gambar berikut ini merupakan contoh graph regular
1s
2s
1s
6s
s3
❅
❅
❅s
❅
6s
❅
❅
❅s
s
5
2s
4
2s
P
✏✏❅
✏
❅P
P
✏✏ PPP ❅
✏✏ ❅
P❅
s
✏
Ps3
✏
6 PP
❅
✏✏
❅ PP
✏
❅
P✏
❅
P✏
❅s✏✏ P❅
❅
Ps
❅
❅s3
s
5
1-regular
1s
5
4
2-regular
4
5-regular
Gambar 3.4 : Graph Regular
Contoh 5 : Berikut ini diberikan graph G(6, 8) kemudian diperlihatkan juga
subgraph dan spanning subgraph dari G.
1s
❅
6s
❅
❅
❅s
5
2s
❅
❅
❅
❅
❅s3
❅
❅
❅s
4
Gambar 3.5 : G(6, 8)
1s
6s
❅
❅
❅
❅
❅s
5
s2
❅
❅
❅
❅s
1 s
❅
❅
6s
s
4
Subgraph G1
5
2s
❅
❅
❅
❅
❅s3
❅
❅s
4
Spanning subgraph G2
Gambar 3.6 : Subgraph dan Spanning subgraph dari graph G(6, 8)
3.4 Satu-Faktorisasi dan Graph Lengkap
Suatu f aktor dari graph G adalah suatu spanning subgraph dari graph
G. Suatu f aktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan faktor-faktor yang
Universitas Sumatera Utara
11
himpunan-himpunan edge nya membentuk suatu partisi dari himpunan edge pada graph G. k-faktor dari graph G adalah suatu spanning subgraph k-regular
dari graph G. Satu-faktor dari graph G adalah suatu spanning subgraph regular berderajat satu. Satu-faktorisasi dari graph G adalah suatu himpunan F =
n
S
{F1 , F2, ..., Fn} dari edge disjoint satu-faktor sedemikian hingga E(G) =
E (Fi ).
i=1
Satu-faktorisasi dari graph lengkap K2m mempunyai 2m − 1 satu-faktor, masingmasing satu-faktor mempunyai m edge. F mempunyai cycle dengan panjang k
jika terdapat dua satu-faktor di F .
Contoh 6 : Gambar 3.6 berikut adalah contoh satu-faktor dari K6 .
1s
2s
6s
❅
❅
1s
s3
❅s
5
s
4
2s
6s
s3
s
s
5
4
1s
2
5
4
s
PP
PP
PP
PPs
6 sPP
3
PP
PP
PPs
s
Gambar 3.7 : Satu-faktor
Contoh 7 : Satu-Faktorisasi dari K6 diperlihatkan oleh Gambar 3.8 berikut :
1,2
3,4
5,6
1,3
2,6
4,5
1,4
2,5
3,6
1,5
2,3
4,6
1,6
2,4
3,5
Gambar 3.8 : Satu-faktorisasi K6
Dari gambar di atas diketahui graph mempunyai edge m = 3, dan satuS6
faktor sebanyak 2m − 1 = 2(3) − 1 = 5. Maka, E(K6 ) = i=1 E(Fi) = 15
Satu-faktorisasi {F1, F2, ..., F2m−1} dari K2m adalah sequentially uniform jika
satu-faktor dapat diurutkan menjadi {F1, F2, ..., F2m−1} sedemikian hingga graph
dengan himpunan edge Fi ∪ Fi+1 isomorfik untuk semua 1 ≤ i ≤ 2m − 1. Karena
gabungan dua satu-faktor adalah suatu graph 2-regular dengan 2-edge-colorable,
isomorfik dengan gabungan saling lepas dari cycle-cycle genap. Dikatakan multiset T = (k1 , k2 , kr ) adalah jenis dari satu-faktorisasi sequentially uniform jika
Fi ∪ Fi+1 isomorfik dengan gabungan saling lepas dari cycle-cycle dengan panjang
Universitas Sumatera Utara
12
k1 , k2, ..., kr , dengan k1 + k2 + ... + kr = 2m. Jika gabungan setiap dua satu-faktor
berurutan adalah suatu cycle Hamilton, satu-faktorisasi dikatakan sequentially
perfect (Dinitz, et. al. , 2005).
Suatu ide yang mempertimbangkan pengurutan satu-faktor dalam satufaktorisasi K2m tidak sepenuhnya akademik. Faktanya, pengurutan satu-faktorisasi
K2m telah diperlihatkan sebelumnya pada penjadwalan permainan untuk roundrobin tournament yang dimainkan dalam 2m − 1 babak.
Definisi di atas adalah suatu relaksasi dari definisi uniform (perfect) satufaktorisasi K2m yang mengharuskan gabungan sebarang dua satu-faktor isomorfik dengan cycle Hamilton. Variasi uniform satu-faktorisai telah dibangun dari
Steiner triple system.
Sebagai contoh, ketika m = 2r untuk sebarang r bi-
langan bulat positif memberikan suatu konstruksi dari uniform satu-faktorisasi
K2m jenis (4, 4, ..., 4). Selain itu contoh lain diberikan untuk perfect Steiner triple
system yaitu uniform satu-faktorisasi jenis (2m − 4, 4). Jika m = 3r , uniform
satu-faktorisai jenis (4, 6, ..., 6) dan ketika terdapat suatu p dengan p adalah prima ganjil maka terdapat suatu uniform satu-faktorisasi jenis (p + 1, 2p, ..., 2p),
(Mendelsohn dan Rosa, 1985).
3.5 Satu-Faktorisasi K2r , r > 1
Graph lengkap atas 2m verteks secara umum dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari tiga graph yaitu dua Km yang diberi indeks dengan verteks
1 sampai m dan m + 1 sampai 2m, dan graph bipartit komplit Km,m dengan m
verteks yang masing-masing sisi dipartisi. Andaikan 2m merupakan perpangkatan
dua. Satu-faktorisasi dari Km terdiri dari m − 1 satu-faktor yang masing-masing
terdiri dari m/2 edge. Maka dengan menempatkan satu-faktorisasi diantara Km
secara bersamaan akan menghasilkan (m − 1) satu-faktor masing-masing terdiri
dari m edge. Satu-faktorisasi dari Km,m mempunyai m satu-faktor yang masingmasing terdiri dari m edge. Maka jumlah total adalah m − 1 + 1 = 2m − 1
satu-faktor terdiri dari total m(2m − 1) edge, yang merupakan jumlah edge K2m .
Karena masing-masing edge K2m mempunyai tepat satu satu-faktor, metode ini
menghasilkan satu-faktorisasi K2m .
Berikut diberikan beberapa metode untuk membangun satu-faktorisasi dari
K2m dengan 2m merupakan perpangkatan dua (Gopal, et. al. 2007).
Universitas Sumatera Utara
13
3.5.1 Strategi Shift and Rotate (S-R)
Pada strategi ini untuk membangun satu-faktorisasi Km,m dicatat bahwa
untuk setiap satu-faktor mempunyai 1, 2, 3, ..., m sebagai titik-akhir yang pertama dari m edge dan m + 1 sampai 2m sebagai titik-akhir yang kedua. Titik
akhir yang kedua berurut berbeda untuk setiap satu-faktor dimulai dengan satufaktor (1, m + 1), (2, m + 2), ..., (m, 2m). Untuk membangun satu-faktor ke-i, shift
and rotate barisan m + 1, m + 2, ..., 2m dengan i berpindah ke kiri memberikan
penambahan ke-i faktor (1, m + i + 1), (2, m + i + 2), ..., (m, 2m + i − m).
Untuk menunjukkan hasil satu-faktor pembentuk satu-faktorisasi, bentuk
formalnya adalah sebagai berikut. Satu-faktor berkorespondensi ke edge Km,m ,
masing-masing edge Km,m muncul tepat satu kali pada satu-faktor. Diberikan
edge (i, j) dengan 1 ≤ i ≤ m dan m + 1 ≤ j ≤ 2m dengan order dari satu-faktor
edge (i, j) muncul ke j − i + 1 satu-faktor sebagai titik-akhir i.
3.5.2 Strategi Butterfly
Dengan ketentuan mendaftarkan masing-masing satu-faktor sebagai m edge
dengan titik-akhir pertama 1 sampai m, sehingga jenis satu-faktor dapat ditulis,
(1, v1), (2, v2 ), ..., (m, vm)
dengan m + 1 ≤ v1, v2, ..., vm ≤ 2m.
Untuk l = 0, satu-faktor F0 disebut faktor identitas yaitu :
{(1, m), (2, m + 1), (3, m + 2), ..., (m, 2m)}.
Untuk l = 1, 2, ..., m − 1 satu-faktor ke-l , Fi dihitung sebagai berikut :
Jika l merupakan perpangkatan dua, maka Fl adalah edge (i, j) ∈ Fl jika edge
(i′ , j ′) ∈ F0 sedemikian hingga i′ = (i + l) mod m, dan j ′ = j. Sebaliknya
andaikan l′ = 2⌊log2 l⌋ dan r = l − l′. Andaikan Fl′ menjadi faktor ke-l, (i, j) ∈ Fl
jika (i′, j ′) ∈ Fl′ sedemikian hingga i′ = (i + r) mod m dan j ′ = j.
3.5.3 Metode Lain untuk Menghitung Satu-Faktorisasi K2r , r > 1
Selain dari dua metode di atas, ada pendekatan lain untuk mendirikan
satu-faktorisasi sempurna untuk Km,m dan K2m dengan m perpangkatan dari
2. Observasi sederhana adalah untuk membangun satu-faktorisasi Km,m . Dimulai
dengan sebarang m!, satu-faktor sebagai F1 dan gunakan strategi Shift and Rotate. Anggap satu-faktor F1 dan tunjukkan masing-masing edge dalam F1 sebagai
Universitas Sumatera Utara
14
{(u1 , v1)}m
i=1 yang mana semua ui pada partisi yang sama dan vi pada partisi yang
lain.
Andaikan ui sebagai titik-akhir pertama dan vi sebagai titik-akhir kedua.
Himpunan lain dari titik-akhir, misalkan {u1, u2, ..., um} ditukar dengan memutar
untuk mendapatkan satu-faktor yang lain. Akibat operasi shift pada {u1, u2 , ..., um}
adalah {u2, u3, ..., um, u1} jika ditukar ke kiri (dengan operasi rotate). Pada class
strategi Shift and Rotate, tukar titik-akhir pertama atau titik-akhir kedua dari
edge pada F1 untuk memperoleh F2 hingga Fm−1 .
Contoh 8 : Satu-faktorisasi dengan m = 4, maka K2m = K8 . Titik-pertama 4
faktor dari K4,4 adalah 1 hingga 4 dan titik-akhir kedua 8 menurun ke 5. Maka
satu-faktorisasi Km,m dibangun mulai dari faktor identitas
F0 = (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).
Selanjutnya shift and rotate titik-akhir pertama ke kiri untuk mendapatkan (m −
1)-faktor yang lain, hingga diperoleh satu-faktorisasi dari K8 .
1,8
2,7
3,6
4,5
2,8
3,7
4,6
1,5
3,8
4,7
1,6
2,5
4,8
1,7
2,6
3,5
1,4
2,3
5,8
6,7
2,4
1,3
6,8
5,7
1,2
3,4
5,6
7,8
Gambar 3.9 : Satu-faktorisasi K8 dengan strategi Shift and Rotate
Selanjutnya akan diberikan metode lain untuk membangun satu-faktorisasi
dari K2m menggunakan heuristik. Dengan cara ini dibuktikan bahwa satu-faktorisasi
F dari K2m mempunyai 2m − 1 matching sempurna di dalamnya. Setiap matching sempuna mempunyai m edge. Ambil (1, i) sebagai edge awal dan kemudian diperpanjang menaik sedemikian hingga Fi menjadi matching sempurna.
Tahap selanjutnya jika ingin membangun edge ke j, (uj , vj ) untuk matching ke Fi
memilih edge tambahan hanya dari himpunan E\{F1 ∪ F2 ... ∪ Fi−1 ∪ Ei } dengan
Ei = ei1 , ei2 , ei3 , ..., eij−1 dan eik adalah edge ke k yang dipilih untuk matching
ke Fi . Untuk efisiensi waktu pilih verteks pertama uj sebagai verteks yang paling
Universitas Sumatera Utara
15
terkeci dari verteks V ′ = {v1 , v2, v3, ..., vi} dengan vi ∈ V ′ jika dan hanya jika
vi tidak dimuat oleh Fi . Verteks kedua vj dapat dipilih dengan menggunakan
metode MIN atau RAND.
3.5.4 Metode MIN
Pada metode ini untuk memilih edge ke j, (uj , vj ) untuk matching ke Fi ,
verteks terkecil dari semua verteks yang tidak dimuat Fi dipilih sebagai verteks
uj . Untuk mengambil verteks kedua, lakukan strategi yang sama seperti pada
pengambilan pertama. Jika edge (uj , vj ) sudah digunakan pada satu-faktorisasi
F , maka verteks terkecil selanjutnya vj ∈ V ′ dipilih sebagai vj . Proses ini berlanjut hingga edge yang cocok diperoleh sehingga Fi diperluas. Jika tidak berhasil
memperluas Fi menggunakan semua verteks, maka kembali dan susun kembali
edge sebelumnya (uj−1 , vj−1 ) pada matching. Jika j = 0 maka susun kembali
edge sebelumnya pada faktor Fi−1 .
3.5.5 Metode RAND
Pada metode ini, untuk menambah edge ke-j (uj , vj ) untuk matching ke
Fi , verteks uj dipilih sebagai verteks terkecil pada V ′. Verteks vj kemudian dipilih seragam secara acak dari himpunan V ′ \{uj }. Jika (uj , vj ) tidak dapat digunakan pada perluasan Fi , maka tetap memilih verteks vj seragam secara acak dari
V ′\{uj } hingga ditemukan edge yang dapat digunakan pada perluasan Fi. Jika
tidak sukses pada perluasan Fi menggunakan semua verteks, maka kembali dan
susun kembali edge sebelumnnya (uj−1 , vj−1 ) pada matching. Jika j = 0 maka
susun kembali edge sebelumnya pada faktor Fi−1 . metode RAND tidak memenuhi
sebarang satu-faktorisasi melalui pemilihan acak yang sesuai selama tahapan.
3.6 Satu-Faktorisasi Bebas k-cycle
Satu-faktorisasi F = {F1, F2, ..., Fn} dari G dikatakan bebas k-cycle jika
gabungan dua satu-faktor tidak memuat cycle dengan panjang k. F adalah bebas S-cycle jika gabungan sebarang dua satu-faktor tidak memuat cycle dengan
panjang diambil dari himpunan S. Jika S = {4, 6, ..., k} maka F disebut bebas
k < −cycle.
Klaim 3.6.1 Untuk n ≥ 2, jika l adalah bilangan bulat positif terkecil sedemiUniversitas Sumatera Utara
16
kian hingga gcd(l, n) > 1, maka gcd(l, n) = l. Meskipun untuk n′ ≥ 3, jika
l′ adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian hingga gcd(l′ , n′ ) > 1,
maka gcd(l′ , n′) = l′/2.
Klaim 3.6.2 Jika k > 2m ≥ 4, maka satu-fasktorisasi dari K2m adalah bebas
k-cycle.
Hasil investigasi yang dilakukan oleh Dinitz, et. al. (2005) terhadap panjangpanjang cycle yang mungkin muncul dari gabungan sebarang dua satu-faktor pada
graph lengkap diberikan pada lemma berikut.
Lemma 3.6.3 Untuk m ≥ 3 dan k genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m, satufaktorisasi dari K2m terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika k/2
| 2m − 1 atau k − 1 | 2m − 1.
Bukti. Andaikan p = 2m − 1. Asumsikan bahwa satu-faktorisasi terdiri dari
cycle Ck dengan panjang k yang terdapat pada gabungan dua satu-faktor Fh dan
Fi , untuk h < i dan h, i ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Andaikan z = i − h, dibagi menjadi
dua kasus.
Kasus 1 : Ck terdiri dari verteks ∞. Tetangga dari ∞ adalah h dan i. Verteks
konsekutif sepanjang cycle Ck adalah : ∞, i, h−z, i+2z, h−3z, i+4z, h−5z, ..., i+
(k − 2)z, ∞, dengan k adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian
hingga i + (k − 2)z ≡ h (mod p) (ekiuvalen ke (k − 1)z ≡ 0 (mod p). Karena
0 < z < p dan Klaim 3.6.1 maka gcd(k − 1, p) = k − 1.
Kasus 2 : Ck tidak terdiri dari ∞. Andaikan h + z adalah verteks di Ck . Maka
x 6= 0 dan tetangga dari h + x adalah h + z, h − x, i + z + x, h − 2z − x, i + 3z +
x, h − 4z − x, ..., h − (k − 2)z − x, h + z, dengan k adalah bilangan bulat positif
genap sedemikian hingga h − (k − 2)z − x ≡ i + z − x (mod p). Sama halnya
dengan kasus 1, karena 0 < z < p dan Klaim 3.6.1 oleh sifat ekiuvalen dari kz ≡ 0
(mod p) maka gcd(k, p) = k/2.
Untuk membuktikan syarat cukup, pertama anggap bahwa k < 2n dan k/2|p.
Maka k ≡ 2(mod 4). Untuk menemukan suatu cycle dengan panjang k, ambil
p
. Andaikan l adalah panjang dari
dua satu-faktor F0 dan Fi , dengan i =
k/2
cycle yang tidak terdiri dari ∞ pada gabungan F0 dan Fi . Hitung kembali Kasus
2, l adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian hingga li ≡ 0 (mod
Universitas Sumatera Utara
17
lp
≡ 0 (mod p), selanjutnya karena k/2 ganjil, l = k. Hal yang
k/2
sama untuk sebarang k ≤ 2m genap dengan k − 1|p, dua satu-faktor F0 dan Fi
p
. Jika l adalah panjang dari suatu cycle yang terdiri
diperoleh, dengan j =
k−1
dari ∞, oleh Kasus 1, l adalah bilangan bulat positif genap terkecil sedemikian
p). Maka
hingga (l − 1)j ≡ 0 (mod p). Maka l = k.
Berikut ini diberikan hasil yang ekiuvalen dengan Lemma 3.6.1 di atas.
Akibat 3.6.4 Untuk m ≥ 3 dan k ≥ 4 genap, satu-faktorisai K2m adalah bebas
k-cycle jika dan hanya jika k/2 6 | 2m − 1 atau k − 1 6 | 2m − 1.
Akibat 3.6.5 Andaikan r adalah faktor prima terkecil dari 2m − 1. Jika r ≥ 5,
maka satu-faktorisasi dari K2 m adalah (r − 1) < − cycle bebas.
Diketahui bahwa satu-faktorisasi dari K2m adalah sempurna jika dan hanya
jika m bilangan prima, (Anderson, 1973). Lemma berikut merupakan sifat satufaktorisasi dari K2m .
Lemma 3.6.6 Untuk m ≥ 3 ganjil dan k genap sedemikian hingga 4 ≤ k ≤ 2m,
satu-faktorisasi dari K2m terdiri dari cycle dengan panjang k jika dan hanya jika
k/2 | m.
Bukti. Asumsikan satu-faktorisasi terdiri dari cycle dengan panjang k yang
merupakan gabungan dari dua satu faktor Fi dan Fh , dengan h < i dan h, i ∈
{0, 1, ..., 2m − 2}. Anggap dibagi menjadi tiga kasus.
Kasus 1 : h < i < m−1. Jika konstruksi satu-faktorisasi Km+1 verteks himpunan
bagian V (Km+1 )\{∞} ditempatkan dengan Vp , untuk p = 0, 1, dan selain itu satufaktorisasi Km+1 dibatasi untuk verteks Vp , maka satu-faktorisasi dekat dengan
Km menjadi dekat satu-faktor Fip = {{(i − j)p, (i + j)p } : j = 1, 2, ..., (m − 1)/2}
diperoleh, dengan i = 0, 1, ..., m − 1. Oleh karena itu, Fim ⊂ Fi (satu-faktor K2m
untuk setiap i dan p. Suatu k−cycle mempunyai semua verteks dari salah satu
pada V0 atau pada V1 atau pada keduanya sekaligus. Pada kasus sebelumnya, k ≡
2(mod 4) dan k−cycle yang terdiri dari dua path dengan panjang k/2 − 1 (salah
satunya dengan semua verteks pada V0 dan yang lainnya verteks pada V1 ) bersama
dengan edge (h0, h1 ) pada Fh dan (i0, i1) pada Fi. Dua path ini bergabung dengan suatu path dengan verteks akhir h dan i yang termasuk dalam cycle yang
Universitas Sumatera Utara
18
panjangnya k/2 + 1 (terdiri dari verteks ∞) melalui induksi satu-faktor dengan
memberi indeks pada h dan i pada satu-faktorisasi Km+1 . Maka oleh Kasus I
pada Lemma 3.6.3, gcd(k/2, m) = k/2.
Kasus 2 : h < m ≤ i, anggap dibagi menjadi dua subkasus.
2.A : h0 bukan verteks pada k−cycle. Maka h1 juga bukan verteks pada k−cycle.
Diketahui bahwa panjang k−cycle merupakan pembagi 4. Andaikan (h + x)0
merupakan verteks pada k−cycle untuk x 6= 0. Maka tetangga (h + x)0 adalah
(h + x)0 dan (h + x + i + 1)1 . Verteks konsekutif pada k−cycle adalah (h +
x)0 , (h + x + i
+ 1)1 , (h − x −i − 1)1 , (h − x − 2i − 2)0 , (h + x + 2i + 2)0 , (h +
x + 3i + 3)1 , ..., h − x −
k(i+1)
2
, (h + x)0, dengan k adalah bilangan bulat positif
≡ h − x (mod m). Karena
genap terkecil sedemikian hingga h − x − k(i+1)
2
0
m < i + 1 < 2m, oleh sifat ekuivalen di atas k2 (i + 1) ≡ 0 (mod m) dan Klaim
3.6.1 maka gcd(k/2, m) = k/2.
2.B : h0 adalah verteks pada k−cycle. Maka h1 juga ada pada k−cycle. Diketahui bahwa k ≡ 2 (mod 4). Tetangga dari h0 adalah h1 dan (h + i + 1)1. Verteks
konsekutif pada k−cycle adalah h0 , (h
, (h − i − 1)1 , (h − 2i − 2)0 , (h +
+ i + 1)1
2i + 2)0 , (h + 3i + 3)1, (h − 3i − 3)1, ..., h +
k(i+1)
2
, h0 , dengan k adalah bilangan
k(i+1)
bulat positif genap terkecil sedemikian hingga h + 2
≡ h (mod m). Sama
1
halnya dengan kasus sebelumnya, karena m < i + 1 < 2m, oleh Klaim 3.6.1 maka
gcd(k/2, m) = k/2.
Kasus 3 : m ≤ h < i. Tetangga y0 adalah (y + h + 1)1 dan (y + i + 1)1 . Verteks
konsekutif pada k−cycle y0, (y + i + 1)1 , (y + i − h)0 , (y + 2i − h + 1)1 , (y + 2i −
ki−(k−2)h+2)
ki−(k−2)h+2)
2h)0 , ..., y +
≡ y + h + 1 (mod m)
, y0, dengan y +
2
2
1
dan Klaim 3.6.1 maka gcd(k/2, m) = k/2.
Untuk syarat cukup, anggap bahwa k ≤ 2m dan k/2|m. Untuk menemukan cycle
dengan panjang k, ambil satu-faktor Fm dan Fi sedemikian hingga i = m +
m
.
k/2
Jika l adalah panjang cycle dari gabungan Fm dan Fi , maka l adalah bilangan
bulat genap terkecil sedemikian hingga 2l (i − m) ≡ 0 (mod m). Maka
lm
2k/2
≡0
(mod m), l = k.
Berikut ini diberikan hasil yang ekiuvalen dengan Lemma 3.6.6.
Akibat 3.6.7 Untuk m ≥ 3 ganjil dan k ≥ 4 genap, satu-faktorisai K2m adalah
bebas k-cycle jika dan hanya jika k/2 6 | m.
Universitas Sumatera Utara
19
Akibat 3.6.8 Andaikan m ≥ 3 ganjil. Andaikan r adalah faktor prima terkecil
dari m. Maka satu-faktorisasi dari K2 m adalah (2r − 2) < − cycle bebas.
Hasil di atas memenuhi untuk membangun satu-faktorisasi K2m bebas k−cycle
dengan m genap dan k 6≡ 4 (mod 8).
Lemma 3.6.9 Untuk m ≥ 4 genap dan k ≥ 6 genap sedemikian hingga k 6≡
4(mod 8), jika terdapat satu-faktorisai bebas k-cycle pada Km , maka satu-faktorisasi
bebas k-cycle pada K2m memenuhi.
Bukti. Asumsikan bahwa satu-faktorisasi F bebas k-cycle dari Km diberikan.
andaikan H adalah gabungan dua satu-faktor Fh dan Fi pada satu-faktorisasi
K2m , dengan h < i dan h, i ∈ {0, 1, ..., 2m − 2}. Jika keduanya h, i < m − 1, maka
H tidak mempunyai cycle dengan panjang k karena semua cycle di H merupakan penggandaan dari cycle-cycle yang diperoleh dari satu-faktorisasi F pada
Km yang merupakan bebas k-cycle. Jika i = m − 1 atau h = m − 1, maka
setiap cycle di H mempunyai panjang 4. Selanjutnya asumsikan i ≥ m. Jika
i − h = m, maka setiap cycle di H juga mempunyai cycle dengan panjang 4.
Sebaliknya i − h 6= m. Dicatat bahwa setiap cycle di H terhubung ke suatu cycle pada gabungan satu-faktor Fh dan Fi−m pada Km . Andaikan l dinotasikan
sebagai cycle dengan panjang l pada Fh ∪ Fi−m dengan verteks v 1 , v 2, v 3, ..., v l.
Anggap bahwa h < m − 1. Cycle dengan panjang l terhubung ke l′-cycle (jika
l ≡ 0 (mod 4)) dengan panjang l atau ke l”-cycle (jika l ≡ 2 (mod 4)) dengan panjang 2l di H, verteks l′-cycle adalah v01 , v02, v03, v04, ..., v1l−1, v1l , verteks l”cycle v01, v02, v13, v14, ..., v0l−1, v0l , v1l+1 , v1l+2, ..., v12l−1, v12l. Pada kasus sebelumnya, oleh
asumsi k 6= 2l. Anggap kasus terakhir m ≤ h. Maka l-cycle terhubung dengan cycle lm -cycle di H dengan panjang sama dengan l. Maka Km adalah bebas k-cycle,
k 6= l pernyataan memenuhi.
Lemma 3.6.10 Untuk m ≥ 4 genap dan k ≥ 12 sedemikian hingga k ≡ 4(mod 8),
jika terdapat satu-faktorisasi bebas {k/2, k}-cycle pada Km , maka satu-faktorisasi
{k/2, k}-cycle pada K2m memenuhi.
Bukti. Pembuktian Lemma 3.6.7 mengikuti Lemma 3.6.6. Dengan mengasumsikan satu-faktorisai Km tidak terdiri dari cycle dengan panjang l sedemikian
Universitas Sumatera Utara
20
hingga l ≡ 2 (mod 4). Maka oleh pembuktian Lemma 3.6.6, setiap cycle dalam
satu-faktorisasi K2m mempunyai panjang 4 atau sama dengan panjang cycle yang
terhubung pada satu-faktorisasi pada Km .
Dari hasil yang diperoleh sebelumnya, maka teorema berikut memberikan
syarat perlu dari satu-faktorisasi K2m bebas k−cycle.
Teorema 3.6.11 Untuk setiap m dan setiap k ≥ 4 genap sedemikian hingga
k 6= 2m, graph lengkap K2m mempunyai satu-faktorisasi bebas k−cycle.
Bukti. Andaikan 2λ0 pλ1 1 pλ2 2 ...pλww adalah faktorisasi prima dari k ke faktor nontrivial, λj ≥ 1 untuk setiap pj dan p1 < p2 < ... < pw . Karena k genap, λ0 ≥ 1.
Jika k ≥ 2m, oleh Klaim 3.6.2 pernyataan benar. Maka, hasil trivial untuk m = 4.
Andaikan k < 2m, untuk induksi asumsikan bahwa satu-faktorisasi bebas k−cycle
dari K2m ada untuk setiap r sedemikian hingga 2 ≤ r < m dan 2r 6 k. Anggap
dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1 : k/2 6 | m. Untuk m ganjil oleh Akibat 3.6.7, satu-faktorisasi adalah
bebas k−cycle. Asumsikan m genap. Jika λ0 6= 2, maka untuk menemukan satufaktorisasi K2m gunakan Lemma 3.6.9. Anggap kasus λ0 = 2. Diketahui bahwa
k > 4 karena sebaliknya k/2 = 2 | m. Andaikan x = max{y : gcd(2y , m) = 2y }.
Maka k 6= m/2y untuk setiap y ≤ x. Andaikan m′ = m/2x . Diketahui bahwa
k/2 6 |m′ dan k/4 6 |m′ . Maka satu-faktorisasi diperileh, oleh Lemma 3.6.10 satufaktorisasi dari K4m′ , K8m′ , ..., K2m adalah bebas {k/2, k}−cycle.
Kasus 2 : k/2 | m. Untuk setiap j = 1, 2, ..., w, pj | m dan pj 6 |2m − 1. Maka
gcd(k/2, 2m − 1) = 1. Jika gcd(k − 1, m − 1) < k − 1, oleh Akibat 3.6.4 satufaktorisasi K2m adalah bebas k−cycle. Anggap kasus sebaliknya gcd(k − 1, m −
2m − 1
1) = k − 1. Andaikan f faktor nontrivial faktor dari 2m − 1 dan e =
.
f
Maka e ≥ f ≥ 3 dan gcd(e, (f − 1)/2) = 1. Selain itu, karena gcd(k/2, ef) = 1,
gcd(k/2, e) = 1, dan f 6 |k/2 maka k 6≡ 0 (mod 2f). Tujuannya adalah untuk
menunjukkan bahwa e 6= k − 1. Anggap sebaliknya bahwa e = k − 1. Maka
2m − 1 = ef = (k − 1)f dan karena m = z k2 untuk beberapa bilanga bulat z,
k(f − z) = f − 1. Maka k adalah pembagi dari f − 1 yang mana f ≥ k + 1 = e + 2,
kontradiksi dengan fakta bahwa f adalah faktor terkecil dari 2m−1. Oleh induksi
diasumsikan terdapat satu-faktorisasi bebas k−cycle dari Ke+1 .
Universitas Sumatera Utara
21
Teorema 3.6.12 Andaikan 2m 6= p + 1, dengan p prima, atau 2m 6≡ 6, 12, 18
(mod 24). Maka graph lengkap K2m mempunyai satu-faktorisasi bebas 2m−cycle.
Bukti. Andaikan 2m 6= p+1 untuk setiap p prima. Andaikan f faktor prima dari
2m − 1
. Jika 2m ≡ 2, 4 (mod 6), maka diperoleh satu-faktorisasi
2m − 1 dan e =
f
dengan orde 2m adalah bebas 2m−cycle. Faktanya gabungan sebarang dua satufaktor terdiri dari cycle dengan panjang k. Jika 2m ≡ 0 (mod 8), maka m genap.
Oleh Klaim 3.6.2 satu-faktorisasi dari Km adalah bebas 2m−cycle.
Pada kenyataannya permasalahan satu-faktorisasi K2m bebas k−cycle ketika
k = 2m hanya sebagian saja yang dapat diselesaikan. Sebaliknya untuk satufaktorisasi sempurna, jika 2m = p+1 dengan p prima merupakan yang paling sulit
untuk membentuk satu-faktorisasi K2m bebas 2m−cycle. Namun untuk setiap
orde 2n 6≡ 2 (mod 4), satu-faktorisasi K2m bebas 6 < −cycle dapat dibentuk,
(Meszka, 2009).
Teorema 3.6.13 Untuk setiap m ≥ 5 ganjil, terdapat satu-faktorisasi dari K2m
bebas 6 < −cycle.
Bukti. Andaikan q adalah faktor prima terkecil dari m. Jika q ≥ 5, maka satufaktorisasi dari K2m oleh Akibat 3.6.8 adalah bebas 8 < −cycle. Oleh karena
itu, asumsikan q = 3 diperoleh 3 6 |2m − 1. Jika 5 bukan faktor dari 2m − 1,
maka satu-faktorisasi K2m , oleh Akibat 3.6.5 adalah bebas 6 < −cycle. Andaikan
2m − 1 = r1r2 ...rv adalah faktorisasi prima dari 2m − 1 ke faktor non-trivial
dengan 5 = r1 ≤ r2 ≤ ... ≤ rv dan v ≥ 2. Diketahui bahwa untuk rv ≥ 7
terdapat satu-faktorisasi dari Krv +1 bebas 6 < −cycle, oleh Akibat 3.6.5 satufaktorisasi tersebut dapat disubstitusikan untuk memperoleh satu-faktorisasi dari
Kv+1 . Sebaliknya jika rv = 5 dan 2m − 1 = 5x untuk x ≥ 2. Andaikan satufaktorisasi dari K52 +1 sempurna, maka pada tahap selanjutnya jika rv = 5 dengan
induksi diperoleh satu-faktorisasi bebas 6 < −cycle untuk graph dengan orde 2m.
Berikut diberikan contoh satu-faktor dari satu-faktorisasi bebas 18-cycle dari
K18 .
Contoh 9 : Diketahui V (K18 ) = {1, 2, 3, ..., 18}, maka satu-faktorisasi bebas 18cycle dari K18 adalah
Universitas Sumatera Utara
22
1,2
3,4
5,6
7,8
9,18
10,11
12,13
14,15
16,17
1,3
2,4
5,8
6,9
7,16
10,12
11,13
14,17
15,18
1,4
2,3
5,14
6,7
8,9
10,13
11,12
15,16
17,18
1,5
2,6
3,7
4,9
8,17
10,14
11,15
12,16
13,18
1,6
2,5
3,12
4,8
7,9
10,15
11,14
13,17
16,18
1,7
2,8
3,9
4,5
6,15
10,16
11,17
12,18
13,14
1,8
2,7
3,6
4,13
5,9
10,17
11,16
12,15
14,18
1,9
2,11
3,5
4,7
6,8
10,18
12,14
13,16
15,17
1,10
2,9
3,8
4,6
5,7
11,18
12,17
13,15
14,16
1,11
2,10
3,13
4,12
5,15
6,17
7,18
8,16
9,14
1,12
2,18
3,17
4,10
5,16
6,13
7,14
8,15
9,11
1,13
2,12
3,11
4,16
5,10
6,14
7,15
8,18
9,17
1,14
2,15
3,16
4,18
5,17
6,11
7,12
8,13
9,10
1,15
2,14
3,18
4,17
5,11
6,10
7,13
8,12
9,16
1,16
2,13
3,10
4,11
5,12
6,18
7,17
8,14
9,15
1,17
2,16
3,14
4,15
5,18
6,12
7,11
8,10
9,13
1,18
2,17
3,15
4,14
5,13
6,16
7,10
8,11
9,12
Gambar 3.10 : Satu-faktorisasi K18 bebas 18−cycle
Dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya diperoleh bahwa
tidak mungkin untuk membangun satu-faktorisasi bebas k < − cycle untuk semua
orde 2m ≥ k ≥ 6. Namun oleh Akibat 3.6.5, satu-faktorisasi dari K2m adalah
bebas k < −cycle untuk setiap orde 2m sedemikian hingga faktorisasi prima dari
2m − 1 tidak terdiri dari suatu faktor lebih kecil dari k. Andaikan m ≥ 3 dan
r ≥ 5, l =max{r1 − 1, 2r2 − 2} denga