Modifikasi Baris Dari Matriks Sparse Faktorisasi Cholesky
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE
FAKTORISASI CHOLESKY
TESIS
Oleh
RAHAWARNI SRI RIZKI
117021028/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE
FAKTORISASI CHOLESKY
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RAHAWARNI SRI RIZKI
117021028/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Judul Tesis
: MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS
SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY
Nama Mahasiswa : Rahawarni Sri Rizki
Nomor Pokok
: 117021028
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc )
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2013
Telah diuji pada
Tanggal 5 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota
:
:
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Sutarman, M.Sc
3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI
CHOLESKY
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Juni 2013
Penulis,
Rahawarni Sri Rizki
i
ABSTRAK
Mengingat matriks jarang, matriks simetris definit positif C dan faktorisasi Cholesky jarang LDLT sangat erat hubungannya, maka penyelesaian masalah faktorisasi
Cholesky dapat dikembangkan dengan suatu teknik updating setelah memodifikasi
baris dan kolom pada matriks simetris C. Dalam tesis ini, Peneliti menganalisis
teknik modifikasi faktorisasi Cholesky pada C berhubungan dengan rank-2 yang
dapat dikomputasi secara efisien menggunakan teknik rank-1 yang berkembang
sebelumnya. Menghitung bagaimana solusi dari suatu persaman linier Lx = b
setelah merubah baris dan kolom pada C atau setelah merubah rank-r pada C.
Kata kunci: Aljabar linear numerik, Metode langsung, Faktorisasi Cholesky,
Matriks jarang, Update matriks.
ii
ABSTRACT
Given the sparse matrix, symmetric positive definite matrix C and sparse Cholesky
factorization LDLT are closely related, then the Cholesky factorization problem
solving can be developed with a technique of updating after modifying rows and
columns on a symmetric matrix C. In this thesis, researchers analyzed the Cholesky factorization technique modification on C associated with rank–2 which can
be efficiently computed using rank–1 technique developed previously. Calculate how
a solution of a linear equation Lx = b after changing rows and columns on C or
after a rank–r change in C.
Keyword: Numerical linear algebra, Direct method, Cholesky factorization
sparse matrix, Update the matrix.
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayat
yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara sekaligus penguji I, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika
di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing
utama, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis
ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, yang juga sebagai penguji II yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA
Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ibunda dan ayahanda tercinta, Mary Untung Pohan, BA dan Alm. Anwar Siregar,BA serta keluarga tercinta, suami : Ali Ahmad Ependi Nasution, Adik : Mira Kurniati Siregar, Yudith Indra Malaon Siregar serta
Wiyana Levi Santi Siregar yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan
baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian
tesis ini.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 Ganjil, dan semua pihak
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah SWT
membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2013
Penulis,
Rahawarni Sri Rizki
v
RIWAYAT HIDUP
Rahawarni Sri Rizki, dilahirkan di Sipirok, Tapanuli Selatan pada tanggal
16 Maret 1968, merupakan anak tungga dari Mary Untung Pohan, BA dan Alm.
Anwar Siregar,BA. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD
Negeri 2 Padang Sidempuan pada tahun 1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP)
di SMPN 1 Padang Sidempuan pada tahun 1984, dan Sekolah Menengah Atas
(SMA) di SMA Negeri 2 Padang Sidempuan pada tahun 1987.
Pada tahun 1988 penulis melanjutkan pendidikan Strata-1 pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Kimia di
IKIP Medan dan melanjut pada tingkatan Strata-1 pada Fakultas Keguruan dan
Ilmu Pendidikan jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muslim Nusantara,
dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2000. Pada September 2011
penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA
Universitas Sumatera Utara. Saat ini penulis, bertugas sebagai tenaga pengajar
pada Sekolah SMPN 1 Percut Sei Tuan yang dimulai pada tahun 2003.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
2
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 LANDASAN TEORI
6
3.1 Matriks Jarang (Sparse)
6
3.2 Rank Matriks
6
3.3 Faktorisasi Cholesky
7
3.4 Faktorisasi Cholesky Sparse
7
3.5 Modifikasi Faktorisasi Cholesky
8
vii
3.6 Metode C1
9
BAB 4 MODIFIKASI BARIS DAN KOLOM MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY
10
4.1 Penambahan Baris dan Kolom pada Matriks C
10
4.2 Penambahan Baris Sparse (Matriks Jarang)
13
4.3 Menghapus Baris
15
4.4 Menghapus Baris Sparse
17
4.5 Memodifikasi Sembarang Baris
18
4.6 Membuat Pertukaran Sparse ke Baris Sparse Lain
19
4.7 Memodifikasi Baris Rank-2 Outer-Product
21
4.8 Memodifikasi Sistem Segitiga Bawah
22
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
26
5.1 Kesimpulan
26
5.2 Saran
26
DAFTAR PUSTAKA
27
viii
FAKTORISASI CHOLESKY
TESIS
Oleh
RAHAWARNI SRI RIZKI
117021028/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE
FAKTORISASI CHOLESKY
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RAHAWARNI SRI RIZKI
117021028/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Judul Tesis
: MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS
SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY
Nama Mahasiswa : Rahawarni Sri Rizki
Nomor Pokok
: 117021028
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc )
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2013
Telah diuji pada
Tanggal 5 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota
:
:
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Sutarman, M.Sc
3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI
CHOLESKY
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Juni 2013
Penulis,
Rahawarni Sri Rizki
i
ABSTRAK
Mengingat matriks jarang, matriks simetris definit positif C dan faktorisasi Cholesky jarang LDLT sangat erat hubungannya, maka penyelesaian masalah faktorisasi
Cholesky dapat dikembangkan dengan suatu teknik updating setelah memodifikasi
baris dan kolom pada matriks simetris C. Dalam tesis ini, Peneliti menganalisis
teknik modifikasi faktorisasi Cholesky pada C berhubungan dengan rank-2 yang
dapat dikomputasi secara efisien menggunakan teknik rank-1 yang berkembang
sebelumnya. Menghitung bagaimana solusi dari suatu persaman linier Lx = b
setelah merubah baris dan kolom pada C atau setelah merubah rank-r pada C.
Kata kunci: Aljabar linear numerik, Metode langsung, Faktorisasi Cholesky,
Matriks jarang, Update matriks.
ii
ABSTRACT
Given the sparse matrix, symmetric positive definite matrix C and sparse Cholesky
factorization LDLT are closely related, then the Cholesky factorization problem
solving can be developed with a technique of updating after modifying rows and
columns on a symmetric matrix C. In this thesis, researchers analyzed the Cholesky factorization technique modification on C associated with rank–2 which can
be efficiently computed using rank–1 technique developed previously. Calculate how
a solution of a linear equation Lx = b after changing rows and columns on C or
after a rank–r change in C.
Keyword: Numerical linear algebra, Direct method, Cholesky factorization
sparse matrix, Update the matrix.
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayat
yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara sekaligus penguji I, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika
di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing
utama, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis
ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, yang juga sebagai penguji II yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA
Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ibunda dan ayahanda tercinta, Mary Untung Pohan, BA dan Alm. Anwar Siregar,BA serta keluarga tercinta, suami : Ali Ahmad Ependi Nasution, Adik : Mira Kurniati Siregar, Yudith Indra Malaon Siregar serta
Wiyana Levi Santi Siregar yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan
baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian
tesis ini.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 Ganjil, dan semua pihak
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah SWT
membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2013
Penulis,
Rahawarni Sri Rizki
v
RIWAYAT HIDUP
Rahawarni Sri Rizki, dilahirkan di Sipirok, Tapanuli Selatan pada tanggal
16 Maret 1968, merupakan anak tungga dari Mary Untung Pohan, BA dan Alm.
Anwar Siregar,BA. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD
Negeri 2 Padang Sidempuan pada tahun 1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP)
di SMPN 1 Padang Sidempuan pada tahun 1984, dan Sekolah Menengah Atas
(SMA) di SMA Negeri 2 Padang Sidempuan pada tahun 1987.
Pada tahun 1988 penulis melanjutkan pendidikan Strata-1 pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Kimia di
IKIP Medan dan melanjut pada tingkatan Strata-1 pada Fakultas Keguruan dan
Ilmu Pendidikan jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muslim Nusantara,
dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2000. Pada September 2011
penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA
Universitas Sumatera Utara. Saat ini penulis, bertugas sebagai tenaga pengajar
pada Sekolah SMPN 1 Percut Sei Tuan yang dimulai pada tahun 2003.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
2
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 LANDASAN TEORI
6
3.1 Matriks Jarang (Sparse)
6
3.2 Rank Matriks
6
3.3 Faktorisasi Cholesky
7
3.4 Faktorisasi Cholesky Sparse
7
3.5 Modifikasi Faktorisasi Cholesky
8
vii
3.6 Metode C1
9
BAB 4 MODIFIKASI BARIS DAN KOLOM MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY
10
4.1 Penambahan Baris dan Kolom pada Matriks C
10
4.2 Penambahan Baris Sparse (Matriks Jarang)
13
4.3 Menghapus Baris
15
4.4 Menghapus Baris Sparse
17
4.5 Memodifikasi Sembarang Baris
18
4.6 Membuat Pertukaran Sparse ke Baris Sparse Lain
19
4.7 Memodifikasi Baris Rank-2 Outer-Product
21
4.8 Memodifikasi Sistem Segitiga Bawah
22
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
26
5.1 Kesimpulan
26
5.2 Saran
26
DAFTAR PUSTAKA
27
viii