Pelabelan Super Edge Magic Pada Kite Cycle Graph
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE
GRAPH
SKRIPSI
EDWARD MP SIMAMORA
050803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010
Universitas Sumatera Utara
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE
GRAPH
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
EDWARD MP SIMAMORA
050803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA
KITE CYCLE GRAPH
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: EDWARD MP SIMAMORA
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803032
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Juli 2010
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si
Dra. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19560303 194803 1 004
NIP. 19630405 198811 2 001
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE GRAPH
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2010
EDWARD MP SIMAMORA
050803032
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yesus Kristus atas semua yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tulisan ini.Terpujilah Tuhan.
Penulis juga berterimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyelesaian tulisan ini.Pertama-tama saya megucapkan terimakasih
kepada ibu Dra.Mardiningsih,M.Si dan bapak Drs.Ujian Sinulingga,M.Si yang telah
memberikan banyak masukan dan saran kepada penulis selama dalam pengerjaan
tulisan ini.Penulis juga berterimakasih kepada bapak Drs.H Haluddin Panjaitan
dan bapak Syahril Efendi,S.Si,M.IT sebagai dosen penguji penulis ,yang telah
memberikan masukan kepada penulis.Penulis juga berterimakasih kepada bapak
Dr.Saib Suwilo,M.Sc selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU yang
telah memberikan izin untuk mengerjakan tulisan ini.Penulis juga berterima kasih
kepada seluruh dosen dan pegawai departemen matematika FMIPA USU yang
telah membantu penulis selama menjalani pendidikan.
Penulis juga menyampaikan ucapan terimakasih yang sebesar besarnya kepada kedua orang tua saya M.Simamora dan J.br Siregar yang telah memberi bantuan kepada saya baik moril maupun materil dan yang tetap bersabar dalam kesusahan selama saya dalam masa pendidikan. Begitu pula kepada adik saya Lismawanti Simamora yang selalu setia menemani kedua orang tua saya.Penulis juga
mengucapkan terimakasih kepada seluruh teman-teman stambuk 2005 tanpa terkecuali.Dan kepada seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penulisan
skripsi ini.God bless us.
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Graph G = (V, E) disebut sebagai super edge magic jika terdapat pemetaan satusatu λ dari V ∪ E pada {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} sehingga λ(V ) = {1, 2, . . . , |V |} dan
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k dimana k adalah suatu bilangan konstanta ajaib untuk
setiap edge xy. Dalam tulisan ini, akan dikaji bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge
magic graf untuk n = genap, serta untuk sebuah graf G = (n, 2) kite adalah super
edge magic juga untuk n = genap.
Universitas Sumatera Utara
v
Super Edge Magic Labelling On Kite Cycle Graph
ABSTRACT
A Graph G(V, E) is called super eege-magic if there exists a one-to-one map λ
from V ∪ E onto {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} such that λ(V ) = {1, 2, 3, . . . , |V |} and
λ(x) + λ(xy) +λ(y) = k is constant for every edge xy. In this paper, we investigate
K2 ∪Cn is a super edge magic graph if n = even, anda also we investigate G = (n, 2)
kite is super edge magic graph if n = even.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Pembatasan Masalah
Tujuan Penelitian
Tinjauan Pustaka
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
1
2
2
3
3
4
4
2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
5
Konsep Dasar Graf
Jenis-jenis Graf
Terminologi Dasar
Pemetaan
Pelabelan Graf
5
8
11
14
15
3. PEMBAHASAN
19
3.1. Pembuktian G = (n, 2), kite adalah super edge magic graf.
3.2. K2 ∪ Cn adalah super edge magic graf
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
19
22
32
32
32
33
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Graf
5
2.2
Simple Graf
6
2.3
Graf Kosong
7
2.4
Graf (7,8)
7
2.5
Graf Berarah dan Graf-Ganda Berarah
9
2.6
Graf Lengkap
10
2.7
Graf Teratur
10
2.8
Graf Bipartite
10
2.9
Graf
11
2.10 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
13
2.11 Gabungan Graf
13
2.12 Pemetaan Satu-satu
14
2.13 Pemetaan Korespondensi Satu-satu
15
2.14 edge magic vertex labeling
16
2.15 vertex magic total labeling
17
2.16 vertex magic edge labeling
17
2.17 edge magic total labeling
18
3.1
Graf untuk n = 12
20
3.2
Graf untuk n = 16
22
3.3
Graf untuk n = 12
24
3.4
Graf untuk n = 18
25
3.5
Graf untuk n = 14
27
3.6
Graf untuk n = 20
28
3.7
Graf untuk n = 16
29
3.8
Graf untuk n = 22
30
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Graph G = (V, E) disebut sebagai super edge magic jika terdapat pemetaan satusatu λ dari V ∪ E pada {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} sehingga λ(V ) = {1, 2, . . . , |V |} dan
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k dimana k adalah suatu bilangan konstanta ajaib untuk
setiap edge xy. Dalam tulisan ini, akan dikaji bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge
magic graf untuk n = genap, serta untuk sebuah graf G = (n, 2) kite adalah super
edge magic juga untuk n = genap.
Universitas Sumatera Utara
v
Super Edge Magic Labelling On Kite Cycle Graph
ABSTRACT
A Graph G(V, E) is called super eege-magic if there exists a one-to-one map λ
from V ∪ E onto {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} such that λ(V ) = {1, 2, 3, . . . , |V |} and
λ(x) + λ(xy) +λ(y) = k is constant for every edge xy. In this paper, we investigate
K2 ∪Cn is a super edge magic graph if n = even, anda also we investigate G = (n, 2)
kite is super edge magic graph if n = even.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian saat ini, karena model - model yang ada pada teori graf berguna untuk aplikasi yang luas.
Walaupun teori graf berasal dari bidang ilmu matematika namun dalam pengaplikasiannya teori graf dapat dihubungkan dengan berbagai bidang ilmu dalam
kehidupan sehari hari. Sedemikian banyaknya pengaplikasian graf dalam dunia
ini, sehingga tidak ada habis-habisnya jika dibahas setiap aplikasi graf, karena setiap bidang ilmu dapat dikaitkan dengan graf seperti masalah jaringan komunikasi,
transportasi, ilmu komputer, riset operasi, ilmu kimia, sosiologi, kartographi dan
lain sebagainya.
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya
berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh vertex atau edge serta himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Hingga saat ini pemanfaatan teori
pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer,
dan pemancar frekuensi radio.
Dalam pelabelan juga telah banyak mengalami perkembangan baik dari bentuk pelabelannya maupun dari bentuk graf yang dilabeli. Dari bentuk pelabelannya, ada yang disebut pelabelan super edge magic ,edge magic, pelabelan total
edge magic ataupun pelabelan super total edge magic
Pelabelan Total edge magic pada graf G dengan himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G) adalah suatu pemetaan satu-satu pada λ dari V (G) ∪ E(G) ke
Utara
himpunan {1, 2, . . . , |V (G) ∪ E(G)|} yang mempunyaiUniversitas
sifat bahwaSumatera
untuk setiap
2
edge {x, y} di G, berlaku λ(x) + λ ({x, y}) + λ(y) = k, untuk suatu konstanta
tetap k. Sedangkan disebut pelabelan super edge magic jika λ(V ) = {1, 2, . . . , v}
dan λ{E} = {v + 1, v + 2, . . . , v + e}.
Pelabelan pertama kali diperkenalkan oleh Sadlack(1964),kemudian Stewart
(1966). Sedangkan untuk pelabelan yang Berhubungan dengan Magic value pertama kali diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa (1970) dalam jurnalnya Magic valuation Of finite graph. Sejak saat itu hingga kini penelitian mengenai edge magic
masih hangat untuk diteliti.
Kite graph adalah Graf G ∗ Pm dimana G adalah graf terhubung dan Pm
adalah lintasan dengan m vertex sehingga vertex akhir di Pm adalah vertex di G.
Sedangkan jika graf G dengan v vertex dan e edge diberi label 1 hingga (v + e)
demikian sehingga apabila setiap label edge dan dua buah vertex yang adjasen
pada edge tersebut dijumlahkan menghasilkan jumlah yang sama, maka graf Graf
G disebut edge magic graf.
W.D Wallis Telah menunjukkan bahwa G+(n, 1), kite adalah super edge magic jika n adalah genap.dalam tulisan ini akan ditunjukkan bahwa G = (n, 2), kite
adalah super edge magic. W.D Wallis juga menunjukkan bahwa K2 ∪ C3 bukan
super edge magic tetapi K2 ∪ C4 adalah super edge magic.
1.2 Perumusan Masalah
Yang menjadi permasalahan dalam studi ini adalah apakah Graf G = (n, 2),
kite dan Graf K2 ∪ Cn adalah super edge magic atau tidak jika n adalah genap.
1.3 Pembatasan Masalah
Dalam tulisan ini semua graf diasumsikan adalah graf sederhana, dan tak
berarah. Serta graf yang diteliti adalah graf cycle dan kite graph.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Yang menjadi tujuan dalam penelitian ini adalah untuk mengkaji bahwa graf
G = (n, 2), kite dan graf K2 ∪ Cn adalah pelabelan super edge magic.
1.5 Tinjauan Pustaka
Sebagai pendukung teori dalam penulisan studi ini, penulis menggunakan
beberapa buku dan jurnal, antara lain :
Narsingh Deo,1980 pada bukunya menyatakan bahwa graf G = (V, E) terdiri
dari himpunan V = {v1, v2, . . . , } yang disebut vertex, dan himpunan lain E =
{e1, e2, . . .} dan disebut edge.
Tereza Kovarova, pada jurnalnya menyatakan pelabelan adalah sebuah pemetaan dimana domainnya adalah himpunan beberapa elemen graf, himpunan
dari vertex atau himpunan semua vertex dan edge, dimana himpunan tersebut
adalah bilangan bulat positif.
Anton Kotzig dan Alexander Rosa, 1970. Sebuah graf G(m, n) dikatakan
memiliki nilai ajaib (M-valuation), dengan konstanta c jika terdapat pemetaan
satu-satu f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, . . . , m +n} sehingga f(a) +f(b) +f ([a, b]) = C
untuk semua [a, b] ∈ E(G).
Kristina Wijaya dan Edi Tri Baskoro, 2008 pada jurnalnya menyatakan bahwa Pelabelan Total edge magic pada graf G dengan himpunan vertex V (G) dan
himpunan edge E(G) adalah suatu pemetaan satu-satu pada λ dari V (G) ∪ E(G)
ke himpunan {1, 2, . . . , |V (G) ∪ E(G)|} yang mempunyai sifat bahwa untuk setiap
edge {x, y} di G, berlaku λ(x) + λ ({x, y})+λ(y) = k, untuk suatu konstanta tetap
k.
Universitas Sumatera Utara
4
1.6 Manfaat Penelitian
Adapun yang menjadi manfaat penelitian ini adalah kiranya dengan tulisan
ini penelitian tentang pelabelan graf bertambah serta sebagai bahan literatur bagi
pembaca yang akan melakukan penelitian tentang pelabelan graf.terutama dalam
pelabelan super edge magic kedepannya.
1.7 Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang akan digunakan dalam studi ini adalah penelitian
literature yaitu mengumpulkan informasi dari beberapa buku dan jurnal yang
berhubungan dengan pengerjaan penelitian ini.Adapun sistematika penulisan yang
akan dikerjakan adalah :
1. Menjelaskan Graf secara umum serta graf Kite dan Cycle serta graf komplit.
2. Menjelaskan Pelabelan secara umum.
3. Menjelaskan pengertian nilai magic, edge magic dan super edge magic
4. Mengkaji bahwa Graf G = (n, 2), kite dan Graf K2 ∪ Cn adalah super edge
magic jika n adalah genap.
5. Memberikan kesimpulan tentang penelitian.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Graf
Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V, E) dengan V adalah himpunan
yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
anggotanya adalah pasangan-pasangan tak berurut dan disebut dengan edge.
Gambaran umum mengenai graf diartikan sebagai diagram, dimana vertex
disajikan berupa vertex dan dinotasikan dengan vi ; i = 1, 2, 3, . . . , m dan edge
disajikan berupa garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua buah
vertex (vi , vj ) dan dapat dinotasikan dengan ei ; i = 1, 2, 3, . . . , n.
Definisi 2.1.1 menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh
kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai edge satu buah pun,
tetapi vertexnya harus minimal ada satu.
Sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 2.1 yaitu :
Gambar 2.1 : Graf
- G1 adalah graf dengan V = {1, 2, 3, 4} dan E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4)}.
- G2 adalah graf dengan V = {1, 2, 3, 4} dan E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4),
(3, 4), (3, 4)} = {e1, e2 , e3, e4, e5, e6, e7 }
Universitas Sumatera Utara
6
- G3 adalah graf dengan V = {1, 2, 3, 4} dan E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3),
(2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3)} = {e1, e2, e3 , e4, e5, e6, e7, e8 }
Definisi 2.1.2 Loop dan Edge Paralel
Sebuah edge yang menghubungkan pasangan vertex yang sama yakni (vi , vj ) disebut
loop dan dua buah atau lebih edge yang mempunyai vertex vertex ujung yang sama
disebut edge-edge yang paralel atau multiple edge. Pada gambar 2.1 dapat dilihat,
gambar G1 tidak memiliki loop maupun edge pararel, sedangkan pada gambar G2
tidak memiliki loop tetapi memiliki edge paralel yaitu e3, e4 dan e1 , e6. Dan pada
gambar G3 memiliki loop yaitu e8 dan edge pararel yaitu e3, e4 dan e1 , e6.
Definisi 2.1.3 Graf Sederhana (Simple Graf)
Simple graf adalah graf yang tidak memuat loop dan edge-edge yang pararel.
Gambar 2.2 : Simple Graf
Definisi 2.1.4 Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah vertex pada graf dikatakan bertetangga bila kedua vertex tersebut terhubung langsung. Atau dapat kita sebut vj bertetangga dengan vk pada graf G jika
(vj , vk ) adalah edge pada sebuah graf G.
Definisi 2.1.5 Bersisian (Incident)
Untuk sembarang edge e = (vj , vk ) dikatakan bersisian dengan vertex vj atau e
bersisian dengan vertex vk .
Universitas Sumatera Utara
7
Definisi 2.1.6 Vertex Terpencil (Isolated Vertex )
Vertex yang tidak memiliki edge yang bersisian dengannya atau tidak bertetangga
dengan vertex lainnya disebut dengan vertex terpencil.
Definisi 2.1.7 Graf Kosong (Null Graf)
Graf yang himpunan edgenya merupakan himpunan kosong (Nn ) disebut graf kosong,
dimana nadalah jumlah vertex.
Gambar 2.3 : Graf Kosong
Definisi 2.1.8 Derajat (Degree)
Derajat dari sebuah vertex vi dalam graf G adalah jumlah edge yang bersisian
dengan vi , dengan loop dihitung dua kali. Bila jumlah edge yang bersisian dengan
jumlah vertex vi adalah n maka degree dari vi adalah n sehingga d(vi ) = n.
Gambar 2.4 : Graf (7,8)
Dari gambar 2.4 maka V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7 } dan E = {e1 , e2, e3, e4, e5, e6 , e7, e8}
dimana;
Universitas Sumatera Utara
8
- Vertex 1 bertetangga dengan vertex 2, 3 dan 4 tetapi tidak bertetangga
dengan vertex 5 dan 6.
- Vertex 5 bertetangga dengan vertex 2 dan 4 tetapi tidak bertetangga dengan
vertex 1, 3, 4 dan 6.
- Edge (1,2) bersisian dengan vertex 1 dan vertex 2.
- Edge (1,4) bersisian dengan vertex 1 dan vertex 4.
- Tetapi edge (3,4) tidak bersisian dengan vertex 1, 2, 5, 6 dan 7.
- Vertex terpencil adalah vertex 7.
- Derajat d(1) = d(2) = d(4) = 3, d(3) = d(5) = 2 dan d(6) = 1 dan d(7) = 0.
2.2 Jenis-jenis Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau edge ganda pada suatu graf, maka
graf digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (Simple Graf )
Graf yang tidak mengandung gelang maupun edge-ganda dinamakan graf
sederhana.
2. Graf tak-sederhana (Unsimple-Graf )
Graf yang mengandung edge ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana
(unsimple graf ).
Berdasarkan jumlah vertex pada suatu graf, maka secara umum graf dapat
digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf berhingga(Limited Graf )
Universitas
Sumatera Utara
Graf berhingga adalah graf yang jumlah vertexnya
n berhingga.
9
2. Graf tak-berhingga (Unlimited Graf )
Graf yang jumlah vertexnya n tidak berhingga banyaknya disebut graf tak
berhingga.
Berdasarkan orientasi arah pada edge, maka secara umum graf dibedakan
atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (Undirected Graf )
Graf yang edgenya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
2. Graf berarah (Directed Graf atau Digraf )
Graf yang setiap edgenya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Gambar 2.5 : Graf Berarah dan Graf-Ganda Berarah
Ada juga graf sederhana khusus yang terdiri dari:
a. Graf lengkap (Complete Graf )
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap vertexnya mempunyai edge
ke semua vertex lainnya. Graf lengkap dengan n buah vertex dilambangkan
dengan Kn . Jumlah edge pada graf lengkap yang terdiri dari n buah vertex
adalah n(n1)/2.
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.6 : Graf Lengkap
b. Graf teratur (Regular Graf)
Graf yang setiap vertexnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap vertex adalah r, maka graf tersebut disebut
sebagai graf teratur derajat r. Jumlah edge pada graf teratur adalah nr/2.
Gambar 2.7 : Graf Teratur
c. Graf bipartisi (Bipartite Graf)
Graf G yang himpunan vertexnya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian V1 dan V2 , sedemikian sehingga setiap edge pada G menghubungkan
sebuah vertex di V1 ke sebuah vertex di V2 disebut graf bipartite dan dinyatakan sebagai G(V1 , V2 ).
Gambar 2.8 : Graf Bipartite
Universitas Sumatera Utara
11
2.3 Terminologi Dasar
Definisi 2.3.1 Walk
Suatu walk dalam graf G adalah suatu barisan berhingga dari vertex dan edge
secara bergantian yang dimulai dan diakhiri dengan vertex sehingga setiap edge
yang bersisian dengan vertex sebelum dan sesudahnya, dimana sebuah edge hanya
dilalui satu kali. Di dalam suatu walk pada sebuah graf dapat terjadi bahwa satu
vertex dilalui lebih dari satu kali. Pada umumnya penulisan barisan walk biasanya
mengikutsertakan edgenya, tetapi boleh juga tidak.
Apabila vertex awal dan akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk yang
demikian disebut dengan closed walk (walk tertutup). Sedangkan bila vertex awal
dan vertex akhir dari suatu walk berbeda, maka walk yang demikian disebut open
walk (walk terbuka). Sebagai contoh diberikan pada gambar berikut :
Gambar 2.9 : Graf
Pada gambar tersebut dapat diambil beberapa walk diantaranya sebagai
berikut :
- v1e1v2 e4v6e7 v5e6v3 e2v1
- v1e2v3 e6v5e7 v6
(open walk)
Universitas Sumatera
Utara
(open walk)
12
Walk di atas boleh juga ditulis dengan cara sebagai berikut :
- v1v2v6 v5v3v1
- v1v3v5 v6
(closed walk)
(open walk)
Definisi 2.3.2 Trail
Walk yang semua edge di dalam setiap barisan harus berbeda disebut trail. Trail
tertutup adalah suatu trail dengan vertex awal dan vertex akhir yang sama.
Dari gambar 2.11, salah satu contoh yang merupakan trail adalah : v1 v2e3v3 e6v5e7 v6
e4v2e1 v1
Definisi 2.3.3 Lintasan (Path)
Path dari suatu graf G adalah suatu walk yang keseluruhan vertex nya berbeda
kecuali vertex awal dan vertex akhir yang boleh sama. Bila dalam suatu path di
mana vertex awal dan akhir sama maka path yang demikian disebut closed path
(path tertutup), sedangkan bila vertex awal dan akhir tidak sama maka disebut
open path (path terbuka).
Sebagai contoh lihat gambar 2.11
- v1v3v5 v3v2v6
(open path)
- v5v3v6 v2v1v5
(closed path)
Definisi 2.3.4 Sirkuit (Cycle)
Cycle dari suatu graf G adalah suatu closed path (path tertutup). Atau dengan
kata lain cycle merupakan lintasan yang berawal dan berakhir pada vertex yang
sama. Dari gambar di atas, yang merupakan cycle diantaranya : v1v2 v5v6v3v1 .
Universitas Sumatera Utara
13
Definisi 2.3.5 Kite graf
Kite graf adalah suatu gabungan graf G dengan sebuah path yang mana vertex
akhir dari path merupakan vertex dari G.
Definisi 2.3.6 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
Graf berbobot graf yang setiap edgenya diberi sebuah bobot sedangkan graf berlabel
adalah graf yang tidak memiliki bobot
Gambar 2.10 : Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
Definisi 2.3.7 Graf gabungan
Misal ada dua buah graf G1 dan G2 dimana himpunan V (G1 ) dan V (G2 ) saling
asing begitu juga himpunan E(G1 ) dan E(G1 ) maka gabungan graf dinotasikan
G1 ∪G2 adalah graf yang mempunyai himpunan vertex V (G1 ∪G2 ) = V (G1 )∪V (G2 )
dan himpunan edge E(G1 ∪ G2 ) = E(G1 ) ∪ E(G2 ).
Contoh:
Gambar 2.11 : Gabungan Graf
Universitas Sumatera Utara
14
2.4 Pemetaan
Definisi 2.4.1 Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu
cara atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
satu elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B.
Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi λ, yaitu λ : A → B.
Selanjutnya himpunan A disebut sebagai daerah asal (domain) dan himpunan B
disebut daerah kawan (kodomain). Secara umum, pemetaan dapat digolongkan
menjadi 3 golongan sebagai berikut :
Definisi 2.4.2 Pemetaan satu-satu (injektif) adalah pemetaan dimana setiap
elemen di daerah kodomain yang berpasangan mempunyai pasangan elemen tepat
satu di daerah domain, dapat dituliskan secara matematika berikut :
Pemetaan λ : A → B, injektif ↔ ∀x, y ∈ A, λ(x) = λ(y) → x = y
Contoh :
Gambar 2.12 : Pemetaan Satu-satu
Definisi 2.4.3 Pemetaan pada (surjektif) adalah pemetaan dimana semua
Universitas
Sumatera
Utara
elemen didaerah kodomain mempunyai pasangan elemen
didaerah domain,
dapat
15
dituliskan secara matematika berikut : Pemetaan λ : A → B, surjektif ↔ ∀x ∈
A, ∃y ∈ B, ∋ λ(x) = y
Definisi 2.4.4 Pemetaan korespondensi satu-satu (bijektif) adalah pemetaan yang memenuhi pemetaan injektif dan pemetaan surjektif. Istilah ini berasal
dari kenyataan bahwa setiap elemen domain akan berkorespondensi secara unik ke
elemen kodomain dan sebaliknya.
Contoh:
Gambar 2.13 : Pemetaan Korespondensi Satu-satu
2.5 Pelabelan Graf
Definisi 2.5.1 Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan atau fungsi
yang memasangkan unsur unsur graf (vertex atau edge) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif ). Jika domain dari pemetaan adalah vertex, maka
pelabelan disebut pelabelan vertex (vertex labeling). Jika domainnya adalah edge,
maka disebut pelabelan edge (edge labeling), dan jika domainnya vertex dan edge,
maka disebut pelabelan total (total labeling).
Pada graf terdapat banyak jenis pelabelan.
Definisi 2.5.2 Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge
Universitas
Sumatera
Utara
E. Pelabelan ajaib (magic labeling) pada graf G adalah
pemetaan
bijektif dari
16
E ke himpunan bilangan integer positif yang berbeda, sehingga untuk setiap vertex
v ∈ V , penjumlahan semua label edge e yang insiden terhadap vertex v sama.
Berikut ini beberapa jenis pelabelan ajaib pada suatu graf.
a. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p dan banyak edge di G adalah q. Pelabelan vertex edge
ajaib (edge-magic vertex labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif
dari V pada himpunan {1, 2, 3, . . . , p} sehingga untuk sebarang edge (xy) di
G berlaku (x) + (y) = k untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut
konstanta ajaib pada G dan G disebut graf vertex edge ajaib.
Contoh:
Gambar 2.14 : edge magic vertex labeling
b. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p, banyak edge di G adalah q dan h merupakan banyak
vertex dan edge pada graf G atau h = p + q. Pelabelan total vertex
ajaib (vertex-magic total labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif
dari V E pada himpunan {1, 2, 3, . . . , h} sehingga untuk sebarang vertex x di
P
G berlaku λ(x) + λ(xy) = k dengan y merupakan vertex yang berdekatan
dengan vertex x. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf total vertex ajaib.
Contoh :
Universitas Sumatera Utara
17
Gambar 2.15 : vertex magic total labeling
c. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p dan banyak edge di G adalah q. Pelabelan edge vertex
ajaib (vertex-magic edge labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif dari
E pada himpunan {1, 2, 3, . . . , q} sehingga untuk sebarang vertex x di G
berlaku:
X
λ(xy)
dengan y merupakan vertex yang berdekatan dengan vertex x. Selanjutnya k
disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf edge vertex ajaib.
Contoh:
Gambar 2.16 : vertex magic edge labeling
d. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p, banyak edge di G adalah q dan h merupakan banyak
vertex dan edge pada graf G atau h = p + q. Pelabelan total edge ajaib
(edge-magic total labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif dari V E
pada himpunan {1, 2, 3, . . . , h} sehingga untuk sebarang edge xy di G berlaku
(x) + (xy) + (y) = k.
untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan
Universitas Sumatera Utara
18
G disebut graf total edge ajaib.
Contoh:
Gambar 2.17 : edge magic total labeling
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
Dalam tulisan ini akan ditunjukkan beberapa bentuk graf yang termasuk
atau tidak termasuk dalam pelabelan super edge magic, dengan demikian dapat
ditunjukkan bahwa graf tersebut adalah super edge magic graf. Sebuah kite(n, t)
adalah sebuah cycle dengan panjang n serta dengan t adalah ekor yang menempel
pada salah satu vertex cycle. Wallis et al. Telah menunjukkan kite(n, 1) adalah
super edge magic graf. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan bahwa kite(n, 2) adalah
super edge magic graf jika n adalah genap. Preposisi berikut akan menunjukkan
bahwa kite(n, 2) adalah super edge magic graf dan juga akan ditunjukkan cara
melabelinya.
3.1 Pembuktian G = (n, 2), kite adalah super edge magic graf.
Proposisi 3.1.1 Andaikan G = (n, 2), kite. Graf G adalah super edge magic jika
n adalah genap.
Bukti. Andaikan v0, v1, . . . , vn−1 , v0 adalah vertex dari Cn , Sebuah vertex v bertetangga dengan v0 dan vertex ω bertetangga dengan vertex v. Andaikan terdapat
pelabelan super edge magic λ dari G dengan bilangan magic k. Sehingga λ(v0 ) = α
dan λ(ω) = β. Maka
X
k(n + 2) =
{λ(x) + λ(xy) + λ(y)}
xy∈E(G)
=2
X
λ(x) + λ(v0 ) − λ(ω) +
x∈V (G)
=
(n + 2)(5n + 13)
+α−β
2
X
λ(xy)
xy∈E(G)
Universitas Sumatera Utara
20
Hal ini mengakibatkan bahwa k − (α − β)/(n + 2) = (5n + 13)/2 adalah
bilangan rasional sehingga tidak intejer, karena 0 < |(α−β)/(n+2)| < 1. Sehingga
n harus genap. Misalkan n = 2m + 2 untuk bilangan bulat positif m. V (G) =
{v0, v1, . . . , vn−1 , v, w} dan E(G) = {vivi+1 |0 ≤ i ≤ n−2}∪{vn−1v0 }∪{v0v}∪{vw}
.
Diperoleh pelabelan λ : V ∪ E → {1, 2, . . . , 4m + 8}
. Diambil m ganjil maka diperoleh label untuk setiap vertex sebagai berikut
(m − i + 1)/2
untuk i = 0, 2, ..., m − 3, m − 1
(3m − i + 4)/2 untuk i = 1, 3, ..., m − 2, m
λ(vi ) =
(3m − i + 3)/2 untuk i = m + 1, m + 3, ..., 2m
(5m − i + 10)/2 untuk i = m + 2, m + 4, ..., 2m + 1
λ(v) = (3m + 7)/2
λ(w) = (3m + 5)/2
Gambar 3.1 : Graf untuk n = 12
Universitas Sumatera Utara
21
Gambar 3.1.Menunjukkan pelabelan pada bukti preposisi 2.1
3m + i + 9
jika 0 6 i 6 m − i
λ(vi vi+1) = 3m + 8
jika i = m
m + i + 5
jika m + 1 6 i 6 2m
λ(vn−1 v0 ) = 3m + 6
λ(v0v) = 3m + 7
λ(vw) = 2m + 5
Bila dilihat kembali gambar 3.1 maka akan dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan
super edge magic dari G dengan bilangan edge magic sebagai berikut :
Dimana syarat suatu pelabelan edge magic dari graf G adalah: λ(v) + λ(vw) +
λ(w) = k maka diperoleh
3m+7
2
+ (2m + 5) + (3m + 5)/2 = 5m + 11 = k.
Ambil m genap maka akan diperoleh label sebagai berikut:
(m + i)/2
jika i = 0, 2, ..., m − 2
(3m + i + 9)/2
jika i = 1, 3, ..., m − 1
λ(vi ) = (m + i + 2)/2
jika i = m + 1
(i − m − 1)/2
jika i = m, m + 2, ..., 2m
(3m + 6)/2
jika i = m + 3, m + 5, ..., 2m − 1
Sedangkan untuk pelabelan dari ekornya adalah :
λ(v) = (3m + 8)/2
λ(w) = (3m + 4)/2
Dan untuk pelabelan edgenya:
3m − i + 6
untuk i = 0, 1, ..., m − 2
2m + 6
untuk i = m − 1
λ(vi vi+1 ) = 4m − i + 10 untuk i = m, m + 1
5m − i + 10 untuk i = m + 2, m + 3, ..., 2m − 1
2m + 7
Universitas Sumatera Utara
untuk i = 2m
22
λ(vn−1 v0) = 3m + 8
λ(v0v) = 3m + 7
λ(vw) = 2m + 5
Untuk mempermudah dapat dilihat gambar 3.2, sehingga ditunjukkan bahwa λ
adalah pelabelan super edge magic dari G dengan nilai magic 5m + 11 sehingga G
adalah super edge magic.sehingga preposisi 3.1 terbukti.
Gambar 3.2 : Graf untuk n = 16
3.2 K2 ∪ Cn adalah super edge magic graf
Komplit Graf adalah graf sederhana yang mana semua vertexnya dihubungkan
oleh satu edge ,komplit graf biasanya dilambangkan dengan Kn yang berarti komplit graf dengan n vertex. Cycle adalah graf yang derajatnya selalu dua dimana
jumlah vertexnya minimal 3 atau lebih, sebuah Cycle biasanya dilambangkan dengan Cn yang berarti cycle graf dengan n vertex dimana n ≥ 3. Berikut ini akan
ditunjukkan penggabungan dua buah graf yang saling disjoint merupakan super
edge magic graf. Graf yang digabungkan adalah sebuah komplit graf dan sebuah
cycle graf yang dinotasikan dengan K2 ∪ Cn . W.D Wallis membuktikan bahwa
K2 ∪ C3 bukan super edge magic tetapi K2 ∪ C4 adalah super edge magic. Wallis
mengajukan untuk nilai n yang bagaimana agar K2 ∪ Cn adalah super edge magic.
Apakah untuk nilai n yang genap atau ganjil. Teorema berikut akan menunjukkan
Sumatera Utara
genap (n 6= 10).
bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge magic jika n adalah Universitas
23
Teorema 3.2.1 jika n adalah genap (n 6= 10) maka K2 ∪ Cn adalah super edge
magic graf.
Bukti. Andaikan v0, v1, . . . , vn−1 , v0 adalah vertex dari Cn serta u dan w adalah
vertex dari K2 . Kemudian andaikan n = 2m untuk m bilangan bulat positif.
V (G) = {v0, v1, . . . , vn−1 , u, w} dan E(G) = {vi vi+1 |0 ≤ i ≤ n − 2} ∪ {vn−1 v0} ∪
{uw}. Sehingga diperoleh pelabelan λ : V ∪ E → {1, 2, . . . , v + 3} sebagai berikut
: ambil n ≥ 6:
Case m ≡ 0( mod 6).
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 1)/2
(3m + 8)/2
Untuk m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
(i + 5)/2
λ(vi ) =
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
untuk i = 0, 2, ..., m − 2
untuk i = 1, 3, ..., m − 1
untuk i = m
untuk i ≡ 1 (mod 6)
untuk i ≡ 2 (mod 6)
untuk i ≡ 3 (mod 6)
untuk i ≡ 4 (mod 6)
untuk i ≡ 5 (mod 6)
untuk i ≡ 0 (mod 6)
λ(u) = (m + 2)/2
λ(w) = (3m + 4)/2
Untuk label edgenya dapat diperoleh dengan :
4m − i + 3
untuk 0 6 i 6 m − 2
λ(vi vi+1 ) =
3m + 2
untuk i = m − 1
Universitas Sumatera Utara
24
Gambar 3.3 : Graf untuk n = 12
Untuk m ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 2 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 1 − i
4m − i
jika i ≡ 1 (mod 3)
jika i ≡ 2 (mod 3)
jika i ≡ 2 (mod 3)
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Gambar 3.3 sebagai ilustrasi. Dapat dilihat bahwa λ adalah super edge magic dari
G dengan magic number 5m + 6.
Case m ≡ 3( mod 6)
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 1)/2
(m + 5)/2
untuk i = 0, 2, ..., m − 1
untuk i = 1, 3, ..., m − 2
untuk i = m
Universitas Sumatera Utara
25
Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
(i + 5)/2
λ(vi ) =
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
untuk i ≡ 1 (mod 6)
untuk i ≡ 2 (mod 6)
untuk i ≡ 3 (mod 6)
untuk i ≡ 4 (mod 6)
untuk i ≡ 5 (mod 6)
untuk i ≡ 0 (mod 6)
m+1
2
3m + 5
λ(w) =
2
λ(u) =
λ(vi vi+1 ) =
4m − i + 3
3m + 2
untuk 0 6 i 6 m − 2
untuk i = m − 1
Gambar 3.4 : Graf untuk n = 18
Jika m ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 2 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 1 − i
4m − i
jika i ≡ 1 (mod 3)
jika i ≡ 2 (mod 3)
jika i ≡ 0 (mod 3)
λ(v0 vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Universitas Sumatera Utara
26
Dari gambar 3.4 dilihat bahwa λ adalah super edge magic dari G dengan magic
number 5m + 6.
Case m ≡ 1( mod 6), maka
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 1)/2
(m + 5)/2
Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
λ(vi ) = m + 2 + i/2
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
(m + 3)/2
jika i = 0, 1, ..., m − 1
jika i = 1, 3, ..., m − 2
jika i = m
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0 (mod 6)
jika i ≡ m + 2
(m + 1)
2
(3m + 5)
λ(w) =
2
λ(u) =
4m − i + 3
λ(vi vi+1 ) = 3m + 2
2m + i − 1
Jika m + 3 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 1 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m − i
4m + 2 − i
jika 0 6 i 6 m − 2
jika i = m − 1
jika m 6 i 6 m + 2
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
jika i ≡ 0 ( mod 3)
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Universitas Sumatera Utara
27
Gambar 3.5 : Graf untuk n = 14
Dari gambar 3.5 dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan super edge magic dari
graf G dengan magic number 5m + 6.
Case m ≡ 4( mod 6), maka
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 2)/2
3m/2 + 4
Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
λ(vi ) = m + 2 + i/2
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
3m/2 + 3
Jika m + 3 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 1 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m − i
4m + 2 − i
jika i = 0, 2, ..., m − 2
jika i = 1, 3, ..., m − 2
jika i = m
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0 (mod 6)
jika i ≡ m + 2
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
Universitas
jika i ≡
0 ( mod 3)Sumatera Utara
28
Gambar 3.6 : Graf untuk n = 20
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Dengan melihat gambar 3.6 maka dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan super
edge magic dari graf G edge magic number 5m + 6.
Case m ≡ 2( mod 6)
λ(vi ) =
m + 2 + i/2
(i + 1)/2
3m/2 + 4
(2m − i + 7)/2
3m/2 + 3
2m − i/2 + 8
Jika i = m + 5, m + 7 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
λ(vi ) =
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
jika i = 0, 2, ..., m − 2
jika i = 1, 3, ..., m − 1
jika i = m
jika i = m + 1, m + 3
jika i = m + 2
jika i = m + 4, m + 6
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0Universitas
(mod 6) Sumatera Utara
29
(m + 2)
2
(3m + 4)
λ(w) =
2
λ(u) =
Gambar 3.7 : Graf untuk n = 16
4m − i + 3
3m + 2
λ(vi vi+1 ) = 2m + i − 1
3m − 2
2m + i − 9
Jika m + 7 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 2 − i
4m + 1 − i
jika 0 6 i 6 m − 2
jika i = m − 1
jika m 6 i 6 m + 2
jika i = m + 3
jika m + 4 6 i 6 m + 6
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
jika i ≡ 0 ( mod 3)
Universitas Sumatera Utara
30
Case m ≡ 5( mod 6)
λ(vi ) =
m + 2 + i/2
(i + 1)/2
(m + 5)/2
jika i = 0, 2, ..., m − 1
jika i = 1, 3, ..., m − 2
jika i = m
(4m − i + 10)/2
jika i = m + 1, m + 3
(m + 3)/2
jika i = m + 2
(2m − i + 13)/2
jika i = m + 4, m + 6
Jika i = m + 5, m + 7 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
λ(vi ) =
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0 (mod 6)
m+1
2
3m + 5
λ(w) =
2
λ(u) =
Gambar 3.8 : Graf untuk n = 22
Universitas Sumatera Utara
31
4m − i + 3
3m + 2
λ(vi vi+1 ) = 2m + i − 1
3m − 2
2m + i − 9
Jika m + 7 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 2 − i
4m + 1 − i
jika 0 6 i 6 m − 2
jika i = m − 1
jika m 6 i 6 m + 2
jika i = m + 3
jika m + 4 6 i 6 m + 6
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
jika i ≡ 0 ( mod 3)
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw) = 3m + 3
Dengan melihat gambar 3.8 dapat ditunjukkan bahwa λ adalah pelabelan super
edge magic dengan magic number 5m + 6. Dengan demikian graf G adalah super
edge magic.Dari case yang sudah dikerjakan maka dengan demikian teorema 3.2
terbukti.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Super edge magic graf dibentuk melalui pelabelan super edge magic. Dengan
pembuktian yang sudah diperoleh maka graf G = (n, 2) kite adalah super edge
magic graph, begitu pula dengan gabungan graf antara c komplit graf K2 dan
cycle graf Cn (K2 ∪ Cn ) adalah super edge magic graf, karena berlaku pelabelan
super edge magic.
4.2 Saran
Dalam tulisan ini dibahas masalah pelabelan super edge magic untuk mengetahui apakah graph tersebut adalah super edge magic graf . Bagi para pembaca
disarankan membahas tentang pelabelan yang lebih luas seperti persoalan pelabelan anti super edge magic.
Universitas Sumatera Utara
33
DAFTAR PUSTAKA
Adidarma Sepang, et al. 2008. Diakses tanggal 26 Februari 2010. pukul
19.34. Super Edge Magic Total Labeling on Unicyclic Graphs. Journal.ui.ac.id/?hal=detailArtikel&q=366
Anton
Kotzig dan Alexander Rosa. 1970. Diakses tanggal 1
Maret 2010. pukul 16.23. Magic Valuations of finite Graphs.
www.cms.math.ca/cmb/v13/p451
Deo Narsingh.1980. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. New Delhi: Prentice Hall of India Privated Limited.
Kristina Wijaya dan Edy Tri Baskoro. 2008. Diakses tanggal 25 Februari
2010, pukul 00.03. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Hasilkali Dua Graf..
personal.fmipa.itb.ac.id
Krishnappa, H.K, et al. 2000. Diakses tanggal 20 September 2009,
pukul 07.51. Vertex Magic Total Labellings of Complete Graphs.
Cstar.iiit.ac.in/ kkishore/vmt1-iwogl.pdf
H.Enomoto,et al.1998.Diakses tanggal 1 maret 2010.pukul 16.25. Induced
graph theorem Magic valuation.www.cms.math.ca
Sin-Min Lee,et al.2007.diakses tanggal 1 maret 2010.pukul 16.30. on the edgemagic indices of (v, v + 1).www.cms.math.ca
Gallian Joseph A.1997.Diakses tanggal 20 Februari 2010,pukul 10.30. A dynamic survey of Graph labelling.jgallian@d.umn.edu
Nicholas cavenagh,et al.2006.Diakses tanggal 24 Februari 2010,pukul 21.37.
Edge- magic group labelling of countable graphs.maths.unsw.edu.au
Universitas Sumatera Utara
GRAPH
SKRIPSI
EDWARD MP SIMAMORA
050803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010
Universitas Sumatera Utara
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE
GRAPH
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
EDWARD MP SIMAMORA
050803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA
KITE CYCLE GRAPH
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: EDWARD MP SIMAMORA
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803032
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Juli 2010
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si
Dra. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19560303 194803 1 004
NIP. 19630405 198811 2 001
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE GRAPH
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2010
EDWARD MP SIMAMORA
050803032
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yesus Kristus atas semua yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tulisan ini.Terpujilah Tuhan.
Penulis juga berterimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyelesaian tulisan ini.Pertama-tama saya megucapkan terimakasih
kepada ibu Dra.Mardiningsih,M.Si dan bapak Drs.Ujian Sinulingga,M.Si yang telah
memberikan banyak masukan dan saran kepada penulis selama dalam pengerjaan
tulisan ini.Penulis juga berterimakasih kepada bapak Drs.H Haluddin Panjaitan
dan bapak Syahril Efendi,S.Si,M.IT sebagai dosen penguji penulis ,yang telah
memberikan masukan kepada penulis.Penulis juga berterimakasih kepada bapak
Dr.Saib Suwilo,M.Sc selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU yang
telah memberikan izin untuk mengerjakan tulisan ini.Penulis juga berterima kasih
kepada seluruh dosen dan pegawai departemen matematika FMIPA USU yang
telah membantu penulis selama menjalani pendidikan.
Penulis juga menyampaikan ucapan terimakasih yang sebesar besarnya kepada kedua orang tua saya M.Simamora dan J.br Siregar yang telah memberi bantuan kepada saya baik moril maupun materil dan yang tetap bersabar dalam kesusahan selama saya dalam masa pendidikan. Begitu pula kepada adik saya Lismawanti Simamora yang selalu setia menemani kedua orang tua saya.Penulis juga
mengucapkan terimakasih kepada seluruh teman-teman stambuk 2005 tanpa terkecuali.Dan kepada seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penulisan
skripsi ini.God bless us.
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Graph G = (V, E) disebut sebagai super edge magic jika terdapat pemetaan satusatu λ dari V ∪ E pada {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} sehingga λ(V ) = {1, 2, . . . , |V |} dan
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k dimana k adalah suatu bilangan konstanta ajaib untuk
setiap edge xy. Dalam tulisan ini, akan dikaji bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge
magic graf untuk n = genap, serta untuk sebuah graf G = (n, 2) kite adalah super
edge magic juga untuk n = genap.
Universitas Sumatera Utara
v
Super Edge Magic Labelling On Kite Cycle Graph
ABSTRACT
A Graph G(V, E) is called super eege-magic if there exists a one-to-one map λ
from V ∪ E onto {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} such that λ(V ) = {1, 2, 3, . . . , |V |} and
λ(x) + λ(xy) +λ(y) = k is constant for every edge xy. In this paper, we investigate
K2 ∪Cn is a super edge magic graph if n = even, anda also we investigate G = (n, 2)
kite is super edge magic graph if n = even.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Pembatasan Masalah
Tujuan Penelitian
Tinjauan Pustaka
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
1
2
2
3
3
4
4
2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
5
Konsep Dasar Graf
Jenis-jenis Graf
Terminologi Dasar
Pemetaan
Pelabelan Graf
5
8
11
14
15
3. PEMBAHASAN
19
3.1. Pembuktian G = (n, 2), kite adalah super edge magic graf.
3.2. K2 ∪ Cn adalah super edge magic graf
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
19
22
32
32
32
33
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Graf
5
2.2
Simple Graf
6
2.3
Graf Kosong
7
2.4
Graf (7,8)
7
2.5
Graf Berarah dan Graf-Ganda Berarah
9
2.6
Graf Lengkap
10
2.7
Graf Teratur
10
2.8
Graf Bipartite
10
2.9
Graf
11
2.10 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
13
2.11 Gabungan Graf
13
2.12 Pemetaan Satu-satu
14
2.13 Pemetaan Korespondensi Satu-satu
15
2.14 edge magic vertex labeling
16
2.15 vertex magic total labeling
17
2.16 vertex magic edge labeling
17
2.17 edge magic total labeling
18
3.1
Graf untuk n = 12
20
3.2
Graf untuk n = 16
22
3.3
Graf untuk n = 12
24
3.4
Graf untuk n = 18
25
3.5
Graf untuk n = 14
27
3.6
Graf untuk n = 20
28
3.7
Graf untuk n = 16
29
3.8
Graf untuk n = 22
30
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Graph G = (V, E) disebut sebagai super edge magic jika terdapat pemetaan satusatu λ dari V ∪ E pada {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} sehingga λ(V ) = {1, 2, . . . , |V |} dan
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k dimana k adalah suatu bilangan konstanta ajaib untuk
setiap edge xy. Dalam tulisan ini, akan dikaji bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge
magic graf untuk n = genap, serta untuk sebuah graf G = (n, 2) kite adalah super
edge magic juga untuk n = genap.
Universitas Sumatera Utara
v
Super Edge Magic Labelling On Kite Cycle Graph
ABSTRACT
A Graph G(V, E) is called super eege-magic if there exists a one-to-one map λ
from V ∪ E onto {1, 2, 3, . . . , |V | + |E|} such that λ(V ) = {1, 2, 3, . . . , |V |} and
λ(x) + λ(xy) +λ(y) = k is constant for every edge xy. In this paper, we investigate
K2 ∪Cn is a super edge magic graph if n = even, anda also we investigate G = (n, 2)
kite is super edge magic graph if n = even.
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian saat ini, karena model - model yang ada pada teori graf berguna untuk aplikasi yang luas.
Walaupun teori graf berasal dari bidang ilmu matematika namun dalam pengaplikasiannya teori graf dapat dihubungkan dengan berbagai bidang ilmu dalam
kehidupan sehari hari. Sedemikian banyaknya pengaplikasian graf dalam dunia
ini, sehingga tidak ada habis-habisnya jika dibahas setiap aplikasi graf, karena setiap bidang ilmu dapat dikaitkan dengan graf seperti masalah jaringan komunikasi,
transportasi, ilmu komputer, riset operasi, ilmu kimia, sosiologi, kartographi dan
lain sebagainya.
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya
berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh vertex atau edge serta himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Hingga saat ini pemanfaatan teori
pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer,
dan pemancar frekuensi radio.
Dalam pelabelan juga telah banyak mengalami perkembangan baik dari bentuk pelabelannya maupun dari bentuk graf yang dilabeli. Dari bentuk pelabelannya, ada yang disebut pelabelan super edge magic ,edge magic, pelabelan total
edge magic ataupun pelabelan super total edge magic
Pelabelan Total edge magic pada graf G dengan himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G) adalah suatu pemetaan satu-satu pada λ dari V (G) ∪ E(G) ke
Utara
himpunan {1, 2, . . . , |V (G) ∪ E(G)|} yang mempunyaiUniversitas
sifat bahwaSumatera
untuk setiap
2
edge {x, y} di G, berlaku λ(x) + λ ({x, y}) + λ(y) = k, untuk suatu konstanta
tetap k. Sedangkan disebut pelabelan super edge magic jika λ(V ) = {1, 2, . . . , v}
dan λ{E} = {v + 1, v + 2, . . . , v + e}.
Pelabelan pertama kali diperkenalkan oleh Sadlack(1964),kemudian Stewart
(1966). Sedangkan untuk pelabelan yang Berhubungan dengan Magic value pertama kali diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa (1970) dalam jurnalnya Magic valuation Of finite graph. Sejak saat itu hingga kini penelitian mengenai edge magic
masih hangat untuk diteliti.
Kite graph adalah Graf G ∗ Pm dimana G adalah graf terhubung dan Pm
adalah lintasan dengan m vertex sehingga vertex akhir di Pm adalah vertex di G.
Sedangkan jika graf G dengan v vertex dan e edge diberi label 1 hingga (v + e)
demikian sehingga apabila setiap label edge dan dua buah vertex yang adjasen
pada edge tersebut dijumlahkan menghasilkan jumlah yang sama, maka graf Graf
G disebut edge magic graf.
W.D Wallis Telah menunjukkan bahwa G+(n, 1), kite adalah super edge magic jika n adalah genap.dalam tulisan ini akan ditunjukkan bahwa G = (n, 2), kite
adalah super edge magic. W.D Wallis juga menunjukkan bahwa K2 ∪ C3 bukan
super edge magic tetapi K2 ∪ C4 adalah super edge magic.
1.2 Perumusan Masalah
Yang menjadi permasalahan dalam studi ini adalah apakah Graf G = (n, 2),
kite dan Graf K2 ∪ Cn adalah super edge magic atau tidak jika n adalah genap.
1.3 Pembatasan Masalah
Dalam tulisan ini semua graf diasumsikan adalah graf sederhana, dan tak
berarah. Serta graf yang diteliti adalah graf cycle dan kite graph.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Yang menjadi tujuan dalam penelitian ini adalah untuk mengkaji bahwa graf
G = (n, 2), kite dan graf K2 ∪ Cn adalah pelabelan super edge magic.
1.5 Tinjauan Pustaka
Sebagai pendukung teori dalam penulisan studi ini, penulis menggunakan
beberapa buku dan jurnal, antara lain :
Narsingh Deo,1980 pada bukunya menyatakan bahwa graf G = (V, E) terdiri
dari himpunan V = {v1, v2, . . . , } yang disebut vertex, dan himpunan lain E =
{e1, e2, . . .} dan disebut edge.
Tereza Kovarova, pada jurnalnya menyatakan pelabelan adalah sebuah pemetaan dimana domainnya adalah himpunan beberapa elemen graf, himpunan
dari vertex atau himpunan semua vertex dan edge, dimana himpunan tersebut
adalah bilangan bulat positif.
Anton Kotzig dan Alexander Rosa, 1970. Sebuah graf G(m, n) dikatakan
memiliki nilai ajaib (M-valuation), dengan konstanta c jika terdapat pemetaan
satu-satu f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, . . . , m +n} sehingga f(a) +f(b) +f ([a, b]) = C
untuk semua [a, b] ∈ E(G).
Kristina Wijaya dan Edi Tri Baskoro, 2008 pada jurnalnya menyatakan bahwa Pelabelan Total edge magic pada graf G dengan himpunan vertex V (G) dan
himpunan edge E(G) adalah suatu pemetaan satu-satu pada λ dari V (G) ∪ E(G)
ke himpunan {1, 2, . . . , |V (G) ∪ E(G)|} yang mempunyai sifat bahwa untuk setiap
edge {x, y} di G, berlaku λ(x) + λ ({x, y})+λ(y) = k, untuk suatu konstanta tetap
k.
Universitas Sumatera Utara
4
1.6 Manfaat Penelitian
Adapun yang menjadi manfaat penelitian ini adalah kiranya dengan tulisan
ini penelitian tentang pelabelan graf bertambah serta sebagai bahan literatur bagi
pembaca yang akan melakukan penelitian tentang pelabelan graf.terutama dalam
pelabelan super edge magic kedepannya.
1.7 Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang akan digunakan dalam studi ini adalah penelitian
literature yaitu mengumpulkan informasi dari beberapa buku dan jurnal yang
berhubungan dengan pengerjaan penelitian ini.Adapun sistematika penulisan yang
akan dikerjakan adalah :
1. Menjelaskan Graf secara umum serta graf Kite dan Cycle serta graf komplit.
2. Menjelaskan Pelabelan secara umum.
3. Menjelaskan pengertian nilai magic, edge magic dan super edge magic
4. Mengkaji bahwa Graf G = (n, 2), kite dan Graf K2 ∪ Cn adalah super edge
magic jika n adalah genap.
5. Memberikan kesimpulan tentang penelitian.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Graf
Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V, E) dengan V adalah himpunan
yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
anggotanya adalah pasangan-pasangan tak berurut dan disebut dengan edge.
Gambaran umum mengenai graf diartikan sebagai diagram, dimana vertex
disajikan berupa vertex dan dinotasikan dengan vi ; i = 1, 2, 3, . . . , m dan edge
disajikan berupa garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua buah
vertex (vi , vj ) dan dapat dinotasikan dengan ei ; i = 1, 2, 3, . . . , n.
Definisi 2.1.1 menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh
kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai edge satu buah pun,
tetapi vertexnya harus minimal ada satu.
Sebagai ilustrasi dapat dilihat gambar 2.1 yaitu :
Gambar 2.1 : Graf
- G1 adalah graf dengan V = {1, 2, 3, 4} dan E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4)}.
- G2 adalah graf dengan V = {1, 2, 3, 4} dan E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4),
(3, 4), (3, 4)} = {e1, e2 , e3, e4, e5, e6, e7 }
Universitas Sumatera Utara
6
- G3 adalah graf dengan V = {1, 2, 3, 4} dan E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3),
(2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3)} = {e1, e2, e3 , e4, e5, e6, e7, e8 }
Definisi 2.1.2 Loop dan Edge Paralel
Sebuah edge yang menghubungkan pasangan vertex yang sama yakni (vi , vj ) disebut
loop dan dua buah atau lebih edge yang mempunyai vertex vertex ujung yang sama
disebut edge-edge yang paralel atau multiple edge. Pada gambar 2.1 dapat dilihat,
gambar G1 tidak memiliki loop maupun edge pararel, sedangkan pada gambar G2
tidak memiliki loop tetapi memiliki edge paralel yaitu e3, e4 dan e1 , e6. Dan pada
gambar G3 memiliki loop yaitu e8 dan edge pararel yaitu e3, e4 dan e1 , e6.
Definisi 2.1.3 Graf Sederhana (Simple Graf)
Simple graf adalah graf yang tidak memuat loop dan edge-edge yang pararel.
Gambar 2.2 : Simple Graf
Definisi 2.1.4 Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah vertex pada graf dikatakan bertetangga bila kedua vertex tersebut terhubung langsung. Atau dapat kita sebut vj bertetangga dengan vk pada graf G jika
(vj , vk ) adalah edge pada sebuah graf G.
Definisi 2.1.5 Bersisian (Incident)
Untuk sembarang edge e = (vj , vk ) dikatakan bersisian dengan vertex vj atau e
bersisian dengan vertex vk .
Universitas Sumatera Utara
7
Definisi 2.1.6 Vertex Terpencil (Isolated Vertex )
Vertex yang tidak memiliki edge yang bersisian dengannya atau tidak bertetangga
dengan vertex lainnya disebut dengan vertex terpencil.
Definisi 2.1.7 Graf Kosong (Null Graf)
Graf yang himpunan edgenya merupakan himpunan kosong (Nn ) disebut graf kosong,
dimana nadalah jumlah vertex.
Gambar 2.3 : Graf Kosong
Definisi 2.1.8 Derajat (Degree)
Derajat dari sebuah vertex vi dalam graf G adalah jumlah edge yang bersisian
dengan vi , dengan loop dihitung dua kali. Bila jumlah edge yang bersisian dengan
jumlah vertex vi adalah n maka degree dari vi adalah n sehingga d(vi ) = n.
Gambar 2.4 : Graf (7,8)
Dari gambar 2.4 maka V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7 } dan E = {e1 , e2, e3, e4, e5, e6 , e7, e8}
dimana;
Universitas Sumatera Utara
8
- Vertex 1 bertetangga dengan vertex 2, 3 dan 4 tetapi tidak bertetangga
dengan vertex 5 dan 6.
- Vertex 5 bertetangga dengan vertex 2 dan 4 tetapi tidak bertetangga dengan
vertex 1, 3, 4 dan 6.
- Edge (1,2) bersisian dengan vertex 1 dan vertex 2.
- Edge (1,4) bersisian dengan vertex 1 dan vertex 4.
- Tetapi edge (3,4) tidak bersisian dengan vertex 1, 2, 5, 6 dan 7.
- Vertex terpencil adalah vertex 7.
- Derajat d(1) = d(2) = d(4) = 3, d(3) = d(5) = 2 dan d(6) = 1 dan d(7) = 0.
2.2 Jenis-jenis Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau edge ganda pada suatu graf, maka
graf digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (Simple Graf )
Graf yang tidak mengandung gelang maupun edge-ganda dinamakan graf
sederhana.
2. Graf tak-sederhana (Unsimple-Graf )
Graf yang mengandung edge ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana
(unsimple graf ).
Berdasarkan jumlah vertex pada suatu graf, maka secara umum graf dapat
digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf berhingga(Limited Graf )
Universitas
Sumatera Utara
Graf berhingga adalah graf yang jumlah vertexnya
n berhingga.
9
2. Graf tak-berhingga (Unlimited Graf )
Graf yang jumlah vertexnya n tidak berhingga banyaknya disebut graf tak
berhingga.
Berdasarkan orientasi arah pada edge, maka secara umum graf dibedakan
atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah (Undirected Graf )
Graf yang edgenya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
2. Graf berarah (Directed Graf atau Digraf )
Graf yang setiap edgenya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Gambar 2.5 : Graf Berarah dan Graf-Ganda Berarah
Ada juga graf sederhana khusus yang terdiri dari:
a. Graf lengkap (Complete Graf )
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap vertexnya mempunyai edge
ke semua vertex lainnya. Graf lengkap dengan n buah vertex dilambangkan
dengan Kn . Jumlah edge pada graf lengkap yang terdiri dari n buah vertex
adalah n(n1)/2.
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.6 : Graf Lengkap
b. Graf teratur (Regular Graf)
Graf yang setiap vertexnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap vertex adalah r, maka graf tersebut disebut
sebagai graf teratur derajat r. Jumlah edge pada graf teratur adalah nr/2.
Gambar 2.7 : Graf Teratur
c. Graf bipartisi (Bipartite Graf)
Graf G yang himpunan vertexnya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian V1 dan V2 , sedemikian sehingga setiap edge pada G menghubungkan
sebuah vertex di V1 ke sebuah vertex di V2 disebut graf bipartite dan dinyatakan sebagai G(V1 , V2 ).
Gambar 2.8 : Graf Bipartite
Universitas Sumatera Utara
11
2.3 Terminologi Dasar
Definisi 2.3.1 Walk
Suatu walk dalam graf G adalah suatu barisan berhingga dari vertex dan edge
secara bergantian yang dimulai dan diakhiri dengan vertex sehingga setiap edge
yang bersisian dengan vertex sebelum dan sesudahnya, dimana sebuah edge hanya
dilalui satu kali. Di dalam suatu walk pada sebuah graf dapat terjadi bahwa satu
vertex dilalui lebih dari satu kali. Pada umumnya penulisan barisan walk biasanya
mengikutsertakan edgenya, tetapi boleh juga tidak.
Apabila vertex awal dan akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk yang
demikian disebut dengan closed walk (walk tertutup). Sedangkan bila vertex awal
dan vertex akhir dari suatu walk berbeda, maka walk yang demikian disebut open
walk (walk terbuka). Sebagai contoh diberikan pada gambar berikut :
Gambar 2.9 : Graf
Pada gambar tersebut dapat diambil beberapa walk diantaranya sebagai
berikut :
- v1e1v2 e4v6e7 v5e6v3 e2v1
- v1e2v3 e6v5e7 v6
(open walk)
Universitas Sumatera
Utara
(open walk)
12
Walk di atas boleh juga ditulis dengan cara sebagai berikut :
- v1v2v6 v5v3v1
- v1v3v5 v6
(closed walk)
(open walk)
Definisi 2.3.2 Trail
Walk yang semua edge di dalam setiap barisan harus berbeda disebut trail. Trail
tertutup adalah suatu trail dengan vertex awal dan vertex akhir yang sama.
Dari gambar 2.11, salah satu contoh yang merupakan trail adalah : v1 v2e3v3 e6v5e7 v6
e4v2e1 v1
Definisi 2.3.3 Lintasan (Path)
Path dari suatu graf G adalah suatu walk yang keseluruhan vertex nya berbeda
kecuali vertex awal dan vertex akhir yang boleh sama. Bila dalam suatu path di
mana vertex awal dan akhir sama maka path yang demikian disebut closed path
(path tertutup), sedangkan bila vertex awal dan akhir tidak sama maka disebut
open path (path terbuka).
Sebagai contoh lihat gambar 2.11
- v1v3v5 v3v2v6
(open path)
- v5v3v6 v2v1v5
(closed path)
Definisi 2.3.4 Sirkuit (Cycle)
Cycle dari suatu graf G adalah suatu closed path (path tertutup). Atau dengan
kata lain cycle merupakan lintasan yang berawal dan berakhir pada vertex yang
sama. Dari gambar di atas, yang merupakan cycle diantaranya : v1v2 v5v6v3v1 .
Universitas Sumatera Utara
13
Definisi 2.3.5 Kite graf
Kite graf adalah suatu gabungan graf G dengan sebuah path yang mana vertex
akhir dari path merupakan vertex dari G.
Definisi 2.3.6 Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
Graf berbobot graf yang setiap edgenya diberi sebuah bobot sedangkan graf berlabel
adalah graf yang tidak memiliki bobot
Gambar 2.10 : Graf Berbobot Dan Graf Berlabel
Definisi 2.3.7 Graf gabungan
Misal ada dua buah graf G1 dan G2 dimana himpunan V (G1 ) dan V (G2 ) saling
asing begitu juga himpunan E(G1 ) dan E(G1 ) maka gabungan graf dinotasikan
G1 ∪G2 adalah graf yang mempunyai himpunan vertex V (G1 ∪G2 ) = V (G1 )∪V (G2 )
dan himpunan edge E(G1 ∪ G2 ) = E(G1 ) ∪ E(G2 ).
Contoh:
Gambar 2.11 : Gabungan Graf
Universitas Sumatera Utara
14
2.4 Pemetaan
Definisi 2.4.1 Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu
cara atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
satu elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B.
Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi λ, yaitu λ : A → B.
Selanjutnya himpunan A disebut sebagai daerah asal (domain) dan himpunan B
disebut daerah kawan (kodomain). Secara umum, pemetaan dapat digolongkan
menjadi 3 golongan sebagai berikut :
Definisi 2.4.2 Pemetaan satu-satu (injektif) adalah pemetaan dimana setiap
elemen di daerah kodomain yang berpasangan mempunyai pasangan elemen tepat
satu di daerah domain, dapat dituliskan secara matematika berikut :
Pemetaan λ : A → B, injektif ↔ ∀x, y ∈ A, λ(x) = λ(y) → x = y
Contoh :
Gambar 2.12 : Pemetaan Satu-satu
Definisi 2.4.3 Pemetaan pada (surjektif) adalah pemetaan dimana semua
Universitas
Sumatera
Utara
elemen didaerah kodomain mempunyai pasangan elemen
didaerah domain,
dapat
15
dituliskan secara matematika berikut : Pemetaan λ : A → B, surjektif ↔ ∀x ∈
A, ∃y ∈ B, ∋ λ(x) = y
Definisi 2.4.4 Pemetaan korespondensi satu-satu (bijektif) adalah pemetaan yang memenuhi pemetaan injektif dan pemetaan surjektif. Istilah ini berasal
dari kenyataan bahwa setiap elemen domain akan berkorespondensi secara unik ke
elemen kodomain dan sebaliknya.
Contoh:
Gambar 2.13 : Pemetaan Korespondensi Satu-satu
2.5 Pelabelan Graf
Definisi 2.5.1 Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan atau fungsi
yang memasangkan unsur unsur graf (vertex atau edge) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif ). Jika domain dari pemetaan adalah vertex, maka
pelabelan disebut pelabelan vertex (vertex labeling). Jika domainnya adalah edge,
maka disebut pelabelan edge (edge labeling), dan jika domainnya vertex dan edge,
maka disebut pelabelan total (total labeling).
Pada graf terdapat banyak jenis pelabelan.
Definisi 2.5.2 Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge
Universitas
Sumatera
Utara
E. Pelabelan ajaib (magic labeling) pada graf G adalah
pemetaan
bijektif dari
16
E ke himpunan bilangan integer positif yang berbeda, sehingga untuk setiap vertex
v ∈ V , penjumlahan semua label edge e yang insiden terhadap vertex v sama.
Berikut ini beberapa jenis pelabelan ajaib pada suatu graf.
a. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p dan banyak edge di G adalah q. Pelabelan vertex edge
ajaib (edge-magic vertex labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif
dari V pada himpunan {1, 2, 3, . . . , p} sehingga untuk sebarang edge (xy) di
G berlaku (x) + (y) = k untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut
konstanta ajaib pada G dan G disebut graf vertex edge ajaib.
Contoh:
Gambar 2.14 : edge magic vertex labeling
b. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p, banyak edge di G adalah q dan h merupakan banyak
vertex dan edge pada graf G atau h = p + q. Pelabelan total vertex
ajaib (vertex-magic total labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif
dari V E pada himpunan {1, 2, 3, . . . , h} sehingga untuk sebarang vertex x di
P
G berlaku λ(x) + λ(xy) = k dengan y merupakan vertex yang berdekatan
dengan vertex x. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf total vertex ajaib.
Contoh :
Universitas Sumatera Utara
17
Gambar 2.15 : vertex magic total labeling
c. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p dan banyak edge di G adalah q. Pelabelan edge vertex
ajaib (vertex-magic edge labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif dari
E pada himpunan {1, 2, 3, . . . , q} sehingga untuk sebarang vertex x di G
berlaku:
X
λ(xy)
dengan y merupakan vertex yang berdekatan dengan vertex x. Selanjutnya k
disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf edge vertex ajaib.
Contoh:
Gambar 2.16 : vertex magic edge labeling
d. Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Banyak
vertex di G adalah p, banyak edge di G adalah q dan h merupakan banyak
vertex dan edge pada graf G atau h = p + q. Pelabelan total edge ajaib
(edge-magic total labeling) pada graf G adalah pemetaan bijektif dari V E
pada himpunan {1, 2, 3, . . . , h} sehingga untuk sebarang edge xy di G berlaku
(x) + (xy) + (y) = k.
untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan
Universitas Sumatera Utara
18
G disebut graf total edge ajaib.
Contoh:
Gambar 2.17 : edge magic total labeling
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
Dalam tulisan ini akan ditunjukkan beberapa bentuk graf yang termasuk
atau tidak termasuk dalam pelabelan super edge magic, dengan demikian dapat
ditunjukkan bahwa graf tersebut adalah super edge magic graf. Sebuah kite(n, t)
adalah sebuah cycle dengan panjang n serta dengan t adalah ekor yang menempel
pada salah satu vertex cycle. Wallis et al. Telah menunjukkan kite(n, 1) adalah
super edge magic graf. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan bahwa kite(n, 2) adalah
super edge magic graf jika n adalah genap. Preposisi berikut akan menunjukkan
bahwa kite(n, 2) adalah super edge magic graf dan juga akan ditunjukkan cara
melabelinya.
3.1 Pembuktian G = (n, 2), kite adalah super edge magic graf.
Proposisi 3.1.1 Andaikan G = (n, 2), kite. Graf G adalah super edge magic jika
n adalah genap.
Bukti. Andaikan v0, v1, . . . , vn−1 , v0 adalah vertex dari Cn , Sebuah vertex v bertetangga dengan v0 dan vertex ω bertetangga dengan vertex v. Andaikan terdapat
pelabelan super edge magic λ dari G dengan bilangan magic k. Sehingga λ(v0 ) = α
dan λ(ω) = β. Maka
X
k(n + 2) =
{λ(x) + λ(xy) + λ(y)}
xy∈E(G)
=2
X
λ(x) + λ(v0 ) − λ(ω) +
x∈V (G)
=
(n + 2)(5n + 13)
+α−β
2
X
λ(xy)
xy∈E(G)
Universitas Sumatera Utara
20
Hal ini mengakibatkan bahwa k − (α − β)/(n + 2) = (5n + 13)/2 adalah
bilangan rasional sehingga tidak intejer, karena 0 < |(α−β)/(n+2)| < 1. Sehingga
n harus genap. Misalkan n = 2m + 2 untuk bilangan bulat positif m. V (G) =
{v0, v1, . . . , vn−1 , v, w} dan E(G) = {vivi+1 |0 ≤ i ≤ n−2}∪{vn−1v0 }∪{v0v}∪{vw}
.
Diperoleh pelabelan λ : V ∪ E → {1, 2, . . . , 4m + 8}
. Diambil m ganjil maka diperoleh label untuk setiap vertex sebagai berikut
(m − i + 1)/2
untuk i = 0, 2, ..., m − 3, m − 1
(3m − i + 4)/2 untuk i = 1, 3, ..., m − 2, m
λ(vi ) =
(3m − i + 3)/2 untuk i = m + 1, m + 3, ..., 2m
(5m − i + 10)/2 untuk i = m + 2, m + 4, ..., 2m + 1
λ(v) = (3m + 7)/2
λ(w) = (3m + 5)/2
Gambar 3.1 : Graf untuk n = 12
Universitas Sumatera Utara
21
Gambar 3.1.Menunjukkan pelabelan pada bukti preposisi 2.1
3m + i + 9
jika 0 6 i 6 m − i
λ(vi vi+1) = 3m + 8
jika i = m
m + i + 5
jika m + 1 6 i 6 2m
λ(vn−1 v0 ) = 3m + 6
λ(v0v) = 3m + 7
λ(vw) = 2m + 5
Bila dilihat kembali gambar 3.1 maka akan dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan
super edge magic dari G dengan bilangan edge magic sebagai berikut :
Dimana syarat suatu pelabelan edge magic dari graf G adalah: λ(v) + λ(vw) +
λ(w) = k maka diperoleh
3m+7
2
+ (2m + 5) + (3m + 5)/2 = 5m + 11 = k.
Ambil m genap maka akan diperoleh label sebagai berikut:
(m + i)/2
jika i = 0, 2, ..., m − 2
(3m + i + 9)/2
jika i = 1, 3, ..., m − 1
λ(vi ) = (m + i + 2)/2
jika i = m + 1
(i − m − 1)/2
jika i = m, m + 2, ..., 2m
(3m + 6)/2
jika i = m + 3, m + 5, ..., 2m − 1
Sedangkan untuk pelabelan dari ekornya adalah :
λ(v) = (3m + 8)/2
λ(w) = (3m + 4)/2
Dan untuk pelabelan edgenya:
3m − i + 6
untuk i = 0, 1, ..., m − 2
2m + 6
untuk i = m − 1
λ(vi vi+1 ) = 4m − i + 10 untuk i = m, m + 1
5m − i + 10 untuk i = m + 2, m + 3, ..., 2m − 1
2m + 7
Universitas Sumatera Utara
untuk i = 2m
22
λ(vn−1 v0) = 3m + 8
λ(v0v) = 3m + 7
λ(vw) = 2m + 5
Untuk mempermudah dapat dilihat gambar 3.2, sehingga ditunjukkan bahwa λ
adalah pelabelan super edge magic dari G dengan nilai magic 5m + 11 sehingga G
adalah super edge magic.sehingga preposisi 3.1 terbukti.
Gambar 3.2 : Graf untuk n = 16
3.2 K2 ∪ Cn adalah super edge magic graf
Komplit Graf adalah graf sederhana yang mana semua vertexnya dihubungkan
oleh satu edge ,komplit graf biasanya dilambangkan dengan Kn yang berarti komplit graf dengan n vertex. Cycle adalah graf yang derajatnya selalu dua dimana
jumlah vertexnya minimal 3 atau lebih, sebuah Cycle biasanya dilambangkan dengan Cn yang berarti cycle graf dengan n vertex dimana n ≥ 3. Berikut ini akan
ditunjukkan penggabungan dua buah graf yang saling disjoint merupakan super
edge magic graf. Graf yang digabungkan adalah sebuah komplit graf dan sebuah
cycle graf yang dinotasikan dengan K2 ∪ Cn . W.D Wallis membuktikan bahwa
K2 ∪ C3 bukan super edge magic tetapi K2 ∪ C4 adalah super edge magic. Wallis
mengajukan untuk nilai n yang bagaimana agar K2 ∪ Cn adalah super edge magic.
Apakah untuk nilai n yang genap atau ganjil. Teorema berikut akan menunjukkan
Sumatera Utara
genap (n 6= 10).
bahwa K2 ∪ Cn adalah super edge magic jika n adalah Universitas
23
Teorema 3.2.1 jika n adalah genap (n 6= 10) maka K2 ∪ Cn adalah super edge
magic graf.
Bukti. Andaikan v0, v1, . . . , vn−1 , v0 adalah vertex dari Cn serta u dan w adalah
vertex dari K2 . Kemudian andaikan n = 2m untuk m bilangan bulat positif.
V (G) = {v0, v1, . . . , vn−1 , u, w} dan E(G) = {vi vi+1 |0 ≤ i ≤ n − 2} ∪ {vn−1 v0} ∪
{uw}. Sehingga diperoleh pelabelan λ : V ∪ E → {1, 2, . . . , v + 3} sebagai berikut
: ambil n ≥ 6:
Case m ≡ 0( mod 6).
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 1)/2
(3m + 8)/2
Untuk m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
(i + 5)/2
λ(vi ) =
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
untuk i = 0, 2, ..., m − 2
untuk i = 1, 3, ..., m − 1
untuk i = m
untuk i ≡ 1 (mod 6)
untuk i ≡ 2 (mod 6)
untuk i ≡ 3 (mod 6)
untuk i ≡ 4 (mod 6)
untuk i ≡ 5 (mod 6)
untuk i ≡ 0 (mod 6)
λ(u) = (m + 2)/2
λ(w) = (3m + 4)/2
Untuk label edgenya dapat diperoleh dengan :
4m − i + 3
untuk 0 6 i 6 m − 2
λ(vi vi+1 ) =
3m + 2
untuk i = m − 1
Universitas Sumatera Utara
24
Gambar 3.3 : Graf untuk n = 12
Untuk m ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 2 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 1 − i
4m − i
jika i ≡ 1 (mod 3)
jika i ≡ 2 (mod 3)
jika i ≡ 2 (mod 3)
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Gambar 3.3 sebagai ilustrasi. Dapat dilihat bahwa λ adalah super edge magic dari
G dengan magic number 5m + 6.
Case m ≡ 3( mod 6)
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 1)/2
(m + 5)/2
untuk i = 0, 2, ..., m − 1
untuk i = 1, 3, ..., m − 2
untuk i = m
Universitas Sumatera Utara
25
Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
(i + 5)/2
λ(vi ) =
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
untuk i ≡ 1 (mod 6)
untuk i ≡ 2 (mod 6)
untuk i ≡ 3 (mod 6)
untuk i ≡ 4 (mod 6)
untuk i ≡ 5 (mod 6)
untuk i ≡ 0 (mod 6)
m+1
2
3m + 5
λ(w) =
2
λ(u) =
λ(vi vi+1 ) =
4m − i + 3
3m + 2
untuk 0 6 i 6 m − 2
untuk i = m − 1
Gambar 3.4 : Graf untuk n = 18
Jika m ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 2 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 1 − i
4m − i
jika i ≡ 1 (mod 3)
jika i ≡ 2 (mod 3)
jika i ≡ 0 (mod 3)
λ(v0 vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Universitas Sumatera Utara
26
Dari gambar 3.4 dilihat bahwa λ adalah super edge magic dari G dengan magic
number 5m + 6.
Case m ≡ 1( mod 6), maka
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 1)/2
(m + 5)/2
Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
λ(vi ) = m + 2 + i/2
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
(m + 3)/2
jika i = 0, 1, ..., m − 1
jika i = 1, 3, ..., m − 2
jika i = m
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0 (mod 6)
jika i ≡ m + 2
(m + 1)
2
(3m + 5)
λ(w) =
2
λ(u) =
4m − i + 3
λ(vi vi+1 ) = 3m + 2
2m + i − 1
Jika m + 3 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 1 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m − i
4m + 2 − i
jika 0 6 i 6 m − 2
jika i = m − 1
jika m 6 i 6 m + 2
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
jika i ≡ 0 ( mod 3)
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Universitas Sumatera Utara
27
Gambar 3.5 : Graf untuk n = 14
Dari gambar 3.5 dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan super edge magic dari
graf G dengan magic number 5m + 6.
Case m ≡ 4( mod 6), maka
m + 2 + i/2
λ(vi ) = (i + 2)/2
3m/2 + 4
Jika m + 1 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 1)/2
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
λ(vi ) = m + 2 + i/2
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
3m/2 + 3
Jika m + 3 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m + 1 − i
λ(vi vi+1 ) = 4m − i
4m + 2 − i
jika i = 0, 2, ..., m − 2
jika i = 1, 3, ..., m − 2
jika i = m
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0 (mod 6)
jika i ≡ m + 2
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
Universitas
jika i ≡
0 ( mod 3)Sumatera Utara
28
Gambar 3.6 : Graf untuk n = 20
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw)
= 3m + 3
Dengan melihat gambar 3.6 maka dapat dilihat bahwa λ adalah pelabelan super
edge magic dari graf G edge magic number 5m + 6.
Case m ≡ 2( mod 6)
λ(vi ) =
m + 2 + i/2
(i + 1)/2
3m/2 + 4
(2m − i + 7)/2
3m/2 + 3
2m − i/2 + 8
Jika i = m + 5, m + 7 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
λ(vi ) =
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
jika i = 0, 2, ..., m − 2
jika i = 1, 3, ..., m − 1
jika i = m
jika i = m + 1, m + 3
jika i = m + 2
jika i = m + 4, m + 6
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0Universitas
(mod 6) Sumatera Utara
29
(m + 2)
2
(3m + 4)
λ(w) =
2
λ(u) =
Gambar 3.7 : Graf untuk n = 16
4m − i + 3
3m + 2
λ(vi vi+1 ) = 2m + i − 1
3m − 2
2m + i − 9
Jika m + 7 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 2 − i
4m + 1 − i
jika 0 6 i 6 m − 2
jika i = m − 1
jika m 6 i 6 m + 2
jika i = m + 3
jika m + 4 6 i 6 m + 6
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
jika i ≡ 0 ( mod 3)
Universitas Sumatera Utara
30
Case m ≡ 5( mod 6)
λ(vi ) =
m + 2 + i/2
(i + 1)/2
(m + 5)/2
jika i = 0, 2, ..., m − 1
jika i = 1, 3, ..., m − 2
jika i = m
(4m − i + 10)/2
jika i = m + 1, m + 3
(m + 3)/2
jika i = m + 2
(2m − i + 13)/2
jika i = m + 4, m + 6
Jika i = m + 5, m + 7 ≤ i ≤ n − 1, maka
(i + 5)/2
m + 3 + i/2
(i + 1)/2
λ(vi ) =
m + 4 + i/2
(i + 3)/2
m + 2 + i/2
jika i ≡ 1 (mod 6)
jika i ≡ 2 (mod 6)
jika i ≡ 3 (mod 6)
jika i ≡ 4 (mod 6)
jika i ≡ 5 (mod 6)
jika i ≡ 0 (mod 6)
m+1
2
3m + 5
λ(w) =
2
λ(u) =
Gambar 3.8 : Graf untuk n = 22
Universitas Sumatera Utara
31
4m − i + 3
3m + 2
λ(vi vi+1 ) = 2m + i − 1
3m − 2
2m + i − 9
Jika m + 7 ≤ i ≤ n − 2, maka
4m − i
λ(vi vi+1 ) = 4m + 2 − i
4m + 1 − i
jika 0 6 i 6 m − 2
jika i = m − 1
jika m 6 i 6 m + 2
jika i = m + 3
jika m + 4 6 i 6 m + 6
jika i ≡ 1 ( mod 3)
jika i ≡ 2 ( mod 3)
jika i ≡ 0 ( mod 3)
λ(v0vn−1 ) = 3m + 4
λ(uw) = 3m + 3
Dengan melihat gambar 3.8 dapat ditunjukkan bahwa λ adalah pelabelan super
edge magic dengan magic number 5m + 6. Dengan demikian graf G adalah super
edge magic.Dari case yang sudah dikerjakan maka dengan demikian teorema 3.2
terbukti.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Super edge magic graf dibentuk melalui pelabelan super edge magic. Dengan
pembuktian yang sudah diperoleh maka graf G = (n, 2) kite adalah super edge
magic graph, begitu pula dengan gabungan graf antara c komplit graf K2 dan
cycle graf Cn (K2 ∪ Cn ) adalah super edge magic graf, karena berlaku pelabelan
super edge magic.
4.2 Saran
Dalam tulisan ini dibahas masalah pelabelan super edge magic untuk mengetahui apakah graph tersebut adalah super edge magic graf . Bagi para pembaca
disarankan membahas tentang pelabelan yang lebih luas seperti persoalan pelabelan anti super edge magic.
Universitas Sumatera Utara
33
DAFTAR PUSTAKA
Adidarma Sepang, et al. 2008. Diakses tanggal 26 Februari 2010. pukul
19.34. Super Edge Magic Total Labeling on Unicyclic Graphs. Journal.ui.ac.id/?hal=detailArtikel&q=366
Anton
Kotzig dan Alexander Rosa. 1970. Diakses tanggal 1
Maret 2010. pukul 16.23. Magic Valuations of finite Graphs.
www.cms.math.ca/cmb/v13/p451
Deo Narsingh.1980. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. New Delhi: Prentice Hall of India Privated Limited.
Kristina Wijaya dan Edy Tri Baskoro. 2008. Diakses tanggal 25 Februari
2010, pukul 00.03. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Hasilkali Dua Graf..
personal.fmipa.itb.ac.id
Krishnappa, H.K, et al. 2000. Diakses tanggal 20 September 2009,
pukul 07.51. Vertex Magic Total Labellings of Complete Graphs.
Cstar.iiit.ac.in/ kkishore/vmt1-iwogl.pdf
H.Enomoto,et al.1998.Diakses tanggal 1 maret 2010.pukul 16.25. Induced
graph theorem Magic valuation.www.cms.math.ca
Sin-Min Lee,et al.2007.diakses tanggal 1 maret 2010.pukul 16.30. on the edgemagic indices of (v, v + 1).www.cms.math.ca
Gallian Joseph A.1997.Diakses tanggal 20 Februari 2010,pukul 10.30. A dynamic survey of Graph labelling.jgallian@d.umn.edu
Nicholas cavenagh,et al.2006.Diakses tanggal 24 Februari 2010,pukul 21.37.
Edge- magic group labelling of countable graphs.maths.unsw.edu.au
Universitas Sumatera Utara