Kumpulan Soal dan Jawaban Matematika Das

TUGAS INDIVIDU
SOAL DAN PEMBAHASAN
MATEMATIKA DAN STATISTIKA

Oleh:
Rizki Amalia Arifiani
(NIM. 051711133037/B)

Dosen Pembimbing:
Siti Zahidah, S.Si.,M.Si.

FAKULTAS FARMASI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
2017

BAB I
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
1. Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang farmasi memproduksi 3 jenis obat-obatan,
yaitu Pamol, Sanmol, dan Praxion yang penggunaannya haruslah dikonsumsi secara
bersamaan. Masing-masing jenis obat mempunyai 3 unsur utama. 1 kapsul Pamol
mengandung 2 gr paracetamol, 5 gr ibuprofen dan 1 gr aspirin. 1 kapsul Sanmol mengandung

1 gr paracetamol, 2 gr ibuprofen, dan 10 gr aspirin. 1 kapsul Praxion mengandung 3 gr
paracetamol, 7 gr ibuprofen, dan 1 gr aspirin. Seseorang yang sedang demam akan sembuh
dalam beberapa hari apabila mengkonsumsi 15 gr paracetamol, 34 gr ibuprofen, dan 64 gr
aspirin. Jika harga 1 kapsul Pamol Rp 500,00, 1 kapsul Sanmol Rp 700,00, dan 1 kapsul
Praxion Rp 400,00. Tentukan banyaknya masing-masing obat yang harus dibeli agar orang
tersebut sembuh dan total biaya yang dibutuhkan!
Penyelesaian:
Diketahui:
Misalkan,

x = Pamol
y = Sanmol
z = Praxion

Pamol (x)
Sanmol (y)
Praxion (z)
Total bahan aktif
yang diperlukan

Paracetamol
2
1
3

Ibuprofen
5
2
7

Aspirin
1
10
1

15

34

64

Harga 1 kapsul Pamol = Rp 500,00
Harga 1 kapsul Sanmol = Rp 700,00
Harga 1 kapsul Praxion = Rp 400,00
Ditanya: Banyaknya obat yang dibutuhkan dan jumlah biaya yang harus dikeluarkan?
Jawab:
Dari data yang diketahui, diperoleh system persamaan dari permasalahan tersebut, yaitu:

{

2 x + y +3 z=15 …( i)
5 x +2 y+ 7 z=34 …( ii)
x +10 y+ z =64 …(iii)

Salah satu cara yang dapat digunakan adalah dengan metode eliminasi.
Eliminasi persamaan (i) dan persamaan (iii)
2 x + y +3 z=15

(x 1)

x+ 10 y + z=64

(x 3)

2 x + y +3 z=15

3 x+ 30 y +3 z=192
−x−29 y =−177

… (iv)

Eliminasi persamaan (i) dan persamaan (ii)
2 x + y +3 z=15

(x 7)

1 4 x +7 y +21 z=105

5 x+2 y +7 z=34

(x 3)

15 x +6 y +21 z =102
−x + y=3 … (v)

Eliminasi persamaan (iv) dan (v)
−x−29 y =−177
−x + y=3
−30 y =−180
y=6
Subsitusikan nilai y ke persamaan (v)
−x + y=3

−x +6=3
x=3

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (i)
2 x + y +3 z=15
2.3+6+3 z=15

12+3 z =15
3 z=3 → z=1

Maka didapat banyaknya obat yang dibutuhkan yaitu 3 kapsul Pamol, 6 kapsul Sanmol, dan 1
kapsul Praxion. Sehingga, uang yang harus dikeluarkan untuk mendapatkan obat tersebut
adalah
3 ( 500 ) +6 ( 700 ) +1 ( 400 )=Rp 6.100,00 .

2. Banyak bilangan bulat positif dari solusi pertidaksamaan

x 2−2|x|−3
≤ 0 adalah ….
x−1

Pembahasan:
x 2−2|x|−3
≤0 
x−1

(|x|−3)(| x|+ 1)

≤0
x−1

Yang mana nilai (|x|+1) selalu bernilai positif.
+¿
¿
(|x|−3) ¿
¿

Pengenol pembilang:
|x| - 3 = 0
|x| = 3  x = 3 V x = -3
Pengenol penyebut:
x–1=0
x=1
Sehingga didapat garis bilangan,

--- ++ --- ++
-3

+1

3

+

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah {

x ∈ R∨x ≤−3 atau1< x ≤3 }

Bilangan positif yang termasuk ke dalam himpunan tersebut adalah {2 , 3}  ada 2.

BAB II
FUNGSI DAN GRAFIK

1. Suatu obat medis tertentu diberikan kepada pasien. Setelah t jam, banyaknya obat (dalam
milligram) yang tersisa pada aliran darah pasien tersebut dimodelkan sebagai berikut.
D(t) = 50.e-0,2t
Berapa milligram obat yang tersisa pada aliran darah pasien selama 3 jam?
Penyelesaian:

Oleh karena t = 3, maka:
D(3) = 50. e-0,2.3
Sedangkan, diketahui e adalah bilangan natural, nilai e ≈ 2,718
 D(3) = 50(2,718)-0,6 mg
 D(3) = 27,44058047 mg
Jadi, obat yang tersisa pada aliran darah pasien setelah 3 jam adalah 27,44058047 mg.

2. Di sebuah laboratorium mikrobiologi, dilakukan percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri
pada suhu 250 C. Data percobaan disajikan dalam bentuk tabel yang menunjukkan
konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam mol per liter) setelah t menit.
t
C(t)

0
0.400

2
0.352

4

0.304

6
0.256

8
0.208

Sketsa grafiknya dan perkirakan konsentrasi asam tersebut saat detik ke-3, 4, dan 5!
Penyelesaian:
Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik (4, 0.304) dan (8, 0.208), maka
persamaan fungsinya adalah
C ( t )−0,0304
t−4
=
0,0208−0,0304 8−4
C(t) = -0,024x + 0,4

Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai C(t) yang
diinginkan.

C(3) = 0,328
C(5) = 0,280
C(7) = 0,232
Jadi, konsentrasi asam tersebut pada detik ke-3 adalah 0,328 M, detik ke-5 adalah 0,280 M,
dan detik ke-7 adalah 0,232 M.

BAB III
LIMIT FUNGSI

1. Hitunglah nilai dari lim

x→ 0

√ 2+ √ x −√2−√ x !
√x

Penyelesaian:

√ 2+ √ x −√2−√ x . √ 2+ √ x + √ 2−√ x
x→ 0
√x
√ 2+ √ x + √ 2−√ x

lim

= lim

x→ 0

2√x
2
1
=
= √2
√ x( √2+ √ x + √ 2−√ x) √2+ √ 2 2
ax +b−√ x 3
=
, maka tentukan a + b!
x−4
4

2. Jika lim

x→4

Penyelesaian:
Bentuk di atas jika x = 4 maka harus berbentuk

0
.
0

Jadi, 4a + b – 2 = 0, atau 4a + b = 2 … (1)
Dengan menggunakan bantuan turunan, maka:
a−
lim

x→4

1
2√ x 3
=
1
4

1 3
 a− =
4 4

a=1

4.1 + b = 2  b = -2
a + b = 1 – 2 = -1

3. Tentukan nilai dari

lim (

x→∞

1+ x 6 x
) !
x−1

Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan ini jadikan dalam bentuk rumus umum
6x

lim (

1+ x
)
x−1

lim (

1+ x−1+1 6 x
)
x−1

lim (

x−1+2 6 x
)
x −1

x→∞

x→∞

x→∞

1 n
lim (1+ ) =e
n
x→∞

6x

lim (1+

x→∞

lim (1+

x→∞

2
)
x−1

1 6x
)
x−1
2

Jadi, n disini adalah

x−1
2

Untuk pangkat langsung kalikan dengan

n
n

x−1
2
sehingga diperoleh: 6 x .
x−1
2

membuat fungsi menjadi e .
1
lim 1+
x−1
z→∞
2

(

)

x−1
2

=e

Lalu, untuk sisa pangkat

lim

x→∞

6x
x−1
2

6x
=12.
x−1
2

Jadi, hasil akhirnya adalah e 12

dicari dengan nlai limit tak hingga.

untuk

BAB IV
FUNGSI KONTINYU
2

x −1
1. Apakah fungsi f ( x )=
x−1

kontinyu di titik x = 1?

Penyelesaian:
Untuk mengetahui apakah fungsi di atas kontinyu di titik x = 1, maka kita harus mengecek
ketiga syarat.


2
Nilai fungsi f ( 1 )= 1 −1 = 0 . Karena hasilnya
1−1 0
ada atau tidak terdefinisi.

0
0

maka nilai fungsinya tidak

Satu syarat tidak dipenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi f ( x )=
kontinu (diskontinu) di titik x = 1.

2. Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,

{

ax +3,untuk x ≤2
f ( x )= x 2+1, untuk 2< x ≤ 4
5−bx , untuk x> 4
Tentukan nilai a+b !
Penyelesaian:



Fungsi f (x) tidak kontinu di titik x = 2 dan x = 4
Penyelesaian di titik x = 2
f ( x )= lim ¿
+¿

x→ 2 f (x)
−¿

x→2 ¿
lim ¿
¿

x 2−1
x−1

tidak

ax +3= lim

¿

+¿ 2

x →2 x +1
−¿

x →2 ¿
lim ¿
¿



2

a .2+3=2 +1
2 a+3=5
2 a=2
a=1
Penyelesaian di titik x = 4
f ( x )= lim ¿
+¿

x→ 4 f (x)
−¿

x →4 ¿
lim ¿
¿

x 2+1= lim
+¿

¿

x → 4 5−bx
−¿

x →4 ¿
lim ¿
2

¿

4 + 1=5−b .4
17=5−4 b
4 b=−12
b=−3
Sehingga, nilai a+b=1+ (−3 )=−2
Jadi, nilai a+b=−2

BAB V
TURUNAN FUNGSI
1. Seorang apoteker membuat usaha kecil berupa pembuatan obat herbal tradisional dengan
harga Rp 10.000,00 per botol. Jika banyaknya produksi x botol, biaya totalnya memenuhi
(5.000 .000+6500 x+0,5 x 2) , berapa botolkah produk yang harus dijual agar mendapat
keuntungan maksimum?
Penyelesaian:
Pendapatan total = 10.000x
Biaya total ¿ 5.000.000+ 6500 x +0,5 x 2
Misal keuntungan = L(x)
L ( x )=10.000 x−( 5.000 .000+6500 x +0,5 x 2)
Keuntungan akan mencapai maksimum jika L’(x) = 0
L' ( x )=0  3500−0,5 x=0
x=7000

Untuk x = 7.000, besar keuntungan yang diperoleh apoteker tersebut adalah

L ( 7.000 )=3.500 ( 7.000 )−5.000 .000−0,5 ( 7.000 )
L ( 7.000 )=24.500 .000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksi terjual 7.000 botol dan
keuntungan maksimum sebesar Rp 24.500.000,00
2. Seorang pasien yang didiagnosa caries dentis diberikan obat penghilang nyeri “X” oleh
seorang apoketer. Reaksi obat tersebut t jam setelah diminum memenuhi persamaan
f ( t )=3 t 2−t 3 . Pada jam keberapa reaksi maksimum tercapai?
Penyelesaian:
Syarat untuk mencapai maksimum, jika f ' ( t )=0 , maka
2

6 t−3 t =0

3 t ( 2−t )=0
Jadi, t=0 atau t=2
Untuk t=0 , diperoleh f ( 0 )=3(0)2−03=0
Untuk t = 2, diperoleh f ( 2 )=3(2)2−23=4
Jadi, reaksi obat tersebut mencapai maksimum saat 4 jam setelah diminum.

BAB VI
INTEGRAL TAK TENTU
1. Tentukan nilai dari

1

∫ 9 x + 9 x dx
√

Penyelesaian:

∫
¿

−1

dx 1 dx 1
= ∫ 1 = ∫ x 9 dx
9
2
2 √x 2
x9

[

1
1
.x
2 −1
+1
9
8

−1
+1
9

1 1
1
¿ . .x9+ C
2 8
2
9
¿

9 9 8
√ x +C
16

+C

]

√

!

2. Tentukan nilai dari

2

∫ 3+4 x dx

Penyelesaian:
Misalkan, 4 x =u .
ln u=ln 4

x

ln u=x ln 4

1
du=ln 4 dx
u
1
du=dx
u ln 4

2

2

1

∫ 3+4 x dx=∫ 3+ u ( u ln 4 du)
¿

2
1
du
ln 4 ∫ u(3+u)
1

∫ u ( 3+u ) du=… ?
1
A
B
= −
u ( u+3 ) u u+3
A ( u+3 )−Bu
1
=
u (u+3)
u(u+3)
0 u+1 ( A−B ) u+ 3 A
=
u (u+3)
u(u+3)
3 A=1
A=

dan

1
3

A−B=0
1
=B
3

Sehingga diperoleh bentuk:
1
1
1
3
3
= −
u (u+3) u u+ 3
¿

1
1
−
3 u 3(u+ 3)

Dan bentuk integralnya menjadi:
1

1

1

∫ u(u+3) du=∫ 3u − 3 (u+3) du

!

Sekarang ditulis ulang pertanyaannya:
2
1
2
1
1
du=
−
du
∫
∫
ln 4 u (u+3)
ln 4 3 u 3(u+3)
2
1
1
−
du
∫
2 ln 2 3 u 3(u+3)
1
1
1
−
du
∫
3 ln 2 u u+3
1
1
1
−
du
3∫
ln 2 u u+3
1
1
1
−
du
∫
ln 8 u u+ 3
1
1
1
1
du−
du
ln 8 ∫ u
ln 8 ∫ u+3

1
1
du=… ?
ln 8 ∫ u+3
Misalkan

p=u+3

dp=du

1
1
1
1
du=
dp
∫
∫
ln 8 u+3
ln 8 p
¿

1
. ln p+C
ln 8

¿

ln p
+C
ln 8

¿

ln(u+3)
+C
ln 8

ln ( u+3 )
2
1
1
du=
. ln u−
+C
∫
ln 4 u ( u+3 )
ln 8
ln 8
¿

lnu ln (u+ 3 )
−
+C
ln 8
ln 8

¿

lnu−ln(u+3)
+C
ln 8

¿

ln 4 x −ln(4 x +3)
+C
ln 8

¿

x ln 4−ln(4 x +3)
+C
ln 8
BAB VII

INTEGRAL TENTU
3

1. Tentukan nilai dari

∫ x √ x 2−1

!

2

Penyelesaian:
Misalkan, u=x 2−1
du
=2 x
dx
1
du=x dx
2
Penentuan batas integrasi
Batas bawah: Untuk

x=3 , maka u=3 2−1=8 .

Batas atas: Untuk
3

x=2 , maka u=22 −1=3

8

∫ x √ x 2−1 dx=∫ √ u 12 du
2
3
8

¿

1

1
∫ u 2 du
23
8

[ ]
[ ]
1

1 1 2 +1
¿
u
2 1
+1
2

3

3 8

1 1 2
¿
u
2 3
2

3

3 8

[ ]

1
¿ u2
3
¿
=

3

1
1
√ 8− √3
3
3
1
( √ 8−√ 3)
3

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

2
y=x −4 x+ 3 , sumbu x, dan sumbu y!

Penyelesaian:
Untuk menentukan luas suatu daerah, yang harus dilakukan pertama kali adalah menggambar
batas-batasnya.

L1
L2

Luas=L1 + L2
1

3

¿∫ f ( x ) dx−∫ f ( x ) dx
0

1

1

1
2

2

¿∫ ( x −4 x +3 ) dx+∫ ( x −4 x +3 ) dx
0

[
[

3

1

][

1
1
¿ x 3−2 x2 +3 x + x 3−2 x 2+ 3 x
3
3
0
¿

][

1

]

3

][

1 2
1
1
(1) −2 ( 1 )2 +3 ( 1 )−0 + (1)3−2 ( 1 )2+ 3 (1 ) − (3)3−2 ( 3 )2+ 3(3)
3
3
3

1
1
2
¿ 1 +1 −0=2 satuan
3
3
3

]

BAB VIII
PERSAMAAN DIFERENSIAL

1. Tentukan solusi khusus dari persamaan berikut jika y = 3 untuk x = 0.
e

x

dy
=4
dx

Penyelesaian:
ex

dy
dy
=4 → =4 e−x
dx
dx

Maka,
y=∫ 4 e−x dx=−4 e−x + c
Dengan mengetahui y = 3 untuk x = 0, dapat dihitung nilai c yaitu:
−x

y=−4 e + c ↔ 3=−4+c ; c=7

Sehingga solusi khusus adalah:
y=∫ 4 e−x dx=−4 e−x +7

2. Selesaikan PDB

dy −x−2 y
=
, y ( 0 )=3 !
dx y 2−2 x

Penyelesaian:
Bentuk diferensial dari PDB tersebut adalah:
y
(¿¿ 2−2 x)dy =0
( x−2 y ) dx+ ¿

Uji ke-eksak-an PD ini:
∂M
∂N
=−2;
=−2
∂y
∂x
Misalkan dipilih M untuk diintegralkan, maka:
Q ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx+ g ( y)
¿∫ ( x−2 y ) dx + g( y)

1
¿ x2−2 xy + g( y)
2
Lalu, menyamakan turunan Q(x,y) terhadap y dengan N(x,y)
∂ 1 2
x −2 xy+ g ( y ) = y 2 −2 x
∂y 2

(

)

0−2 x + g' ( y )= y 2−2 x
g' ( y ) = y 2
Integralkan g’(y), sehingga diperoleh
1
g ( y )= y 3
3
Penyelesaian umum dalam bentuk implisit Q(x,y) = c:
1 2
1
x −2 xy + y 3=c
2
3
Diketahui y(0) = 3, diperoleh C = 9, sehingga penyelesaian khususnya adalah:
1 2
1 3
x −2 xy + y =9
2
3