BAB I - Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
Standar Kompetensi 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma
Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa kilogramkah
pengetahuan alam, banyak digunakan bilangan- bilangan yang sangat besar atau sangat kecil.
Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan
avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000; dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah
-0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang
Joseph John Thompson
ahli fisika dalam perhitungannya melakukan
kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0 atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan
sebagai 5,976 . 10 18 kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 10 23 dan muatan elektron -1,6 . 10 -19 Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang akan kita pelajari dalam bab ini.
Page | 1
A. Bentuk pangkat
Bilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat pecahan.
1. Pangkat Bulat Positif
Perkalian berulang suatu bilangan real dapat dituliskan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif. Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan .
Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 2 3 berarti 2 3 = 2 x 2x 2
Pada bentuk 2 3 , 2 disebut bilangan pokok atau basis dan 3 yang ditulis di atas bilangan 2 disebut pangkat atau eksponen.
Definisi Bilangan berpangkat bulat positif Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis a n dan didefinisikan sebagai hasil perkalian n faktor masing-masing a yaitu :
a n = a x a x a x .... x a n faktor untuk n = 1 didefinisikan a 1 = a.
Keterangan :
a n dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat.
a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok. n disebut eksponen atau pangkat.
Contoh 1 :
Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen
1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 5 jawab : 4
2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) 3 jawab : 2
3. x x x jawab :
4. 81 4 jawab : 3
5. 256 4 jawab : 4
6. 30.000 4 jawab : 3x 10
2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif
Untuk m , n B dan a R maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut
mn
1. a x a m n a Bukti :
m faktor
… =a
Page | 2 Page | 2
m 2. n a : a a ;m>n
m faktor
n m 3. mn
a a Bukti : m n
a m x a m x a m x ... x a (a m ) =
n faktor
( a x a x a x ... x a ) x ( a x a x a x ... a ) x ... x ( a x a x a .... x a )
m a a Bukti :
4. m m a a a a a b b x x x ... x
m faktor ...
5. m m a b x m a xb Bukti :
( ab) m = ab x ab x ab x ... x ab
m faktor
= ( a x a x a x ... x a ) x ( b x b x b x ... x b
m faktor
Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat 8 x 5 y 6
Page | 3
3 x y xy 4 x y
2 x 3 2 4 y 3 4 x 2 y 2 16 x 6 y 3 4 x 2 y 2
4 xy 2 6 x 2 y 2 16 x
22 x y
3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol
Pada sifat 2 : a m :a n =a m-n untuk m > n dan a 0. Bagaimana jika m = n . Kita tahu bahwa 25
25 = 1 dan 25 = 5 2
=5 =1 Bagaimana jika m < n
Seandainya sifat 2 berlaku maka :
Perhatikan sifat : a m :a n untuk a 0 Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh :
a m :a n =a 0 :a n pada bilangan a 0 = 1 untuk a 0 maka a 0 :a n =1:a n
a 0-n =1:a n
a -n =1:a n
-n
Dari ilustrasi di atas lakukan kegiatan berikut untuk membuktikan sifat pankat bulat negatif dan nol
1. Jika 0 a 0 maka , a 1 Bukti :
1 Bukti :
2. Jika n B dan a
0 n maka a
Contoh 3 :
Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif 4 1 1. 1
4 1 2. 1 3 x
4 3 x 81 x
Latihan Kompetensi 1
1. Sederhanakan 4 .
3 2 2 x y 5
6. Sederhanakan
Page | 4
3 4 2 3 3 2 3 p q 10 p r 1
2. Sederhanakan 2 3 . 4 4 2 2 4 1 1
3. Sederhanakan 1 2 8. Tentukan nilai dari T ab 3 c 4 ,
untuk a = 100 , b = 1 dan c = 0,01
1 ab 1 a b 9. Sederhanakan
4. Sederhanakan
10. Sederhanakan 8 2 . 8 0
5. Buktikan 3 3
1 y
TUGAS 1
2 18 3 x y
6. Tulis dalam satu suku
1. Sederhanakan
12 x y
2 2 2 2. m Sederhanakan x y 7. Tulis dalam bentuk 2
Page | 5 Page | 5
3. Sederhanakan 2 2
b
4. Sederhanakan
xy x y
2 3 2 2 9. Sederhanakan
4 x y 2 xy
4 x y 2 x y
5. Sederhanakan
2 2 10. Sederhanakan
ab a
B. Bentuk Akar
Kita telah membahas dan memberi arti pula pada bilangan dengan pangkat bulat, misalnya 7 -9 ,9 3 ,5 0 dan sebagainya. Sekarang dapatkah kita memberi
arti dan definisi yang baik terhadap bilangan 5 7 , 3 2 , 100 3 dan bilangan-bilangan lain yang serupa dengan itu. Jawabnya bisa! Bilangan tersebut disebut
bilangan berpangkat rasional.
1. Pangkat Rasional
Definisi pangkat rasional Misalkan a dan b bilngan real, n bilangan bulat positif , n ≥ 2 dan b n =a
maka b dinamakan akar pangkat n dari a dan dinyatakan dengan
a n n a , n ≥ 2; dibaca akar pangkat n dari bilangan a
Untuk n = 2, a 2 a ; pangkat tidak ditulis dan dibaca akar a Jika m , n bilangan bulat dan a Re al , maka
mn
a m a n
nm
a , n ≥ 2; dibaca akar pangakat n dari bilangan a pangkat m
Page | 6
Contoh 4 :
Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana
5 5 1. 2 a a 7 2
2. 21 3 3 a 2 a a
2. Bilangan Irasional dan Bentuk Akar
Sebelum membahas lebih jauh bentuk akar, mengingat kembali tentang bilangan rasional dan bilangan irasional yang telah dibahas sebelumnya.
Bilangan Real
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Bilangan Pecahan Bilangan Bulat
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan
a dalam bentuk
dengan a, b bilangan bulat dan b 0.
Berdasarkan definisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bentuk akar merupakan bagian dari bilangan irasional. Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
2 , 6 , 8 , 12 , 20 merupakan bentuk akar, karena bilangan-
a bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
b dan mempunyai nilai masing-masing sebagai berikut :
Page | 7
Bilangan irasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang
25 , 36 bukan bentuk akar karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, seperti :
Bilangan rasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas tetapi berulang
Contoh 5 :
Tunjukkan bahwa bilangan 0,666... = 2/3
Penyelesaian :
Misalkan : x = 0,666... - - - - - - - - - ( kedua ruas dikalikan dengan 10 )
10x = 6,666 ... 10 x = 6 + 0,666 ... 10 x = 6 + x 10 x – x = 6 9x = 6 x = 6/9 = 2/3
Kerjakan soal berikut ini seperti contoh di atas
Tunjukkan bahwa bilangan 0,242424... = 8/33
Misalkan : x = 0,242424... - - - - - - - - - (kedua ruas dikalikan dengan 100) .... = 24 , ... .... = .... + ... .... = .... + ... .... – ... = .... .... = .... .... = ....
Page | 8
Contoh 6 :
Pada bangun persegi di bawah ini, diagonal manakah yang merupakan
bentuk akar, jika diketahui
a. panjang sisi 3 cm
b. panjang sisi 2 2 cm
Penyelesaian :
a. AD = ( 3 ) 2 ( 3 ) 2
Panjang diagonal ini merupakan bentuk akar
b. AD = ............................
3. Bentuk akar atau Radikal Pernyataan yang berbentuk n a yang berarti akar pangkat n bilangan a. bilangan positif n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan
a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), serdangkan lambang n tanda akar. Apabila n = 2 maka indeksnya dihilangkan, sehingga a
memiliki arti 2 a .
Definisi
Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a R, maka akar pangkat n bilangan
a ditulis n a didefinisikan sebagai berikut: n a adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0 n a adalah akar pangkat n yang negatif dari a, dengan a < 0 dan n ganjil.
n 0 0 .
Page | 9
4. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya
Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke dalam bentuk pangkat dan sebaliknya.
Contoh 7 :
Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar
Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif
52 62 3 1 a. 1 3 b. a 3a c. b 1b d. 3 9 81
Penyelesaian :
a. 52 3 = 3 5
= 3 3 –2 x
Latihan Kompetensi 2
1. Manakah diantara bilangan di bawah ini yang merupakan bentuk akar, berikan alasan.
a. 10 c. 0, 9 e. 3 0, 8 g. 3 0, 08 125
b. 3 d. 6
f. 1000 h. 3 8
2. Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk akar
a. 3 c. a e. 81 3 g. 7 y 5
b. 5 3 d. ( 1 ) f. x 2 h. ( x y ) 3
Page | 10
3. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam pangkat pecahan
4. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2
5 1 a. 1 16 c. 2 54 e. 3 g. 34 32 2
1 4 1 1 b. 1 3 32 d. f. 4 h. 2 8 4 2
5. Nyatakan x dalam bentuk pecahan murni untuk setiap soal di bawah
a. x = 0,777...
b. x = 0,252525...
c. x = 0,135135135...
6. Nyatakan bilangan desimal 2,525252 … ke dalam bentuk bilangan rasional
pecahan a
7. Nyatakan bentuk pangkat di bawah ini dalam bentuk akar 2
a b f. a 1
c. 2 1 g. x( 2 x+ 3 x 2 )
d.
h. x(2+ 2 y) 2
8. Nyatakan dalam bentuk pangkat pecahan positif
b. x 3 x x 1 d. 4 36 5 1
1 3 2 c. x x f.
Page | 11
5. Menyederhanakan bentuk akar Dalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang
bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi.
Untuk menyederhanakan atau menjabarkan akar, terlebih dahulu kita harus memahami sifat-sifat berikut:
nn
a) a a mn e) n m n a
n a a
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
a. 48 d. 112b 8
b. 125 e. 54x 8
96a 5 10 f. 192y
Penyelesaian :
a. 48 = 16 x 3 b. 125 = .√25 x 5..
16 x 3 = . √25.. x . √5..
c. 96a 5 = 16 a 4 x 6 a d. 112b 8 = ...
= 16 a 4 x 6 a = ... x ...
2 = 4 a 6 a = ...
e. 54x = 27 x 6 x 2 x 2 f. 192y 10 = ...
Page | 12
Latihan Kompetensi 3
1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini
2. Sederhanakan bentuk akar yang terdefinisi di bawah ini
a. a 5 d. 12s 4 g. x 27 y 2 5
b. 2p 7 e. 6 a3 b h. x 64 y 7 2 8x 4 a 32 y 8 5 p 80 q 8 11 c. f. i.
3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
4. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 4 cm, dan Panjang
AC = 6 cm, tunjukkan bahwa panjang BC = 2 13 cm
5. Luas sebuah persegi panjang adalah 72 cm2 , jika panjangnya tiga kali lebarnya, hitunglah panjang diagonalnya.
6. Operasi aljabar pada bentuk akar
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis.
m a n a m n a dengan a 0 m a n a m n a dengan a 0
a x b ab dengan a 0 dan b 0
Contoh 10 :
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar di bawah ini :
a. 3 5 + 4 5 c. 6 7 – 4 7
b. 2 3 + 7 3 d. 5 2 + 2 2 –4 2
Penyelesaian :
Bentuk akar dari tiap-tiap soal di atas sejenis ( memenuhi syarat ) berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan
a. 3 5 + 4 5 =( 3 + 4 ) 5 = 7 5
b. 2 3 + 7 3 = ( ... + ... ) ... = ...
c. 6 7 – 4 7 = ( ... – ... ) ... = ...
d. 5 2 + 2 2 – 4 2 = ( ... + ... – ... ) ... = ...
Page | 13
Untuk di ingat :
a + b a b dan a – b a b
Operasi Perkalian Bentuk Akar
Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa
a x a = ax a = 2 a = a , untuk a R dan a > 0 maka a x b = ax b = ab , untuk a,b R dan a,b > 0
Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian bilangan- bilangan di bawah tanda akar. Perkalian bentuk akar :
pxq
1. p a x q b = pq ab
axb
2. p a (q b r c ) = pq ab pr ac
3. ( a + b )( c + d )= ac + ad + bc + bd
4. ( a + b ) 2 = (a + b) + 2 ab
( a b ) 2 ab
5. ( a – b ) 2 = (a + b ) – 2 ab
( a b ) 2 ab , dengan a > b
Contoh 11 : Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini
Page | 14 Page | 14
d. 3 3 (4 2 –2 5 ) = 12 6 –6 15
e. 2 3 x5 2 x4 3 = (2x5x4x3) 2 = 120 2
f. ( 2 + 7 )( 5 + 3 )= 10 + 6 + 35 + 21
g. ( 5 + 2 ) 2 = (5+2)+2 10 =7+2 10
2 h. ( 3 – 2 ) = (3+2)–2 6 = 5–2 6
Contoh 12 :
Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini
a. 15 2 26 c. 9 4 2
b. 18 2 72
Penyelesaian :
a. 15 2 26 26
syarat
Jumlah hasil kali
b. 18 2 72 72 ... +
c. 9 4 2 = 9 2 8 8 ... +
Latihan Kompetensi 4
1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini.
2. Sederhanakan bentuk akar di bawah, kemudian tentukan hasil jumlah dan kurangnya
a. 4 3 +3 27 d. 3 45 +4 20 –5 125
b. 5 28 – 10 7 e. 5 63 –4 20 –2 175 +5 125
Page | 15 Page | 15
3. Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini
a. 3 ( 2 +2 3 )
h. 2 x 8 x 3 x 27
k. ( 5 + 3 )(3 5 –2 3 )
e. ( 7 – 5 ) 2 l. ( 2 –2 3 )( 2 +2 3 )
f. ( 10 + 6 ) 2 m. (2 3 +5 2 )(2 3 –5 2 )
g. (2 3 –5 2 ) 2 n. (3 8 +2 7 )(3 8 –2 7 )
4. Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini
a. 18 6 5 b. 32 5 28 c. 3 13 4 3
Merasionalkan penyebut bentuk akar
Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan cara merasionalkan penyebut.
Sebagai ilustrasi : Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya,
tentukan hasil bagi dari
, jika 2 = 1,4142
2 Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb :
Cara 1 menggunakan operasi pembagian bilangan
Cara 2 dengan merasionalkan penyebut
Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ?
Merasionalkan Penyebut :
1. Bilangan Berbentuk a
a Untuk merasionalkan penyebut b , kalikan dengan b b
Contoh 13 :
Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :
6 3 a. 5 b. c.
Page | 16
Penyelesaian :
6 6 3 6 3 a. = x = = 2
3 3 5 3 5 3 b. = x = =
5 5 3 5 x 3 1 c. = x =
c 2. Bilangan Berbentuk c atau
Bentuk a + b dan a – b masing-masing penyebut dari bilangan tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat.
Bentuk sekawan dari suatu bilangan :
a. 5 + 4 3 adalah 5 – 4 3
b. 7 2 – 3 adalah 7 2 +3
c. 3 + 7 adalah
d. 5 2 –4 5 adalah 5 2 +4 5 dan seterusnya
Contoh 14 :
Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :
Page | 17
2 2 2 5 c. 4 = x
c 3. Bilangan Berbentuk c atau
Contoh 15 :
Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :
5 5 2 2 3 b. = x
Latihan Kompetensi 5
1. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini
6 2 3 a. 4 f. k.
7 6 b. 5 g. l.
3 5 c. 2 h. m.
5 63 d. 2 i. n.
2 e. 3 j. o.
Page | 18
2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini
a. c. e.
b. d. f.
3. Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini
a. b.
TUGAS 2
1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini 4 2 4 2 4 2 1
2. Tentukan nilai x yang memenuhi bentuk akar di bawah ini
3. Diketahui nilai a = 2 2 , b= 2 2 dan c = a + b .
Buktikan bahwa nilai c = a 2
4. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan :
Page | 19
C. Bentuk Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Dalam pasal terdahulu kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah a n , a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat ditentukan. Sebagai ilustrasi:
27 3 3 3 3 3 10 2 = 100 dan seterusnya.
Sekarang persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah di ketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula ditentukan. Sebagai ilustrasi:
2 16 , mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4 9 3 , mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.
Pangkat itu sama dengan
10 1000 , mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000. Pangkat itu sma dengan 3, dan seterusnya.
Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disngkat: log) sebagai berikut:
2 16 , ditulis 2 log 16 = ... dan nilai 2 log 16 = 4
9 3 , ditulis 9 log 3 = ... dan nilai 9 log 3 =
10 1000 , ditulis 10 log 1000 = ... dan nilai 10 log 1000 = 3 Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.
Definisi
Misalkan y adalah bilangan positif (y > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
b log y x b x y
b disebut basis/bilangan pokok (0 < b < 1 atau b > 1) atau (b > 0 dan b ≠ 1) y disebut numerus (y > 0) x disebut hasil logaritma nilainya dapat bernilai positif, nol dan negatif.
Untuk diingat :
Jika b = 10, bilangan pokok tidak ditulis. Jadi 10 log 2 ditulis log 2.
Sebagai akibat dari definisi di atas:
Page | 20
Contoh 16 :
Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini.
a. 7 log 49 = 2, sebab 7 2 = 49 1 d. 5 log √5 = , sebab 5 2 5
b. log 3 = -1, sebab 3 e. log 4 = 4, sebab 2 4
2 3 c. 2 2 log 1 = 0, sebab 2 0 =1 f. log 2√2 = , sebab 2 2 2
Contoh 17 :
Misalkan x log 5 = 0,7; tunjukan bahwa x 5 73 5 .
Latihan Kompetensi 6
1. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.
a 2. 1 Jika log 3 = -0,3; tunjukan bahwa a 3 9 81
2 1 3. 1 Jika log 3 a 2 , tunjukan bahwa a 2
Page | 21
2. Sifat-sifat Logaritma
Setelah kita memahami definisi logaritma, untuk mempermudah perhitungan, sekarang akan mengkaji sifat-sifat logaritma.
1) n log( x . y ) b log x b log y 6) b log x n b log x
dengan b 0 b , 1, x 0, y 0 Bukti :
Bukti :
log x n b log x Misalkan :
x=b m dan y = b n b log x x b m m b log x
y b n n b log y
o m+n= b log x b log y o x . y b m n m n b log( x . y ) Jadi, b log( x . y ) b log x b log y
a b c 2) a b log b log x b log y 7) log b . log c . log d log d y
Bukti :
dengan b> 0, b 1, x > 0 dan y >0 a
log b . b log c . c log b log log c log d d Bukti :
log a log b log c Misalkan x = b m dan y = b n
Jadi, a log b . b log c . c log d a log d
o m - n= b log x b log y
b m n b log
Jadi, x b
log b log x b log y
b 3) a log x p . log x a log 8) x x
dengan b 0 b , 1, x 0 Bukti :
Bukti : Misal: a log x = m, maka a m =x Misalkan x = b a m m b log x Karena
p . b log x b log x p Jadi, a log x x
Jadi, b log x p p . b log x
Page | 22 Page | 22
a log x x n
Bukti :
Bukti :
r Misalkan log x m x b m Misalkan log x p p a log x n p log x p log b m
m m p mp p Sehingga : a a a p
m Jadi, b log x
log x
Contoh 17 :
1. Diketahui log 2 0 , 3010 dan log 3 0 , 4771 maka nilai
log 6 log 2 x 3 log 2 log 3 0 , 3010 0 , 4771 0 , 7781
2. Diketahui 8 log 9 log 3 2 log log 3 3 p maka 4 log 9 8 2 3 2 3 8 log 3 3 p log 4 log 2 2 2 log 2
3. Sederhanakan : 5 log 27 x 3 log 5 5 log 3 3 x 3 log 5 3 5 log 3 x 3 log 5 3
Contoh 18 :
Misalkan 2 log 3 = a dan 3 log 5 = b. Nyatakan logaritma 5 log 4,5 dalam bentuk a dan b
5 2 Jadi, log a 4 1 , 5
ab
Page | 23
Latihan Kompetensi 7
2. Jika a log p x , a log q y dan a log r z , nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam x, y dan z.
a. log pqr
a e. log
b. a log p 3 qr p 2 f. a log
c. a log p q 2 32 r g. a log apqr 2
a log log a d.
a pr
h.
pr
3. Sederhanakan.
e. 5 log 9 9 log 25
a. 2 log 24 – 8 log 27
log 25 3 f. log 3 log
b. 3 log 45 – 9 5
c. 16 2 log 12 + 4 log g. 3
log 36 6 log 27
d. log 36 + log
h. log 4 log 10
4. a. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1,
tunjukan bahwa a log b a log b 0
b. Hitunglah :
2 log 6 2 log b
i) 0 , 5 ii)
log 6 1 a log b
p log a
c. Tunjukan bahwa p q log q
log a
5. a. Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1,
tunjukan bahwa q log p r log q p log r 1
b. Hitunglah nilai dari 2 log 10 6 log 4 log 216
6. Carilah nilai x pada persamaan-persamaan berikut:
d. x log 3 = -0,5
7. Carilah nilai x pada persamaan berikut
log x 5 3 log x 2 log x 4 log x 3 9
8. Diketahui 8 log 3 = a, nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam a
Page | 24
9. Misalkan diketahui p log q = 6, r log p = 4, p, q dan r bilangan-bilangan real
log qr
positif p ≠ 1, r ≠ 1. Hitunglah nilai dari p
2 10. 2 Misalkan diketahui log 3 = m dan log 5 = n, nyatakan tipa bentuk berikut ini dalam m dan n.
6 a. 18 log 50 b. log 20
3. Menentukan Logaritma dan Antilogaritma Suatu Bilangan
Dalam pembahasan di atas telah kita menentukan nilai logaritma menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma. Tetapi tidak mudah menentukan nilai suatu logaritma jika:
i) 2 log 3 = x 2 x = 3, tidak mudah mencari nilai x walaupun sudah diubah kedalam bentuk bilangan berpangkat
ii) 5 log 7 = y 5 y = 7, tidak mudah mencari nilai y walaupun sudah diubah kedalam bentuk bilangan berpangkat Untuk menjawab persoalan i)dan ii) di atas diperlukan cara lain. Ada dua cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu:
dengan menggunakan grafik fungsi y = a x , dengan memakai tabel logaritma. dengan menggunakan kalkulaor scientifik dengan menggunakan Ms excel
Dalam buku ini hanya akan dibahas cara menentukan logaritma dengan menggunakan tabel logaitma.
Logaritma Bilangan Antara 1 Sampai 10 dengan Menggunakan Tabel Logaritma.
Untuk keprluan perhitung perhitungan, telah dibuat daftar atau tabel matematika. Daftar atau tabel matematika memuat hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel matematika ada baiknya kita pahamiterlebih dahulu beberapa hal berikut:
1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis (dari kata mantisse).
2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas: Lajur pertama (disebut lajur N), dari atas ke bawah memuat
bilangan-bilangansecara berurutan dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari
kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0, 1, 2, 3 ....8, 9. Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1 dosebut lajur 1, ....demikian seterusnya. Pada tiap lajur itu, dari atas ke bawah memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.
Page | 25
Lajur N Lajur 0
Lajur 7 Lajur 8 Lajur 9
Baris Judul
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
Page | 26
Contoh 19:
Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini.
a) log 4,6
d) log 1,013
b) log 1,21
e) log 1,238
c) log 3,69
f) log 1,495
Penyelesaian
a) log 4,6 = .... logaritma tiap bilangan antara 1 sampai 10 mempunyai nilai antara 0 dan
1, maka kita dapat menuliskan log 4,6 = 0,.... angka didepan tanda koma disebut indeks atau karakeristik, yaitu bagian bulat dari logaitma suatu bilangan. angka-angka di belakan koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma suatu bilangan itu. mantis ini dapat ditentuka dari tabel logaitma pada baris ke-4 lajur 6, diperolh 6628. jadi, log 4,6 = 0, 6628
Mantis atau bagian desimal dari logaritma 0 0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542
b) Tulis dulu log 1,21 = 0,... bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-12 lajur
1, diperoleh 0828 jadi, log 1,21 = 0,0828
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
Page | 27 Page | 27
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
d) log 1,013 = 0,0056
Mantis atau bagian desimal dari logaritma 100 0000 0004 0009 0013 0017 02 0026 0030 0035 0039
e) log 1,238 = 0,0927
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
Page | 28 Page | 28
Mantis atau bagian desimal dari logaritma 147 1673 1676 1679 1682 1685 1688 1691 1694 1697 1700
Logaritma Bilangan Lebih dari 10
Untuk menghitung logaritma yang lebih dari 10 gunakan pertolngan sifat-sifat logaritma. Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1:
Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam notasi baku a x 10 n
Langkah 2:
Gunakan sifat logaritma Log (a x 10 n ) = log a + log 10 n log (a x 10 n ) = n + log a
Langkah 3:
Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai log a yang diperoleh dari tabel loigaritma tadi dijumlahkan dengan n. Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.
Contoh 20:
Carilah nilai dari tiap logaritma berikut.
a) log 67,5
d) log 65.600
b) log 482,6
e) log 423.800
c) log 7.452
f) log 5.452.000
Penyelesaian
d) log 65.600 = log (6,56 x 10 4 ) = log 6,75 + log 10
a) log 67,5 = log (6,75 x 10 1 )
= log 6,56 + log 10 4 = log 6,75 + 1
= log 6,56 + 4 = 0,8293 + 1 = 1,8293
= 0,8619 + 4 = 4,8619 Jadi, log 67,5 = 1,8293
Jadi, log 65.600 = 4,8619
e) Log 423.800 = log (4,238 + 10 5 ) = log 4,826 + 2
b) log 482,6 = log (4,826 + log 10 2 )
log 4,238 + log 10 5 ) = 0,6836 + 2 = 2,6836
log 4,238 + 5 Jadi, log 482,6 = 2,6836
= 0,6272 + 5 = 5,6272 Jadi, log 423.800 = 5,6272
c) log 7.452 = log (7,452 x 10 3 )
f) Log 5.452.000 = log (5,452 + 10 6 )
= log 5,452 + log 10 6 = log 7,452 + 3
= log (7,452 + log 10 3 )
Jadi, log 7.452 = 3,8723 Jadi, log 5.452.000 = 6,7366
Page | 29
Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1
Nilai logaritma bilangan-bilangan antgara 0 dan dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan logaritma bilangan-bilangan yang lebig dari 10. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut.
Contoh 21:
Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini.
a) log 0,67)
c) log (0,00362)
b) log (0,0451)
d) log (0,000124)
Penyelesaian
a) log (0,67) = log (6,7 x 10 -1 ) = log 6,7 + log 10 -1
= log 6,7 – 1 = 0,8261 – 1 = -0,1739
Jadi, log 0,67 = -0,1739 Nilai log 0,67 lebih sering ditulis dalam bentuk 0,8261 – 1, karena dapat dengan mudah diperlihatkan bagian bulat (karakteristik) dan mantisnya.
b) log (0,0451) = log (4,51 x 10 -2 ) = log 4,51 + log 10 -2
= log 4,51 – 2 = 0,6542 – 2
Jadi, log (0,0451) = 0,6542 – 2
c) log (0,00362) = log (3,62 + 10 -3 ) = log 3, 62+ log 10 -2
= log 3,62 – 3 = 0,5587 – 3
Jadi, log (0,00362) = 0,5587 – 3
d) log (0,000124) = log (1,24 + 10 -4 ) = log 1, 24+ log 10 -4
= log 1,24 – 4 = 0,0934 – 4
Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4
Page | 30
Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaitma
Pada pasal ini kita akan demonstrasikan bagaimana menentukan antilogaritma suatu bilangan menggunakan tabel logaritma.
Misalkan log x 2,5. Berapakab nilai x
Perlu kita ingat bahwa:
Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x <10 Jika 1 < log x < 2, maka 10 < x < 10 2
Jika 2 < log x < 3, maka 10 2 < x < 10 3 ... dst
Contoh 22:
Tentukan nilai x menggunakan tabel logaritma
a) log x = 0,9912
c) log x = 4,718
b) log x = 2,34
d) log x = 5,2146
Penyelesaian
a) log x = 0,9912 mantisa 9912 diperoleh 9,80 pada lajur N diperleh 98 pada lajur 0 samapai 9 diperoleh 0 log x = 0,9912 karakteristiknya 0, berarti 1 < x < 10
Mantis atau bagian desimal dari logaritma
Jadi, log x = 0,9912 x = 9,80
b) log x = 2,34 mantisa 3400 diperoleh 2,188 karakteristik dari log x = 2,34 adalah 2, berarati 10 2 < x < 10 3
maka x = 2,188 10 2 = 218,8
Jadi, log x = 2,34 x = 218,8
Page | 31 Page | 31
maka x = 5,224 10 4 = 52.240
Jadi, log x = 4,718 x = 52.240
d) log x = 5,2146 mantisa 2146 diperoleh 1,639 karakteristik dari log x = 5,2146adalah 5, berarti 10 5 < x < 10 6
maka x = 1,639 10 5 = 163.900
Jadi, log x = 5,2146 x = 163.900
Contoh 23:
Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah
a) 0,415 – 1
c) -1,52
b) 0,29 – 3
d) -4,6315
Penyelesaian:
a) Misalkan log y = 0,415 – 1 mantisa 4150 diperoleh 2,600 karena karakteristiknya -1, didapat dari 10 -1 (10 -1 < y < 1)
maka y = 2,600 -1 10 = 0,26
Jadi, log y = 0,415 – 1 y = 0,26
b) Misalkan log y = 0,29 – 3 mantisa 2900 diperoleh 1,95 karena karakteristiknya -3 didapat dari 10 -3 (10 -3 < y < 10 -2 )
maka y = 1,95 10 -3 = 0,00195
Jadi, log y = 0,29 – 3 y = antilog (0,29 – 3 ) = 0,00195
c) Kita tulis dulu -1,52 = -1,52 + 2 – 2 = 0,48 - 2 misalkan log y = 0,48 – 2 mantisa 4800 diperoleh 3,02 karena karakteristiknya -2 didapat dari 10 -2 (10 -2 < y < 10 -1 )
maka y = 3,02 10 -2 = 0,0302
Jadi, log y = -1,52 y = 0,0302
d) Kita tulis dulu -4,6315 = -4,6315 + 5 -5 = 0,3685 -5 mantisa 3685 diperoleh 2,336 karena karakteristiknya -5 didapat dari 10 -5 (10 -5 < y < 10 -4 )
maka y = 2,336 10 -5 = 0,00002336
Jadi, log y = -4,6315 y = 0,00002336
Latihan Kompetensi 8
1. Dengan menggunakan tabel logaritma. Carilah nilai logaritma-logaritma berikut.
a) log 3
g) log 3,61
b) log 6
h) log 1,68
c) log 9
i) log 6,21
d) log 2,3
j) log 2,926
e) log 4,5
k) log 8,532
f) log 9,3
l) log 6,071
Page | 32
2. Dengan memekai tabel logaritma, carila nilai a pada setiap persamaan di bawah ini.
a) log a = 0,316
d) log a = 0,94
b) log a = 0,415
e) log a = 0,8791
c) log a = 0,49
f) log a = 0,9298
3. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah loagritma-logaritma berikut
a) log 12,3
g) log 83.260
b) log 16,6
h) log 137.500
c) log 32,5
i) log 854.400
d) log 147,5
j) log 6.819.000
e) log 252,6
k) log 47.800.000
f) log 3.051
h) log 841.000.000
4. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah logaritma-logaritma berikut ini.
5. Diketahui log 3,02 = 0,48, carilah logaritma-logaritma berikut.
a) log 3 3, 02 2 g) log 302.000
4 b) log (3,02)
h) log 0,302
c) log 30,2
i) log 0,0320
d) log 302
j) log 0,00320
e) log 3.020
k) log 0,000320
f) log 30.200
l) log 0,0000320
6. Carilah bilangan yang nilai logaritma-logaritmanya sebagai berikut.
h) 0,416 - 1
c) 1,632
i) 0,531 - 2
d) 2,42
j) 0,624 - 4
e) 2,56
k) -4,325
f) 3,841
l) -2,931
4. Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan
Sekarang kita akan membicarakan penggunaan logaritma untuk memepermudah perhitungan yang melibatkan bilangan besar yang memerlukan operasi aljbar yang rumit seperti ketika menghitung
mengalikan dan membagi bilangan menghitung pemangkatan dan pebarikan akar suatu bilangan
sehingga untuk keperluan di atas, kita kadang menggunakan kalkulator untuk memecahkannya. Kali ini, kita tidak menggunakan alat hitung kalkulator, tapi dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma dan tabel logaritma yang sudah kita bahas sebelumnya.
Page | 33
Mengalikan dan Membagi Bilangan.
Ingat kembali sifat logaritma:
log (a b) = log a + log b
a log log a log b
Contoh 23:
Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:
4 , 56 7 , a) 82 4,321 6,571 c)
65 . b) 800 d)
Penyelesaian
a) Misalkan y = 4,321 6,517 log y = log (4,321 6,517) log y = log 4,321 + log 6,51 log y = 0,6356 + 0,8140 log y = 1,4496 log y = 1 + 0,4496
log y = log 10 1 + log 2,816; antilog 0,4496 = 2,816
log y = log (10 2,816) log y = log 28,16
y = 28,61 Jadi, 4,321 6,571 = 28,16
b) Misalkan y = 2 , 645
log y = log 3,214 – log 2,645 log y = 0,5070 – 0,4224 log y = 0,0846 log y = log 1,215; antilog 0,0846 = 1,215
y = 1,215
3 , Jadi, 214 = 1,215
4 , 56 7 , c) 82 Misalkan y =
log y = log 4,56 + log 7,82 – log 5,63 log y = ( 0,659 + 0,8932 ) – 0,7505 log y = 1,5522 – 0,7505 log y = 0.8017 log y = log 6,334 ; antilog 0,8017 = 6,334
y = 6,334
4 , 56 7 , Jadi, 82 = 6,334
Page | 34
65 . d) 800 Misalkan y =
log y = log 65,800 – ( log 5,24 + log 342 ) log y = 4,8182 – ( 0,7193 + 2,5340 ) log y = 4,8182 – 3,2533 log y = 1,5649 log y = 1 + 0,5649 log y = log 10 + log 3,672 ; antilog 0,5649 = 3,672 log y = log (10 3,672) log y = log 36,72
y = 36,72 65 . 800
Jadi, = 36,72 5 , 24 342
Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan
Gunakan sifat log a n = n log a, sehingga operasi dapat disederhanakan menjadi benuk perkalian antara pemangkatan dan logaritmanya. Unruk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini:
Contoh 24:
Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:
a) (0,043) 4 c) 3 642
3 4 , 84 3 0 , b) 345 (2,86) (0,436) d) 3 , 64
Penyelesaian
a) Misalkan x = (0,043) 4 log x = log (0,043) 4
log x = 4 log 0,043
log x = 4 ( log 4,3 + log 10 -2 ) log x = 4 (0,6335 – 2) log x = 4 ( -1,3665 ) log x = – 5,466 log x = 0,534 – 6 log x = log 3,4198 + log 10 -6 log x = log (3,4198 10 -6 ) log x = log ( 0,0000034198 )
x = 0,0000034198
Jadi, (0,043) 4 = 0,0000034198 = 3,4198 10 -6
b) Misalkan x = (2,86) 3 (0,436) 4 log x = log [(2,86) 3 (0,436) 4 ] log x = log (2,86) 3 + log (0,436) 4
log x = 3 log (2,86) + 4 log (0,436) log x = 3 ( 0,4564 ) + 4 ( -0,3605 ) log x = 1,3692 – 1,442 log x = –0,0728 log x = 0,9272 – 1
log x = log 8,4657 + log 10 -1
log x = log ( 8,4657 10 -1 )
Page | 35 Page | 35
Jadi, x = (2,86) 3 (0,436) 4 = 0,84657
c) Misalkan x = 3 642
log x = log 3 642
log x = 1 log
3 log x = log 8,626 x =
8,626 Jadi, 3 642 = 8,626 , 84 3 0 , d) 345 Misalkan x
1 [ ( log 84,3 + log 0,345 ) – log 3,64 ]
2 log x =
2 log x = 0,4513 log x = log 2,827
x = 2,827 , 84 3 0 , Jadi, 345
Latihan Kompetensi 9
Page | 36
2. Hitunglah tiap perpangkatan dan bentuk akar di bawah ini!
a) (4,72) 3 g) 5 , 67
b) (51,6) 3 h) 3 8 . 960
c) (1,004) 4 i) 0 , 6842
d) 4,86 (0,65) 3 j)
3 3 4 , 25 a) 437 (3,93) 0 , 762 c)
3 3 0 , 264 3 3 b) 526 (0,214) 0671 5 , 34 d)
4. Hitunglah luas dari:
a) Lingkaran dengan jari-jari 6,54 ( = 3,14)
b) Persegi dengan panjang sisi 5,82 cm
5. Volume sebuah tabung ditentukan dengan rumus v = r 2 t ( = 3,1; r = jari-jari bidang alas, dan t = tinggi tabung)
a) Hitunglah V, jika r = 12,36 dan r = 6,85
b) Hitunglah t, jika V = 86 dan r = 3,42
c) Hitunglah r, jika V = 74 dan t = 2,86.
D. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana
Persamaan pangkat dan bentuk akar dengan bilangan pokok yang sama selalu memiliki penyelesaian.
Untuk a R dan a ≠ 0, berlaku a f ( x ) a g ( x ) jika dan hanya jika f(x) = g(x)
Jika pada persamaan eksponen bilangan pokoknya berbeda maka langkah pertama dalam menyelesaikannya adalah menyamakan bilangan pokok tersebut.
Contoh 25 :
x 1. 2 Diketahui : 8 16
, tentukan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian :
2 3 x 2 16 2 6 x 4 2 2 6 x 4 x
2. Diketahui : 4 x 3 4 8 x 5 , tentukan nilai x yang memenuhi
Page | 37
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x 4 2 x 1 3
Penyelesaian:
36 2 x 1 x 2 12 x 36
72 x 36 x 2 12 x 36
x 2 60 x 0
x x 60 0
x 1 0 atau x 2 60 ( tidak memenuhi )
Latihan Kompetensi 10
Tentukan nilai x dari persamaan berikut.
E. Persamaan Logaritma Sederhana
Persamaan logaritma yang kita bahas dibatasi pada bentuk
a log f ( x ) a log g ( x ) maka f(x) = g(x)
dengan a > 0 dan a ≠ , f(x) dan g(x) > 0
Contoh 26 :
1. Diketahui : 2 log x 2 log x 2 3 , tentukan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian:
2 log x x 2 2 log 2 3 2 log x 2 2 x 2 log 8
x 2 2 x 8 x 2 2 x 8 0 x 2 x 4 0 x 1 2 atau x 2 4 tidak memenuhi
Page | 38
1 log 9 log 2
2. Tentukan nilai x jika diketahui x 10 100 2
Latihan Kompetensi 11
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 log x 2 x 2 log 4 3
2. Tenatukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log x 2 log 10 2 log x 2 1
log 2 x 3 log x 2
3. Tentukan nilai x yang memenuhi
log 6 x 8
4. x Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log 3 x 2 x log 2 x 3 x 10 0
adalah
5. x Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log x 12 3 . log 4 1 0
Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 3 4 log x 1 6. 49 , hitunglah a + b
3 log 4 x 2 3 2
log x 7. 2 Diketahui akar-akar persamaan log x 3 log 4 adalah x 1 dan x 2 ,
hitunglah x 1 x 2
Page | 39
Page | 40
Page | 41