NAMA : YOHANSLI NOYA NIM : 201377021

  

3.7. The Nonlinear Oscillator: Method of Successive Approximations

  

3.8. The Nonlinear Oscillator: Chaotic Motion

  

3.9. Nonsinusoidal Driving Force: Fourier Series

NAMA : YOHANSLI NOYA

NIM : 201377021

  

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PATTIMURA

AMBON

2015

  MEKANIKA Ketika sebuah sistim dipindahkan dari posisi kesetimbangan, gaya pemulih mungkin merubah bagian langsung untuk perpindahan. Sebagai contoh, sebuah pegas tidak mematuhi hukum Hooke; juga, dalam banyak kasus physis, fungsi gaya pemulih nonlinear tidak terpisah, seperti dengan membahas pendulum sederhana sebagai contoh untuk diikuti.

  Didalam kasus nonlinear, gaya pemulih dapat ditulis seebagai ( ) = − + ∈ ( )

  Dimana fungsi ∈ ( ) merepresentasian permulaan linearitas. Ini penting untuk persamaan kwadrat, atau urutan yang lebih tinggi, dalam perpindahan variable x. Persamaan diferensial dari gerakan bawah seperti sebuah gaya, mengasumsikan tidak ada pengaruh gaya luar, dapat ditulis dalam bentuk

• …
• = ∈ ( ) = ∈ + ∈ Disini kita telah memperluas ∈ ( ) sebagai rangkaian tenaga/daya.

  Memecahkan tipe dari persamaan diatas biasanya memerlukan beberapa metode perkiraan. Untuk mengambarkan suatu metode, kita mengambil fakta kasus dimana hanya syarat-syarat kubik di ∈ ( ) adalah penting. Maka kita mempunyai

• = ∈

  ∈

  Pembagian oleh dan memperkenalkannya dari singkatan = dan = ⅄, kita dapat menulis

  = = ⅄ Kita mendapatkan solusi dengan metode perkiraan berturut-turut.

Sekarang kita tahu bahwa untuk sebuah ⅄ = 0 solusinya adalah =

  . Andaikan kita kita mencoba sebuah perkiraan yang sama dengan = Dimana, kita dapat melihat, tidak sama untuk . Dengan mencoba memasukan solusi dalam persamaan diferensial yang diberikan oleh

  3

  1

• − = ⅄ = ⅄ 3 +

  4

  4 Pada bagian terakhir kita telah menggunakan identitas trigonometri =

• 3 , dimana akan diperoeh dengan mudah dengan menggunkan hubungan

  = [ ] . Dengan memberikan dan mengumpulkan terminology, kita mendapatkan.

  3

  1 − − − 3 +

  = 0 4 ⅄ 4 ⅄

Kasus = 0 tidak termasuk hal yang sepeleh, kita melihat solusi tidak persis memuaskan untuk persamaan difefrensial. Bagaimanapun, satu perkiraan untuk

  nilai dari , yang mana benar untuk lamda kecil, adalah memperoleh dengan cara mengatur tanda kurung sama dengan nol. Ini menghasilkan

  3 = − 4 ⅄

  3⅄ = 1 −

  4 Untuk frekuensi dari kita hanya menjalankan osilator nonlinear. Sambil kita dapat melihat, itu adalah sebuah fungsi dari amplitude A.

  Untuk mendapatkan solusi yang lebih baik, kita musti mengambil perhitungan dalam membayangkan syarat-syarat dalam persamaan = 1 −

  ⅄

  diatas dan menyertakan harmonik ketiga, 3 . Oleh karena itu, kita membuat sebuah solusi percobaan yang kedua seperti dibawah ini.

• =

  3 Dengan memasukan kedalam persamaan diferensial, kita menemukan, setelah mengumpulkan terminology.

  − − ⅄ + cos + −9 − ⅄ 3 + + (meneyrtakan terminology B⅄ perkalian dari ) = 0

  Denagn mengatur jumlah yang ada dalam kurung sama dengan nol memberikan nilai yang sama ditemukan dalam persamaan

  3 = − 4 ⅄

  3⅄ = 1 −

  4 Menyamakan yang kedua untuk nol memberikan sebuah nilai untuk koefisien B, yaitu,

  1 ⅄ ⅄ 4 ⅄

  = = ≅

• −9 −32 + 27⅄

  32 Dimana kita dapat mengasumsikan bahwa syarat-syarat persamaan menyertakan ⅄ adalah penggabaian yang cukup kecil. Perkiran kita yang kedua dapat diekspresikan sebagai

  ⅄ = cos −

  3

  32 Kita berhenti pada titik ini, tetapi prosesnya dapat diulangi untuk meneukan ketiga perkiraan yang lain juga. Analisis diatas. Walaupun tidak dapat disangkal sangat sederhana, membawa dua hal-hal yang perlu kedepan dari osilasi bebas dibaawah sebuah gaya pemulih nonlinear, itu berarti, periode dari osilasi adalah sebuah fungsi dari getaran amplitude, dan osilasi tidak sinusoidal dengan keras tetapi dapat dianggap sebagai superposisi dari sebuah harmonic campuran. Getaran dari sebuah system nonlinear diatur semata-mata oleh gaya pengatur sinusoidal juga disimpangkan. Itu berarti memuat harmonik. Pengeras suara dari sebuah sistim stero, untuk contoh, mungkin memperkenalkan penyimpangan (harmonic) berakhir dan diatas diperkenalkan oleh sistim electronic amplipayer.

  CONTOH

  Pendulum Sederhana sebagai sebuah Osilator Nonlinear Pada contoh ini kita meperlakukan pendulum sederhana sebagai sebuah osilator harmonic linear oleh perkiraan

  ≅ . Sebenarnya, sinus dapat dapat diperluas sebagai sebuah rangkaian kekauatan, = − 3! + 5! − ⋯

  Jadi, persamaan diferensial untuk pendulum sederhana, + sin = 0, mungkin dapat ditulis dalam bentuk persamaan

• = ∈ ( ) = ∈ +
• … dan hanya oleh menahan terminology linear dan kubic dalam perluasan ∈ untuk sinus, persamaan diferensial menjadi
• Dimana = / . Persamaan matematis ini sama dengan persamaan =

  = 3!

  . Dengan memperbaiki ekpresi untuk frekuensi = ⅄ . Dengan ⅄ = =

  ! !

  sudut, persamaan

  3

  1

• − − − 3 = 0 4 ⅄ 4 ⅄ memberikan

  3( 6 ) = 1 − = 1 − 8

  4 Dan

  2 = = 2 1 − 8 = 1 − 8

  Untuk periode dari pendulum sederhana. Disini adalah amplitude dari osilasi diekspresikan dalam radian. Metode perkiraan menunjukan bahwa periode untuk

  /

  dari amplitodu tidak nol adalah lebih panjang oleh factor (1 − /8) menghitung lebih awal, mengasumsikan

  = . Untuk contoh, jika pendulum mengikuti arus mode terakhir dengan amplitude 90 = /2 radian (sebuah amplitude wajar lebih besar) factornya adalah (1 − /32) = 1.2025, jadi periode adalah kira-kira 20% lebih panjang periode untuk amplitude kecil. Ini dengan sangat lebih besar dari pertambahan pendulum kasti.

• Mengatur-Membatasi Osilator : Solusi Numerik Beberapa osilator nonlinear menunjukan effect tidak dapat dihasilkan oleh beberapa osilator linear, keterbatasan perputaran, itu berarti, osilasi mengatur- membatasi. Misalnya dari osilator nonlinear seperti menunjukan mengatur- membatasi cara adalah osilator Van der Pol, secara intensif diajarkan oleh Van der Pol dalam penelitiannya dari lintasan pipa vacuum, dan osilator mekanik sederhana untuk pergesekan pengiringan, penelitian oleh Lord Rayleigh dalam pengamatannya dari getaran dawai violin oleh haluan dawai. Disini kita membahas

sesuatu dari persamaan gerakan Van der Pol menggambarkan sebuah osilator nonlinear, menunjukan mengatur-membatasi pergerakan dimana pembatasan perputaran kita dapat menghitung dengan cukup sesuai nomornya. Dengan menganggap osilator untuk sebuah gaya nonlinear, dimana secara keseluruhan persamaan dari gerak adalah :

• − − − = 0 Persamaan Van der Pol sama untuk persamaan diatas tanpa ketiga syarat-syarat di tanda kurung, kecepatan bergantung factor, / . Batas perputaran jelas dengan sebuah pengaturan kembali terminology diatas dan sebuah subtitusi bagian jarak variable untuk :

  − + + 1 − = 0 Nonlinear syarat adalah negativ untuk semua titik ( , ) bagian ellipse diberikan oleh

• = 1 Sebagai nol untuk titik pada lonjong dan positif untuk titik diluar ellipse. Walaupun, tidak peduli kedudukan dari osilator (diuraikan oleh posisi keadaan perubahan aliran jarak), bergerak dari kedudukan tahap-jarak titik berhubungan dengan ellipse. Dengan kata lain, tidak peduli bagaimana gaya itu dimulai, osilator akhirnya bergetar dengan gerak harmonic sederhana dari amplitude A; gerakan ini disebut pembatas, dan jarak tahap ini disebut batas perputaran. Van der Pol osilator menunjukan reaksi keadaan ini, tetapi batas perputaran tidak dapat melihat juga dengan jelas.

Sebuah solusi lengkap hanya dapat membawa keluar secara numerik. Kita telah menggunakan Matematis untuk melakukan ini. Untuk mengurangi perhitungan, kita mempunyai pengatur factor , , dan . Demikian, persamaan

• − 1 − = 0 dengan bentuk sederhana

  

− (1 − − ) + = 0

  Sebuah cara klasik untuk menyelesaikan sebuah perintah tunggal, kedua persamaan diferensial adalah untuk memasukannya kedalam beberapa sistem equivalent dari pertama-urutan atau beberapa teknik equivalent untuk menyelesaikan. Dengan subtitusi dari untuk , kita mendapatkan mengikuti dua pertama-kedua persamaan diferensial :

  = = − + (1 − − )

  Dampak, persamaan ini tidak dapat diselesaikan menjadi numerik. Satu persamaan dapat dengan mudah dibuktikan bawha mempunyai solusi analitik = dan = − , dimana akhirnya mewakili pembatas gerak pada unit perputaran + = 1. Bagaimanapun, untuk melepaskan gerak start berubah- ubah dari nilai antara dalam dan tanpa dengan batas putaran, dan melihat sistim menyusun kearah pemabatas. Cara ini dapat diamati hanya oleh mengatasi persamaan numerik, untuk contoh, menggunakan Mathcad. Seperti bagain sebelumnya, kita menggunakan persamaan penyelesaian Mathcad, rkfixed, dimana menggunakan empat-urutan teknik Runge-Kutta untuk penyelesaian numerik pertama-urutan persamaan diferensial dari sebuah dua- dimensi vektor = ( ).

  ,

• Prosedur Mathcad

   ,

  berisi nilai awal Memberi definisi satu dua-dimensi vektor =

  ; seperti,

  ,

  = −0.5 (gerakan ini dimulai pada

  =(−0.5, 0). )

  ,

  Memberi defenisi sebuah vektor-dinilai fungsi ( , ) pertama berisi yang

   tidak diketahui fungsi ( ) dan ( ) (Persamaan = ; = − + − ) ):

  (1 − ( , ) = − + (1 − − )

   dimana solusinya dapat dievaluasi.

  Menentukan waktu interval [0, ] dan nomor dari titik, npts, dalam interval

  Informasi untuk fungsi rkfixed (atau Rkadapt jika gerakannya berubah juga

   dengan cepat dalam waktu kecil interval sesuatu tempat dalam interval waktu [0, ] itu telah dipilih); seperti, = ( , 0, , , )

  Atau = ( , 0, , , )

  Fungsi rkfixed (atau ) kembalinay sebuah matriks Z (dalam kasus ini, dua baris dan tiga colum) dimana colum pertama berisi waktu dimana solusi dievaluasi dan sisinya dua colum berisi nilai dari ( ) dan ( ). Ciri-ciri grafiik Mathcad dapat digunakan untuk menghasilkan nilai tahap-jarak bidang, sebuah dua-dimensi menyebar bidang dari ( ) versus ( ).

Bentuk persamaan ( ) = − + ∈ ( ) menunjukan nilai dari sebuah solusi numerik untuk persamaan gerak diatas. Tentu saja, menyatakan, sistem

  salah satu dari dua naik atau keluar, pada akhirnya penyelesaian pada pergerakan batas dimana gaya menghilang. Suatu kejadian osilator “Kuncc” dalam batas, gerakannya menunjukan bahwa osilator harmonik sederhana, berulang dan dengan sepenuhnya dapat diperkirakan.