Geometri Tinjauan Filsafat ilmu mustansyir
GEOMETRI
Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Filsafat Ilmu
Dosen Pengampu : Dr. Gatut Iswahyudi, M.Si.
Oleh,
1.
2.
Berti Okta Sari
Yudi Pramono Pawiro
(S851402006)
(S851402070)
PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
A. Pendahuluan
Geometri adalah sebagian dari matematik yang mengambil persoalan
menenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari sifat ruang. Pada mulanya ia
hanya sebagian dari pengetahuan praktis yang menitik beratkan pada jarak luas
dan isi, tetapi pada abad ke 3SM geometri telah diletakkan di dalam bentuk
aksioma oleh euclid membentuk geometri euclid. Sedangkan Geometri berasal
dari bahasa Yunani (greek) yang berarti ukuran bumi. Maksudnya mencakup
mengukur segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian dimulai dari
pengukuran praktis yang diperlukan untuk pertanian orang–orang Babylonia dan
Mesir. Kata “geometri” menurut orang Mesir dan Babyloni ini diperluas untuk
perhitungan panjang ruas garis, luas dan volume.
Geometri euclid adalah pembelajaran geometri yang di dasarkan pada
definisi, teorem atau aksioma (titik,garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari
seseorang matematikawan Yunani (330 B.C.) yakni Euclid. Banyak penemuanpenemuan Euclid telah di dahului oleh matematikawan yunani, tetapi penemuan
itu tidak tersruktur dengan rapi seperti yang dilakukan euclid. Euclid membuat
pola deduktif secara komprehensip untuk membentuk geometri. Pendekatan dari
euclid terdiri dari pembuktian semua teorema dan aksioma-aksiomanya.
Dalam pembelajaran matematika di sekolah, geometri lebih berkenaan
dengan bangun-bangun geometri, garis dan sudut, kesebangunan, kekongruenan,
transformasi, dan geometri analitis. Geometri merupakan bagian dari matematika
yang mempelajari pola-pola visual, yang akan menghubungkan matematika
dengan dunia nyata. Geometri juga dapat dipandang sebagai sistem matematika
yang menyajikan fenomena yang bersifat abstrak (tidak nyata), akan tetapi dalam
pembelajarannya bertahap didahului dengan benda-benda kongkret sebagai media
sesuai dengan tahap perkembangan anak.
Obyek geometri merupakan hal yang abstrak. Misalnya bila kita menunjuk
sebuah persegipanjang dan kemudian menggambarkan atau membuatnya dengan
menggunakan lidi atau kawat, sesungguhnya itu bukanlah persegipanjang yang
dimaksudkan di dalam geometri. Ia hanyalah sebuah model persegipanjang.
Sedangkan persegipanjang sebenarnya hanya ada dalam alam pikir manusia.
Tidak ada yang bisa menetapkan seberapa besar garis atau sisi sebuah
persegipanjang. Hal-hal tersebut tak pernah terungkap disaat membicarakan
persegipanjang dan juga benda-benda geometri yang lainnya. Akan tetapi mereka
ada dan dapat dipelajari sebagai materi matematika yang sangat bermanfaat dalam
kehidupan sehari-hari dan juga dalam pengembangan ilmu dan teknologi.
Kalaupun obyek geometri itu abstrak, akan tetapi mereka “ada”. Hal
tersebut merupakan kenyataan bahwa geometri sebagai suatu aspek matematika
yang sangat penting dan berperan dalam kehidupan. Geometri menjadi materi
yang ingin diketahui secara mendasar dan fundamental untuk pengembangan
matematika itu sendiri dan pengembangan kemampuan berpikir manusia secara
logis. Oleh karena itu perlu adanya tinjauan tentang ”geometri” tersebut
berdasarkan filasafat matematika.
B. Pembahasan
1.
Euclid
Pendapat Holes telah ada dalam argumen Euclid selama seratus tahun
terakhir. Hilbert menemukan sejumlah asumsi yang belum dipecahkan Euclid
dalam melakukan formulasi penuh dari secara explicit diperlukan untuk
pengembangan ketat geometri Euclidean sekarang tersedia. Presentasi Euclid jauh
lebih rumit dan jauh lebih sedikit dibaca, dan kita harus bertanya apa sebenarnya
titik axiomatization. Euclid memerlukan asumsi untuk membuktikan teorema
secara geometri, tapi butuh asumsi lain keteraturan dan kontinuitas untuk
diberikan. Jika kita ingin
menemukan
sejumlah asumsi seperti yang telah
dilakukan Hilbert maka kita harus membuat semua asumsi secara eksplisit.
Sedangkan presentasi Euclid dapat dipahami dan memiliki daya tarik intelektual
yang besar. Mereka memahami Hilbert jika mereka sudah tahu dasar-dasar dari
geometri. Pendapat kontemporer
di kalangan filsuf matematika dan
Hilbert
anggap sebagai suatu pekerjaan Euclid yang memadai bukan hanya tidak
sempurna. Tapi ini adalah untuk mengambil titik pandang formalis masih bisa
diperdebatkan. Tanpa mencela nilai pekerjaan Hilbert dari sudut pandang formal,
kita bisa bertanya-tanya apakah ini adalah apa yang seharusnya dilakukan. Di luar
logika formal, pendekatan aksiomatik masih jauh lebih dipahami dalam bahasa
Euclid daripada Hilbert.
Fisikawan sering menyajikan mekanika Newton, teori relativitas, teori
relativitas umum dan mekanika kuantum dalam hal aksioma, apa asumsi cahaya
tinggi khas dari teori tersebut, namun mengambil banyak untuk diberikan. Ini
adalah prosedur yang sangat masuk akal, tidak hanya untuk menyajikan masalah
untuk siswa, tetapi untuk mengidentifikasi kerja secara profesional. Untuk
mengidentifikasi sebagian besar atau sebagian saja dari geometri Euclidean yang
menjadi kebutuhan kita adalah untuk membedakan karakteristik unik dari
geometri lain yang cukup mungkin disajikan di tempat. Setiap baris
mendefinisikan perintah terus menerus dan tidak biasanya dalam pertanyaan, dan
hanya mengacaukan komunikasi antisipasi pertanyaan yang tidak akan bertanya.
Singkatnya tidak hanya jiwa kecerdasan, namun kondisi komunikasi. Jumlah
eksplisit sering tidak hanya tidak beralasan. Euclid tidak boleh disalahkan karena
kurangnya ketelitian, tetapi dipuji karena rasa yang relevan.
2. Lima Aksioma
a. Unsur yang Tidak Didefinisikan (Undefined Term), Definisi dan
Postulat
Sebagai struktur matematika, geometri membicarakan unsur-unsur yang
tidak didefinisikan dan relasi antara unsur-unsur tersebut. Dalam hal ini unsurunsur yang tidak didefinisikan adalah titik, garis, bidang, dan ruang serta relasi
yang tidak didefinisikan yaitu terletak pada dan keantaraan. Selanjutnya unsurunsur yang tidak didefinisikan tersebut memerlukan simbol-simbol agar dalam
pembahasan berikutnya lebih mudah dipahami.
1) Titik dan Garis
Titik dituliskan dengan huruf kapital tunggal, seperti …
Garis dituliskan dengan huruf kecil, seperti … atau dengan dengan
menggunakan dua titik pada garis. Misal garis (dituliskan )
Gambar 2.1 Garis
Bidang disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf-huruf Yunani seperti α (alpa),
β (beta), γ (gamma) yang diletakkan di daerah dalam bidang tersebut.
Unsur-unsur yang tidak didefinisikan tersebut kemudian dikembangkan
menjadi unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma atau postulat, dan teorema
seperti ruas (segment) garis, sinar garis, dan sudut. Euclid sebagai salah satu
murid dari akademi Plato di Athena memperbarui teorema Plato yang belum
sempurna bersama dengan Eudoxus dan menghasilkan lima aksioma atau postulat
khusus yang dalam bahasa Yunani (aitemata) yang artinya (koinai ennoiai),
misalnya jika a sama dengan b, dan b sama dengan c, maka a sama dengan c.
Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioma, yang mana semua teorema
("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksioma-aksioma yang
terhingga. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua
teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang
terbatas.Berdasarkan pada geometri Euclid ada lima asumsi dasar yang disebut
aksioma atau postulat.
a) Postulat I Euclid 2.1 (Marvin Jay Greenberg, 1974: 12)
Pada postulat I Euclid sering pula dinyatakan dengan, dua titik
menentukan sebuah garis tunggal. Untuk menyatakan postulat Euclid yang kedua
sebelumnya akan didefinisikan terlebih dahulu definisi ruas (segment) garis.
Definisi 2.1 (Sri Mulyati: 20)
Ruas (segment) garis AB adalah himpunan titik yang memuat titik A dan titik
B serta semua titik yang terdapat diantara titik A dan titik B tersebut.
Gambar 2.2 Ruas garis AB
Pada ruas garis AB, titik A dan B masing-masing disebut ujung (titik akhir)
dari ruas garis AB, dan dapat disimbolkan .
Euclid menggunakan kata “sama” dalam beberapa pengertian yang
dikemukakannya, seperti “sudut alas dari segitiga sama kaki adalah sama” yang
berarti sudut alas segitiga sama kaki mempunyai bilangan derajat yang sama,
bukan karena sudut yang sama. Selanjutnya untuk menghindari kakeliruan akan
digunakan kata “kongruen” daripada kata “sama” untuk menjelaskan istilah-istilah
yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya, karena akan lebih mudah
dipahami. Sedangkan, objek atau benda yang mempunyai bentuk dan ukuran yang
sama disebut kongruen. Kongruen dapat dikenakan pada dua ruas garis, dua sudut,
dan dua segitiga atau objek lainnya, dan penjelasan mengenai istilah-istilah
tersebut akan dijelaskan pada pembahasan sub bab selanjutnya.
b) Postulat II Euclid 2.2 (Marvin Jay Greenberg, 1974: 12)
Untuk setiap dan untuk setiap terdapat titik tunggal sedemikian sehingga
diantara
dan
serta
kongruen dengan. Namun oleh Moeharti Hw (1986)
menyebutkan postulat kedua Euclid bahwa memperpanjang suatu ruas garis secara
terus memerus atau kontinu untuk menjadi suatu garis lurus.
Definisi 2.2 (Marvin Jay Greenberg,1974: 13)
Diberikan dua titik
kongruen dengan
dan himpunan semua titik P sedemikian sehingga
disebut lingkaran dengan disebut pusat lingkaran dan
disebut jari-jari (radius) lingkaran.
Dari definisi 2.2 tersebut selanjutnya akan menyatakan postulat ketiga Euclid.
c) Postulat III Euclid 2.3 (Marvin Jay Greenberg,1974: 13)
Untuk setiap titik dan setiap titik yang tidak sama dengan terdapat
lingkaran dengan pusat dan jari-jari (radius) .
Definisi 2.3 (Barnett Rich, 1977:2)
Sinar garis adalah bagian dari garis lurus yang dimulai dari sebuah titik
tertentu dan diperpanjang secara tak terbatas ke suatu arah.
Gambar 2.3 Sinar garis AB
Gambar 2.3 menggambarkan sinar garis AB dan disimbolkan .
Selanjutnya gagasan mengenai panjang suatu ruas garis ditentukan atau
diukur menurut jarak antara dua titik ujung ruas garis tersebut. Dalam hal ini
untuk cara mengukur didasarkan atas postulat jarak, jarak terpendek dari dua titik
adalah jarak yang diukur pada suatu garis lurus (Kusno,2004:61).
Untuk ukuran dapat dinyatakan dengan . Sebagai contoh pada gambar 2.4
ukuran adalah 4 atau dituliskan = 4.
Contoh 2.1
Gambar 2.4 Ruas garis AB dan ukurannya
Berdasarkan ukuran ruas garis tersebut dapat didefinisikan apa yang
dimaksud dengan titik tengah suatu ruas garis.
Definisi 2.4 (Sri Mulyati: 22)
Titik tengah suatu ruas garis adalah titik pada ruas garis sehingga
membentuk dua ruas garis yang berukuran sama.
Gambar 2.5 Ruas garis AB dengan titik tengah M
Pada gambar 2.5 titik M adalah titik tengah dari . Setiap segmen memiliki
tepat satu titik tengah sehingga karena M titik tengah dari . Garis yang memotong
ruas garis di titik tengah disebut bisektor ruas garis atau garis bagi ruas garis.
Contoh 2.2 :
Gambar 2.6 Bisektor ruas garis AB
i) Sudut dan Ukuran Sudut
Definisi sudut, ukuran sudut dan macam-macam sudut berdasarkan ukuran
sudut akan dibahas sebagai berikut:
Definisi 2.5 (Sri Mulyati: 22)
Sudut adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari dua sinar
yang titik pangkalnya sama (satu titik pangkal).
Gambar 2.7 berikut ini menggambarkan sudut ABC dan ditulis , disebut
kaki-kaki sedangkan titik B disebut titik sudut dan diatas juga dapat ditulis
sebagai . Selanjutnya membagi bidang yang memuatnya menjadi tiga himpunan
yang saling lepas yaitu sudut itu sendiri yaitu , daerah dalam (interior) , dan
daerah luar (eksterior) , seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.7.
Contoh 2.2
Gambar 2.7 Daerah dalam dan daerah luar sudut ABC
ii) Postulat Ukuran Sudut 2.4 (Kusno, 2004:63)
a. Ukuran sudut merupakan fungsi dari himpunan sudut ke himpunan
bilangan real R
b. Untuk setiap maka ukuran (ditulis m) terletak antara sampai 180
c. Untuk setiap atau dan untuk setiap bilangan r diantara dan 180
pada sisi yang sepihak dengan
atau
ada tepat satu
sehingga
diperoleh
Mengenai ukuran sudut dapat pula dijelaskan dengan definisi, yaitu ukuran
sudut ABC didefinisikan sebagai lintasan putar terpendek kaki sehingga berhimpit
dengan kaki atau sebaliknya. Arah putaran tidak perlu dipersoalkan karena yang
terpenting adalah lintasan putar yang terkecil. Selain itu, salah satu ukuran sudut
menggunakan satuan derajat dimana untuk satu derajat sama dengan 1/360 dari
satu putaran penuh (ditulis 1 putaran penuh).
Gambar 2.8 Sudut dengan menunjukkan arah putaran
Definisi 2.6 (Sri Mulyati: 24)
Sudut yang berukuran kurang dari 90 disebut sudut lancip,
sedangkan sudut yang ukuran sudutnya sama dengan 90 disebut
dengan sudut siku-siku dan sudut yang berukuran lebih besar dari 90
disebut sudut tumpul.
Menurut definisi, untuk membentuk sudut maka diperlukan dua sinar garis
yang titik pangkalnya berhimpit. Sudut yang berukuran 0 artinya untuk
menghimpitkan kaki sudut yang satu dengan kaki sudut yang lain dan tidak
memerlukan adanya pemutaran. Dengan demikian kedua kaki sudut telah
berhimpit atau dengan kata lain hanya ada satu sinar garis. Oleh karena itu, sebuah
sinar garis dianggap sebagai sudut yang berukuran 0. Sedangkan sudut yang
berukuran 180, kedua kaki sudut membentuk sebuah garis. Sehingga, sebuah garis
juga dapat dianggap sebagai sudut yang berukuran 180 atau sering pula disebut
sebagai sudut lurus.
Definisi 2.7 (Sri Mulyati: 24 )
Dua sudut dikatakan berpelurus (suplementary), jika jumlah ukuran
sudutnya adalah 180, sedangkan dua sudut dikatakan berpenyiku
(complementary), jika jumlah ukuran sudutnya adalah 90. Selanjutnya
dapat menyatakan postulat keempat Euclid yang menyatakan mengenai
sudut.
d) Postulat IV Euclid 2.5 (Marvin Jay Greenberg, 1974: 16)
Semua sudut siku-siku adalah kongruen dengan sudut siku-siku yang lain.
Definisi 2.8 (Kusno, 2004: 63)
Sinar-sinar berlawanan adalah dua sinar yang berbeda pada garis yang
sama dan memiliki sati titik pangkal yang sama.
Pada gambar 2.9 berikut dan adalah dua sinar yang berlawanan dan
terletak pada satu garis yaitu , namun kedua sinar tersebut memiliki titik pangkal
yang sama yaitu titik C.
Gambar 2.9 dan adalah dua sinar yang berlawanan
Definisi 2.9 (Sri Mulyati: 35)
Sudut-sudut bertolak belakang adalah dua buah sudut yang sedemikian
rupa sehingga kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar-sinar yang
berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain.
Gambar 2.10 Sudut-sudut yang bertolak belakang
Berdasarkan gambar 2.10 tampak bahwa sudut-sudut yang saling bertolak
belakang adalah kongruen dan dapat dibuktikan sebagai berikut:
Diberikan sudut bertolak belakang dan , dan adalah dua sinar yang arahnya
berlawanan, begitu juga dengan dan , dan membentuk garis lurus, begitu juga
dengan dan . Di lain pihak, merupakan pelurus untuk dan juga pelurus untuk
maka jelas keduanya kongruen.
a. Segiempat
Pada sub bab ini akan menjelaskan mengenai segiempat yang meliputi
jajar genjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi dan trapesium.
Definisi 2.10
Segiempat ABCD adalah gabungan dari , , dan yang membatasi daerah
dalam (interior) dan daerah luar (eksterior).
Gambar 2.11 Segiempat ABCD
Segiempat terdiri dari empat ruas garis yang disebut sisi. Setiap ujung sisi
yang satu berhimpit dengan dengan titik sudut yang lain dan tidak ada dua sisi
yang terletak segaris, serta tidak ada dua sisi yang saliang berpotongan selain di
titik ujung. Pasangan dua sisi yang tidak memiliki titik persekutuan disebut
pasangan sisi yang berhadapan. Pada Gambar 2.11, merupakan pasangan sisi yang
berhadapan adalah dengan dan dengan . Pasangan dua sisi yang memiliki titik
persekutuan disebut pasangan sisi yang berdekatan yaitu dengan , dengan ,
dengan , dan dengan . Sedangkan dengan disebut diagonal.
Pada segiempat ABCD terbentuk empat buah sudut. Pasangan sudut yang
tidak memiliki kaki persekutuan disebut pasangan sudut yang berhadapan yaitu
dengan dan dengan . Pasangan sudut yang memiliki kaki persekutuan disebut
pasangan sudut yang bersisian yaitu dengan , dengan , dengan , dan dengan .
1. Jajar Genjang
Definisi 2.11 (Kusni, 2004:2)
Jajar genjang ialah suatu segiempat yang memiliki sisi-sisi yang
berpasangan sejajar.
Gambar 2.12 Jajar genjang ABCD
Pasangan sisi yang berdekatan yaitu dengan , dengan , dengan , dan
dengan . Pasangan sisi yang berhadapan adalah dengan dan dengan .
Teorema 2.1 (Kusni, 2004:2)
Sudut-sudut jajar genjang yang berhadapan sama besar.
Diketahui : ABCD Jajar genjang
Buktikan : dan
Bukti:
Dibuat diagonal .
(Sudut dalam berseberangan)
(Sudut dalam berseberangan)
Maka,
Sehingga
Dengan membuat diagonal dan dengan cara yang sama didapat .
Teorema 2.2 (Kusni, 2004:3)
Sisi-sisi jajar genjang yang berhadapan sama panjang.
Diketahui : ABCD jajar genjang.
Akan dibuktikan: dan .
Bukti:
Lihat gambar 2.12
(Sudut dalam berseberangan)
(Sudut dalam berseberangan)
Sehingga memenuhi (Sd.S.Sd)
Akibatnya dan .
Teorema 2.3 (Kusni, 2004:4)
Jika dalam suatu segiempat, sudut-sudut yang berhadapan sepasangsepasang sama besar maka segiempat itu suatu jajar genjang.
Diketahui : ABCD segiempat
dan
Akan dibuktikan : ABCD jajar genjang
Bukti :
Karena maka .
Jika dalam suatu segiempat, sudut-sudut yang berhadapan sepasangsepasang
sama besar maka segiempat itu suatu jajar genjang.
dan maka .
Karena maka .
Berhubung dan maka segiempat ABCD adalah jajar genjang.
Sifat-sifat jajar genjang yang lain yaitu:
a. Kedua diagonal jajar genjang memotong di titik tengah.
b. Jika dalam suatu segiempat sisi-sisi yang berhadapan sepasangsepasang sama panjang maka segiempat itu suatu jajar genjang.
c. Jika dalam suatu segiempat diagonal-diagonal memotong di tengah
maka segiempat itu suatu jajar genjang.
d. Jika dalam suatu segiempat dua sisi sama dan sejajar maka segiempat
itu suatu jajar genjang
2. Persegi panjang
Definisi 2.12 (Kusni, 2004:5)
Persegi panjang ialah suatu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
Gambar 2.13 Persegi panjang ABCD
Akibatnya :
a. Jajar genjang ke empat sudutnya siku-siku.
b. Semua sifat jajar genjang berlaku untuk persegi panjang.
Teorema 2.4 (Kusni, 2004:6)
Persegi panjang diagonal-diagonalnya sama panjang
Gambar 2.14 Persegi panjang ABCD dengan diagonal dan
Diketahui : ABCD persegi panjang
Akan dibuktikan :
Bukti :
Lihat dan
(segitiga siku-siku)
(berimpit)
(diketahui)
Maka (S Sd S), akibatnya .
3. Belah ketupat
Definisi 2.13 (Kusni, 2004:6)
Belah ketupat ialah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama
panjang.
Gambar 2.15 Belah ketupat ABCD
Akibatnya:
a. Belah ketupat keempat sisinya sama panjang.
b. Sifat-sifat pada jajar genjang berlaku untuk belah ketupat.
c. belah ketupat diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut sama besar
dan diagonal-diagonal saling tegak lurus sesamanya
d. Jika dalam jajar genjang suatu diagonal membagi dua suatu sudut
sama besar maka jajar genjang itu suatu belah ketupat.
e. Jika dalam suatu jajar genjang diagonal-diagonalnya tegak lurus
sesamanya maka jajar genjang itu suatu belah ketupat.
4. Persegi
Definisi 2.14 (Kusni, 2004:8)
Persegi ialah suatu segiempat yang semua sisinya sama panjang dan satu
sudutnya siku-siku
Gambar 2.16 Persegi ABCD
Akibatnya persegi, keempat sudutnya siku-siku. Persegi juga disebut
segiempat beraturan. Pada persegi berlaku sifat-sifat belah ketupat maupun
persegi panjang.
b. Kekongruenan
Selanjutnya pada pembahasan ini akan dibahas mengenai kekongruenan
ruas garis, sudut dan segitiga serta untuk menyatakan kongruensi digunakan
simbol ” “.
1.
Kekongruenan ruas garis dan sudut
Definisi 2.15
a.
b.
dikatakan kongruen dengan (ditulis ) jika dan hanya jika .
dikatakan kongruen dengan (ditulis ) jika dan hanya jika .
Kongruensi di antara ruas garis dan di antara sudut merupakan relasi
ekuivalen, yaitu relasi yang memenuhi tiga sifat. Tiga sifat tersebut adalah
a. Refleksi
Pada kongruensi ruas garis dan kongruensi pada sudut .
b. Simetri
Pada kongruensi ruas garis jika maka , dan kongruensi pada sudut jika
maka
c. Transitif
Pada kongruensi ruas garis jika dan maka , dan kongruensi pada sudut dan
maka .
2. Kekongruenan Segitiga
Sebelumya akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai segitiga.
Definisi 2.16 (Kusno, 2004)
Segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang dibentuk oleh tiga titik
yang tidak segaris yang sepasang-sepasang saling dihubungkan. Ketiga
ruas garis tersebut disebut sisi-sisi segitiga. Sudut-sudut yang terbentuk
oleh pasangan-pasangan sisi-sisi tersebut disebut sudut-sudut segitiga,
dengan titik-titik sudut ketiga titik tersebut.
Misalkan tiga titik yang dimaksud definisi, yaitu A, B, C maka segitiga
yang terbentuk dinotasikan dengan . Pada , sisi-sisinya yaitu ,, sudutsudutnya , dengan titik-titik sudut A, B, C.
Gambar 2.17 Daerah dalam dan daerah luar segitiga ABC
Seperti halnya pada sudut, segitiga juga memiliki daerah dalam
(interior) dan daerah luar (eksterior) segitiga (lihat gambar 2.17).
Selanjutnya akan menjelaskan mengenai kekongruenan dua segitiga.
Gambar 2.18
Untuk menyatakan kongruensi segitiga pertama dengan segitiga kedua
adalah dengan menggunakan korespondensi satu-satu antara titik-titik sudut
segitiga pertama dengan titik-titik sudut segitiga kedua. Demikian pula untuk sisisisi segitiga dan sudut-sudut segitiga pertama berkoresponden dengan segitiga
kedua. Untuk simbol korespondensi dalam sub bab ini menggunakan “”., , , dan , ,
Definisi 2.17 (Kusno, 2004)
Jika dan hanya jika terdapat korespondensi satu-satu antara dengan
dan tiap pasangan sisi-sisi serta sudut-sudut yang berkorespondensi
kongruen.
Dapat juga ditulis sebagai berikut:
jika dan , , , , , .
Postulat 2.6 (S.Sd.S) (Sri Mulyati: 39)
Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat koresponden satu-satu
antara titik-titik sudutnya sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari
segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya
pada segitiga kedua.
Postulat 2.7 (Sd.S.Sd) (Sri Mulyati: 39)
Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat koresponden satu-satu
antara titik-titik sudutnya sehingga dua sudut dan sisi yang memuat
sudut itu pada segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian
korespondingnya pada segitiga kedua.
d. Postulat Kelima Euclid
Pada sub Bab ini akan menjelaskan mengenai postulat kelima Euclid. Berbeda
dengan empat postulat Euclid sebelumya, postulat kelima Euclid telah menjadi
kontroversi selama 19 abad. Postulat kelima Euclid disebut juga dengan postulat
kesejajaran Euclid atau postulat paralel Euclid. Sebelum menjelaskan mengenai
postulat kesejajaran Euclid akan didefinisikan terlebih dahulu mengenai garis
sejajar (parallel).
Definisi 2.18 (Marvin Jay Greenberg,1974: 16)
Dua garis yaitu l dan m adalah sejajar (parallel) jika kedua garis tersebut
tidak berpotongan , dengan kata lain jika tidak ada titik yang berada pada
kedua garis tersebut. Dapat dituliskan .
Sebagai catatan, mengasumsikan bahwa garis-garis terletak pada satu
bidang yang sama yaitu sesuai dengan kekentuan yang telah disepakati untuk
titik dan garis terlatak pada satu bidang yang sama kecuali untuk menyatakan
hal yang lain (Marvin Jay Greenberg, 1974). Selain itu, tidak perlu
memikirkan bahwa jarak antara kedua garis yang sejajar (parallel) adalah
sama namun dalam pembahasan ini hanya perlu diketahui bahwa dua garis
sejajar (parallel) tidak pernah berpotongan.
1) Postulat V Euclid 2.8 (Moeharti, 1986: 12)
Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus sedemikian sehingga jumlah
sudut-sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari jumlah dua sudut siku-siku,
maka kedua garis tersebut akan berpotongan dipihak tempat kedua sudut
dalam sepihak yang jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku.
Postulat kelima Eucild yang selanjutnya disebut dengan postulat
kesejajaran Euclid, berbeda dengan keempat postulat Euclid sebelumnya karena
aksioma atau postulat dari geometri adalah sebagai abstraksi dari pengalaman atau
percobaan. Dapat dilihat perbedaan dari keempat postulat Euclid dengan postulat
kesejajaran Euclid, untuk dua postulat pertama adalah abstraksi dari hasil
menggambar dengan garis lurus. Untuk postulat ketiga Euclid merupakan
abstraksi dari hasil menggambar dengan jangka. Postulat keempat Euclid mungkin
kurang jelas sebagai abstraksi namun postulat tersebut merupakan hasil mengukur
sudut dengan busur derajat (dimana jumlah dari sudut berpelurus (supplementary)
adalah 180, sehingga jika sudut berpelurus kongruen dengan yang lain, masingmasing berukuran 90).
Postulat kesejajaran Euclid tersebut sulit untuk diuji dengan percobaan
apakah dua garis dapat berpotongan, karena bila menggambar garis hanya terbatas
dan memperpanjang garis tersebut juga terbatas. Dengan cara lain, untuk menguji
secara tidak langsung kesejajaran garis dengan menggunakan kriteria atau standart
lain selain definisi. Kriteria untuk l sejajar m (), Euclid memiliki gagasan untuk
menggambar transversal (yaitu garis t yang memotong kedua garis l dan m pada
titik tertentu) dan ukuran dari derajat pada sudut dalam dan pada salah satu sisi t.
Euclid juga memprediksikan bahwa jumlah sudut dan tidak lebih dari 180, garis
(jika dihasilkan cukup jauh) akan berpotongan pada sisi yang sama pada t sebagai
sudut dan . Penjelasan tersebut merupakan isi dari postulat kesejajaran Euclid
(lihat gambar 2.14)
Gambar 2.19 Garis l dan m dipotong transversal t
Namun masalah kriteria ini tidak akan digunakan untuk meyakini
kebenaran dari postulat kesejajaran Euclid karena ternyata secara logika ekivalen
dengan proposisi 17 (Euclid’s Element Book I) yang menyebutkan bahwa dalam
segitiga jumlah dari dua sudut dalam segitiga tersebut kurang dari dua sudut sikusiku, sehingga hanya akan menjadi alasan yang berputar atau melingkar.
Selanjutnya dengan adanya permasalahan bahwa postulat kesejajaran
Euclid sukar untuk diuji secara jelas maka dalam bab selanjutnya akan dibahas
mengenai ekuivalen dan upaya-upaya untuk membuktikannya. Menurut Walter
Prenowitz dan Meyer Jordan (1965) sebelumnya mensketsa terlebih dahulu
mengenai teori geometri bidang Euclid.
Dimulai dengan mendaftar sejumlah aksioma-aksioma untuk geometri bidang
Euclid:
1. Sesuatu yang sama akan sama satu sama yang lainnya
2. Jika sesuatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, maka
jumlahnya sama
3. Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama
4. Benda-benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
5. Seluruhnya lebih besar dari sebagian
Selain itu ada beberapa postulat pada bidang Euclid, yaitu :
1. Bangun geometri dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran dan
bentuknya
2. Setiap sudut memiliki bisector (garis bagi)
3. Setiap segmen memiliki titik tengah
Dari postulat-postulat tesebut, dapat dideduksikan sejumlah teorema dasar
beserta bukti dari teoremanya:
1. Sudut bertolak belakang sama besar atau jika dua sudut bertolak belakang
maka mereka kongruen. Maksud dari teorema ini telah dijelaskan pada
definisi 2.10 pada penjelasan sub bab sebelumnya.
2. Sifat kongruensi segitiga (S.Sd.S, Sd.S.Sd, S.S.S)
a. Dua segitiga kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang
b.
serta sudut yang diapitnya sama besar (S.Sd.S)
Dua segitiga kongruen jika dua sudut yang bersesuaian sama besar
c.
dan sisi yang diapitnya sama panjang (Sd.S.Sd)
Dua segitiga kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
(S.S.S)
Gambar 2.20 dan
3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki
Jika dua sudut suatu segitiga kongruen maka sisi-sisi dihadapan sudutsudut itu kongruen
Gambar 2.21 Segitiga Sama kaki ABC
Bukti:
Diketahui dan
Dibuktikan
Telah diketahui maka menurut sifat simetri relasi maka … (*)
Pandang dan , karena
(diketahui)
(sifat refleksi relasi )
(*)
Menurut aksioma atau postulat Sd.S.Sd maka , akibatnya . Terbukti.
4. Ekstensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik garis tersebut
Disuatu titik pada garis terdapat satu dan hanya satu garis yang tegak lurus
garis itu. Maksud dari teorema ini, di titik P pada garis g ada garis yang tegak
lurus g dan garis itu hanya satu-satunya. Sehingga untuk membuktikan perlu
dibuktikan dulu ada garis yang tegak lurus dengan g, kemudian dibuktikan
garis tersebut tunggal.
Gambar
2.22 (A) titik P pada garis g (B) garis g dipotong garis k
Jadi diketahui garis g dan titik P pada garis g, akan dibuktikan:
1) Di P ada garis yang tegak lurus g
2) Garis yang tegak lurus g tunggal
Bukti:
(i)
Karena garis adalah himpunan titik maka ada titk A pada garis g dengan .
Kemudian terdapat dan titik P pada sedemikan sehingga . Pada titik A
terdapat (sudut lancip), demikian pula di B terdapat . Kemudian dan
berpotongan di C, karena misalkan dan tidak berpotongan maka . maka
. Diketahui , berarti , sehingga siku-siku. Maka kontradiksi, karena
lancip. Jadi dan berpotongan di C. (Gambar 2.17 (B))
Dari C dan P terdapat . Pandang , karena , menurut convers teorema
(ii)
segitiga samakaki . Sehingga menurut teorema . Terbukti.■
Akan dibuktikan tunggal
Menurut (i) ada garis di A
dan maka
Misalkan ada garis lain yang melalui titik P yaitu , menurut teorema .
Berarti di P terdapat lebih dari satu garis yang masing-masing sejajar
garis k, yaitu dan . Padahal menurut postulat kesejajaran terdapat satu
dan hanya satu garis yang sejajar suatu garis. Jadi pengandaian bahwa di
P terdapat garis lain selain salah, namun tidak ada garis lain selain yang
tegak lurus dengan g. Terbukti.
5. Ekstensi garis yang tegak lurus pada garis yang memiliki titik luar
Di suatu titik P tidak pada garis g terdapat satu dan hanya satu garis yang
tegak lurus.
Gambar 2.23 (A) titik P diluar garis g (B) titik Q pada garis g
Diketahui: garis g dan titik P tidak pada garis g. Gambar 2.17 (A)
Akan dibuktikan: melalui P terdapat satu dan hanya satu garis yang tegak
lurus g
Bukti:
(i) Dibuktikan melalui P ada garis yang tegak lurus g
Titk A sembarang titik di garis g lalu dibuat . Di titik A pada garis g
terdapat .
Sehingga dapat diperpanjang sehingga . Selanjutnya garis melalui P dan
B dan memotong garis g di C. Pandang dan , karena , dan maka dan
(ii)
(S.Sd.S).
Akibatnya . Karena kedua sudut saling besisian maka menurut teorema
Akan dibuktikan bahwa adalah satu-satunya garis yang tegak lurus
dengan garis g.
Misalkan ada garis lain yaitu dengan .
dan maka menurut teorema : . Menurut definisi garis sejajar berarti m
dan
tidak mempunyai titik sekutu kontradiksi karena garis m dan
keduanya melalui titik P. Sehingga pengandaian bahwa ada garis lain
yang melalui titik P tegak lurus garis g adalah salah, sehingga yang
benar tidak ada garis lain yang melalui titik P yang tegak lurus garis g
selain Jadi adalah satu-satunya garis yang melalui
Sekarang akan dibuktikan teorema sudut luar, sebagai cara menuju
perkembangan lebih lanjut.
Teorema 2.5 Teorema sudut luar (Walter Prenowitz dan Meyer
Jordan, 1965:22)
Sudut luar segitiga akan lebih besar daripada sudut dalam yang tidak
bersisian dengan sudut tersebut.
Gambar 2.24 Menunjukkan
Bukti:
Misalkan
adalah sembarang segitiga, dan misalkan D merupakan
perpanjangan dari melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa lebih
besar dari . Misalkan E merupakan titik tengah , dan misalkan merupakan
perpanjangan garis yang melalui E hingga F, maka dan (sudut bertolak
belakang sama besar). Jadi , dan (bagian segitiga kongruen sama besar).
Karena (keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya), sehingga
dapat disimpulkan .
Untuk menunjukkan bahwa, perpanjang
melalui C hingga H, yang
membentuk , dengan menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian:
misalkan M merupakan titik tengah , perpanjang melalui M, dan lain-lain. Untuk
melengkapi bukti, perhatikan bahwa dan merupakan sudut bertolak belakang
sehingga sudut tersebut sama besar.
Teorema 2.6 (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan,1965: 23)
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk
pasangan sudut dalam bersebrangan yang sama besar, maka garis tersebut
sejajar.
Gambar 2.25 Garis sejajar dipotong transversal AB
Bukti:
Perlu diingat bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar
jika garis tidak berpotongan. Misalkan garis transversal membagi dua garis
l,m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut dalam
bersebrangan, dan , yang sama besar, dan misal l dan m tidak sejajar. Maka
l dan m akan berpotongan di titik C, membentuk . C terletak pada satu sisi
AB atau pada sisi lainnya. Hal ini kontrakdiksi dengan teorema
sebelumnya, oleh karena itu l dan m sejajar.
Corollary 2.1. (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan, 1965: 24)
Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar.
Akan dibuktikan bahwa jika l tegak lurus m dan l tegak lurus n maka m
sejajar n, seperti yang terlihat pada gambar 2.26.
Bukti:
1.
2.
3.
4.
l tegak lurus ( keduanya sudut siku-siku )
l tegak lurus
( keduanya sudut siku-siku )
Karena dan dua sudut berseberangan maka m dan n (teorema 2.6)
(terbukti).
Gambar 2.26 Garis dan dipotong transversal l
Colorray 2.2 (Ekstensi garis sejajar).
Jika titik P tidak berada pada garis l, maka akan ada setidaknya satu garis
yang melalui P yang sejajar dengan l.
Gambar 2.27 Garis
Bukti:
Dari titik P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di
titik Q, dan di titik P bangin garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka
garis m sejajar dengan garis l menurut Corollary 2.1. Terbukti.
Teorema 2.7 (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan,1965: 24)
Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180.
Gambar 2.28 dengan titik D pada
Bukti :
Misalkan merupakan sembarang segitiga. Kita tunjukkan bahwa .
Perpanjang melalui titik B hingga titik D. Maka merupakan sudut luar .
Dengan menggunakan teorema 2.6 maka . Tetapi , dengan mensubtitusikan
pada relasi yang pertama, maka , atau . Jadi, , dengan teorema terbukti.
e. Teorema Saccheri Legendre
Teorema Saccheri Legendre berikut merupakan teorema yang akan digunakan
dalam upaya Saccheri membuktikan postulat kesejajaran Euclid. Teorema ini
merupakan teorema yang hanyan dapat dibuktikan dalam geometri netral.
Teorema 2.8 (Saccheri-Legendre) (Marvin Jay Greenberg, 1972:101)
Jumlah ukuran ketiga sudut segitiga kurang dari atau sama dengan 180°.
Gambar 2.29
Dari teorema 2.8 diatas akibatnya terdapat keistimewaan tentang ukuran
jumlah sudut segitiga, sebelumnya telah terbiasa dengan pengertian jumlah
ketiga sudut segitiga adalah 180°. Namun demikian, untuk membuktikan
tidak dapat dibuktikan dalam geometri
netral. Sehingga dalam
membuktikan teorema tersebut memerlukan postulat Archimedes tentang
dalam
pembuktian teorema Saccheri-Legendre. Pembuktiannya adalah
sebagai berikut:
Pembuktian dilakukan secara kontradiksi. Asumsikan, jumlah sudut lebih
besar dari 180°, misalkan terdapat p, dimana p adalah bilangan positif. Sehingga
didapat 180° + p°. Untuk memastikan hal tersebut adalah benar, maka ganti
dengan segitiga yang lain dengan ukuran sudut segitiga yang sama, akan tetapi
pada salah satu sudutnya setengah dari derajat pada .. Dengan demikian dapat
digunakan diulangi untuk segitiga yang lain sehingga jumlah sudutnya adalah
180° + p° akan tetapi pada salah satu sudut dari keempat bilangan tersebut
merupakan derajat . Untuk memperoleh jumlah sudut 180° + p° maka, salah satu
sudutnya harus berukuran lebih dari p°. Sehingga jumlah ukuran derajat dua sudut
lainnya akan lebih besar atau sama dengan 180°, dengan demikian teorema
terbukti.■
Ada beberapa pendapat yang menyatakan tentang aksioma yang dituliskan
oleh Euclid baik dalam zaman kuno maupun pada zaman modern dengan harapan
bahwa aksioma tersebut menjadi lebih jelas dan benar. Pendapat tersebut antara
lain:
a. Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya
satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang
diberikan (Playfair)
b. Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku.
c. Pendapat lain yang mungkin sama untuk memberikan pendapat dan
apapun ukurannya terserah (Wallis).
d. Ada dua segitiga yang tidak sama dan memiliki sudut yang sama(Saccheri
dan Plato)
e. Dalam segitiga siku-siku, sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi
yang lainnya. (Phytagoras).
Pendapat Playfair mendekati Euclid dan dianggap sebagai versi modern
yang secara eksplisit menyebutkan garis paralel dan disebut sebagai
"dalil
paralel". Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut yang siku-siku. Jauh lebih
signifikan adalah aksioma tentang segitiga yang diajukan dalam bentuk yang lebih
kuat oleh John Wallis, seorang don Oxford dari abad ketujuh belas dan Geralamo
Saccheri, seorang imam Yesuit pada abad kedelapan belas. Menurut Wallis
aksioma (3) dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan
dua sudut siku-siku.
Argumen lain, dalam gambar 2.2.2 menunjukkan bahwa 'Teorema
Pythagoras” mudah dibuktikan dengan cara segitiga serupa. Kita mungkin
bertanya dengan bukti Euclid 's "windmill" dari proposisi-nya mengapa Euclid
disukai banyak bukti nya lebih rumit. Jawabannya terletak pada asumsi terakhir
dalam bukti yang diberikan di gambar 2.2.2, dan akibat adanya kesulitan besaran
tidak dapat dibandingkan, sendiri didirikan sebagai konsekuensi dari teorema
Pythagoras. Pendapat Meno menunjukkan bahwa diagonal dari persegi memiliki
panjang
2
dari sisi. Tapi
2 , seperti Pythagoras atau salah seorang
pengikutnya tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua seluruh angka, dan
pendekatan segitiga yang serupa, yang mengatakan bahwa: “rasio dari sisi dalam
segitiga yang sama adalah sama”.
Gambar 2.2.1 Bukti Segitiga
dari Wallis: Misalkan ABC segitiga. Misalkan
segitiga AFE = segitiga ABC dan setengah ukurannya. Maka:
AF AE FE 1
AB AC BC 2
Jadi, AF = FC dan AE = EB.
Misalkan BD = DC, maka EF = BD = DC
Kemudian segitiga ΔFED �ΔABC, dimana ED =
1
AC = AF. Jadi dalam
2
ΔEFD dan ΔBDE, EF = BD, DF = BE, dan ED berimpitan. Jadi ΔEFD = ΔBDE,
dan �DEF = �EDB. Tapi �BCA = �EFA dan �CAB = �CFD, [Dan �ABC
= �DFE]. Jadi �ABC + �BCA + �CAB = 180 °.
Telah terbukti bahwa jumlah sudut segitiga adalah jumlah dua sudut siku-siku,
dengan demikian hal ini setara dengan paralel postulat Euclid (bukti pendapat b).
Kemudian
Dedekind tentang
Euclid dalam teorinya tentang proporsi yang diantisipasi
definisi dari
bilangan real, namun dalam eksposisi
geometrisnya disukai secara teknis walaupun lebih rumit tetapi secara konseptual
kurang. Pendekatan yang tidak bersangkutan dengan segitiga sama sama sekali.
Sebuah pendapat di Gorgias menunjukkan bahwa Plato berpikir tentang
segitiga yang sama pada waktu ia sedang berusaha untuk membangun dasar
geometri. Dalam Gorgias 508a5-7 ia membedakan "Geometris" dari "aritmatika"
yang pertama hanya proporsional, sedangkan yang kedua adalah kesetaraan yang
ketat. Aristoteles mengambil perbedaan dalam Nicomachean Ethics-nya, dalam
bukunya Politik dan membuat dasar tafsir kesamaan distributif.
Gambar 2.2.2
Bukti Pythagoras dengan Segitiga yang sama: Misalkan: ΔABC
dengan sudut siku-siku di B. Gambarkan garis tegak lurus dari B
keAC di D. Lalu ΔADB �ΔABC dan ΔBDC �ΔABC. Jadi ,
Dan ,
Jadi (AD + DC).AC = AB2 + BC2. Jadi AC2 = AB2 + BC2.
Diasumsi bahwa sudut Δ berjumlah 180°, dan besar sudut segitiga
lainnya sama.
Plato dan Aristoteles melihat bahwa ada universalitas tentang konsep
kesamaan, dan kesamaan yang mengharuskan kami memperlakukan sama. Plato
berpendapat, diperlukan perlakuan yang sama seperti pada kasus yang sama,
tetapi diberi perlakuan berbeda pada kasus berbeda. "Geometris kesetaraan "
dicetuskan oleh Plato dan Aristoteles untuk mendasari prinsip bahwa harus ada
kesamaan perlakuan untuk semua dengan perbedaan perlakuan aktual pada
keadaan yang berbeda. Setiap orang harus diberi bagian yang sama, kata
Aristoteles, tetapi mereka adalah bagian yang sama sebanding dengan (Axia) jasa
mereka, dan tergantung pada keadaan. Ini berbeda dengan pendapat egalitarian
fifthcentury Athena, dan memiliki konsekuensi penting bagi politik berpikir di
dunia kuno.
Dari pembuktian tersebut terlihat bahwa teorema Pythagoras setara dengan paralel
postulat, sperti yang dikatakan oleh Plato dan Aristoteles.
Bukti:
Dalam sebuah segitiga siku-siku, panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat
di dua sisi lainnya. Dari teorema Pythagoras dibuktikan dengan membagi menjadi
tiga jenis utama:
1) Bukti geser, yang tergantung pada teorema bahwa daerah-daerah
jajaran genjang (atau segitiga) pada basis yang sama dengan
ketinggian yang sama adalah sama,
2) Bukti oleh kesamaan, yang tergantung pada perhitungan proporsi dari
sisi segitiga yang sama,
3) Bukti-bukti oleh diseksi yang tergantung pada pengamatan bahwa
sudut lancip segitiga siku-siku saling melengkapi.
Untuk setiap kasus dari pendapat yang ada, akan lebih mudah ditelusuri jika
kembali pada akibat paralel postulat. Dalam pengertian ini, diasumsikan ada
aksioma-aksioma geometri bidang (pertama menyiratkan kedua).
Banyak akibat dari Postulat Paralel, diambil bersama-sama dengan aksiomaaksioma
yang
ada
untuk
geometri
bidang,
dapat
ditampilkan
untuk
mengimplikasikan Paralel Postulat. Dalam hal ini, pernyataan ini dapat dianggap
sebagai setara dengan Paralel Postulat. Yaitu:
3-3 Dalam setiap segitiga (tiga sudut), jumlah dua sudut siku-siku.
4-4 Dalam setiap segitiga, masing-masing sudut luar sama dengan jumlah sudut
luar terpencil.
5-5 Jika dua garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sudut luar alternative
adalah sama dan sudut yang sesuai juga sama.
Banyak pernyataan yang ternyata lemah, hal ini ditunjukkan setara dengan Paralel
Postulat, yaitu:
6-6 Ada beberapa segitiga yang tiga sudutnya adalah jumlah dua sudut siku-siku.
7-7 Ada sebuah segitiga sama kaki yang tiga sudutnya adalah jumlah dua sudut
siku-siku.
8-8 Terdapat segitiga siku-siku sama kaki yang jumlah dua sudut-sudut sikusikunya sama.
9-9 Tiga sudut dari setiap segitiga siku-siku jumlah dua sudut siku-siku.
Bukti Teorema Pythagoras 'adalah puncak dari Euclid's buku pertama, dan
telah menunjukkan bagaimana hal itu dapat dibuktikan tidak hanya dari kelima
postulat Euclid sendiri melainkan dari proposisi Wallis ' tentang segitiga serupa.
Itu wajar untuk bertanya apakah pada gilirannya dapat dibuktikan dari teorema
Pythagoras 'diambil sebagai kebenaran. Hal ini paling mudah untuk menunjukkan
aksioma Saccheri’s (d), bahwa diberikan Proposisi Pythagoras, harus ada dua
segitiga yang sama bentuk tetapi ukuran yang berbeda.
Gambar 2.2.3 Bukti Saccheri dari Pythagoras:
Misalkan �ABC adalah sudut siku-suku di B, misalkan BA = CB. Perpanjang CB
hingga D, sehingga BD = CB.
Kemudian ΔABC = ΔABD; sehingga AD = AC dan �BDA = �BCA, dan
ΔABC = ΔDBA, �BAC = �BAD.
Dengan menggunakan rumus Pythagoras:
AC2 BA 2 CB2
2CB2
AD 2 BA 2 BD 2
2BD2 2CB2
AC2 AD 2 CD 2
Jadi �CAD adalah sudut siku-siku, dan �ABC ��CAD.
Kenyataan bahwa proposisi Pythagoras bukan diambil sebagai teorema,
harus dibuktikan dari aksioma Euclid's, dengan menggunakan aksioma
karakteristik geometri yang menunjukkan bahwa kita dapat mengubah nama
geometri Euclidean "Pythagoras geometri". Meskipun Euclid, bersama dengan
Plato dan Eudoxus, bertanggung jawab secara sistematis sebagai teori aksiomatik,
kita perlu memandang proposisi Pythagoras dari beberapa sudut pandang yang
paling khas dan mendasar.
Formulasi alternatif yang mendalilkan kelima postulat Euclid kurang praktis dan
mungkin lebih diterima versi Euclid sendiri. Tentu Teorema Pythagoras 'masih
jauh dari benar, sehingga harus dibuktikan. Bahkan, tidak ada dari formulasi
alternatif yang benar-benar jelas, dan tampaknya membutuhkan beberapa
pembenaran lebih lanjut. Wallis dan Saccheri sedang mencari penyelesaian yang
lebih baik, Saccheri mengabiskan bertahun-tahun untuk mencoba membuktikan
kelima postulat dengan mereduksi dan penyerapan, asumsi itu menjadi salah dan
mencoba mendapatkan kontradiksi. Usaha ini gagal, tetapi dalam perjalanannya
menemukan non-Euclidean geometri. Teorema geometri non-Euclidean membawa
mereka ke Saccheri yang lebih masuk akal, meskipun ia tidak bisa memperoleh
sebuah inkonsistensi yang formal, tetapi meskipun aneh, mereka benar-benar
cukup konsisten, dan kemudian diakui menjadi teorema non-Euclidean
geometri,yang akan disebut sebagai geometri “hiperbola”.
3.
Geometries Non Euclides
Geometri hiperbolik non-Euclidean adalah geometri yang ditemukan oleh
Bolyai, seorang Hungaria dan oleh Lobachevsky, seorang Rusia di awal abad
kesembilan belas. Playfair mendalilkan bahwa dari titik yang bukan pada garis
hanya satu baris dapat ditarik sejajar dengan garis, didalilkan dari sudut tidak garis
diberikan lebih dari satu, pada kenyataannya, tak terhingga banyak baris dapat
ditarik sejajar dengan garis. Kemudian pada abad kesembilan belas mengubah
Riemann paralel mendalilkan cara lain, sehingga bisa diambil bahkan garis
paralel, ini memerlukan beberapa modifikasi lebih lanjut dari aksioma orang lain,
tetapi dengan modifikasi ini diproduksi lain non-Euclidean geometri konsisten,
yang “Elliptica” disebut geometri.
Geometri Non-Euclidean yang aneh, tapi tampak kurang jadi sekarang
kita kenal dengan mereka daripada ketika pertama kali bertemu Saccheri mereka.
Hal ini lebih mudah untuk memvisualisasikan geometri non-Euclidean
memperhitungkan permukaan elips bola beberapa, seperti tanah atau jeruk. Sangat
mudah untuk dilakukan jika lingkaran besar dianggap âlinesâ, tidak ada garis
paralel dalam geometri eliptik. Mematuhi dengan dua lingkaran besar, pada
kenyataannya, bertemu tidak hanya sekali tetapi dua kali, sebagai meridian
memenuhi kedua Kutub Utara dan Kutub Selatan. (Yang disebut “parallels dari
latitude” tidak paralel sama sekali, karena mereka tidak, di bawah interpretasi,
garis lurus, tetapi sebaliknya, lingkaran.) Jika kita menganggap bahwa instrumen
jeruk, atau segitiga permukaan Bumi bulat menandai meridian Greenwich,
Ekuador dan 90° BB, kita melihat ia memiliki sudut yang tepat pada setiap titik,
sehingga jumlah sudut yang menambahkan hingga tiga sudut kanan 270°, bukan
hanya dua sudut siku-siku 180°. Sebuah segitiga kecil akan jumlah sudut yang
mendekati 180°, yang cenderung sebagai segitiga semakin kecil dan lebih kecil.
Bahkan, jika kita tahu bagaimana sudut, kita dapat mengatakan apa yang
seharusnya menjadi hanya sisi bulat segitiga dengan masing-masing sudut nya 90°
adalah mereka yang sisi-sisinya adalah satu-seperempat dari keliling lingkaran
besar.
Jauh lebih sulit untuk memberikan permukaan dengan lengkungan negatif.
Permukaan kursi atau gunung, adalah salah satu contoh. Pada permukaan keliling
lingkaran adalah 2 π, dan Sejalan kuadrat dari sisi miring lebih besar dari jumlah
dari kuadrat kedua sisi lainnya. Hal ini kurang mudah untuk melihat bahwa
jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180°, tetapi jika kita mempertimbangkan
bagaimana sangat kecil perbedaan di jalur oneâs dalam melewati gunung dapat
menyebabkan tempat yang terpisah, kita menerima bahwa segitiga bisa memiliki
sudut yang menambahkan hingga kurang dari 180°. Jika kita mengambil segitiga
fitur untuk membatasi, maka ada area minimum segitiga. Ini menunjukkan sekali
lagi bagaimana asumsi kegagalan Saccheri Wallis non-Euclidean geometri. Hal ini
juga menarik perhatian karakteristik lain dari non-Euclidean geometri. Geometri
hiperbolik dan unit berbentuk bulat panjang telah ânatural, dalam geometri
hiperbolik ada area minimum yang dapat memiliki segitiga, dan geometri eliptik
ada panjang maksimum yang dapat memiliki sebuah baris. (Bahwa kita perlu
untuk memodifikasi geometri geometri eliptik Euclid mendalilkan kelima tidak
hanya tetapi yang kedua, yang mengasumsikan bahwa sebuah garis lurus dapat
diperpanjang tanpa batas jauh.)
Non-Euclidean geometri tetap orang asing. Bisakah kita membawa
beberapa pengetahuan dari mereka dan melihat sampai batas tertentu, tetapi
memiliki fitur yang tidak terbiasa dan mungkin tetap salah bahkan setelah
persahabatan yang panjang, tetapi itu tidak berarti mereka tidak kompatibel. Dan
sebenarnya non-Euclidean geometri konsisten.
Sangat mudah untuk mengatakan bahwa geometri konsisten dan sulit
untuk membuktikan. Saccheri menyimpulkan bahwa sistem sedang diselidiki
adalah sebagai absurd tidak kompatibel, dan itu terbukti salah? Pada akhir Felix
Klein telah terbukti salah, dengan bukti “relative consistency proof” yang telah
menjadi sangat penting dalam dasar matematika. Klein model geometri hiperbolik
dalam geometri Euclidean. Dianggap sebagai salah satu bagian yang diberikan
oleh redescribing circle dalam bahwa lingkaran Euclidean plane khususnya
menunjukkan bahwa di bawah deskripsi baru bertemu aksioma geometri
hiperbolik. Lalu ia mengatakan bahwa jika mereka maka semua konsisten, untuk
kemudian akan ada inkonsistensi pada bidang Euclidean, dan geometri Euclidean
akan terlalu tidak konsisten. Jadi, contrapositively, geometri hiperbolik konsisten
selalu geometri Euclid hiperbolik konsisten sehubungan dengan geometri
Euclidean.
Klein’s itu sendiri adalah rumit. Kami menghargai dorongan dari
argumennya jika kita menganggap bukan bukti konsistensi relatif model
menggunakan telah diberikan. Aksioma geometri dua dimensi elips berkumpul di
permukaan bola dengan titik dalam geometri eliptik diwakili oleh titik-titik pada
permukaan bola dan garis-garis dalam geometri eliptik diwakili oleh lingkaran
besar di permukaan bola. Jika aksioma dari geometri tidak kompatibel elips, maka
kita bisa menghasilkan proofsequence, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.3.3,
di mana setiap baris (ditampilkan di sisi kiri meja) adalah sebuah formula yang
well-formed geometri eliptik, adalah aksioma atau diikuti oleh satu atau lebih
baris beberapa aturan inferensi sebelumnya dan baris terakhir adalah bentuk A˄¬
A. Tapi sekarang pertimbangkan ini bukti-urutan bukan sebagai urutan formula
juga terbentuk dari titik dan garis dalam geometri elips, tetapi juga membentuk
formula dari titik dan lingkaran besar di ruang sub-dua-dimensi dari geometri
Euclidean tiga-dimensi (ditampilkan di sisi kanan meja). Apa yang aksioma
berdasarkan interpretasi sekarang proposisi sejati elips dan dapat dibuktikan dari
aksioma geometri Euclidean diwakili oleh tiga-dimensi baris tambahan di bagian
atas urutan uji di sebelah kanan. Geometri mengisi sehingga kami bisa naik di luar
urutan uji kita untuk men
Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Filsafat Ilmu
Dosen Pengampu : Dr. Gatut Iswahyudi, M.Si.
Oleh,
1.
2.
Berti Okta Sari
Yudi Pramono Pawiro
(S851402006)
(S851402070)
PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
A. Pendahuluan
Geometri adalah sebagian dari matematik yang mengambil persoalan
menenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari sifat ruang. Pada mulanya ia
hanya sebagian dari pengetahuan praktis yang menitik beratkan pada jarak luas
dan isi, tetapi pada abad ke 3SM geometri telah diletakkan di dalam bentuk
aksioma oleh euclid membentuk geometri euclid. Sedangkan Geometri berasal
dari bahasa Yunani (greek) yang berarti ukuran bumi. Maksudnya mencakup
mengukur segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian dimulai dari
pengukuran praktis yang diperlukan untuk pertanian orang–orang Babylonia dan
Mesir. Kata “geometri” menurut orang Mesir dan Babyloni ini diperluas untuk
perhitungan panjang ruas garis, luas dan volume.
Geometri euclid adalah pembelajaran geometri yang di dasarkan pada
definisi, teorem atau aksioma (titik,garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari
seseorang matematikawan Yunani (330 B.C.) yakni Euclid. Banyak penemuanpenemuan Euclid telah di dahului oleh matematikawan yunani, tetapi penemuan
itu tidak tersruktur dengan rapi seperti yang dilakukan euclid. Euclid membuat
pola deduktif secara komprehensip untuk membentuk geometri. Pendekatan dari
euclid terdiri dari pembuktian semua teorema dan aksioma-aksiomanya.
Dalam pembelajaran matematika di sekolah, geometri lebih berkenaan
dengan bangun-bangun geometri, garis dan sudut, kesebangunan, kekongruenan,
transformasi, dan geometri analitis. Geometri merupakan bagian dari matematika
yang mempelajari pola-pola visual, yang akan menghubungkan matematika
dengan dunia nyata. Geometri juga dapat dipandang sebagai sistem matematika
yang menyajikan fenomena yang bersifat abstrak (tidak nyata), akan tetapi dalam
pembelajarannya bertahap didahului dengan benda-benda kongkret sebagai media
sesuai dengan tahap perkembangan anak.
Obyek geometri merupakan hal yang abstrak. Misalnya bila kita menunjuk
sebuah persegipanjang dan kemudian menggambarkan atau membuatnya dengan
menggunakan lidi atau kawat, sesungguhnya itu bukanlah persegipanjang yang
dimaksudkan di dalam geometri. Ia hanyalah sebuah model persegipanjang.
Sedangkan persegipanjang sebenarnya hanya ada dalam alam pikir manusia.
Tidak ada yang bisa menetapkan seberapa besar garis atau sisi sebuah
persegipanjang. Hal-hal tersebut tak pernah terungkap disaat membicarakan
persegipanjang dan juga benda-benda geometri yang lainnya. Akan tetapi mereka
ada dan dapat dipelajari sebagai materi matematika yang sangat bermanfaat dalam
kehidupan sehari-hari dan juga dalam pengembangan ilmu dan teknologi.
Kalaupun obyek geometri itu abstrak, akan tetapi mereka “ada”. Hal
tersebut merupakan kenyataan bahwa geometri sebagai suatu aspek matematika
yang sangat penting dan berperan dalam kehidupan. Geometri menjadi materi
yang ingin diketahui secara mendasar dan fundamental untuk pengembangan
matematika itu sendiri dan pengembangan kemampuan berpikir manusia secara
logis. Oleh karena itu perlu adanya tinjauan tentang ”geometri” tersebut
berdasarkan filasafat matematika.
B. Pembahasan
1.
Euclid
Pendapat Holes telah ada dalam argumen Euclid selama seratus tahun
terakhir. Hilbert menemukan sejumlah asumsi yang belum dipecahkan Euclid
dalam melakukan formulasi penuh dari secara explicit diperlukan untuk
pengembangan ketat geometri Euclidean sekarang tersedia. Presentasi Euclid jauh
lebih rumit dan jauh lebih sedikit dibaca, dan kita harus bertanya apa sebenarnya
titik axiomatization. Euclid memerlukan asumsi untuk membuktikan teorema
secara geometri, tapi butuh asumsi lain keteraturan dan kontinuitas untuk
diberikan. Jika kita ingin
menemukan
sejumlah asumsi seperti yang telah
dilakukan Hilbert maka kita harus membuat semua asumsi secara eksplisit.
Sedangkan presentasi Euclid dapat dipahami dan memiliki daya tarik intelektual
yang besar. Mereka memahami Hilbert jika mereka sudah tahu dasar-dasar dari
geometri. Pendapat kontemporer
di kalangan filsuf matematika dan
Hilbert
anggap sebagai suatu pekerjaan Euclid yang memadai bukan hanya tidak
sempurna. Tapi ini adalah untuk mengambil titik pandang formalis masih bisa
diperdebatkan. Tanpa mencela nilai pekerjaan Hilbert dari sudut pandang formal,
kita bisa bertanya-tanya apakah ini adalah apa yang seharusnya dilakukan. Di luar
logika formal, pendekatan aksiomatik masih jauh lebih dipahami dalam bahasa
Euclid daripada Hilbert.
Fisikawan sering menyajikan mekanika Newton, teori relativitas, teori
relativitas umum dan mekanika kuantum dalam hal aksioma, apa asumsi cahaya
tinggi khas dari teori tersebut, namun mengambil banyak untuk diberikan. Ini
adalah prosedur yang sangat masuk akal, tidak hanya untuk menyajikan masalah
untuk siswa, tetapi untuk mengidentifikasi kerja secara profesional. Untuk
mengidentifikasi sebagian besar atau sebagian saja dari geometri Euclidean yang
menjadi kebutuhan kita adalah untuk membedakan karakteristik unik dari
geometri lain yang cukup mungkin disajikan di tempat. Setiap baris
mendefinisikan perintah terus menerus dan tidak biasanya dalam pertanyaan, dan
hanya mengacaukan komunikasi antisipasi pertanyaan yang tidak akan bertanya.
Singkatnya tidak hanya jiwa kecerdasan, namun kondisi komunikasi. Jumlah
eksplisit sering tidak hanya tidak beralasan. Euclid tidak boleh disalahkan karena
kurangnya ketelitian, tetapi dipuji karena rasa yang relevan.
2. Lima Aksioma
a. Unsur yang Tidak Didefinisikan (Undefined Term), Definisi dan
Postulat
Sebagai struktur matematika, geometri membicarakan unsur-unsur yang
tidak didefinisikan dan relasi antara unsur-unsur tersebut. Dalam hal ini unsurunsur yang tidak didefinisikan adalah titik, garis, bidang, dan ruang serta relasi
yang tidak didefinisikan yaitu terletak pada dan keantaraan. Selanjutnya unsurunsur yang tidak didefinisikan tersebut memerlukan simbol-simbol agar dalam
pembahasan berikutnya lebih mudah dipahami.
1) Titik dan Garis
Titik dituliskan dengan huruf kapital tunggal, seperti …
Garis dituliskan dengan huruf kecil, seperti … atau dengan dengan
menggunakan dua titik pada garis. Misal garis (dituliskan )
Gambar 2.1 Garis
Bidang disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf-huruf Yunani seperti α (alpa),
β (beta), γ (gamma) yang diletakkan di daerah dalam bidang tersebut.
Unsur-unsur yang tidak didefinisikan tersebut kemudian dikembangkan
menjadi unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma atau postulat, dan teorema
seperti ruas (segment) garis, sinar garis, dan sudut. Euclid sebagai salah satu
murid dari akademi Plato di Athena memperbarui teorema Plato yang belum
sempurna bersama dengan Eudoxus dan menghasilkan lima aksioma atau postulat
khusus yang dalam bahasa Yunani (aitemata) yang artinya (koinai ennoiai),
misalnya jika a sama dengan b, dan b sama dengan c, maka a sama dengan c.
Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioma, yang mana semua teorema
("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksioma-aksioma yang
terhingga. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua
teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang
terbatas.Berdasarkan pada geometri Euclid ada lima asumsi dasar yang disebut
aksioma atau postulat.
a) Postulat I Euclid 2.1 (Marvin Jay Greenberg, 1974: 12)
Pada postulat I Euclid sering pula dinyatakan dengan, dua titik
menentukan sebuah garis tunggal. Untuk menyatakan postulat Euclid yang kedua
sebelumnya akan didefinisikan terlebih dahulu definisi ruas (segment) garis.
Definisi 2.1 (Sri Mulyati: 20)
Ruas (segment) garis AB adalah himpunan titik yang memuat titik A dan titik
B serta semua titik yang terdapat diantara titik A dan titik B tersebut.
Gambar 2.2 Ruas garis AB
Pada ruas garis AB, titik A dan B masing-masing disebut ujung (titik akhir)
dari ruas garis AB, dan dapat disimbolkan .
Euclid menggunakan kata “sama” dalam beberapa pengertian yang
dikemukakannya, seperti “sudut alas dari segitiga sama kaki adalah sama” yang
berarti sudut alas segitiga sama kaki mempunyai bilangan derajat yang sama,
bukan karena sudut yang sama. Selanjutnya untuk menghindari kakeliruan akan
digunakan kata “kongruen” daripada kata “sama” untuk menjelaskan istilah-istilah
yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya, karena akan lebih mudah
dipahami. Sedangkan, objek atau benda yang mempunyai bentuk dan ukuran yang
sama disebut kongruen. Kongruen dapat dikenakan pada dua ruas garis, dua sudut,
dan dua segitiga atau objek lainnya, dan penjelasan mengenai istilah-istilah
tersebut akan dijelaskan pada pembahasan sub bab selanjutnya.
b) Postulat II Euclid 2.2 (Marvin Jay Greenberg, 1974: 12)
Untuk setiap dan untuk setiap terdapat titik tunggal sedemikian sehingga
diantara
dan
serta
kongruen dengan. Namun oleh Moeharti Hw (1986)
menyebutkan postulat kedua Euclid bahwa memperpanjang suatu ruas garis secara
terus memerus atau kontinu untuk menjadi suatu garis lurus.
Definisi 2.2 (Marvin Jay Greenberg,1974: 13)
Diberikan dua titik
kongruen dengan
dan himpunan semua titik P sedemikian sehingga
disebut lingkaran dengan disebut pusat lingkaran dan
disebut jari-jari (radius) lingkaran.
Dari definisi 2.2 tersebut selanjutnya akan menyatakan postulat ketiga Euclid.
c) Postulat III Euclid 2.3 (Marvin Jay Greenberg,1974: 13)
Untuk setiap titik dan setiap titik yang tidak sama dengan terdapat
lingkaran dengan pusat dan jari-jari (radius) .
Definisi 2.3 (Barnett Rich, 1977:2)
Sinar garis adalah bagian dari garis lurus yang dimulai dari sebuah titik
tertentu dan diperpanjang secara tak terbatas ke suatu arah.
Gambar 2.3 Sinar garis AB
Gambar 2.3 menggambarkan sinar garis AB dan disimbolkan .
Selanjutnya gagasan mengenai panjang suatu ruas garis ditentukan atau
diukur menurut jarak antara dua titik ujung ruas garis tersebut. Dalam hal ini
untuk cara mengukur didasarkan atas postulat jarak, jarak terpendek dari dua titik
adalah jarak yang diukur pada suatu garis lurus (Kusno,2004:61).
Untuk ukuran dapat dinyatakan dengan . Sebagai contoh pada gambar 2.4
ukuran adalah 4 atau dituliskan = 4.
Contoh 2.1
Gambar 2.4 Ruas garis AB dan ukurannya
Berdasarkan ukuran ruas garis tersebut dapat didefinisikan apa yang
dimaksud dengan titik tengah suatu ruas garis.
Definisi 2.4 (Sri Mulyati: 22)
Titik tengah suatu ruas garis adalah titik pada ruas garis sehingga
membentuk dua ruas garis yang berukuran sama.
Gambar 2.5 Ruas garis AB dengan titik tengah M
Pada gambar 2.5 titik M adalah titik tengah dari . Setiap segmen memiliki
tepat satu titik tengah sehingga karena M titik tengah dari . Garis yang memotong
ruas garis di titik tengah disebut bisektor ruas garis atau garis bagi ruas garis.
Contoh 2.2 :
Gambar 2.6 Bisektor ruas garis AB
i) Sudut dan Ukuran Sudut
Definisi sudut, ukuran sudut dan macam-macam sudut berdasarkan ukuran
sudut akan dibahas sebagai berikut:
Definisi 2.5 (Sri Mulyati: 22)
Sudut adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari dua sinar
yang titik pangkalnya sama (satu titik pangkal).
Gambar 2.7 berikut ini menggambarkan sudut ABC dan ditulis , disebut
kaki-kaki sedangkan titik B disebut titik sudut dan diatas juga dapat ditulis
sebagai . Selanjutnya membagi bidang yang memuatnya menjadi tiga himpunan
yang saling lepas yaitu sudut itu sendiri yaitu , daerah dalam (interior) , dan
daerah luar (eksterior) , seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.7.
Contoh 2.2
Gambar 2.7 Daerah dalam dan daerah luar sudut ABC
ii) Postulat Ukuran Sudut 2.4 (Kusno, 2004:63)
a. Ukuran sudut merupakan fungsi dari himpunan sudut ke himpunan
bilangan real R
b. Untuk setiap maka ukuran (ditulis m) terletak antara sampai 180
c. Untuk setiap atau dan untuk setiap bilangan r diantara dan 180
pada sisi yang sepihak dengan
atau
ada tepat satu
sehingga
diperoleh
Mengenai ukuran sudut dapat pula dijelaskan dengan definisi, yaitu ukuran
sudut ABC didefinisikan sebagai lintasan putar terpendek kaki sehingga berhimpit
dengan kaki atau sebaliknya. Arah putaran tidak perlu dipersoalkan karena yang
terpenting adalah lintasan putar yang terkecil. Selain itu, salah satu ukuran sudut
menggunakan satuan derajat dimana untuk satu derajat sama dengan 1/360 dari
satu putaran penuh (ditulis 1 putaran penuh).
Gambar 2.8 Sudut dengan menunjukkan arah putaran
Definisi 2.6 (Sri Mulyati: 24)
Sudut yang berukuran kurang dari 90 disebut sudut lancip,
sedangkan sudut yang ukuran sudutnya sama dengan 90 disebut
dengan sudut siku-siku dan sudut yang berukuran lebih besar dari 90
disebut sudut tumpul.
Menurut definisi, untuk membentuk sudut maka diperlukan dua sinar garis
yang titik pangkalnya berhimpit. Sudut yang berukuran 0 artinya untuk
menghimpitkan kaki sudut yang satu dengan kaki sudut yang lain dan tidak
memerlukan adanya pemutaran. Dengan demikian kedua kaki sudut telah
berhimpit atau dengan kata lain hanya ada satu sinar garis. Oleh karena itu, sebuah
sinar garis dianggap sebagai sudut yang berukuran 0. Sedangkan sudut yang
berukuran 180, kedua kaki sudut membentuk sebuah garis. Sehingga, sebuah garis
juga dapat dianggap sebagai sudut yang berukuran 180 atau sering pula disebut
sebagai sudut lurus.
Definisi 2.7 (Sri Mulyati: 24 )
Dua sudut dikatakan berpelurus (suplementary), jika jumlah ukuran
sudutnya adalah 180, sedangkan dua sudut dikatakan berpenyiku
(complementary), jika jumlah ukuran sudutnya adalah 90. Selanjutnya
dapat menyatakan postulat keempat Euclid yang menyatakan mengenai
sudut.
d) Postulat IV Euclid 2.5 (Marvin Jay Greenberg, 1974: 16)
Semua sudut siku-siku adalah kongruen dengan sudut siku-siku yang lain.
Definisi 2.8 (Kusno, 2004: 63)
Sinar-sinar berlawanan adalah dua sinar yang berbeda pada garis yang
sama dan memiliki sati titik pangkal yang sama.
Pada gambar 2.9 berikut dan adalah dua sinar yang berlawanan dan
terletak pada satu garis yaitu , namun kedua sinar tersebut memiliki titik pangkal
yang sama yaitu titik C.
Gambar 2.9 dan adalah dua sinar yang berlawanan
Definisi 2.9 (Sri Mulyati: 35)
Sudut-sudut bertolak belakang adalah dua buah sudut yang sedemikian
rupa sehingga kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar-sinar yang
berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain.
Gambar 2.10 Sudut-sudut yang bertolak belakang
Berdasarkan gambar 2.10 tampak bahwa sudut-sudut yang saling bertolak
belakang adalah kongruen dan dapat dibuktikan sebagai berikut:
Diberikan sudut bertolak belakang dan , dan adalah dua sinar yang arahnya
berlawanan, begitu juga dengan dan , dan membentuk garis lurus, begitu juga
dengan dan . Di lain pihak, merupakan pelurus untuk dan juga pelurus untuk
maka jelas keduanya kongruen.
a. Segiempat
Pada sub bab ini akan menjelaskan mengenai segiempat yang meliputi
jajar genjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi dan trapesium.
Definisi 2.10
Segiempat ABCD adalah gabungan dari , , dan yang membatasi daerah
dalam (interior) dan daerah luar (eksterior).
Gambar 2.11 Segiempat ABCD
Segiempat terdiri dari empat ruas garis yang disebut sisi. Setiap ujung sisi
yang satu berhimpit dengan dengan titik sudut yang lain dan tidak ada dua sisi
yang terletak segaris, serta tidak ada dua sisi yang saliang berpotongan selain di
titik ujung. Pasangan dua sisi yang tidak memiliki titik persekutuan disebut
pasangan sisi yang berhadapan. Pada Gambar 2.11, merupakan pasangan sisi yang
berhadapan adalah dengan dan dengan . Pasangan dua sisi yang memiliki titik
persekutuan disebut pasangan sisi yang berdekatan yaitu dengan , dengan ,
dengan , dan dengan . Sedangkan dengan disebut diagonal.
Pada segiempat ABCD terbentuk empat buah sudut. Pasangan sudut yang
tidak memiliki kaki persekutuan disebut pasangan sudut yang berhadapan yaitu
dengan dan dengan . Pasangan sudut yang memiliki kaki persekutuan disebut
pasangan sudut yang bersisian yaitu dengan , dengan , dengan , dan dengan .
1. Jajar Genjang
Definisi 2.11 (Kusni, 2004:2)
Jajar genjang ialah suatu segiempat yang memiliki sisi-sisi yang
berpasangan sejajar.
Gambar 2.12 Jajar genjang ABCD
Pasangan sisi yang berdekatan yaitu dengan , dengan , dengan , dan
dengan . Pasangan sisi yang berhadapan adalah dengan dan dengan .
Teorema 2.1 (Kusni, 2004:2)
Sudut-sudut jajar genjang yang berhadapan sama besar.
Diketahui : ABCD Jajar genjang
Buktikan : dan
Bukti:
Dibuat diagonal .
(Sudut dalam berseberangan)
(Sudut dalam berseberangan)
Maka,
Sehingga
Dengan membuat diagonal dan dengan cara yang sama didapat .
Teorema 2.2 (Kusni, 2004:3)
Sisi-sisi jajar genjang yang berhadapan sama panjang.
Diketahui : ABCD jajar genjang.
Akan dibuktikan: dan .
Bukti:
Lihat gambar 2.12
(Sudut dalam berseberangan)
(Sudut dalam berseberangan)
Sehingga memenuhi (Sd.S.Sd)
Akibatnya dan .
Teorema 2.3 (Kusni, 2004:4)
Jika dalam suatu segiempat, sudut-sudut yang berhadapan sepasangsepasang sama besar maka segiempat itu suatu jajar genjang.
Diketahui : ABCD segiempat
dan
Akan dibuktikan : ABCD jajar genjang
Bukti :
Karena maka .
Jika dalam suatu segiempat, sudut-sudut yang berhadapan sepasangsepasang
sama besar maka segiempat itu suatu jajar genjang.
dan maka .
Karena maka .
Berhubung dan maka segiempat ABCD adalah jajar genjang.
Sifat-sifat jajar genjang yang lain yaitu:
a. Kedua diagonal jajar genjang memotong di titik tengah.
b. Jika dalam suatu segiempat sisi-sisi yang berhadapan sepasangsepasang sama panjang maka segiempat itu suatu jajar genjang.
c. Jika dalam suatu segiempat diagonal-diagonal memotong di tengah
maka segiempat itu suatu jajar genjang.
d. Jika dalam suatu segiempat dua sisi sama dan sejajar maka segiempat
itu suatu jajar genjang
2. Persegi panjang
Definisi 2.12 (Kusni, 2004:5)
Persegi panjang ialah suatu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
Gambar 2.13 Persegi panjang ABCD
Akibatnya :
a. Jajar genjang ke empat sudutnya siku-siku.
b. Semua sifat jajar genjang berlaku untuk persegi panjang.
Teorema 2.4 (Kusni, 2004:6)
Persegi panjang diagonal-diagonalnya sama panjang
Gambar 2.14 Persegi panjang ABCD dengan diagonal dan
Diketahui : ABCD persegi panjang
Akan dibuktikan :
Bukti :
Lihat dan
(segitiga siku-siku)
(berimpit)
(diketahui)
Maka (S Sd S), akibatnya .
3. Belah ketupat
Definisi 2.13 (Kusni, 2004:6)
Belah ketupat ialah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama
panjang.
Gambar 2.15 Belah ketupat ABCD
Akibatnya:
a. Belah ketupat keempat sisinya sama panjang.
b. Sifat-sifat pada jajar genjang berlaku untuk belah ketupat.
c. belah ketupat diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut sama besar
dan diagonal-diagonal saling tegak lurus sesamanya
d. Jika dalam jajar genjang suatu diagonal membagi dua suatu sudut
sama besar maka jajar genjang itu suatu belah ketupat.
e. Jika dalam suatu jajar genjang diagonal-diagonalnya tegak lurus
sesamanya maka jajar genjang itu suatu belah ketupat.
4. Persegi
Definisi 2.14 (Kusni, 2004:8)
Persegi ialah suatu segiempat yang semua sisinya sama panjang dan satu
sudutnya siku-siku
Gambar 2.16 Persegi ABCD
Akibatnya persegi, keempat sudutnya siku-siku. Persegi juga disebut
segiempat beraturan. Pada persegi berlaku sifat-sifat belah ketupat maupun
persegi panjang.
b. Kekongruenan
Selanjutnya pada pembahasan ini akan dibahas mengenai kekongruenan
ruas garis, sudut dan segitiga serta untuk menyatakan kongruensi digunakan
simbol ” “.
1.
Kekongruenan ruas garis dan sudut
Definisi 2.15
a.
b.
dikatakan kongruen dengan (ditulis ) jika dan hanya jika .
dikatakan kongruen dengan (ditulis ) jika dan hanya jika .
Kongruensi di antara ruas garis dan di antara sudut merupakan relasi
ekuivalen, yaitu relasi yang memenuhi tiga sifat. Tiga sifat tersebut adalah
a. Refleksi
Pada kongruensi ruas garis dan kongruensi pada sudut .
b. Simetri
Pada kongruensi ruas garis jika maka , dan kongruensi pada sudut jika
maka
c. Transitif
Pada kongruensi ruas garis jika dan maka , dan kongruensi pada sudut dan
maka .
2. Kekongruenan Segitiga
Sebelumya akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai segitiga.
Definisi 2.16 (Kusno, 2004)
Segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang dibentuk oleh tiga titik
yang tidak segaris yang sepasang-sepasang saling dihubungkan. Ketiga
ruas garis tersebut disebut sisi-sisi segitiga. Sudut-sudut yang terbentuk
oleh pasangan-pasangan sisi-sisi tersebut disebut sudut-sudut segitiga,
dengan titik-titik sudut ketiga titik tersebut.
Misalkan tiga titik yang dimaksud definisi, yaitu A, B, C maka segitiga
yang terbentuk dinotasikan dengan . Pada , sisi-sisinya yaitu ,, sudutsudutnya , dengan titik-titik sudut A, B, C.
Gambar 2.17 Daerah dalam dan daerah luar segitiga ABC
Seperti halnya pada sudut, segitiga juga memiliki daerah dalam
(interior) dan daerah luar (eksterior) segitiga (lihat gambar 2.17).
Selanjutnya akan menjelaskan mengenai kekongruenan dua segitiga.
Gambar 2.18
Untuk menyatakan kongruensi segitiga pertama dengan segitiga kedua
adalah dengan menggunakan korespondensi satu-satu antara titik-titik sudut
segitiga pertama dengan titik-titik sudut segitiga kedua. Demikian pula untuk sisisisi segitiga dan sudut-sudut segitiga pertama berkoresponden dengan segitiga
kedua. Untuk simbol korespondensi dalam sub bab ini menggunakan “”., , , dan , ,
Definisi 2.17 (Kusno, 2004)
Jika dan hanya jika terdapat korespondensi satu-satu antara dengan
dan tiap pasangan sisi-sisi serta sudut-sudut yang berkorespondensi
kongruen.
Dapat juga ditulis sebagai berikut:
jika dan , , , , , .
Postulat 2.6 (S.Sd.S) (Sri Mulyati: 39)
Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat koresponden satu-satu
antara titik-titik sudutnya sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari
segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya
pada segitiga kedua.
Postulat 2.7 (Sd.S.Sd) (Sri Mulyati: 39)
Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat koresponden satu-satu
antara titik-titik sudutnya sehingga dua sudut dan sisi yang memuat
sudut itu pada segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian
korespondingnya pada segitiga kedua.
d. Postulat Kelima Euclid
Pada sub Bab ini akan menjelaskan mengenai postulat kelima Euclid. Berbeda
dengan empat postulat Euclid sebelumya, postulat kelima Euclid telah menjadi
kontroversi selama 19 abad. Postulat kelima Euclid disebut juga dengan postulat
kesejajaran Euclid atau postulat paralel Euclid. Sebelum menjelaskan mengenai
postulat kesejajaran Euclid akan didefinisikan terlebih dahulu mengenai garis
sejajar (parallel).
Definisi 2.18 (Marvin Jay Greenberg,1974: 16)
Dua garis yaitu l dan m adalah sejajar (parallel) jika kedua garis tersebut
tidak berpotongan , dengan kata lain jika tidak ada titik yang berada pada
kedua garis tersebut. Dapat dituliskan .
Sebagai catatan, mengasumsikan bahwa garis-garis terletak pada satu
bidang yang sama yaitu sesuai dengan kekentuan yang telah disepakati untuk
titik dan garis terlatak pada satu bidang yang sama kecuali untuk menyatakan
hal yang lain (Marvin Jay Greenberg, 1974). Selain itu, tidak perlu
memikirkan bahwa jarak antara kedua garis yang sejajar (parallel) adalah
sama namun dalam pembahasan ini hanya perlu diketahui bahwa dua garis
sejajar (parallel) tidak pernah berpotongan.
1) Postulat V Euclid 2.8 (Moeharti, 1986: 12)
Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus sedemikian sehingga jumlah
sudut-sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari jumlah dua sudut siku-siku,
maka kedua garis tersebut akan berpotongan dipihak tempat kedua sudut
dalam sepihak yang jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku.
Postulat kelima Eucild yang selanjutnya disebut dengan postulat
kesejajaran Euclid, berbeda dengan keempat postulat Euclid sebelumnya karena
aksioma atau postulat dari geometri adalah sebagai abstraksi dari pengalaman atau
percobaan. Dapat dilihat perbedaan dari keempat postulat Euclid dengan postulat
kesejajaran Euclid, untuk dua postulat pertama adalah abstraksi dari hasil
menggambar dengan garis lurus. Untuk postulat ketiga Euclid merupakan
abstraksi dari hasil menggambar dengan jangka. Postulat keempat Euclid mungkin
kurang jelas sebagai abstraksi namun postulat tersebut merupakan hasil mengukur
sudut dengan busur derajat (dimana jumlah dari sudut berpelurus (supplementary)
adalah 180, sehingga jika sudut berpelurus kongruen dengan yang lain, masingmasing berukuran 90).
Postulat kesejajaran Euclid tersebut sulit untuk diuji dengan percobaan
apakah dua garis dapat berpotongan, karena bila menggambar garis hanya terbatas
dan memperpanjang garis tersebut juga terbatas. Dengan cara lain, untuk menguji
secara tidak langsung kesejajaran garis dengan menggunakan kriteria atau standart
lain selain definisi. Kriteria untuk l sejajar m (), Euclid memiliki gagasan untuk
menggambar transversal (yaitu garis t yang memotong kedua garis l dan m pada
titik tertentu) dan ukuran dari derajat pada sudut dalam dan pada salah satu sisi t.
Euclid juga memprediksikan bahwa jumlah sudut dan tidak lebih dari 180, garis
(jika dihasilkan cukup jauh) akan berpotongan pada sisi yang sama pada t sebagai
sudut dan . Penjelasan tersebut merupakan isi dari postulat kesejajaran Euclid
(lihat gambar 2.14)
Gambar 2.19 Garis l dan m dipotong transversal t
Namun masalah kriteria ini tidak akan digunakan untuk meyakini
kebenaran dari postulat kesejajaran Euclid karena ternyata secara logika ekivalen
dengan proposisi 17 (Euclid’s Element Book I) yang menyebutkan bahwa dalam
segitiga jumlah dari dua sudut dalam segitiga tersebut kurang dari dua sudut sikusiku, sehingga hanya akan menjadi alasan yang berputar atau melingkar.
Selanjutnya dengan adanya permasalahan bahwa postulat kesejajaran
Euclid sukar untuk diuji secara jelas maka dalam bab selanjutnya akan dibahas
mengenai ekuivalen dan upaya-upaya untuk membuktikannya. Menurut Walter
Prenowitz dan Meyer Jordan (1965) sebelumnya mensketsa terlebih dahulu
mengenai teori geometri bidang Euclid.
Dimulai dengan mendaftar sejumlah aksioma-aksioma untuk geometri bidang
Euclid:
1. Sesuatu yang sama akan sama satu sama yang lainnya
2. Jika sesuatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, maka
jumlahnya sama
3. Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama
4. Benda-benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
5. Seluruhnya lebih besar dari sebagian
Selain itu ada beberapa postulat pada bidang Euclid, yaitu :
1. Bangun geometri dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran dan
bentuknya
2. Setiap sudut memiliki bisector (garis bagi)
3. Setiap segmen memiliki titik tengah
Dari postulat-postulat tesebut, dapat dideduksikan sejumlah teorema dasar
beserta bukti dari teoremanya:
1. Sudut bertolak belakang sama besar atau jika dua sudut bertolak belakang
maka mereka kongruen. Maksud dari teorema ini telah dijelaskan pada
definisi 2.10 pada penjelasan sub bab sebelumnya.
2. Sifat kongruensi segitiga (S.Sd.S, Sd.S.Sd, S.S.S)
a. Dua segitiga kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang
b.
serta sudut yang diapitnya sama besar (S.Sd.S)
Dua segitiga kongruen jika dua sudut yang bersesuaian sama besar
c.
dan sisi yang diapitnya sama panjang (Sd.S.Sd)
Dua segitiga kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
(S.S.S)
Gambar 2.20 dan
3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki
Jika dua sudut suatu segitiga kongruen maka sisi-sisi dihadapan sudutsudut itu kongruen
Gambar 2.21 Segitiga Sama kaki ABC
Bukti:
Diketahui dan
Dibuktikan
Telah diketahui maka menurut sifat simetri relasi maka … (*)
Pandang dan , karena
(diketahui)
(sifat refleksi relasi )
(*)
Menurut aksioma atau postulat Sd.S.Sd maka , akibatnya . Terbukti.
4. Ekstensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik garis tersebut
Disuatu titik pada garis terdapat satu dan hanya satu garis yang tegak lurus
garis itu. Maksud dari teorema ini, di titik P pada garis g ada garis yang tegak
lurus g dan garis itu hanya satu-satunya. Sehingga untuk membuktikan perlu
dibuktikan dulu ada garis yang tegak lurus dengan g, kemudian dibuktikan
garis tersebut tunggal.
Gambar
2.22 (A) titik P pada garis g (B) garis g dipotong garis k
Jadi diketahui garis g dan titik P pada garis g, akan dibuktikan:
1) Di P ada garis yang tegak lurus g
2) Garis yang tegak lurus g tunggal
Bukti:
(i)
Karena garis adalah himpunan titik maka ada titk A pada garis g dengan .
Kemudian terdapat dan titik P pada sedemikan sehingga . Pada titik A
terdapat (sudut lancip), demikian pula di B terdapat . Kemudian dan
berpotongan di C, karena misalkan dan tidak berpotongan maka . maka
. Diketahui , berarti , sehingga siku-siku. Maka kontradiksi, karena
lancip. Jadi dan berpotongan di C. (Gambar 2.17 (B))
Dari C dan P terdapat . Pandang , karena , menurut convers teorema
(ii)
segitiga samakaki . Sehingga menurut teorema . Terbukti.■
Akan dibuktikan tunggal
Menurut (i) ada garis di A
dan maka
Misalkan ada garis lain yang melalui titik P yaitu , menurut teorema .
Berarti di P terdapat lebih dari satu garis yang masing-masing sejajar
garis k, yaitu dan . Padahal menurut postulat kesejajaran terdapat satu
dan hanya satu garis yang sejajar suatu garis. Jadi pengandaian bahwa di
P terdapat garis lain selain salah, namun tidak ada garis lain selain yang
tegak lurus dengan g. Terbukti.
5. Ekstensi garis yang tegak lurus pada garis yang memiliki titik luar
Di suatu titik P tidak pada garis g terdapat satu dan hanya satu garis yang
tegak lurus.
Gambar 2.23 (A) titik P diluar garis g (B) titik Q pada garis g
Diketahui: garis g dan titik P tidak pada garis g. Gambar 2.17 (A)
Akan dibuktikan: melalui P terdapat satu dan hanya satu garis yang tegak
lurus g
Bukti:
(i) Dibuktikan melalui P ada garis yang tegak lurus g
Titk A sembarang titik di garis g lalu dibuat . Di titik A pada garis g
terdapat .
Sehingga dapat diperpanjang sehingga . Selanjutnya garis melalui P dan
B dan memotong garis g di C. Pandang dan , karena , dan maka dan
(ii)
(S.Sd.S).
Akibatnya . Karena kedua sudut saling besisian maka menurut teorema
Akan dibuktikan bahwa adalah satu-satunya garis yang tegak lurus
dengan garis g.
Misalkan ada garis lain yaitu dengan .
dan maka menurut teorema : . Menurut definisi garis sejajar berarti m
dan
tidak mempunyai titik sekutu kontradiksi karena garis m dan
keduanya melalui titik P. Sehingga pengandaian bahwa ada garis lain
yang melalui titik P tegak lurus garis g adalah salah, sehingga yang
benar tidak ada garis lain yang melalui titik P yang tegak lurus garis g
selain Jadi adalah satu-satunya garis yang melalui
Sekarang akan dibuktikan teorema sudut luar, sebagai cara menuju
perkembangan lebih lanjut.
Teorema 2.5 Teorema sudut luar (Walter Prenowitz dan Meyer
Jordan, 1965:22)
Sudut luar segitiga akan lebih besar daripada sudut dalam yang tidak
bersisian dengan sudut tersebut.
Gambar 2.24 Menunjukkan
Bukti:
Misalkan
adalah sembarang segitiga, dan misalkan D merupakan
perpanjangan dari melalui C. Pertama akan ditunjukkan bahwa lebih
besar dari . Misalkan E merupakan titik tengah , dan misalkan merupakan
perpanjangan garis yang melalui E hingga F, maka dan (sudut bertolak
belakang sama besar). Jadi , dan (bagian segitiga kongruen sama besar).
Karena (keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya), sehingga
dapat disimpulkan .
Untuk menunjukkan bahwa, perpanjang
melalui C hingga H, yang
membentuk , dengan menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian:
misalkan M merupakan titik tengah , perpanjang melalui M, dan lain-lain. Untuk
melengkapi bukti, perhatikan bahwa dan merupakan sudut bertolak belakang
sehingga sudut tersebut sama besar.
Teorema 2.6 (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan,1965: 23)
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk
pasangan sudut dalam bersebrangan yang sama besar, maka garis tersebut
sejajar.
Gambar 2.25 Garis sejajar dipotong transversal AB
Bukti:
Perlu diingat bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar
jika garis tidak berpotongan. Misalkan garis transversal membagi dua garis
l,m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut dalam
bersebrangan, dan , yang sama besar, dan misal l dan m tidak sejajar. Maka
l dan m akan berpotongan di titik C, membentuk . C terletak pada satu sisi
AB atau pada sisi lainnya. Hal ini kontrakdiksi dengan teorema
sebelumnya, oleh karena itu l dan m sejajar.
Corollary 2.1. (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan, 1965: 24)
Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar.
Akan dibuktikan bahwa jika l tegak lurus m dan l tegak lurus n maka m
sejajar n, seperti yang terlihat pada gambar 2.26.
Bukti:
1.
2.
3.
4.
l tegak lurus ( keduanya sudut siku-siku )
l tegak lurus
( keduanya sudut siku-siku )
Karena dan dua sudut berseberangan maka m dan n (teorema 2.6)
(terbukti).
Gambar 2.26 Garis dan dipotong transversal l
Colorray 2.2 (Ekstensi garis sejajar).
Jika titik P tidak berada pada garis l, maka akan ada setidaknya satu garis
yang melalui P yang sejajar dengan l.
Gambar 2.27 Garis
Bukti:
Dari titik P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di
titik Q, dan di titik P bangin garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka
garis m sejajar dengan garis l menurut Corollary 2.1. Terbukti.
Teorema 2.7 (Walter Prenowitz dan Meyer Jordan,1965: 24)
Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180.
Gambar 2.28 dengan titik D pada
Bukti :
Misalkan merupakan sembarang segitiga. Kita tunjukkan bahwa .
Perpanjang melalui titik B hingga titik D. Maka merupakan sudut luar .
Dengan menggunakan teorema 2.6 maka . Tetapi , dengan mensubtitusikan
pada relasi yang pertama, maka , atau . Jadi, , dengan teorema terbukti.
e. Teorema Saccheri Legendre
Teorema Saccheri Legendre berikut merupakan teorema yang akan digunakan
dalam upaya Saccheri membuktikan postulat kesejajaran Euclid. Teorema ini
merupakan teorema yang hanyan dapat dibuktikan dalam geometri netral.
Teorema 2.8 (Saccheri-Legendre) (Marvin Jay Greenberg, 1972:101)
Jumlah ukuran ketiga sudut segitiga kurang dari atau sama dengan 180°.
Gambar 2.29
Dari teorema 2.8 diatas akibatnya terdapat keistimewaan tentang ukuran
jumlah sudut segitiga, sebelumnya telah terbiasa dengan pengertian jumlah
ketiga sudut segitiga adalah 180°. Namun demikian, untuk membuktikan
tidak dapat dibuktikan dalam geometri
netral. Sehingga dalam
membuktikan teorema tersebut memerlukan postulat Archimedes tentang
dalam
pembuktian teorema Saccheri-Legendre. Pembuktiannya adalah
sebagai berikut:
Pembuktian dilakukan secara kontradiksi. Asumsikan, jumlah sudut lebih
besar dari 180°, misalkan terdapat p, dimana p adalah bilangan positif. Sehingga
didapat 180° + p°. Untuk memastikan hal tersebut adalah benar, maka ganti
dengan segitiga yang lain dengan ukuran sudut segitiga yang sama, akan tetapi
pada salah satu sudutnya setengah dari derajat pada .. Dengan demikian dapat
digunakan diulangi untuk segitiga yang lain sehingga jumlah sudutnya adalah
180° + p° akan tetapi pada salah satu sudut dari keempat bilangan tersebut
merupakan derajat . Untuk memperoleh jumlah sudut 180° + p° maka, salah satu
sudutnya harus berukuran lebih dari p°. Sehingga jumlah ukuran derajat dua sudut
lainnya akan lebih besar atau sama dengan 180°, dengan demikian teorema
terbukti.■
Ada beberapa pendapat yang menyatakan tentang aksioma yang dituliskan
oleh Euclid baik dalam zaman kuno maupun pada zaman modern dengan harapan
bahwa aksioma tersebut menjadi lebih jelas dan benar. Pendapat tersebut antara
lain:
a. Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya
satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang
diberikan (Playfair)
b. Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku.
c. Pendapat lain yang mungkin sama untuk memberikan pendapat dan
apapun ukurannya terserah (Wallis).
d. Ada dua segitiga yang tidak sama dan memiliki sudut yang sama(Saccheri
dan Plato)
e. Dalam segitiga siku-siku, sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi
yang lainnya. (Phytagoras).
Pendapat Playfair mendekati Euclid dan dianggap sebagai versi modern
yang secara eksplisit menyebutkan garis paralel dan disebut sebagai
"dalil
paralel". Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut yang siku-siku. Jauh lebih
signifikan adalah aksioma tentang segitiga yang diajukan dalam bentuk yang lebih
kuat oleh John Wallis, seorang don Oxford dari abad ketujuh belas dan Geralamo
Saccheri, seorang imam Yesuit pada abad kedelapan belas. Menurut Wallis
aksioma (3) dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan
dua sudut siku-siku.
Argumen lain, dalam gambar 2.2.2 menunjukkan bahwa 'Teorema
Pythagoras” mudah dibuktikan dengan cara segitiga serupa. Kita mungkin
bertanya dengan bukti Euclid 's "windmill" dari proposisi-nya mengapa Euclid
disukai banyak bukti nya lebih rumit. Jawabannya terletak pada asumsi terakhir
dalam bukti yang diberikan di gambar 2.2.2, dan akibat adanya kesulitan besaran
tidak dapat dibandingkan, sendiri didirikan sebagai konsekuensi dari teorema
Pythagoras. Pendapat Meno menunjukkan bahwa diagonal dari persegi memiliki
panjang
2
dari sisi. Tapi
2 , seperti Pythagoras atau salah seorang
pengikutnya tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua seluruh angka, dan
pendekatan segitiga yang serupa, yang mengatakan bahwa: “rasio dari sisi dalam
segitiga yang sama adalah sama”.
Gambar 2.2.1 Bukti Segitiga
dari Wallis: Misalkan ABC segitiga. Misalkan
segitiga AFE = segitiga ABC dan setengah ukurannya. Maka:
AF AE FE 1
AB AC BC 2
Jadi, AF = FC dan AE = EB.
Misalkan BD = DC, maka EF = BD = DC
Kemudian segitiga ΔFED �ΔABC, dimana ED =
1
AC = AF. Jadi dalam
2
ΔEFD dan ΔBDE, EF = BD, DF = BE, dan ED berimpitan. Jadi ΔEFD = ΔBDE,
dan �DEF = �EDB. Tapi �BCA = �EFA dan �CAB = �CFD, [Dan �ABC
= �DFE]. Jadi �ABC + �BCA + �CAB = 180 °.
Telah terbukti bahwa jumlah sudut segitiga adalah jumlah dua sudut siku-siku,
dengan demikian hal ini setara dengan paralel postulat Euclid (bukti pendapat b).
Kemudian
Dedekind tentang
Euclid dalam teorinya tentang proporsi yang diantisipasi
definisi dari
bilangan real, namun dalam eksposisi
geometrisnya disukai secara teknis walaupun lebih rumit tetapi secara konseptual
kurang. Pendekatan yang tidak bersangkutan dengan segitiga sama sama sekali.
Sebuah pendapat di Gorgias menunjukkan bahwa Plato berpikir tentang
segitiga yang sama pada waktu ia sedang berusaha untuk membangun dasar
geometri. Dalam Gorgias 508a5-7 ia membedakan "Geometris" dari "aritmatika"
yang pertama hanya proporsional, sedangkan yang kedua adalah kesetaraan yang
ketat. Aristoteles mengambil perbedaan dalam Nicomachean Ethics-nya, dalam
bukunya Politik dan membuat dasar tafsir kesamaan distributif.
Gambar 2.2.2
Bukti Pythagoras dengan Segitiga yang sama: Misalkan: ΔABC
dengan sudut siku-siku di B. Gambarkan garis tegak lurus dari B
keAC di D. Lalu ΔADB �ΔABC dan ΔBDC �ΔABC. Jadi ,
Dan ,
Jadi (AD + DC).AC = AB2 + BC2. Jadi AC2 = AB2 + BC2.
Diasumsi bahwa sudut Δ berjumlah 180°, dan besar sudut segitiga
lainnya sama.
Plato dan Aristoteles melihat bahwa ada universalitas tentang konsep
kesamaan, dan kesamaan yang mengharuskan kami memperlakukan sama. Plato
berpendapat, diperlukan perlakuan yang sama seperti pada kasus yang sama,
tetapi diberi perlakuan berbeda pada kasus berbeda. "Geometris kesetaraan "
dicetuskan oleh Plato dan Aristoteles untuk mendasari prinsip bahwa harus ada
kesamaan perlakuan untuk semua dengan perbedaan perlakuan aktual pada
keadaan yang berbeda. Setiap orang harus diberi bagian yang sama, kata
Aristoteles, tetapi mereka adalah bagian yang sama sebanding dengan (Axia) jasa
mereka, dan tergantung pada keadaan. Ini berbeda dengan pendapat egalitarian
fifthcentury Athena, dan memiliki konsekuensi penting bagi politik berpikir di
dunia kuno.
Dari pembuktian tersebut terlihat bahwa teorema Pythagoras setara dengan paralel
postulat, sperti yang dikatakan oleh Plato dan Aristoteles.
Bukti:
Dalam sebuah segitiga siku-siku, panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat
di dua sisi lainnya. Dari teorema Pythagoras dibuktikan dengan membagi menjadi
tiga jenis utama:
1) Bukti geser, yang tergantung pada teorema bahwa daerah-daerah
jajaran genjang (atau segitiga) pada basis yang sama dengan
ketinggian yang sama adalah sama,
2) Bukti oleh kesamaan, yang tergantung pada perhitungan proporsi dari
sisi segitiga yang sama,
3) Bukti-bukti oleh diseksi yang tergantung pada pengamatan bahwa
sudut lancip segitiga siku-siku saling melengkapi.
Untuk setiap kasus dari pendapat yang ada, akan lebih mudah ditelusuri jika
kembali pada akibat paralel postulat. Dalam pengertian ini, diasumsikan ada
aksioma-aksioma geometri bidang (pertama menyiratkan kedua).
Banyak akibat dari Postulat Paralel, diambil bersama-sama dengan aksiomaaksioma
yang
ada
untuk
geometri
bidang,
dapat
ditampilkan
untuk
mengimplikasikan Paralel Postulat. Dalam hal ini, pernyataan ini dapat dianggap
sebagai setara dengan Paralel Postulat. Yaitu:
3-3 Dalam setiap segitiga (tiga sudut), jumlah dua sudut siku-siku.
4-4 Dalam setiap segitiga, masing-masing sudut luar sama dengan jumlah sudut
luar terpencil.
5-5 Jika dua garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sudut luar alternative
adalah sama dan sudut yang sesuai juga sama.
Banyak pernyataan yang ternyata lemah, hal ini ditunjukkan setara dengan Paralel
Postulat, yaitu:
6-6 Ada beberapa segitiga yang tiga sudutnya adalah jumlah dua sudut siku-siku.
7-7 Ada sebuah segitiga sama kaki yang tiga sudutnya adalah jumlah dua sudut
siku-siku.
8-8 Terdapat segitiga siku-siku sama kaki yang jumlah dua sudut-sudut sikusikunya sama.
9-9 Tiga sudut dari setiap segitiga siku-siku jumlah dua sudut siku-siku.
Bukti Teorema Pythagoras 'adalah puncak dari Euclid's buku pertama, dan
telah menunjukkan bagaimana hal itu dapat dibuktikan tidak hanya dari kelima
postulat Euclid sendiri melainkan dari proposisi Wallis ' tentang segitiga serupa.
Itu wajar untuk bertanya apakah pada gilirannya dapat dibuktikan dari teorema
Pythagoras 'diambil sebagai kebenaran. Hal ini paling mudah untuk menunjukkan
aksioma Saccheri’s (d), bahwa diberikan Proposisi Pythagoras, harus ada dua
segitiga yang sama bentuk tetapi ukuran yang berbeda.
Gambar 2.2.3 Bukti Saccheri dari Pythagoras:
Misalkan �ABC adalah sudut siku-suku di B, misalkan BA = CB. Perpanjang CB
hingga D, sehingga BD = CB.
Kemudian ΔABC = ΔABD; sehingga AD = AC dan �BDA = �BCA, dan
ΔABC = ΔDBA, �BAC = �BAD.
Dengan menggunakan rumus Pythagoras:
AC2 BA 2 CB2
2CB2
AD 2 BA 2 BD 2
2BD2 2CB2
AC2 AD 2 CD 2
Jadi �CAD adalah sudut siku-siku, dan �ABC ��CAD.
Kenyataan bahwa proposisi Pythagoras bukan diambil sebagai teorema,
harus dibuktikan dari aksioma Euclid's, dengan menggunakan aksioma
karakteristik geometri yang menunjukkan bahwa kita dapat mengubah nama
geometri Euclidean "Pythagoras geometri". Meskipun Euclid, bersama dengan
Plato dan Eudoxus, bertanggung jawab secara sistematis sebagai teori aksiomatik,
kita perlu memandang proposisi Pythagoras dari beberapa sudut pandang yang
paling khas dan mendasar.
Formulasi alternatif yang mendalilkan kelima postulat Euclid kurang praktis dan
mungkin lebih diterima versi Euclid sendiri. Tentu Teorema Pythagoras 'masih
jauh dari benar, sehingga harus dibuktikan. Bahkan, tidak ada dari formulasi
alternatif yang benar-benar jelas, dan tampaknya membutuhkan beberapa
pembenaran lebih lanjut. Wallis dan Saccheri sedang mencari penyelesaian yang
lebih baik, Saccheri mengabiskan bertahun-tahun untuk mencoba membuktikan
kelima postulat dengan mereduksi dan penyerapan, asumsi itu menjadi salah dan
mencoba mendapatkan kontradiksi. Usaha ini gagal, tetapi dalam perjalanannya
menemukan non-Euclidean geometri. Teorema geometri non-Euclidean membawa
mereka ke Saccheri yang lebih masuk akal, meskipun ia tidak bisa memperoleh
sebuah inkonsistensi yang formal, tetapi meskipun aneh, mereka benar-benar
cukup konsisten, dan kemudian diakui menjadi teorema non-Euclidean
geometri,yang akan disebut sebagai geometri “hiperbola”.
3.
Geometries Non Euclides
Geometri hiperbolik non-Euclidean adalah geometri yang ditemukan oleh
Bolyai, seorang Hungaria dan oleh Lobachevsky, seorang Rusia di awal abad
kesembilan belas. Playfair mendalilkan bahwa dari titik yang bukan pada garis
hanya satu baris dapat ditarik sejajar dengan garis, didalilkan dari sudut tidak garis
diberikan lebih dari satu, pada kenyataannya, tak terhingga banyak baris dapat
ditarik sejajar dengan garis. Kemudian pada abad kesembilan belas mengubah
Riemann paralel mendalilkan cara lain, sehingga bisa diambil bahkan garis
paralel, ini memerlukan beberapa modifikasi lebih lanjut dari aksioma orang lain,
tetapi dengan modifikasi ini diproduksi lain non-Euclidean geometri konsisten,
yang “Elliptica” disebut geometri.
Geometri Non-Euclidean yang aneh, tapi tampak kurang jadi sekarang
kita kenal dengan mereka daripada ketika pertama kali bertemu Saccheri mereka.
Hal ini lebih mudah untuk memvisualisasikan geometri non-Euclidean
memperhitungkan permukaan elips bola beberapa, seperti tanah atau jeruk. Sangat
mudah untuk dilakukan jika lingkaran besar dianggap âlinesâ, tidak ada garis
paralel dalam geometri eliptik. Mematuhi dengan dua lingkaran besar, pada
kenyataannya, bertemu tidak hanya sekali tetapi dua kali, sebagai meridian
memenuhi kedua Kutub Utara dan Kutub Selatan. (Yang disebut “parallels dari
latitude” tidak paralel sama sekali, karena mereka tidak, di bawah interpretasi,
garis lurus, tetapi sebaliknya, lingkaran.) Jika kita menganggap bahwa instrumen
jeruk, atau segitiga permukaan Bumi bulat menandai meridian Greenwich,
Ekuador dan 90° BB, kita melihat ia memiliki sudut yang tepat pada setiap titik,
sehingga jumlah sudut yang menambahkan hingga tiga sudut kanan 270°, bukan
hanya dua sudut siku-siku 180°. Sebuah segitiga kecil akan jumlah sudut yang
mendekati 180°, yang cenderung sebagai segitiga semakin kecil dan lebih kecil.
Bahkan, jika kita tahu bagaimana sudut, kita dapat mengatakan apa yang
seharusnya menjadi hanya sisi bulat segitiga dengan masing-masing sudut nya 90°
adalah mereka yang sisi-sisinya adalah satu-seperempat dari keliling lingkaran
besar.
Jauh lebih sulit untuk memberikan permukaan dengan lengkungan negatif.
Permukaan kursi atau gunung, adalah salah satu contoh. Pada permukaan keliling
lingkaran adalah 2 π, dan Sejalan kuadrat dari sisi miring lebih besar dari jumlah
dari kuadrat kedua sisi lainnya. Hal ini kurang mudah untuk melihat bahwa
jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180°, tetapi jika kita mempertimbangkan
bagaimana sangat kecil perbedaan di jalur oneâs dalam melewati gunung dapat
menyebabkan tempat yang terpisah, kita menerima bahwa segitiga bisa memiliki
sudut yang menambahkan hingga kurang dari 180°. Jika kita mengambil segitiga
fitur untuk membatasi, maka ada area minimum segitiga. Ini menunjukkan sekali
lagi bagaimana asumsi kegagalan Saccheri Wallis non-Euclidean geometri. Hal ini
juga menarik perhatian karakteristik lain dari non-Euclidean geometri. Geometri
hiperbolik dan unit berbentuk bulat panjang telah ânatural, dalam geometri
hiperbolik ada area minimum yang dapat memiliki segitiga, dan geometri eliptik
ada panjang maksimum yang dapat memiliki sebuah baris. (Bahwa kita perlu
untuk memodifikasi geometri geometri eliptik Euclid mendalilkan kelima tidak
hanya tetapi yang kedua, yang mengasumsikan bahwa sebuah garis lurus dapat
diperpanjang tanpa batas jauh.)
Non-Euclidean geometri tetap orang asing. Bisakah kita membawa
beberapa pengetahuan dari mereka dan melihat sampai batas tertentu, tetapi
memiliki fitur yang tidak terbiasa dan mungkin tetap salah bahkan setelah
persahabatan yang panjang, tetapi itu tidak berarti mereka tidak kompatibel. Dan
sebenarnya non-Euclidean geometri konsisten.
Sangat mudah untuk mengatakan bahwa geometri konsisten dan sulit
untuk membuktikan. Saccheri menyimpulkan bahwa sistem sedang diselidiki
adalah sebagai absurd tidak kompatibel, dan itu terbukti salah? Pada akhir Felix
Klein telah terbukti salah, dengan bukti “relative consistency proof” yang telah
menjadi sangat penting dalam dasar matematika. Klein model geometri hiperbolik
dalam geometri Euclidean. Dianggap sebagai salah satu bagian yang diberikan
oleh redescribing circle dalam bahwa lingkaran Euclidean plane khususnya
menunjukkan bahwa di bawah deskripsi baru bertemu aksioma geometri
hiperbolik. Lalu ia mengatakan bahwa jika mereka maka semua konsisten, untuk
kemudian akan ada inkonsistensi pada bidang Euclidean, dan geometri Euclidean
akan terlalu tidak konsisten. Jadi, contrapositively, geometri hiperbolik konsisten
selalu geometri Euclid hiperbolik konsisten sehubungan dengan geometri
Euclidean.
Klein’s itu sendiri adalah rumit. Kami menghargai dorongan dari
argumennya jika kita menganggap bukan bukti konsistensi relatif model
menggunakan telah diberikan. Aksioma geometri dua dimensi elips berkumpul di
permukaan bola dengan titik dalam geometri eliptik diwakili oleh titik-titik pada
permukaan bola dan garis-garis dalam geometri eliptik diwakili oleh lingkaran
besar di permukaan bola. Jika aksioma dari geometri tidak kompatibel elips, maka
kita bisa menghasilkan proofsequence, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.3.3,
di mana setiap baris (ditampilkan di sisi kiri meja) adalah sebuah formula yang
well-formed geometri eliptik, adalah aksioma atau diikuti oleh satu atau lebih
baris beberapa aturan inferensi sebelumnya dan baris terakhir adalah bentuk A˄¬
A. Tapi sekarang pertimbangkan ini bukti-urutan bukan sebagai urutan formula
juga terbentuk dari titik dan garis dalam geometri elips, tetapi juga membentuk
formula dari titik dan lingkaran besar di ruang sub-dua-dimensi dari geometri
Euclidean tiga-dimensi (ditampilkan di sisi kanan meja). Apa yang aksioma
berdasarkan interpretasi sekarang proposisi sejati elips dan dapat dibuktikan dari
aksioma geometri Euclidean diwakili oleh tiga-dimensi baris tambahan di bagian
atas urutan uji di sebelah kanan. Geometri mengisi sehingga kami bisa naik di luar
urutan uji kita untuk men