Jenis Fungsi Distribusi Diskrit dan Kont

Jenis Fungsi Distribusi Diskrit dan
Kontinu
Jenis Fungsi Distribusi Probabilitas
1. Fungsi Distribusi Diskrit
Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah
acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin, berlaku :
) = Q = 1-P. Jika P = P(A) tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang
dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli.
Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara independen, menghasilkan
peristiwa A dan sisanya maka peluang terjadinya peristiwa sebanyak kali di antara ,
dihitung oleh:
Dimana:
P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian .
N

= jumlah kejadian.

R

= jumlah kejadian yang diharapkan

P

= peluang terjadinya kejadian (parameter

distribusi)
Q = peluang kegagalan (tidak terjadi) =
, jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu) satuan waktu

dengan

Contoh:
Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode tahun adalah
359m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir
tersebut:
a. Tidak terjadi ?
b. Terjadi satu kali ?
c. Terjadi dua kali ?
d. Terjadi tiga kali ?
e. Rata-rata dan deviasi standarnya ?

b) Distribusi Peluang Poisson
Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi
binomial. N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga tetap, distribusi
binomial menjadi distribusi Poisson, dilakukan pendekatan sedangkan
Dirumuskan menjadi dimana:
P(R)= peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian
R = jumlah kejadian yang diharapkan
=rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.
N = jumlah kejadian.
e = 2,71828
Dengan parameter statistiknya sebagai berikut::
a. rata-rata hitung (mean)
b. Variansi
c. Deviasi standar
d. Kemencengan
e. Koefisien Kurtosis
Contoh:
Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100
tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550 m3/det dengan priode ulang 200 tahun
selama priode umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?

Jawab:
Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir
adalah:
, dan sehingga:
=
Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir 100
tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir priode 200
tahun dengan peluang

c) DISTRIBUSI PELUANG HIPERGEOMETRIK
Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok
obyek yang dipilih tanpa pengembalian. Misalnya anda diberikan sebuah kotak yang
berisi 10 buah kembang gula, kesemuanya narnpak sama bila dilihat dari luar.
Anggaplah kemudian anda tahu bahwa 8 mempunyai rasa marshmallow (rasa ini yang
anda suka) dan 2 buah rasa almond (rasa ini tidak anda suka). Jika anda mengarnbil 5
buah, berapa probabilitas bahwa anda akan mendapat 3 rasa marshmallow? Ini adalah
kasus probabilitas dimana jumlah keberhasilan dibagi dengan jumlah kemungkinan
hasil. Pertama-tarna kita harus mengetahui jumlah cara pengarnbilan 5 buah kembang

gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakan formula

ini:
Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula
dengan rasa marshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harus dipilih, maka
ada (38) cara pengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita
mengalikannya dengan jumlah kemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa
almond dari 2 kembang gula rasa almond di dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I)
Dengan demikian, probabilitas mengarnbil 3 buah kembang gula rasa marshmallow
adalah:
Perbedaan Peluang Binomial dengan peluang Hipergeometrik:
Peluang Binomial
perhatian hanya untuk peluang BERHASIL
Peluang Hipergeometrik
untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan
denganPeluang GAGAL
 ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek
(BERHASIL dan GAGAL)
Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut:
1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k diklasifikasikan
sebagai "GAGAL"

Definisi Distribusi Hipergeometrik:
Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya)
termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg
menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :
untuk x = 0,1,2,3...,k
Contoh 8 :
Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan,
berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?
N = 52
n=5
k = 13
x=3
(selesaikan sendiri !)
Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :
Rata-rata =
Ragam =
Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas

Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa
kelas

dan perhatikan bahwa dan
N : ukuran populasi atau ruang contoh
n : ukuran contoh acak
k : banyaknya penyekatan atau kelas
xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh
ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi

Contoh 9 :
Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang
memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H". Jika
secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S",
2 orang merk "Y" dan 2 orang merk "H"?
Jawab :
N = 10,
a1 = 3,
x1 = 1,




a.
b.

n=5
a2 = 4,
x2 = 2,

a3= 3
x3= 2

Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan
binomial :
Binomial  untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
Hipergeometrik  untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
Contoh 10 :
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1
buah Putih. Berapa peluang
terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan
pemulihan?

terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa
pemulihan?
Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :
p = 2/5 = 0.40
n=4
x=2

b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)
Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik
N=5
n=4
k=2
x=2
N-k = 3
n-x=2
h(2; 5, 4,2) =

d) Distribusi Binomial
Distribusi probabilitas dari vaiabel acak binomial X:
P = px qn-x

Soal :
100 biji telur berpeluang cacat 5%... .jika diambil 3 biji telur. berapakah peluang satu
telur yang cacat?
Jawab :
Gunakan rumus di atas , untuk n = 3 dan x = 1
p adalah peluang terambil telur cacat = 5% =
q adalah peluang terambil telur baik = 1- 5% =
P=
= = 0,135375
e) Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi binomial. Misalkan sebuah
eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa dengan peluang Terhadap eksperimen
ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan
terdapat peristiwa peristiwa peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh distribusi
multinomialberikut :

Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa berturut-turut adalah
Variansnya

Contoh :

1) Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang terdapat mata 1,
mata 2, … mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah

2) Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh
mesin C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang
tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya
dilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang
yang diambil dengan jalan demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari
mesin C.
Jawab :
Jelas bahwa P (dari mesin A) P (dari mesin B) = dan P (dari mesin C) Dengan rumus
di atas didapat :
P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)

2. Fungsi Distribusi Kontinu
Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas
himpunan semua bilangan real R, bila:
Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah 0,0493.
b.

dengan a = 3 dan b = ∞,maka:

c.

Untuk x ≥ 0, maka:
Rata-rata masa pakai alat itu selama 2 bulan
Beberapa Distribusi Khusus Kontinu

a) Fungsi Distribusi Normal
Jika variabel acak kontinu X mempunyaifungsi densitas pada dengan persamaan
umumnya : =
dengan :
fungsi densitas peluang normal
= 3,1416, nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal .
= 2,7183, bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal
= Variabel acak kontinyu
= parameter, rata-rata untuk distribusi.
= parameter, simpangan baku untuk distribusi.
untuk - maka dikatakann bahwa variabel acak X berdistribusi
normal.

1)
2)
3)
4)
5)

Sifat-sifat penting distribusi normal:
grafiknya selalu ada di atas sumbu datar .
bentuknya simetrik terhadap x = μ.
Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada
sebesar
Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari ke kiri.
Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

b) Distribusi Gamma
Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk
distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan,
distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan.
Terlebih dahulu akan diperkenalkan sebuah fungsi gamma.
 Fungsi gamma r () adalah :
r () = , untuk  > 0
Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah :
1. Untuk sebuah bilangan bulat positif n, (n) = (n – 1) !
2. Didefinisikan = (1/2) =
 Distribusi gamma
Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter  dan , bila padatnya
diberikan oleh :
f(x : , ) =
= 0 untuk x lainnya
Bila  > 0 dan  > 0
 Distribusi Gamma Standard
Jika parameter skala sebuah distribusi gamma  = 1 diperoleh suatu distribusi gamma
standar.
FG = (x : ) = P (X  x) =
P (X x) = FG (x ; , ) = FG
Contoh :
Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam
ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu
mengikuti suatu distribusi gamma dengan  = 8 dan  = 15, Tentukan, probabilitas
sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan
pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut!
Jawab :
P (60 x  120) = P (x  120) – P (x 60)
= FG (120; 8 , 15) - FG (60 ; 8, 15 )
= FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8)

= FG (8 ;8) - FG (4 ; 8)
= 0,5470 – 0,0511 = 0,4959
c) Distribusi Eksponensial
Distribusi Gamma khususnya dengan = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah
acak kontinu x distribusi eksponensial dengan parameter , bila fungsi padatnya
diberikan oleh :

1. fE (x ; ) = e-x/ x  0
= 0 untuk x lainnya
Dengan  > 0
2. FE (x ; ) = P (X  x) = = 1 – e-x/
Contoh :
Misalkan x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang
merupakan tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai
sistem mulai memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu
distribusi eksponensial dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang
perintah tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 10 detik.
P (X  10) = F (10 ; ) = 1 – e-10/0,2 = 1 – e-2 = 1 – 0,135 = 0,865

d) Distribusi Khi-kuadrat (X2)
Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila  = V/2,  = 2 dan V bilangan
bulat positif. Fungsi peluang padat seperti itu disebut distribusi khi-kuadrat dengan
derajat kebebasan V.
Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V,
bila fungsi padatnya diberikan oleh :

Fx2 (x ; v) =
= 0 untuk x lainnya

Teorema :
Rataan dan variansi distribusi gamma adalah :
 =  dan  2 =  2
Akibat 1
Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah
 =  dan  2 =  2
Akibat 2
Rataan dan variansi distribusi khi-kuadrat adalah
 = V dan  2 = 2V

[Statistika] Contoh Soal Distribusi
Peluang Diskrit
1.

Menurut suatu sigi, 1/3 dari perusahaan di AS memberi karyawannya
cuti 4 minggu setelah bekerja di perusahaannya selama 15 tahun. Cari
peluangnya bahwa diantara 6 perusahaan yang di sigi secara acak,
banyaknya perusahaan yang memberi karyawannya cuti 4 minggu
setelah 15 tahun bekerja

2.

1.

Antara 2 sampai 5

2.

Kurang dari 3

Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar, ditemukan
bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari 15 truk
yang diuji selanjutnya, carilah peluang bahwa:

3.

1.

Dari 3 sampai 6 mengalami ban pecah;

2.

Kurang dari 4 yang mengalami ban pecah;

3.

Lebih dari 15 yang mengalami ban pecah.

Suatu penelitian yang dilakukan di Universitas George Washington
dan Institut Kesehatan Nasional di AS meneliti sikap masyarakat
terhadap obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar
70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun,
obat

itu

hanyalah

menutuupi

penyakit

sesungguhnya’.

Menurut

penelitian ini berapa peluangnya bahwa paling sedikit 3 dari 5
penderita yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?
4.

Diketahui bahwa 40% dari tikus yang disuntik dengan sejenis serum
terlindung dari serangan sejenis penyakit. Bila 5 tikus disuntik,
berapakah peluang bahwa

5.

1.

Tidak ada yang terserang penyakit tersebut.

2.

Kurang dari 2 yang terserang

3.

Lebih dari 3 yang terserang

Sebuah kartu diambil dari sekotak kartu bridge berisi 52 yang dikocok
dengan sempurna. Hasilnya dicatat, kemudian kartu dikembalikan. Bila
percobaan itu diulang 5 kali berapa peluang mendapat 2 spade dan
1 heart?

6.

Menurut teori genetika, persilangan tertentu sejenis marmut akan
menghasilkan keturunan berwarna merah,hitam dan putih dalam
perbandingan . Carilah peluang bahwa 5 dari 8 turunan akan berwarna
merah, 2 hitam dan 1 putih.