ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME-CORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA) DAN ARAB SAUDI (KSA).

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROMECORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA)
DAN ARAB SAUDI (KSA)

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh
MUHAMMAD SYARIFUDIN
12305144035

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2017
i

ii

iii

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini saya:
Nama

: Muhammad Syarifudin

NIM

: 12305144035

Prodi

: Matematika

Jurusan

: Pendidikan Matematika

Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Judul

: ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT
RESPIRATORY

MENULAR

MIDDLE

EAST

SYNDROME-CORONA

VIRUS

(MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA)
DAN ARAB SAUDI (KSA)
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya
sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis
atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti kata
penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila terbukti bahwa pernyataan ini
tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggungjawab saya dan saya bersedia
menerima sanksi sesuai peraturan yang berlaku.

Yogyakarta, 26 Januari 2017
Yang Menyatakan,

Muhammad Syarifudin
NIM. 12305144035
iv

MOTTO
“Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai
(dari suatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain)”
(Q.S Al Insyirah: 6-7)

“Hidup adalah perjuangan”
“life is a struggle”

“Jadikanlah ilmu berguna bagi diri sendiri dan orang lain”
“Segala yang indah belum tentu baik, namun segala yang baik sudah tentu indah”

"Develop success from failures. Discouragement and failure are two of the surest
stepping stones to success"
(Dale Carnegie)

“Barang siapa menginginkan kebahagiaan di dunia maka haruslah dengan ilmu,
barang siapa yang menginginkan kebahagiaan di akhirat haruslah dengan ilmu, dan
barang siapa yang menginginkan kebahagiaan pada keduanya maka haruslah dengan
ilmu”
(HR. Ibn Asakir)

v

PERSEMBAHAN
Alhamdulillah ... segala puji bagi Allah SWT ..... dengan memanjatkan puja-puji syukur atas kehadirat-Nya,
karya yang sederhana ini saya persembahkan kepada:
 Alm. Ayahku tercinta, Bapak Ngizudin.... yang selama hidupnya telah mendidik, selalu
memberikan nasihat, memberikan kasih sayang yang tak pernah henti dan selalu medo akan
dengan tulus disetiap harinya untuk kebaikan dan kesuksesan bagiku, semoga Allah SWT
membalas semua kebaikan-kebaikannya dengan memberikan tempat yang paling mulia di sisiNya.... Aamiin Yaa Robbal Aalamiin.

 Ibunda tercinta, Ibu Salami.... yang selalu memberikan kasih sayang tak terbatas, dan do anya
yang tulus yang selalu menyertaiku. Jasa-jasamu sungguh mulia bahkan takkan mampu diriku
tuk membalasnya, yang bisa kulakukan hanyalah berdo a, Semoga Ibunda selalu dalam
lindungan Allah SWT, Aamiin Yaa Robbal Aalamiin.

 Kakak”ku dan keponakan”ku yang tercinta, Mbak Siti, Mbak Qib, Mas Ilham, Rona, Zaki, Farich,
dan Licha..... terimakasih atas perhatian, dukungan dan do a kalian semua, kalian adalah

tempatku berbagi kebahagian, tempatku melepas kesedihan dan kesulitan yang kalian ubah itu

menjadi keindahan dengan canda tawa kalian, I love you all... semoga kalian semua selalu dalam
lindungan-Nya... Aamiin.
 My second mother, Ibu Hj. Harini Tjaswadi. Terimakasih banyak Ibu... yang telah memberikanku
banyak ilmu selain yang diajarkan di kampus. Terima kasih telah berkenan menyediakan tempat
tinggal dan memenuhi segala kebutuhan hidupku selama di jogja. Engkau selalu memberikan
nasihat, memberikan masukan, dukungan dan selalu mendo akanku untuk menjadi yang lebih
baik. Maafkan segala kesalahan saya dan maaf tidak bisa membalas semua kebaikan Ibu, saya
hanya bisa mendo akan semoga kebaikan-kebaikan Ibu memperoleh balasan yang lebih baik dari
Allah SWT dan semoga Ibu selalu dalam lindungan-Nya. Aamiin.
 Untuk semua teman-temanku terutama dari pasukan SAMBAR 59 maupun dari kelas Matswa
2012, Matsub 2012, kakak” dan adik” angkatan, Mahadiksi, UKKI JAM, HASKA JMF dan untuk
semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Kalian luar biasa... succes always for all.

vi

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROMECORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA)
DAN ARAB SAUDI (KSA)
Oleh
Muhammad Syarifudin

NIM. 12305144035

ABSTRAK
Middle East Respiratory Syndrome-Corona Virus (MERS-CoV) merupakan
penyakit sindrom pernapasan yang disebabkan oleh Virus-Corona yang menyerang
saluran pernapasan mulai dari yang ringan sampai yang berat. Penyakit ini dapat
menjadi wabah dalam suatu wilayah karena sifat menularnya yang begitu cepat. Oleh
karena itu, diberikan program vaksinasi sebagai upaya pencegahan penyebaran
penyakit MERS-CoV. Skripsi ini mengkaji tentang model matematika pada
penyebaran penyakit MERS-CoV dengan vaksinasi. Model matematika yang
digunakan yaitu model SIV (Susceptible-Infected-Vaccinated) dengan individu
tervaksinasi hanya dari Indonesia. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh
tingkat vaksinasi terhadap penyebaran penyakit MERS-CoV dalam populasi antar dua
wilayah.
Analisis model SIV yang dilakukan pada penyebaran penyakit MERS-CoV
dalam pembahasan ini terdapat 5 tahapan. Pertama, membentuk model SIV; kedua,
;
mencari titik ekuilibrium; ketiga, menentukan bilangan reproduksi dasar
kemudian yang keempat, menganalisis kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan yang
terakhir yaitu melakukan simulasi menggunakan software Maple 18.

Model SIV pada penyebaran penyakit MERS-CoV memiliki lima kelas populasi
yaitu kelas Susceptible Indonesia ��� , kelas Susceptible Arab Saudi ��� , kelas
Vaccinated Indonesia ���� , kelas Infected Indonesia ��� dan kelas Infected Arab
Saudi ��� . Pemodelan matematika yang didapatkan berupa sistem persamaan
diferensial nonlinear. Berdasarkan simulasi, untuk pengaruh pemberian vaksin
Meningitis terhadap calon jama’ah haji/umrah asal Indonesia diperoleh bahwa
semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan, menyebabkan banyaknya individu
yang terinfeksi semakin menurun. Hal ini menunjukkan bahwa program vaksinasi
dapat digunakan untuk menekan banyaknya individu terinfeksi yang diakibatkan oleh
penyebaran penyakit menular MERS-CoV yang terjadi antar dua wilayah yang
berbeda.
Kata Kunci: MERS-CoV, model SIV, titik ekuilibrium, Bilangan Reproduksi Dasar,
kestabilan.

vii

KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
segala karunia, rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

penuliasan skripsi dengan judul “Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit
Menular Middle East Respiratory Syndrome Corona Virus (MERS-CoV) Antar
Wilayah Indonesia (INA) dan Arab Saudi (KSA)”. Tugas Akhir Skripsi ini dibuat
sebagai salah satu syarat untuk menyelesaian Studi Sarjana Sains (S.Si). Sejak awal
kuliah hingga terselesainya tugas akhir ini, penulis mendapat dukungan dan bantuan
dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada
pihak-pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu:
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika
4. Ibu Dwi Lestari M.Sc. dan Ibu Husna Arifah M.Sc. selaku dosen

pembimbing

skripsi yang telah memberikan pengarahan, saran, bimbingan dan masukan
sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Akhir Skripsi ini
5. Bapak Ibu Dosen Jurusan Pendidikan Matematikda yang telah memberikan ilmu
kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung
6. Bapak, Ibu dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan dan do’a
untuk penulis

viii

7. Ibu Hj. Harini Tjaswadi selaku orang tua asuh yang telah memberikan nasihat,
dukungan serta do’a demi kelancaran penulis dalam menyelesaikan tugas akhir
8. Seluruh Mahasiswa Matematika Angkatan 2012 dan semua pihak yang telah
memberikan motivasi dan membantu secara langsung maupun tidak langsung
sehingga dapat memperlancar proses penyusunan tugas akhir ini.
Semoga tugas akhir ini dapat berkah dan bermanfaat untuk setiap orang yang
membacanya, Aamiin.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Yogyakarta, 26 Januari 2017
Penulis

Muhammad Syarifudin
NIM. 12305144035
ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL..................................................................................................i
HALAMAN PERSETUJUAN ..................................................................................ii
HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................................iii
PERNYATAAN.........................................................................................................iv
MOTTO .....................................................................................................................v
PERSEMBAHAN ......................................................................................................vi
ABSTRAK .................................................................................................................vii
KATA PENGANTAR ..............................................................................................viii
DAFTAR ISI ..............................................................................................................x
DAFTAR TABEL ......................................................................................................xii
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................xiii
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................xiv
DAFTAR SIMBOL....................................................................................................xv
BAB I PENDAHULUAN ..........................................................................................1
A. Latar Belakang...........................................................................................1
B. Identifikasi Masalah ..................................................................................5
C. Pembatasan Masalah..................................................................................5
D. Perumusan Masalah ...................................................................................5
E. Tujuan Penelitian .......................................................................................6
F. Manfaat Penelitian .....................................................................................6
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................8
A. Pemodelan Matematika ............................................................................8

x

B. Persamaan Diferensial ..............................................................................11
C. Solusi Persamaan Diferensial...................................................................12
D. Sistem Persamaan Diferensial ..................................................................13
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..................................................................18
F. Titik Ekuilibrium......................................................................................21
G. Linearisasi ................................................................................................22
H. Kestabilan .................................................................................................30
I. Bilangan Reproduksi Dasar .....................................................................38
BAB III PEMBAHASAN ..........................................................................................42
A. Permasalahan Nyata .................................................................................42
B. Formulasi Model ......................................................................................43
C. Transformasi Model .................................................................................55
D. Titik Ekuilibrium......................................................................................62
E. Bilangan Reproduksi Dasar .....................................................................66
F. Kestabilan Lokal di sekitar Titik Ekuibrium............................................72
G. Simulasi Model Penyebaran Penyakit MERS-CoV .................................79
BAB IV PENUTUP ...................................................................................................88
A. Kesimpulan ..............................................................................................88
B. Saran .........................................................................................................90
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................92
LAMPIRAN ............................................................................................................ ..94

xi

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Variabel dan Parameter ...................................................................... 44

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Proses Pemodelan Matematika.......................................................... 8
Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan ............................................................................ 31
Gambar 3.1 Diagram Kompartemen Model Penyebaran Penyakit Menular
MERS-CoV antar Wilayah INA dan KSA ...................................... 45
Gambar 3.2 Simulasi Sistem (3.20) dengan � = ............................................... 82

Gambar 3.3 Simulasi Sistem (3.20) dengan � = .

Gambar 3.4 Simulasi Sistem (3.20) dengan � = .

Gambar 3.5 Simulasi Sistem (3.20) dengan � = .

Gambar 3.6 Simulasi Sistem (3.20) dengan � = .

xiii

5 ..................................... 83

5........................................ 84

75 ..................................... 85

.......................................... 86

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERSCoV tanpa pengaruh vaksinasi atau

= .......................................95

Lampiran 2 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERSCoV dengan pengaruh vaksinasi untuk

= .

5 ..........................100

= .

5 ..........................106

= .

75 .......................112

= .

............................118

Lampiran 3 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERSCoV dengan pengaruh vaksinasi untuk

Lampiran 4 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERSCoV dengan pengaruh vaksinasi untuk

Lampiran 5 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERSCoV dengan pengaruh vaksinasi untuk

xiv

DAFTAR SIMBOL
����
����
���

���

���

���

����
���

���

����
����
����

̇
̇
̇

′

̇
̇
�
�

��

�
�

Jumlah total populasi dari Indonesia (INA)
Jumlah total populasi dari Arab Saudi (KSA)
Populasi kelas Susceptible INA pada saat t
Populasi kelas Susceptible KSA pada saat t
Populasi kelas Infected INA pada saat t
Populasi kelas Infected KSA pada saat t
Populasi kelas Vaccinated INA pada saat t
Proporsi kelas Susceptible INA pada saat t
Proporsi kelas Susceptible KSA pada saat t
Proporsi kelas Infected INA pada saat t
Proporsi kelas Infected KSA pada saat t
Proporsi kelas Vaccinated INA pada saat t
Himpunan bilangan real dimensi n
Turunan pertama ̇ terhadap t
Nilai awal atau kondisi awal
Titik ekuilibrium
Himpunan terbuka
Himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang
kontinu di E
Turunan f di ̇
Matiks jacobian di ̇
Nilai eigen
Matriks berukuran ��
Matriks Identitas
Bagian real pada nilai eigen ke i
Titik ekuilibrium bebas penyakit
Titik ekuilibrium endemik
Bilangan reproduksi dasar
Banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Indonesia
Banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Arab Saudi
Laju perpindahan individu rentan dan terinfeksi dari wilayah
Indonesia ke wilayah Arab Saudi
Laju perpindahan individu rentan dan terinfeksi dari wilayah Arab
Saudi ke wilayah Indonesia

xv

µ

µ

�

�
�

ℱ�
��

Laju individu rentan yang meninggal secara alami
Laju individu terinfeksi yang meninggal karena penyakit
Laju perpindahan individu rentan yang ada di Indonesia yang diberi
vaksinasi dari kelompok ��� ke kelompok ����
Laju individu terinfeksi yang pulih
Laju perpindahan penyakit antar individu rentan dan terinfeksi yang
berasal dari wilayah yang berbeda
Laju perpindahan penyakit antar individu rentan dan terinfeksi yang
berasal dari wilayah yang sama
Proporsi banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Indonesia
Proporsi banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Arab Saudi
Laju kemunculan infeksi baru pada kompartemen ke-i
Laju perpindahan individu yang keluar dari komparte-men ke-i

xvi

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Penelitian
Middle East Respiratory Syndrome-Corona Virus atau biasa disingkat MERSCoV adalah penyakit sindrom pernapasan yang disebabkan oleh Virus-Corona
yang menyerang saluran pernapasan mulai dari yang ringan sampai yang berat.
Gejalanya adalah demam, batuk dan sesak nafas, bersifat akut, dan biasanya
pasien memiliki penyakit ko-morbid (penyakit penyerta). Virus MERS-CoV baru
dikenali pertama kali pada tahun 2012 di Negara Arab Saudi. Virus tersebut yang
menyebabkan SARS (Severe Acute Respiratory Syndrom) pada tahun 2002 hingga
2003, virus tersebut sangat berbahaya dan sudah mewabah hingga 8273 kasus dan
775 meninggal dunia (Elshinta, 2015).
Penyakit ini disebabkan oleh infeksi virus Corona, salah satu virus yang masih
berkerabat dengan virus penyebab SARS (Kementerian Kesehatan Republik
Indonesia, 2013). Virus MERS-CoV merupakan suatu strain baru virus Corona
yang belum pernah ditemukan menginfeksi manusia sebelumnya. Belum
diketahui dengan jelas asal mula virus ini menyebar, namun beberapa peneliti
menduga bahwa penyebaran virus ini berasal dari salah satu jenis kelelawar yang
banyak ditemukan di kawasan Timur Tengah. Berbeda dengan penyakit menular
SARS yang sudah lama hilang kabarnya, penyakit menular MERS-CoV muncul
kembali karena belum ada suatu cara kontrol yang tepat terhadap penyakit ini.
Bahkan sampai saat ini juga belum tersedia vaksin untuk penyakit menular
tersebut (Benny Yong dan Livia Owen, 2015).

1

Selain itu, sekelompok peneliti dari Universitas Bonn, Jerman, dan Universitas
Erasmus, Belanda, setelah meneliti ratusan hewan di Timur Tengah, termasuk
sapi, kuda, kambing, domba, dan unta, menduga bahwa penyebaran virus MERSCoV berasal dari unta. Dari penelitian yang dipaparkan dalam jurnal ilmiah
Emerging Infectious Diseases, terungkap bahwa 90% unta terinfeksi pada usia
dua tahun dan penularan virus MERS-CoV lebih sering ditemukan pada anak unta
dibandingkan unta dewasa (Jonathan Ball, 2015).
Dari data WHO mengatakan bahwa, sejak September 2012 sampai dengan
Maret 2016, telah ditemukan 1.698 kasus konfirmasi MERS-CoV dengan 609
orang mengalami kematian. Selain itu, WHO juga mengatakan bahwa sekitar 36%
pasien yang dilaporkan terkena virus MERS-CoV meninggal dunia dan lebih dari
85% kasus penyakit menular MERS-CoV ini berasal dari Arab Saudi.
Banyak warga negara Indonesia yang berada di Arab Saudi terutama sebagai
jama’ah umrah/haji, sehingga memungkinkan terjadinya penyebaran penyakit ini
di Indonesia, karena jumlah jama’ah umrah/haji dari Indonesia cenderung
meningkat setiap tahunnya. Berdasarkan data dari Kementerian Agama Republik
Indonesia, rata-rata jumlah jama’ah umrah dari Indonesia adalah 195 orang per
hari dan rata-rata jumlah haji dari Indonesia adalah 154.000 orang per tahun, dan
dari data haji internasional, rata-rata jumlah jama’ah haji/umrah dari Arab Saudi
adalah 700.000 orang per tahun (Benny Yong dan Livia Owen, 2015). Selain itu,
virus MERS-CoV menyebabkan penyakit yang lebih parah pada orang tua, orang
dengan sistem kekebalan tubuh yang lemah, dan orang-orang dengan penyakit
kronis seperti kanker, penyakit paru-paru kronis dan diabetes. Salah satu strategi

2

yang diambil adalah meningkatkan kekebalan tubuh manusia yakni dengan
pemberian vaksin. Adapun permasalahan yang terjadi adalah terdapat populasi
rentan dan terinfeksi dalam suatu wilayah, sehingga untuk meningkatkan
kekebalan tubuh perlu tindakan vaksinasi. Oleh karena itu, muncul populasi
vaksinasi (populasi rentan yang telah diberi vaksin).
Salah satu pendekatan untuk menjelaskan solusi dari permasalahan yang
terjadi dalam dunia nyata adalah memodelkan atau merumuskan permasalahan
nyata ke dalam bahasa matematika, maka untuk dapat mengetahui penyebaran
penyakit MERS-CoV, perlu dibuat suatu pemodelan matematika sehingga
diharapkan dapat digunakan untuk membantu mencari solusi terkait dengan
penyebaran penyakit tersebut.
Penyebaran penyakit menular diantara wilayah yang berbeda adalah fenomena
yang melibatkan banyak kompartemen (kelas) yang berbeda. Untuk mengontrol
penyebaran penyakit menular, kita harus memahami bagaimana pengaruh
pertumbuhan dan penyebaran penyakit menular tersebut. Banyak faktor yang
mempengaruhi dinamika populasi akibat penyakit menular, misalkan perpindahan
populasi, gaya hidup, dan meningkatnya perjalanan internasional. Untuk penyakit
menular seperti SARS dan MERS-CoV, faktor perpindahan populasi menjadi
faktor penting yang mempengaruhi penyebaran penyakit diantara wilayah yang
berbeda (Benny Yong dan Livia Owen, 2015).
Pada skripsi ini akan dibahas mengenai analisis kestabilan model penyebaran
penyakit menular MERS-CoV yang terjadi antar dua wilayah yaitu antar wilayah
Indonesia dan Arab Saudi. Hal ini dilakukan untuk mengetahui bagaimana

3

perbedaan kestabilan model penyebaran penyakit menular MERS-CoV pada
setiap wilayah yang diakibatkan oleh perpindahan populasi. Pada pembahasan
sebelumnya, dikaji oleh Benny Yong dan Livia Owen (2015) tentang model
matematika penyebaran penyakit menular MERS-CoV dengan model SusceptibleInfected (S-I). Karena belum ditemukan vaksin untuk penyakit MERS-CoV ini,
maka vaksin yang diberikan berupa vaksin Meningitis untuk meningkatkan
kekebalan tubuh agar tidak mudah terserang penyakit. Vaksinasi yang dilakukan
ini merupakan tindakan preventif, jadi pemberian vaksin dilakukan untuk dapat
mengurangi peluang terkena virus MERS-CoV. Oleh karena itu, dalam skripsi ini
dibahas pemodelan matematika penyebaran penyakit menular MERS-CoV dengan
menambahkan satu kompartemen (kelas) yaitu Vaccinated, sehingga model yang
digunakan adalah model Susceptible-Infected-Vaccinated (S-I-V) antara populasi
pada dua wilayah yang berbeda dengan pertimbangan yang diberi vaksin hanya
orang Indonesia yang akan berpergian ke Arab Saudi sebagai calon haji/umrah.
Model ini mengasumsikan semua populasi pada kedua wilayah dapat berpindah
dari satu wilayah ke wilayah lain dan populasi rentan yang diberi vaksin
Meningitis menjadi kebal terhadap penyakit sehingga individu tersebut tidak
terkena penyakit MERS-CoV. Bilangan reproduksi dasar akan dicari untuk
menentukan apakah suatu wilayah terjadi endemik atau tidak. Analisis terhadap
kondisi ambang batas ini diperlukan untuk mengetahui parameter apa saja yang
harus dikontrol agar di dalam populasi tidak terjadi epidemi. Harapannya,
pengambil

kebijakan

dapat

memperoleh

perkembangan penyakit menular MERS-CoV.

4

gambaran

untuk

mengontrol

B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latarbelakang masalah di atas, masalah dapat diidentifikasi
sebagai berikut:
1. Perpindahan populasi rentan menjadi faktor utama penyebaran penyakit
MERS-CoV antar dua wilayah
2. Penyakit MERS-CoV dapat menjadi wabah dalam suatu wilayah karena
sifat penularannya yang begitu cepat

C. Pembatasan Masalah
Skripsi ini hanya membahas tentang penyebaran penyakit MERS-CoV yang
terjadi antar dua wilayah yaitu Indonesia dan Arab Saudi, dengan pertimbangan
yang diberi vaksin hanya orang Indonesia yang akan bepergian ke Arab Saudi
sebagai calon haji/umrah dan analisis penyebaran penyakit ini hanya untuk kasus
bebas penyakit.

D. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, maka dapat dirumuskan masalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana pemodelan matematika penyebaran penyakit menular MERSCoV antar wilayah Indonesia dan Arab Saudi dengan pengaruh pemberian
vaksinasi terhadap calon jama’ah haji/umrah dari Indonesia?

5

2. Bagaimana analisis kestabilan titik ekuilibrium model penyebaran
penyakit menular MERS-CoV antar wilayah Indonesia dan Arab Saudi
dengan pengaruh vaksinasi?
3. Bagaimana simulasi model penyebaran penyakit menular MERS-CoV
antar wilayah Indonesia dan Arab Saudi dengan pengaruh pemberian
vaksin Meningitis terhadap individu rentan yang ada di Indonesia?
E. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini
adalah:
a. Menjelaskan pemodelan matematika penyebaran penyakit menular
MERS-CoV antar wilayah Indonesia dan Arab Saudi dengan pengaruh
pemberian vaksinasi terhadap calon jama’ah haji/umrah dari Indonesia
b. Menjelaskan analisis kestabilan titik ekuilibrium model penyebaran
penyakit menular MERS-CoV antar wilayah Indonesia dan Arab Saudi
dengan pengaruh vaksinasi
c. Menjelaskan simulasi model penyebaran penyakit menular MERS-CoV
antar wilayah Indonesia dan Arab Saudi dengan pengaruh pemberian
vaksin Meningitis terhadap individu rentan yang ada di Indonesia.

F. Manfaat Penelitian
Manfaat dalam analisis model penyebaran penyakit menular MERS-CoV antar
wilayah Indonesia dan Arab Saudi antara lain:
1. Bagi Para Peneliti

6

a. Diharapkan dapat menambah kekayaan ilmu matematika khususnya
permodelan epidemik penyakit
b. Diharapkan dapat menjadi referensi baru dalam pengembangan ilmu
matematika di bidang pemodelan epidemik.
2. Bagi Institusi Kesehatan
Memberikan informasi tentang hasil penelitian sehingga dapat digunakan
dalam

pengambilan

kebijakan

untuk

penyebaran penyakit menular MERS-CoV.

7

mengatasi

dan

menanggulangi

BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan
dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
teorema-teorema yaitu sebagai berikut:
A. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang digunakan untuk
merepresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah-masalah pada
dunia nyata dalam pernyataan matematik (Widowati dan Sutimin, 2007:1). Beberapa
tahap dalam menyusun model matematika dapat dinyatakan dalam Gambar 2.1:
Dunia Matematika

Dunia Real
Problem Dunia
Real

Problem
Matematika

Membuat
Asumsi

Formulasi
Persamaan/
Pertidaksamaan

Solusi Dunia
Real

Interpretasi
Solusi

Penyelesaian
Persamaan/
Pertidaksamaan

Bandingkan
Data

Gambar 2.1 Proses Pemodelan Matematika.

8

Representasi matematika yang dihasilkan dari proses pemodelan dinamakan
model matematika. Model matematika dapat dimanfaatkan dalam berbagai bidang
studi yang berbeda.
Berdasarkan Gambar 2.1, langkah-langkah untuk proses pemodelan matematika
sebagai berikut
1.

Menyatakan problem dunia nyata ke dalam pengertian matematika
Untuk mempermudah mencari penyelesaian masalah yang ada di dunia nyata
yaitu dengan memodelkan masalah tersebut ke dalam bahasa matematis karena
terkadang penyelesaian masalah dunia nyata secara langsung sulit dilakukan.
Adapun dalam langkah pertama ini yaitu menentukan variabel-variabel yang
terdapat dalam masalah nyata dan membentuk beberapa hubungan variabelvariabel yang diperoleh tersebut menjadi suatu sistem model.

2.

Mengkontruksi kerangka dasar model
Dalam langkah ini, hal yang dilakukan yaitu membuat asumsi-asumsi model
dari masalah di dunia nyata. Asumsi yang terbentuk pada dasarnya
mencerminkan bagaimana proses berfikir sehingga model dapat berjalan.
Asumsi-asumsi

tersebut

dibuat

agar

model

yang

dihasilkan

dapat

menggambarkan masalah dunia nyata secara tepat.
3.

Membuat formulasi persamaan/pertidaksamaan
Berdasarkan variabel-variabel yang telah ditentukan, hubungan antara
variabel-variabel dan asumsi-asumsi yang telah dibuat dibentuk suatu persamaan
atau pertidaksamaan yang menggambarkan masalah yang ada dalam dunia nyata.
9

Langkah ini merupakan langkah yang paling penting dan sulit. Terkadang
diperlukan adanya pengujian kembali asumsi-asumsi agar proses formulasi
persamaan sesuai, sehingga dapat diselesaikan dan realistik.
4.

Menyelesaikan persamaan/pertidaksamaan
Setelah terbentuk persamaan atau pertidaksamaan, dalam langkah ini yang
dilakukan yaitu mencari penyelesaiaannya untuk memperoleh solusi dari model
matematika dengan penyelesaian secara matematis. Namun tidak semua model
matematika dapat dengan mudah dicari solusinya. Persamaan model matematika
mungkin saja tidak memiliki solusi atau bahkan mempunyai lebih dari satu
solusi. Oleh karena itu, pada langkah ini dapat dilakukan analisis sifat atau
perilaku dari solusi model matematika tersebut.

5.

Interpretasi hasil atau solusi
Interpretasi hasil atau solusi adalah salah satu langkah terakhir yang akan
menghubungkan kembali formulasi model matematika ke masalah dunia nyata.
Intepretasi dapat diwujudkan dalam berbagai cara, salah satunya dengan bentuk
grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh kemudian
diinterpretasikan sebagai solusi dunia nyata. Selanjutnya solusi yang didapatkan
dibandingkan dengan beberapa data yang ada dan dihubungkan untuk melihat
ketepatan model yang dibuat dengan situasi di dunia nyata. Apabila solusi yang
didapatkan belum sesuai dengan situasi di dunia nyata maka dapat ditinjau ulang
asumsi-asumsi yang telah dibuat sebelumnya.

10

B. Persamaan Diferensial
Pemodelan matematika penyebaran penyakit menular MERS-CoV berbentuk
persamaan diferensial. Oleh karena itu, pada subbab ini akan dikaji tentang
persamaan diferensial.
Definisi 2.1 (Ross, 2004:3)
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan dari satu atau
lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.1
Berikut adalah contoh-contoh persamaan diferensial:
+

−

+

�
�
+
−
�
�
�
�

+

�
�

=
−

.
=

=
=

.

.

.

Berdasarkan jumlah variabel bebas yang terlibat, persamaan diferensial
diklasifikasikan menjadi dua bentuk persamaan yaitu persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial.
1.

Persamaan Diferensial Biasa

Definisi 2.2 (Ross, 2004:4)
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
11

2.

Persamaan Diferensial Parsial

Definisi 2.3 (Ross, 2004:4)
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel
bebas.
Pada Contoh

.

dan

.

merupakan persamaan diferensial biasa karena

terdapat satu variabel bebas yaitu variabel
.

sedangkan pada Contoh

.

dan

merupakan persamaan diferensial parsial karena terdapat dua variabel bebas

yaitu variabel
.

dan untuk Persamaan

.

.

dan variabel

dan

untuk Persamaan

C. Solusi Persamaan Diferensial
Definisi 2.4 (Ross, 2004: 8)
Diberikan suatu persamaan diferensial orde-n berikut:

dengan F adalah fungsi real.
1.

�

�=

�

(2.2)

=

Misalkan f adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua x dalam
interval I dan mempunyai turunan ke-n untuk semua

. Fungsi f disebut

solusi eksplisit dari (2.2) dalam interval I jika fungsi f memenuhi syarat berikut:
a.
b.

=[

=[

], terdefinisi

]= ,

12

Hal ini berarti bahwa substitusi

dan variasi turunan y dan turunannya

yang berkorespondensi ke (2.2) akan membuat (2.2) menjadi suatu identitas di
interval I.
2.

Suatu relasi

=

disebut solusi implisit dari Persamaan (2.2) jika relasi

ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real f dengan variabel x di
interval I.
3.

Solusi eksplisit dan solusi implisit biasa disebut sebagai solusi sederhana.

Contoh 2.2
Carilah solusi dari persamaan diferensial berikut:
=

Penyelesaian:

=

∫

Jadi, solusi dari persamaan diferensial
D. Sistem Persamaan diferensial

=

=∫

| |=
=

=

+

+ .

=

adalah

+ .

Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari beberapa persamaan
diferensial. Diberikan vektor

,

dengan
13

=

dan

adalah himpunan terbuka dari
dan

.

. Fungsi

dengan

=

adalah himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan
=

pertama yang kontinu di . Jika

menyatakan turunan pertama

terhadap ,

maka sistem persamaan diferensial dapat dituliskan menjadi,
=

=

=

(2.3)

.

=

Sistem (2.3) dapat dituliskan menjadi,
=

(2.4)

.

Berdasarkan kelinearannya sistem persamaan diferensial dibedakan menjadi dua
yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear.
1.

Sistem Persamaan Diferensial Linear
Sistem persamaan diferensial linear orde satu dapat muncul dalam masalah yang

melibatkan beberapa variabel tak bebas

dan variabel bebas . Secara

umum, sistem persamaan diferensial linear orde satu dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut:
=

+

+

14

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

Jika setiap nilai

(2.5)

adalah nol, maka Sistem Persamaan (2.5)

,

disebut sistem persamaan diferensial linear homogen, sedangkan jika tidak bernilai
nol, maka Sistem Persamaan (2.5) disebut sistem persamaan diferensial nonhomogen.
Notasi matriks Sistem Persamaan (2.5) dapat ditulis sebagai berikut:

[

][

]=[

]+[

]

atau dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
�=

dengan,

� �+

(2.6)

�

]

=[
=[

].

Persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika persamaan diferensial tersebut
memenuhi paling sedikit satu dari kriteria berikut ini (Ross, 2004:5):
a.

Memuat variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya berpangkat selain satu.
15

b.

Terdapat perkalian pada variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya

c.

Terdapat fungsi transendental dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya.

Contoh 2.3
Berikut diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear.

=

=

=

+

−

−

−

(2.7)

−

+9

Sistem Persamaan Diferensial (2.7) merupakan persamaan diferensial linear
homogen.
2.

Sistem Persamaan Diferensial Non Linear

Definisi 2.5 (Ross, 2004: 5)
Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tidak
linear.
Contoh 2.4
Berikut contoh-contoh persamaaan diferensial nonlinear:
�
�

+

−
+
+

−
16

=

=
�

= .

(2.8a)

(2.8b)

(2.8c)

Persamaan (2.8a) memuat variabel tak bebas yang berpangkat tiga

dan

sehingga persamaan tersebut merupakan

turunannya yang berpangkat dua

persamaan diferensial nonlinear. Persamaan (2.8b) memuat perkalian variabel tak
bebas dan turunannya

sehingga persamaan tersebut merupakan persamaan

diferensial nonlinear, dan Persamaan (2.8c) memuat fungsi transenden

, maka

pada persamaan tersebut juga merupakan persamaan diferensial nonlinear.
Sistem persamaan diferensial dikatakan nonlinear, jika persamaan diferensial
yang membentuknya merupakan persamaan diferensial nonlinear.
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
=

=

+

(2.9a)

+

− cos .

(2.9b)

Sistem Persamaan (2.9) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear
dengan variabel bebas

dan variabel tak bebas

dan , karena memuat persamaan

diferensial nonlinear yaitu pada Persamaan (2.9a) terdapat perkalian dari variabel tak
bebasnya dan pada Persamaan (2.9b) terdapat variabel tak bebasnya yang berpangkat
dua.

17

Analisis dari sistem persamaan diferensial nonlinear ini akan lebih mudah
dilakukan jika sistem persamaan diferensial nonlinear diubah ke dalam bentuk sistem
persamaan diferensial linear.
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai Eigen adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengetahui kestabilan suatu
sistem. Adapun definisi dari nilai eigen adalah sebagai berikut
Definisi 2.6 (Anton, 2010:277)
Jika A adalah matriks

, maka vektor taknol x di dalam

dinamakan vektor

eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yakni,
(2.10)

� =

untuk suatu skalar λ, skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenvector) dari
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran

dan

, maka dituliskan kembali

Persamaan (2.10) sebagai

atau secara ekivalen

� =
−�

Menurut Howard (2010:278), Supaya

(2.11)

= .

(2.12)

menjadi nilai eigen, maka harus ada

pemecahan taknol dari Persamaan (2.12). Persamaan (2.12) akan mempunyai
pemecahan taknol (solusi non trivial) jika dan hanya jika,

−�
18

= .

(2.13)

Persamaan (2.13) dinamakan persamaan karakteristik

dan skalar yang memenuhi

Persamaan (2.13) adalah nilai eigen dari .
−

sehingga karakteristik dari

dengan
Contoh 2.6

dari .

+

menjadi,

=

Diberikan matriks

=

.

=

+

−

+

+

−9

+

+

+

+

=

. Akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen

Penyelesaian:
Akan dicari nilai eigen dari matriks ,

|

|

+

−

−

+

Jadi diperoleh nilai eigen dari matriks
vektor eigen dari matriks
Untuk

−

=

−9

9
|=
−

−

|=

= .

adalah

=−

dan

= . Akan dicari

yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks .

=− ,
− +

−

−9
− −
19

=

=

−9
−

−9
−

=

sehingga
dengan
Untuk

dan

= − adalah

= ,
=

=

=

=
−

−9
−

−9
−

dengan

=

= ,

dan

adalah

=

=

.

−9

=

=

, maka vektor eigen dari A yang bersesuaian

+

sehingga

=

=9

=

=

=

=

=

=

, maka vektor eigen dari A yang bersesuaian
=

.

Jadi diperoleh vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen dari
matriks A yaitu

.

20

F. Titik Ekuilibrium
Suatu langkah terbaik dalam memulai menganalisis sistem nonlinear untuk
Sistem Persamaan (2.4) adalah menentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan
(2.4) dan menjelaskan perilaku (2.4) disekitar titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium atau
titik kesetimbangan merupakan solusi dari Sistem Persamaa (2.4) yang tidak
mengalami perubahan terhadap waktu. Definisi tentang titik ekuilibrium akan
dijelaskan pada Definisi 2.7 berikut ini,
Definisi 2.7 (Perko, 2000:102)
Titik
jika

disebut titik ekuilibrium atau titik kritis dari Sistem Persamaan (2.4)
=

Contoh 2.7

Akan dicari titik ekuilibrium dari sistem berikut ini:
=

=

Penyelesaian:
Misalkan ̅ =

+

̅ ̅

+ .

(2.14)

adalah titik ekuilibrium dari Sistem (2.14), maka:

dari Persamaan (2.15) diperoleh,

̅̅+ ̅ =

(2.15)
(2.16)

̅ + ̅=
̅ ̅+

̅=

21

=

̅=− .

Subtitusikan ̅ =

ke Persamaan (2.16) sehingga diperoleh ̅ = . Jika ̅ = −

disubtitusikan ke Persamaan (2.16) sehingga diperoleh:
−

+ ̅=

̅=− .

− −

Jadi Sistem (2.14) memiliki titik ekuilibrium yaitu

.

G. Linearisasi
Proses linearisasi perlu dilakukan pada model matematika penyebaran MERSCoV karena persamaan yang diperoleh dari model tersebut berupa persamaan
nonlinear. Linearisasi adalah proses mengubah suatu sistem persamaan diferensial
nonlinear menjadi sistem persamaan diferensial linear. Proses ini dilakukan dengan
linearisasi di sekitar titik ekuilibrium. Namun sebelum membahas proses linearisasi
tersebut akan dibahas terlebih dahulu mengenai matriks jacobian yang akan
dijelaskan pada Teorema 2.1 berikut:
Teorema 2.1 ( Perko,2000:67 )

Jika
ada untuk semua

terdiferensial di

maka turunan parsial

dan
=∑

22

.

, i,j=1,2,3,…,n, di

Bukti:

∑

+

=
[

]

+
[

+

]

[

=

[
[

disebut

Matriks
terdiferensial di

.

matriks

=

]

]

]
dari

jacobian

fungsi

yang
. Selanjutnya

dapat dinotasikan dengan

akan ditunjukkan proses linearisasi dari sistem persamaan diferensial nonlinear ke
dalam sistem persamaan diferensial linear.

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear yaitu Sistem (2.4) dengan
,
̅=

̅

̅

̅

, f merupakan fungsi nonlinear dan kontinu. Misalkan
̅

adalah titik ekuibrium Sistem (2.4). maka pendekatan linear

Sistem (2.4) disekitar titik ekuilibrium diperoleh dengan menggunakan deret Taylor
dari fungsi

disekitar titik ekuilibrium ̅ =

23

̅

̅

̅

̅

yaitu:

=

̅

̅

+
̅

+
+

̅

̅

̅

̅

̅
̅

̅

̅

̅

̅
̅

+

̅

̅

̅

̅

̅

̅

+

̅

̅

̅

+

=

̅

̅

̅

+
̅

̅

+

=

̅

+
̅

̅
̅

̅

̅

̅
̅

24

̅

̅

̅

− ̅

+

− ̅

+

̅

̅

̅

− ̅

+

− ̅

+

̅

̅
+

− ̅

+

− ̅
̅

̅

− ̅

− ̅
̅

̅

− ̅

karena
karena

nilainya mendekati nol sehingga dapat diabaikan. dan
̅

̅

̅

=

̅

titik

ekuilibrium

dari

Sistem

=

=

= , sehingga diperoleh:

=

̅

̅

̅

+
=
̅

̅

̅

=

̅

̅

̅

̅

+

̅

̅

̅

̅

̅

=

− ̅

+

̅

̅

̅

̅

− ̅

+
.

̅

̅

̅

̅

− ̅

+

− ̅

+

− ̅
̅

+

− ̅
̅

̅

+

̅

̅

− ̅
̅

− ̅

̅

̅

+

̅

̅

̅

maka

− ̅
̅

− ̅

̅
̅

̅

̅

̅

+

=

̅

̅

+

+

− ̅
̅

(2.4),

̅

̅

̅

̅

− ̅ .
̅

Sistem Persamaan (2.17) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:

25

[

]

̅

̅

̅

��
��

̅

���

[��

̅
̅
̅

̅

̅
̅

̅

̅

̅
̅

̅�

̅�

�

�

�

��

���

��

̅

̅

̅

̅
̅

̅

̅

̅

̅

̅
̅

̅

̅�

̅�
̅

̅�

���
���

�

̅

���

− ̅
− ̅

[
̅

− ̅

]

̅

̅

̅

̅

�

̅

̅�
̅

̅� � ]

̅�

�

[ ].

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

(2.18)

�

̅
̅

].

sehingga diperoleh,

̅
̅

̅

̅
̅
[

̅

̅

���
��

�

̅

− ̅
��

�

̅

̅
̅

=

̅

̅

̅

Matriks jacobian dari Persaman (2.18) adalah

=

̅

̅

− ̅

��
��

��

̅

̅
̅

=
̅�

̅

̅

̅

− ̅

��

�]

̅

̅

=
��

̅

̅
̅

[

Misalkan

[

̅

̅

=

=

̅

̅

̅
]

jika matriks jacobian memiliki nilai eigen yang tidak nol pada bagian realnya, maka
sifat kestabilan sistem dapat dilihat dari,
(2.19)

=

Persamaan (2.19) disebut hasil linearisasi dari Sistem Persamaan (2.4). Selanjutnya
akan diberikan definisi mengenai linearisasi pada sistem persamaan diferensial
nonlinear sebagai berikut:

26

Definisi 2.8 (Perko, 2000:102)
. Sistem Linear

Diberikan matrik jacobian

linearisasi dari Sistem Persamaan (2.4) di

.

=

disebut

Setelah dilakukannya linearisasi, maka dapat dilihat perilaku kestabilan dari sistem
persamaan diferensial nonlinear disekitar titik ekuilibrium. Kestabilan Sistem (2.4)
disekitar titik ekuilibrium

dapat dilihat dari kestabilan hasil linearisasinya jika

hiperbolik. Diberikan definisi untuk titik ekuilibrium hiperbolik yang dijelaskan pada
Definisi 2.9 berikut ini:
Definisi 2.9 (Perko, 2000:102)
Titik ekuilibrium

disebut titik ekuilibrium hiperbolik dari Sistem (2.4) jika
yang mempunyai bagian real nol.

tidak ada nilai eigen dari matriks
Contoh 2.8

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:

=

=

−

−

−

Sistem (2.20) memiliki titik ekuilibrium yaitu ̅ =

(2.20)
̅ =

̅ =

. Akan dicari matriks jacobian di titik-titik ekuilibrium serta akan

diidentifikasikan untuk masing-masing titik ekuilibrium tersebut.
Matriks jacobian dari Sistem (2.20) adalah

27

̅
untuk ̅ =

=

−

[

−

−

−

−

=
nilai eigen untuk

−
|

=

−

|=

−

|=

−

−

−

+

=

=

+

.

Bagian real dari nilai eigen tidak nol sehingga titik ekuilibrium
merupakan titik ekuilibrium hiperbolik.
Untuk ̅ =
=
nilai eigen untuk

−
−

|=

−

|

]

−
−

−

yaitu
|

−

=[

yaitu
28

−
−

−

̅ =

]

|

−

|

−
|

+

|=

−
−

|=

−

|=

+

+

+

=− +

=

=− +

.

Bagian real dari nilai eigen tidak nol sehingga titik ekuilibrium
merupakan titik ekuilibrium hiperbolik.

Untuk ̅ =

[

−
−

−
−

]
=

nilai eigen untuk

yaitu
|
|

−

|=

−
−
|

−

−

−
|=

−
29

=

|=

̅ =

+

=− +

−

=

=

+

.

̅ =

Bagian real dari nilai eigen tidak nol sehingga titik ekuilibrium
merupakan titik ekuilibrium hiperbolik.
H. Kestabilan

Kestabilan di titik ekuilibrium secara umum dibagi menjadi tiga jenis yaitu stabil,
stabil asimtotik dan tidak stabil. Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem
persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear akan dijelaskan pada Definisi
2.10 dan Teorema 2.2 berikut:
Definisi 2.10 (Olsder, 2004: 57)
Diberikan persamaan diferensial orde satu
persamaan
1.
2.

Vektor ̅

=

̅ pada saat dengan kondisi awal
memenuhi

̅ =

̅ dan

=

.

adalah solusi
.

disebut sebagai titik ekuilibrium.

Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika untuk setiap
sedemikian sehingga jika

3.

=

− ̅

, maka

terdapat
− ̅

untuk setiap

Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik jika titik ekuilibrium ̅
dan terdapat

, sedemikian sehingga jika

− ̅ = .
30

− ̅

stabil
berlaku

4.

Titik ekuilibrium
memenuhi (2).

̅ dikatakan tidak stabil jika titik ekuilibrium ̅

tidak

Ilustrasi dari Definisi 2.10 disajikan pada Gambar 2.2 berikut:

Stabil

stabil asimtotik

tidak stabil

Gambar 2.2. Ilustrasi Kestabilan
Menganalisis kestabilan pada sistem persamaan diferensial di titik sekitar titik
ekuilibrium tidak mudah dilakukan. Oleh karena itu, diberikan penjelasan mengenai
sifat-sifat kestabilan suatu sistem yang ditinjau dari nilai eigen untuk mempermudah
menganalisis kestabilan sistem di sekitar titik ekuilibrium. Penjelasan tersebut
dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut:
Teorema 2.2 (Olsder, 2004: 58)
Diberikan persamaan diferensial

=

, dengan A adalah matriks berukuran

x , mempunyai k nilai eigen yang berbeda yaitu

31

dengan

.

1.

2.

Titik ekuilibrium ̅ =

adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika

untuk semua =

.

Titik ekuilibrium ̅ =
semua

dengan

=

=

, untuk

adalah stabil jika dan hanya jika
dan untuk setiap nilai eigen

pada sumbu imajiner

yang multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri untuk

nilai eigen sama.
3.

Titik ekuilibrium
untuk beberapa =
=

dengan

̅=

adalah tidak stabil jika dan hanya jika
atau terdapat nilai eigen

pada sumbu imajiner

yang multiplisitas aljabar lebih besar daripada multiplisitas

geometri untuk nilai eigen.
Bukti:
1.

Akan dibuktikan bahwa titik ekuilibrium ̅ =
hanya jika

untuk semua =

Jika titik ekuilibrium

̅=

semua =

.

adalah stabil asimtotik jika dan
.

Menurut Definisi 2.10, titik ekuilibrium ̅ =

dikatakan stabil asimtotik jika

− ̅ = . Sehingga untuk

merupakan solusi dari sistem persamaan
memuat
semua =

untuk

adalah stabil asimtotik maka

menuju ̅ =

. Artinya agar
.

32

menuju

,
=

, maka
maka

̅= .

selalu
untuk

(⇐)
untuk semua

Jika
stabil asimtotik.

=

, maka titik ekuilibrium

maka untuk

. Jika

selalu memuat

Solusi

̅=
,

akan menuju ̅ = . Berdasarkan Definisi 2.10, titik ekuilibrium ̅ =

stabil asimtotik.
2.

Akan dibuktikan bahwa titik ekuilibrium ̅ =
untuk semua

=

adalah stabil jika dan hanya jika

dan untuk setiap nilai eigen

pada

dengan yang multiplisitas aljabar dan multiplisitas

sumbu imajiner

geometri untuk nilai eigen harus sama.
( )
Jika titik ekuilibrium
.

̅=

untuk semua

stabil maka

yang selalu

, maka solusi persamaan diferensial

Andai
memuat

akan menuju

=

(menjauh dari titik ekuilibrium ̅ = ). Untuk

, sehingga sistem tidak stabil. Hal ini terjadi kontraposisi dengan
pernyataan jika titik ekuilibrium ̅ =
=

maka
(⇐)

. Jadi terbukti bahwa jika titik ekuilibrium
untuk semua =

.

33

untuk semua

stabil, maka
̅=

stabil, maka

Jika
dan jika ada

untuk semua =
=

maka titik ekuilibrium ̅ =

stabil

maka multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri

untuk nilai eigen harus sama.
adalah solusi dari Sistem Persamaan (2.8) maka
memuat

akan menuju

maka

. Jika

yang selalu
̅=

yang

artinya stabil asimtotik. Titik ekuilibrium yang stabil asimtotik pasti stabil. Jika
=

maka nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Menurut

Luenberger (1979: 85), multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen dan
multiplisitas geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan
dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. Ambil
sebarang sistem di

yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni.

Diambil sistem sebagai berikut:

a.

−

[ ]=

e g

(2.21)

Akan ditentukan nilai eigen dari Sistem (2.21),
|

|

=

−

|
−

Akar-akar Persamaan (2.21) adalah
√−

− |=

+
=
34

−

|=

|=

= .
√

=

√

=√

sehingga

= −√

dan

.
=√

Vektor eigen yang bersesuaian dengan

maka,

[√
−

√

[√
−

√

[

[

−
√

√

]

√

| ]−
| ]

−

[

=

| ]

√

−

,

√

−√
| ]

setelah itu diubah ke bentuk seperti pada persamaan awal sehingga menjadi,
[

−

√

]

=

diperoleh,
−

Misal

= , maka

=

√

√
=

√

=
.

. Sehingga diperoleh,

35

=[
ambil

√

]=[

√

]

= , maka diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan

yaitu

=

√

.

= −√

Vektor eigen yang bersesuaian dengan

maka,

−
[ √
−

−√

−
[ √
−

−√

−
[
−√

[

−√

]

−√

√

| ]
√

[

=√

,
=

| ]
| ]−
+√
| ]

setelah itu diubah ke bentuk seperti pada persamaan awal sehingga menjadi,
[

√

]

=

diperoleh,
+

√
36

=

Misal

= , maka

=−

√

=−

. Sehingga diperoleh,
√

= [−
ambil
yaitu

√

√

] = [−

]

= , maka diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan
= −

√

.

= −√

Jadi terbukti bahwa banyaknya nilai eigen sama dengan banyaknya vektor eigen.
3.

Akan dibuktikan bahwa titik ekuilibrium ̅ =

jika

sumbu imajiner

adalah tidak stabil jika dan hanya

untuk beberapa =
=

atau terdapat nilai eigen

pada

dengan yang multiplisitas aljabar lebih besar

daripada multiplisitas geometri untuk nilai eigen.
( )
Jika titik ekuilibrium
=

̅=

, untuk beberapa

tidak stabil maka

. Titik ekuilibrium tidak stabil apabila

,

menuju

.

.

Hal tersebut terjadi apabila