RANGKUMAN TRIGONOMETRI
BAB II TRIGONOMETRI
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
A
α
c
b
B
β
a
γ
C
Panjang sisi dihadapan sudut
α
dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut β dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut γ dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku
hubungan
c2 = a2 + b2
2. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah
3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
depan
b
a. sin β = miring = c
samping a
β=
=
miring c
b. cos
depan b
β=
=
samping a
c. tan
samping a
β=
=
depan b
d. cotg
miring c
β=
=
samping a
e. sec
miring c
β=
=
depan b
f. csc
mempunyai
α+ β+γ=180
0
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
1
tan β
Cotg
1
β=
cos β
Sec
1
β=
sin β
Csc
β=
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4,
b = 3.
a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut α
B
c
4
α
A
C
3
Jawab :
c=√ a 2 +b2 =√ 4 2 +3 2= √ 25=5
a 4
sin α = =
c 5
b 3
cos α = =
c 5
a 4
tan α = =
b 3
A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 300, 450, 600, 900)
300
450
√2
2
√3
1
450
600
1
1
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut
( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
Sin
00
0
300
450
600
900
1
2
Cos
1
1
Tan
0
1
Csc
Sec
t.t
1
2
Cotg
t.t
2
3
√3
√3
2
3
√3
√3
0
Contoh : π =180
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +
2.
√ 2=√ 2
π
π 2
1
sec +cot g
√ 3+ √ 3
6
3 3
3
√3
=
=
π
√3
√3
tan
3
=1
A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
Ordinat positif
A(x,y)
r
y +
Sin α= = = positif
y
r +
x +
Cos α= = =positif
r +
y +
Tanα = = = positif
x +
α
x
2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
Absis negatif
Ordinat positif
A(-x,y)
y +
Sin α= = = positif
r +
−x −
Cos α = = =negatif
r
+
y
+
Tanα= = =negatif
−x −
r
y
-x
Diskusikan
dengan
teman
anda,
untuk
tanda-tanda
perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis
dalam tabel berikut.
I
II
III
IV
Sin
+
+
Cos
+
+
Tan
+
+
Csc
+
+
Sec
+
+
Cotg
+
+
-
Kuadran II
Sin & Csc +
Kuadran I
Semua +
Kuadran III
Tan & Cotg +
Contoh :
Diketahui Sin
Tentukan nilai
α=
α
=
Kuadran IV
Cos & Csc +
3
,
5
Sec α ,Csc α ,Cotg α
dikuadran II (sudut tumpul).
3
5 , y = 3, r = 5, x =
Jawab : Sin
Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec
α
α
√ 52−32=√25−9=√16=4
5
5
−4
α=
α=
3 , Cotg
3
= −4 , Csc
TUGAS I
1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut
tiap gambar berikut :
a.
b.
5
α
pada
2 √5
12
2
2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri
sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri
sudut diketahui.
a. Cos p = 0,8
b. Cotg p = 2
3. Tentukan nilai dari :
a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450
b. Tan 300 + cos 300
c. 2 sin 600 cos 450
4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari
pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut.
Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)
600
Tinggi dani
Tinggi pohon
10 m
A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di
semua kuadran
a. Rumus di kuadran I
Sin(90−α )=cos α
Cos(90−α )=sin α
Tan(90−α )=Cotg α
b. Rumus di kuadran II
Sin(90+ α )=Cos α
Cos(90+α )=−Sin α
Tan(90+α )=−Cotg α
atau
Sin(180−α )=Sinα
Cos(180−α )=−Cos α
Tan(180−α )=−Tanα
c. Rumus di kuadran III
Sin(270−α )=−Cos α
Cos(270−α )=−Sin α
Tan(270−α )=Cotg α
atau
Sin(180+α )=−Sinα
Cos(180+α )=−Cos α
Tan(180+α )=Tan α
d. Rumus di kuadran IV
Sin (270+α )=−Cos α
Cos(270+α )=Sin α
Tan(270+α )=−Cotg α
atau
Sin(360−α )=−Sin α
Cos(360−α )=Cos α
Tan(360−α )=−Tanα
e Rumus sudut negatif
Sin(−α )=−Sinα
Cos(−α )=Cos α
Tan(−α )=−Tan α
f.Rumus sudut lebih dari 3600
Sin(k . 360+α )=Sinα
Cos(k . 360+α )=Cos α
Tan( k . 360+α )=Tanα
Contoh :
Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :
a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)
= Sin 300
1
√3
= 2
Atau
Sin 1200 = Sin (1800 – 600)
= Sin 600
1
√3
= 2
b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)
= -Sin 450
=
−
1
√2
2
Atau
Cos 2250 = Cos (1800 + 450)
= -Cos 450
−
1
√2
2
=
c. Sin 750 = Sin (2.3600 + 300)
= Sin 300
0
1
= 2
d. Sin (-2250) = - Sin 2250
= - Sin(1800 + 450)
= - (-sin 450)
1
√2
= 2
TUGAS II
1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :
a. Cos 3300
b. Tan (-1200)
c. Sin 4500
2. Tentukan nilai dari :
a. Sin 3000 + Cos 5450
b. Cos 3900 + Sec 5700
c. Cotg 7500 + Tan (-600)
3. Sederhanakan
cos(270− p )
a. Sin(360− p )
cos(90+ p)
b. Sin(180− p)
cos 1200 . Tan2250 . Co sec2400
Cos 2100 . Sec 300 0
c.
4. Buktikan bahwa
Sin(270+ p). Sin(180− p )
=1
Cos
(90−
p
).
Cos(180−
p
)
a.
b.
Cos(180+ p). Sec(360− p )
=−1
Cotg (180− p ). Cotg(90− p)
B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1. Sin x = Sin p
X1 = p + k.360
atau x1 = p + k.2 π
X2 = (180 – p) + k.360
x2 = ( π - p) + k.2 π
2. Cos x = Cos p
X1 = p + k.360
atau
x1 = p + k.2 π
X2 = -p + k.360
atau
x2 = -p + k.2 π
3. Tan x = Tan p
X1 = p + k.180
atau
x1 = p + k. π
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :
0
a. Sin x = Sin 200 ; 0≤x≤360
x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0
k=1
x1 = 20
x2 = 20 + 360
= 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0
x2 = 160
Jadi HP = {20, 160}
b. 2 Cos x =
√3
1
;
0≤x≤3600
√3
2
Cos x =
Cos x = Cos 30
X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0
x1 = 30
X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0
memenuhi)
K=1
x2 = 330
HP = {30, 330}
TUGAS III
1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0≤x≤360
a. Cos x = Cos 50
b. Sin x – ½ = 0
c. 3 tan 2x + √ 3 = 0
d. 2 cos x.sin x = sin x
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk
a. 2 sin x = - 2
b. 2 tan 3x + 2 = 0
c. 2 cos ½ x = 1
x 2 = - 30 (tidak
0
0≤x≤2 π
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang
berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa
rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2x
Cotg2x = cosec2x – 1
Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
=3.1
=3
(terbukti)
D. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
C
a
b
A
B
c
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai
berikut:
a
b
c
=
=
SinA SinB SinC
Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1,
c.
Jawab :
b
c
=
SinB SinC
⇔
c=
0
0
∠B=30 ,∠C=53 ,1 . Hitunglah
bSinC
SinB
12Sin53,1
Sin 30
=
12.0,8
0,5
=
9,6
= 0,5
= 19,2
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46.
∠B=68,2 . Hitunglah ∠C
b
c
=
SinB SinC
cSinB 46 Sin 68 ,2
=
b
65
Sin C =
46 x 0, 928
= 65
42 , 710
= 65
⇔
∠C
= 0,657
= 41,1
2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
C
γ
α
A
β
B
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos α
c2 = a2 + b2 – 2ab cos α
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,
600.
Hitung panjang BC
Jawab :
∠A
=
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm
E. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit
diketahui
C
a
b
A
D c
B
L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak
diantara kedua sudut yang diketahui.
2
L=
a . sin B . sin C
2sin A
L=
b . sin A .sin C
2 sin B
L=
c .sin A . sin B
2 sin C
2
2
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
L=√ s .(s−a).(s−b).( s−c)
s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)
Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C
= 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½
= 10
√2
√2
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,
Tentukan luasnya.
Jawab :
∠C=180−65−60=55
∠ A=65 ,∠ B=60 .
2
c .sin A . sin B
L=
2 sin C
2
5 . sin 65. sin 60
L=
2sin 55
25 .0,425 .0, 87
0,82
L=11,27
L=
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c
= 5 cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
L=√ s .(s−a).(s−b).( s−c)
L=√ 6.(6−3).(6−4).(6−5)
L=√ 6.3.2.1
L=√ 36=6 cm2
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
A
α
c
b
B
β
a
γ
C
Panjang sisi dihadapan sudut
α
dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut β dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut γ dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku
hubungan
c2 = a2 + b2
2. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah
3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
depan
b
a. sin β = miring = c
samping a
β=
=
miring c
b. cos
depan b
β=
=
samping a
c. tan
samping a
β=
=
depan b
d. cotg
miring c
β=
=
samping a
e. sec
miring c
β=
=
depan b
f. csc
mempunyai
α+ β+γ=180
0
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
1
tan β
Cotg
1
β=
cos β
Sec
1
β=
sin β
Csc
β=
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4,
b = 3.
a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut α
B
c
4
α
A
C
3
Jawab :
c=√ a 2 +b2 =√ 4 2 +3 2= √ 25=5
a 4
sin α = =
c 5
b 3
cos α = =
c 5
a 4
tan α = =
b 3
A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 300, 450, 600, 900)
300
450
√2
2
√3
1
450
600
1
1
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut
( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
Sin
00
0
300
450
600
900
1
2
Cos
1
1
Tan
0
1
Csc
Sec
t.t
1
2
Cotg
t.t
2
3
√3
√3
2
3
√3
√3
0
Contoh : π =180
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +
2.
√ 2=√ 2
π
π 2
1
sec +cot g
√ 3+ √ 3
6
3 3
3
√3
=
=
π
√3
√3
tan
3
=1
A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
Ordinat positif
A(x,y)
r
y +
Sin α= = = positif
y
r +
x +
Cos α= = =positif
r +
y +
Tanα = = = positif
x +
α
x
2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
Absis negatif
Ordinat positif
A(-x,y)
y +
Sin α= = = positif
r +
−x −
Cos α = = =negatif
r
+
y
+
Tanα= = =negatif
−x −
r
y
-x
Diskusikan
dengan
teman
anda,
untuk
tanda-tanda
perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis
dalam tabel berikut.
I
II
III
IV
Sin
+
+
Cos
+
+
Tan
+
+
Csc
+
+
Sec
+
+
Cotg
+
+
-
Kuadran II
Sin & Csc +
Kuadran I
Semua +
Kuadran III
Tan & Cotg +
Contoh :
Diketahui Sin
Tentukan nilai
α=
α
=
Kuadran IV
Cos & Csc +
3
,
5
Sec α ,Csc α ,Cotg α
dikuadran II (sudut tumpul).
3
5 , y = 3, r = 5, x =
Jawab : Sin
Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec
α
α
√ 52−32=√25−9=√16=4
5
5
−4
α=
α=
3 , Cotg
3
= −4 , Csc
TUGAS I
1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut
tiap gambar berikut :
a.
b.
5
α
pada
2 √5
12
2
2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri
sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri
sudut diketahui.
a. Cos p = 0,8
b. Cotg p = 2
3. Tentukan nilai dari :
a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450
b. Tan 300 + cos 300
c. 2 sin 600 cos 450
4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari
pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut.
Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)
600
Tinggi dani
Tinggi pohon
10 m
A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di
semua kuadran
a. Rumus di kuadran I
Sin(90−α )=cos α
Cos(90−α )=sin α
Tan(90−α )=Cotg α
b. Rumus di kuadran II
Sin(90+ α )=Cos α
Cos(90+α )=−Sin α
Tan(90+α )=−Cotg α
atau
Sin(180−α )=Sinα
Cos(180−α )=−Cos α
Tan(180−α )=−Tanα
c. Rumus di kuadran III
Sin(270−α )=−Cos α
Cos(270−α )=−Sin α
Tan(270−α )=Cotg α
atau
Sin(180+α )=−Sinα
Cos(180+α )=−Cos α
Tan(180+α )=Tan α
d. Rumus di kuadran IV
Sin (270+α )=−Cos α
Cos(270+α )=Sin α
Tan(270+α )=−Cotg α
atau
Sin(360−α )=−Sin α
Cos(360−α )=Cos α
Tan(360−α )=−Tanα
e Rumus sudut negatif
Sin(−α )=−Sinα
Cos(−α )=Cos α
Tan(−α )=−Tan α
f.Rumus sudut lebih dari 3600
Sin(k . 360+α )=Sinα
Cos(k . 360+α )=Cos α
Tan( k . 360+α )=Tanα
Contoh :
Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :
a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)
= Sin 300
1
√3
= 2
Atau
Sin 1200 = Sin (1800 – 600)
= Sin 600
1
√3
= 2
b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)
= -Sin 450
=
−
1
√2
2
Atau
Cos 2250 = Cos (1800 + 450)
= -Cos 450
−
1
√2
2
=
c. Sin 750 = Sin (2.3600 + 300)
= Sin 300
0
1
= 2
d. Sin (-2250) = - Sin 2250
= - Sin(1800 + 450)
= - (-sin 450)
1
√2
= 2
TUGAS II
1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :
a. Cos 3300
b. Tan (-1200)
c. Sin 4500
2. Tentukan nilai dari :
a. Sin 3000 + Cos 5450
b. Cos 3900 + Sec 5700
c. Cotg 7500 + Tan (-600)
3. Sederhanakan
cos(270− p )
a. Sin(360− p )
cos(90+ p)
b. Sin(180− p)
cos 1200 . Tan2250 . Co sec2400
Cos 2100 . Sec 300 0
c.
4. Buktikan bahwa
Sin(270+ p). Sin(180− p )
=1
Cos
(90−
p
).
Cos(180−
p
)
a.
b.
Cos(180+ p). Sec(360− p )
=−1
Cotg (180− p ). Cotg(90− p)
B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1. Sin x = Sin p
X1 = p + k.360
atau x1 = p + k.2 π
X2 = (180 – p) + k.360
x2 = ( π - p) + k.2 π
2. Cos x = Cos p
X1 = p + k.360
atau
x1 = p + k.2 π
X2 = -p + k.360
atau
x2 = -p + k.2 π
3. Tan x = Tan p
X1 = p + k.180
atau
x1 = p + k. π
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :
0
a. Sin x = Sin 200 ; 0≤x≤360
x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0
k=1
x1 = 20
x2 = 20 + 360
= 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0
x2 = 160
Jadi HP = {20, 160}
b. 2 Cos x =
√3
1
;
0≤x≤3600
√3
2
Cos x =
Cos x = Cos 30
X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0
x1 = 30
X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0
memenuhi)
K=1
x2 = 330
HP = {30, 330}
TUGAS III
1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0≤x≤360
a. Cos x = Cos 50
b. Sin x – ½ = 0
c. 3 tan 2x + √ 3 = 0
d. 2 cos x.sin x = sin x
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk
a. 2 sin x = - 2
b. 2 tan 3x + 2 = 0
c. 2 cos ½ x = 1
x 2 = - 30 (tidak
0
0≤x≤2 π
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang
berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa
rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2x
Cotg2x = cosec2x – 1
Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
=3.1
=3
(terbukti)
D. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
C
a
b
A
B
c
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai
berikut:
a
b
c
=
=
SinA SinB SinC
Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1,
c.
Jawab :
b
c
=
SinB SinC
⇔
c=
0
0
∠B=30 ,∠C=53 ,1 . Hitunglah
bSinC
SinB
12Sin53,1
Sin 30
=
12.0,8
0,5
=
9,6
= 0,5
= 19,2
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46.
∠B=68,2 . Hitunglah ∠C
b
c
=
SinB SinC
cSinB 46 Sin 68 ,2
=
b
65
Sin C =
46 x 0, 928
= 65
42 , 710
= 65
⇔
∠C
= 0,657
= 41,1
2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
C
γ
α
A
β
B
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos α
c2 = a2 + b2 – 2ab cos α
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,
600.
Hitung panjang BC
Jawab :
∠A
=
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm
E. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit
diketahui
C
a
b
A
D c
B
L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak
diantara kedua sudut yang diketahui.
2
L=
a . sin B . sin C
2sin A
L=
b . sin A .sin C
2 sin B
L=
c .sin A . sin B
2 sin C
2
2
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
L=√ s .(s−a).(s−b).( s−c)
s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)
Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C
= 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½
= 10
√2
√2
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,
Tentukan luasnya.
Jawab :
∠C=180−65−60=55
∠ A=65 ,∠ B=60 .
2
c .sin A . sin B
L=
2 sin C
2
5 . sin 65. sin 60
L=
2sin 55
25 .0,425 .0, 87
0,82
L=11,27
L=
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c
= 5 cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
L=√ s .(s−a).(s−b).( s−c)
L=√ 6.(6−3).(6−4).(6−5)
L=√ 6.3.2.1
L=√ 36=6 cm2