Trigonometri Dasar dan Aplikasi Sederhan

Trigonometri Dasar dan Aplikasi Sederhana
Risqi Pratama, S.Si.
15 Desember 2017

Rumus Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Jika terdapat segitiga siku-siku sebagai berikut:

Gambar 1: Segitiga siku-siku.

Maka perbandingan trigonometrinya adalah
y
r
x
cos α =
r
y
tan α =
x
sin α =

r

y
r
sec α =
x
x
cot α =
y
csc α =

1
sin α
1
sec α =
cos α
1
cot α =
cot α
csc α =

(1)

(2)
(3)

Gambar 2 adalah segitiga-segitiga siku-siku dengan sudut α merupakan sudut istimewa. Segitiga siku-siku tersebut memiliki ukuran sisi-sisi yang bersesuaian dengan sudut apit antara sisi
samping dengan sisi miringnya. Jika disamakan dengan gambar 1 dan persamaan (1), (2) dan
(3), maka perbandingan trigonometrinya adalah

1

Gambar 2: Segitiga siku-siku dengan ukuran sisi-sisinya pada sudut istimewa 30◦ , 37◦ , 45◦ , 53◦
dan 60◦ .
Perbandingan

30◦

37◦

sin

1

2

cos

√
1

3
5
4
5
3
4

tan

2 3
√
1
3 3

45◦
√
1
2 2
√
1
2 2

53◦
4
5
3
4
4
3

1

60◦

√
1
2 3

90◦

180◦

270◦

360◦

1

0

1

0

1
2

0

1

0

1

∞

0

∞

0

√

3

Tabel 1: Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa.

Rumus Trigonometri pada beberapa Aplikasi
Beberapa aplikasi perbandingan trigonometri antara lain pada penjumlahan sudut, rumus sinus
dan cosinus dan rumus luas segitiga sembarang.
1. Rumus penjumlahan sudut, fungsinya untuk menentukan perbandingan trigonometri pada
sudut yang berelasi
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos (a + b) = cos ac cos b − sin a sin b
tan a + tan b
tan (a + b) =
1 − tan a tan b

sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a

(4)

cos (a − b) = cos ac cos b + sin a sin b
tan a − tan b
tan (a − b) =
1 + tan a tan b

(5)
(6)

2. Rumus sinus dan cosinus. Rumus sinus digunakan pada perbandingan sudut dalam segitiga
dengan sisi yang menghadap sudut sedangkan rumus cosinus digunakan untuk menentukan
resultan vektor dari vektor-vektor sembarang. Perhatikan gambar 3 sebelah kiri, akan
berlaku hubungan
b
c
a
=
=
sin A
sin B
sin C

2

(7)

untuk gambar sebelah kanan berlaku
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

(8)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

(9)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

(10)

Gambar 3: Rumus sinus dan cosinus pada segitiga sembarang.

3. Rumus luas segitiga sembarang dengan aturan trigonometri dapat diilustrasikan menggunakan gambar 3 sebelah kanan sebagai berikut
1
L = ab sin C
2
1
L = bc sin A
2
1
L = ac sin B
2

(11)
(12)
(13)

Catatan tambahan: ada rumus luas segitiga sembarang menggunakan persamaan
L=

p
s(s − a)(s − b)(s − c)

s=

a+b+c
K
=
2
2

(14)

Contoh soal
1. Sebuah antena dipasang dengan diberi penguat dari kawat yang diikatkan dari tanah ke
puncak antena membentuk sudut 30◦ antara kawat dengan tanah. Jika tinggi antena 8 m
berapakah panjang kawat tersebut?
Jawab:
sin 30◦ =
3

t
L

dengan t = tinggi antena dan L = panjang kawat
L=

t
1
2

=

8
1
2

= 16 m

2. Pada segitiga ABC diketahui ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5. Tentukan perbandingan sisi
a : b : c!
Jawab:
Misal kita ambil sudut a = 30◦ sebagai pembanding sehingga diperoleh perbandingan
∠A : ∠B : ∠C = 60◦ : 90◦ : 150◦ . Menggunakan rumus sinus diperoleh
√
b
a
sin 60◦
3
a
=
=⇒ =
=
sin A
sin B
b
sin 90◦
2
b
c
c
sin 150◦
1
=
=⇒ =
=
◦
sin B
sin C
b
sin 90
2
Akan diperoleh perbandingan terhadap b yakni a =
√
b : 12 b = 3 : 2 : 1

√

3
2 b

dan c = 21 b. Jadi, a : b : c =

√

3
2 b

:

3. Segitiga ABC siku-siku di C. Bila panjang sisi c = 5 cm dan ∠B = 60◦ , tentukan luas
segitiga ABC!
Jawab:
Dari pernyataan soal, maka sisi c adalah sisi miring. Rumus luasnya adalah
1
1
L = ac sin B = a(5) sin 60◦
2
2
Nilai a diperoleh dari perbandingan
cos 60◦ =
sehingga
1
L=
2

5
a
=⇒ a = c cos 60◦ =
c
2


 

25 √
5
1√
3 =
3 cm2
(5)
2
2
8

Pustaka
[1] Sumadi, Darno, Suharjana, A. (2008). ”Matematika: SMK/MAK Kelas XI Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian”. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan
Nasional.

4