MODEL ASURANSI JIWA DENGAN BERBAGAI KEMUNGKINAN KEJADIAN PENGHENTIAN SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Gisela Kusria NIM: 053114003 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2009

LIFE INSURANCE MODELS

WITH MULTIPLE DECREMENT

THESIS

Presented as the Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain The Sarjana Sains Degree

Study Program of Mathematics

by:

Gisela Kusria

Student Number: 053114003

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2009

”Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya.” Matius 21:22

”Diri kita adalah akibat dari apa yang sudah kita pikirkan” Buddha (563-483 SM)

ABSTRAK

Terdapat dua variabel random yang membangun teori penyusutan jamak.

Pertama, variabel random diskret yang menyatakan faktor yang mempengaruhi keluarnya seseorang dari asuransi, dinotasikan dengan J. Kedua, variabel random kontinu yang menyatakan waktu keluarnya seseorang dari asuransi, dinotasikan dengan T. Notasi T dan J digunakan untuk menyatakan distribusi gabungan dari T dan J serta distribusi marginal dan bersyaratnya. Skripsi ini bertujuan untuk membangun gagasan dalam menguraikan dan menggunakan distribusi dari T dan

J dan distribusi bersama usia pada saat seseorang keluar dari asuransi.

Penyusutan jamak dapat dilihat dari dua kelompok survivor, yaitu kelompok survivor random dan kelompok survivor deterministik. Kelompok survivor random digunakan pada penyusutan yang terjadi pada usia yang random sedangkan kelompok survivor deterministik digunakan pada penyusutan yang terjadi pada usia tertentu.

Probabilitas seseorang akan tetap ada atau keluar pada usia tertentu dapat diperoleh pula dari penyusutan tunggal yang hanya dipengaruhi oleh sebuah penyebab.

ABSTRACT

In building multiple decrement theory there are two random variables related to it. The first is discrete random variable that refers to the cause of decrement, denoted by J. The second is continuous random variable that refers to the time- until-termination, denoted by T. T and J are used to describe the joint distribution of T and J and the related marginal and conditional distribution. This thesis developed set of ideas to describe and use the T and J distribution and the distribution of the corresponding age-at-termination.

Multiple decrement can be viewed from two group survivorship, that are, random survivorship group and deterministic survivorship group. Random survivorship group is applied for a random aged while deterministic survivorship group consider to decrement for a fixed aged.

The probability of a person will survive or leave at certain age can also be obtained from associated single decrement that depends on one decrement.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu menaungi dan melimpahkan rahmat kasih-Nya sehingga skripsi dengan judul ”Model Asuransi Jiwa Dengan Berbagai Kemungkinan Kejadian Penghentian” dapat terselesaikan dengan baik dan lancar.

Penulis sepenuhnya menyadari bahwa terselesaikannya skripsi ini berkat bantuan dari beberapa pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika USD yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

2. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi atas bimbingan, masukan, serta semangatnya dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. dan Bapak Hongki Julie, S.Pd., M.Si. yang telah meluangkan waktu untuk menguji serta memberikan masukan yang sangat berguna bagi penulis pada tanggal 30 Juli 2009.

4. Staff dosen Jurusan Matematika USD, yang telah memberi bekal ilmu yang berguna bagi perkembangan dan kedewasaan dalam berpikir dan bertindak.

5. Seluruh karyawan sekretariat FST yang telah membantu penulis dalam pengurusan administrasi.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas koleksi buku-buku serta akses internetnya sehingga penulis memperoleh bahan-bahan yang cukup lengkap dalam penulisan skripsi ini.

7. Kedua orang tua, Bapak Markus Sukarto dan Ibu Yustina Sriyatun yang telah memberikan dorongan semangat serta doa untuk keberhasilan studi penulis.

8. Petrus Eko Noviyanto yang selalu setia mendukung penulis belajar menjadi lebih baik dan memberi semangat dalam penulisan skripsi ini.

9. Adik, Katarina Kusmiyanti dan Titus Marcel Kusraynaldy yang selalu menjadi obat serta semangat saat penulis mengalami kejenuhan dalam menulis skripsi ini.

10. Therisia Fira Hestiningsih yang mau mendengarkan pemikiran-pemikiran dan memberikan masukan yang sangat berguna bagi penulis sehingga skripsi ini dapat selesai dengan baik.

11. Semua pihak yang telah terlibat selama penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih terdapat keterbatasan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun, sehingga dapat menjadi masukan dan bahan pertimbangan demi kesempurnaan tulisan ini.

Yogyakarta, 30 Juli 2009 Penulis

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ................................................................................. i HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ............................................................. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................ iii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................ v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................... vi ABSTRAK ................................................................................................. vii ABSTACT ................................................................................................. viii HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................................ ix KATA PENGANTAR ............................................................................... x DAFTAR ISI .............................................................................................. xiii DAFTAR GAMBAR ................................................................................. xvi

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1 A. Latar Belakang Masalah ................................................................ 1 B. Perumusan Masalah ....................................................................... 4 C. Pembatasan Masalah ...................................................................... 5 D. Tujuan Penulisan ............................................................................ 5 E. Manfaat Penulisan .......................................................................... 6 F. Metode Penulisan ........................................................................... 6 G. Sistematika Penulisan .................................................................... 6 BAB II TEORI PROBABILITAS ............................................................ 8

A. Probabilitas dan Variabel Random ................................................ 8

1. Fungsi Probabilitas dan Fungsi Distribusi Variabel Random Diskret ......................................................... 11

2. Fungsi Probabilitas dan Fungsi Distribusi Variabel Random Kontinu ........................................................ 12

B. Distribusi Probabilitas Bersama ..................................................... 14

1. Distribusi Probabilitas Diskret Bersama .................................. 14

2. Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama ................................. 16

C. Nilai Harapan dan Variansi ............................................................ 19

D. Distribusi Probabilitas .................................................................... 24

1. Distribusi Bernoulli .................................................................. 24

2. Distribusi Binomial .................................................................. 25

3. Distribusi Seragam Kontinu ..................................................... 26

4. Distribusi Normal ..................................................................... 26

5. Distribusi Normal Standar ........................................................ 27

BAB III SATU KEJADIAN PENGHENTIAN ........................................ 28 A. Suku Bunga .................................................................................... 28 B. Probabilitas Usia Pada Saat Meninggal ......................................... 32

1. Fungsi Kelangsungan Hidup .................................................... 32

2. Waktu Meninggal Untuk Orang yang Berusia x ...................... 35

3. Waktu Hidup yang Dipersingkat ............................................. 40

C. Percepatan Mortalita ...................................................................... 41

D. Tabel Kehidupan ............................................................................ 47

1. Hubungan Fungsi Tabel Kehidupan dan Fungsi Kelangsungan Hidup .................................................... 47

2. Karakteristik ............................................................................. 52

E. Asuransi Jiwa ................................................................................. 68

1. Asuransi Berjangka .................................................................. 69

2. Asuransi Seumur Hidup ........................................................... 73

3. Endowmen Murni ..................................................................... 74

4. Asuransi Endowmen ................................................................. 77

5. Asuransi Tertunda ..................................................................... 78

BAB IV BERBAGAI KEMUNGKINAN KEJADIAN PENGHENTIAN .................................................... 80 A. Dua Variabel Random .................................................................... 80 B. Kelompok Survivor Random .......................................................... 105 C. Kelompok survivor Deterministik .................................................. 108 D. Faktor Penyebab Tunggal ............................................................... 114

1. Hubungan Dasar ........................................................................ 116

2. Nilai Tengah Penyusutan Jamak ............................................... 118

3. Asumsi Percepatan Konstan untuk Penyusutan Jamak ............. 124

4. Asumsi Distribusi Seragam untuk Penyusutan Jamak ............... 129

5. Perkiraan Hasil .......................................................................... 132

E. Membuat Tabel Penyusutan Jamak ................................................ 137

BAB V APLIKASI TEORI PENYUSUTAN JAMAK ............................ 148 BAB VI PENUTUP ................................................................................... 159

A. Kesimpulan ..................................................................................... 159

B. Saran ............................................................................................... 161 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 162 LAMPIRAN ................................................................................................ 164

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.2.1 Fungsi distribusi probabilitas f(x) untuk kematin pada saat usia x .................................................. 34Gambar 3.2.2 Waktu hidup yang dijalani oleh x .............................................. 36Gambar 4.5.1 Unsur-unsur fungsi kehidupan, j ( ) τ

( ) p ' , j

1 , 2 , 3 dan p ...................................................... 144 _{t x t x} =

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Banyak permasalahan sosial yang terjadi pada masa kini. Salah satu

permasalahannya yaitu masalah ketidakpastian ekonomi yang akan mempengaruhi kesejahteraan keluarga. Kesejahteraan keluarga akan terganggu bila seseorang yang bekerja dalam keluarga tersebut kehilangan penghasilannya. Sebab-sebab kehilangan penghasilan antara lain karena cacat/sakit, kecelakaan, kematian, dan mengundurkan diri dari pekerjaan. Sebagian dari jaminan kesejahteraan tersebut dapat diperoleh bila kepala keluarga mengasuransikan dirinya. Asuransi ini misalnya berupa asuransi kesehatan dan asuransi jiwa.

Orang yang mengambil asuransi berarti sepakat dengan ketentuan-ketentuan yang telah disepakati antara dirinya dengan perusahaan asuransi. Kesepakatan ini berupa kontrak antara orang yang mengasuransikan dirinya dengan perusahaan asuransi, yang biasa disebut dengan polis asuransi. Dalam polis tersebut telah diatur besarnya pembayaran serta banyaknya uang yang akan diterima. Pembayaran yang dilakukan orang yang diasuransikan biasa disebut dengan premi. Sedangkan, uang yang akan diterima disebut santunan.

Premi biasanya dihitung dengan mempertimbangkan faktor biaya (biaya pegawai, pajak, komisi, dan sebagainya). Namun pada pembahasan dalam skripsi ini yang diperhitungkan hanya probabilitas keluarnya seseorang dari asuransi dan tingkat bunga tanpa memperhitungkan faktor biaya. Premi yang dihitung tanpa memperhatikan faktor biaya disebut premi bersih. Pembayaran premi dapat dibayarkan sekaligus, disebut premi tunggal, dapat pula seumur hidup, dan dapat pula selama jangka waktu tertentu, misalnya selama 20 tahun. Premi yang pembayarannya dilakukan sekaligus tanpa memperhitungkan faktor biaya disebut premi tunggal bersih.

Keanggotaan seseorang dalam asuransi dapat berhenti oleh beberapa faktor. Faktor-faktor tersebut antara lain meninggal dunia, keluar dari pekerjaan dan keluar dari program asuransi yang telah dijalani. Berikut ini beberapa contoh asuransi serta faktor-faktor yang mempengaruhi berhentinya keanggotaan seseorang dalam asuransi:

1. Asuransi jiwa dengan pembayaran sekali Prinsip dari asuransi ini yaitu premi dibayarkan hanya satu kali selama mengikuti asuransi. Asuransi ini memberikan santunan kepada pewaris jika orang yang mengasuransikan dirinya meninggal dunia. Dengan kata lain, dalam asuransi ini polis akan berhenti jika orang yang mengasuransikan dirinya meninggal dunia.

2. Asuransi berjangka Pembayaran premi untuk asuransi ini dilakukan dalam jangka waktu tertentu, misalnya n tahun. Santunan akan diterima bila orang yang mengasuransikan dirinya meninggal karena berbagai penyebab. Misalkan orang tersebut meninggal karena kecelakaan atau penyakit kronis.

3. Asuransi Pendidikan Pembayaran premi pada asuransi pendidikan biasanya dilakukan dalam jangka waktu tertentu sebelum orang yang diasuransikan masuk sekolah atau perguruan tinggi. Santunan asuransi akan diterima bila orang yang diasuransikan sampai pada waktu yang telah ditetapkan untuk menerima santunan asuransi (telah mencapai usia sekolah). Selain itu, asuransi akan diterima jika orang yang diasuransikan meninggal dunia atau keluar dari rencana asuransi ini.

4. Dana pensiun Pembayaran premi pada asuransi ini biasanya dilakukan sampai batas waktu sebelum pensiun. Santunan asuransi akan diterima bila orang yang diasuransikan meninggal dunia, mengalami kecacatan, pensiun, atau keluar dari pekerjaan.

Pada asuransi jiwa dengan pembayaran sekali, terdapat satu faktor penyebab sehingga seseorang keluar dari perencanaan asuransi, yaitu meninggal dunia. Pada asuransi berjangka terdapat dua faktor, yaitu orang yang diasuransikan meninggal dunia karena kecelakaan dan penyakit kronis. Untuk asuransi pendidikan terdapat tiga faktor, yaitu orang yang diasuransikan sampai pada waktu yang telah ditetapkan untuk menerima santunan asuransi, meninggal dunia, dan orang tersebut keluar dari perencanaan asuransi. Dan faktor penyebab untuk dana pensiun yaitu orang yang diasuransikan meninggal dunia, mengalami kecacatan, pensiun, dan keluar dari pekerjaan.

Faktor yang mempengaruhi keluarnya seseorang dalam asuransi disebut penyusutan (decrement). Sedangkan keluarnya seseorang karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai penyusutan jamak ( multiple decrement).

Penyusutan jamak yang terdapat dalam permasalahan di atas sangat bergantung pula dengan dua variabel random, yaitu waktu berhentinya (time until

termination

) dan penyebab berhenti (cause of the termination). Variabel random waktu berhenti merupakan variabel random kontinu dan dinotasikan dengan T(x) atau T. Sedangkan variabel random penyebab berhenti merupakan variabel random diskret dan dinotasikan dengan J(x) atau J. Distribusi serta model matematis untuk asuransi jiwa dengan berbagai kemungkinan kejadian penghentian dapat ditentukan melalui dua variabel random tersebut.

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dapat ditulis dengan beberapa pertanyaan berikut:

1. Bagaimanakah cara menentukan probabilitas dari dua variabel random yaitu waktu berhenti (time until termination) dan penyebab berhenti (cause of the

termination

) pada single life?

2. Bagaimanakah bentuk penyusutan jamak yang terdapat dalam asuransi jiwa?

3. Bagaimanakah model asuransi jiwa dengan berbagai kemungkinan kejadian penghentian?

4. Bagaimanakah aplikasi dalam asuransi jiwa yang menggunakan penyusutan jamak?

C. Pembatasan Masalah

Dalam penulisan skripsi ini diberikan beberapa batasan sebagai berikut: 1. Hanya akan dibahas untuk single life.

2. Aplikasi yang akan dibahas yaitu hanya untuk asuransi berjangka dengan dua penyebab pada kematian serta asuransi seumur hidup.

3. Premi yang digunakan pada asuransi adalah premi tunggal bersih.

D. Tujuan Penulisan

Penulisan ini memiliki tujuan sebagai berikut:

1. Mengetahui cara menentukan probabilitas dari dua variabel random yaitu waktu berhenti (time until termination) dan penyebab berhenti (cause of the

termination ) pada single life.

3. Mengetahui model asuransi jiwa untuk berbagai kemungkinan kejadian penghentian.

4. Mengetahui aplikasi dalam asuransi jiwa yang menggunakan penyusutan jamak.

E. Manfaat Penulisan

Penulisan ini mempunyai manfaat yaitu dapat menganalisis kemungkinan kejadian penghentian yang berasal dari dua variabel random yaitu waktu berhenti (time until termination) dan penyebab berhenti (cause of the termination) pada single life .

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan yaitu metode studi pustaka atau studi literatur. Studi pustaka ini dilakukan dengan cara mempelajari serta mengolah materi dari buku-buku dan informasi yang diperoleh dari internet yang berkaitan dengan permasalahan yang akan dibahas. Dalam penulisan ini tidak ditemukan sesuatu yang baru.

G. Sistematika Penulisan masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab II membahas tentang teori probabilitas yang berisi tentang probabilitas dan variabel random, distribusi probabilitas bersama, nilai harapan dan variansi, distribusi binomial, distribusi seragam, dan distribusi normal.

Bab III akan membahas tentang satu kejadian penghentian, yaitu kematian. Bab ini berisi tentang suku bunga, probabilitas usia pada saat meninggal, percepatan mortalita, tabel kehidupan, dan asuransi jiwa. Bab IV membahas tentang berbagai kemungkinan kejadian penghentian dalam perencanaan asuransi. Pada bab ini berisi tentang dua variabel random yang mempengaruhi penyusutan jamak, kelompok survivor random, kelompok survivor deterministik, faktor penyebab tunggal, dan membuat tabel penyusutan jamak.

Bab V akan membahas aplikasi untuk asuransi berjangka dan seumur hidup. Bab VI akan membahas penutup yang berisi tentang kesimpulan dan saran.

BAB II TEORI PROBABILITAS A. Probabilitas dan Variabel Random Percobaan (eksperimen) dalam statistika merupakan proses yang akan

menghasilkan data. Hasil percobaan yang diperoleh bergantung pada faktor kebetulan sehingga hasilnya tidak dapat diperkirakan secara pasti. Contohnya yaitu pada pelemparan sebuah dadu yang dilemparkan berulang kali. Pada pelemparan dadu ini tidak dapat dipastikan pada pelemparan tertentu akan diperoleh sisi bernomor 6. Namun yang dapat diketahui secara pasti yaitu semua kemungkinan hasil untuk setiap pelemparan.

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Ruang sampel dinyatakan dengan lambang S. Setiap kemungkinan hasil yang terdapat dalam ruang sampel disebut titik sampel.

Dalam melakukan percobaan yang ingin diketahui yaitu munculnya kejadian tertentu. Setiap kejadian tersebut berkaitan dengan sekumpulan titik sampel yang terdapat dalam ruang sampel. Sekumpulan titik sampel ini akan membentuk himpunan bagian di dalam ruang sampelnya. Himpunan bagian tersebut akan mewakili semua anggota sehingga kejadian tertentu dapat terjadi.

Misalkan A adalah kejadian. Probabilitas kejadian A diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas semua titik sampel yang terdapat dalam kejadian A.

Jumlahan ini disebut probabilitas kejadian A dan dilambangkan dengan P(A).

Definisi 2.1.1

Misalkan S merupakan ruang sampel, A merupakan kejadian, dan P merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada A, maka P disebut fungsi probabilitas dan

P (A) disebut probabilitas kejadian A jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a. P A

≤ ( ) ≤

b. P

= ( ) φ

c. P S

( ) =

d. Bersifat aditif, yaitu _n _n  

P A P A jika A A , i j

  ∩ = ≠ ∪ i = ∑ ( ) i i j φ _i

  _i

1 Misalkan kejadian A menjadi syarat terjadinya kejadian B. Probabilitas

terjadinya kejadian B bila diketahui kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat. Probabilitas ini disimbolkan dengan P ( B | A ) yang menyatakan probabilitas B dengan syarat kejadian A telah terjadi.

Definisi 2.1.2

Misalkan A dan B merupakan kejadian sehingga probabilitas kejadian B bila diketahui kejadian A telah terjadi didefinisikan sebagai berikut:

P A B ∩ )

P B | A dengan P A = ( ) >

( ) ( P A

( )

Misalkan terdapat dua kejadian A dan B yang masing-masing kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Kejadian ini disebut kejadian saling bebas dan didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1.3

Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika

P A B P A P B

( ∩ ) ( ) ( ) =

Definisi 2.1.4

Misalkan S adalah ruang sampel, sehingga fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan setiap elemen b S ke bilangan real,

X b x ∈ ( ) = disebut variabel random X.

Huruf kapital X menyatakan variabel random dan huruf kecilnya, yaitu x menyatakan nilai variabel random yang mungkin terjadi.

Variabel random dibedakan menjadi dua macam, yaitu variabel random diskret dan variabel random kontinu. Variabel random diskret adalah variabel random yang ruang sampelnya mengandung titik sampel berhingga atau sebanyak bilangan cacah. Variabel random diskret merupakan pemetaan satu-satu dari suatu nilai dengan bilangan cacah. Sedangkan, variabel random kontinu adalah variabel random yang ruang sampelnya mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan sebanyak titik pada garis. Variabel random kontinu merupakan pemetaan satu-satu dari suatu nilai dengan bilangan real. Variabel random diskret biasanya digunakan untuk data yang berupa cacahan, misalnya banyaknya produk yang cacat, banyaknya kecelakaan per tahun di DIY. Sedangkan, variabel random kontinu biasanya digunakan untuk data yang diukur, misalnya pengukuran tinggi, bobot, suhu, jarak atau, usia.

1. Fungsi Probabilitas dan Fungsi Distribusi Variabel Random Diskret

Variabel random diskret menggambarkan data cacah. Probabilitas dari variabel random X biasanya dinyatakan dalam rumusan, misalnya

f x , g x , h x .

( ) ( ) ( ) Definisi 2.1.5

Misalkan X adalah variabel random diskret dengan kemungkinan nilainya

x x x x f x P X x

adalah , , , maka fungsi merupakan probabilitas

= ⋅ ⋅⋅ n = =

1 2 ( ) ( )

untuk semua kemungkinan nilai variabel random diskret X. Fungsi ini disebut sebagai fungsi probabilitas diskret dari variabel random X dan biasa disebut dengan fungsi probabilitas.

Suatu fungsi probabilitas disebut sebagai fungsi probabilitas diskret jika memenuhi syarat-syarat tertentu yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1.6

Fungsi f x disebut fungsi probabilitas diskret dari variabel random X jika

( )

memenuhi syarat-syarat di bawah ini:

a. f x x R

( ) ≥ ∀ ∈ b. f x

= ∑ ( ) _x

∀

Fungsi distribusi kumulatif biasa disingkat dengan fungsi distribusi suatu variabel random X , didefinisikan sebagai berikut

F x P X x f u untuk x (2.1.1)

( ) ( = ≤ ) = ∑ ( ) − ∞ < < +∞

_{u x}

≤

Suatu fungsi memiliki sifat-sifat tertentu sehingga dapat disebut sebagai fungsi distribusi. Berikut ini didefinisikan sifat-sifat fungsi distribusi yang berlaku untuk variabel random kontinu dan variabel random diskret.

Definisi 2.1.7

Fungsi F(x) adalah fungsi distribusi variabel random X bila memenuhi sifat- sifat di bawah ini:

F x F x

a. lim dan lim

1 _{x x} ( ) = ( ) =

→ −∞ → +∞ b. Merupakan fungsi menaik secara monoton, F x F y untuk x < y.

< ( ) ( )

c. Bernilai antara 0 dan 1, F x 1 .

≤ ( ) ≤

2. Fungsi Probabilitas dan Fungsi Distribusi Variabel Random Kontinu Variabel random kontinu didefinisikan pada ruang sampel kontinu.

Probabilitas variabel random kontinu berupa interval (selang) nilai-nilai yang mungkin terjadi.

Definisi 2.1.8

Fungsi f x disebut fungsi probabilitas kontinu (fungsi densitas probabilitas)

( )

untuk variabel random kontinu X bila memenuhi syarat-syarat di bawah ini:

a. f x x R

≥ ∀ ∈ ( )

∞ f x dx b.

( ) = ∫

− ∞ _b

c. P a x b f x dx

< < = ( ) ( ) _a ∫

Fungsi distribusi, F x , untuk variabel random kontinu adalah

( ) _x F x P X x f t dt dengan x (2.1.2)

( ) ( = ≤ ) = ( ) − ∞ < < +∞ ∫

− ∞

Jika Persamaan (2.1.2) didiferensialkan kedua ruasnya maka diperoleh _x

d d F x f t dt ( ) = ( )

∫ dx dx

− ∞ d _x f ' t

( )

( − ∞ )

dx d

f x f

' '

= ( ( ) − ( ) − ∞ ) dx

d d

f x f

' '

= ( ) − ( ) − ∞

dx dx

f x f

= ( ) ( ) − − ∞

Berdasarkan Definisi (2.1.8) bagian (a) maka

d F x f x

(2.1.3)

( ) ( ) = dx

Dari Persamaan (2.1.3) tampak bahwa turunan dari fungsi distribusi merupakan fungsi probabilitasnya.

B. Distribusi Probabilitas Bersama

Pada sebuah kejadian biasanya terdapat lebih dari satu variabel random, misalnya

X , X , . . ., X . Variabel-variabel random ini dapat dipandang sebagai _n

komponen dari sebuah vektor berdimensi n,

X X , X , . . ., X dengan nilai

= ( n )

2 x x , x , . . ., x dalam ruang dimensi n. Vektor nilai, sebagai contoh, dapat

= ( )

1 2 n merupakan hasil pengukuran n buah karakteristik suatu objek tertentu.

1. Distribusi Probabilitas Diskret Bersama

Distribusi probabilitas diskret bersama dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.2.1

Distribusi probabilitas diskret bersama dari variabel random berdimensi n,

X X

X X didefinisikan sebagai

, , . . .,

= ( n )

2 f x , x , . . ., x P X x , X x , . . ., X x

= = = = ( n ) ( n n )

2 Untuk semua kemungkinan nilai x x , x , . . ., x dari X.

( n )

2 Definisi (2.2.1) menyatakan bahwa distribusi probabilitas bersama untuk

variabel random diskret merupakan suatu tabel atau rumus yang mendaftarkan semua kemungkinan nilai x x , x , . . ., x bagi variabel random diskret X

= ( )

1 2 n dengan probabilitasnya yang sesuai.

Berikut ini didefinisikan distribusi probabilitas marginal untuk variabel random diskret yaitu:

Definisi 2.2.2

Variabel random diskret

X X ,

X , . . .,

X memiliki probabilitas bersama

( n )

2 f x , x , . . ., x dengan fungsi probabilitas marginal dari X , X , . . .,

X ( n ) ⁿ

yaitu

f x . . . f x , x , .. ., x

( ) = ∑∑ ∑ ( )

1 _{x x x}

1 2 n ∀ ∀ ² ^{3 ∀ n} f x . . . f x , x , .. ., x

( ) = ∑∑ ∑ ( )

1 2 n ∀ ∀ x x ∀ x ₁ _{3 n} .

. .

f x f x x x

_{n ( ) n = ∑∑ ∑ ( n )} . . . , , .. ., _{x x x}

2 ∀ ∀ ∀ n ₁

_{2 −}

₁ Definisi 2.2.3

Variabel random diskret

X X , X , . . ., X didefinisikan pada ruang

= ( n )

probabilitas sehingga fungsi distribusi bersama

X , X , . . ., X didefinisikan _n

sebagai berikut

F x , x , . . ., x P X x , X x , . . ., X x _X _X _{X ( n ) ( n n )} = ≤ ≤ ≤ ₁ ₂ . . . n

2 Definisi 2.2.4

Misalkan

X dan X variabel random diskret dengan fungsi probabilitas

gabungannya p ( x , x ) serta fungsi probabilitas marginalnya p ( x ) dan

1 p x

X x

( ) . Probabilitas bersyarat untuk dengan yaitu

2 p x x p

X x

| ( | )

( ) = = =

p X x X x

( , )

= =

2 p x x

( ) =

2 p ( X x )

2 p x x

( , )

2 = p ( x )

dan probabilitas bersyarat untuk

X jika

X x yaitu =

1 p x | x p ( X x | X x )

= = = ( )

1 p ( X x , X x )

= =

2 = p ( X x )

1 p ( x , x )

2 = p ( x )

1 Definisi 2.2.5

X X

Misalkan dan saling independen, dengan fungsi probabilitas gabungan

diskret p ( x , x ) serta fungsi probabilitas marginalnya p ( x ) dan p ( x )

maka

p x , x p ( x ) p ( x ) ( ) =

2 x x untuk semua bilangan real ( , ) .

2. Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama

Fungsi densitas probabilitas kontinu dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.2.6

Fungsi f x , x , . . ., x adalah fungsi densitas bersama n variabel random jika

( )

1 2 n

memenuhi syarat-syarat berikut ini: dan

∞ +∞

. . . f x , . .. , x dx .. . dx

( ) = 1 n 1 n

∫ ∫ − ∞ − ∞

dan fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinu dapat didefinisikan pula sebagai berikut:

Definisi 2.2.7

X X

Variabel random berdimensi n, , , . . ., kontinu jika terdapat

= ( )

1 2 n f x x x

fungsi , , . . ., yang disebut fungsi densitas bersama dari X

( )

1 2 n

sedemikian rupa sehingga fungsi distribusi kumulatifnya _{x x} _n ₁ F x , x , . .. , x . . . f t , . .. , t dt .. . dt

( ) = ( )

1 2 n 1 n 1 n

∫ ∫

− ∞ − ∞

Definisi 2.2.8

Variabel random kontinu

X dan X dengan fungsi densitas bersama

2 f x , x memiliki fungsi densitas marginal untuk X dan X yaitu

(

1 2 )

f x f x x dx

( ) = ( )

1 1 ∫

2 − ∞

f x f x , x dx

( ) ( )

2 2 ∫

1 − ∞

Definisi 2.2.9

Variabel random kontinu

X X ,

X , . . .,

X memiliki fungsi densitas

∞ ∞ −
∞ ∞ &mi
∞ ∞ −

    

) , ( |

) ( ) (

> = selainnya x f x f x x f x x f

( )

2 x yaitu

2 =

X dengan

2 x f . Probabilitas bersyarat untuk

dan ) (

1 x f

serta fungsi probabilitas marginalnya ) (

X dan X saling independen, dengan fungsi densitas gabungannya

Misalkan

) , ( |

dan probabilitas bersyarat untuk

) ( ) (

> = selainnya x f x f x x f x x f

    

( )

1 x yaitu

1 =

2 X jika

1 x x f

bersama

∞ + ∞ − ∞ + ∞ −

. . . ., . . , , ...

= = _{n n} ^{n n} dx dx dx x x x f x f dx dx dx x x x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ −

X yaitu ( ) ( ) ( ) ( )

., _n

2 X , . .

1 X ,

dengan fungsi probabilitas marginal dari

( ) n ., x x x f . . , ,

gabungannya ) , (

2 X variabel random kontinu dengan fungsi densitas

1 X dan

Misalkan

Definisi 2.2.10

n n n n

dx dx dx x x x f x f

. . .

1 . . . ., .. , , ...

− =

∞ + ∞ − ∞ + ∞ −

∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ −

1 ( ) ( )

2 Definisi 2.2.11

f x x serta fungsi densitas marginalnya f x dan f x maka

( , ) ( ) ( )

2 f x , x f ( x ) f ( x )

= (

2 )

2 untuk semua bilangan real ( x , x ) .

2 C. Nilai Harapan dan Variansi

Nilai harapan untuk variabel random X, dinotasikan dengan E

X dan [ ]

didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.3.1 p x

Misalkan X adalah variabel random diskret dengan fungsi probabilitas maka

( ) E

nilai harapan dari X, , yaitu

[ ] _n E X x p x

= ∑ ( ) [ ] i i _i

1 =

Misalkan X variabel random kontinu dengan nilai x yang memiliki fungsi densitas

f x maka nilai harapan untuk X, E X , yaitu ( ) [ ]

E X x f x dx x = ( ) − ∞ < < +∞

[ ] ∫

− ∞

MODEL ASURANSI JIWA DENGAN BERBAGAI KEMUNGKINAN KEJADIAN PENGHENTIAN SKRIPSI