SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN TULIS 2017

  (http:// www .catatan m ate m atika.co m )

   

  2

  ) + f(1 – x

  2

  ) (D). f(1 – x

  2

  ).f(1 – x

  2

  . . . (A). f(1 – x

  1 x f x f

  2

  1

      2 2

  , maka

  x

  Jika f(x) = b

  = y Kunci: D 2.

      

  2

y y

y

y x

  ) (B). f(1 – x

  ).f(x

     

  1 x x b b

  Teori: SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN TULIS 2017 UNIVERSITAS GAJAH MADA ( UGM ) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA IPA KODE : 814

JUMLAH SOAL : 15 SOAL

  1 2 2   x x b b

  1

  = ) )( (

  1 2 2    x x b b

  ) 1 (

  =

   

  1

  2

  = 2 2

   

  1 x f x f

  1

  Pembahasan:     2 2

  2

  2

  2

  2

  =

) (

2

lim

  

2

y x

y

y x

  1.

  (A). – 1 (B). 1 (C). 0 (D). y (E). – y

       

  2  

  2

  2

  2 tan tan lim

  1

  . tan tan

  Pembahasan:   y x y y x y x y x

      = . . .

  =

       

  2  

  2

  2

  2 tan tan lim

  1

  . tan tan

    y x y y x y x y x

     

  ) tan . tan 1 ( tan tan .

  2 lim

  2

    = ) (

     

  

2

y x y x y x y y x

  2 lim

  ) )( ( ) tan( .

    =

  

  2 y x y x

y

y x

  2

  

2

  2 lim

  = ) tan( .

   

    

       

  2 y x y x y

y x

y x

  2

  2

  

1

lim

  • – 1) (E). f(x
  • – 1) + f(x
  • – 1) (C). f(x
  • – 1).f(x
  • – 1)

  2 ,

  3  

  3.   . Jarak parabola y = x Diberikan garis lurus melalui (0, - 2) dan – 1 ke garis tersebut adalah ...

  2  

  5

  2

  1

  1

  1 (A). (B). (C). (D). (E).

  6

  3

  2

  3

  6 Pembahasan: Teori:

  a. Gradien garis lurus melalui titik (x , y ) dan (x , y ) adalah

  1

  1

  2

  2

  b. Jarak titik (x , y ) ke garis ax + by + c = 0 adalah

  1

  1

  c. Jarak garis g terhadap parabola adalah jarak garis g ke garis singgung parabola tersebut yang sejajar dengan garis g.

  4

  3  

  ,

  Gradien garis lurus melalui (0, - 2) dan   adalah dan persamaan garisnya 4x – 3y – 6 = 0

  2  

  3

  dy

2 Persamaan kurva y = x – 1  = 2x

  dx dy

  = m

  dx

  4 2x =

  3

  2

  2 

  2 

  5 x = dan y = 

  1 =   

  3

  3

  9

   

  2

  5 Jarak garis ke parabola adalah jarak garis 4x – 3y – 6 = 0 ke titik ( ,  )

  3

  9

  2

  5 4 .  3 .(  ) 

  6

  1

  3

  9

  ; Kunci : D

    2 2

  3   4 ( 3 )

     u v w

  4. = (1, -1, 2) dan = (-1, 1, -1). Jika mempunyai panjang satu dan tegak Diberikan dua vektor

     u v w lurus dengan vektor dan , maka = … . . .

  1

  1

  2

  1

  2   

2 ,

2 , , ,      

  (A). (1, 0, 0) (C). (E).

  2

  2

  3

  3

  3    

  1

  1

  2

  

1

  2     2 , 2 , , ,    

  (B). (D).

  2

  2

  3

  

3

  3     Pembahasan: Teori:

  a. panjang adalah

  b. Jika 

  Misal, w  ( x , y , z ) maka:

  

  2

  2

  2

  2

  2

  2 wxyz  1  x + y + z = 1 …. Persamaan (1)

     

  uw maka u .  w

  (1, -1, 2)(x, y, z) = 0  x – y + 2z = 0 …… Persamaan (2)    

  vw maka v .  w Jumlahkan persamaan (2) dan persamaan (3) x – y + 2z = 0

  • x + y – z = 0 + z = 0 substitusi ke persamaan (1) dan persamaan (2)

  2

  2

  x + y = 1 x – y = 0  x = y

  2

  2

  y + y = 1

  2

  2y = 1

  1  y = karena x = y maka ada 2 kemungkinan yaitu:

   2 w  ( x , y , z )

  2

  

  1 1 

  1

  1

  atau ; Kunci: B

  w  (  2 ,  2 , ) w  ( 2 , 2 , )

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  6 5.

  x + sin 2x.sin x + sin 2x.sin x + . . . dengan 0 Diberikan suatu deret geometri tak hingga sin 2x.sin

  

  < x ≤ . Nilai maksimum deret geometri tak hingga tersebut adalah …

  4

  (A). 32 (B). 16 (C). 8 (D). 4 (E). 1

  Pembahasan: Teori:

  Pada barisan geometri berlaku: a.

  b.

4 U

  sin 2 x . sin x

  2

  2

  2

  a = sin 2x.sin x dan r = = = sin x

  2 U sin 2 x . sin x

  1 a s

  

  1  r

  2 sin 2 x . sin x s

  

  2 1  sin x

  2 2 sin x . cos x . sin x s

  

  2 cos x

  2 s

  2 tan x . sin x

   d

  1

  2 s  2 . . sin x  2 . sin x . cos x .

2 tan x

  

  2 dx cos x d

  2

  2 s

  2 . tan x  4 sin x , trigonometrinya berbentuk kuadrat dan koefisien semua positif maka:

   dx

  2

  2

  2 . tan x  4 sin x > 0 sehingga disimpulkan:

  2   sx x selalu naik pada interval 0 < x ≤ dan nilai maksimum di x = .

  2 tan . sin

  

  4

  4  

  2 s

  2 tan . sin

  

  4

  4

  2

  1   s  2 . 1 . 2 = 1; Kunci: E

    

  2  

             u a i j 2 k v i j k w u v

  6.    dan     . Jika tegak lurus vektor dan dengan Diketahui vektor – vektor

   w panjang vektor adalah 3, maka jumlah nilai – nilai a yang memenuhi adalah . . .

  (A). 0 (B). 1 (C). 3 (D). 4 (E). 5

  Pembahasan: Teori:

  Jika maka dan

   

  Diketahui   dan   maka:

  u w u w

   

  w   u x v i j k i j

   wa

  1 2 a

  1  1  1  1  1 

  1

  

  w i j ak k i aj

   (   2  )  (   2  ) 

  wi  ( a

  2 ) j  ( 1  a ) k

  2

  2

  2

  | w |  3 

  1  ( a  2 )  ( 1  a ) 

  3

  2

  2a – 6a + 6 = 9

  2

  2a – 6a – 3 = 0  b  

  ( 6 ) Jumah nilai a yang mungkin adalah a

  1 + a 2 =  

  3 ; Kunci: C

  

a

  2 7. Banyak bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, …, 9 dan habis dibagi 5 adalah . . .

  (A). 136 (B). 144 (C). 128 (D). 162 (E). 180

  Pembahasan: Syarat suatu bilangan habis dibagi 5 adalah satuan bilangan tersebut harus 0 dan 5.

   Pilih angka ratusan dari (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)  Pilih angka satuan dari (0, 5), tapi ingat saat angka ratusan = 5 maka angka satuan yang mungkin hanya 0.

  Ratusan Satuan (0, 5) Puluhan Banyak Cara

  1 2 cara 8 cara 16 cara 2 2 cara 8 cara 16 cara 3 2 cara 8 cara 16 cara 4 2 cara 8 cara 16 cara 5 1 cara saja yaitu 0 8 cara 8 cara 6 2 cara 8 cara 16 cara 7 2 cara 8 cara 16 cara 8 2 cara 8 cara 16 cara 9 2 cara 8 cara 16 cara

  Seluruhnya 136 cara Kunci: A

  3

  2

  8. + 2x + px Jika salah satu akar persamaan x – 6 = 0 adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ...

  (A). – 4 (B). – 2 (C). 1 (D). 2 (E). 6

  Pembahasan:

  3

2 Teori: Diketahui ax + bx + cx + d = 0 akar-akarnya x , x , x maka x + x + x =

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  x

  1 + x 2 + x 3 = -2

  2 + x

  2 + x 3 = -2

   2 x  1  2 f x 2 x

  Jika

  3 9.    , maka nilai dari f’(0) adalah . . .

    x

  3  

  1

  3

  1  2  1 

  1 (A). (B). – 2 (C). (D). – 1 (E).

  4

  4

  4 Pembahasan: Teori: Jika maka

   2 x  1  2 f x 2 x

  3      x

  3  

   x   

  2

  1

  7

  fx

  . '

  2

  2

  2   xx

  ( 3 )

  3  

   1   

   2 .( ) 1  

  7

  1

  1

  2   x =  f

    

   . '

  2 .( )

  2

  2

  1

  2 

  1 

  2    

  ( 3 )

  3    

  2

  2 

  4 

  . f '  

  1

  7

  7

  3 Kunci : C

  f '      

  1 ;

  4

  4 10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah . . .

  4

  3

  4

  3

  8

  3

  3

  2

  2 (A). (B). (C). (D). (E).

  3

  4

  3

  4

  3 Pembahasan:

  Perhatikan  GCK siku-siku di C berlaku

  H G

  teorema phythagoras:

  2

  2

  2 GK = CK + CG

  2

  2

  2 F

  GK = ( ) + 4

  2

  2 E

  GK =

  2

  6 4 cm L

  Luas  GCK

  1

  1 . CL . GK  . CK . CG D

  2

  2 C

  1

  1

  4 cm K . CL .

  2 6  .

  2 2 .

  4

  2

  2 A

  B 4 cm

  4

  2

  6 CLx

  Jarak titik C ke bidang BDG adalah CL =

  6

  6

  …?

  4 CL  3 ; Kunci: A AC =

  4 2 ;

  3

  1 CK  .AC

  2 CK 

  2

  2

  2 11.

  y adalah … Diketahui dua bilangan riil positif x dan y. Jika x + 2y = 20, maka nilai maksimum dari x 16000 16000 4000 1600 400

  (A). (B). (C). (D). (E).

  27

  27

  27

  9

  9 Pembahasan: x + 2y = 20 10 y = atau y = 10 x = 20 – 2y

  3

2 L = x y

  2

  10 L = (20 .y

  • – 2y) y = maka:

  2

  3

  3 L = 400y – 80y + 4y

  10 10 16000 L’ = 0

  2 L = (20 – 2. ) . = ;

  2

  400 = 0

  • – 160y + 12y

  3

  3

  27

  2

  3y – 40y + 100 = 0

  Kunci: B

  (3y – 10)(y – 10) = 0

  4 12. , dan tan B = 7, maka A + B = . . .

  Jika tan A =

  3

  (A). 45 (B). 135 (C). 150 (D). 225 (E). 330

  Pembahasan:

  4 

  7 tan A  tan B

  3 tan( AB )   tan( AB ) 

  4 1  tan A . tan B 1  .

  7

  3

  25

  3 A

  tan(  B ) 

  25

  

  3

  tan( AB )  

  1

  o Kunci: B

  A + B = 135 ; 13. dan x . Jika 12, x , x membentuk barisan aritmetika dan x ,

  Diberikan bilangan – bilangan positif x

  1

  

2

  1

  2

  1 x , 4 membentuk barisan geometri, maka x + x adalah . . .

  2

  1

  

2

  (A). 6 (B). 8 (C). 10 (D). 13 (E). 15

  Pembahasan: Teori:

  a. pada barisan aritmetika U , U , U , …, U berlaku 2U = U + U

  1

  2 3 n

  2

  1

  3

  b. pada barisan geometri U , U , U , …, U berlaku

  1

  2 3 n

  2 Barisan Aritmetika: 12, x , x maka: (x ) = 2(x + 12)

  1

  2

  2

  2

  2

  2x = x + 12 (x )

  1

  2 2 – 2.x 2 – 24 = 0

  Barisan Geometri: x

  1 , x 2 , 4 maka: (x 2 – 6)(x 2 + 4) = 0

  2

  (x ) = 4.x x = 6 maka x = 9

  2

  1

  2

  1

  2

  (x ) = 2.2x x + x = 15; Kunci: E

  2

  1

  1

  2

  2

  2 14.

  : x + y – 2x – 2y – 2 = 0 dan L : Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran L

  1

  2

  2

  2 x + y + 2x – 6y + 6 = 0 serta berpusat pada garis g : x – 2y = 5 adalah . . .

  2

  2

  2

  2

  (A). x + y (D). x + y + 6x + 8y

  • – 6x + 2y – 5 = 0
  • – 10 = 0

  2

  2

  2

  2

  (B). x + y – 6x + 2y – 10 = 0 (E). x + y + 6x + 8y = 0

  2

  2

  (C). x + y + 6x + 8y – 5 = 0

  Pembahasan: Teori: Untuk menentukan titik potong dua lingkaran yaitu kurangkan kedua persamaan

  lingkaran maka diperoleh persamaan yang baru kemudian substitusi persamaan tersebut ke salah satu persamaan lingkaran. L

  1 – L 2 = 0

  2

  2

  x + y – 2x – 2y – 2 = 0

  2

  2

  x + y + 2x – 6y + 6 = 0 _

  4y = 4x + 8

  2

  2

  y = x + 2 substitusi ke L

  1 : x + y – 2x – 2y – 2 = 0

  2

  2

  x + (x + 2) – 2x – 2(x + 2) – 2 = 0

  2

  2

  x + x + 4x + 4 – 2x – 2x – 4 – 2 = 0

  2

  2x – 2 = 0 2(x + 1)(x – 1) = 0 x = -1, x = 1

  1

  2

  y = 1, y = 3

  1

2 Titik pusat lingkaran (a, b) terletak pada garis x

  • – 2y = 5  a – 2b = 5  a = 2b + 5 (a, b) = (2b + 5, b) Jarak titik (-1, 1) ke titik (2b + 5, b) dan jarak titik (1, 3) ke titik (2b + 5, b) adalah sama, maka:

  2

  2

  2

  2

  (2b + 5 + (b = (2b + 5 + (b

  • – (-1)) – 1) – 1) – 3)

  2

  2

  2

  2

  4b + 24b + 36 + b – 2b + 1 = 4b + 16b + 16 + b – 6b + 9 12b = -12 b = -1  a = 2b + 5 = 3 Persamaan Lingkaran berpusat di (3, -1) dan melalui titik (-1, 1) adalah:

  2

  2

  2

  2

  (x – 3) + (y + 1) = (-1 – 3) + (1 + 1)

  2

  2

  x – 6x + 9 + y + 2y + 1 = 20

  2

  2

  x + y – 6x + 2y – 10 = 0; Kunci: B 15. Semua nilai x yang memenuhi |x| + |x – 2| > 3 adalah …

  5

  

1

  5

  3

  5  

  (A) x < – 1 atau x > (C) x < atau x > (E) x < atau x >

  2

  

2

  2

  2

  2

  1 

  (B) x < atau x > 3 (D) x < – 1 atau x > 3

2 Pembahasan:

  Teori:

  |a| = a, jika a  0 |a| = -a, jika a  0

  |x| = x, jika x  0 |x| = -x, jika x  0 |x

  • – 2| = x – 2, jika x  2 |x – 2| = -x + 2, jika x  2

  a) Jika x  0, maka:

  |x| + |x – 2| > 3

  • x + -x + 2 > 3

  1 

  • 2x > 1  x < (memenuhi)

  2

  b) Jika 0  x  2, maka:

  |x| + |x – 2| > 3 x + -x + 2 > 3 2 > 3 (tidak diperoleh solusi)

  c) Jika x  2, maka:

  |x| + |x – 2| > 3 x + x – 2 > 3

  5

  2x > 5  x > (memenuhi)

  2

  1

  5  Kunci: C

  maka nilai x yang memenuhi adalah x < atau x > ;

  2

  2 Dapatkan update terbaru di Facebook : https://www.facebook.com/catatanmatematika