SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN TULIS 2017
(http:// www .catatan m ate m atika.co m )
2
) + f(1 – x
2
) (D). f(1 – x
2
).f(1 – x
2
. . . (A). f(1 – x
1 x f x f
2
1
2 2
, maka
x
Jika f(x) = b
= y Kunci: D 2.
2
y y
y
y x) (B). f(1 – x
).f(x
1 x x b b
Teori: SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN TULIS 2017 UNIVERSITAS GAJAH MADA ( UGM ) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA IPA KODE : 814
JUMLAH SOAL : 15 SOAL
1 2 2 x x b b
1
= ) )( (
1 2 2 x x b b
) 1 (
=
1
2
= 2 2
1 x f x f
1
Pembahasan: 2 2
2
2
2
2
=
) (
2
lim
2
y xy
y x1.
(A). – 1 (B). 1 (C). 0 (D). y (E). – y
2
2
2
2 tan tan lim
1
. tan tan
Pembahasan: y x y y x y x y x
= . . .
=
2
2
2
2 tan tan lim
1
. tan tan
y x y y x y x y x
) tan . tan 1 ( tan tan .
2 lim
2
= ) (
2
y x y x y x y y x2 lim
) )( ( ) tan( .
=
2 y x y x
y
y x2
2
2 lim
= ) tan( .
2 y x y x y
y x
y x2
2
1
lim- – 1) (E). f(x
- – 1) + f(x
- – 1) (C). f(x
- – 1).f(x
- – 1)
2 ,
3
3. . Jarak parabola y = x Diberikan garis lurus melalui (0, - 2) dan – 1 ke garis tersebut adalah ...
2
5
2
1
1
1 (A). (B). (C). (D). (E).
6
3
2
3
6 Pembahasan: Teori:
a. Gradien garis lurus melalui titik (x , y ) dan (x , y ) adalah
1
1
2
2
b. Jarak titik (x , y ) ke garis ax + by + c = 0 adalah
1
1
c. Jarak garis g terhadap parabola adalah jarak garis g ke garis singgung parabola tersebut yang sejajar dengan garis g.
4
3
,
Gradien garis lurus melalui (0, - 2) dan adalah dan persamaan garisnya 4x – 3y – 6 = 0
2
3
dy
2 Persamaan kurva y = x – 1 = 2x
dx dy
= m
dx
4 2x =
3
2
2
2
5 x = dan y =
1 =
3
3
9
2
5 Jarak garis ke parabola adalah jarak garis 4x – 3y – 6 = 0 ke titik ( , )
3
9
2
5 4 . 3 .( )
6
1
3
9
; Kunci : D
2 2
3 4 ( 3 )
u v w
4. = (1, -1, 2) dan = (-1, 1, -1). Jika mempunyai panjang satu dan tegak Diberikan dua vektor
u v w lurus dengan vektor dan , maka = … . . .
1
1
2
1
2
2 ,
2 , , , (A). (1, 0, 0) (C). (E).
2
2
3
3
3
1
1
2
1
2 2 , 2 , , ,
(B). (D).
2
2
3
3
3 Pembahasan: Teori:
a. panjang adalah
b. Jika
Misal, w ( x , y , z ) maka:
2
2
2
2
2
2 w x y z 1 x + y + z = 1 …. Persamaan (1)
u w maka u . w
(1, -1, 2)(x, y, z) = 0 x – y + 2z = 0 …… Persamaan (2)
v w maka v . w Jumlahkan persamaan (2) dan persamaan (3) x – y + 2z = 0
- x + y – z = 0 + z = 0 substitusi ke persamaan (1) dan persamaan (2)
2
2
x + y = 1 x – y = 0 x = y
2
2
y + y = 1
2
2y = 1
1 y = karena x = y maka ada 2 kemungkinan yaitu:
2 w ( x , y , z )
2
1 1
1
1
atau ; Kunci: B
w ( 2 , 2 , ) w ( 2 , 2 , )
2
2
2
2
2
4
6 5.
x + sin 2x.sin x + sin 2x.sin x + . . . dengan 0 Diberikan suatu deret geometri tak hingga sin 2x.sin
< x ≤ . Nilai maksimum deret geometri tak hingga tersebut adalah …
4
(A). 32 (B). 16 (C). 8 (D). 4 (E). 1
Pembahasan: Teori:
Pada barisan geometri berlaku: a.
b.
4 U
sin 2 x . sin x
2
2
2
a = sin 2x.sin x dan r = = = sin x
2 U sin 2 x . sin x
1 a s
1 r
2 sin 2 x . sin x s
2 1 sin x
2 2 sin x . cos x . sin x s
2 cos x
2 s
2 tan x . sin x
d
1
2 s 2 . . sin x 2 . sin x . cos x .
2 tan x
2 dx cos x d
2
2 s
2 . tan x 4 sin x , trigonometrinya berbentuk kuadrat dan koefisien semua positif maka:
dx
2
2
2 . tan x 4 sin x > 0 sehingga disimpulkan:
2 s x x selalu naik pada interval 0 < x ≤ dan nilai maksimum di x = .
2 tan . sin
4
4
2 s
2 tan . sin
4
4
2
1 s 2 . 1 . 2 = 1; Kunci: E
2
u a i j 2 k v i j k w u v
6. dan . Jika tegak lurus vektor dan dengan Diketahui vektor – vektor
w panjang vektor adalah 3, maka jumlah nilai – nilai a yang memenuhi adalah . . .
(A). 0 (B). 1 (C). 3 (D). 4 (E). 5
Pembahasan: Teori:
Jika maka dan
Diketahui dan maka:
u w u w
w u x v i j k i j
w a
1 2 a
1 1 1 1 1
1
w i j ak k i aj
( 2 ) ( 2 )
w i ( a
2 ) j ( 1 a ) k
2
2
2
| w | 3
1 ( a 2 ) ( 1 a )
3
2
2a – 6a + 6 = 9
2
2a – 6a – 3 = 0 b
( 6 ) Jumah nilai a yang mungkin adalah a
1 + a 2 =
3 ; Kunci: C
a
2 7. Banyak bilangan tiga digit yang berbeda yang disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, …, 9 dan habis dibagi 5 adalah . . .
(A). 136 (B). 144 (C). 128 (D). 162 (E). 180
Pembahasan: Syarat suatu bilangan habis dibagi 5 adalah satuan bilangan tersebut harus 0 dan 5.
Pilih angka ratusan dari (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Pilih angka satuan dari (0, 5), tapi ingat saat angka ratusan = 5 maka angka satuan yang mungkin hanya 0.
Ratusan Satuan (0, 5) Puluhan Banyak Cara
1 2 cara 8 cara 16 cara 2 2 cara 8 cara 16 cara 3 2 cara 8 cara 16 cara 4 2 cara 8 cara 16 cara 5 1 cara saja yaitu 0 8 cara 8 cara 6 2 cara 8 cara 16 cara 7 2 cara 8 cara 16 cara 8 2 cara 8 cara 16 cara 9 2 cara 8 cara 16 cara
Seluruhnya 136 cara Kunci: A
3
2
8. + 2x + px Jika salah satu akar persamaan x – 6 = 0 adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ...
(A). – 4 (B). – 2 (C). 1 (D). 2 (E). 6
Pembahasan:
3
2 Teori: Diketahui ax + bx + cx + d = 0 akar-akarnya x , x , x maka x + x + x =
1
2
3
1
2
3
x
1 + x 2 + x 3 = -2
2 + x
2 + x 3 = -2
2 x 1 2 f x 2 x
Jika
3 9. , maka nilai dari f’(0) adalah . . .
x
3
1
3
1 2 1
1 (A). (B). – 2 (C). (D). – 1 (E).
4
4
4 Pembahasan: Teori: Jika maka
2 x 1 2 f x 2 x
3 x
3
x
2
1
7
f x
. '
2
2
2 x x
( 3 )
3
1
2 .( ) 1
7
1
1
2 x = f
. '
2 .( )
2
2
1
2
1
2
( 3 )
3
2
2
4
. f '
1
7
7
3 Kunci : C
f '
1 ;
4
4 10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah . . .
4
3
4
3
8
3
3
2
2 (A). (B). (C). (D). (E).
3
4
3
4
3 Pembahasan:
Perhatikan GCK siku-siku di C berlaku
H G
teorema phythagoras:
2
2
2 GK = CK + CG
2
2
2 F
GK = ( ) + 4
2
2 E
GK =
2
6 4 cm L
Luas GCK
1
1 . CL . GK . CK . CG D
2
2 C
1
1
4 cm K . CL .
2 6 .
2 2 .
4
2
2 A
B 4 cm
4
2
6 CL x
Jarak titik C ke bidang BDG adalah CL =
6
6
…?
4 CL 3 ; Kunci: A AC =
4 2 ;
3
1 CK .AC
2 CK
2
2
2 11.
y adalah … Diketahui dua bilangan riil positif x dan y. Jika x + 2y = 20, maka nilai maksimum dari x 16000 16000 4000 1600 400
(A). (B). (C). (D). (E).
27
27
27
9
9 Pembahasan: x + 2y = 20 10 y = atau y = 10 x = 20 – 2y
3
2 L = x y
2
10 L = (20 .y
- – 2y) y = maka:
2
3
3 L = 400y – 80y + 4y
10 10 16000 L’ = 0
2 L = (20 – 2. ) . = ;
2
400 = 0
- – 160y + 12y
3
3
27
2
3y – 40y + 100 = 0
Kunci: B
(3y – 10)(y – 10) = 0
4 12. , dan tan B = 7, maka A + B = . . .
Jika tan A =
3
(A). 45 (B). 135 (C). 150 (D). 225 (E). 330
Pembahasan:
4
7 tan A tan B
3 tan( A B ) tan( A B )
4 1 tan A . tan B 1 .
7
3
25
3 A
tan( B )
25
3
tan( A B )
1
o Kunci: B
A + B = 135 ; 13. dan x . Jika 12, x , x membentuk barisan aritmetika dan x ,
Diberikan bilangan – bilangan positif x
1
2
1
2
1 x , 4 membentuk barisan geometri, maka x + x adalah . . .
2
1
2
(A). 6 (B). 8 (C). 10 (D). 13 (E). 15
Pembahasan: Teori:
a. pada barisan aritmetika U , U , U , …, U berlaku 2U = U + U
1
2 3 n
2
1
3
b. pada barisan geometri U , U , U , …, U berlaku
1
2 3 n
2 Barisan Aritmetika: 12, x , x maka: (x ) = 2(x + 12)
1
2
2
2
2
2x = x + 12 (x )
1
2 2 – 2.x 2 – 24 = 0
Barisan Geometri: x
1 , x 2 , 4 maka: (x 2 – 6)(x 2 + 4) = 0
2
(x ) = 4.x x = 6 maka x = 9
2
1
2
1
2
(x ) = 2.2x x + x = 15; Kunci: E
2
1
1
2
2
2 14.
: x + y – 2x – 2y – 2 = 0 dan L : Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran L
1
2
2
2 x + y + 2x – 6y + 6 = 0 serta berpusat pada garis g : x – 2y = 5 adalah . . .
2
2
2
2
(A). x + y (D). x + y + 6x + 8y
- – 6x + 2y – 5 = 0
- – 10 = 0
2
2
2
2
(B). x + y – 6x + 2y – 10 = 0 (E). x + y + 6x + 8y = 0
2
2
(C). x + y + 6x + 8y – 5 = 0
Pembahasan: Teori: Untuk menentukan titik potong dua lingkaran yaitu kurangkan kedua persamaan
lingkaran maka diperoleh persamaan yang baru kemudian substitusi persamaan tersebut ke salah satu persamaan lingkaran. L
1 – L 2 = 0
2
2
x + y – 2x – 2y – 2 = 0
2
2
x + y + 2x – 6y + 6 = 0 _
4y = 4x + 8
2
2
y = x + 2 substitusi ke L
1 : x + y – 2x – 2y – 2 = 0
2
2
x + (x + 2) – 2x – 2(x + 2) – 2 = 0
2
2
x + x + 4x + 4 – 2x – 2x – 4 – 2 = 0
2
2x – 2 = 0 2(x + 1)(x – 1) = 0 x = -1, x = 1
1
2
y = 1, y = 3
1
2 Titik pusat lingkaran (a, b) terletak pada garis x
- – 2y = 5 a – 2b = 5 a = 2b + 5 (a, b) = (2b + 5, b) Jarak titik (-1, 1) ke titik (2b + 5, b) dan jarak titik (1, 3) ke titik (2b + 5, b) adalah sama, maka:
2
2
2
2
(2b + 5 + (b = (2b + 5 + (b
- – (-1)) – 1) – 1) – 3)
2
2
2
2
4b + 24b + 36 + b – 2b + 1 = 4b + 16b + 16 + b – 6b + 9 12b = -12 b = -1 a = 2b + 5 = 3 Persamaan Lingkaran berpusat di (3, -1) dan melalui titik (-1, 1) adalah:
2
2
2
2
(x – 3) + (y + 1) = (-1 – 3) + (1 + 1)
2
2
x – 6x + 9 + y + 2y + 1 = 20
2
2
x + y – 6x + 2y – 10 = 0; Kunci: B 15. Semua nilai x yang memenuhi |x| + |x – 2| > 3 adalah …
5
1
5
3
5
(A) x < – 1 atau x > (C) x < atau x > (E) x < atau x >
2
2
2
2
2
1
(B) x < atau x > 3 (D) x < – 1 atau x > 3
2 Pembahasan:
Teori:
|a| = a, jika a 0 |a| = -a, jika a 0
|x| = x, jika x 0 |x| = -x, jika x 0 |x
- – 2| = x – 2, jika x 2 |x – 2| = -x + 2, jika x 2
a) Jika x 0, maka:
|x| + |x – 2| > 3
- x + -x + 2 > 3
1
- 2x > 1 x < (memenuhi)
2
b) Jika 0 x 2, maka:
|x| + |x – 2| > 3 x + -x + 2 > 3 2 > 3 (tidak diperoleh solusi)
c) Jika x 2, maka:
|x| + |x – 2| > 3 x + x – 2 > 3
5
2x > 5 x > (memenuhi)
2
1
5 Kunci: C
maka nilai x yang memenuhi adalah x < atau x > ;
2
2 Dapatkan update terbaru di Facebook : https://www.facebook.com/catatanmatematika