PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS INFINITE IMPULSE RESPONSE TUGAS AKHIR - Program simulasi untuk realisasi struktur filter infinite impulse response - USD Repository

PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS

INFINITE IMPULSE RESPONSE TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Program Studi Teknik Elektro Oleh: Nama : Teresia Herlina Bintari NIM : 025114020 PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS

SIMULATION PROGRAM FOR THE REALIZATION OF

STRUCTURE OF INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTER

FINAL PROJECT

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Sarjana Teknik Degree

In Electrical Engineering Study Program

By:

Name : Teresia Herlina Bintari

Student ID Number : 025114020

ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING

FACULTY OF ENGINEERING

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

HALAMAN PERSEMBAHAN

Kupersembahkan karya tulis ini kepada :

Tuhan Yesus Kristus terkasih,

Bapak dan Ibu Tercinta,

Kedua saudaraku Tanto dan Moko tercinta,

Keluarga besarku tercinta,

Kekasihku tersayang,

Almamaterku Teknik Elektro USD

HALAMAN MOTTO

Kesabaran adalah obat terbaik untuk semua masalah

Dalam setiap kesusahanku kurasakan berkat-Mu tuhan

Jangan ada kata putus asa, selalu masih ada jalan menuju

masa depan.

INTISARI

Tugas akhir ini mendeskripsikan tentang program simulasi untuk realisasi tapis

infinite impulse response (IIR). Program simulasi akan mensimulasikan tahap-tahap

perancangan tapis IIR, dari penentuan spesifikasi, perhitungan koefisien tapis, relisasi struktur dan perhitungan finite wordlength effect.

Program akan menghitung koefisien tapis dari spesifikasi masukan dan merepresentasikan koefisien tapis tersebut menjadi jumlah bit tertentu (kuantisasi). Perhitungan koefisien tapis IIR menggunakan metode Peletakan Pole Zero dan metode Impulse Invariant. Koefisien tapis yang terkuantisasi kemudian direalisasikan dalam bentuk struktur, struktur yang digunakan untuk merealisasikan tapis IIR adalah struktur bentuk langsung dan struktur bentuk kaskade. Dari tapis yang telah direalisasikan dalam bentuk struktur tersebut kemudian dihitung finite wordlength effect yaitu coefficient quantization errors.

Program simulasi untuk realisasi struktur tapis IIR telah diimplementasikan dan dilakukan pengujian untuk mengamati kinerja tapis hasil perancangan. Kinerja tapis hasil perancangan diamati dari kurva tanggapan frekuensi yang merupakan spesifikasi aktual dari program simulasi. Hasil yang diperoleh adalah metode Peletakan Pole Zero merupakan metode yang paling baik untuk merancang tapis. Frekuensi sampling yang besar dapat meningkatkan kinerja tapis, dan jumlah bit yang terbatas dapat menurunkan kinerja tapis.

Kata kunci : tapis IIR, perhitungan koefisien tapis, realisasi struktur

ABSTRACT

This Final project describes the simulation program for the realization of structure of infinite impulse response (IIR) filter. Simulation Program will simulate how to design the IIR filter from determination specification, calculation of filter coefficient, structure realization and the calculation of wordlength effect.

Program will calculate the filter coefficient from input specification and represented by a fixed number of bit (quantization). Calculation of IIR filter coefficient uses Pole Zero Placement method and Impulse Invariant method. Filter coefficient that have been quantized then realized in the form of structure, it is use to realize IIR filter which one is direct structure and caskade structure. From the filter which has been realized in the form of the structure then program calculated finite wordlength effect that consist of coefficient quantization errors.

Simulation program for realization of structure IIR filter implementation was implemented and tested to observe filter performance. Filter performance observed from the curve of response frequency that representing output of simulation program. The result are the Pole Zero Placement method which is the best method to design

IIR filter, high sampling frequency increase performance of filter, limited number of quantization bit decrease performance of filter. Keyword: IIR filter, calculation of filter coefficient, structure realization

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas Anugerah-Nya penulis akhirnya dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik dan lancar.

Dalam proses penulisan Tugas Akhir ini penulis menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan perhatian dan bantuan dengan caranya masing- masing sehingga Tugas Akhir ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih antara lain kepada :

1. Tuhan Yesus atas penyertaan dan bimbingannya.

2. Bapak Ir. Greg. Heliarko, S.J., B.S.T., M.A., M.Sc, selaku dekan fakultas teknik.

3. Bapak Damar Widjaya, S.T., M.T. selaku pembimbing I atas ide-ide yang berguna, bimbingan, dukungan, saran dan kesabaran bagi penulis dari awal sampai Tugas Akhir ini bisa selesai.

4. Bapak Bayu Primawan, S.T., M.Eng. selaku pembimbing II yang telah bersedia meluangkan waktu serta memberikan bimbingan dan saran yang tentunya sangat berguna untuk Tugas Akhir ini.

5. Bapak Ir. Iswanjono, M.T., dan Bapak Djoko Untoro Suwarno, S.Si.,M.T., selaku penguji yang telah bersedia memberikan saran dan kritik.

6. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

7. Bapak dan Ibu tercinta atas semangat, doa serta dukungan secara moril maupun

8. Kedua saudaraku, Tanto dan Moko atas dukungan, cinta, bantuan yang sangat berguna.

9. Kekasihku, Hugo atas segala waktu, bantuan dan dukungannya.

10. Atikasari dan Ade, makasih banyak printernya ya, hehe..

11. Teman-teman akrabku : Pandu, Dika, Spadic, Pinto, Wuri, Dewi, Siska, Ratna, Tika, McD (Dhanny), Komang dan Mas Andika, Teri, Paul, Vian.

12. Teman-teman elektro: Wiryadi, Eva, Butet, Hari, Lele, Sukristanto, Briatma, Wawan, Heri serta teman-teman angkatan 2001, 2002 dan 2003 yang selalu berbagi ilmu dan pengalaman kuliah.

13. Dan seluruh pihak yang telah ambil bagian dalam proses penulisan tugas akhir ini yang terlalu banyak jika disebutkan satu-persatu.

Dengan rendah hati penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu berbagai kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini sangat diharapkan. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Terima kasih.

Yogyakarta, 24 April 2007 Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

JUDUL ....................................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ............................................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi

HALAMAN MOTTO ............................................................................................ vii

INTISARI .............................................................................................................. viii

ABSTRACT ............................................................................................................ ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................. x

DAFTAR ISI ........................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ..............................................................................................xvi

DAFTAR TABEL .................................................................................................. xx

DAFTAR CONTOH ..............................................................................................xxi

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...............................................................................1

1.2 Batasan Masalah .............................................................................2

1.3 Tujuan Penulisan ………………………………………………… 3

1.4 Manfaat Penulisan ……………………………………………….. 3

BAB II DASAR TEORI

2.1 Transformasi-Z …………………………………………………... 5

2.2 Sifat-sifat Transformasi-Z .............................................................. 8

2.3 Invers Transformasi-Z ................................................................... 9

2.4 Kestabilan ...................................................................................... 10

2.5 Tapis Butterworth .......................................................................... 15

2.6 Tapis Digital Infinite Impulse Response ........................................ 16

2.7 Langkah-langkah Perancangan Tapis Digital IIR .......................... 19

2.8 Metode Penghitungan Koefisien Tapis Digital IIR ……………... 21

2.8.1 Metode Peletakan Pole Zero .............................................. 22

2.8.2 Metode Impuls Invariant .................................................... 25

2.9 Realisasi Struktur Tapis Digital IIR ……………………............... 27

2.9.1 Struktur Bentuk Langsung ………………………………. 28

2.9.2 Struktur Bentuk Kaskade ………………………………... 29

2.10 Finite Wordlength Effect Pada Tapis IIR ………………………... 31

2.10.1 Coefficient Quantization Errors ………………………… 31

BAB III PERANCANGAN PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI

STRUKTUR TAPIS DIGITAL INFINITE IMPULSE RESPONSE

3.1 Menentukan Spesifikasi Tapis ....................................................... 37

3.2 Menghitung Koefisien Tapis ..........................................................38

3.2.1 Fungsi Peletakan Pole Zero ……………………………... 39

3.2.2 Fungsi Impuls Invariant …………………………………. 41

3.3.1 Struktur Bentuk Langsung ................................................. 42

3.3.2 Struktur Bentuk Kaskade ................................................... 43

3.3.2.1 Pengubahan koefisien tapis menjadi koefisien struktur ................................................................ 43

3.3.2.2 Kuantisasi koefisien tapis ..................................... 45

3.3.2.3 Pengubahan koefisien terkuantisasi ke bentuk fungsi transfer terkuantisasi ........................................... 48

3.4 Coefficient Quantization Errors .................................................... 50

3.5 Layout Program .............................................................................. 52

3.5.1 Figure ................................................................................. 54

3.5.2 Menu editor ........................................................................ 54

3.5.3 Panel .................................................................................. 55

3.5.4 Edit text .............................................................................. 56

3.5.5 Pop-up menu ...................................................................... 56

3.5.6 Radio button ....................................................................... 57

3.5.7 List box ............................................................................... 57

3.5.8 Static text ............................................................................ 57

3.5.9 Axes .................................................................................... 58

3.5.10 Push button ........................................................................ 58

BAB IV HASIL DAN ANALISIS

4.1 Penempatan Berkas Sumber .......................................................... 60

4.2 Tampilan Program ......................................................................... 61

4.3 Hubungan antara Metode Perancangan Tapis dengan Kinerja Tapis................................................................................................ 69

4.3.1 LPF .....................................................................................70 4.3.2 HPF ....................................................................................

73 4.3.3 BPF ....................................................................................

4.4 Hubungan antara Frekuensi Sampling dengan Kinerja Tapis ....... 80

4.5 Hubungan antara Jumlah Bit Kuantisasi Koefisien Tapis dengan Kinerja Tapis .................................................................................. 86

4.6 Hubungan Antara Transition Width dan Stopband Attenuation dengan Jumlah Koefisien Tapis Hasil Perancangan dan Kinerja Tapis ............................................................................................... 93

BAB V PENUTUP Kesimpulan ............................................................................................. 96 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR Halaman

Gambar 2.1 Runtun waktu diskrit.............................…..…………………………...6Gambar 2.2 Region of convergence …………………………..……........................8Gambar 2.3 Bidang-z ...…………………………....................................................10Gambar 2.4 Kestabilan pada Bidang-z .....…............……………..………....…….11Gambar 2.5 Penempatan zero dan tanggapan frekuensi yang dihasilkan ...............12Gambar 2.6 Penempatan pole dan tanggapan frekuensi yang dihasilkan ...............13Gambar 2.7 (lanjutan) penempatan pole dan tanggapan frekuensi yang dihasilkan14Gambar 2.8 Tanggapan frekuensi tapis Butterworth …….…………...…..............15Gambar 2.9 Pemetaan bidang-s terhadap bidang-z .........……………………....…16Gambar 2.10 Diagram aliran sinyal dan diagram blok .....…………………....…...18Gambar 2.11 Blok diagram realisasi struktur bentuk kaskade ……………......…..19Gambar 2.12 Diagram pole-zero dan tanggapan frekuensi dari diagram pole-zero 22Gambar 2.13 Diagram pole-zero dan Representasi blok diagram dari tapis ….......24Gambar 2.14 Elemen-elemen dasar struktur tapis ...................................................28Gambar 2.15 Realisasi struktur bentuk langsung tapis IIR …....……..........…...…28Gambar 2.16 Realisasi struktur bentuk kaskade tapis IIR ......................................30Gambar 2.17 Efek dari kuantisasi koefisien pada tanggapan frekuensi ……......…32Gambar 2.18 Segitiga kestabilan menunjukkan letak complex pole, real pole, dan

nilai koefisien-koefisien tapis, a dan a , agar tapis stabil ..............33 ₁ ₂

Gambar 3.2 Diagram alir proses pemeriksaan masukan tapis ..............…...…....…38Gambar 3.3 Diagram alir proses penghitungan koefisien tapis ...............................39Gambar 3.4 Diagram alir proses penghitungan koefisien tapis ...............................40Gambar 3.5 Diagram alir fungsi impuls invariant ..........................................…….41Gambar 3.6 Diagram alir proses realisasi struktur tapis .........................…………42Gambar 3.7 Diagram alir fungsi kuantisasi koefisien ….....................................…47Gambar 3.8 Diagram alir fungsi struktur bentuk kaskade ......................................49Gambar 3.9 Diagram alir proses penghitungan error .............................................50Gambar 3.10 Diagram alir fungsi hitung error struktur langsung …………...........51Gambar 3.11 Diagram alir fungsi hitung error struktur kaskade ............................52Gambar 3.12 Layout program simulasi untuk realisasi tapis digital IIR ………….53Gambar 3.13 Tampilan submenu Bantuan …….............................................…….54Gambar 3.14 Tampilan pesan kesalahan ………………………………………….56Gambar 3.15 Window untuk menampilkan struktur tapis ....................................…58Gambar 4.1 Browse For Folder ...…......................................................……….…60Gambar 4.2 Pengaktifan program simulasi melalui jendela MATLAB …............. 61Gambar 4.3 Program pembuka …......................................................................…..61Gambar 4.4 Program utama .....................................................................................62Gambar 4.5 Pesan kesalahan masukan ....................................................................63Gambar 4.6 Tampilan permintaan masukan ............................................................63Gambar 4.7 Pesan kesalahan tanpa masukan ..........................................................64Gambar 4.8 File program disimpan dalam berkas berekstensi *.mat .....................66Gambar 4.9 Message box keluar program simulasi ……………………………... 66Gambar 4.11 Submenu Petunjuk penggunaan Program Simulasi Tapis Digital IIR68Gambar 4.12 Tampilan submenu Koefisien Struktur Filter ……………………… 68Gambar 4.13 Tampilan Koefisien Struktur Filter ................................................... 69Gambar 4.14 Tampilan hasil perancangan menggunakan metode Peletakan Pole

Zero dan metode Impuls Invariant .................................................. 71

Gambar 4.15 Tampilan struktur tapis bentuk langsung .......................................... 71Gambar 4.16 Tampilan hasil perancangan menggunakan metode Peletakan Pole

Zero dan metode Impuls Invariant ................................................. 74

Gambar 4.17 Tampilan hasil perancangan menggunakan metode Peletakan Pole-

Zero dan metode Impuls Invariant .................................................... 77

Gambar 4.18 Grafik hubungan antara galat pada passband edge frequency dengan

frekuensi sampling ......................................................................... 82

Gambar 4.19 Grafik hubungan antara galat pada transition width dengan frekuensi

sampling ............................................................................................ 83

Gambar 4.20 Grafik hubungan antara galat pada passband ripple dengan frekuensi

sampling …………………………………………………………… 84

Gambar 4.21 Grafik hubungan antara galat pada stopband attenuation dengan

frekuensi sampling ……………………………………………… 85

Gambar 4.22 Grafik hubungan antara galat pada passband edge frequency dengan

bit kuantisasi ………………………………………………………. 88

Gambar 4.23 Grafik hubungan antara galat pada transition width dengan bit

kuantisasi ………………………………………………………... 89

Gambar 4.24 Grafik hubungan antara galat pada passband ripple dengan bitGambar 4.25 Grafik hubungan antara galat pada stopband attenuation dengan bit

kuantisasi …………………………………………………………...91

Gambar 4.26 Grafik hubungan antara stopband attenuation dengan jumlah

koefisien tapis …………………………………………………… 93

Gambar 4.27 Grafik hubungan antara transition width dengan jumlah koefisien

tapis………………………………………………………………...94

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan LPF …………………... 70Tabel 4.2 Spesifikasi aktual hasil perancangan LPF ……………………………… 72Tabel 4.3 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan HPF …………………... 73Tabel 4.4 Spesifikasi aktual hasil perancangan HPF ……………………………... 75Tabel 4.5 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan BPF …………………... 76Tabel 4.6 Spesifikasi aktual hasil perancangan BPF ……………………………… 78Tabel 4.7 Spesifikasi yang diharapkan untuk merancang LPF …………………… 81Tabel 4.8 Spesifikasi yang diharapkan untuk merancang LPF …………………… 87Tabel 4.9 Spesifikasi yang diharapkan untuk merancang LPF .................................93

DAFTAR CONTOH

Halaman

Contoh 2.1 Transformasi-Z...........................................…..……….….……………...6

Contoh 2.2 Persamaan beda.…..........………...............................................……….18

Contoh 2.3 Metode Peletakan Pole Zero............................…..........……………….23

Contoh 2.4 Metode Impuls Invariant.........................................……......……….….25

Contoh 2.5 Kuantisasi Koefisien............................................................…….….….34

Contoh 3.1 Koefisien struktur...........................................................……................ 44

Contoh 3.2 Kuantisasi Koefisien............................................................………….. 45

Contoh 3.3 Fungsi transfer sos terkuantisasi..........................................…….….….48

Contoh 3.4 Fungsi transfer terkuantisasi.................................................…….….….49

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan teknologi komputer yang begitu cepat membawa dampak yang besar dalam pengembangan aplikasi yang ada. Meningkatnya kemampuan perangkat keras komputer yang ditunjang oleh makin canggihnya perangkat lunak pendukungnya serta makin murahnya komponen komputer menyebabkan kecenderungan untuk memanfaatkan komputer dalam berbagai aplikasi.

Kecenderungan ini terlihat pula pada bidang ilmu pengetahuan yaitu dengan munculnya perangkat lunak yang berupa program-program aplikasi yang dipakai

sebagai materi kuliah, diantaranya adalah program aplikasi MATLAB . Dengan memanfaatkan program aplikasi tersebut, maka penulis akan menyusun tugas akhir dengan membuat perancangan program simulasi mengenai tapis digital.

Tapis adalah suatu rangkaian yang menghasilkan karakteristik tanggapan frekuensi yang telah ditentukan dengan tujuan melewatkan rentang frekuensi yang diinginkan dan menekan atau menolak frekuensi yang tidak diinginkan. Pada proses pengolahan sinyal, tapis digunakan untuk keperluan penapisan (filtering), penghalusan (smoothing), dan prediksi (prediction). Sedangkan tapis digital adalah algoritma matematika yang diimplementasikan dalam hardware atau software yang

Pokok bahasan mengenai tapis digital terdapat dalam materi kuliah Pengolahan Sinyal Digital. Tapis digital diklasifikasikan menjadi dua macam berdasarkan tanggapan impulsnya, yaitu tapis digital dengan tanggapan impuls berhingga atau

Finite Impulse Response (FIR) dan tapis digital dengan tanggapan impuls tak

berhingga atau Infinite Impulse Response (IIR).

Tugas akhir dengan judul “Program Simulasi Untuk Realisasi Struktur Tapis Digital IIR” ini akan memfokuskan diri pada perancangan program simulasi untuk realisasi struktur digital IIR supaya pemahaman mengenai tapis digital IIR, terutama mengenai realisasi strukturnya dapat dilakukan lebih mudah. Kelebihan dari tapis digital IIR antara lain adalah sebagai berikut:

1. Tapis digital IIR memerlukan koefisien, waktu pengolahan, dan storage yang lebih sedikit.

2. Tapis analog dapat langsung diubah secara langsung menjadi tapis digital ekuivalensinya dalam bentuk IIR.

1.2 Batasan Masalah

Pada penyusunan Laporan Tugas Akhir ini, penulis membatasi permasalahan yang ada. Batasan masalah tersebut antara lain adalah sebagai berikut:

1. Spesifikasi tapis terdiri dari passband edge frequency, transition width, frekuensi sampling, passband ripple, dan stopband attenuation.

2. Penghitungan koefisien tapis menggunakan Invariant Impulse Method dan

4. Finite wordlenght effect yang dianalisis adalah coefficient quantization errors .

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan penyusunan Laporan Tugas Akhir ini adalah untuk menghasilkan suatu program bantu untuk memudahkan pemahaman tentang realisasi struktur tapis digital

IIR.

1.4 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan Laporan Tugas Akhir ini antara lain adalah:

1. Dapat mengetahui dan memahami tentang tapis digital IIR yang terdiri dari perancangan, realisasi struktur tapis dan analisis wordlenght effect.

2. Menjadi rujukan/ acuan/ referensi mengenai tapis digital IIR untuk pengembangan lebih lanjut.

Metodologi Penelitian

1.5 Penulisan Laporan Tugas Akhir ini disusun berdasarkan langkah-langkah

sebagai berikut: 1. Studi pustaka yang berhubungan dengan realisasi struktur tapis digital IIR.

2. Pembuatan program simulasi menggunakan program MATLAB.

3. Menguji program simulasi yang telah dibuat.

5. Membuat kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis.

Sistematika Penulisan

1.6 Sistematika penulisan Laporan Tugas Akhir ini disusun berdasarkan langkah-

langkah sebagai berikut:

1. Bab I PENDAHULUAN Berisi latar belakang, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metodologi penelitian dan sistematika penulisan.

2. Bab II DASAR TEORI Berisi dasar teori mengenai transformasi Z dan tapis digital IIR.

3. Bab III PERANCANGAN DAN SIMULASI Berisi langkah-langkah perancangan program simulasi untuk realisasi struktur tapis digital IIR.

4. Bab IV HASIL DAN ANALISIS Berisi hasil simulasi dan pembahasan dari program simulasi untuk realisasi struktur tapis digital IIR.

5. Bab V PENUTUP Berisi kesimpulan dari hasil simulasi.

BAB II DASAR TEORI Pada Bab ini akan dibahas mengenai dasar teori tapis digital IIR, yang meliputi

kestabilan, analisa error kuantisasi dan menghitung tanggapan frekuensi pada sistem diskrit. Di sini akan dibahas juga mengenai Transformasi-Z karena erat kaitannya dengan sistem waktu diskrit yang akan digunakan dalam tapis digital.

2.1 Transformasi-Z

Transformasi-Z dari suatu runtun, x n , untuk semua n , didefinisikan dengan :

( )

∞ − n

X z x n z 2 .

( ) = ( ) ( )

∑ − ∞ dengan z adalah variabel komplek [1].

Pada sistem kausal, x n tidak bernilai nol hanya pada interval < n < ∞ ,

( )

sehingga persamaan 2 . 1 bisa disederhanakan menjadi

( ) ∞ − n

X z = x n z 2 .

( ) ( ) ( )

∑ _{n =}

Persamaan 2 . 2 disebut transformasi-Z satu sisi.

( )

Transformasi-Z merupakan suatu runtun dengan panjang yang tak berhingga, dan tidak konvergen untuk semua nilai . Daerah dengan transformasi-Z konvergen z cvvv

Gambar 2.1 Runtun waktu diskrit, [1]

2 Dapat dilihat bahwa nilai dari

2 Contoh 2.1 Tentukan transformasi-Z dan region of convergence untuk runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1.

( ) 4 .

.... ₂ ₂ ₁ ₁ ² ₂ ¹ ₁

X − − − − − −

( ) _N _N ^N ^N

z a z a z a a

z b z b z b b

X ₁ − z z

( ) z

... , = 1 , n

( )

z −

praktek, sering dinyatakan sebagai perbandingan antara dua polinomial pada atau ekuivalen pada . ⁿ

( ) n x merupakan koefisien dari , . Pada

X _n ⁿ ( ) 3 .

(memiliki nilai tertentu) disebut sebagai region of convergence (ROC), dan pada bagian ini nilai berhingga. ROC ditentukan oleh sifat dari .

∑

z x z x z x x

z n x z

− − − ∞ = −

1 ³ ² ¹ + + + + = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....

2 dapat dikembangkan menjadi

X ( ) 2 .

( ) z

Transformasi-Z, , pada persamaan

X ( ) n x

( ) z

= ....

Penyelesaian Runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1 dapat didefinisikan secara matematis sebagai berikut

x ( ) n = 1 n ≥ = n <

jelaslah bahwa ini merupakan runtun kausal tak berhingga. Dengan persamaan (

2 . 1 ) , transformasi-Z dari runtun waktu diskrit pada Gambar

2.1 adalah

∞ _n − X z x n z

( ) = ( ) _n ∑ = −∞ ∞ _n − x n z

= ( )

∑ _n =

− − ₁ 1 z x ( ) ₂ ¹ + + 2 z ... ² − − 1 z z ...

= x ( ) z x ( ) +

= + + + ₁

−

Sistem akan konvergen jika z < 1 atau z > 1 .

X ( ) z dapat dinyatakan

dalam bentuk tertutup seperti berikut ₁ ₂

− − X ( ) + + + z = 1 z z ...

2 .

5 ( )

1 z = = ₁ −

1 − z z −

1 Jika z =

2 , maka dengan menggunakan persamaan ( ) ₂ ₃ 2 . 5 menjadi

2 X ( ) z =

1 2 ..... = =

2 ₁ 2 −

1 2 ( ) ( ) + + + +

1 Jika z = ^{2 , maka dengan menggunakan persamaan ( )} ₂ ₃ 2 . 5 menjadi

X z

1 1 .

5 1 .

5 1 . 5 .....

4 8 .... =

( ) = ( ) ( ) = ∞

Region of convergence, [1] Gambar 2.2

Dari contoh di atas terlihat bahwa

X ( ) z akan konvergen jika z berada di luar unit circle, dan akan divergen jika berada di dalam z unit circle.

2.2 Sifat-sifat Transformasi-Z

Beberapa sifat dari transformasi-Z adalah sebagai berikut 1. x n dan x n mempunyai transformasi-Z

X z dan

Linearity. Jika runtun ( ) ( ) ( ) ₁ ₂ ₁ X z , maka transformasi-Z dari kombinasi linearnya adalah ₂ ( )

ax n bx n → aX z bX z 2 .

6 ₁ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ₁ ₁ ₂ 2.

x n adalah X z , maka

Delay atau shift. Jika tansformasi-Z dari ( ) ( ) _m

−

transformasi-Z dari x n yang tertunda sebesar m adalah z

X ( ) z atau ( ) x n X z

( ) → ( ) _m − x ( n − m ) → z X ( z ) x n

3. Convolution. Sistem LTI (Linear Time-Invariant) diskrit dengan input

( )

dan tanggapan impuls h k menghasilkan output

( ) Dalam bentuk transformasi-Z, input dan output memiliki hubungan perkalian berikut :

( ) ( ) ( ) X z H z Y z

( ) ( ) [ ] z

( ) 9 .

2 Sifat ini digunakan untuk memperoleh invers transformasi-Z jika

( ) z

X memiliki orde pole yang banyak.

Invers transformasi-Z (IZT) berguna untuk mengembalikan runtun waktu diskrit . IZT umumnya digunakan pada pemrosesan sinyal digital, misalnya untuk mencari tanggapan impuls dari tapis digital. Invers transformasi-Z dinyatakan dengan

( ) n x

X Z n x ^{1 −}

d d − →

( ) 10 .

2 dengan adalah transformasi-Z dari

( ) z

X ( ) n x dan ¹

− Z adalah simbol dari invers

→

X z n nx X n x z

( ) k h dan .

( ) 8 .

2 dengan , dan

( ) z

X ( )

H z ( )

Y z adalah bentuk transformasi-Z dari , ( ) n x

( ) n y

( ) z z

4. Differentiation. Jika

( ) X adalah transformasi-Z dari , maka z

transformasi-Z dari

( ) n x

( ) n nx diperoleh dengan diferensiasi berikut

( ) z

X ( ) ( ) ( )

2.3 Invers Transformasi-Z

2.4 Kestabilan

Analisis kestabilan merupakan salah satu bagian yang harus diperhatikan dalam merancang sistem waktu diskrit. Sistem LTI dikatakan stabil jika dan hanya jika memenuhi kriteria berikut

∞ h ( ) k < ∞ 2 .

( ) ∑ _{k =0}

dengan h k adalah tanggapan impuls sistem. Jika tanggapan impuls memiliki

( ) panjang berhingga (konvergen), maka kondisi di atas terpenuhi.

Sistem akan stabil jika semua pole berada di dalam unit circle atau memiliki lokasi yang sama dengan zero jika terletak pada unit circle. Suatu sistem dengan pole berada pada unit circle dianggap tidak stabil atau berpotensi tidak stabil. Untuk sistem yang tidak stabil, tanggapan impuls akan terus meningkat sebanding dengan pertambahan waktu. Pole dan zero digambarkan pada bidang-z.

Bidang-z adalah koordinat kartesius dengan sumbu x yang merepresentasikan nilai real dan sumbu y yang merepresentasikan nilai imajiner. Bagian ini akan menjelaskan nilai dari yang dapat membuat fungsi transfer menjadi nol (zero) atau z menjadi tak berhingga (pole). Pole digambarkan dengan “

x”, sedangkan zero

digambarkan dengan “

o” [2]. Gambar 2.3 menunjukkan bidang-z.

Pada bidang-z ada tiga kemungkinan sistem untuk kestabilan, yaitu stabil,

marginally stabil, dan tidak stabil. Sistem dikatakan stabil jika semua pole terletak di

dalam unit circle atau selokasi dengan zero jika terletak pada unit circle. Sistem dikatakan tidak stabil jika pole terletak di luar unit circle, dan dikatakan marginally stabil jika pole terletak pada unit circle. Kestabilan dapat ditentukan dari letak pole, sedangkan zero tidak. Gambar 2.4 menunjukkan kestabilan pada bidang-z.

Gambar 2.4 Kestabilan pada Bidang-z [1]

Apabila zero terletak pada suatu titik di bidang-z, maka nilai pada tanggapan frekuensi akan sama dengan nol pada titik tersebut. Sedangkan pole akan menghasilkan puncak (peak) pada frekuensi yang sesuai. Pole yang letaknya mendekati unit circle, memberikan peak yang besar pada tanggapan frekuensi, sedangkan zero yang letaknya mendekati unit circle, memberikan nilai minimum.

Penempatan pole dan zero beserta tanggapan frekuensi yang dihasilkan dapat dilihat pada Gambar 2.5 dan Gambar 2.6, [4].

Penggunaan zero :

1. Zero yang terletak di dalam unit circle pada bidang-z akan menyebabkan penurunan gain tapis pada frekuensi yang merupakan lokasi zero. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.5(a).

Gambar 2.5 Penempatan zero dan tanggapan frekuensi yang dihasilkan [4]

2. Zero yang letaknya mendekati unit circle, akan menghasilkan atenuasi yang besar pada frekuensi tersebut. Atenuasi maksimum terjadi jika zero terletak pada unit circle. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.5(b).

3. Jika zero terletak dimana saja selain pada sumbu x maka zero harus memiliki

4. Jika jumlah zero lebih dari satu dapat menguatkan atenuasi pada titik tersebut. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.5(d).

Penggunaan pole : 1.

Pole yang terletak di dalam unit circle akan menghasilkan peak pada frekuensi letak pole. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.6(a).

2. Pole yang letaknya mendekati unit circle akan menghasilkan peak yang hampir mendekati pusat. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.6(b).

Gambar 2.7 (lanjutan) penempatan pole dan tanggapan frekuensi yang dihasilkan[4]

3. Pole juga harus memiliki pasangan konjugasi jika terletak dimana saja selain di sumbu x. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.6(c).

4. Menambahkan jumlah pole dapat menambahkan jumlah peak. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.6(d).

5. Pole yang letaknya sangat dekat dengan unit circle akan menghasilkan tapis yang memiliki tanggapan impuls yang panjang dan mendekati kestabilan. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.7(e).

6. Pole yang terletak pada unit circle dapat menghasilkan rancangan untuk osilator. Hal ini menyebabkan ketidakstabilan. Keadaan ini dapat dilihat pada Gambar 2.7(f).

7. Pole yang terletak di luar unit circle menyebabkan ketidakstabilan.

2.5 Tapis Butterworth

N ^p _p

10 log ₁₀ _A ¹⁰ _p ^s ^A

−

⎜ ⎜ ⎜ ⎛

Orde tapis, N, memiliki rumus ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

Gambar 2.8 Tanggapan frekuensi tapis Butterworth [1]

ω _p _p ω

12 2. dengan adalah orde tapis dan adalah frekuensi cutoff 3 dB dari tapis lowpass (untuk prototype tapis ternormalisasi, = 1). Tanggapan frekuensi magnitude dari tapis Butterworth lowpass ditunjukkan pada Gambar 2.8. Tanggapan dikatakan maksimal flat karena tapis tersebut memiliki permulaan yang tidak datar (lereng dari zero berada di dc).

Tapis Butterworth lowpass memiliki karakteristik tanggapan frekuensi

( )

ω ω

⎜ ⎝ ⎛

1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

H ₂ ²

magnitude berikut ( ) _N

= _p _p

dengan A dan A adalah passband ripple dan stopband attenuation dalam dB, dan _p _{p s} ω adalah frekuensi stopband. _s Fungsi transfer untuk tapis Butterworth ternormalisasi, H s , memiliki nilai

PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS INFINITE IMPULSE RESPONSE TUGAS AKHIR - Program simulasi untuk realisasi struktur filter infinite impulse response - USD Repository