MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT II COUNTING M
MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT II
COUNTING METHODS
INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE,
DERANGEMENT, PARITY OF INTEGER, DAN
FUNGSI PEMBANGKIT
Anggota Kelompok 2
1.
Deanda Asri A
(M0115012)
2.
Irsalina Layalia S
(M0115020)
3.
Satria Adhi Wijaya
(M0115038)
4.
Uffi Nadzima
(M0115044)
5.
Zulaichah Intan P
(M0115050)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2018
i
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Matematika diskrit adalah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari
teori tentang himpunan, induksi matematika, graf, kombinatorial, dan lain-lain.
Kombinatorial merupakan cara untuk menghitung jumlah penyusunan objekobjek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Sebagai salah satu contoh ketika melakukan perhitungan berapa banyak siswa yang mengikuti ekstrakurikuler basket, pecinta alam, atau futsal. Dimana 22 siswa mengikuti
ekstrakurikuler basket, 12 siswa mengikuti ekstrakurikuler pecinta alam, 42 siswa
mengikuti ekstrakurikuler futsal, dan 8 siswa mengikuti ekstrakurikuler untuk ke
tiga pilihan ekstrakurikuler tersebut. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat digunakan prinsip
inclusion-exclusion. Prinsip inclusion-exclusion merupakan perluasan ide dalam
diagram venn beserta operasi irisan dan gabungan.
Selanjutnya, prinsip inclusion-exclusion ini akan digunakan untuk menghitung permutasi n objek dimana objek tersebut tidak berada pada posisi semula.
Contohnya, misalkan Ani memiliki 10 bola dan 10 kotak. Setiap bola diberi label
1, 2, 3, . . . , 10. Begitu pula dengan kotaknya diberi label 1, 2, 3, . . . , 10. Ani menaruh masing-masing bola ke masing-masing kotak secara acak, sehingga sekarang
setiap kotak berisi masing-masing satu bola. Cara menghitung peluang tidak ada
satupun label bola dan kotaknya yang cocok ini dapat dikerjakan menggunakan
perhitungan probabilitas biasa sehingga diperlukan cara lain untuk mempermudah perhitungan. Cara tepat untuk menyelesaikannya adalah menggunakan
derangement.
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang didalamnya terdapat ba1
nyak bilangan dimana salah satunya adalah bilangan integer (bulat). Dalam
bilangan bulat terdapat istilah parity of integer dimana membagi bilangan bulat
menjadi dua yaitu bilangan genap dan bilangan ganjil. Secara matematis dapat
ditulis untuk bilangan genap dinotasikan n = 2k dan bilangan ganjil dinotasikan
n = 2k + 1.
Matematika diskrit mempunyai cabang ilmu yang dapat menyelesaikan permasalahan dibidang matematika seperti power series, penyelesaian relasi rekursif,
dan pembuktian fungsi identitas. Ilmu tersebut adalah fungsi pembangkit. Menurut Rosen [2], fungsi pembangkit digunakan untuk menyajikan barisan secara
ringkas dengan mengkodekan unsur dari suatu barisan sebagai koefisien dalam
deret pangkat suatu variabel.
Pada makalah ini, akan dibahas mengenai prinsip - prinsip yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika yang tidak bisa diselesaikan
dengan prinsip - prinsip perhitungan biasa. Adapun prinsip - prinsip tersebut,
yaitu inclusion-exclusion, derangement, parity of integer, dan fungsi pembangkit.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada latar belakang masalah dapat ditulisakan lima
rumusan masalah, yaitu
1. bagaimana konsep dan rumus umum prinsip inclusion-exclusion,
2. bagaimana konsep dan rumus umum derangement,
3. bagaimana konsep dan sifat parity of integer,
4. bagaimana konsep dan sifat fungsi pembangkit, dan
5. bagaimana kasus dari prinsip inclusion-exclusion, derangement, parity of
integer, dan fungsi pembangkit.
1.3
Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah
2
1. mengetahui konsep dan rumus umum prinsip inclusion-exclusion,
2. mengetahui konsep dan rumus umum derangement,
3. mengetahui konsep dan sifat parity of integer,
4. mengetahui konsep dan sifat fungsi pembangkit, dan
5. dapat menerapkan kasus dari prinsip inclusion-exclusion, derangement,
parity of integer, dan fungsi pembangkit.
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Prinsip Inclusion-Exclusion
Diberikan beberapa definisi dan teorema yang berhubungan dengan prinsip
inclusion-exclusion yang diambil dari Munir [1].
Definisi 2.1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda dan
tidak berurutan.
Definisi 2.1.2. Jumlah elemen dalam A disebut kardinal dari A. Kardinalitas
dari himpunan A dinotasikan |A|.
Definisi 2.1.3. Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Irisan dari himpunan A dan B dapat dinotasikan A ∩ B.
Definisi 2.1.4. Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Gabungan dari
himpunan A dan B dapat dinotasikan A ∪ B.
Himpunan A dan B dikatakan disjoint apabila tidak mempunyai irisan,
sedangkan himpunan A dan B dikatakan nondisjoint apabila mempunyai irisan.
Misal A dan B adalah sebarang himpunan nondisjoint pasti himpunan A dan
himpunan B mempunyai elemen bersama. Jumlah elemen bersama antara A
dan B adalah |A ∩ B|. Menghitung jumlah elemen gabungan himpunan A dan
B yang nondisjoint dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen
pada kedua himpunan dikurangi dengan jumlah elemen pada irisannya sehingga
berlaku
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
4
(2.1)
Gambar 2.1. Himpunan Nondisjoint A dan B
Himpunan A dan B yang nondisjoint dapat ditunjukan pada Gambar 2.1,
sedangkan untuk sebarang himpunan A dan himpunan B yang disjoint yaitu
irisan dari dua himpunan atau lebihnya kosong berlaku
|A ∪ B| = |A| + |B|
.
Gambar 2.2. Himpunan Nondisjoint A, B, dan C
Himpunan A, B, dan C yang nondisjoint dapat ditunjukkan pada Gambar
2.2. Dengan memperluas hasil persamaan (2.1) dapat diperoleh untuk sebarang
tiga himpunan A, B, dan C berlaku persamaan (2.2) yang diilustrasikan pada
Gambar 2.3.
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| (2.2)
5
Gambar 2.3. Jumlah Elemen dengan (a) |A| + |B| + |C|, (b) |A| + |B| + |C| − |A ∩
B|−|B∩C|−|A∩C|, dan (c) |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|
Menurut Rosen [2], prinsip inclusion-exclusion dinyatakan dalam Teorema
2.1.1 yang menyatakan banyaknya elemen suatu gabungan himpunan terbatas.
Teorema 2.1.1. Misalkan A1 , A2 , . . . An adalah himpunan berhingga maka bentuk umum prinsip inclusion-exclusion dapat dinyatakan dengan
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | =
∑
1≤i≤n
|Ai | −
∑
|Ai ∩ Aj | +
1≤j≤n
∑
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
1
COUNTING METHODS
INCLUSION-EXCLUSION PRINCIPLE,
DERANGEMENT, PARITY OF INTEGER, DAN
FUNGSI PEMBANGKIT
Anggota Kelompok 2
1.
Deanda Asri A
(M0115012)
2.
Irsalina Layalia S
(M0115020)
3.
Satria Adhi Wijaya
(M0115038)
4.
Uffi Nadzima
(M0115044)
5.
Zulaichah Intan P
(M0115050)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2018
i
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Matematika diskrit adalah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari
teori tentang himpunan, induksi matematika, graf, kombinatorial, dan lain-lain.
Kombinatorial merupakan cara untuk menghitung jumlah penyusunan objekobjek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Sebagai salah satu contoh ketika melakukan perhitungan berapa banyak siswa yang mengikuti ekstrakurikuler basket, pecinta alam, atau futsal. Dimana 22 siswa mengikuti
ekstrakurikuler basket, 12 siswa mengikuti ekstrakurikuler pecinta alam, 42 siswa
mengikuti ekstrakurikuler futsal, dan 8 siswa mengikuti ekstrakurikuler untuk ke
tiga pilihan ekstrakurikuler tersebut. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat digunakan prinsip
inclusion-exclusion. Prinsip inclusion-exclusion merupakan perluasan ide dalam
diagram venn beserta operasi irisan dan gabungan.
Selanjutnya, prinsip inclusion-exclusion ini akan digunakan untuk menghitung permutasi n objek dimana objek tersebut tidak berada pada posisi semula.
Contohnya, misalkan Ani memiliki 10 bola dan 10 kotak. Setiap bola diberi label
1, 2, 3, . . . , 10. Begitu pula dengan kotaknya diberi label 1, 2, 3, . . . , 10. Ani menaruh masing-masing bola ke masing-masing kotak secara acak, sehingga sekarang
setiap kotak berisi masing-masing satu bola. Cara menghitung peluang tidak ada
satupun label bola dan kotaknya yang cocok ini dapat dikerjakan menggunakan
perhitungan probabilitas biasa sehingga diperlukan cara lain untuk mempermudah perhitungan. Cara tepat untuk menyelesaikannya adalah menggunakan
derangement.
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang didalamnya terdapat ba1
nyak bilangan dimana salah satunya adalah bilangan integer (bulat). Dalam
bilangan bulat terdapat istilah parity of integer dimana membagi bilangan bulat
menjadi dua yaitu bilangan genap dan bilangan ganjil. Secara matematis dapat
ditulis untuk bilangan genap dinotasikan n = 2k dan bilangan ganjil dinotasikan
n = 2k + 1.
Matematika diskrit mempunyai cabang ilmu yang dapat menyelesaikan permasalahan dibidang matematika seperti power series, penyelesaian relasi rekursif,
dan pembuktian fungsi identitas. Ilmu tersebut adalah fungsi pembangkit. Menurut Rosen [2], fungsi pembangkit digunakan untuk menyajikan barisan secara
ringkas dengan mengkodekan unsur dari suatu barisan sebagai koefisien dalam
deret pangkat suatu variabel.
Pada makalah ini, akan dibahas mengenai prinsip - prinsip yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika yang tidak bisa diselesaikan
dengan prinsip - prinsip perhitungan biasa. Adapun prinsip - prinsip tersebut,
yaitu inclusion-exclusion, derangement, parity of integer, dan fungsi pembangkit.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada latar belakang masalah dapat ditulisakan lima
rumusan masalah, yaitu
1. bagaimana konsep dan rumus umum prinsip inclusion-exclusion,
2. bagaimana konsep dan rumus umum derangement,
3. bagaimana konsep dan sifat parity of integer,
4. bagaimana konsep dan sifat fungsi pembangkit, dan
5. bagaimana kasus dari prinsip inclusion-exclusion, derangement, parity of
integer, dan fungsi pembangkit.
1.3
Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah
2
1. mengetahui konsep dan rumus umum prinsip inclusion-exclusion,
2. mengetahui konsep dan rumus umum derangement,
3. mengetahui konsep dan sifat parity of integer,
4. mengetahui konsep dan sifat fungsi pembangkit, dan
5. dapat menerapkan kasus dari prinsip inclusion-exclusion, derangement,
parity of integer, dan fungsi pembangkit.
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Prinsip Inclusion-Exclusion
Diberikan beberapa definisi dan teorema yang berhubungan dengan prinsip
inclusion-exclusion yang diambil dari Munir [1].
Definisi 2.1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda dan
tidak berurutan.
Definisi 2.1.2. Jumlah elemen dalam A disebut kardinal dari A. Kardinalitas
dari himpunan A dinotasikan |A|.
Definisi 2.1.3. Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Irisan dari himpunan A dan B dapat dinotasikan A ∩ B.
Definisi 2.1.4. Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Gabungan dari
himpunan A dan B dapat dinotasikan A ∪ B.
Himpunan A dan B dikatakan disjoint apabila tidak mempunyai irisan,
sedangkan himpunan A dan B dikatakan nondisjoint apabila mempunyai irisan.
Misal A dan B adalah sebarang himpunan nondisjoint pasti himpunan A dan
himpunan B mempunyai elemen bersama. Jumlah elemen bersama antara A
dan B adalah |A ∩ B|. Menghitung jumlah elemen gabungan himpunan A dan
B yang nondisjoint dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen
pada kedua himpunan dikurangi dengan jumlah elemen pada irisannya sehingga
berlaku
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
4
(2.1)
Gambar 2.1. Himpunan Nondisjoint A dan B
Himpunan A dan B yang nondisjoint dapat ditunjukan pada Gambar 2.1,
sedangkan untuk sebarang himpunan A dan himpunan B yang disjoint yaitu
irisan dari dua himpunan atau lebihnya kosong berlaku
|A ∪ B| = |A| + |B|
.
Gambar 2.2. Himpunan Nondisjoint A, B, dan C
Himpunan A, B, dan C yang nondisjoint dapat ditunjukkan pada Gambar
2.2. Dengan memperluas hasil persamaan (2.1) dapat diperoleh untuk sebarang
tiga himpunan A, B, dan C berlaku persamaan (2.2) yang diilustrasikan pada
Gambar 2.3.
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| (2.2)
5
Gambar 2.3. Jumlah Elemen dengan (a) |A| + |B| + |C|, (b) |A| + |B| + |C| − |A ∩
B|−|B∩C|−|A∩C|, dan (c) |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|
Menurut Rosen [2], prinsip inclusion-exclusion dinyatakan dalam Teorema
2.1.1 yang menyatakan banyaknya elemen suatu gabungan himpunan terbatas.
Teorema 2.1.1. Misalkan A1 , A2 , . . . An adalah himpunan berhingga maka bentuk umum prinsip inclusion-exclusion dapat dinyatakan dengan
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | =
∑
1≤i≤n
|Ai | −
∑
|Ai ∩ Aj | +
1≤j≤n
∑
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
1