Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Aturan Sinus dan Aturan
Cosinus
Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut
adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak
termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi
dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan
trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.
Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui,
yaitu
sisi, sudut, sudut
sudut, sisi, sisi
sisi, sisi, sisi
Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan
sinusatau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.
Perhatikan segitiga berikut !
sisi di depan sudut A adalah BC = a
sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c
Aturan Sinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c
berlakuasinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC
Contoh 1
Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC = 6. Tentukan
panjang BC !
Jawab :
BCsin45∘=6sin30∘BCsin45∘=6sin30∘
BC = 6×sin45∘sin30∘6×sin45∘sin30∘
BC = 6×12√ 2 126×12212
BC = 6√2
Jadi, panjang BC adalah 6√2
Contoh 2
Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut
Jawab :
8sinθ=4√ 6 sin60∘8sinθ=46sin60∘
sin θ = 8×sin60∘4√ 6 8×sin60∘46
sin R = 8×12√ 3 4√ 6 8×12346 (rasionalkan)
sin R = 1212√2
⇒ θ = 45°
Jadi, besar sudut θ adalah 45°
Aturan Cosinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut
di depan sisi c, berlakuc2=a2+b2−2ab.cosCc2=a2+b2−2ab.cosCatau dapat
pula dituliscosC=a2+b2−c22abcosC=a2+b2−c22ab
Contoh 3
Tentukan x dari segitiga berikut !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. 1212
x2 = 28
x = √ 28 28 = 2√7
Jadi, nilai x adalah 2√7
Contoh 4
Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika ∠Q = θ,
tentukan θ !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
(√7)2 = (1)2 + (2√3)2 − 2. 1. 2√3. cos θ
7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
4√3. cos θ = 6
cos θ = 64√ 3 643 (rasionalkan)
cos θ = 1212√3
⇒ θ = 30°
atau
cos θ = 12+(2√ 3 )2−(√ 7 )22.1.2√ 3 12+(23)2−(7)22.1.23
cos θ = 1+12−74√ 3 1+12−743
cos θ = 64√ 3 643 (rasionalkan)
cos θ = 1212√3
⇒ θ = 30°
Tips
Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.
Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.
Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.
Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui
atau ketiga sisi diketahui.
Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.
Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.
Latihan Soal
Latihan 1
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan
:
- panjang BC
- ∠B
- ∠C
Jawab :
Dengan aturan cosinus
BC2 = 52 + 82 − 2. 5. 8. cos 60°
BC2 = 25 + 64 − 80. 1212
BC2 = 49
BC = 7
Dengan aturan sinus
7sin60∘=5sinB7sin60∘=5sinB
sin B = 5.sin60∘75.sin60∘7
sin B = 5.12√ 3 75.1237
sin B = 0,6186
B = sin-1(0,6186) (gunakan kalkulator)
B = 38,21°
A + B + C = 180°
60° + 38,21° + ∠C = 180°
C = 81,79°
diperoleh
- panjang BC = 7
- ∠B = 38,21°
- ∠C = 81,79°
Latihan 2
Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut
yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
cos θ = 32+52−722.3.532+52−722.3.5
cos θ = −12−12
Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°
sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60° (K.II sinus positif)
sin θ = 1212√3
tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60° (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3
Latihan 3
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh
20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah
150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...
Jawab :
Utara = 000°
∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga
∠BAU = ∠ABS = 30°
∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga
∠CBU + ∠CBS = 180°
150° + ∠CBS = 180°
∠CBS = 30°
Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°
Dengan aturan cosinus
AC2 = 202 + 402 − 2. 20. 40. cos 60°
AC2 = 400 + 1600 − 1600. 1212
AC2 = 1200
AC = √ 400.3 400.3
AC = 20√3
Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.
Latihan 4
Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling
segi-8 tersebut adalah...
Jawab :
θ = 360∘8360∘8 = 45°
Perhatikan segitiga AOB
s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°
s2 = 200 − 200. 1212√2
s2 = 200 − 100√2
s2 = 100(2 − √2)
s = 10√2−√ 2 2−2
K = 8s
K = 8. 10√2−√ 2 2−2
K = 80√2−√ 2 2−2
Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80√2−√ 2 2−2 cm.
Latihan 5
Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC =
5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !
Jawab :
ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan
adalah 180°
A + C = 180°
C = 180° − A
cos C = cos(180° − A)
cos C = −cos A
Perhatikan segitiga ABD
BD2 = (3√10)2 + (2√5)2 − 2. 3√10. 2√5 cos A
BD2 = 110 − 60√2 cos A ......................(1)
Perhatikan segitiga BCD
BD2 = (6)2 + (5√2)2 − 2. 6. 5√2 cos C
BD2 = 86 − 60√2 (−cos A)
BD2 = 86 + 60√2 cos A .........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A
120√2 cos A = 24
cos A = 15√ 2 152
Dari persamaan (1)
BD2 = 110 − 60√2 cos A
BD2 = 110 − 60√2. 15√ 2 152
BD2 = 98
BD = √ 49.2 49.2
BD = 7√2
Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm
ATURAN
COSINUS
Aturan Cosinus adalah aturan yang merumuskan hubungan kuadrat antara
sisi- sisi suatu segitiga sembarang dengan satu sudutnya.
Aplikasi Aturan Cosinus
Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi
dan besar sudut yang diapitnya.
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga
sisinya.
1. Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang.
Aturan cosinus merumuskan hubungan kuadrat antara sisi-sisi suatu segitiga
sembarang dengan satu sudutnya.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya :
2. Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.
Perumusan aturan cosinus, dapat juga dinyatakan dengan cara seperti berikut:
Dengan rumusan ini, kita dapat menentukan besar sudut-sudut suatu segitiga jika
diketahui ketiga sisi segitiga.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya :
Tips :
Saat membaca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui.
1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus.
2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya.
3. Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus.
4. Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus.
5. Jika tidak ada sudut yang diketahui maka gunakan aturan cosinus.
Cosinus
Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut
adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak
termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi
dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan
trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.
Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui,
yaitu
sisi, sudut, sudut
sudut, sisi, sisi
sisi, sisi, sisi
Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan
sinusatau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.
Perhatikan segitiga berikut !
sisi di depan sudut A adalah BC = a
sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c
Aturan Sinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c
berlakuasinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC
Contoh 1
Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC = 6. Tentukan
panjang BC !
Jawab :
BCsin45∘=6sin30∘BCsin45∘=6sin30∘
BC = 6×sin45∘sin30∘6×sin45∘sin30∘
BC = 6×12√ 2 126×12212
BC = 6√2
Jadi, panjang BC adalah 6√2
Contoh 2
Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut
Jawab :
8sinθ=4√ 6 sin60∘8sinθ=46sin60∘
sin θ = 8×sin60∘4√ 6 8×sin60∘46
sin R = 8×12√ 3 4√ 6 8×12346 (rasionalkan)
sin R = 1212√2
⇒ θ = 45°
Jadi, besar sudut θ adalah 45°
Aturan Cosinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut
di depan sisi c, berlakuc2=a2+b2−2ab.cosCc2=a2+b2−2ab.cosCatau dapat
pula dituliscosC=a2+b2−c22abcosC=a2+b2−c22ab
Contoh 3
Tentukan x dari segitiga berikut !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. 1212
x2 = 28
x = √ 28 28 = 2√7
Jadi, nilai x adalah 2√7
Contoh 4
Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika ∠Q = θ,
tentukan θ !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
(√7)2 = (1)2 + (2√3)2 − 2. 1. 2√3. cos θ
7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
4√3. cos θ = 6
cos θ = 64√ 3 643 (rasionalkan)
cos θ = 1212√3
⇒ θ = 30°
atau
cos θ = 12+(2√ 3 )2−(√ 7 )22.1.2√ 3 12+(23)2−(7)22.1.23
cos θ = 1+12−74√ 3 1+12−743
cos θ = 64√ 3 643 (rasionalkan)
cos θ = 1212√3
⇒ θ = 30°
Tips
Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.
Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.
Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.
Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui
atau ketiga sisi diketahui.
Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.
Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.
Latihan Soal
Latihan 1
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan
:
- panjang BC
- ∠B
- ∠C
Jawab :
Dengan aturan cosinus
BC2 = 52 + 82 − 2. 5. 8. cos 60°
BC2 = 25 + 64 − 80. 1212
BC2 = 49
BC = 7
Dengan aturan sinus
7sin60∘=5sinB7sin60∘=5sinB
sin B = 5.sin60∘75.sin60∘7
sin B = 5.12√ 3 75.1237
sin B = 0,6186
B = sin-1(0,6186) (gunakan kalkulator)
B = 38,21°
A + B + C = 180°
60° + 38,21° + ∠C = 180°
C = 81,79°
diperoleh
- panjang BC = 7
- ∠B = 38,21°
- ∠C = 81,79°
Latihan 2
Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut
yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
cos θ = 32+52−722.3.532+52−722.3.5
cos θ = −12−12
Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°
sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60° (K.II sinus positif)
sin θ = 1212√3
tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60° (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3
Latihan 3
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh
20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah
150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...
Jawab :
Utara = 000°
∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga
∠BAU = ∠ABS = 30°
∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga
∠CBU + ∠CBS = 180°
150° + ∠CBS = 180°
∠CBS = 30°
Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°
Dengan aturan cosinus
AC2 = 202 + 402 − 2. 20. 40. cos 60°
AC2 = 400 + 1600 − 1600. 1212
AC2 = 1200
AC = √ 400.3 400.3
AC = 20√3
Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.
Latihan 4
Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling
segi-8 tersebut adalah...
Jawab :
θ = 360∘8360∘8 = 45°
Perhatikan segitiga AOB
s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°
s2 = 200 − 200. 1212√2
s2 = 200 − 100√2
s2 = 100(2 − √2)
s = 10√2−√ 2 2−2
K = 8s
K = 8. 10√2−√ 2 2−2
K = 80√2−√ 2 2−2
Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80√2−√ 2 2−2 cm.
Latihan 5
Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC =
5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !
Jawab :
ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan
adalah 180°
A + C = 180°
C = 180° − A
cos C = cos(180° − A)
cos C = −cos A
Perhatikan segitiga ABD
BD2 = (3√10)2 + (2√5)2 − 2. 3√10. 2√5 cos A
BD2 = 110 − 60√2 cos A ......................(1)
Perhatikan segitiga BCD
BD2 = (6)2 + (5√2)2 − 2. 6. 5√2 cos C
BD2 = 86 − 60√2 (−cos A)
BD2 = 86 + 60√2 cos A .........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A
120√2 cos A = 24
cos A = 15√ 2 152
Dari persamaan (1)
BD2 = 110 − 60√2 cos A
BD2 = 110 − 60√2. 15√ 2 152
BD2 = 98
BD = √ 49.2 49.2
BD = 7√2
Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm
ATURAN
COSINUS
Aturan Cosinus adalah aturan yang merumuskan hubungan kuadrat antara
sisi- sisi suatu segitiga sembarang dengan satu sudutnya.
Aplikasi Aturan Cosinus
Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi
dan besar sudut yang diapitnya.
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga
sisinya.
1. Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang.
Aturan cosinus merumuskan hubungan kuadrat antara sisi-sisi suatu segitiga
sembarang dengan satu sudutnya.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya :
2. Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.
Perumusan aturan cosinus, dapat juga dinyatakan dengan cara seperti berikut:
Dengan rumusan ini, kita dapat menentukan besar sudut-sudut suatu segitiga jika
diketahui ketiga sisi segitiga.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya :
Tips :
Saat membaca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui.
1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus.
2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya.
3. Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus.
4. Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus.
5. Jika tidak ada sudut yang diketahui maka gunakan aturan cosinus.