Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang
oki neswan (fmipa-itb)
Dua Operasi Vektor
Hasil Kali TitikMisalkan OAB adalah sebuah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a 2 ) ; dan B (b 1 ; b 2 ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q q q
2
2
2
2
2
2 a + a ; b + b ; (a 1 b 1 ) + (a 2 b 2 ) : jOAj =
1 2 jOBj =
1 2 jABj = Menurut Aturan Kosinus, jika
= \AOB; maka
2
2
2 jABj = jOAj + jOBj 2 jOAj jOBj cos
2
2
2
2
2
2 (a 1 b 1 ) + (a 2 b 2 ) = a + a + b + b 2ab cos
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 a 1 b
1 2 b
2 1 2a + b 1 + a 2 2a + b 2 = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 2ab cos 1 b
1 2 b
2 2a 2a = 2ab cos yang setelah disederhanakan, memberikan
1 b 1 + a 2 b 2 : (1) jOAj jOBj cos = a
1 b
1 2 b
2 Dari hubungan ini kita dapat melihat bahwa hasil sederhana a + a memuat informasi yang sangat 1 b 1 2 b
2 berharga mengenai panjang sisi-sisi dan sudut : Dengan demikian, ungkapan a + a yang sederhana tapi sangat berharga diberi nama khusus.
1 ; x 2 ; x
3 1 ; y 2 ; y
3 De…nition 1 Jika x = (x ) dan y = (y ) ; maka hasil kali titk x dan y adalah
1
1
2
2
3
3 x y = x y + x y + x y
Khususnya jika x = y;
2
2
2 x x = x + x + x
1
2
3 Jadi, x x adalah kuadrat panjang vektor x: Panjang vektor x ditulis sebagai kxk ; dibaca norm x. Maka
2 x x
= kxk Hasil (1) dalam notasi ini ditulis sebagai kak kbk cos = a b: Dengan mudah kita dapat melihat bahwa hubungan ini berlaku untuk vektor umum, yaitu
1 ; x 2 ; : : : ; x n 1 ; y 2 ; : : : ; y n Theorem 2 Jika x = (x ) dan y = (y ) ; maka kak kbk cos = a b dengan adalah sudut antara kedua vektor; :
= \ (a; b), dan 0
Sifat-sifat Hasil Kali Titik
Theorem 3 Jika a; b; dan c adalah vektor-vektor dan k adalah bilangan real. Maka
2 1. a a
= kak 2. a b
= b a 3. a
(b + c) = a b + a c 4. (ka) b = (a kb) = k (a b) 5. kcak = jcj kak Proyeksi Vektor u adalah vektor w searah u sehingga v tegak v ; w
Proyeksi vektor v terhadap vektor u; u 6= 0; ditulis proy sehingga w = u: Maka lurus pada u. Karena w searah u; ditulis w k u; maka terdapat bilangan real
: \ (w; u) =
2 v u
? u Dengan menggunakan hasil kali titik diperoleh u (v u ) = 0: u (v u ) = 0 u v u u = 0 u u = u v
Karena u 6= 0; maka u v u v = =
2 u u kuk
Jadi, u v proy u v = u u u
Bentuk lain adalah, skalar vektor u v u v u v u proy u v = u = u =
2 u u kuk kuk u kuk
Vektor adalah vektor satuan, yaitu vektor dengan norm satu kuk u
1
1 u = = kuk = 1: kuk kuk kuk
Maka u v u u v u u v ju vj :
= = kproy k = kuk kuk kuk kuk kuk
Persamaan Bidang
Persamaan bidang dapat ditulis secara lebih singkat dengan menggunakan bahasa vektor. Ciri penting bidang adalah ada garis l sehingga setiap garis pada bidang tegak lurus pada garis l tersebut.
Bidang B melalui titik P dengan vektor normal n 6= 0 adalah himpunan semua titik X sehingga vektor !
P X tegak lurus n: Maka !
P X n P = 0 atau (X ) n = 0
! 1 ; y 1 ; z
1 P X P x 1 ; y y 1 ; z z
1 Misalkan n = (a; b; c) dan P (x ) ; X = (x; y; z) : Maka = X = (x ) : Diperolah persamaan bidang x
1 ; y y 1 ; z z
1 (x ) (a; b; c) = 0 atau a x
1 y 1 z
1 (x ) + b (y ) + c (z ) = 0 atau ax
1
1 1 :
- by + cz = d; dengan d = ax + by + cz (2) Persamaan standar bidang adalah a x
1 y 1 z
1 (x ) + b (y ) + c (z ) = 0 (3)
Persamaan bidang juga dapat ditulis sebagai ax + by + cz = d (4) yang diperoleh dari (2).
1 2 ; dikatakan De…nition 4 Dua bidang denga vektor normal masing-masing adalah n dan n
1 2 ; yaitu jika n
1 2 :
1. Paralel jika n = n untuk suatu konstants k n 1 2 ; yaitu jika n
1
2
2. Tegak lurus jika n n = 0:
? n
Jarak Titik ke Bidang
Misalkan B adalah bidang melalui P (x 1 ; y 1 ; z 1 ) dan vektor normal n = (a; b; c) : Jika X (x ; y ; z ) sebuah titik sebarang, kita ingin menentukan jarak dari X ke bidang B: Jarak dari titik X ke bidang B; ditulis ! ! j
P Y
XY : Titik Y disebut proyeksi X
(X; B) adalah jarak dari X ke Y sehingga 4P Y X siku-siku di Y; ? ! !
XY
XY ke bidang B: Akibatnya tegak lurus bidang. Dengan demikian k n: Jadi,
! P X n x 1 ) + b (y y 1 ) + c (z z
1 ! ! ja (x )j j (X; B) =
XY = proy n P X = = p
2
2
2 knk a + b + c
; y ; z SOAL Jarak dari titik X (x ) ke bidang B dengan persamaan ax + by + cz = d adalah d
- by + cz jax j j
(X; B) = p
2
2
2 a
- b + c
2x + z = 7: CONTOH Tentukan jarak antara dua bidang yang sejajar yaitu 2x+z = 1 dan 2x+z = 10: Ambil sebarang sebarang titik dibidang pertama, sebut X (1; 2; 1) : Jarak antara dua bidang tersebut sama dengan jarak dari titik (1; 2; 1) pada bidang pertama ke bidang kedua, 2x + z = 10: Normal kedua bidang adalah n
= (2; 0; 1) : Maka jarak antara kedua bidang adalah
7 j2 (1) + 0 ( 2) + 1 (1) 10j j
(X; B) = p = p
2
2
2
5 2 + 0 + 1 CONTOH Tentukan sudut antara diagonal segiempat dengan titik-titik sudut A (1; 0) ; B (0; 3) ; C (3; 4) ;
! ! dan D (4; 1) : Misalkan u = AC = C A = (2; 1) dan v = BD = D B = (4; 2) : Maka u v 4 2 + 1 ( 2)
3 cos = = = q p
2
2
2
2
5 kuk kvk 2 + 1 4 + ( 2)
Jadi,
1
3 = cos = 0:927295 rad 53:13
5 Hasil Kali Silang
Bila garis ditentukan oleh dua titik yang dilaluinya, maka bidang ditentukan oleh tiga titik tak segaris yang dilaluinya. Misalkan A; B; dan C tak segaris berada pada sebuah bidang P: Untuk menentukan persamaan bidang (3), kita memerlukan vektor normal n:
! ! ! !
AB AC AB AC
Karena vektor dan berada pada bidang, maka tentunya dan tegak lurus terhadap n: Jadi, ! !
AB AC; kita perlu menentukan sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap dua vektor dan yaitu (
! n AB = 0
(5) ! n AC
= 0 Ini adalah satu contoh munculnya masalah menentukan vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang diketahui.
1
2
3 Maka masalahnya secara umum dapat diformulasikan sebagai berikut. Misalkan a = a i + a j + a k dan
1
2
3
1
2
3 b = b i + b j + b k dua vektor tak nol yang tidak sejajar. Tentukan vektor x = x i + x j + x k sehingga x a = 0 dan x b = 0: (6) Dengan demikian kita perlu menyelesaikan sistem persamaan (6), yang secara eksplisi adalah sistem per- samaan linear x a = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 x b = b
1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0 Tulis ulang sebagai a
1 x
1 2 x 2 a 3 x
3
- a = b
1 x
1 2 x 2 b 3 x
3
- b =
a a
1
b 6= b
2 Karena a dan b tidak sejajar, artinya a bukan kelipatan dari b; maka dapat diasumsikan bahwa .
1
2
1 b 2 a 2 b
1 3 x 3 b 3 x 3 : Jadi, a dan q = Maka sistem persamaan linear
6= 0: Misalkan p = a a 1 x
1 2 x
2
- a = p b
1 x
1 2 x
2
- b = q mempunyai penyelesaian pb
2 qa
2 3 b
2 2 b
3
3 ( a + a ) x x
1 = = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b
1 qa 1 pb
1 1 b
3 3 b
1
3 ( a + a ) x x
2 = = a
1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b
1 Artinya, solusi adalah (a 2 b 3 a 3 b 2 ) x 3 (a 3 b 1 b 3 a 1 ) x 3 a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 b 3 a
1 x ; ; x
3 3 ; ; = = x 1 (7) a
1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b
1 untuk tiap x
3 3 = a
1 b 2 a
2 b 1 ; diperoleh sebuah solusi istimewa yaitu
2 R: Jika kita pilih x
2 b 3 a 3 b 2 ; a 3 b 1 a 1 b 3 ; a 1 b 2 a 2 b
1 x = (a )
Solusi ini disebut hasil kali silang dari a dan b; a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ; a 3 b 1 a 1 b 3 ; a 1 b 2 a 2 b 1 )
; Berdasarkan (7), setiap vektor yang tegak lurus a dan b adalah kelipatan dari a b b jika x a = 0 dan x b = 0; maka x = (a ) untuk suatu konstanta :
Notasi lain a 2 a 3 a 1 a 3 a 1 a
2 a b ; ;
= det det det b 2 b 3 b 1 b 3 b 1 b
2 Sifat-sifat Hasil Kali Silang
3 ; dan k konstanta,
Theorem 5 Untuk tiap vektor a; b; dan c di R 1. a b a
= (b ) 2. a b c
(b + c) = a + a 3. k (a b ) = (ka) b = a (kb) 4. a (a b ) = b (a b ) = 0 5. a (b c ) = (a b ) c 6. a (b c ) = (a c) b (a b ) c
3 ;
Theorem 6 (Persamaan Lagrange) Untuk tiap vektor a; b; dan c di R
2
2
2
2 = (a b) b kak kbk + ka k
Hasil Kali Silang, Luas dan Volume
Persamaan Lagrange dan fakta bahwa a b = kak kbk cos memberikan bahwa b ka k = kak kbk sin b
Jadi, ka k adalah luas jajar genjang yang dibangun oleh vektor a dan b: b Gunakan hasil di atas untuk memperlihatkan bahwa k(a ) ck adalah volume paralelpipedium yang dibangun oleh vektor a; b; dan c: CONTOH Diberikan tiga titik A ( 2; 2; 0) ; B (0; 1; 1) ; dan C ( 1; 2; 2) :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui ketiga titik
2. Tentukan luas 4ABC ! !
Misalkan a = CA = A C = ( 1; 0; 2) dan b = CB = B C = (1; 1; 1) : Maka normal bidang ABC adalah n = a b = ( 1; 0; 2) (1; 1; 1) = (2; 3; 1) : Maka persamaan bidang tersebut adalah 2 (x ( 1)) + 3 (y 2) + (z ( 2)) = 0
2x + 2 + 3y 6 + z + 2 = 0 atau 2x + 3y + z = 2
! ! CA CB; dan b =
Sedangkan luas 4ABC adalah setengah dari luas jajar genjang yang dibangun oleh a = yaitu p p
2
2
2
1
1 2 + 3 + 1
14 b (2; 3; 1) = = luas 4ABC = (ka k) =
2
2
2
2 CONTOH Tentukan persamaan bidang melalui titik (3; 1; 2) ; dan tegak lurus terhadap dua bidang: y x
1
2 2x + 2z = 1 dan + 3y + z = 7: Misalkan n = (2; 1; 2) dan n = ( 1; 3; 1) adalah vektor normal kedua bidang yang diketahui. Misalkan vektor normal bidang yang akan ditentukan adalah n: Karena tegak lurus pada kedua bidang, maka n n
1
2 = 0 dan n n = 0:
Maka boleh dipilih n 1 n
2 = n = (2; 1; 2) ( 1; 3; 1) = ( 7; 4; 5) :
Maka persamaan bidang yang dimaksud adalah 7 (x 3) 4 (y ( 1)) + 5 (z 2) = 0 atau 7x + 21 4y 4 + 5z 10 = 0 atau
7x 4y + 5z =
7 CONTOH Tentukan irisan bidang P 1 : x 2y + z = 3 dan P 2 : x + 4y 2z = 0. Tentukan dulu salah satu titik pada irisan P 1 dan P 2 :
1 2 ; maka Misalkan titik tersebut adalah A (a; b; c) : Karena A 2 P \ P a 2b + c = 3 a + 4b 2c = 0 a 2b = 3 c a
- 4b = 2c
3 a = = 2 dan b = = 4 (1) 1 ( 2) 4 (1) 1 ( 2)
6 !
Untuk c = 1; diperoleh b = 0: Maka A = (2; 0; 1) : Misalkan L = P
1 2 : AX adalah \ P Untuk tiap X 2 L; vektor yang tegak lurus pada n
1 = (1; 2; 1) dan n 2 = (1; 4; 2) : Jadi !
AX = t (n 1 n 2 ) = t ((1; 2; 1) (1; 4; 2)) = t (0; 3; 6)
X A = t (0; 3; 6) atau
X (t) = A + t (0; 3; 6) = (2; 0; 1) + t (0; 3; 6) :