Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma (1)

-1-

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
1. BENTUK PANGKAT
1.1 PANGKAT BULAT POSITIF
Jika

a R

nA

dan

maka didefinisikan :
a a a a ... a sebanyak n faktor.
a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat)
n

Contoh 1 : Tentukan nilai dari
Jawab

2

5

 1
dan   
 3

4

25 = …………..

:

4

 1
 
 3

= ……………..

Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling
sederhana dari :
a)

2 3 2 4

b)

37
32

c)  2 3 
d)

 2
e)  
 3

4

4

 pq  5

2 3 2 4 = ………….
37
b) 2 = ………….
3

Jawab : a)

c)  2 3 
d)

4

= ………….
5

 pq  = …………..

 2
e)  
 3

4

= ……………

Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :
Jika a , b  R , m  A dan n  A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:

a m . a n ....
am
2.
...
an
1.

3.  a m 

n

4.  ab ....

 a
5.  
 b

n

....

....

Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk
berikut :
3

a) x 2 . x 7
d)  x 2 y 
b)

n7
n2

c)  x 2 
Jawab

: a)

 2 p2 
e) 

 q 
5

4

4

f)  2 xy 3  . x 2 y

x 2 . x 7 = ...

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-2-

b)

n7
= ...
n2

c)  x 2 

5

d)  x y 
2

= ....
3

 2 p2 
e) 

 q 

= ...
4

= ....

4

f)  2 xy 3  . x 2 y = ...

LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan
k)   3k 3 

a) p 6 p 4

f)

b) 4a 2a 3

8k 5:2 k 2
h) 4 d 3x 2 d 2 : d 4

5

 2
e)  
 3

4

3

m)  3 p 2 q 3 



10
2
3
i) 12 a : 2 a .3a

j)  2 p 2 

3

l) 2 5 p 2 

g)

c) 2 p 2  p 6 p 5

 1
d)  
 2

x10 : x 3

5 3

 4 p qr 
2



n)

5

o)

8 pq 2 r 2



2 x2 y3



3

8x 5 y 4

2. Sederhanakan
a)

a n 1
a

n2
b)  2 p
 pn 1

c)

2x  3

d)

5.2 2 x 1

1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari :

23
35
b)
23
35
23
: a) 3 = ……………..
2
35
b) 5 = ………………
3
a)

Jawab

c)

23
= ………………..
25

d)

32
= ……………….
36

c)

23
25

d)

32
36

Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa :
Untuk setiap a  R , a  0 dan n  R berlaku sifat-sifat :

a 0 ...
2. a  n ...
1.

Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :
a)

5 3

b)

1
2 3

c)

  2 x y
2

2

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-3-

5 3 = ...
1
b)
= ...
2 3

Jawab

: a)

c)

  2 x y
2

2

= ...

LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :
5

a)

a

f) a

b)

3k  2

2

b a b

 5q  2 
k) 

 h3 

2



 5 p 2 q 3r 
m) 

 6 pq 5r 3 

 8x 2 y 3 
j) 

 16x 5 y 

2

2

l) 3a 2 b  3

8a  6
h)
2a 4
56t 5
i)
7t  2

4
x 3

e)  4 a 

4

g) 4m 7 n  4 2m  6 n  3

2 4
k
c)
5
d)

6

 2a 
3

4 2

2

3

2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :
 a 2b 
a) 

 c 

3 2

2

b)

 2bc 

c)

4a

a 2 b 5 4c

b 3c a  2

1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN)
Seperti kita ketahui jika

2 3  8 maka 2  3 8

2 2 ... maka 2 = ...
maka 2 = ...
2 4 ....
4
3 .... maka 3 = ...
Misal a  x m / n , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :
Maka jika



a n  x m/ n



n

a n  x ....
a  ......
Jadi :

x m / n .......
Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :
a) 21/ 2
b) 63/ 5
Jawab

sehingga

c)

x1/ n .......

2 x 3/ 2

21/ 2 = ....
b) 63/ 5 = ....
c) 2 x 3/ 2 = ....

: a)

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-4-

a)
Jawab

: a)
b)

b)

3

:

3

x2

3 = ...

1
3

x2

= .....

Contoh 3: Tentukan nilai dari
Jawab

1

163/ 4

3/ 4
= .....
163/ 4 =  .......

= .........

LATIHAN SOAL
1. Ubah menjadi bentuk akar
a) 31/ 2
b) 5 1/ 3

c)

1  2/3
x
3

4 3/ 4

d)

x4/9

e)

2. Ubah ke bentuk pangkat
a) 2 5

1
5
2

b)

c)

3

d)

52

3
3

e)

34

25 x 2
7

3. Tentukan nilainya
a)

3

b)

64

2/3

c)

8

32

3/ 5

d)

3/ 8

81

 27 
e) 

 64 

2/3

4. Sederhanakan dalam bentuk akar
a)

2 3/ 4 .21/ 8

b)



6



2

c) 2 2 . 18

5. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari x 

d)

2
2

e)

12
2. 3

 b  b 2  4 ac
2a

2. BENTUK AKAR
2.1 OPERASI BENTUK AKAR
Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan
dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b 0
Contoh bentuk akar :

2 , 3 , 5 , 3 2 , 3 4 , 5 7 dsb

bukan bentuk akar :
Catatan :

4 , 9 , 3 8 , 4 16 dsb

a adalah bilangan non negatif, jadi

a 0

Operasi Pada Bentuk Akar
1. a x a  a
2. ab  a b
3. a c b c  a  b c
4.

a
a

b
b

Contoh 1: Sederhanakan :

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-5-

a)
Jawab

: a)
b)
3

d)

x3

3

a8

a 8 = ....

Contoh 2: Sederhanakan :
a) 3 2  4 2
Jawab

c)

75

20 = ...
75 = ....
x 3 = ....

c)
d)

b)

20

b) 4 3  7 3  5 3

c)

8  18

: a) 3 2  4 2 = ...
b) 4 3  7 3  5 3 = ...
c) 8  18 = ....

Contoh 3 : Sederhanakan :
a) 6  3
Jawab

: a)
b)
c)

b)



5

3



5

3



c)

2

2

3



2

6  3 = ....

 5  3
 2 2  3

5
2

3



= ....

= ....

LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan
a) 72
b)
f) 3 12 a 5b 3 g)

160

c)

1200

d) 2 80

2
2

h)

9
3

i)

d)

72  180
45  18

e)

2x 2  x 8
4x

e)

8
9

j) 2

8x 2

a 3b 2
4 c4

2. Sederhanakan
a)

12  50 

48

b) 2 16  3 18 
c)

27

3 20  4 45
2 5

3. Sederhanakan
a)
2 3
2 3


b) 

5


3 



5 3





c) 3 5  2 3 3 5  2 3



d)



x

x 

y





2

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR
Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian.
Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.
Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

1. Pecahan Bentuk

a
b

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-6-

b
b

Diselesaikan dengan mengalikan

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

2
2
b)
3
3 3
2
2
: a)
=
x ... = .....
3
3
2
2
b)
=
x ...
= .....
3 3
3 3
a)

Jawab

a
b c

2. Pecahan Bentuk

b
b

Diselesaikan dengan mengalikan

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan
Jawab

:

8
3

5

=

8
3

5

3. Pecahan Bentuk

x ...

c
c

8
3

= ....

a
b c

Diselesaikan dengan mengalikan

b
b

c
c

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan
Jawab

:

12 3
=
6 2

5

12 3
x ....
6 2

12 3
6 2

= ........

LATIHAN SOAL
1. Rasionalkan penyebutnya
a)

12
3

b)

10
5

c)

9
2 3

d)

7 3
7

e)

4 3
5 2

2 5
7  13

e)

4 6
8 2 3

2. Rasionalkan penyebutnya
a)

9
5 7

b)

20
4 6

c)

5
11  6

d)

c)

8 3
11  7

d)

3. Rasionalkan penyebutnya
a)

14
b)
10  13

 10
2 7

6
3 2
e)
10  2 3
3 5 4 2

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-7-

3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)
Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung
variabel/peubah.

a f ( x )  a p maka f(x) = p
a f ( x )  a g ( c ) maka f(x) = g(x)

1. Jika
2. Jika

dimana p suatu konstanta
Contoh 1: Tentukan HP dari :
a) 4 2 x  3  8
Jawab

4 2 x  3 8

: a)

2 
....

2 x 3

82 x  1 163x  2

b)

b)

....

 2....

2............  2...

= ....

..... = ....
...... = .....
x = ....

..........= ....
x = ...

HP:{............}

82 x  1 163x  2

HP:{ .......

}

LATIHAN SOAL
Tentukan HP dari :
1.

27 x  2  812 x  5

6.

5x  9  253 x
x

2.

8

2 x 1

1

4 x 5

3. 9

4. 52 x 
5.



3



1
27

5
5

x 5

1

 1
7.    82 x
 2

1
1253x  2
25x
8
2x  1
9. 16
 x 1
2
8.

10.

82 x  3
1

8
4
32

3. LOGARITMA
3.1 PENGERTIAN LOGARITMA
Seperti telah kita ketahui bahwa :
Jika 52  25 maka 5 = …

23 .... maka 2 ....
Jika 25 .... maka 2 = …
Jika

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-8-

Pada 23 8 , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?
Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan
bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).
Jadi jika 23 8 maka 3 2 log 8 dibaca “2 log 8”
Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan.
Secara umum dapat dinyatakan :
Jika

a x  y maka x = ….

a  0, a 1 dan y  0

syarat :

a : basis logaritma
y : numerus
x : hasil logaritma
Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.
Jadi jika log 5 maksudnya 10 log 5 .
Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan :
a. 34 81
b. 2 n 128
c. a b c

34 81  4 = ….
b. 2 n 128  n = ….
c. a b c  b = ….

Jawab

: a.

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma :
a. 4  3 log 81
b. log 100 = 2
c. p log q  r
: a. 4  3 log 81  ….
b. log 100 = 2  ….
c. p log q  r  ….

Jawab

Contoh 3: Hitunglah :
a.

2

log 64

b.

e.

5

log1

f.

: a.

2

e.

5

2

1
2

log

1
8

c. log 1000
g.

log 4

1
3

log

d.

3

log 27

1
81

log 64 = x  … = 64  x = ….
1
2
b. log = x  … = …  x = ….
8
c. log 1000 = x  … = …  x = ….
d. 3 log 27 = x  … = …  x = ….

Jawab

log1 = x  … = …  x = ….

1
2

log 4 = x  … = …  x = ….
1
1
g. 3 log
= x  … = …  x = ….
81
f.

LATIHAN SOAL
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari :
a.

2

5  25

b.

2

3

1

9

4

c.

0

5 1

1/ 2

d.

9

d.

9

1
1
e.   
16
 2

3

2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari :
a. log 10.000 = 4 b.

2

log

1
 4
16

c.

7

log1 0

log 3 

1
2

e.

1
4

log

1
2
16

3. Tentukan nilainya dari :

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-9-

5

a.
f.

2

log 625

b.

log 16

g.

2

k.

4

log 4

1
27
1
3
l. log
81

log 8

3

7

c.

log

1
2

h.

log1

d. log 0,1

log 1

i.

3 3

m.

1
2

1
4
1
1
j. 2 log
8
e.

log 8

2

log

log 9

3.2 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

a  0, b  0, c  0 dan a 1 , maka :
a
5. a log b b
log bc a log ba log c
b
n
a
am
log a log b  a log c
6.
log b n  a log b
c
m
a
c
a
a
b
7. log b. log c a log c
log b c log b
c
1
log b
a
a
log b  b
8. log b  c
log a
log a

Jika
1.
2.
3.
4.

a

Bukti :
Sifat 1: Misal

a

log b  m  b ....
log c  n  c ....

a

Maka bc = ….
Sifat 6: Misal

a

a

Jawab

d.
g.

8

: a.
b.
c.
d.
e.

g.

+

…
m

log b n ........ ......

log b m  b ....... c log bc log a m  mc log a ......  m ......
 a log b ......

5

3

log 3. log 8. log 5

b.

25

e.

2

5

log 3
10

log 2

c.
f.

2

log 32 log 62 log 2

2

log 4 3
 log16
log 3

2

log 256
3

3 log 5 = ….
5
25 log 3 = …..
2
log 32 log 62 log 2 = ….
2
log 3.5 log 8.3 log 5 = …..
2
log 210 = …..
2

f.

…

m

Contoh 1: Sederhanakan :
3
a. 3 log 5
2

=

log b  x  b ......  b mn .....  nxa log b mn  nx m a log b n 
am

Sifat 8: Misal

 a log bc .....

= ….

2

log 4 3
 log16 = ….
log 3

8

log 256 = ….

Contoh 2: Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan log 24

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-10-

Jawab

: log 24 = ….

Contoh 3: Jika
Jawab

:

5

3

log 4  a dan 4 log 5 b , maka tentukan 5 log 9

log 9 = 5 log 32 .....

LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan
a. 6 log 8 6 log 26 log 9

f.

2

2

log15.3 log16.15 log 9
g. 3 log 4.2 log 3.4 log 8
h. 8 log16

log 2  log 3  log 3 2
log 6

i.

16

log 502 log 4 2 log10
c. 2 log 3  log 2  log18
b.

d.

3

e.

log 53 log 6 3 log 2
9
log15

3

j.

log 625
log 23 log 25 3 log 5
3
log10

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :
a. log 20
b. log 500
c. log 40
d. 2 log 5

log 3  m dan 3 log 5  n , maka tentukan :
a. 2 log 5
b. 2 log 75
c. 2 log 500

3. Jika

e.

5

e.

125

log 8

2

d.

8

log 25

log 4

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma