3b solusi pm 3 2008 pers logaritma

  Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2008

  16

  3

  4

  1

  y y

   y y atau ³ 16 y y 

  

    ^{1 3}

  16 ³   y y

   y y atau ³ log 16 log y y 

  

  log 16 log

    ^{1 3}

  3 16 log 

  atau y y log

  3  

  6  atau

  1

  3 log 16 log  y y y y log

  y y y     

  y y y atau  y ,

  64 ²    

  1

  8

  1

  8

  1

    

  4 ^{4 6}  y atau

  4 ^{2 3 2 3}    y y atau ) 4 )( 4 (

  1

  4

  1

    

  16 ²   y y

   

  16 log

  1 log 16 log   y y atau

  Nomor Soal: 21-30

  8  log log  y x ^{x y}

  a a

  8  1 

  3

  

, maka persamaan (1) menjadi:

  …. (1) Misalnya a y x  log log

  8 log log log log   x y y x

  3

  3

  8

  16 

  Solusi: y x

  16 y x y x _{x y}

  8 log log

  3

  

  21. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan      

  3

  3 ²    a

  3

      log log

  3

  16

     log log

     

  1

atau a

y x y x a

  3

  16

      

  a

  3  a a y x y x a

  a atau

  1  

  3

  a

     a

  ) 3 )( 1 3 (

  4 

  1

  y   atau y  ,

  4 

  8

  1

  y  atau y 

  4 (karena x  dan y  )

  8

  1

  1  

  16

  2 y   x 

  16 y   atau y  4  x  16 y 

  16 4 

  64

     

  8

  8

   

     1 

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 

  2 ,  , 64 ,

  4    

  8  

     log( 2 xy )  log x log y 

   log( yz ) log y log z . 

22. Selesaikan sistem persamaan

   log( 2 zx )  log z log x

  

  Solusi: Persamaan (1) dijabarkan sebagai berikut.

   log( 2 xy ) log x log y log x log y 

  1  log 2  log x  log y  1 (kedua ruas ditambah 1)      log x log y log x log y

  1 log

  2

  1     log x (log y

  1 ) (log y 1 ) log

  20   

  (log x 1 )(log y 1 ) log

  20 Persamaan (2) dijabarkan sebagai berikut. log( yz )  log y log z log y log z 

  1  log y  log z  1 (kedua ruas ditambah 1) log y log z  log y  log z  1 

  1 log z (log y  1 )  (log y  1 ) 

  1 (log y  1 )(log z  1 ) 

  1 Persamaan (3) analog dengan persamaan (2), sehingga penjabarannya adalah   

  (log x 1 )(log z 1 ) log

  20 Sehingga sistem persamaan semula identik dengan sistem persamaan berikut ini.  (log x  1 )(log y  1 )  log

  20 

     (log y 1 )(log z 1 )

  1  

  (log x  1 )(log z  1 )  log

  20 

  Dengan mengalikan ketiga persamaan itu diperoleh ₂

₂

  (log x  1 )(log y  1 )(log z  1 )  log

  20

   

       (log x 1 )(log y 1 )(log z 1 ) log

  20        

  (log x 1 )(log y 1 ) log 20  (log x 1 )(log y 1 )(log z 1 ) log

  20    log

  20 (log z 1 ) log

  20

  1  1 log  z

   Solusi: 2 log log log ^{4 4 2}    z y x 2 log log log ^{4 4 2 4}    z y x 2 log ^{2 4}  yz x

  1 ,

  2

  1 .

      

       

     2 log log log 2 log log log 2 log log log _{16 16 4 9 9 3} ^{4 4 2}

  y x z x z y z y x .

  16 ²  yz x

        

  …. (1) 2 log log log ^{9 9 3}    x z y 2 log log log ^{9 9 2 9}    x z y 2 log ^{2 9}  z xy

  81 ²  z xy

  …. (2) 2 log log log ^{16 16 4}    y x z 2 log log log ^{16 16 2 16}    y x z 2 log ^{2 16}  xyz

  256 ²  xyz

  …. (3) Hasil kali ketiga persamaan itu menghasilkan: 256

  81

  16 ^{2 2 2}      xyz z xy yz x

     1 ,

   

  

100

 z atau

  200  x atau

  1 

  z

  1 ) 1 )(log  1 (log   z y

  

  ) 20 log 1 )(log 1 )(log

   1 (log     z y x 20 log 1 )

   1 (log   x 20 log  1 log  x

  2

  

Jadi, penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(200,100,100)} atau

  1  x

  ) 20 log 1 )(log  1 (log   z x

  

  ) 20 log 1 )(log 1 )(log

   1 (log     z y x 20 log ) 20 log

   1 (log   y

  1  1 log  y 100  y atau

  1  y

23. Carilah himpunan solusi dari sistem persamaan

  4 ^{4 4 4 4 4} x y z

  2

  3

  4    xyz

  2

  3

  4   

  xyz

  24  ₂

  xyz 

  24 x yz 

  16  24 x

  16 

  2

  x  ₂

  3

  xyz

  24 xy z

  81

     24 y

  81 

  27 

  y ₂

  8

  xyz 

  24 xyz  256

   24 z 256 

  32

  z 

  3  

  

  2

  27 32  Jadi, himpunan solusinya adalah  , ,  .  

  3

  8

  3  

   

  x y z , , adalah solusi dari system persamaan berikut ini.

   

24. Jika

  _{2 4 4}

₄

 log x log y log z log16     ^{3 9 9 9 48192} log y  log x  log z  log81 . Carilah nilai dari .

   _{4 16 16 16} xyz  log z log x log y log 256

      Solusi: _{a y}

  Dafinisi: log x    y x a _{a y} Akibat 1: 

  log a y _{a log x}

  a  x Akibat 2: _{k a a}

  1 Ketentuan 1: log x  log x

  k Bukti: _{k k a k 1 a log x a a log x a k a k}

  1 log x  log a  log a  log x

 

_{a k a} k

  Ketentuan 2: 

  log x k log x

  Bukti:

    ^{log log} log log log log ^{a a k a k a x a k x a} x a a k x    Akibat 3: log log ^{q a p a} p x x q

  3

  3

  dari (2), (4) dan (3), (4), kita memperoleh jawaban

  2 ²      x x , analogi

  3

  4

  4

  2

  Selanjutnya dari (1), (4), kita mendapatkan  

  8

  xyz …. (4).

  2   

  3

  4

  z y x , menghasilkan

  , ,   

  9  4      xyz , dengan

  16

  32 ,

  27 ,

  3

  48192 48192 2008 24 xyz

  

  6 ^{x x} x   

   _{6 6 5 1 3 log 3 log 2 2}

  6 ^{x x} x   

  Solusi: _{6 6 5 1 3 log 3 log 2 2}

  6 ^{x x} x     .

  ^{6 6 5 1 3 log 3 log 2 2}

    

  xyz    

  3

  3

  8

  3

  24

  32

  27

  2

  2    z y x .

  2

  4

   Dalam logaritma didefinikan , ,    z y x . Pada basis ini untuk  1 ,  a a , Gunakan ² ₂

  2

  yz x …. (1) _{3 9 9 9} log log log log81 y x z    

³

^{3 3}

  4 

  yz x  ^{2 2}

  2 

   ^{4 2}

  log 4 x yz 

  x y z     _{2 2 2} 2 log log log 4 x y z     ^{2 2}

  2

  1 log log log

  2

  1 log log log

  1

  log log log log16 x y z    

²

^{2 2}

    untuk menuliskan kembali sistem _{2 4 4 4}

  A A A a

  1 log log 2 log ^{a a a a}

  log

  1

  2

  …. (3) Kalikan kedua sisi dari persamaan-persamaan ini memberikan       ^{4 2 4}

  2

  16  xy z

   ^{2 2}

  4  xy z

   ^{4 2}

  log  4 z xy

   _{4 4 4} 2 log log log  4 z x y    ^{4 2}

    

  z x y

  2

  2

  2

  1 log log log

  1

  …. (2) _{4 16 16 16} log log log log 256 z x y     ^{4 4 4}

  log  4 y xz  ^{4 2} 3  xz y  ^{2 2} 9  xz y

  4 y x z     ^{3 2}

  y x z     _{3 3 3} 2 log log log

  2

25. Tentukan nilai x yang merupakan akar-akar persamaan

  6 ^{6 5 1} _{3 log 3 log 6 6 2 2} log 6 log ^{x x} x

  2   y y y  

  1 ^{x x}

  1

      _{6 5 log 6 3 6 6}

₆

₂

  x 

  36

  1

  216 x  atau

  log  3 x atau ⁶ log   2 x

   3 y atau   2 y ₆

  3  2 y y  

  5   6 y y y   ₂    6 y y   

  6

  2

      adalah a dan b dengan a b  , maka nilai ....

  3

  3

  1

  5

  Misalnya ⁶ log x y  , sehingga ₂

  2   x x x  

  2

  1 3 log 3 log log

  5

    _{6 6 6 2}

         

  2 ^x

x x

  1 log 6 log 6 3 log log

  x p x p x x

26. Jika akar-akar persamaan  

  ^{3log 2 3log} _{3 6}

     

    

  Sehingga ¹ 1dan 10 a b

      

  

  1atau 3 3log x x    ₁ 1atau 3 3log 10 x x x

   

  1 ^x x

      _{3 3log}

  y y p

  1

  1 1(diterima) atau (ditolak)

  1 1 y p y        

  1

  1 1 0 p y py    

  

  , sehingga   ²

  

  

  Misalnya ^{3 3log x} x y

    

  p x px  

  1 ^{x x}

  1

    ^{6 6log 3 3log}

     

  x p x p x x

  1 ^{x x}

  1

  Solusi:   ^{3log 2 3log} _{3 6}

  a b Jadi, ₁

  1

  3 x y

    

   

  3 log ....(1) 5 ^{x y}

  x y 

   

   

  5 log ....(1) 3 ^{x y}

  x y 

    log log log 5 log 3 ^{a a a a}

  x y   

  5 log log 3 ^{a a} x y

  

  5

  

  3

  3

  5

  x y

  

  .... (3) Dari (1) dan (3) diperoleh _{3 5}

  3

  3 log

  5

  5 ^{x x} x x

           _{8 5}

  2

  3 log

  5

  p p

  5

  10

  1

  10

  a b 

   

  27. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan    

  34 log log 15 log log log 5 log 3 ^{x y x y a a a a}

  x y x y x y   

        

     

  Solusi:    

  34 log log 15 ^{x y x y}

  x y x y  

     

     

  34 log 15 log ^{x y x y}

  5

  x y x y  

     

  Misalnya   log ^{x y} p x y

     , sehingga

  1

  34

  15 p p

    ₂

  15

  34 15 p p   

    

  5 3 3 5 p p   

  3

  5 ^x x 

  2 log x

  3

  5 

  8

  5 log x

  5

  log 2 x  log 5

  3   log8 x log 5

  5

     5log 2 x 5log 5 3log8 x 3log 5 _{3 5} log 8 x  log 2 x  3log 5 5log 5 

      _{9 3} 2 x log   2log 5 _{5 5} 2 x

  16

  1 log log ₂  x

  25

  16

  1 ₂  x ₂

  25 x 16 25

    x   16 25   

  20 3 20 

  x 

  20   y  12 (diterima)

  5 

  3

  20

   

       

  x

  20 y 12 (ditolak)

  5 Dari (2) dan (3) diperoleh _{x x 3}

  

  3

  5 ₅   log x  x   

  5

  3 _{8 x}   ₅

  2

  5 log x 

  5

  3

  2 log x

  5

  5 

  8

  3 log x

  5

   log 2 x log 5 5  log8 x  log 5

  3

     3log 2 x 3log 5 5log8 x 5log 5 _{5 3}

     log 8 x log 2 x 5log 5 3log 5

      _{15 5} 2 x log  2log 5 _{3 3} 2 x _{12 2}

  log 2 x  log 25

  12 ² 2 x

  25  ₂

  25 x

   ₁₂

  2

  25

  5

  5

  x       _{12 6}

  2

  2

  64

  5 3 

  5

  3

  64

  x    y  (diterima)

  64

  5

  64

  5

  3   

  5

  64

  3   x y (ditolak)

       

  64

  5

  64  

  5

  3   Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah 20,12 , ,

       

  64 64     himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

  28. Tentukan _{x y}

   log y  6 log x 

  5   2 log x  log y  log xy 

  Solusi:

  2log x  log y  log xy .... (1) _{x y} log y  6 log x 

  5 _x

  6 log y   _x

  5 _x log y Misalnya log y  a , sehingga

  6

  a  

  5 ₂ a

  a 5 a

  6    a 

  2 a  

  3

    

    

  a _x 2 a

  3 ₂    _x log y 2 y x ....(2) ₃ log y   

  3 y x ....(3)

  Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _{2 2}

     2log x log x log x x ₂

   4log x 3log x

    log x 4log x

  3

    ₃

  3 _{4 4}         log x x 1(ditolak) log x x 10 1000(diterima)

  4

  _{3 3}

  2 _{3 4}   _{4 2}

      

  x

  10 y  10  10 1000    

  Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh _{3 3}

  2log x  log x  log x x  ₂ 6log x  4log x 2log x 3log x  2 

    ₂

  2 _{3 3} log x    x 1(ditolak)  log x    x 10  100(diterima) _{2 2 3}

  3 ₃   _{3 2} x 

  10   y  10   10  100     _{4 3} Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah 1000, 1000 , 100,100

      _{6 log x log x}   _{6 1}

2 x

42 x 19 .

   

29. Tentukan nilai x dari persamaan

  Solusi: _{6 log x log x 6 1} 2 x  _{6 log x  log x} 42 x  ₆

  19

  2 x  42 x  _{6 log x}

  19 Misalnya y x , sehingga ₁ 

  

  2 y  ₂ 42 y 

  19 2 y  42 19  y ₂ 2 y  19 y  42  2 y  7 y  6 

    

  7

  y    y

  6 ₆

  2 _{6 log x log x}

  7   

  x x

  6 ₆

  2 _{6 6 log x 6}

  7 _{6 log x 6}    log x log log x log 6 _{6 2 6}

  2

  7 ^{6 2}    log x log log x

  1 _{6 6}

  2

  7 ⁶      log x log log x

  

1

_{6 log 7}

  2  _{2  1} x 

  6   x

  6

  _{6 log  log}

  7 ₆ ⁷ _{2 2}

  1 x  ₁ 6  x  ₂ 6  x   ₃ 6 x  ₄

_x

_{1 log 5 log 2 }

  6 _{1 2 2}

  

_{x  1}

  log x   1 log8  .

30. Tentukan nilai x dari persamaan  

  log 2,5

  Solusi: _{1 2 2 x  1 log 5 log 2}    _{x 1}

  

     log x 1 log8

   

  log 2,5

  log 5 log 2 log 5 log 2 _{x  1   } log8     log x   1 

   

  1 log 2,5 log x

  1  _{x  1 log8   } log10 log 2,5   log x   1 

   

  

1

log x 1  

    log 2,5

  

2

_x   _{1 x 1}    

  log x   1 log8 

  2 _{x  1}  

   

  log8 x  

  1

  2

    ₂

  8 x   1 x 

  1

      ₂ 8 x   ₂ 8 x  2 x 

  1 x 6 x

  9    ₂

   

  x

  3

   

  

  x

  3