6b solusi pm 6 2010 barisan deret
Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 6
Pebruari Pekan Ke-2, 2010
Nomor Soal: 51-60
n n a n n a n a n 1 1 2 , untuk setiap bilangan bulat positif 1 .
n n n
51. Perhatikan bentuk 1 1
a a a a 1 2 50 a a Jika nilai dan , tentukanlah nilai dari ... .
1 1 2 a a a a 1 2 3 51 Solusi: n a a n n a n n a n a
Dari
1 , 1 2 , dan 1 n 1
1 n 2 n , 1
1
Kita dapatkan bahwa
1 a a a a
1(2) 1(0) ( 1) 1atau 2 2 2!
1
1 a a a a
2(3) 2(1) 2 1atau 3 2 1 3 2! 3!
1
1
1
1 a a a a
3 4 3 2 1 6 atau 4 3 2
4
3! 2! 2 4!
1 n a
Ini menunjukkan bahwa , n 1 , dan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi. Jika
n !
1 a k untuk k
= 0, 1, 2, 3, … , n maka
k ! n n a n n a n a
1 1 2 , n 3.
n n n 1 1 n n n
1
2
1
n n n
! 1 1 !
1 a n n ,
3 1 n
1 ! a n n n
1 ,
2
a n
1 Sehingga a a a o 1 50
1
2
1 ... 3 4 5 ...
51
4
3
4 5 ...
51
a a a 1 2 51
2 1 /
2
2
1
3
51
52
1
1
2
3
4 5 ... 51 1327 ,
5
2
2
2 A .
52. Jika A = jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, tentukanlah nilai 500
Solusi: Perhatikan digram berikut ini.
3
7
13
21
31 …
4
6
8
10
2
2
2
- – (1):
- – (2):
- – (3):
- – (5):
- – (6):
- – (8):
1
5 , 1 ,
3
1 d c b a c b a
3
3
5
3
3
1 d
d S n n n n
3
5
3
3
5 c
5
7 1 ,
b
1
b
7
3
3
3
1 c b a b a
7 ) 1 (
3
3
1 7
c
1 ) ( 2 3
3
12
1
1 1 a a
Jika 1
n
, maka
1 1 1 1 1
1
1
a a a a a a a a
2
1
1
1
1 a a a
2 2 a a
Solusi:
Hitunglah jumlah 2014 2013 3 2 2 1 1 ...
3
687 500 343500 500
1 2 n n n
) 3 100 100 ( 5 100
3
1 ) 100 ( 2 S A
343500
Jadi, nilai dari
A
1 1 a a .
,... , , 3 2 1 a a a
dari bilangan real yang memenuhi hubungan rekursif
n n n a n n a n a n n
1
2
1 1 1
untuk setiap bilangan bulat positif n, dengan
1
Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah
27
S d c b a
23
3
9
d c b a
…. (2) 23 ) ) 3 (
…. (3) 44 ) ) 4 (
) 4 ( ) 4 ( 4 ( 2 3
S d c b a
44
4
16 64
) 3 ( ) 3 ( 3 ( 2 3
d c b a
…. (4) (2)
d c b a
S d cn bn an n
2 3 ) (
, maka 3 ) ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 1 ( 2 3
S d c b a
3
…. (1) 10 ) ) 2 (
8
) 2 ( ) 2 ( 2 ( 2 3
S d c b a
10
2
4
d c b a
7
3
3
2
6
a
3
1 a
1 a
a
6
2
12 b
a
6
2
…. (9) (9)
2 18 b
3
…. (6) (4)
7
c b a
…. (5)
(3)
13
5 19 c b a
21
8
7 37
c b a
…. (7) (6)
6
2 12 b
a
…. (8) (7)
53. Barisan
a
1
a 2
2
2
n a a a
Jika 2 , maka
2
2 1 2 1
2 2 1 1
2
2 1 2 a a
6 3
2
2
2
3
1
1
a 3 a 2
6
6
2
6
n a a a
Jika 3 , maka
3 3 1 3 2
3
3 1
3 1 3 1 3
a a a
12 4 2
6
3
1
1
1
a a a
12 4 6 3 2 6
6
2
2
1
a 4
24 dan seterusnya
a n 1 n
sehingga untuk setiap n bilangan bulat positif
a n
1
a a a a 1 2 2013
1 1 2014
2 ... 1 2014 2 . 029 . 105
...
1 2 3 ... 2014
a a a a
1
1 1 2 3 2014
1
2
2
6
54. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang tidak habis dibagi 2 maupun 3?
Solisi:
Bilangan- bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 200, 201, 202, …, 700.
a b u
200 , 201 200 1 , dan 700 n
u a n b n
1
n
700 200
1
1 700 199 n
n
501 Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 adalah 501.
Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dib agi 2 adalah 200, 202, …, 700.
a b u
200 , 202 200 2 , dan n 700
u a n b n
1
n
700 200 1
2 700 n 2 198
n
2 502
n
251 Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 adalah 251.
Bilangan- bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 201, 204, …, 699.
a b u
201 , 204 201 3 , dan 699 n
u a n b n
1
n
699 201
1
3
699 3 198 n
n
3 501
n
167 Banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 3 adalah 167. Bilangan-bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 (habis dibagi 6) adalah 204, 210, 216, …, 666.
a b u
204 , 210 204 6 , dan 696 n
u a n b n
1
n
696 204
1
6
696 6 198 n
n
6 498
n
83 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 83.
Dengan demikian, banyak bilangan dari 200 hingga 700 yang habis dibagi 2 maupun 3 adalah 501 – 251 – 167 + 83 = 166.
55. Berapa banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5?
Solusi: Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. n A Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2.
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 202, 204, …, 500 .
a b u
200 , 202 200 2 , dan 500 n
u a n b n
1
n
500 200
1
2
500 2 198 n
n
2 302
n
151 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 adalah 151, sehingga
n A 151 .
n B Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3.
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 201, 204, 207, …, 498 .
a b u
201 , 204 201 3 , dan n 498
u a n b n
1
n
498 201
1
3
498 n 3 198
n
3 300
n
100
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 adalah 100, sehingga
n B 100 . n C Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5.
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 200, 205, …, 500.
a b u
200 205 200 5 500 , , dan n
u a n b n
1
n
500 200 1
5 500 n 5 195
n
5 305
n
61 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 5 adalah 61, sehingga
n C
61 .
n A B
Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3
(atau habis dibagi 6) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 204, 210, …, 498.
a b u
204 , 210 204 6 , dan 498 n
u a n b n
1
n
498 204
1
6
498 6 198 n
n
6 300
n
50
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 3 adalah 50, sehingga
n A 50 .
B n A C
Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5
(atau habis dibagi 10) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 200, 210, …, 500.
a b u
200 , 210 200 10 , dan 500 n
u a n b n
1
n
500 200
1
10
500 10 190 n
n
10 310
n
31 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2 dan 5 adalah 31, sehingga
n A 31 .
C n B C
Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5
(atau habis dibagi 15) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 210, 225, …, 495.
a b u
210 , 225 210 15 , dan 495 n
u a n b n
1
n
495 210
1
15
495 15 195 n
n
15 300
n
20 Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 3 dan 5 adalah 20, sehingga
n B 20 .
C n A B C
Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3,
dan 5 (atau habis dibagi 30) adalah Bilangan- bilangan yang dimaksud adalah 210, 240, …, 480.
a b u
210 240 210 30 480 , , dan n
u a n b n
1
n
480 210 1
30 480 n 30 180
n
30 300
n
10
Jadi, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, dan 5 adalah 10, sehingga
n A B C 10 .
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 200 hingga 500 yang habis dibagi 2, 3, atau 5 adalah
n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C
151 100
61
50
31
20 10 221 .
56. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2?
Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .
3 1 ,
3 2 ,
3 3 ,
3 4 ,..., 3 333 Barisan ini dapat ditulis sebagai . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.
a n u
3 333 Dari barisan tersebut diketahui , , dan n u 999 333
n S a u n n
2 333 S
3 999 166833 333
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996 Barisan ini dapat ditulis sebagai 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 ,..., 6 166 Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.
a n u
Dari barisan tersebut diketahui 6 , 166 , dan 996 n u 166
n S a u n n
2 166 S
6 996 83 . 166 166
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2 adalah 333
- – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.
57. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi: Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. n A Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.
Bilangan-b ilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 . Barisan ini dapat ditulis sebagai 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 ,..., 3 333 . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga
a n u
n A 333 .
Dari barisan tersebut diketahui 3 , 333 , dan u 999 n 333
n S a u n n
2 333 S
3 999 166833 333
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
n B Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .
2 1 ,
2 2 ,
2 3 ,
2 4 ,..., 2 500 Barisan ini dapat ditulis sebagai . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga
n B 500 . a n u
Dari barisan tersebut diketahui 2 , 500 , dan n u 1000 500
n S a u n n
2 500 S
500 2 1000 250 . 500
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.
n A B
Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2
(atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996
6 1 ,
6 2 ,
6 3 ,
6 4 ,..., 6 166 Barisan ini dapat ditulis sebagai Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga
n A B 166 . a n u
6 166 Dari barisan tersebut diketahui , , dan n u 996 166
n S a u n n
2 166 S
6 996 83 . 166 166
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah
n A B n A n B n A B
333 500 166 667
Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500
- – 83.166 = 334.167
58. Berapa banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibadi 4 dan 7? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Bilangan-bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 (habis dibagi 28) adalah 28, 56, 84, …, 700.
a b u
28 , 56 28 28 , dan n 700
u a n b n
1
n
700
28
1
28
n
700
28
n
25 Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 25.
a n u
Dari barisan tersebut diketahui 28 , 25 , dan 700 n u 25
n S a u n n
2
25 S 28 700 9 . 100 25
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 700 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah 9.100.
59. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi:
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 . Barisan ini dapat ditulis sebagai 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 ,..., 3 333 . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333.
a n u
Dari barisan tersebut diketahui 3 , 333 , dan 999 n u 333
n S a u n n
2 333 S
3 999 166833 333
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
Bilangan-bilangan dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2 (atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996 Barisan ini dapat ditulis sebagai 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 ,..., 6 166 Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166.
a n u
Dari barisan tersebut diketahui 6 , 166 , dan 996 n u 166
n S a u n n
2 166 S 166 6 996 83 . 166
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 2 adalah 333
- – 166 = 167. Sedangkan jumlahnya adalah 166.833 – 83.166 = 83.667.
60. Berapakah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2? Berapakah jumlah bilangan-bilangan tersebut?
Solusi: Kita menggunakan prinsip inklusi-eksklusi. n A Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3.
Bilangan- bilangan asli yang dimaksud adalah 3, 6, 9, 12, …, 999 .
3 1 ,
3 2 ,
3 3 ,
3 4 ,..., 3 333 Barisan ini dapat ditulis sebagai . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 333. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 333, sehingga
n A 333 . a n u
Dari barisan tersebut diketahui 3 , 333 , dan n u 999 333
n S a u n n
2
333 S
3 999 166833 333
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 166.833.
n B Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2.
Bilangan-bilangan asli yang d imaksud adalah 2, 4, 6, 8, …, 1000 .
2 1 ,
2 2 ,
2 3 ,
2 4 ,..., 2 500 Barisan ini dapat ditulis sebagai . Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 500. Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 adalah 500, sehingga
n B 500 . a n u
Dari barisan tersebut diketahui 2 , 500 , dan n u 1000 500
n S a u n n
2 500 S
500 2 1000 250 . 500
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 2 adalah 250.500.
n A B
Misalnya adalah banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 dan 2
(atau habis dibagi 6) adalah 6, 12, 18, 24, …, 996
6 1 ,
6 2 ,
6 3 ,
6 4 ,..., 6 166 Barisan ini dapat ditulis sebagai Perhatikan suku terakhir barisan tersebut adalah 166.
Jadi, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 166, sehingga
n A B 166 . a n u
Dari barisan tersebut diketahui 6 , 166 , dan n u 996 166
n S a u n n
2 166 S
166 6 996 83 . 166
2 Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 6 adalah 83.166.
Dengan demikian, banyak bilangan asli dari 1 hingga 1000 yang habis dibagi 3 atau 2 adalah
n A B n A n B n A B 333 500 166 667
Jumlahnya adalah 166.833 + 250.500
- – 83.166 = 334.167