B. Ruang Sampel dan Titik Sampel - Peluang

Peluang
A. Populasi dan Sampel
Definisi
Populasi adalah himpunan semua obyek yang diteliti. Sampel adalah himpunan bagian
dari populasi.
Contoh: Dalam rangka menentukan tingkat kecerdasan rata-rata siswa SMP di suatu
Kabupaten, diadakan tes kecerdasan di 6 SMP. Tentukan:
a) Populasinya?
b) Sampelnya?
Jawab:
a) Populasinya = Siswa SMP se-Kabupaten
b) Sampelnya = Siswa 6 SMP yang di tes

B. Ruang Sampel dan Titik Sampel
Definisi
Ruang Sampel adalah himpunan dari semua percobaan. Titik Sampel adalah
himpunan bagian dari ruang sampel.
 Pada Uang Logam, ada Angka dan Gambar.
Jadi, Ruang Sampel sebanyak {2}.
 Pada Dadu, ada 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Jadi, Ruang Sampel sebanyak {6}.

 Pada Kartu Remi, ada :
13 Kartu Sekop ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠
13 Kartu Hati ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠

13 Kartu Keriting ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠

{ 13 Kartu Berlian ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 𝐽, 𝑄, 𝐾, 𝐴𝑠
Jadi, Ruang Sampel sebanyak {52}.

C. Menentukan Ruang Sampel
1) Diagram Pohon
Contoh: Dua mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan:
a) Ruang sampelnya (𝑆)?
b) Banyaknya titik sampel 𝑛(𝑆)?
Jawab:
a) Uang Logam 1
Uang Logam 2
Hasil
A

AA
A
G

AG

A

GA

G

GG

G

1

𝑆 = {(𝐴𝐴), (𝐴𝐺), (𝐺𝐴), (𝐺𝐺)}

b) 𝑛(𝑆) = 4

2) Tabel
Contoh: Dua mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan:
a) Ruang sampelnya (𝑆)?
b) Banyaknya titik sampel 𝑛(𝑆)?
Jawab:

a)
Uang Logam 2

A

G

A

AA

AG

G

GA

GG

Uang Logam 1

𝑆 = {(𝐴𝐴), (𝐴𝐺), (𝐺𝐴), (𝐺𝐺)}

b) 𝑛(𝑆) = 4

D. Peluang Teoritik Suatu Kejadian Tunggal
1) Nilai Peluang

𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
Keterangan: 𝑃(𝐴) = nilai peluang kejadian 𝐴
𝑛(𝐴) = banyaknya titik sampel kejadian 𝐴

𝑛(𝑆) = banyaknya ruang sampel
𝑃(𝐴) =

2) Kisaran Nilai Peluang
Nilai dari suatu peluang mempunyai kisaran tertentu, yaitu:
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
𝑃(𝐴) = 0, berarti suatu kejadian yang tidak mungkin
(kemustahilan)
𝑃(𝐴) = 1, berarti suatu kejadian yang pasti (kepastian)

Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan peluang mata dadu bilangan prima!

2

Jawab:
Mata Dadu yang diamati

Mata Dadu yang muncul (𝐴)

1

2
3
4
5
6
Jumlah
Ruang sampel (𝑆) = {1,2,3,4,5,6}
𝑛(𝑆) = 6

0
1
1
0
1
0
𝑛(𝐴) = 3

Mata Dadu keseluruhan
(𝑆)
1

1
1
1
1
1
𝑛(𝑆) = 6

titik sampel bilangan prima (𝐴) = {2,3,5}
𝑛(𝐴) = 3

𝑃(𝐴) =
=

=

𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)

3

6
1
2

3) Peluang Komplemen
Definisi
Jika 𝑃 (𝐴𝑐 ) adalah peluang kejadian selain 𝐴 (Peluang Komplemen) dan 𝑃(𝐴) adalah
peluang kejadian 𝐴, maka:
𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴)
Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan peluang mata dadu bukan bilangan
prima!
Jawab:
Ruang sampel (𝑆) = {1,2,3,4,5,6}
𝑛(𝑆) = 6

titik sampel bilangan prima (𝐴) = {2,3,5}
𝑛(𝐴) = 3
𝑛(𝐴)
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝑆)

3
=
6
1
=
2

𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴)
1
=1−
2
1
=
2
3

E. Frekuensi Relatif atau Peluang Empirik Suatu Kejadian Tunggal
1) Nilai Peluang
𝑛(𝐴)
𝑓𝑟 (𝐴) =

𝑛(𝐵)
Keterangan: 𝑓𝑟 (𝐴) = nilai empirik 𝐴
𝑛(𝐴) = banyaknya titik sampel kejadian 𝐴
𝑛(𝐵) = banyaknya percobaan
2) Kisaran Nilai Peluang
Nilai dari suatu peluang mempunyai kisaran tertentu, yaitu:
0 ≤ 𝑓𝑟 (𝐴) ≤ 1
𝑓𝑟 (𝐴) = 0, berarti suatu kejadian yang tidak mungkin
(kemustahilan)
𝑓𝑟 (𝐴) = 1, berarti suatu kejadian yang pasti (kepastian)

Contoh: Sebuah dadu dilempar 10 kali, tentukan peluang empiriknya!
Jawab:
Mata Dadu
Mata Dadu yang muncul
Berapa kali Mata Dadu yang muncul
yang diamati
(𝐴)
(𝐵)
1

1
2
2
1
2
3
1
2
4
1
2
5
1
1
6
1
1
Jumlah
𝑛(𝐴) = 6
𝑛(𝐵) = 10
𝑓𝑟 (𝐴) =
=

=

𝑛(𝐴)

𝑛(𝐵)
6

10
3
5

F. Frekuensi Harapan
Definisi
Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada sejumlah percobaan.
𝐹ℎ (𝐴) = 𝑛 ∙ 𝑃(𝐴)
Contoh: Sebuah dadu dilempar 30 kali. Hitunglah Frekuensi Harapan munculnya mata
dadu ganjil!
Jawab:
𝑛 = 30
Ruang sampel (𝑆) = {1,2,3,4,5,6}
𝑛(𝑆) = 6

titik sampel bilangan prima (𝐴) = {2,3,5}
𝑛(𝐴) = 3
4

𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
3
=
6
1
=
2

𝑃(𝐴) =

𝐹ℎ (𝐴) = 𝑛 ∙ 𝑃(𝐴)
1
= 30 ∙
2
= 15

G. Peluang Suatu Kejadian Majemuk
1) Operasi Himpunan
a) Irisan
Definisi
Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴
dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∩ 𝐵!
Jawab:

Jadi, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}

b) Gabungan
Definisi
Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan
𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈
𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∪ 𝐵!

5

Jawab:

Jadi, 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

2) Peluang Kejadian Saling Bebas
Definisi
Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴
dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}, maka
peluang 𝐴 dan 𝐵 dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)

Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata
dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {2, 3, 4, 5},
carilah peluang munculnya kedua mata dadu berangka sama!
Jawab:

Diketahui: 𝐴 = {1, 2}
𝐵 = {2, 3, 4, 5}
Ditanya: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)?
Jawab:
𝐴 = {1, 2}
𝑛(𝐴) = 2
𝐵 = {2, 3, 4, 5}
𝑛(𝐵) = 4
𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑛(𝑆) = 6
𝑃(𝐴) =
=

𝑃(𝐵) =
=

𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)
2
6

𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆)
4
6

6

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)
2 4
=6⋅
6
=

Jadi, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

=

2

8

36
2
9

9

3) Peluang Kejadian Gabungan
Definisi
Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari
himpunan 𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 =
{𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}, maka peluang 𝐴 dan 𝐵 dikatakan peluang kejadian
gabungan jika dan hanya jika
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata
dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {2, 3, 4, 5},
carilah peluang kejadian gabungannya!
Jawab:

Diketahui: 𝐴 = {1, 2}
𝐵 = {2, 3, 4, 5}
Ditanya: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)?
Jawab:
𝐴 = {1, 2}
𝑛(𝐴) = 2
𝐵 = {2, 3, 4, 5}
𝑛(𝐵) = 4
𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑛(𝑆) = 6
𝑃(𝐴) =
=

𝑃(𝐵) =

𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)
2
6

𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)

7

=

4
6

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)
2 4
= ⋅
=

=

6 6
8

36
2
9

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
2
4
2
= + −
6
=

=

=

Jadi, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =

7

=

12

36
36
36
28

36
7

6
9
24
8

+
−

36
8
36

−

36

9

9

4) Peluang Kejadian Saling Lepas
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 0

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata
dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {3, 4, 5},
carilah peluang kejadian saling lepas!
Jawab:

Diketahui: 𝐴 = {1, 2}
𝐵 = {3, 4, 5}
Ditanya: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)?
Jawab:
𝐴 = {1, 2}
𝑛(𝐴) = 2
𝐵 = {3, 4, 5}
𝑛(𝐵) = 3
8

𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑛(𝑆) = 6
𝑃(𝐴) =
=

𝑃(𝐵) =
=

𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)
2
6

𝑛(𝐵)

𝑛(𝑆)
3
6

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
2
4
2
= + −
6
=

=

=

Jadi, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =

7

=

12

36
36
36
28

36
7

6
9
24
8

+
−

36
8
36

−

9

9

9

36