1. Pengertian Tentang Fungsi 2. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik 11. Fungsi dalam Ko
===
1. Pengertian Tentang Fungsi
2. Fungsi dan Grafik Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier
4. Mononom dan Polinom
5. Bangun Geometris
6. Fungsi Trigonometri
7. Gabungan Fungsi Sinus
8. Fungsi Logaritma Natural
9. Fungsi Eksponensial
10. Fungsi Hiperbolik
11. Fungsi dalam Koordinat Polar
Pembatasan
Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata
Fungsi Contoh:
panjang sebatang batang logam (= y )
Apabila suatu besaran y
merupakan fungsi temperatur (= x )
memiliki nilai yang tergantung
Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan
dari nilai besaran lain x
y = f (x )
x disebut maka dikatakan bahwa peubah bebas y x merupakan fungsi x nilainya tergantung
y disebut peubah tak bebas
bisa bernilai sembarang Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x
tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa
bilangan nyata.
Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang
dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.
Domain
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku
(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes ) Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut Ada tiga macam rentang nilai yaitu:
sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y . Bidang terbagi dalam 4 kuadran
rentang terbuka
b yaitu Kuadran I, II, III, dan IV
sumbu-
Posisi titik pada bidang
dinyatakan dalam
a dan b tidak termasuk dalam rentang
3 koordinat [x, y]
2 sumbu- x rentang setengah terbuka
Q[-2,2]
a b II 1 I P[2,1]
a ≤≤≤≤ x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak
-4 -3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 -1 x
IV
rentang tertutup
III
S[3,-2]
a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b
R[-3,-3]
a dan b masuk dalam rentang
Kurva dari Suatu Fungsi
Kekontinyuan
Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y
Kita lihat fungsi: y = 0 , 5 x
akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. x
Suatu fungsi y = f ( x ) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan y
kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar
f ( c ) di x = c ;
(2) nilai f ( x ) akan menuju f ( c ) jika x menuju c ; pernyataan ini kita y
tuliskan sebagai
Titik P, Q, R, terletak pada kurva
yang kita baca: limit f ( x ) untuk x menuju c sama dengan f ( c ).
Kemiringan kurva:
(kita baca: “delta x per delta y”)
Contoh:
Simetri
y 1 y = u(x)
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y ; x
Terdefinisikan di x =0
1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan − x maka
0 0 yaitu y |
x= 0 =1
( y untuk x=
0 adalah 1) x 2. Jika fungsi tidak berubah apabila dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
3. Jika fungsi tidak berubah apabila y y diganti dengan − y = 1/x x , kurva
Tak terdefinisikan di
fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- x .
( y untuk x=
0 tidak dapat
4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y ,
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. y = 1/x
-10 -5
0 0 5 10 x
ditentukan nilainya)
Contoh:
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit
y = f (x ) disebut bentuk eksplisit. y
tidak berubah bila x diganti − x
6 y = 0,3x 2 Pernyataan fungsi
(simetris terhadap sumbu-y)
dapat diubah ke bentuk eksplisit x 3 2 + y 2 = 1 y = 1 − x 2
y = 0,05x 3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y
xy = 1 y = 1 / x
0 Pernyataan bentuk
-6 -3
x x 2 + xy + y 2 = 8 y 2 + xy + ( x 2 − 8 ) = 0
0 3 6 (simetris terhadap titik [0,0])
implisit
y 2 +x 2 =9 tidak berubah jika:
Walaupun tidak dinyatakan secara
− x x x 2 diganti − x x y = ± − 4 ( x 2 − 8 )
x dan y diganti dengan
x dan y dipertukarkan −
dan
eksplisit, setiap nilai peubah-bebas
akan memberikan satu atau lebih nilai
8 y y diganti dengan − y
peubah-tak-bebas y
Fungsi Bernilai Tunggal
Fungsi Bernilai Banyak
Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki memiliki satu nilai peubah-tak-bebas
lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
y -1,6
y = log 10 x
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:
dalam skala sumbu- x dan sumbu- y , kita mengenal pula sistem
w = f ( x , y , z , u , v ) Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak
koordinat polar.
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r , dan sudut yang misalnya
terbentuk antara r dengan sumbu- x yang diberi simbol θ ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai
r cos θ
y = r sin θ
x = r cos θ
r sin θ
θ = tan − 1 ( y / x )
Contoh:
r = 2 ( 1 − cos θ )
Contoh:
y 2 y =2 P[r, θ ]
P[r, θ ]
Bentuk ini disebut cardioid
Fungsi Tetapan
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai + ∞ .
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus
pergeseran ke
pergeseran ke
arah sumbu- x y
2 y = mx garis lurus melalui [0,0]
arah sumbu-
kemiringan garis lurus
4 y = 2x
2 y =2(x–1)
0 0 1 2 3 4 x kemiringan
= dengan sumbu-y m = ∆ y
x , dibaca : " delta y "
titik potong
" delta x " -1
titik potong dengan sumbu-x Contoh:
Secara umum,
persamaan garis lurus
2 y= 0,5x
yang tergeser sebesar
0 b ke arah sumbu-y
menunjukkan
pergeseran sebesar a
-1 -2
positif adalah
( y − b ) = mx
mx b ke arah sumbu-x positif
y= -1,5 x
23 pergeseran sebesar b ke arah sumbu- Bentuk umum persamaan garis lurus y positif
menunjukkan
Contoh:
Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik
y 6 [x y 2 ,y 2 ] m = 2 − y 1
memotong sumbu y di 4
melalui [0,0] yang sejajar memotong sumbu x di 2
[x 1 ,y 1 ]
Persamaan garis lurus
0 x 1 − x 1 2 dengan garis yang melalui -1 P dan Q
= mx
0 -2
0 1 2 x 3 Garis ini harus digeser
-1 -2
4 -4
hingga melalui P dan Q
dapat dilihat sebagai garis
m = ∆ y = y 2 − y 1 = 0 − 4 melalui (0,0) yaitu
Contoh:
8 = y 2 − = y − 2 y=- 2 x [3,8] m 1 8
x 2 − x 1 2 − 0 yang tergeser kearah sumbu-y
persamaan garis: y − b = 2 x atau y = 2 ( x − a ) Persamaan garis:
atau tergeser kearah sumbu-x
0 4 − b = 2 8 = 2 ( 3 − a ) atau
Perpotongan Garis Lurus Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata
Dua garis: y 1 = a 1 x + b 1 dan y 2 = a 2 x + b 2 Contoh:
Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan Koordinat titik potong P harus memenuhi:
a 1 x + b 1 = a 2 x + b 2 memperoleh percepatan a
F = ma
a 1 at − a 2 0
⇒ y P = a 1 x P + b 1 atau
Contoh:
Contoh:
Beda tegangan antara
anoda ]]]]
y 2 = 4 x − 8 anoda dan katoda dalam
tabung katoda adalah V l
20 y 2 Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y
1 maupun y 2 .
Kuat medan listrik: E = V
10 y 1 = y 2 → 2 x + 3 = 4 x − 8 → l x = 5 , 5
0 gaya fungsi linier dari -10 0 5 x 10
Gaya pada elektron: F e = eE = eV
-10 -5
y = 2 x + 3 = 2 × 5 , 5 + 3 = 14 x P
Percepatan pada elektron: a = F e percepatan fungsi linier dari F e
Titik potong: P[(5,5), 14] Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari
Peristiwa difusi mencapai panjang tarikan.
materi
materi
F = kx konsentrasi materi C di x dan gaya
masuk di x a C a keluar di x
keadaan mantap,jika
C x di x bernilai konstan a a
panjang tarikan
gradien Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l , akan mengalir arus listrik
konstanta pegas
konsentrasi sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan
J x = − D dC
tegangan sebesar V . Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.
Fluksi materi yang
dx
i = GV = V G = 1 G dan R
berdifusi ke arah x
koefisien difusi
adalah tetapan
konduktansi
resistansi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier
dari gradien konsentrasi
Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa kerapatan arus
panjang
A fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi. Luas penampang konduktor
A RA
konduktor
resistivitas
Fungsi Anak Tangga
Fungsi anak tangga satuan y = u (x )
u ( x ) = 1 untuk x ≥ 0
2 = 0 untuk x < 0 y
1 y = u (x )
Fungsi ini memiliki
0 0 nilai yang terdefinisi 1 x 5 di x =0 muncul pada x =0
Secara umum
y = ku (x )
Fungsi anak tangga tergeser
Fungsi Ramp
ku x − a y = axu (x )
Fungsi ini baru muncul pada x =0 karena ada faktor u (x) yang
Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
kemiringan
didefinisikan muncul pada x =0 (fungsi anak tangga)
Fungsi ramp satuan : y = xu (x )
kemiringan a =1
Contoh:
Fungsi ramp tergeser:
Contoh:
0 y 5 y 2 0 = 2xu(x) 1 x 5 4 y 1 = xu(x)
2 y 3 = 1,5(x-2)u(x-2)
Pergeseran searah sumbu- x
Pulsa
Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu
Perkalian Ramp dan Pulsa
nilai x 1 tertentu dan menghilang pada x 2 >x 1 y = mxu ( x ) × A { u ( x − x 1 ) − u ( x − x 2 ) }
persamaan : y = au ( x − x 1 ) − au ( x − x 2 )
maka lebar y pulsa : x
ramp
pulsa
hanya mempunyai nilai
juga
akan bernilai
Contoh:
dalam selang lebar pulsa
dalam selang lebarnya
lebar pulsa saja y 1 = 2u(x-1)
y = mAx { u ( x − x ) − u ( x − x ) }
Contoh:
0 10 y =y -1 y
y 1 +y 2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)
-1 0 1 2 3 x
y 2 = − 2u(x − 2)
y 1 =2xu(x)
perioda
2 y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)}
Deretan Pulsa: 0 -1 0 1 2 3 4 x 5
Gabungan Fungsi Ramp
Contoh:
y = axu ( x ) + b ( x − x 1 ) u ( x − x 1 ) + c ( x − x 2 ) u ( x − x 2 ) + .......
y y 10 y 3 =y 1 y 8 2 = mx{u(x)-u(x-b)}
Contoh:
y 12 y 3 = 2xu(x) − 2(x − 2)u(x − 2)
6 y 1 = mxu(x)
2 y 2 = {u(x)-u(x-b)}
8 y 1 = 2xu(x)
4 Kemiringan yang berlawanan membuat y
0 0 3 -1 bernilai konstan 0 1 2 b 3 4 x 5 -4 0 1 2 3 4 x 5 mulai dari x y tertentu 2 = − 2(x − 2)u(x − 2)
Pulsa ini membuat y 3 hanya bernilai dalam selang 1 ≤ x ≤ 3
y 15 y 3 = 2xu(x) − 4(x − 2)u(x − 10 2) y 15
y 3 = {2xu(x) − 4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}
5 y 1 =2xu(x)
5 y = 2xu(x)
2 lebih cepat menurun dari y 1 maka
-5 0 1 2 3 4 x 5 y 3 menurun mulai dari x tertentu
y 2 = − 4(x − 2)u(x − 2)
-5 -10
y 2 = − 4(x-2)u(x-2)
Mononom
Mononom
Pergeseran kurva mononom pangkat dua
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n
Mononom Pangkat Dua:
y = kx 2 Karena x 2 ≥ 0,maka
y 3 = 10(x − 2) 2 + 30
jika k >0 → y> 0
Contoh:
k jika y <0 → y <0 100
Pergeseran ke arah
sumbu- y positif y
y 2 = 10(x − 2)
4 y =x 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 -20 0 1 2 3 4 x 5 -40 0 -5 -3 -1
1 3 x 5 Pergeseran ke arah sumbu- x positif
0 1 2 x 3 -100
y = − 10x
y memiliki nilai minimum
y memiliki nilai maksimum
Mononom Pangkat Genap pada umumnya
Mononom Pangkat Ganjil
Contoh:
y 3 makin besar pangkat makin melandai Pada mononom berpangkat genap,
Pangkat ganjil terendah: linier
y 1 = 2x 2 2 kurva di sekitar titik puncak
y 2 = 2x 4 1 Jika kurva-kurva ini memiliki
2 Makin tinggi pangkat mononom,
y 3 = 2x 6 nilai k yang sama maka mereka
1 y = 2x
y = 2x 5 makin landai kurva di sekitar titik
0 berpotongan di titik P[1, k ]
y = 2x
3 [0,0] yaitu titik yang merupakan
-1.5 -1 -0.5
0 titik belok
Koordinat titik potong antara kurva
Jika kurva-kurva ini memiliki
nilai k yang sama maka mereka
= 2 -3
berpotongan di titik P[1, ]
y =x 6 2 Kurva : y x 6 dan
3 x 4 Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
0 0.5 1 x 1.5 = 3 x → x = → 3 x = 3 dan y =
-1.5 -1 -0.5
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu- y
Mononom Pangkat Tiga
Pergeseran ke arah
sumbu- y positif
3 − 2) 3 y + 100 = − 3x 400 600 3
y 500
y = 10(x
Polinom
y = 10(x − 2) 3
Mononom pangkat tiga
Pergeseran mononom
Simetris terhadap [0,0]
pangkat tiga ke arah
sumbu- x positif
Polinom Pangkat Dua
y = ax 2 + bx + c sumbu simetri
sumbu simetri
+15x y 150
0 0 x 10 -150
Sumbu simetri dari y = 2 x 2 + 15 x
y 2 =15x
Penambahan komponen y 3 = 13
x = − 4 y = 2 x 2 + 15 x + 13 komponen (mononom) dari polinom:
15 Kurva masing-masing memberikan:
Penjumlahan mononom
memotong sumbu- x di:
pertama dan ke-dua: y = 2 x 2 + 15 x
Koordinat titik puncak:
y = 2 x 2 + 15 x + 13 Perpotongan dengan sumbu- x
x = − 15 / 4 = 3 , 75
2 + 15 x ⇒ x = − 15 y = 2 − 15 + 15 − 15 + 13 = − 15 , 2 125 4 4
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga +
Polinom Pangkat Dua secara umum
polinom pangkat dua
y = ax 2 +bx +c
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
x + c y 2 = 19 x 2 − 80 x − 200
y 3 = 4 x + 19 x − 80 x − 200
y 1 4 3 Sumbu simetri: Pergeseran ke y 1 = 4x
2 -2000 a
x x = − b arah kiri sumbu-
Pergeseran ke arah -2000
negatif sumbu- y
Mononom pangkat tiga ( y )
Penjumlahan: y 3 =y 1 +y 2
Dan
1 y 3 memotong sumbu- x di 3 titik
Polinom pangkat dua ( y 2 )
Hal ini tidak selalu terjadi
51 Tergantung dari nilai koefisien y 1 52
y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = ax 3 + bx 2 + cx + d
y 2 y 2 2000
y 2 = bx 2 + cx + d 2000
15 y 3 =y 1 +y 2
1 = ax 3 = − kx 3 y 3 =y 1 +y Kasus: a kurang positif 2 Kasus: a terlalu positif Penurunan kurva y 1 di daerah x
y 1 = ax 3 y 1 = ax 3 -2000
y -2000
Penurunan y 1 di daerah negatif
sangat tajam
a< 0
negatif tidak terlalu tajam
Kurva terlihat hanya memotong
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan sumbu-x di 2 titik
Tak ada titik potong dengan sumbu
Kurva y 3 berpotongan dengan sumbu- x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan
dengan sumbu- x di satu tempat Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x
di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x
yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif
negatif
positif
Simetri
jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan − x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y ;
jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan − y , kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu- x .
jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y , kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Nilai Peubah
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y Koordinat titik potong dengan sumbu- x dapat diperoleh dengan dan x yang kita perhatikan
memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu- y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu- x karena kita belum membahas bilangan kompleks
maupun sumbu- y
Contoh:
y 2 + x 2 = Contoh: 1
Titik potong dengan sumbu- x adalah P[1,0] dan Q[ − 1,0]. Apabila | x| > 1, maka (1 - x <0
Titik potong dengan sumbu- y adalah R[0,1] dan S[0, − 1] Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
− 1 ≤ x ≤ 1 xy =1
Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x , maka ia memiliki Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu- x maupun sumbu- y nilai juga terbatas pada rentang − 1 ≤ y ≤ 1
Asimptot
Jarak Antara Dua Titik
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot
Jika P[ x p ,y p ) dan Q[ x q ,y q ], maka
Contoh:
y 2 ( x 2 − 2 x ) = x 2 + 10 y = ± x + 10 PQ = ( x p − x q ) + ( y p − y q ) x 2 ( x − 1 )
Contoh:
agar x ( x −
tidak boleh < 0
y 6 PQ = ( 3 − 1 ) 2 + ( 8 − 4 ) 2 = 20
haruslah x < 0 atau x
Tidak ada bagian kurva yang
berada antara x = 0 dan x
Garis vertikal x = 0 dan x =1
adalah asimptot dari kurva
Parabola
Bentuk kurva
y = kx 2 disebut parabola
Contoh:
P terletak pada kurva
Parabola
y = 0x , 5 2
y=kx 2 Q terletak di sumbu- y y = R terletak pada garis − p garis sejajar sumbu- x
dapat kita tuliskan
P[ x,y ]
y ada suatu nilai k sedemikian
y = Q[0, 1 p ] 2 x rupa sehingga PQ = PR 2 =
R[ x , − p x ]
Q disebut titik fokus parabola
Garis y disebut direktrik
Direktrik: y = − p = − 0 , 5
PQ =
( PR − p ) 2 + x 2 Titik puncak parabola berada di tengah
= ( y − p ) 2 x 2 + PR = ( y + p )
antara titik fokus dan direktriknya
Titik fokus:
Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu
Contoh:
yang disebut titik pusat lingkaran y 1 ( x − 0 , 5 ) 2 + ( y − 0 , 5 ) 2 = r 2 Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r
persamaan lingkaran
berjari-jari r
berpusat di [0.0]
r= 1
Pergeseran titikpusat lingkaran
2 2 2 sejauh -1 a kearah sumbu- x ( x − a ) + ( y − b ) = r
dan sejauh b ke arah sumbu- y
Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
2 + y a 2 b 2 = 1 [0,b]
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips
[ − a ,0]
X[x,y]
[a,0]
XP =
X[x,y]
( x + c ) 2 + y 2 XQ = ( x − c )
P[-c, 0]
sumbu pendek = 2b
Q[c, 0]
P[-c, 0]
Q[c, 0]
XP + XQ = 2 a ( kita misalkan )
[0, − b ]
( x − c ) 2 + y 2 sumbu panjang = 2a
2 b = 1 → b = 0 , 5 ( x − p ) sederhanakan 2 + ( y − q ) 2
( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 y 2 + Elips tergeser kwadratkan
di segitiga PXQ : XP + XQ = 2 a > 2 c → a 2 > c 2 b 2 a 2 c a = b − 2 -1 p = 0 , 5
Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
2 − y 2 = 1 b 2 = c 2 − a a 2 b XP = ( x + c ) 2 + y 2 y
X(x,y)
XQ =
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
[-a,0] [a,0]
kwadratkan
kwadratkan dan sederhanakan
2 − c 2 a y − a 2 = 1 2 2 Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x= − a dan x=a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP − XQ) < PQ
Kurva tidak memotong sumbu-y
→ 2c < 2a → c 2 − a 2 =b 2 a 2 b persamaan hiperbola 2
Kurva Berderajat Dua
Perputaran Sumbu Koordinat
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu- x
khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
X[x,y]
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Q[a,a]
P[-a,-a]
Persamaan parabola:
2 xy = a 2
Lingkaran: B = D = E = 0 ;
A = 1 ; C = 1 ; F= − 1
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah
Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah
persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris
terhadap garis sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. y = x,
Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, 0 yang terputar 45 belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini o berlawanan dengan arah
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri
perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1
Fungsi Cosecan csc θ =
= PQ
sin
1 = sin 2 θ + cos 2 θ 1 Fungsi sinus
Fungsi Tangent
r= 1 sin θ = PQ r = PQ
tan θ = PQ sin θ OQ = cos θ
tan( − θ ) = P ′ x Q OQ = − PQ = − tan θ
Fungsi Cosinus
Fungsi Cotangent
OQ Fungsi Secan sec θ = 1 = 1 cot( − θ ) = P ′ Q = − PQ = − cot cos θ θ OQ
Relasi-Relasi
Relasi-Relasi
sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β α β
cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos α cos β
cos α cos β
Karena sin( − β ) = − sin β
sin( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos( − β ) = cos β
cos( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
Contoh:
d). sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
2 2 sin( α − β ) = sin α cos β − cos α sin b). β cos( 2 α ) = cos( α + α ) = cos α cos α − sin α sin α = cos α − sin α
a). sin( 2 α ) = sin( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α
sin( α + β ) + sin( α − β ) = 2 sin α cos β
c).
sin( α + β ) + sin( α − β ) cos( 2 α ) = cos 2 α − sin 2 α sin α cos β =
1 = cos 2 α + sin 2 α
e). cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos( 2 ) 1 2 cos 2 cos( α − β ) = cos α cos β + sin α sin α β + = α
cos( 2 α ) = 2 cos 2 α − 1 cos( α + β ) + cos( α − β ) = 2 cos α cos β
cos α cos β = cos( α + β ) + cos( α − β ) 2 cos( 2 α ) − 1 = − 2 sin 2 α
f). cos( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
cos( 2 α ) = 1 − 2 sin 2 α
cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos( α − β ) − cos( α + β ) = 2 sin α sin β
75 sin α sin β = cos( α − β ) − cos( α + β ) 2 76
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
Fungsi Sinus
Fungsi Cosinus
y = sin(x )
perioda
1 y = cos(x )
1 perioda
Fungsi Trigonometri Normal
y = sin( x ) = cos( x − π / 2 ) pergeseran fungsi cosinus sejauh π
/2 ke arah sumbu- x positif
Contoh:
sin 56 o = cos( 56 o − 90 o ) = cos 34 o
Fungsi Tangent
Fungsi Cotangent
sin θ
3 cos θ
Rentang: - π /4 < tan θ < π /4
Rentang: 0 < tan θ < π /2
- π /2 < tan θ <0 -3
dst. sin θ
Lebar rentang: π /2
dst.
Lebar rentang: π /2 cos θ
3 Fungsi Secan
2 sec( x )
= cos( x )
-1,5 π - π -0,5 π
Rentang: - π /2 < tan θ < π /2
π /2 < tan θ <3 /2 dst. π
-2 -3
Fungsi Trigonometri Inversi
Lebar rentang: π
asimptot
3 Fungsi Cosecan
1 y = csc( x ) =
1 sin( x )
-1,5 π - π -0,5 π
Rentang: 0 < tan θ < π
Lebar rentang: π
Sinus Inversi
y = arcsin x atau
Sudut y yang sinusnya = x
Cosinus Inversi
Kurva nilai utama
2 - π /2 < sin -1 x < π /2
tan y =
Kurva nilai utama
1 − x 2 0 < cos -1
tan y =
x Kurva lengkap
-1 < x <1
Kurva lengkap
-1 < x <1
Tangent Inversi
y = tan − 1 x
x = tan y
Cotangent inversi
y = cot − 1 x
x = cot y
dengan nilai utama
0 < cot − π 1 y x < π
x -0,5 π
-10 -5
-3 -2 -1 01 2 3 -0,25 π
1 + x 2 Kurva lengkap
Kurva nilai utama
− π < tan − 1 x < π
cos y =
1 Kurva nilai utama
Cosecan Inversi
Secan Inversi
y = sec − 1 x = cos − 1 1
y = csc − 1 x = sin − 1 1 x = csc y
x = sec y
x dengan nilai utama
dengan nilai utama
sin y = Kurva nilai utama
Kurva nilai utama
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb
Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan
waktu, t , sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus
y = A sin( x + θ ) = A sin( 2 π f 0 t + θ )
sudut fasa
amplitudo
frekuensi siklus
Selain frekuensi siklus, f 0 , kita mengenal juga frekuensi sudut, ω
0 , dengan hubungan ω 0 = 2 π f 0
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan
Contoh:
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya
perioda
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:
y ==== 1 ++++ 3 cos 2 π f 0 t −−−− 2 cos( 2 π ( 2 f 0 ) t ++++ π / 4 ) Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi
y ==== 1 ++++ 3 cos 2 π f 0 t −−−− 2 cos( 2 π ( 2 f 0 ) t )
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
menentukan bentuk gelombang gabungan
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan
Contoh:
juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa
Di atas komponen fundamental adalah harmonisa-5 dan
Komponen sinus dengan f 0 disebut komponen fundamental
sinus dasar
harmonisa-3 dan
Harmonisa ke-2 dengan frekuensi sinus dasar + harmonisa-3 +
(fundamental).
sinus dasar + harmonisa-3.
2f 0 harmonisa-5.
Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3 f 0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4 f 0 dst.
Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah
harmonisa-7 dan
hasil penjumlahan sampai
sinus dasar + harmonisa-3 +
pada harmonisa ke-21.
harmonisa-5 + harmonisa-7.
Spektrum
Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik
Contoh:
yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang
Suatu persamaan gelombang:
non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus y = 10 + 30 cos( 2 π f 0 t ) + 15 cos( 2 π 2 f 0 t − π / 2 ) + 7 , 5 cos( 2 π 4 f 0 t + π ) Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.
Ada dua spektrum yaitu
Frekuensi
Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa
Amplitudo
π Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.
Sudut fasa
Frekuensi tertinggi, f maks , adalah frekuensi harmonisa yang
amplitudonya sudah dapat diabaikan.
30 a s a F π /2
Frekuensi terendah, min , adalah frekuensi komponen fundamental
yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah p m lit
Lebar Pita
0 1 Frekuensi [ 2 3 × f 0 ]
Frekuensi [ × f 0 ]
Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi
Spektrum Amplitudo
Spektrum Sudut-fasa
yang merupakan selisih f maks dan f min
Deret Fourier
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal Contoh:
tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier
1 − n 2 n genap; a n = 0 n ganjil T 0 b n = 0 untuk semua n fungsi periodik
f ( t ) = a 0 + ∑ [ a n cos( 2 π nf 0 t ) + b n sin( 2 π nf 0 t ) ]
Koefisien Fourier
Contoh:
Contoh:
a n = 2 A / 1 π − n 2 n genap; a n = 0 n ganjil a n = 0 untuk semua n
b n = − n π untuk semua n
Bilangan Natural
Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e
Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah
e = 2,7182818284 ln e = 1 ln e a = a ln e = a
Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x
Sifat-Sifat
ln ax = ln a + ln x
y 5 luas bidang antara fungsi 1/ t dan sumbu- x
ln 4 x a = ln x − ln a ;
3 1/t ln x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x
ln x = n ln x
1 ln x =
1 t dt
ln e = 1
ln e 2 x 4 t = x
ln x bernilai negatif untuk x < 1
Kurva y = ln x
y = ln x
ln e = 1 0,5 1
-1 -1,5
e = 2,7182818284…..
Fungsi Eksponensial
Antilogaritma
Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
x = ln y
Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif
y = e − ax u ( x ) ; x ≥ 0
Faktor u ( x ) membuat fungsi ini muncul pada x =0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan
dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t =0
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A
Kurva Fungsi Eksponensial
y = e − ax
dengan waktu sebagai peubah bebas adalah
y = Ae − at u ( t ) = Ae − t 1 / τ u ( t )
y 0,8
Makin negatif eksponen fungsi
y = Ae − at = Ae − t / τ
e − 2x
ini, makin cepat ia menurun
yang dituliskan dengan singkat
mendekati sumbu- x
τ = 1/a disebut konstanta waktu
makin kecil τ , makin cepat
fungsi eksponensial menurun
τ , nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x= 1/a
fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5 τ Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu- x ,
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%
Pada saat t
nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai
nol pada x = 5/a
Gabungan Fungsi Eksponensial
A y 1 ==== Ae −−−− t / τ 1
y 2 ==== Ae −−−− t / τ 2
y ==== A (((( e −−−− t / τ 1 −−−− e −−−− t / τ 2 ))))
Fungsi Hiperbolik
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
Definisi
Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti
cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
cosh x = e + e 2 ; sinh x = e − e 2
1 y x = sinh x = e − e − x
Fungsi hiperbolik yang lain
y 2 = − 1 e − x tanh x = sinh x = e x − e − x ;
2 cosh x
sinh x = x
coth x = cosh x
sech x =
1 cosh x =
csch x = sinh x = e x − e − x
cosh x x = e + e − x
3 y = cosh x
1 2 e 0 y = sinh x
-2 -1 -1
y = sech x =
0 cosh -3 x
y = csch x =
1 sinh x
3 y = coth x = cosh 3 x sinh x
2 y = sinh x
0 y = tanh x = sinh 0 x cosh x
y = coth x
y = csch x
Identitas
Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan: cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan
e 2 x − 2 + e − 2 cosh x x − sinh x =
Beberapa Identitas:
cosh 2 v − sinh 2 v = 1
1 − tanh 2 v = sech 2 v coth 2 v − 1 = csch 2 v
cosh v + sinh v = e v cosh v − sinh v = e − v
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0]
dalam koordinat sudut-siku adalah
y P • P(x P ,y P )
P[r, θ ]
y P = r sin θ
r θ x P = r cos θ
[0,0] x P x
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi ( r cos θ ) 2 + ( r sin θ ) 2 = c 2
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[ a,b ] dalam koordinat sudut-siku adalah
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0]
dalam koordinat sudut-siku adalah
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
( r cos θ − a ) 2 + ( r sin θ ) 2 = c 2 ( r cos θ − a ) 2 + ( r sin θ − b ) 2 = c 2
Contoh:
Contoh:
r = 2 ( 1 − cos θ )
r 2 = 16 cos θ
P[r, θ ]
2 P[r, θ ]
Bentuk ini disebut cardioid
Contoh:
Persamaan Garis Lurus
1,5 P[r, θ ] r
y =2
P[r, θ ]
l 1 : r cos θ = a
l : r sin θ
P[r, θ
P[r, θ ]
l 2 l 3 : r cos( β − θ ) = a
Parabola, Elips, Hiperbola
Eksentrisitas
D Eksentrisitas:
s = PD =
e PF r
k + r cos θ P[r, θ ]
l 4 : r cos( θ − β ) = a titik fokus
P[r, θ ]
r θ Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus l 4 A F B parabola, elips, dan hiperbola. r
(misal e s = 0,5)
1 2 s 127 = 2) − cos θ 128
Hiperbola: e s > 1 r =
2k ×
(misal e
Lemniskat dan Oval Cassini
Lemniskat
r 2 = a 2 cos 2 θ ± a 2 cos 2 2 θ − ( 1 − k 4 )
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan
Kondisi khusus:
k =1
Kondisi khusus:
k > 1, misal k = 1,1
θ = π /2
r = 2 a 2 cos 2 θ
P[r, θ ]
F 2 [a,0]
θ = π /2
a =1
()( PF 1 2
= r sin θ )( 2 + a + r cos θ ) 2 ()( PF 2 2 = r sin θ )( 2 + a − r cos θ ) 2 0,6
= 0,5 r + a + 2 ar cos θ
= r + a − 2 ar cos θ
Misalkan PF 1 × PF 2 = b 2 θ =
π 0,2
b 4 = ( r 2 + a 2 + 2 ar cos θ )( × r 2 + a 2 − 2 ar cos θ )
Buat b dan a berrelasi
a -1 cos 2 θ ± a 2 cos 2 2 θ − ( 1 − k 4 )
129
130
Oval Cassini r 2 = a 2 cos 2 θ ± a 2 cos 2 2 θ − ( 1 − k 4 )
Kondisi khusus : k <1 , misalkan k = 0,8 θ = π /2
1,5
Fungsi dan Grafik
1 0,5
0 θ =0
Sudaryatno Sudirham
-2 -1 -0,5
-1 -1,5