1. Pengertian Tentang Fungsi 2. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik 11. Fungsi dalam Ko

===

1. Pengertian Tentang Fungsi

2. Fungsi dan Grafik Fungsi Linier

3. Gabungan Fungsi Linier

4. Mononom dan Polinom

5. Bangun Geometris

6. Fungsi Trigonometri

7. Gabungan Fungsi Sinus

8. Fungsi Logaritma Natural

9. Fungsi Eksponensial

10. Fungsi Hiperbolik

11. Fungsi dalam Koordinat Polar

Pembatasan

Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Fungsi Contoh:

panjang sebatang batang logam (= y )

Apabila suatu besaran y

merupakan fungsi temperatur (= x )

memiliki nilai yang tergantung

Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

dari nilai besaran lain x

y = f (x )

x disebut maka dikatakan bahwa peubah bebas y x merupakan fungsi x nilainya tergantung

y disebut peubah tak bebas

bisa bernilai sembarang Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x

tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa

bilangan nyata.

Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang

dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Domain

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku

(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes ) Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y . Bidang terbagi dalam 4 kuadran

rentang terbuka

b yaitu Kuadran I, II, III, dan IV

sumbu-

Posisi titik pada bidang

dinyatakan dalam

a dan b tidak termasuk dalam rentang

3 koordinat [x, y]

2 sumbu- x rentang setengah terbuka

Q[-2,2]

a b II 1 I P[2,1]

a ≤≤≤≤ x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak

-4 -3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 -1 x

IV

rentang tertutup

III

S[3,-2]

a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b

R[-3,-3]

a dan b masuk dalam rentang

Kurva dari Suatu Fungsi

Kekontinyuan

Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

Kita lihat fungsi: y = 0 , 5 x

akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. x

Suatu fungsi y = f ( x ) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan y

kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar

f ( c ) di x = c ;

(2) nilai f ( x ) akan menuju f ( c ) jika x menuju c ; pernyataan ini kita y

tuliskan sebagai

Titik P, Q, R, terletak pada kurva

yang kita baca: limit f ( x ) untuk x menuju c sama dengan f ( c ).

Kemiringan kurva:

(kita baca: “delta x per delta y”)

Contoh:

Simetri

y 1 y = u(x)

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y ; x

Terdefinisikan di x =0

1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan − x maka

0 0 yaitu y |

x= 0 =1

( y untuk x=

0 adalah 1) x 2. Jika fungsi tidak berubah apabila dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

3. Jika fungsi tidak berubah apabila y y diganti dengan − y = 1/x x , kurva

Tak terdefinisikan di

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- x .

( y untuk x=

0 tidak dapat

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y ,

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. y = 1/x

-10 -5

0 0 5 10 x

ditentukan nilainya)

Contoh:

Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

y = f (x ) disebut bentuk eksplisit. y

tidak berubah bila x diganti − x

6 y = 0,3x 2 Pernyataan fungsi

(simetris terhadap sumbu-y)

dapat diubah ke bentuk eksplisit x 3 2 + y 2 = 1 y = 1 − x 2

y = 0,05x 3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y

xy = 1 y = 1 / x

0 Pernyataan bentuk

-6 -3

x x 2 + xy + y 2 = 8 y 2 + xy + ( x 2 − 8 ) = 0

0 3 6 (simetris terhadap titik [0,0])

implisit

y 2 +x 2 =9 tidak berubah jika:

Walaupun tidak dinyatakan secara

− x x x 2 diganti − x x y = ± − 4 ( x 2 − 8 )

x dan y diganti dengan

x dan y dipertukarkan −

dan

eksplisit, setiap nilai peubah-bebas

akan memberikan satu atau lebih nilai

8 y y diganti dengan − y

peubah-tak-bebas y

Fungsi Bernilai Tunggal

Fungsi Bernilai Banyak

Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

y -1,6

y = log 10 x

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

dalam skala sumbu- x dan sumbu- y , kita mengenal pula sistem

w = f ( x , y , z , u , v ) Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak

koordinat polar.

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r , dan sudut yang misalnya

terbentuk antara r dengan sumbu- x yang diberi simbol θ ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

r cos θ

y = r sin θ

x = r cos θ

r sin θ

θ = tan − 1 ( y / x )

Contoh:

r = 2 ( 1 − cos θ )

Contoh:

y 2 y =2 P[r, θ ]

P[r, θ ]

Bentuk ini disebut cardioid

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai + ∞ .

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

pergeseran ke

pergeseran ke

arah sumbu- x y

2 y = mx garis lurus melalui [0,0]

arah sumbu-

kemiringan garis lurus

4 y = 2x

2 y =2(x–1)

0 0 1 2 3 4 x kemiringan

= dengan sumbu-y m = ∆ y

x ,   dibaca : " delta y " 

titik potong

" delta x "   -1

titik potong dengan sumbu-x Contoh:

Secara umum,

persamaan garis lurus

2 y= 0,5x

yang tergeser sebesar

0 b ke arah sumbu-y

menunjukkan

pergeseran sebesar a

-1 -2

positif adalah

( y − b ) = mx

mx b ke arah sumbu-x positif

y= -1,5 x

23 pergeseran sebesar b ke arah sumbu- Bentuk umum persamaan garis lurus y positif

menunjukkan

Contoh:

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

y 6 [x y 2 ,y 2 ] m = 2 − y 1

memotong sumbu y di 4

melalui [0,0] yang sejajar memotong sumbu x di 2

[x 1 ,y 1 ]

Persamaan garis lurus

0 x 1 − x 1 2 dengan garis yang melalui -1 P dan Q

= mx

0 -2

0 1 2 x 3 Garis ini harus digeser

-1 -2

4 -4

hingga melalui P dan Q

dapat dilihat sebagai garis

m = ∆ y = y 2 − y 1 = 0 − 4 melalui (0,0) yaitu

Contoh:

8 = y 2 − = y − 2 y=- 2 x [3,8] m 1 8

x 2 − x 1 2 − 0 yang tergeser kearah sumbu-y

persamaan garis: y − b = 2 x atau y = 2 ( x − a ) Persamaan garis:

atau tergeser kearah sumbu-x

0 4 − b = 2 8 = 2 ( 3 − a ) atau

Perpotongan Garis Lurus Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Dua garis: y 1 = a 1 x + b 1 dan y 2 = a 2 x + b 2 Contoh:

Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan Koordinat titik potong P harus memenuhi:

a 1 x + b 1 = a 2 x + b 2 memperoleh percepatan a

F = ma

a 1 at − a 2 0

⇒ y P = a 1 x P + b 1 atau

Contoh:

Contoh:

Beda tegangan antara

anoda ]]]]

y 2 = 4 x − 8 anoda dan katoda dalam

tabung katoda adalah V l

20 y 2 Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y

1 maupun y 2 .

Kuat medan listrik: E = V

10 y 1 = y 2 → 2 x + 3 = 4 x − 8 → l x = 5 , 5

0 gaya fungsi linier dari -10 0 5 x 10

Gaya pada elektron: F e = eE = eV

-10 -5

y = 2 x + 3 = 2 × 5 , 5 + 3 = 14 x P

Percepatan pada elektron: a = F e percepatan fungsi linier dari F e

Titik potong: P[(5,5), 14] Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari

Peristiwa difusi mencapai panjang tarikan.

materi

materi

F = kx konsentrasi materi C di x dan gaya

masuk di x a C a keluar di x

keadaan mantap,jika

C x di x bernilai konstan a a

panjang tarikan

gradien Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l , akan mengalir arus listrik

konstanta pegas

konsentrasi sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan

J x = − D dC

tegangan sebesar V . Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

Fluksi materi yang

dx

i = GV = V G = 1 G dan R

berdifusi ke arah x

koefisien difusi

adalah tetapan

konduktansi

resistansi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier

dari gradien konsentrasi

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa kerapatan arus

panjang

A fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi. Luas penampang konduktor

A RA

konduktor

resistivitas

Fungsi Anak Tangga

Fungsi anak tangga satuan y = u (x )

u ( x ) = 1 untuk x ≥ 0

2 = 0 untuk x < 0 y

1 y = u (x )

Fungsi ini memiliki

0 0 nilai yang terdefinisi 1 x 5 di x =0 muncul pada x =0

Secara umum

y = ku (x )

Fungsi anak tangga tergeser

Fungsi Ramp

ku x − a y = axu (x )

Fungsi ini baru muncul pada x =0 karena ada faktor u (x) yang

Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

kemiringan

didefinisikan muncul pada x =0 (fungsi anak tangga)

Fungsi ramp satuan : y = xu (x )

kemiringan a =1

Contoh:

Fungsi ramp tergeser:

Contoh:

0 y 5 y 2 0 = 2xu(x) 1 x 5 4 y 1 = xu(x)

2 y 3 = 1,5(x-2)u(x-2)

Pergeseran searah sumbu- x

Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu

Perkalian Ramp dan Pulsa

nilai x 1 tertentu dan menghilang pada x 2 >x 1 y = mxu ( x ) × A { u ( x − x 1 ) − u ( x − x 2 ) }

persamaan : y = au ( x − x 1 ) − au ( x − x 2 )

maka lebar y pulsa : x

ramp

pulsa

hanya mempunyai nilai

juga

akan bernilai

Contoh:

dalam selang lebar pulsa

dalam selang lebarnya

lebar pulsa saja y 1 = 2u(x-1)

y = mAx { u ( x − x ) − u ( x − x ) }

Contoh:

0 10 y =y -1 y

y 1 +y 2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)

-1 0 1 2 3 x

y 2 = − 2u(x − 2)

y 1 =2xu(x)

perioda

2 y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)}

Deretan Pulsa: 0 -1 0 1 2 3 4 x 5

Gabungan Fungsi Ramp

Contoh:

y = axu ( x ) + b ( x − x 1 ) u ( x − x 1 ) + c ( x − x 2 ) u ( x − x 2 ) + .......

y y 10 y 3 =y 1 y 8 2 = mx{u(x)-u(x-b)}

Contoh:

y 12 y 3 = 2xu(x) − 2(x − 2)u(x − 2)

6 y 1 = mxu(x)

2 y 2 = {u(x)-u(x-b)}

8 y 1 = 2xu(x)

4 Kemiringan yang berlawanan membuat y

0 0 3 -1 bernilai konstan 0 1 2 b 3 4 x 5 -4 0 1 2 3 4 x 5 mulai dari x y tertentu 2 = − 2(x − 2)u(x − 2)

Pulsa ini membuat y 3 hanya bernilai dalam selang 1 ≤ x ≤ 3

y 15 y 3 = 2xu(x) − 4(x − 2)u(x − 10 2) y 15

y 3 = {2xu(x) − 4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

5 y 1 =2xu(x)

5 y = 2xu(x)

2 lebih cepat menurun dari y 1 maka

-5 0 1 2 3 4 x 5 y 3 menurun mulai dari x tertentu

y 2 = − 4(x − 2)u(x − 2)

-5 -10

y 2 = − 4(x-2)u(x-2)

Mononom

Mononom

Pergeseran kurva mononom pangkat dua

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n

Mononom Pangkat Dua:

y = kx 2 Karena x 2 ≥ 0,maka

y 3 = 10(x − 2) 2 + 30

jika k >0 → y> 0

Contoh:

k jika y <0 → y <0 100

Pergeseran ke arah

sumbu- y positif y

y 2 = 10(x − 2)

4 y =x 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 -20 0 1 2 3 4 x 5 -40 0 -5 -3 -1

1 3 x 5 Pergeseran ke arah sumbu- x positif

0 1 2 x 3 -100

y = − 10x

y memiliki nilai minimum

y memiliki nilai maksimum

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

Mononom Pangkat Ganjil

Contoh:

y 3 makin besar pangkat makin melandai Pada mononom berpangkat genap,

Pangkat ganjil terendah: linier

y 1 = 2x 2 2 kurva di sekitar titik puncak

y 2 = 2x 4 1 Jika kurva-kurva ini memiliki

2 Makin tinggi pangkat mononom,

y 3 = 2x 6 nilai k yang sama maka mereka

1 y = 2x

y = 2x 5 makin landai kurva di sekitar titik

0 berpotongan di titik P[1, k ]

y = 2x

3 [0,0] yaitu titik yang merupakan

-1.5 -1 -0.5

0 titik belok

Koordinat titik potong antara kurva

Jika kurva-kurva ini memiliki

nilai k yang sama maka mereka

= 2 -3

berpotongan di titik P[1, ]

y =x 6 2 Kurva : y x 6 dan

3 x 4 Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

0 0.5 1 x 1.5 = 3 x → x = → 3 x = 3 dan y =

-1.5 -1 -0.5

Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu- y

Mononom Pangkat Tiga

Pergeseran ke arah

sumbu- y positif

3 − 2) 3 y + 100 = − 3x 400 600 3

y 500

y = 10(x

Polinom

y = 10(x − 2) 3

Mononom pangkat tiga

Pergeseran mononom

Simetris terhadap [0,0]

pangkat tiga ke arah

sumbu- x positif

Polinom Pangkat Dua

y = ax 2 + bx + c sumbu simetri

sumbu simetri

+15x y 150

0 0 x 10 -150

Sumbu simetri dari y = 2 x 2 + 15 x

y 2 =15x

Penambahan komponen y 3 = 13

x = − 4 y = 2 x 2 + 15 x + 13 komponen (mononom) dari polinom:

15 Kurva masing-masing memberikan:

Penjumlahan mononom

memotong sumbu- x di:

pertama dan ke-dua: y = 2 x 2 + 15 x

Koordinat titik puncak:

y = 2 x 2 + 15 x + 13 Perpotongan dengan sumbu- x

x = − 15 / 4 = 3 , 75

2 + 15 x ⇒ x = − 15 y = 2   − 15   + 15   − 15   + 13 = − 15 , 2 125  4   4 

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga +

Polinom Pangkat Dua secara umum

polinom pangkat dua

y = ax 2 +bx +c

y = ax 3 + bx 2 + cx + d

x   + c y 2 = 19 x 2 − 80 x − 200

y 3 = 4 x + 19 x − 80 x − 200

y  1  4  3  Sumbu simetri: Pergeseran ke y 1 = 4x

2 -2000 a

x x = − b arah kiri sumbu-

Pergeseran ke arah -2000

negatif sumbu- y

Mononom pangkat tiga ( y )

Penjumlahan: y 3 =y 1 +y 2

Dan

1 y 3 memotong sumbu- x di 3 titik

Polinom pangkat dua ( y 2 )

Hal ini tidak selalu terjadi

51 Tergantung dari nilai koefisien y 1 52

y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y 2 y 2 2000

y 2 = bx 2 + cx + d 2000

15 y 3 =y 1 +y 2

1 = ax 3 = − kx 3 y 3 =y 1 +y Kasus: a kurang positif 2 Kasus: a terlalu positif Penurunan kurva y 1 di daerah x

y 1 = ax 3 y 1 = ax 3 -2000

y -2000

Penurunan y 1 di daerah negatif

sangat tajam

a< 0

negatif tidak terlalu tajam

Kurva terlihat hanya memotong

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan sumbu-x di 2 titik

Tak ada titik potong dengan sumbu

Kurva y 3 berpotongan dengan sumbu- x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan

dengan sumbu- x di satu tempat Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x

di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x

yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

negatif

positif

Simetri

jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan − x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y ;

jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan − y , kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu- x .

jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan − y , kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Nilai Peubah

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y Koordinat titik potong dengan sumbu- x dapat diperoleh dengan dan x yang kita perhatikan

memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu- y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu- x karena kita belum membahas bilangan kompleks

maupun sumbu- y

Contoh:

y 2 + x 2 = Contoh: 1

Titik potong dengan sumbu- x adalah P[1,0] dan Q[ − 1,0]. Apabila | x| > 1, maka (1 - x <0

Titik potong dengan sumbu- y adalah R[0,1] dan S[0, − 1] Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

− 1 ≤ x ≤ 1 xy =1

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x , maka ia memiliki Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu- x maupun sumbu- y nilai juga terbatas pada rentang − 1 ≤ y ≤ 1

Asimptot

Jarak Antara Dua Titik

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot

Jika P[ x p ,y p ) dan Q[ x q ,y q ], maka

Contoh:

y 2 ( x 2 − 2 x ) = x 2 + 10 y = ± x + 10 PQ = ( x p − x q ) + ( y p − y q ) x 2 ( x − 1 )

Contoh:

agar x ( x −

tidak boleh < 0

y 6 PQ = ( 3 − 1 ) 2 + ( 8 − 4 ) 2 = 20

haruslah x < 0 atau x

Tidak ada bagian kurva yang

berada antara x = 0 dan x

Garis vertikal x = 0 dan x =1

adalah asimptot dari kurva

Parabola

Bentuk kurva

y = kx 2 disebut parabola

Contoh:

P terletak pada kurva

Parabola

y = 0x , 5 2

y=kx 2 Q terletak di sumbu- y y = R terletak pada garis − p garis sejajar sumbu- x

dapat kita tuliskan

P[ x,y ]

y ada suatu nilai k sedemikian

y = Q[0, 1 p ] 2 x rupa sehingga PQ = PR 2 =

R[ x , − p x ]

Q disebut titik fokus parabola

Garis y disebut direktrik

Direktrik: y = − p = − 0 , 5

PQ =

( PR − p ) 2 + x 2 Titik puncak parabola berada di tengah

= ( y − p ) 2 x 2 + PR = ( y + p )

antara titik fokus dan direktriknya

Titik fokus:

Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

Contoh:

yang disebut titik pusat lingkaran y 1 ( x − 0 , 5 ) 2 + ( y − 0 , 5 ) 2 = r 2 Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

persamaan lingkaran

berjari-jari r

berpusat di [0.0]

r= 1

Pergeseran titikpusat lingkaran

2 2 2 sejauh -1 a kearah sumbu- x ( x − a ) + ( y − b ) = r

dan sejauh b ke arah sumbu- y

Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

2 + y a 2 b 2 = 1 [0,b]

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

[ − a ,0]

X[x,y]

[a,0]

XP =

X[x,y]

( x + c ) 2 + y 2 XQ = ( x − c )

P[-c, 0]

sumbu pendek = 2b

Q[c, 0]

P[-c, 0]

Q[c, 0]

XP + XQ = 2 a ( kita misalkan )

[0, − b ]

( x − c ) 2 + y 2 sumbu panjang = 2a

2 b = 1 → b = 0 , 5 ( x − p ) sederhanakan 2 + ( y − q ) 2

( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 y 2 + Elips tergeser kwadratkan

di segitiga PXQ : XP + XQ = 2 a > 2 c → a 2 > c 2 b 2 a 2 c a = b − 2 -1 p = 0 , 5

Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

2 − y 2 = 1 b 2 = c 2 − a a 2 b XP = ( x + c ) 2 + y 2 y

X(x,y)

XQ =

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

[-a,0] [a,0]

kwadratkan

kwadratkan dan sederhanakan

2 − c 2 a y − a 2 = 1 2 2 Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x= − a dan x=a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP − XQ) < PQ

Kurva tidak memotong sumbu-y

→ 2c < 2a → c 2 − a 2 =b 2 a 2 b persamaan hiperbola 2

Kurva Berderajat Dua

Perputaran Sumbu Koordinat

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu- x

khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

X[x,y]

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Q[a,a]

P[-a,-a]

Persamaan parabola:

2 xy = a 2

Lingkaran: B = D = E = 0 ;

A = 1 ; C = 1 ; F= − 1

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah

Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah

persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris

terhadap garis sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. y = x,

Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, 0 yang terputar 45 belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini o berlawanan dengan arah

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri

perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1

Fungsi Cosecan csc θ =

= PQ

sin

1 = sin 2 θ + cos 2 θ 1 Fungsi sinus

Fungsi Tangent

r= 1 sin θ = PQ r = PQ

tan θ = PQ sin θ OQ = cos θ

tan( − θ ) = P ′ x Q OQ = − PQ = − tan θ

Fungsi Cosinus

Fungsi Cotangent

OQ Fungsi Secan sec θ = 1 = 1 cot( − θ ) = P ′ Q = − PQ = − cot cos θ θ OQ

Relasi-Relasi

Relasi-Relasi

sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β α β

cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

cos α cos β

cos α cos β

Karena sin( − β ) = − sin β

sin( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β

cos( − β ) = cos β

cos( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh:

d). sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

2 2 sin( α − β ) = sin α cos β − cos α sin b). β cos( 2 α ) = cos( α + α ) = cos α cos α − sin α sin α = cos α − sin α

a). sin( 2 α ) = sin( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α

sin( α + β ) + sin( α − β ) = 2 sin α cos β

c).

sin( α + β ) + sin( α − β ) cos( 2 α ) = cos 2 α − sin 2 α sin α cos β =

1 = cos 2 α + sin 2 α

e). cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

cos( 2 ) 1 2 cos 2 cos( α − β ) = cos α cos β + sin α sin α β + = α

cos( 2 α ) = 2 cos 2 α − 1 cos( α + β ) + cos( α − β ) = 2 cos α cos β

cos α cos β = cos( α + β ) + cos( α − β ) 2 cos( 2 α ) − 1 = − 2 sin 2 α

f). cos( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β

cos( 2 α ) = 1 − 2 sin 2 α

cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β

cos( α − β ) − cos( α + β ) = 2 sin α sin β

75 sin α sin β = cos( α − β ) − cos( α + β ) 2 76

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

Fungsi Sinus

Fungsi Cosinus

y = sin(x )

perioda

1 y = cos(x )

1 perioda

Fungsi Trigonometri Normal

y = sin( x ) = cos( x − π / 2 ) pergeseran fungsi cosinus sejauh π

/2 ke arah sumbu- x positif

Contoh:

sin 56 o = cos( 56 o − 90 o ) = cos 34 o

Fungsi Tangent

Fungsi Cotangent

sin θ

3 cos θ

Rentang: - π /4 < tan θ < π /4

Rentang: 0 < tan θ < π /2

- π /2 < tan θ <0 -3

dst. sin θ

Lebar rentang: π /2

dst.

Lebar rentang: π /2 cos θ

3 Fungsi Secan

2 sec( x )

= cos( x )

-1,5 π - π -0,5 π

Rentang: - π /2 < tan θ < π /2

π /2 < tan θ <3 /2 dst. π

-2 -3

Fungsi Trigonometri Inversi

Lebar rentang: π

asimptot

3 Fungsi Cosecan

1 y = csc( x ) =

1 sin( x )

-1,5 π - π -0,5 π

Rentang: 0 < tan θ < π

Lebar rentang: π

Sinus Inversi

y = arcsin x atau

Sudut y yang sinusnya = x

Cosinus Inversi

Kurva nilai utama

2 - π /2 < sin -1 x < π /2

tan y =

Kurva nilai utama

1 − x 2 0 < cos -1

tan y =

x Kurva lengkap

-1 < x <1

Kurva lengkap

-1 < x <1

Tangent Inversi

y = tan − 1 x

x = tan y

Cotangent inversi

y = cot − 1 x

x = cot y

dengan nilai utama

0 < cot − π 1 y x < π

x -0,5 π

-10 -5

-3 -2 -1 01 2 3 -0,25 π

1 + x 2 Kurva lengkap

Kurva nilai utama

− π < tan − 1 x < π

cos y =

1 Kurva nilai utama

Cosecan Inversi

Secan Inversi

y = sec − 1 x = cos − 1 1

y = csc − 1 x = sin − 1 1 x = csc y

x = sec y

x dengan nilai utama

dengan nilai utama

sin y = Kurva nilai utama

Kurva nilai utama

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb

Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan

waktu, t , sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

y = A sin( x + θ ) = A sin( 2 π f 0 t + θ )

sudut fasa

amplitudo

frekuensi siklus

Selain frekuensi siklus, f 0 , kita mengenal juga frekuensi sudut, ω

0 , dengan hubungan ω 0 = 2 π f 0

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan

Contoh:

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

perioda

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:

y ==== 1 ++++ 3 cos 2 π f 0 t −−−− 2 cos( 2 π ( 2 f 0 ) t ++++ π / 4 ) Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

y ==== 1 ++++ 3 cos 2 π f 0 t −−−− 2 cos( 2 π ( 2 f 0 ) t )

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

menentukan bentuk gelombang gabungan

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan

Contoh:

juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi

Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa

Di atas komponen fundamental adalah harmonisa-5 dan

Komponen sinus dengan f 0 disebut komponen fundamental

sinus dasar

harmonisa-3 dan

Harmonisa ke-2 dengan frekuensi sinus dasar + harmonisa-3 +

(fundamental).

sinus dasar + harmonisa-3.

2f 0 harmonisa-5.

Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3 f 0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4 f 0 dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

harmonisa-7 dan

hasil penjumlahan sampai

sinus dasar + harmonisa-3 +

pada harmonisa ke-21.

harmonisa-5 + harmonisa-7.

Spektrum

Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik

Contoh:

yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang

Suatu persamaan gelombang:

non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus y = 10 + 30 cos( 2 π f 0 t ) + 15 cos( 2 π 2 f 0 t − π / 2 ) + 7 , 5 cos( 2 π 4 f 0 t + π ) Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaitu

Frekuensi

Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Amplitudo

π Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.

Sudut fasa

Frekuensi tertinggi, f maks , adalah frekuensi harmonisa yang

amplitudonya sudah dapat diabaikan.

30 a s a F π /2

Frekuensi terendah, min , adalah frekuensi komponen fundamental

yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah p m lit

Lebar Pita

0 1 Frekuensi [ 2 3 × f 0 ]

Frekuensi [ × f 0 ]

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi

Spektrum Amplitudo

Spektrum Sudut-fasa

yang merupakan selisih f maks dan f min

Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal Contoh:

tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

1 − n 2 n genap; a n = 0 n ganjil T 0 b n = 0 untuk semua n fungsi periodik

f ( t ) = a 0 + ∑ [ a n cos( 2 π nf 0 t ) + b n sin( 2 π nf 0 t ) ]

Koefisien Fourier

Contoh:

Contoh:

a n = 2 A / 1 π − n 2 n genap; a n = 0 n ganjil a n = 0 untuk semua n

b n = − n π untuk semua n

Bilangan Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284 ln e = 1 ln e a = a ln e = a

Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x

Sifat-Sifat

ln ax = ln a + ln x

y 5 luas bidang antara fungsi 1/ t dan sumbu- x

ln 4 x a = ln x − ln a ;

3 1/t ln x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

ln x = n ln x

1 ln x =

1 t dt

ln e = 1

ln e 2 x 4 t = x

ln x bernilai negatif untuk x < 1

Kurva y = ln x

y = ln x

ln e = 1 0,5 1

-1 -1,5

e = 2,7182818284…..

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma

Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

x = ln y

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif

y = e − ax u ( x ) ; x ≥ 0

Faktor u ( x ) membuat fungsi ini muncul pada x =0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan

dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t =0

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A

Kurva Fungsi Eksponensial

y = e − ax

dengan waktu sebagai peubah bebas adalah

y = Ae − at u ( t ) = Ae − t 1 / τ u ( t )

y 0,8

Makin negatif eksponen fungsi

y = Ae − at = Ae − t / τ

e − 2x

ini, makin cepat ia menurun

yang dituliskan dengan singkat

mendekati sumbu- x

τ = 1/a disebut konstanta waktu

makin kecil τ , makin cepat

fungsi eksponensial menurun

τ , nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x= 1/a

fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5 τ Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu- x ,

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%

Pada saat t

nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai

nol pada x = 5/a

Gabungan Fungsi Eksponensial

A y 1 ==== Ae −−−− t / τ 1

y 2 ==== Ae −−−− t / τ 2

y ==== A (((( e −−−− t / τ 1 −−−− e −−−− t / τ 2 ))))

Fungsi Hiperbolik

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

Definisi

Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

cosh x = e + e 2 ; sinh x = e − e 2

1 y x = sinh x = e − e − x

Fungsi hiperbolik yang lain

y 2 = − 1 e − x tanh x = sinh x = e x − e − x ;

2 cosh x

sinh x = x

coth x = cosh x

sech x =

1 cosh x =

csch x = sinh x = e x − e − x

cosh x x = e + e − x

3 y = cosh x

1 2 e 0 y = sinh x

-2 -1 -1

y = sech x =

0 cosh -3 x

y = csch x =

1 sinh x

3 y = coth x = cosh 3 x sinh x

2 y = sinh x

0 y = tanh x = sinh 0 x cosh x

y = coth x

y = csch x

Identitas

Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan: cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan

e 2 x − 2 + e − 2 cosh x x − sinh x =

Beberapa Identitas:

cosh 2 v − sinh 2 v = 1

1 − tanh 2 v = sech 2 v coth 2 v − 1 = csch 2 v

cosh v + sinh v = e v cosh v − sinh v = e − v

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0]

dalam koordinat sudut-siku adalah

y P • P(x P ,y P )

P[r, θ ]

y P = r sin θ

r θ x P = r cos θ

[0,0] x P x

Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi ( r cos θ ) 2 + ( r sin θ ) 2 = c 2

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[ a,b ] dalam koordinat sudut-siku adalah

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0]

dalam koordinat sudut-siku adalah

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

( r cos θ − a ) 2 + ( r sin θ ) 2 = c 2 ( r cos θ − a ) 2 + ( r sin θ − b ) 2 = c 2

Contoh:

Contoh:

r = 2 ( 1 − cos θ )

r 2 = 16 cos θ

P[r, θ ]

2 P[r, θ ]

Bentuk ini disebut cardioid

Contoh:

Persamaan Garis Lurus

1,5 P[r, θ ] r

y =2

P[r, θ ]

l 1 : r cos θ = a

l : r sin θ

P[r, θ

P[r, θ ]

l 2 l 3 : r cos( β − θ ) = a

Parabola, Elips, Hiperbola

Eksentrisitas

D Eksentrisitas:

s = PD =

e PF r

k + r cos θ P[r, θ ]

l 4 : r cos( θ − β ) = a titik fokus

P[r, θ ]

r θ Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus l 4 A F B parabola, elips, dan hiperbola. r

(misal e s = 0,5)

1 2 s 127 = 2) − cos θ 128

Hiperbola: e s > 1 r =

2k ×

(misal e

Lemniskat dan Oval Cassini

Lemniskat

r 2 = a 2 cos 2 θ ± a 2 cos 2 2 θ − ( 1 − k 4 )

Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan

Kondisi khusus:

k =1

Kondisi khusus:

k > 1, misal k = 1,1

θ = π /2

r = 2 a 2 cos 2 θ

P[r, θ ]

F 2 [a,0]

θ = π /2

a =1

()( PF 1 2

= r sin θ )( 2 + a + r cos θ ) 2 ()( PF 2 2 = r sin θ )( 2 + a − r cos θ ) 2 0,6

= 0,5 r + a + 2 ar cos θ

= r + a − 2 ar cos θ

Misalkan PF 1 × PF 2 = b 2 θ =

π 0,2

b 4 = ( r 2 + a 2 + 2 ar cos θ )( × r 2 + a 2 − 2 ar cos θ )

Buat b dan a berrelasi

a -1 cos 2 θ ± a 2 cos 2 2 θ − ( 1 − k 4 )

129

130

Oval Cassini r 2 = a 2 cos 2 θ ± a 2 cos 2 2 θ − ( 1 − k 4 )

Kondisi khusus : k <1 , misalkan k = 0,8 θ = π /2

1,5

Fungsi dan Grafik

1 0,5

0 θ =0

Sudaryatno Sudirham

-2 -1 -0,5

-1 -1,5