Makalah Statistika
MAKALAH
STATISTIK MATEMATIK
“CONTOH DATA REAL PENAKSIR BAYES”
Disusun oleh:
Elis Asri Noor Falah (1137010020)
Imam Prihatno (1137010027)
Jurusan Matematika Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung
Tahun Ajaran 2015/2016
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Puji dan syukur selalu saya panjatkan kepada Allah SWT.,
yang telah melimpahkan banyak berkah dan karunianya, sehingga saya bisa
menyelesaikan tugas makalah ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu terlimpah
curahkan kepada junjungan Nabi besar kita, Muhammad SAW., kepada
keluarganya, sahabatnya, beserta para tabiin-tabiinya.
Makalah ini dibuat untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Statistik
Matematik mengenai Contoh Data Real Penaksir Bayes. Materi-materi diambil
dari hasil pembelajaran penulis terhadap referensi-referensi yang penulis
dapatkan, baik berupa buku pembelajaran, internet, dan sumber-sumber lainnya.
Penyusunan makalah ini dibuat semata-mata untuk membagi ilmu yang
penulis punya kepada para pembaca. Meskipun makalah yang dibuat masih jauh
dari sempurna, saya mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang telah
memberikan bantuan dan arahan dalam membuat makalah ini sehingga bisa
terselesaikan tepat pada waktunya. Penulis sadari bahwa penulis masih perlu
pembelajaran lebih dalam mengenai pembuatan makalah ini. Maka kritik dan
saran dari pembaca akan membantu penulis agar bisa membuat makalah yang
lebih baik. Dan penulis harapkan dengan makalah ini bisa membantu pembaca
dalam pembelajaran materi yang berkenaan. Akhir kata penulis mengucapkan
terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.
Bandung, 07 Desember 2015
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR............................................................................................i
DAFTAR ISI..........................................................................................................ii
BAB 1 PENDAHULUAN.....................................................................................1
A. Latar Belakang Masalah............................................................................1
B. Pembatasan Masalah.................................................................................1
C. Rumusan Masalah.....................................................................................2
D. Tujuan Penulisan.......................................................................................2
BAB 2 PEMBAHASAN.......................................................................................4
A. Landasan Teori..........................................................................................4
a. Peubah Acak (Variabel Acak)..............................................................4
b. Fungsi Distribusi Peluang....................................................................4
c. Fungsi densitas Peluang Bersama atau Gabungan..............................4
d. Distribusi Poisson................................................................................5
e. Distribusi Gamma................................................................................5
f. Distribusi Prior....................................................................................6
g. Distribusi Posterior..............................................................................7
B. Pengertian Metode Bayes..........................................................................8
C. Metode Penaksir Bayes.............................................................................8
a. Contoh Kasus Penaksiran Bayes.........................................................9
BAB 3 PENUTUP.................................................................................................12
A. Kesimpulan................................................................................................12
B. Saran..........................................................................................................12
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................13
LAMPIRAN..........................................................................................................14
2
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Kehidupan manusia bisa dikatakan tidak luput dari ilmu matematika.
Peristiwa-peristiwa pada kehidupan nyata tersebut kemudian ditransformasikan
dalam bentuk berbagai formula sesuai dengan kebutuhan. Dan tentu saja pada
suatu peristiwa atau kasus tertentu bisa menghasilkan beberapa formula untuk
penyelesaiannya. Dan akhirnya akan dicari kelayakan dari salah satu formula
tersebut.
Cabang ilmu matematika yakni statistika memperlihatkan beberapa
formula tersebut terkait dengan distribusi-distribusi pada suatu sampel acak
contohnya. Dan distribusi-distribusi ini bisa digunakan untuk metode-metode
penaksir suatu parameter.
Pada makalah ini akan dibahas mengenai salah satu penaksir untuk
menaksir parameter rataan populasi. Penaksir-penaksir parameter rataan populasi
ada dengan berbagai macam penyelesaian dan bentuk formula yang berbeda satu
sama lain. Namun pada makalah ini akan dikhususkan untuk membahas mengenai
penaksir bayes pada parameter rataan populasi. Dengan menggunakan data real
akan dihitung dengan menggunakan penaksiran Bayes terhadap parameter rataan
pada populasi dengan sampel acak sesuai distribusi yang digunakan dan langkahlangkah selengkapnya akan kita lihat pada pembahasan.
B. Pembatasan Masalah
Melihat dari latar belakang masalah serta memahami pembahasannya
maka penulis dapat memberikan batasan-batasan pada:
1. Mengetahui tentang Metode Bayes.
2. Mengetahui contoh real Metode Bayes.
1
3. Mengetahui tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
4. Mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
5. Mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
6. Mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
7. Mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan
nyata.
C. Rumusan Masalah
Masalah yang dibahas dalam penulisan makalah ini adalah:
1. Menjelaskan tentang Metode bayes.
2. Menjelaskan tentang contoh real Metode Bayes.
3. Menjelaskan tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
4. Mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
5. Mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
6. Mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
7. Mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan
nyata.
D. Tujuan Penulisan
2
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:
1. Agar mengetahui tentang Metode Bayes.
2. Agar mengetahui dengan jelas contoh real Metode Bayes.
3. Agar mengetahui tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
4. Agar mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
5. Agar mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
6. Agar mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
7. Agar mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan
nyata.
BAB 2
PEMBAHASAN
3
A. Landasan Teori
a. Peubah Acak (Variabel Random)
Definisi 1.1 Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengatakan suatu
bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Peubah acak dapat dilambangkan dengan huruf besar, misalnya
X 1 , X 2 ,… , X n , sedangkan huruf kecil
x 1 , x 1 , … , x n dinotasikan sebagai nilai
padanannya.
b. Fungsi Distribusi Peluang
Definisi 1.2 Himpunan pasangan terurut
( x , f (x ))
merupakan suatu
fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit
X
bila, untuk setiap kemungkinan hasil
2.
f ( x ) ≥ 0,
∑ f ( x ) =1,
3.
P ( X=x )=f ( x ) .
1.
x
Definisi 1.3 Fungsi
kontinu
X,
f (x)
adalah fungsi kepadatan peluang peubah acak
X , yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real
R
bila,
1.
f ( x )≥ 0 ,
∞
2.
∫ f ( x ) dx=1,
−∞
b
3.
P ( a< X 0 . Untuk α > 1 , menghasilkan rumus berulang
Γ ( α )=( α −1 ) Γ ( α−1 ) ,
dengan memakai rumus berulang berkali-kali diperoleh
Γ ( α )=( α −1 ) ( α−2 ) Γ ( α −2 )
¿ ( α −1 )( α−2 )( α −3 ) Γ ( α −3 ) ,
dan seterusnya. Perhatikan bahwa bila
positif, maka
Γ ( n )= ( n−1 ) ( n−2 ) , … , Γ ( 1 ) .
akan tetapi, menurut definisi 1.6
5
α =n ,
dengan
n
bilangan bulat
∞
Γ ( 1 )=∫ e−x dx=1
0
sehingga
Γ ( n )= ( n−1 ) ! .
Definisi 1.7 Distribusi Gamma peubah acak kontinu
Gamma dengan parameter α
{
dan
X
berdistribusi
β , bila fungsi padatnya berbentuk
−x
1
α −1 β
f ( x )= β α Γ ( α ) x e ; x >0
0; lainnya
dengan α > 0 dan
β> 0 .
f. Distribusi Prior
Dalam penaksiran Bayes untuk kasus Poisson, parameter
θ
diperlakukan sebagai peubah acak, maka akan memepunyai nilai dalam sebuah
domain dengan densitas
sebagai distribusi prior dari
f (θ) , dan densitas inilah yang akan dinamakan
θ , dengan adanya informasi prior ini maka akan
kombinasikan dengan data sampel yang digunakan dalam membentuk posterior.
Prior merupakan subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah sebuah
parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehinggga permasalahan pokok agar
prior dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu
parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.
Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk
fungsi likelihoodnya:
1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya
a) Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis
model terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga
dalam penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan
6
pola distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi
densitas peluang pembangun likelihoodnya.
b) Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian
prior pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi
likelihoodnya.
2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola
distribusi prior tersebut.
a) Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari
distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau
tidak, pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat
mempengaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan pada
informasi data yang diperoleh.
b) Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada
data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi
tentang parameter
θ , salah satu pendekatan dari non-informatif
prior adalah metode Jeffrey’s.
g. Distribusi Posterior
Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersayarat
observasi
θ
jika diketahui nilai
x . Ini dapat dituliskan sebagai berikut,
h ( θ|X =x )= ❑
g ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) ⋅ λ(θ)
∫ g ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) ⋅ λ(θ) dθ
Ω
fungsi densitas posterior untuk variabel random kontinu. Distribusi posterior dapat
digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi interval dari parameter yang
tidak diketahui.
B. Pengertian Penaksiran Bayes
7
Penaksiran Bayes adalah suatu metode penaksiran yang mendasarkan diri
pada pemilihan distribusi prior dan loss function. Dalam penaksiran dipilih
distribusi prior yang disesuaikan dengan distribusi yang digunakan pada sampel
acak tertentu yang nantinya akan mempunyai pengaruh minimum dari data pada
distribusi posterior. Penaksir Bayes akan memberikan estimasi tentang parameter
populasi yang hanya didasarkan pada anggapan distribusi populasi dan data.
C. Metode Penaksiran Bayes
Misalkan
n
dari
X 1 , X 2 ,… , X n
distribusi
f ( x ; θ ) , θ ∈ Ω⊂ R .
parameter
yang
merupakan sebuah sampel acak berukuran
mempunyai
fungsi
kepadatan
peluang
berbentuk
Dalam hal ini, kita akan menentukan taksiran Bayes untuk
θ.
Langkah-langkah dalam penaksiran bayes:
a) Menentukan fungsi kepadatan peluang dan fungsi kepadatan peluang
bersama dari Θ ;
b) Menentukan fungsi densitas dari distribusi prior
( λ(θ))
yang dipilih
dan disesuaikan dengan fungsi kepadatan peluang;
c) Menentukan penaksir bayes untuk parameter θ ;
d) Menentukan distribusi posterior.
a. Contoh Kasus Penaksiran Bayes
Memprediksi jumlah tahunan badai yang akan menghantam Amerika
Serikat adalah permasalahan yang membuat banyak perhatian bagi publik
Amerika Serikat itu sendiri. Mengingat pada tahun 2004 ketika 4 badai besar
melanda daratan Florida.
Karena kejadian bencana ini sebenarnya hampir jarang terjadi, maka pada
penaksiran kali ini digunakan fungsi kepadatan peluang Poisson. Di mana
parameter
θ
tidak diketahui yang mana akan menjadi jumlah yang diharapkan
pada tahun tertentu.
8
Pada tabel berikut menunjukkan jumlah badai yang benar-benar datang
untuk 3 periode 50 tahun.
Tahun
1851-1900
1901-1950
1950-2000
Jumlah terjadinya badai
88
92
72
Penyelesaian:
X
Fungsi kepadatan peluang dari
f ( x ; θ )=
adalah:
e−θ θ x
; x=1,2, 3 ; θ>0
x!
¿ 0 ; x lainnya
X 1 , X 2 ,… , X n adalah:
Fungsi densitas gabungan dari
g ( x1 , x2 , … , x n ; θ ) =f ( x 1 ; θ ) ⋅ f ( x 2 ; θ ) ⋅… ⋅ f ( x n ; θ )
[ ][ ] [ ]
−θ
¿
e θ
x1 !
¿ ( e−nθ )
x1
(
−θ
⋅
e θ
x2 !
x2
−θ
e θ
xn !
⋅… ⋅
θx θ x
θx
⋅
⋅… ⋅
x1 ! x2 !
xn !
1
2
n
xn
)
( nθ )w
.
w!
−nθ
¿
e
n
Dengan w=∑ x i .
i=1
Misalnya kita asumsikan bahwa distribusi priornya adalah distribusi
gamma, dengan fungsi densitas sebagai berikut,
λΘ ( θ ) =
μ α α−1 −μθ
θ e ; 0
STATISTIK MATEMATIK
“CONTOH DATA REAL PENAKSIR BAYES”
Disusun oleh:
Elis Asri Noor Falah (1137010020)
Imam Prihatno (1137010027)
Jurusan Matematika Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung
Tahun Ajaran 2015/2016
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Puji dan syukur selalu saya panjatkan kepada Allah SWT.,
yang telah melimpahkan banyak berkah dan karunianya, sehingga saya bisa
menyelesaikan tugas makalah ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu terlimpah
curahkan kepada junjungan Nabi besar kita, Muhammad SAW., kepada
keluarganya, sahabatnya, beserta para tabiin-tabiinya.
Makalah ini dibuat untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Statistik
Matematik mengenai Contoh Data Real Penaksir Bayes. Materi-materi diambil
dari hasil pembelajaran penulis terhadap referensi-referensi yang penulis
dapatkan, baik berupa buku pembelajaran, internet, dan sumber-sumber lainnya.
Penyusunan makalah ini dibuat semata-mata untuk membagi ilmu yang
penulis punya kepada para pembaca. Meskipun makalah yang dibuat masih jauh
dari sempurna, saya mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang telah
memberikan bantuan dan arahan dalam membuat makalah ini sehingga bisa
terselesaikan tepat pada waktunya. Penulis sadari bahwa penulis masih perlu
pembelajaran lebih dalam mengenai pembuatan makalah ini. Maka kritik dan
saran dari pembaca akan membantu penulis agar bisa membuat makalah yang
lebih baik. Dan penulis harapkan dengan makalah ini bisa membantu pembaca
dalam pembelajaran materi yang berkenaan. Akhir kata penulis mengucapkan
terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.
Bandung, 07 Desember 2015
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR............................................................................................i
DAFTAR ISI..........................................................................................................ii
BAB 1 PENDAHULUAN.....................................................................................1
A. Latar Belakang Masalah............................................................................1
B. Pembatasan Masalah.................................................................................1
C. Rumusan Masalah.....................................................................................2
D. Tujuan Penulisan.......................................................................................2
BAB 2 PEMBAHASAN.......................................................................................4
A. Landasan Teori..........................................................................................4
a. Peubah Acak (Variabel Acak)..............................................................4
b. Fungsi Distribusi Peluang....................................................................4
c. Fungsi densitas Peluang Bersama atau Gabungan..............................4
d. Distribusi Poisson................................................................................5
e. Distribusi Gamma................................................................................5
f. Distribusi Prior....................................................................................6
g. Distribusi Posterior..............................................................................7
B. Pengertian Metode Bayes..........................................................................8
C. Metode Penaksir Bayes.............................................................................8
a. Contoh Kasus Penaksiran Bayes.........................................................9
BAB 3 PENUTUP.................................................................................................12
A. Kesimpulan................................................................................................12
B. Saran..........................................................................................................12
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................13
LAMPIRAN..........................................................................................................14
2
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Kehidupan manusia bisa dikatakan tidak luput dari ilmu matematika.
Peristiwa-peristiwa pada kehidupan nyata tersebut kemudian ditransformasikan
dalam bentuk berbagai formula sesuai dengan kebutuhan. Dan tentu saja pada
suatu peristiwa atau kasus tertentu bisa menghasilkan beberapa formula untuk
penyelesaiannya. Dan akhirnya akan dicari kelayakan dari salah satu formula
tersebut.
Cabang ilmu matematika yakni statistika memperlihatkan beberapa
formula tersebut terkait dengan distribusi-distribusi pada suatu sampel acak
contohnya. Dan distribusi-distribusi ini bisa digunakan untuk metode-metode
penaksir suatu parameter.
Pada makalah ini akan dibahas mengenai salah satu penaksir untuk
menaksir parameter rataan populasi. Penaksir-penaksir parameter rataan populasi
ada dengan berbagai macam penyelesaian dan bentuk formula yang berbeda satu
sama lain. Namun pada makalah ini akan dikhususkan untuk membahas mengenai
penaksir bayes pada parameter rataan populasi. Dengan menggunakan data real
akan dihitung dengan menggunakan penaksiran Bayes terhadap parameter rataan
pada populasi dengan sampel acak sesuai distribusi yang digunakan dan langkahlangkah selengkapnya akan kita lihat pada pembahasan.
B. Pembatasan Masalah
Melihat dari latar belakang masalah serta memahami pembahasannya
maka penulis dapat memberikan batasan-batasan pada:
1. Mengetahui tentang Metode Bayes.
2. Mengetahui contoh real Metode Bayes.
1
3. Mengetahui tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
4. Mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
5. Mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
6. Mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
7. Mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan
nyata.
C. Rumusan Masalah
Masalah yang dibahas dalam penulisan makalah ini adalah:
1. Menjelaskan tentang Metode bayes.
2. Menjelaskan tentang contoh real Metode Bayes.
3. Menjelaskan tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
4. Mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
5. Mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode
Bayes.
6. Mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
7. Mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan
nyata.
D. Tujuan Penulisan
2
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:
1. Agar mengetahui tentang Metode Bayes.
2. Agar mengetahui dengan jelas contoh real Metode Bayes.
3. Agar mengetahui tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
4. Agar mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
5. Agar mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
6. Agar mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan
Metode Bayes.
7. Agar mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan
nyata.
BAB 2
PEMBAHASAN
3
A. Landasan Teori
a. Peubah Acak (Variabel Random)
Definisi 1.1 Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengatakan suatu
bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Peubah acak dapat dilambangkan dengan huruf besar, misalnya
X 1 , X 2 ,… , X n , sedangkan huruf kecil
x 1 , x 1 , … , x n dinotasikan sebagai nilai
padanannya.
b. Fungsi Distribusi Peluang
Definisi 1.2 Himpunan pasangan terurut
( x , f (x ))
merupakan suatu
fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit
X
bila, untuk setiap kemungkinan hasil
2.
f ( x ) ≥ 0,
∑ f ( x ) =1,
3.
P ( X=x )=f ( x ) .
1.
x
Definisi 1.3 Fungsi
kontinu
X,
f (x)
adalah fungsi kepadatan peluang peubah acak
X , yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real
R
bila,
1.
f ( x )≥ 0 ,
∞
2.
∫ f ( x ) dx=1,
−∞
b
3.
P ( a< X 0 . Untuk α > 1 , menghasilkan rumus berulang
Γ ( α )=( α −1 ) Γ ( α−1 ) ,
dengan memakai rumus berulang berkali-kali diperoleh
Γ ( α )=( α −1 ) ( α−2 ) Γ ( α −2 )
¿ ( α −1 )( α−2 )( α −3 ) Γ ( α −3 ) ,
dan seterusnya. Perhatikan bahwa bila
positif, maka
Γ ( n )= ( n−1 ) ( n−2 ) , … , Γ ( 1 ) .
akan tetapi, menurut definisi 1.6
5
α =n ,
dengan
n
bilangan bulat
∞
Γ ( 1 )=∫ e−x dx=1
0
sehingga
Γ ( n )= ( n−1 ) ! .
Definisi 1.7 Distribusi Gamma peubah acak kontinu
Gamma dengan parameter α
{
dan
X
berdistribusi
β , bila fungsi padatnya berbentuk
−x
1
α −1 β
f ( x )= β α Γ ( α ) x e ; x >0
0; lainnya
dengan α > 0 dan
β> 0 .
f. Distribusi Prior
Dalam penaksiran Bayes untuk kasus Poisson, parameter
θ
diperlakukan sebagai peubah acak, maka akan memepunyai nilai dalam sebuah
domain dengan densitas
sebagai distribusi prior dari
f (θ) , dan densitas inilah yang akan dinamakan
θ , dengan adanya informasi prior ini maka akan
kombinasikan dengan data sampel yang digunakan dalam membentuk posterior.
Prior merupakan subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah sebuah
parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehinggga permasalahan pokok agar
prior dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu
parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.
Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk
fungsi likelihoodnya:
1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya
a) Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis
model terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga
dalam penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan
6
pola distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi
densitas peluang pembangun likelihoodnya.
b) Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian
prior pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi
likelihoodnya.
2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola
distribusi prior tersebut.
a) Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari
distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau
tidak, pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat
mempengaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan pada
informasi data yang diperoleh.
b) Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada
data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi
tentang parameter
θ , salah satu pendekatan dari non-informatif
prior adalah metode Jeffrey’s.
g. Distribusi Posterior
Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersayarat
observasi
θ
jika diketahui nilai
x . Ini dapat dituliskan sebagai berikut,
h ( θ|X =x )= ❑
g ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) ⋅ λ(θ)
∫ g ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) ⋅ λ(θ) dθ
Ω
fungsi densitas posterior untuk variabel random kontinu. Distribusi posterior dapat
digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi interval dari parameter yang
tidak diketahui.
B. Pengertian Penaksiran Bayes
7
Penaksiran Bayes adalah suatu metode penaksiran yang mendasarkan diri
pada pemilihan distribusi prior dan loss function. Dalam penaksiran dipilih
distribusi prior yang disesuaikan dengan distribusi yang digunakan pada sampel
acak tertentu yang nantinya akan mempunyai pengaruh minimum dari data pada
distribusi posterior. Penaksir Bayes akan memberikan estimasi tentang parameter
populasi yang hanya didasarkan pada anggapan distribusi populasi dan data.
C. Metode Penaksiran Bayes
Misalkan
n
dari
X 1 , X 2 ,… , X n
distribusi
f ( x ; θ ) , θ ∈ Ω⊂ R .
parameter
yang
merupakan sebuah sampel acak berukuran
mempunyai
fungsi
kepadatan
peluang
berbentuk
Dalam hal ini, kita akan menentukan taksiran Bayes untuk
θ.
Langkah-langkah dalam penaksiran bayes:
a) Menentukan fungsi kepadatan peluang dan fungsi kepadatan peluang
bersama dari Θ ;
b) Menentukan fungsi densitas dari distribusi prior
( λ(θ))
yang dipilih
dan disesuaikan dengan fungsi kepadatan peluang;
c) Menentukan penaksir bayes untuk parameter θ ;
d) Menentukan distribusi posterior.
a. Contoh Kasus Penaksiran Bayes
Memprediksi jumlah tahunan badai yang akan menghantam Amerika
Serikat adalah permasalahan yang membuat banyak perhatian bagi publik
Amerika Serikat itu sendiri. Mengingat pada tahun 2004 ketika 4 badai besar
melanda daratan Florida.
Karena kejadian bencana ini sebenarnya hampir jarang terjadi, maka pada
penaksiran kali ini digunakan fungsi kepadatan peluang Poisson. Di mana
parameter
θ
tidak diketahui yang mana akan menjadi jumlah yang diharapkan
pada tahun tertentu.
8
Pada tabel berikut menunjukkan jumlah badai yang benar-benar datang
untuk 3 periode 50 tahun.
Tahun
1851-1900
1901-1950
1950-2000
Jumlah terjadinya badai
88
92
72
Penyelesaian:
X
Fungsi kepadatan peluang dari
f ( x ; θ )=
adalah:
e−θ θ x
; x=1,2, 3 ; θ>0
x!
¿ 0 ; x lainnya
X 1 , X 2 ,… , X n adalah:
Fungsi densitas gabungan dari
g ( x1 , x2 , … , x n ; θ ) =f ( x 1 ; θ ) ⋅ f ( x 2 ; θ ) ⋅… ⋅ f ( x n ; θ )
[ ][ ] [ ]
−θ
¿
e θ
x1 !
¿ ( e−nθ )
x1
(
−θ
⋅
e θ
x2 !
x2
−θ
e θ
xn !
⋅… ⋅
θx θ x
θx
⋅
⋅… ⋅
x1 ! x2 !
xn !
1
2
n
xn
)
( nθ )w
.
w!
−nθ
¿
e
n
Dengan w=∑ x i .
i=1
Misalnya kita asumsikan bahwa distribusi priornya adalah distribusi
gamma, dengan fungsi densitas sebagai berikut,
λΘ ( θ ) =
μ α α−1 −μθ
θ e ; 0