Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif
DASAR-DASAR GEOMETRI
Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri
Budiyono
Jurusan Pendidikan Matematika
FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif, geometri
dapat disebut sebagai suatu sains deduktif. Dengan berawal pada
pengertian pangkal, definisi dan postulat-postult itu menentukan macam
geometri. Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif yang
didasarkan atas himpunan postulat, yang dapat dianggap sebagai aturan
permainannya, maka jika postulat itu diganti akan didapat geometri
yang lain.
Kata Kunci: deduktif, postulat, system geometri
Pendahuluan
Awal geometri bermula dari za-
atas tanah dari pada ujung kepala
orang paling tinggi.
man prasejarah, ketika itu penduduk
Perintis geometri adalah orang
suatu daerah berkembang, tempat
Babilonia purba. Tanah antara su-
tinggal alamiah yang tersedia tidak
ngai Trigis dan Eufrat, tempat ting-
cukup. Orang perlu membangun
gal orang Babilonia, semula berupa
tempat perlindungan yang cukup
rawa. Kanal-kanal dibangun untuk
besar untuk menampung keluarga
mengeringkan rawa itu dan untuk
dan kuat untuk menahan angin,
menampung luapan air sungai. Un-
hujan dan badai. Untuk membuat
tuk maksud pembangunan kanal,
tempat berlindung dengan ukuran
mereka perlu meneliti tanah. Dalam
yang tepat, seseorang harus mem-
melakukan penelitian itu, orang
bandingkan ukuran panjang. Jadi,
Babilonia menciptakan aturan-atur-
atap harus terletak lebih tinggi di
an untuk mencari luas tanah. Aturan-aturan ini tidak terperinci benar,
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
1
tetapi pengetahuan yang mereka
garis besar dan sering tidak tepat.
peroleh cukup untuk pembangunan
Seperti yang kita ketahui sekarang,
kanal.
misalnya, bahwa luas setiap segitiga
Di Mesir, orang mempunyai la-
adalah setengah hasil kali alas dan
dang pertanian di sepanjang sungai
tingginya. Orang Mesir secara salah
Nil dikenakan pajak sesuai dengan
memberikan ukuran luas segitiga ini
tanah milik mereka. Dalam musim
sebagai setengah hasil kali alasnya
penghujan, sungai Nil akan meluap
dengan sebuah sisi. Sebagian besar
mengenai tanah itu, dan mengha-
dari segitiga-segitiga yang panjang
nyutkan semua tanda-tanda batas
dan sempit, dan dalam segitiga
pe-milikan tanah. Oleh karena itu,
seperti itu tidak terdapat perbedaan
orang perlu mengukur lagi tanah
antara panjang sisi dan tingginya.
sehingga
pemilik
Oleh karena itu, hasil dari perhi-
akan memperoleh bagian mereka
tungan orang Mesir berguna sekali
yang sah. Setelah banjir surut, orang
sebagai dasar pembagian tanah dan
yang telah dilatih secara khusus
penarikan pajak terhadap pemi-
disebut tukang perentang tali akan
liknya.
masing-masing
menetapkan petunjuk batas baru.
Mereka menggunakan simpul-sim-
Geometri Menjadi Sebuah Disi-
pul tali berjarak sama, sehingga
plin Ilmu.
mereka dapat mengukur panjang
Orang
Yunani
menamakan
yang diinginkan dan membagi tanah
pengukur tanah bangsa Mesir zaman
itu ke dalam bentuk-bentuk segitiga,
dahulu para geometer atau pengukur
segiempat, persegi panjang, dan
tanah. Geometri berasal dari bahasa
trapezium.
Yunani ‘ge’ artinya tanah dan
Mereka menciptakan aturan-
‘metria’ artinya ukuran. Pengukur
aturan yang praktis untuk mengukur
tanah menemukan banyak fakta
luas bentuk-bentuk itu. Aturan-atur-
tentang segitiga, bujur-sangkar, em-
an itu beraneka ragam dan bersifat
pat persegi panjang, dan bahkan
2 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
lingkaran. Fakta ini menjadi ilmu
tanah milik mereka, bukan untuk
yang oleh orang Yunani disebut
penggunaan secara praktis. Orang
‘geometri’
tentang
Yunani mengubah geometri dari
ukuran tanah’. Geometri dewasa ini
pengkajian tentang hubungan antara
lebih luas daripada tahap awalnya,
bagian dari bentuk-bentuk yang ada
tetapi ilmu ini masih menyangkut
dalam ruang. Hal ini yang sekarang
ukuran, bentuk, dan kedudukan
dimaksud dengan geometri.
atau
‘ilmu
benda-benda.
Setelah Thales, ahli matematika
Orang Yunani membuat kema-
Yunani yang lain menemukan dan
juan penting dalam bidang geometri.
membuktikan fakta-fakta tentang
Mereka tidak hanya mengoreksi
bentuk-bentuk
aturan-aturan orang Mesir yang sa-
mengemukakan
lah, tetapi juga mempelajari berba-
dalam pernyataan-pernyataan yang
gai bentuk geometri agar dapat
disebut dalil atau teorema. Mereka
menyusun hubungan-hubungannya.
juga menciptakan
Thales, seorang ahli matematika
untuk menggambar bentuk. Biasa-
Yunani yang hidup kira-kira 2500
nya, alat-alat yang diperbolehkan
tahun yang lalu, menemukan bahwa
dalam pengkajian geometri secara
setiap garis tengah ditarik dalam
formal adalah penggaris yang tidak
sebuah lingkaran akan membagi
diberi tanda, untuk menggambar
lingkaran menjadi dua buah sete-
garis lurus, dan jangka untuk meng-
ngah lingkaran. Dia juga mengamati
gambar lingkaran dan memindahkan
bahwa jika 2 garis lurus memotong
ukuran.
satu sama lain, maka sudut yang
geometri.
Mereka
fakta-fakta
itu
berbagai
alat
Orang Yunani mengemukakan
bertolak belakang selalu sama, tidak
berbagai soal konstruksi,
menjadi soal sudut apapun yang
dipecahkan
dibentuk oleh garis itu. Hal ini
penggaris dan jangka.Di antara soal-
merupakan permulaan perhitungan
soal ini adalah sebagai berikut :
angka-angka
untuk
hanya
untuk
menggunakan
menghitung
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
3
1. Membuat suatu bujur sangkar
yang luasnya tepat sama dengan
Geometri Sebagai Suatu Sistem
Deduktif
luas sebuah lingkaran yang
Telah disebutkan di atas bahwa
diketahui, biasa disebut mem-
geometri menurut sejarahnya tum-
bujursangkarkan lingkaran.
buh pada zaman sebelum Masehi
2. Membuat sisi sebuah kubus
karena keperluan pengukuran tanah
yang sisinya akan tepat 2 kali
setiap kali sesudah sungai Nil di
lipat isi kubus diketahui, biasa
Mesir banjir. Dalam Bahasa Indo-
disebut menduplikasikan kubus.
nesia Geometri diterjemahkan seba-
3. Membuat sebuah sudut yang
gai ilmu Ukur. Geometri dapat
besarnya sama dengan sepertiga
didefinisikan sebagai cabang Mate-
besar suatu sudut yang diketa-
matika yang mempelajari titik, garis,
hui, biasa disebut membagi tiga
bidang dan benda-benda ruang serta
sudut.
sifat-sifat-nya,
Selama lebih dari 20 abad, ahli
dan hubungannya satu sama lainnya.
matematika berusaha memecahkan
Jadi, Geometri dapat dipandang
soal itu, tanpa berhasil. Akhirnya,
sebagai suatu studi yang mempe-
dalam abad XIX dibuktikan bahwa
lajari tentang ruang phisik.
ukuran-ukurannya
kita tidak mungkin membujur-sang-
Kita telah mengetahui apa yang
karkan lingkaran, menduplikasikan
disebut garis, segitiga, jajaran gen-
kubus, atau membagi tiga sebuah
jang, persegi panjang, bujur sang-
sudut.
kar,
Kita
mungkin
membuat
belah
ketupat,
trapezium,
ketiga kontruksi ini dengan alat
kubus, bola, kerucut, prisma dan
yang
khusus.
sebagainya. Bangun-bangun atau
Kontruksi sedemikian itu termasuk
benda-benda itu perlu didefinisikan
dalam bidang geometri tinggi.
dan untuk mendefinisikan sesuatu
dirancang
secara
diperlukan pengertian-pengertian sebelumnya.
Jadi,
tidak
semuanya
didefinisikan.
mungkin
Untuk
4 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
menghindari lingkaran dari definisi
pengertian-pengertian pangkal, yaitu
perlu adanya pengertian-pengertian
unsur-unsur dan relasi-relasi yang
pangkal atau unsur-unsur yang tidak
tidak didefinisikan. Masih diperlu-
didefinisikan.
kan pula definisi-definisi dari unsur-
Contoh dari suatu lingkaran definisi:
unsur lain dengan menggunakan
Titik adalah perpotongan dua garis.
pengertian pangkal tersebut.
Garis adalah penghubung dua titik.
Suatu
definisi
harus
Definisi
memungkinkan
kita
dapat
memberi nama pada unsur-unsur se-
dinyatakan dalam bentuk kalimat
hubungan dengan pengertian pang-
yang memuat “bila dan hanya bila”
kal itu. Selain itu harus ada relasi-
atau dapat dibalik misalnya :
relasi atau pernyataan yang dapat
Suatu segitiga sama sisi adalah
diterima tanpa bukti yang dina-
suatu segitiga yang ketiga sisinya
makan sebagai asumsi atau aksioma
sama.
atau postulat. Relasi-relasi lainnya
Ini harus berarti :
yang
Jika suatu segitiga sama sisi, maka
menggunakan definisi atau postulat-
ketiga sisinya sama.
postulat itu dinamakan dalil atau
Jika suatu segitiga sisinya sama,
teorema.
maka segitiga itu sama sisi.
Mengingat perlu adanya unsurunsur
yang
tidak
dapat
dibuktikan
dengan
Proses untuk mendapatkan atau
menurunkan suatu dalil dari him-
didefinisikan,
punan pengertian pangkal, definisi
maka tidak semua relasi dapat dide-
dan postulat disebut suatu deduksi.
finisikan. Jadi harus ada relasi yang
Jadi, sistem deduktif mempunyai
tidak didefinisikan. Unsur-unsur dan
sejumlah pengertian pangkal, defi-
relasi-relasi yang tidak didefinisikan
nisi, postulat, dan teorema-teorema.
disebut pengertian pangkal.
Gambaran sistem deduktif dapat
Geometri dapat dipandang seba-
disajikan sebagai berikut:
gai suatu sistem deduktif. Dalam
suatu sistem deduktif harus ada
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
5
Pengertian pangkal
Dalam Geometri harus hanya
ada satu presentasi yang memenuhi
Definisi
Postulat (aksioma)
satu himpunan postulat itu atau jika
ada dua, tentu keduanya harus
Dalil
isomorphic. Dikatakan himpunan
postulat itu harus “categorical”.
Dalam
Dalil
Geometri
kita
akan
memperhatikan kesimpulan-kesimpulan dan akibat-akibat dari him-
Definisi
Postulat (aksioma)
punan
postulat
itu
dan
tidak
memperhatikan artinya dalam ruang
Dalil
hidup kita.
Geometri Euclides
Geometri yang pertama-tama
dapat
Dan seterusnya
dipandang
sebagai
suatu
sistem deduktif adalah Geometri dan
Dalam Geometri sebagai suatu
Euclides. Geometri Euclides ini
sistem deduktif himpunan postulat
bertahan selama hampir 2000 tahun.
itu
dipandang
sebagai
“aturan
Matematikawan yang bernama
Euclides ini berasal dari Alek-
permainan”.
Himpunan postulat harus kon-
sandria. Euclides hidup kira-kira
sisten, artinya tidak boleh ada 2
300 tahun sebelum Masehi. Dia
pernyataan
bertentangan.
menulis bukunya sebanyak 13 buah
Demikian pula tidak boleh ada 2
dengan mengumpulkan materinya
dalil yang bertentangan. Demikian
dari beberapa sumber dan dari
pula tidak boleh ada 2 dalil yang
tokoh-tokoh sebelumnya. Euclides
bertentangan yang diturunkan dari
adalah penulis dan penyusun buku
himpunan postulat itu.
yang sangat luar biasa, bukunya
yang
6 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
disebut
“The
Elements”
atau
udara, bidang dua puluh (tetra-
“Euclid’s Elements” yang dapat
hedron) dan air, dan ada yang
diterjemahkan ke dalam Bahasa
menambahkan bidang dua belas
Indonesia
(dedecahedron) dan ether.
sebagai
“Unsur-unsur
Euclides”.
Euclides, dalam bukunya yang
Buku-buku Euclides itu adalah
pertama mulai dengan 23 definisi, 5
sebagai berikut :
postulat, 5 aksioma dan 48 dalil.
Enam buah bukunya yang pertama
Euclides membedakan antara pos-
membicarakan
segitiga,
tulat dan aksioma, postulat berlaku
segiempat, lingkaran, segibanyak,
khusus untuk sains tertentu dan
perbandingan dan kesebangunan.
aksioma berlaku untuk umum.
Empat
buah
tentang
buku
berikutnya
Definisi-definisi sebanyak 23 itu
membicarakan ilmu bilangan satu
dapat disajikan sebagai berikut:
buah buku (yang ke 11) memper-
1. Titik adalah yang tidak mempu-
kenalkan
geometri
ruang
yang
berhubungan dengan buku yang
pertama. Buku yang ke 12 adalah
sebuah
buku
membahas
limas,
kerucut dan tabung. Satu buah
bukunya lagi yaitu yang ke-13
membicarakan
bidang
banyak
beraturan dan memberikan kon-
nyai bagian.
2. Garis adalah panjang tanpa lebar.
3. Ujung-ujung suatu garis adalah
titik.
4. Suatu garis lurus adalah suatu
garis yang terletak rata dengan
titik-titik padanya.
truksi dari benda-benda”platonic”
5. Suatu bidang adalah yang hanya
atau benda-benda ‘cosmic’. Benda-
mempunyai panjang dan lebar.
benda ini disebut benda “cosmic”
6. Ujung-ujung suatu bidang ada-
karena menurut teori Plato ada
lah garis.
hubungan antara kubus dan tanah,
7. Suatu bidang datar adalah suatu
bidang empat (tetrahedron) dan api,
bidang yang terletak rata dengan
bidang delapan (octahedron) dan
garis-garis padanya.
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
7
8. Suatu sudut datar adalah inklinasi
(kemiringan)
sesame-nya
dari
dalam suatu garis sedemikian,
hingga semua garis lurus yang
dua garis dalam suatu bidang
melalui
datar yang bertemu dan tidak
hubungan itu dan mengenai
terletak pada suatu garis lurus.
garis tadi sama panjangnya.
9. Dan jika garis-garis yang memuat
16. Dan titik itu disebut titik pusat
sudut itu lurus, maka sudut itu
disebut sudut garis lurus.
satu
titik
dalam
lingkaran.
17. Suatu garis tengah dari lingkar-
10. Jika suatu garis lurus berdiri
an adalah sebarang garis lurus
pada suatu garis lurus dan
melalui titik pusat dan pada
membuat sudut yang bersisian
kedua arahnya berakhir pada
sama, masing-masing sudut ini
keliling lingkaran dan garis
disebut siku-siku dan garis yang
semacam itu
berdiri pada garis lainnya tadi
sama lingkaran itu.
disebut tegak lurus pada garis
yang lain.
11. Suatu
sudut
membagi
dua
18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam
tumpul
adalah
suatu garis tengah dan keliling
sudut yang lebih besar dari
lingkaran yang terbagi oleh
sudur siku-siku.
garis tengah itu. Titik pusat
12. Suatu sudut lancip adalah yang
lebih kecil dari suatu sudut
siku-siku.
setengah
lingkaran
sama
dengan titik pusat lingkaran.
19. Bangun-bangun garis lurus ada-
13. Suatu batas adalah ujungnya
(akhirnya) sesuatu.
lah bangun-bangun yang termuat dalam garis-garis lurus atau
14. Suatu bangun adalah sesuatu
dibatasi garis lurus. Bangun-
yang termuat dalam suatu batas
bangun trilateral adalah yang
atau beberapa batas.
dibatasi oleh tiga, quadrilateral
15. Suatu lingkaran adalah suatu
bangun datar
yang
termuat
dibatasi oleh empat dan multilateral dibatasi oleh empat dan
8 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
multilateral dibatasi oleh lebih
sama, tetapi empat yang lain
dari empat garis.
dari ini semua disebut trape-
20. Dari bangun-bangun trilateral
sium.
(sisi tiga), suatu segitiga sama-
23. Garis-garis lurus sejajar atau
sisi adalah yang mempunyai
parallel adalah garis-garis lurus
tiga sisi sama, suatu segitiga
yang
sama kaki adalah yang hanya
bidang datar dan jika diperpan-
dua sisinya sama dan suatu
jang tak terbatas pada kedua
segitiga miring adalah yang
arahnya tidak akan bertemu
semua sisinya tidak sama.
pada arah yang manapun.
21. Selanjutnya
dari
bangun-
terletak
dalam
Postulat-postulat
suatu
sebanyak
5
bangun segitiga, suatu segitiga
buah dari Euclides itu dapat ditulis
siku-siku adalah yang mempu-
sebagai berikut:
nyai
Postulat 1 : Menarik garis lurus
suatu
sudut
siku-siku,
suatu segitiga tumpul
yang
dari sebarang titik ke sebarang titik
mempunyai suatu sudut tumpul
yang lain.
dan suatu segitiga lancip adalah
Postulat 2 : Memperpanjang suatu
yang ketiga sudutnya lancip.
ruas garis secara kontinu menjadi
22. Dari bangun-bangun segiempat,
garis lurus
suatu bujur sangkar adalah yang
Postulat 3 : Melukis lingkaran de-
sama sisi dan bersudut siku-
ngan
siku,
sebarang jarak.
suatu
empat
persegi
sebarang
titik
pusat
dan
panjang adalah yang bersudut
Postulat 4 : Bahwa semua sudut
siku-siku, tetapi tidak samasisi,
siku-siku adalah semua sama.
suatu belah ketupat adalah yang
Postulat 5 : Bahwa jika suatu garis
sama sisi, tetapi tidak bersudut
lurus memotong dua garis lurus dan
siku-siku, suatu jajarn genjang
membuat sudut-sudut dalam sepi-
adalah sama sisinya dan sudut-
hak kurang dari dua sudut siku-siku,
sudutnya
kedua garis itu jika diperpanjang tak
yang
berhadapan
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
9
terbatas, akan bertemu di pihak
sesuatu yang sama,
tempat kedua sudut dalam sepihak
jumlahnya sama.
kurang dari dua sudut siku-siku.
Aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama
Postulat yang ke 5 ini dapat
dikurangi dengan
diberi keterangan sebagai berikut:
sesuatu yang sama,
sisanya sama.
k
g
Aksioma 4 : Benda-benda yang
berimpit satu sama lain,
P1
satu sama lain sama.
Aksioma 5: Seluruhnya lebih besar
Q2
dari bagiannya.
Beberapa Kelemahan Geometri
Garis g memotong garis k dan l.
Euclides
Sudut P1 ditambah sudut Q2 kurang
Geometri Euclides mempu-
dari dua sudut siku-siku. Jika garis k
nyai beberapa kelemahan. Beberapa
dan l diperpanjang akan berpotong-
kelemahan itu adalah:
an di pihak tempat sudut P1 dan
Kelemahan 1 :Euclides
sudut Q2 (dipihak kanan pada
untuk
gambar di atas).
dalam Geometri, sampai titik dan
Selanjutnya 5 buah aksioma
dari Euclides dapat disajikan seba-
mendefinisikan
berusaha
semuanya
garis.
Jika kita memperhatikan defi-
gai berikut:
nisi Euclides yang pertama: “Titik
Aksioma 1 : Benda-benda yang
adalah
yang
tidak
mempunyai
sama dengan suatu
bagian, maka perlu didefinisikan
benda yang sama, satu
apa yang dimaksud dengan bagian.
sama lain juga sama.
Aksioma 2 : Jika sesuatu yang sama
ditambah dengan
Dalam definisinya yang kedua:
Garis adalah panjang tanpa lebar,
maka perlu didefinisikan pula apa
10 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
yang dimaksud dengan panjang, apa
pula yang dimaksud dengan lebar.
Demikian juga dalam beberapa
definisinya
yang
lain.
Tampak,
Usaha-usaha ini tidak ada yang
berhasil dan tampak keunggulan
Euclides, tetapi usaha ini mengakibatkan ditemukannya Geometri lain
bahwa memang harus ada penger-
yang
tian-pengertian pangkal.
geometri Non-Euclides.
Kelemahan 2 : Postulat yang keli-
Kelemahan 3 :
ma dari Euclides yang terkenal
dalilnya
dengan nama postulat Parallel ter-
pertama
lalu panjang, sehingga merisaukan
berikut. Pada suatu ruas garis dapat
para matematikawan.
dilukis sesuatu segitiga sama sisi.
sekarang
disebut
dengan
Terdapat
pada
atau
proporsinya
yang
yang
berbunyi
sebagai
Beberapa matematikawan me-
Misalkan AB ruas garis yang
nganggap, bahwa postulat yang
diketahui. Harus dilukis segitiga
kelima itu bukan postulat dan dapat
sama sisi pada garis AB.
dibuktikan dengan keempat postu-
Lukisan : Dengan titik A sebagai
lat yang lain. Usaha untuk mem-
titik pusat dan jarak AB dapat
buktikan postulat kelima ini ber-
dilukis lingkaran BCD (postulat 3).
langsung
masih
Demikian pula dengan titik B
hidup kira-kira sekitar tahun 1820.
sebagai titik pusat dan jarak BA
Tokoh-tokoh yang berusaha untuk
dapat
membuktikan ini antara lain Proclus
(postulat 3), dari titik C, yaitu titik
dari
(410–485),
potong kedua lingkaran itu dapat
Girolamo Saccheri dari Italia (1607–
ditarik garis-garis lurus CA dan CB.
sejak
Euclides
Aleksadria
dilukis
lingkaran
ACCE
1733), Karl Friedrich gauss dari
Jerman
(1777–1855),
Wolf-gang
Bolyai
(1802–1860)
dan
Nicolai
Ivanovitch
juga
Lobachevsky
(1793–1856).
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
11
potong kedua lingkaran ini masih
C
D
A
perlu
B
E
menggunakan
pertolongan
prinsip kontinuitas.
Perkembangan Geometri
Materi Geometri Euclides dikumpulkan dari beberapa sumber,
Bukti :
maka dari geometri Euclides ini
Karena titik A adalah titik pusat
dapat diambil intinya yaitu berupa
lingkatan CDB, maka AC sama
dua geometri yang berbeda dalam
dengan AB (definisi 15). Demikian
dasar logikanya, pengertian pangkal
pula, karena titik B titik pusat
dan aksiomanya. Kedua geometri itu
lingkaran ACE maka BC sama
adalah Geometri Affine dan Geo-
dengan BA (definisi 15). Tetapi CA
metri Absolut atau Geometri Netral.
juga terbukti sama dengan AB. Dan
Geometri Affine pertama-tama
benda-benda yang sama dengan
diperkenalkan oleh Leon hard Euler
yang sama, satu sama lain sama
dari Jerman (1707 – 1793). Dalam
(aksioma 1). Jadi juga CA sama
Geometri Affine garis sejajar tung-
dengan CB. Demikian juga ketiga
gal, sesuai dengan postulat Playfair,
garis CA, AB dan BC satu sama lain
memegang peranan yang sangat
sama. Maka segitiga ABC sama sisi
penting. Karena dalam Geometri
dan ini terlukis pada ruas garis AB.
Affine ini lingkaran tidak pernah
Kelemahan dari dalil ini ada-
diukur, maka dapat dikatakan bahwa
lah, bahwa Euclides menganggap
Geometri Affine mempunyai dasar
begitu saja bahwa kedua lingkaran
postulat 1, 2 dan 5 dari postulat
itu berpotongan, tanpa mengguna-
Euclides. Postulat 3 dan 4 tidak
kan atau mendasarkan pada suatu
berarti sama sekali.
postulat. Untuk memperoleh titik
Geometri Absolut pertama kali
diperkenalkan oleh Y. Bolyai (1802
12 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
– 1860). Geometri Absolut ini
sebagai relasi yang tidak didefini-
didasarkan pada postulat 1, 2, 3, dan
sikan. Pengertian ini dipergunakan
4 dari Euclides dan me-lepaskan
untuk mendefinisikan ruas garis
postulat yang ke 5 dari Euclides.
sebagai himpunan titik-titik antara
Jika
Geometri
kita
perhatikan,
Affine
dan
maka
Geometri
dua titik yang diketahui. Kemudian
ruas
garis
dapat
diperpanjang
Absolut mempunyai dasar perseku-
menja-di garis tak berhingga. Jika B
tuan dua postulat pertama dari
terle-tak antara A dan C, dapat
Euclides. Ada pula inti dari teore-
dikatakan bahwa A, B dan C
ma-teorema yang berlaku untuk
terletak berurutan pada garis itu.
Geometri
Geometri
Geometri yang menjadi dasar
Absolut mempunyai dasar perse-
dari Geometri Affine dan Geometri
kutuan dua postulat pertama dari
Absolut
Euclides. Ada pula inti dari teore-
“Ordered”
ma-teorema yang berlaku untuk
karena
Geometri
Geometri
peranan penting. Geometri Terurut
Absolut, yaitu pengertian keantaraan
ini berdasarkan pada dua postulat
(“intermediacy”). Pengertian kean-
yang pertama dari Euclides, tetapi
taraan ini terkandung dalam definisi
penyajiannya lebih teliti.
keempat
Affine
Affine
dari
dan
dan
Euclides.
Definsi
ini
disebut
Geometri
(Geometri
Terurut),
urutan-urutan
memegang
Memperhatikan hal-hal di atas,
keempat dari Euclides itu adalah:
maka Geometri Affine dan Geome-
Suatu garis lurus (ruas garis) adalah
tri Absolut termuat dalam Geometri
terletak rata dengan titik-titik pada-
Teurut, sedangkan Geometri Eucli-
nya, atau Suatu garis lurus (ruas
des termuat dalam Geometri Affine
garis) adalah yang terletak rata
dan Geometri Absolut.
antara ujung-ujungnya.
Seperti telah ditulis di depan,
Pengertian ini memberikan kemung-
bahwa Geometri Non – Euclides
kinan untuk memandang keantaraan
timbul karena para matematikawan
sebagai pengertian pangkal yaitu
berusaha untuk membuktikan pos-
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
13
tulat kelima dari Euclides. Geome-
kan
tri Euclides sebenarnya masih ber-
berikut. Suatu Geometri didefini-
dasarkan empat postulat pertama
sikan oleh suatu group dari trans-
dari Euclides dan hanya berbeda
formasi-transformasi, jika definisi
pada postulat kelimanya. Dengan
dan
demikian Geometri Non – Euclides
untuk sifat-sifat dari bangunan itu
termuat dalam Geometri Absolut.
“invariant” (tidak berubah) oleh
definisi
Geometri
dalil-dalilnya
sebagai
yang berlaku
Geometri Non – Euclides ada 2
transformasi-transformasi dari G,
macam. Yang pertama adalah yang
tetapi tidak “invariant” oleh trans-
ditemukan dalam waktu yang ham-
formasi dari group lain yang mana
pir bersamaan oleh 3 tokoh berlain-
saja yang memuat G.
an dan masing-masing bekerja sen-
Kita telah mengenal berma-
diri. Tokoh-tokoh itu adalah Karl
cam-macam transformasi antara lain
Friedrich Gauss dari Jerman, Yonos
translasi, rotasi, refleksi, refleksi
Bolyai dari Hongaria dan Nicolai
geser, identitas dan dilatasi. Semua
Ivanovitch Lobachevsky dari Rusia.
transformasi itu adalah anggota dari
Geometri ini disebut Geo-metri
group
transformasi-transformasi
hiperbolik atau terkenal juga dengan
lainnya,
misalnya
nama Geometri Loba-chevsky.
affine, transformasi proyektif dan
Geometri Non – Euclides yang
sebagainya, yang bukan anggota
kedua adalah Geometri yang dite-
group
mukan
Euclides.
oleh
G.F.B.
Bernhard
Riemann (1826 – 1866) dari Jer-
transformasi
transformasi
Geometri
Menurut pandangan Felix Klein
man. Geometri yang ditemukan oleh
tentang
Riemann
digambarkan ikhtisar sebagai beri-
ini
disebut
Geometri
Elliptik atau Geometri Riemann.
Felix Klien (1849 – 1925) dari
Geometri,
maka
dapat
kut: Transformasi Geometri Euclides
termuat
dalam
group
Jerman mempunyai pendapat yang
transformasi
lain tentang Geometri. Ia memberi-
Demikian juga group transformasi
Geometri
Affine.
14 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
Geometri Affine, group transforma-
Penutup
si Geometri Hiperbolik dan group
Geometri dapat dipandang seba-
transformasi Geometri Affine, group
gai suatu sistem deduktif maka geo-
transformasi
Elliptik
metri dapat juga disebut suatu sains
masing-masing adalah suatu sub
deduktif. Dalam geometri yang ber-
group
transformasi
awalkan pada pengertian pangkal,
Geometri Proyektif dan yang tera-
definisi dan postulat-postulat maka
khir ini adalah suatu sub group dari
dapat diturunkan secara logis teore-
group transformasi Topologi.
ma-teorema dan seterusnya. Penger-
dari
Geometri
group
Topologi adalah cabang Geome-
tian pangkal, definisi dan postulat-
tri yang paling umum, tetapi yang
postulat itu menentukan macamnya
termuda, yang sekarang masih terus
geometri.
berkembang. Topologi lahir pada
Geometri Euclides mempunyai
tahun 1895, tokoh-tokohnya antara
banyak kelemahan, sehingga seka-
lain Leonhard Euler (1707–1893),
rang Geometri Euclides tidak dipan-
dari Jerman, Henri Poincare (1854–
dang lagi sebagai suatu sistem de-
1912) dari Perancis dan George
duktif yang baik. Walaupun demi-
Cantor (1845 – 1918) dari Jerman.
kian Geometri Euclides tetap meru-
Beberapa orang tokoh dari Geo-
pakan suatu karya besar, dan telah
metri Proyektif antara lain Arthur
bertahan selama 2000 tahun. Tanpa
Cayley (1821–1895) dari Inggris,
adanya Geometri Euclides mungkin
Jean Victor Poncelet (1788–1867)
juga tidak akan timbul geometri-
dari Perancis dan K.G. Christian
geometri yang lain.
Von Christian Staudt (1798–1867)
Geometri adalah suatu ilmu
dari Jerman. Dapat dikatakan bahwa
yang berkembang, jika semula ha-
Geometri Proyektif mulai diakui se-
nya dikenal Geometri Euclides saja,
bagai sistem formal yang berdiri
maka dalam abad 20 ini sudah
pada tahun 1859.
dikenal macam-macam geometri.
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
15
Daftar Pustaka
Coxecter, H.S.M. 1967. Introduction to Geometry. New
York: John Wiley and Sons,
Inc.
Meserve, Bruce E. 1959. Fundamental Concepts of Geometry. Massachusets: AddisonWeley Publishing Company,
Inc.
Moeharti, Hw. 1986. Sistem-Sistem
Geometri. Jakarta: Penerbit
Karunika
Prenowitz, Walter: Jordan, Meyer.
1965. Basic Concepts of Geometry. London: Blais-dell
Publishing Company.
Rawuh, 1988. Geometri. Jakarta:
Penerbit Karunika
16 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri
Budiyono
Jurusan Pendidikan Matematika
FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif, geometri
dapat disebut sebagai suatu sains deduktif. Dengan berawal pada
pengertian pangkal, definisi dan postulat-postult itu menentukan macam
geometri. Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif yang
didasarkan atas himpunan postulat, yang dapat dianggap sebagai aturan
permainannya, maka jika postulat itu diganti akan didapat geometri
yang lain.
Kata Kunci: deduktif, postulat, system geometri
Pendahuluan
Awal geometri bermula dari za-
atas tanah dari pada ujung kepala
orang paling tinggi.
man prasejarah, ketika itu penduduk
Perintis geometri adalah orang
suatu daerah berkembang, tempat
Babilonia purba. Tanah antara su-
tinggal alamiah yang tersedia tidak
ngai Trigis dan Eufrat, tempat ting-
cukup. Orang perlu membangun
gal orang Babilonia, semula berupa
tempat perlindungan yang cukup
rawa. Kanal-kanal dibangun untuk
besar untuk menampung keluarga
mengeringkan rawa itu dan untuk
dan kuat untuk menahan angin,
menampung luapan air sungai. Un-
hujan dan badai. Untuk membuat
tuk maksud pembangunan kanal,
tempat berlindung dengan ukuran
mereka perlu meneliti tanah. Dalam
yang tepat, seseorang harus mem-
melakukan penelitian itu, orang
bandingkan ukuran panjang. Jadi,
Babilonia menciptakan aturan-atur-
atap harus terletak lebih tinggi di
an untuk mencari luas tanah. Aturan-aturan ini tidak terperinci benar,
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
1
tetapi pengetahuan yang mereka
garis besar dan sering tidak tepat.
peroleh cukup untuk pembangunan
Seperti yang kita ketahui sekarang,
kanal.
misalnya, bahwa luas setiap segitiga
Di Mesir, orang mempunyai la-
adalah setengah hasil kali alas dan
dang pertanian di sepanjang sungai
tingginya. Orang Mesir secara salah
Nil dikenakan pajak sesuai dengan
memberikan ukuran luas segitiga ini
tanah milik mereka. Dalam musim
sebagai setengah hasil kali alasnya
penghujan, sungai Nil akan meluap
dengan sebuah sisi. Sebagian besar
mengenai tanah itu, dan mengha-
dari segitiga-segitiga yang panjang
nyutkan semua tanda-tanda batas
dan sempit, dan dalam segitiga
pe-milikan tanah. Oleh karena itu,
seperti itu tidak terdapat perbedaan
orang perlu mengukur lagi tanah
antara panjang sisi dan tingginya.
sehingga
pemilik
Oleh karena itu, hasil dari perhi-
akan memperoleh bagian mereka
tungan orang Mesir berguna sekali
yang sah. Setelah banjir surut, orang
sebagai dasar pembagian tanah dan
yang telah dilatih secara khusus
penarikan pajak terhadap pemi-
disebut tukang perentang tali akan
liknya.
masing-masing
menetapkan petunjuk batas baru.
Mereka menggunakan simpul-sim-
Geometri Menjadi Sebuah Disi-
pul tali berjarak sama, sehingga
plin Ilmu.
mereka dapat mengukur panjang
Orang
Yunani
menamakan
yang diinginkan dan membagi tanah
pengukur tanah bangsa Mesir zaman
itu ke dalam bentuk-bentuk segitiga,
dahulu para geometer atau pengukur
segiempat, persegi panjang, dan
tanah. Geometri berasal dari bahasa
trapezium.
Yunani ‘ge’ artinya tanah dan
Mereka menciptakan aturan-
‘metria’ artinya ukuran. Pengukur
aturan yang praktis untuk mengukur
tanah menemukan banyak fakta
luas bentuk-bentuk itu. Aturan-atur-
tentang segitiga, bujur-sangkar, em-
an itu beraneka ragam dan bersifat
pat persegi panjang, dan bahkan
2 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
lingkaran. Fakta ini menjadi ilmu
tanah milik mereka, bukan untuk
yang oleh orang Yunani disebut
penggunaan secara praktis. Orang
‘geometri’
tentang
Yunani mengubah geometri dari
ukuran tanah’. Geometri dewasa ini
pengkajian tentang hubungan antara
lebih luas daripada tahap awalnya,
bagian dari bentuk-bentuk yang ada
tetapi ilmu ini masih menyangkut
dalam ruang. Hal ini yang sekarang
ukuran, bentuk, dan kedudukan
dimaksud dengan geometri.
atau
‘ilmu
benda-benda.
Setelah Thales, ahli matematika
Orang Yunani membuat kema-
Yunani yang lain menemukan dan
juan penting dalam bidang geometri.
membuktikan fakta-fakta tentang
Mereka tidak hanya mengoreksi
bentuk-bentuk
aturan-aturan orang Mesir yang sa-
mengemukakan
lah, tetapi juga mempelajari berba-
dalam pernyataan-pernyataan yang
gai bentuk geometri agar dapat
disebut dalil atau teorema. Mereka
menyusun hubungan-hubungannya.
juga menciptakan
Thales, seorang ahli matematika
untuk menggambar bentuk. Biasa-
Yunani yang hidup kira-kira 2500
nya, alat-alat yang diperbolehkan
tahun yang lalu, menemukan bahwa
dalam pengkajian geometri secara
setiap garis tengah ditarik dalam
formal adalah penggaris yang tidak
sebuah lingkaran akan membagi
diberi tanda, untuk menggambar
lingkaran menjadi dua buah sete-
garis lurus, dan jangka untuk meng-
ngah lingkaran. Dia juga mengamati
gambar lingkaran dan memindahkan
bahwa jika 2 garis lurus memotong
ukuran.
satu sama lain, maka sudut yang
geometri.
Mereka
fakta-fakta
itu
berbagai
alat
Orang Yunani mengemukakan
bertolak belakang selalu sama, tidak
berbagai soal konstruksi,
menjadi soal sudut apapun yang
dipecahkan
dibentuk oleh garis itu. Hal ini
penggaris dan jangka.Di antara soal-
merupakan permulaan perhitungan
soal ini adalah sebagai berikut :
angka-angka
untuk
hanya
untuk
menggunakan
menghitung
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
3
1. Membuat suatu bujur sangkar
yang luasnya tepat sama dengan
Geometri Sebagai Suatu Sistem
Deduktif
luas sebuah lingkaran yang
Telah disebutkan di atas bahwa
diketahui, biasa disebut mem-
geometri menurut sejarahnya tum-
bujursangkarkan lingkaran.
buh pada zaman sebelum Masehi
2. Membuat sisi sebuah kubus
karena keperluan pengukuran tanah
yang sisinya akan tepat 2 kali
setiap kali sesudah sungai Nil di
lipat isi kubus diketahui, biasa
Mesir banjir. Dalam Bahasa Indo-
disebut menduplikasikan kubus.
nesia Geometri diterjemahkan seba-
3. Membuat sebuah sudut yang
gai ilmu Ukur. Geometri dapat
besarnya sama dengan sepertiga
didefinisikan sebagai cabang Mate-
besar suatu sudut yang diketa-
matika yang mempelajari titik, garis,
hui, biasa disebut membagi tiga
bidang dan benda-benda ruang serta
sudut.
sifat-sifat-nya,
Selama lebih dari 20 abad, ahli
dan hubungannya satu sama lainnya.
matematika berusaha memecahkan
Jadi, Geometri dapat dipandang
soal itu, tanpa berhasil. Akhirnya,
sebagai suatu studi yang mempe-
dalam abad XIX dibuktikan bahwa
lajari tentang ruang phisik.
ukuran-ukurannya
kita tidak mungkin membujur-sang-
Kita telah mengetahui apa yang
karkan lingkaran, menduplikasikan
disebut garis, segitiga, jajaran gen-
kubus, atau membagi tiga sebuah
jang, persegi panjang, bujur sang-
sudut.
kar,
Kita
mungkin
membuat
belah
ketupat,
trapezium,
ketiga kontruksi ini dengan alat
kubus, bola, kerucut, prisma dan
yang
khusus.
sebagainya. Bangun-bangun atau
Kontruksi sedemikian itu termasuk
benda-benda itu perlu didefinisikan
dalam bidang geometri tinggi.
dan untuk mendefinisikan sesuatu
dirancang
secara
diperlukan pengertian-pengertian sebelumnya.
Jadi,
tidak
semuanya
didefinisikan.
mungkin
Untuk
4 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
menghindari lingkaran dari definisi
pengertian-pengertian pangkal, yaitu
perlu adanya pengertian-pengertian
unsur-unsur dan relasi-relasi yang
pangkal atau unsur-unsur yang tidak
tidak didefinisikan. Masih diperlu-
didefinisikan.
kan pula definisi-definisi dari unsur-
Contoh dari suatu lingkaran definisi:
unsur lain dengan menggunakan
Titik adalah perpotongan dua garis.
pengertian pangkal tersebut.
Garis adalah penghubung dua titik.
Suatu
definisi
harus
Definisi
memungkinkan
kita
dapat
memberi nama pada unsur-unsur se-
dinyatakan dalam bentuk kalimat
hubungan dengan pengertian pang-
yang memuat “bila dan hanya bila”
kal itu. Selain itu harus ada relasi-
atau dapat dibalik misalnya :
relasi atau pernyataan yang dapat
Suatu segitiga sama sisi adalah
diterima tanpa bukti yang dina-
suatu segitiga yang ketiga sisinya
makan sebagai asumsi atau aksioma
sama.
atau postulat. Relasi-relasi lainnya
Ini harus berarti :
yang
Jika suatu segitiga sama sisi, maka
menggunakan definisi atau postulat-
ketiga sisinya sama.
postulat itu dinamakan dalil atau
Jika suatu segitiga sisinya sama,
teorema.
maka segitiga itu sama sisi.
Mengingat perlu adanya unsurunsur
yang
tidak
dapat
dibuktikan
dengan
Proses untuk mendapatkan atau
menurunkan suatu dalil dari him-
didefinisikan,
punan pengertian pangkal, definisi
maka tidak semua relasi dapat dide-
dan postulat disebut suatu deduksi.
finisikan. Jadi harus ada relasi yang
Jadi, sistem deduktif mempunyai
tidak didefinisikan. Unsur-unsur dan
sejumlah pengertian pangkal, defi-
relasi-relasi yang tidak didefinisikan
nisi, postulat, dan teorema-teorema.
disebut pengertian pangkal.
Gambaran sistem deduktif dapat
Geometri dapat dipandang seba-
disajikan sebagai berikut:
gai suatu sistem deduktif. Dalam
suatu sistem deduktif harus ada
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
5
Pengertian pangkal
Dalam Geometri harus hanya
ada satu presentasi yang memenuhi
Definisi
Postulat (aksioma)
satu himpunan postulat itu atau jika
ada dua, tentu keduanya harus
Dalil
isomorphic. Dikatakan himpunan
postulat itu harus “categorical”.
Dalam
Dalil
Geometri
kita
akan
memperhatikan kesimpulan-kesimpulan dan akibat-akibat dari him-
Definisi
Postulat (aksioma)
punan
postulat
itu
dan
tidak
memperhatikan artinya dalam ruang
Dalil
hidup kita.
Geometri Euclides
Geometri yang pertama-tama
dapat
Dan seterusnya
dipandang
sebagai
suatu
sistem deduktif adalah Geometri dan
Dalam Geometri sebagai suatu
Euclides. Geometri Euclides ini
sistem deduktif himpunan postulat
bertahan selama hampir 2000 tahun.
itu
dipandang
sebagai
“aturan
Matematikawan yang bernama
Euclides ini berasal dari Alek-
permainan”.
Himpunan postulat harus kon-
sandria. Euclides hidup kira-kira
sisten, artinya tidak boleh ada 2
300 tahun sebelum Masehi. Dia
pernyataan
bertentangan.
menulis bukunya sebanyak 13 buah
Demikian pula tidak boleh ada 2
dengan mengumpulkan materinya
dalil yang bertentangan. Demikian
dari beberapa sumber dan dari
pula tidak boleh ada 2 dalil yang
tokoh-tokoh sebelumnya. Euclides
bertentangan yang diturunkan dari
adalah penulis dan penyusun buku
himpunan postulat itu.
yang sangat luar biasa, bukunya
yang
6 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
disebut
“The
Elements”
atau
udara, bidang dua puluh (tetra-
“Euclid’s Elements” yang dapat
hedron) dan air, dan ada yang
diterjemahkan ke dalam Bahasa
menambahkan bidang dua belas
Indonesia
(dedecahedron) dan ether.
sebagai
“Unsur-unsur
Euclides”.
Euclides, dalam bukunya yang
Buku-buku Euclides itu adalah
pertama mulai dengan 23 definisi, 5
sebagai berikut :
postulat, 5 aksioma dan 48 dalil.
Enam buah bukunya yang pertama
Euclides membedakan antara pos-
membicarakan
segitiga,
tulat dan aksioma, postulat berlaku
segiempat, lingkaran, segibanyak,
khusus untuk sains tertentu dan
perbandingan dan kesebangunan.
aksioma berlaku untuk umum.
Empat
buah
tentang
buku
berikutnya
Definisi-definisi sebanyak 23 itu
membicarakan ilmu bilangan satu
dapat disajikan sebagai berikut:
buah buku (yang ke 11) memper-
1. Titik adalah yang tidak mempu-
kenalkan
geometri
ruang
yang
berhubungan dengan buku yang
pertama. Buku yang ke 12 adalah
sebuah
buku
membahas
limas,
kerucut dan tabung. Satu buah
bukunya lagi yaitu yang ke-13
membicarakan
bidang
banyak
beraturan dan memberikan kon-
nyai bagian.
2. Garis adalah panjang tanpa lebar.
3. Ujung-ujung suatu garis adalah
titik.
4. Suatu garis lurus adalah suatu
garis yang terletak rata dengan
titik-titik padanya.
truksi dari benda-benda”platonic”
5. Suatu bidang adalah yang hanya
atau benda-benda ‘cosmic’. Benda-
mempunyai panjang dan lebar.
benda ini disebut benda “cosmic”
6. Ujung-ujung suatu bidang ada-
karena menurut teori Plato ada
lah garis.
hubungan antara kubus dan tanah,
7. Suatu bidang datar adalah suatu
bidang empat (tetrahedron) dan api,
bidang yang terletak rata dengan
bidang delapan (octahedron) dan
garis-garis padanya.
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
7
8. Suatu sudut datar adalah inklinasi
(kemiringan)
sesame-nya
dari
dalam suatu garis sedemikian,
hingga semua garis lurus yang
dua garis dalam suatu bidang
melalui
datar yang bertemu dan tidak
hubungan itu dan mengenai
terletak pada suatu garis lurus.
garis tadi sama panjangnya.
9. Dan jika garis-garis yang memuat
16. Dan titik itu disebut titik pusat
sudut itu lurus, maka sudut itu
disebut sudut garis lurus.
satu
titik
dalam
lingkaran.
17. Suatu garis tengah dari lingkar-
10. Jika suatu garis lurus berdiri
an adalah sebarang garis lurus
pada suatu garis lurus dan
melalui titik pusat dan pada
membuat sudut yang bersisian
kedua arahnya berakhir pada
sama, masing-masing sudut ini
keliling lingkaran dan garis
disebut siku-siku dan garis yang
semacam itu
berdiri pada garis lainnya tadi
sama lingkaran itu.
disebut tegak lurus pada garis
yang lain.
11. Suatu
sudut
membagi
dua
18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam
tumpul
adalah
suatu garis tengah dan keliling
sudut yang lebih besar dari
lingkaran yang terbagi oleh
sudur siku-siku.
garis tengah itu. Titik pusat
12. Suatu sudut lancip adalah yang
lebih kecil dari suatu sudut
siku-siku.
setengah
lingkaran
sama
dengan titik pusat lingkaran.
19. Bangun-bangun garis lurus ada-
13. Suatu batas adalah ujungnya
(akhirnya) sesuatu.
lah bangun-bangun yang termuat dalam garis-garis lurus atau
14. Suatu bangun adalah sesuatu
dibatasi garis lurus. Bangun-
yang termuat dalam suatu batas
bangun trilateral adalah yang
atau beberapa batas.
dibatasi oleh tiga, quadrilateral
15. Suatu lingkaran adalah suatu
bangun datar
yang
termuat
dibatasi oleh empat dan multilateral dibatasi oleh empat dan
8 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
multilateral dibatasi oleh lebih
sama, tetapi empat yang lain
dari empat garis.
dari ini semua disebut trape-
20. Dari bangun-bangun trilateral
sium.
(sisi tiga), suatu segitiga sama-
23. Garis-garis lurus sejajar atau
sisi adalah yang mempunyai
parallel adalah garis-garis lurus
tiga sisi sama, suatu segitiga
yang
sama kaki adalah yang hanya
bidang datar dan jika diperpan-
dua sisinya sama dan suatu
jang tak terbatas pada kedua
segitiga miring adalah yang
arahnya tidak akan bertemu
semua sisinya tidak sama.
pada arah yang manapun.
21. Selanjutnya
dari
bangun-
terletak
dalam
Postulat-postulat
suatu
sebanyak
5
bangun segitiga, suatu segitiga
buah dari Euclides itu dapat ditulis
siku-siku adalah yang mempu-
sebagai berikut:
nyai
Postulat 1 : Menarik garis lurus
suatu
sudut
siku-siku,
suatu segitiga tumpul
yang
dari sebarang titik ke sebarang titik
mempunyai suatu sudut tumpul
yang lain.
dan suatu segitiga lancip adalah
Postulat 2 : Memperpanjang suatu
yang ketiga sudutnya lancip.
ruas garis secara kontinu menjadi
22. Dari bangun-bangun segiempat,
garis lurus
suatu bujur sangkar adalah yang
Postulat 3 : Melukis lingkaran de-
sama sisi dan bersudut siku-
ngan
siku,
sebarang jarak.
suatu
empat
persegi
sebarang
titik
pusat
dan
panjang adalah yang bersudut
Postulat 4 : Bahwa semua sudut
siku-siku, tetapi tidak samasisi,
siku-siku adalah semua sama.
suatu belah ketupat adalah yang
Postulat 5 : Bahwa jika suatu garis
sama sisi, tetapi tidak bersudut
lurus memotong dua garis lurus dan
siku-siku, suatu jajarn genjang
membuat sudut-sudut dalam sepi-
adalah sama sisinya dan sudut-
hak kurang dari dua sudut siku-siku,
sudutnya
kedua garis itu jika diperpanjang tak
yang
berhadapan
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
9
terbatas, akan bertemu di pihak
sesuatu yang sama,
tempat kedua sudut dalam sepihak
jumlahnya sama.
kurang dari dua sudut siku-siku.
Aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama
Postulat yang ke 5 ini dapat
dikurangi dengan
diberi keterangan sebagai berikut:
sesuatu yang sama,
sisanya sama.
k
g
Aksioma 4 : Benda-benda yang
berimpit satu sama lain,
P1
satu sama lain sama.
Aksioma 5: Seluruhnya lebih besar
Q2
dari bagiannya.
Beberapa Kelemahan Geometri
Garis g memotong garis k dan l.
Euclides
Sudut P1 ditambah sudut Q2 kurang
Geometri Euclides mempu-
dari dua sudut siku-siku. Jika garis k
nyai beberapa kelemahan. Beberapa
dan l diperpanjang akan berpotong-
kelemahan itu adalah:
an di pihak tempat sudut P1 dan
Kelemahan 1 :Euclides
sudut Q2 (dipihak kanan pada
untuk
gambar di atas).
dalam Geometri, sampai titik dan
Selanjutnya 5 buah aksioma
dari Euclides dapat disajikan seba-
mendefinisikan
berusaha
semuanya
garis.
Jika kita memperhatikan defi-
gai berikut:
nisi Euclides yang pertama: “Titik
Aksioma 1 : Benda-benda yang
adalah
yang
tidak
mempunyai
sama dengan suatu
bagian, maka perlu didefinisikan
benda yang sama, satu
apa yang dimaksud dengan bagian.
sama lain juga sama.
Aksioma 2 : Jika sesuatu yang sama
ditambah dengan
Dalam definisinya yang kedua:
Garis adalah panjang tanpa lebar,
maka perlu didefinisikan pula apa
10 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
yang dimaksud dengan panjang, apa
pula yang dimaksud dengan lebar.
Demikian juga dalam beberapa
definisinya
yang
lain.
Tampak,
Usaha-usaha ini tidak ada yang
berhasil dan tampak keunggulan
Euclides, tetapi usaha ini mengakibatkan ditemukannya Geometri lain
bahwa memang harus ada penger-
yang
tian-pengertian pangkal.
geometri Non-Euclides.
Kelemahan 2 : Postulat yang keli-
Kelemahan 3 :
ma dari Euclides yang terkenal
dalilnya
dengan nama postulat Parallel ter-
pertama
lalu panjang, sehingga merisaukan
berikut. Pada suatu ruas garis dapat
para matematikawan.
dilukis sesuatu segitiga sama sisi.
sekarang
disebut
dengan
Terdapat
pada
atau
proporsinya
yang
yang
berbunyi
sebagai
Beberapa matematikawan me-
Misalkan AB ruas garis yang
nganggap, bahwa postulat yang
diketahui. Harus dilukis segitiga
kelima itu bukan postulat dan dapat
sama sisi pada garis AB.
dibuktikan dengan keempat postu-
Lukisan : Dengan titik A sebagai
lat yang lain. Usaha untuk mem-
titik pusat dan jarak AB dapat
buktikan postulat kelima ini ber-
dilukis lingkaran BCD (postulat 3).
langsung
masih
Demikian pula dengan titik B
hidup kira-kira sekitar tahun 1820.
sebagai titik pusat dan jarak BA
Tokoh-tokoh yang berusaha untuk
dapat
membuktikan ini antara lain Proclus
(postulat 3), dari titik C, yaitu titik
dari
(410–485),
potong kedua lingkaran itu dapat
Girolamo Saccheri dari Italia (1607–
ditarik garis-garis lurus CA dan CB.
sejak
Euclides
Aleksadria
dilukis
lingkaran
ACCE
1733), Karl Friedrich gauss dari
Jerman
(1777–1855),
Wolf-gang
Bolyai
(1802–1860)
dan
Nicolai
Ivanovitch
juga
Lobachevsky
(1793–1856).
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
11
potong kedua lingkaran ini masih
C
D
A
perlu
B
E
menggunakan
pertolongan
prinsip kontinuitas.
Perkembangan Geometri
Materi Geometri Euclides dikumpulkan dari beberapa sumber,
Bukti :
maka dari geometri Euclides ini
Karena titik A adalah titik pusat
dapat diambil intinya yaitu berupa
lingkatan CDB, maka AC sama
dua geometri yang berbeda dalam
dengan AB (definisi 15). Demikian
dasar logikanya, pengertian pangkal
pula, karena titik B titik pusat
dan aksiomanya. Kedua geometri itu
lingkaran ACE maka BC sama
adalah Geometri Affine dan Geo-
dengan BA (definisi 15). Tetapi CA
metri Absolut atau Geometri Netral.
juga terbukti sama dengan AB. Dan
Geometri Affine pertama-tama
benda-benda yang sama dengan
diperkenalkan oleh Leon hard Euler
yang sama, satu sama lain sama
dari Jerman (1707 – 1793). Dalam
(aksioma 1). Jadi juga CA sama
Geometri Affine garis sejajar tung-
dengan CB. Demikian juga ketiga
gal, sesuai dengan postulat Playfair,
garis CA, AB dan BC satu sama lain
memegang peranan yang sangat
sama. Maka segitiga ABC sama sisi
penting. Karena dalam Geometri
dan ini terlukis pada ruas garis AB.
Affine ini lingkaran tidak pernah
Kelemahan dari dalil ini ada-
diukur, maka dapat dikatakan bahwa
lah, bahwa Euclides menganggap
Geometri Affine mempunyai dasar
begitu saja bahwa kedua lingkaran
postulat 1, 2 dan 5 dari postulat
itu berpotongan, tanpa mengguna-
Euclides. Postulat 3 dan 4 tidak
kan atau mendasarkan pada suatu
berarti sama sekali.
postulat. Untuk memperoleh titik
Geometri Absolut pertama kali
diperkenalkan oleh Y. Bolyai (1802
12 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
– 1860). Geometri Absolut ini
sebagai relasi yang tidak didefini-
didasarkan pada postulat 1, 2, 3, dan
sikan. Pengertian ini dipergunakan
4 dari Euclides dan me-lepaskan
untuk mendefinisikan ruas garis
postulat yang ke 5 dari Euclides.
sebagai himpunan titik-titik antara
Jika
Geometri
kita
perhatikan,
Affine
dan
maka
Geometri
dua titik yang diketahui. Kemudian
ruas
garis
dapat
diperpanjang
Absolut mempunyai dasar perseku-
menja-di garis tak berhingga. Jika B
tuan dua postulat pertama dari
terle-tak antara A dan C, dapat
Euclides. Ada pula inti dari teore-
dikatakan bahwa A, B dan C
ma-teorema yang berlaku untuk
terletak berurutan pada garis itu.
Geometri
Geometri
Geometri yang menjadi dasar
Absolut mempunyai dasar perse-
dari Geometri Affine dan Geometri
kutuan dua postulat pertama dari
Absolut
Euclides. Ada pula inti dari teore-
“Ordered”
ma-teorema yang berlaku untuk
karena
Geometri
Geometri
peranan penting. Geometri Terurut
Absolut, yaitu pengertian keantaraan
ini berdasarkan pada dua postulat
(“intermediacy”). Pengertian kean-
yang pertama dari Euclides, tetapi
taraan ini terkandung dalam definisi
penyajiannya lebih teliti.
keempat
Affine
Affine
dari
dan
dan
Euclides.
Definsi
ini
disebut
Geometri
(Geometri
Terurut),
urutan-urutan
memegang
Memperhatikan hal-hal di atas,
keempat dari Euclides itu adalah:
maka Geometri Affine dan Geome-
Suatu garis lurus (ruas garis) adalah
tri Absolut termuat dalam Geometri
terletak rata dengan titik-titik pada-
Teurut, sedangkan Geometri Eucli-
nya, atau Suatu garis lurus (ruas
des termuat dalam Geometri Affine
garis) adalah yang terletak rata
dan Geometri Absolut.
antara ujung-ujungnya.
Seperti telah ditulis di depan,
Pengertian ini memberikan kemung-
bahwa Geometri Non – Euclides
kinan untuk memandang keantaraan
timbul karena para matematikawan
sebagai pengertian pangkal yaitu
berusaha untuk membuktikan pos-
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
13
tulat kelima dari Euclides. Geome-
kan
tri Euclides sebenarnya masih ber-
berikut. Suatu Geometri didefini-
dasarkan empat postulat pertama
sikan oleh suatu group dari trans-
dari Euclides dan hanya berbeda
formasi-transformasi, jika definisi
pada postulat kelimanya. Dengan
dan
demikian Geometri Non – Euclides
untuk sifat-sifat dari bangunan itu
termuat dalam Geometri Absolut.
“invariant” (tidak berubah) oleh
definisi
Geometri
dalil-dalilnya
sebagai
yang berlaku
Geometri Non – Euclides ada 2
transformasi-transformasi dari G,
macam. Yang pertama adalah yang
tetapi tidak “invariant” oleh trans-
ditemukan dalam waktu yang ham-
formasi dari group lain yang mana
pir bersamaan oleh 3 tokoh berlain-
saja yang memuat G.
an dan masing-masing bekerja sen-
Kita telah mengenal berma-
diri. Tokoh-tokoh itu adalah Karl
cam-macam transformasi antara lain
Friedrich Gauss dari Jerman, Yonos
translasi, rotasi, refleksi, refleksi
Bolyai dari Hongaria dan Nicolai
geser, identitas dan dilatasi. Semua
Ivanovitch Lobachevsky dari Rusia.
transformasi itu adalah anggota dari
Geometri ini disebut Geo-metri
group
transformasi-transformasi
hiperbolik atau terkenal juga dengan
lainnya,
misalnya
nama Geometri Loba-chevsky.
affine, transformasi proyektif dan
Geometri Non – Euclides yang
sebagainya, yang bukan anggota
kedua adalah Geometri yang dite-
group
mukan
Euclides.
oleh
G.F.B.
Bernhard
Riemann (1826 – 1866) dari Jer-
transformasi
transformasi
Geometri
Menurut pandangan Felix Klein
man. Geometri yang ditemukan oleh
tentang
Riemann
digambarkan ikhtisar sebagai beri-
ini
disebut
Geometri
Elliptik atau Geometri Riemann.
Felix Klien (1849 – 1925) dari
Geometri,
maka
dapat
kut: Transformasi Geometri Euclides
termuat
dalam
group
Jerman mempunyai pendapat yang
transformasi
lain tentang Geometri. Ia memberi-
Demikian juga group transformasi
Geometri
Affine.
14 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
Geometri Affine, group transforma-
Penutup
si Geometri Hiperbolik dan group
Geometri dapat dipandang seba-
transformasi Geometri Affine, group
gai suatu sistem deduktif maka geo-
transformasi
Elliptik
metri dapat juga disebut suatu sains
masing-masing adalah suatu sub
deduktif. Dalam geometri yang ber-
group
transformasi
awalkan pada pengertian pangkal,
Geometri Proyektif dan yang tera-
definisi dan postulat-postulat maka
khir ini adalah suatu sub group dari
dapat diturunkan secara logis teore-
group transformasi Topologi.
ma-teorema dan seterusnya. Penger-
dari
Geometri
group
Topologi adalah cabang Geome-
tian pangkal, definisi dan postulat-
tri yang paling umum, tetapi yang
postulat itu menentukan macamnya
termuda, yang sekarang masih terus
geometri.
berkembang. Topologi lahir pada
Geometri Euclides mempunyai
tahun 1895, tokoh-tokohnya antara
banyak kelemahan, sehingga seka-
lain Leonhard Euler (1707–1893),
rang Geometri Euclides tidak dipan-
dari Jerman, Henri Poincare (1854–
dang lagi sebagai suatu sistem de-
1912) dari Perancis dan George
duktif yang baik. Walaupun demi-
Cantor (1845 – 1918) dari Jerman.
kian Geometri Euclides tetap meru-
Beberapa orang tokoh dari Geo-
pakan suatu karya besar, dan telah
metri Proyektif antara lain Arthur
bertahan selama 2000 tahun. Tanpa
Cayley (1821–1895) dari Inggris,
adanya Geometri Euclides mungkin
Jean Victor Poncelet (1788–1867)
juga tidak akan timbul geometri-
dari Perancis dan K.G. Christian
geometri yang lain.
Von Christian Staudt (1798–1867)
Geometri adalah suatu ilmu
dari Jerman. Dapat dikatakan bahwa
yang berkembang, jika semula ha-
Geometri Proyektif mulai diakui se-
nya dikenal Geometri Euclides saja,
bagai sistem formal yang berdiri
maka dalam abad 20 ini sudah
pada tahun 1859.
dikenal macam-macam geometri.
Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri
15
Daftar Pustaka
Coxecter, H.S.M. 1967. Introduction to Geometry. New
York: John Wiley and Sons,
Inc.
Meserve, Bruce E. 1959. Fundamental Concepts of Geometry. Massachusets: AddisonWeley Publishing Company,
Inc.
Moeharti, Hw. 1986. Sistem-Sistem
Geometri. Jakarta: Penerbit
Karunika
Prenowitz, Walter: Jordan, Meyer.
1965. Basic Concepts of Geometry. London: Blais-dell
Publishing Company.
Rawuh, 1988. Geometri. Jakarta:
Penerbit Karunika
16 Budiyono: Dasar-dasar Geometri Suatu Pengantar Mempelajari Geometri