Karena a, b, dan c adalah akar-akar persamaan pangkat 3 tersebut maka

SOAL-SOAL 9
1. Himpunan penyelesaian dari persamaan x  13  x  22  1 adalah ….
Solusi:
Cara 1:
Ambillah x  1  a .

x  13  x  22  1
2
a 3  a  1  1
a 3  a 2  2a  1  1
a 3  a 2  2a  0





a a2  a  2  0

aa  2a  1  0
a  0 atau a  2 atau a  1
x  1  0 atau x  1  2 atau x  1  1

x  1 atau x  1 atau x  2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  1,1,2 .

Cara 2:

x  13  x  22  1
x 3  3x 2  3x  1  x 2  4 x  4  1

x 3  2x 2  x  2  0

x  1x 2  x  2  0
x  1x  2x  1  0
x  1 atau x  1 atau x  2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  1,1,2 .

2.

Jika akar-akar persamaan 11  x 3  13  x 3  24  2 x 3 adalah x1 , x2 , dan x3 , maka
nilai x1  x2  x3  ....
Solusi:

Ambillah a  11  x dan b  13  x , maka

11  x 3  13  x 3  11  x  13  x 3
3
a 3  b 3  a  b 
a 3  b 3  a 3  b 3  3a 2 b  3ab 2

3a 2 b  3ab 2  0
aba  b  0
a  0 atau b  0 atau a  b  0
11  x  0 atau 13  x  0 atau 11  x  13  x  0
x  11 atau x  13 atau x  12
Jadi, x1  x2  x3  11  13  12  36

3.

Pemfaktoran (faktorisasi) dari a 3  b 3  c 3  3abc adalah ….
Solusi:

1 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

Ambillah persamaan pangkat 3 yang akar-akarnya a, b, dan c.
x  a x  bx  c  0

x

2



 a  b x  ab x  c   0

x 3  cx 2  a  b x 2  ac  bcx  abx  abc  0
x 3  a  b  c x 2  ab  ac  bcx  abc  0

Karena a, b, dan c adalah akar-akar persamaan pangkat 3 tersebut maka
a 3  a  b  c a 2  ab  ac  bca  abc  0 …. (1)
b 3  a  b  c b 2  ab  ac  bcb  abc  0 …. (2)
c 3  a  b  c c 2  ab  ac  bcc  abc  0 …. (3)

Penjumlahan persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:





a 3  b 3  c 3  a  b  c  a 2  b 2  c 2  ab  ac  bca  b  c   3abc  0



a 3  b 3  c 3  3abc  a  b  c  a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc

a 3  b 3  c 3  3abc  a  b  c 
a 3  b 3  c 3  3abc 





1 2

a  2ab  b 2  a 2  2ac  c 2  b 2  2bc  c 2
2



1
a  b  c  a  b 2  a  c 2  b  c 2
2





Catatan:
Dalam kasus jika a  b  c  0 , maka a 3  b 3  c 3  3abc .
4. Diketahui a, b, dan c adalah bilangan real positif dan a log b b log c c log a  0 . Nilai dari



a

 
3

log b 

b

  log a  adalah ….
3

log c 

c

3

Solusi:
Cara 1:





Ambillah x  a log b , y  b log c , maka c log a   a log b b log c  x  y  .



a

 
3

log b 

b

  log a 
3

log c 

c

3

 x 3  y 3  x  y 

3

 x 3  y 3  x 3  y 3  3x 2 y  3xy 2
 3x 2 y  3xy 2

 3xyx  y 
3 a log bb log c c log a
3

Cara 2:
Gunakan identitas:
Jika a  b  c  0 , maka a 3  b 3  c 3  3abc .



a

 
3

log b 

b

  log a 
3

log c 

c

3

3 a log b b log c c log a  3

5. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2  x  2  0 , maka nilai x19  x 29 adalah ….
Solusi:
Cara 1:

x 2  x  2  0 , akar-akarnya x1 dan x 2 .
x1  x 2  1
2 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

x1 x2  2

x1  x2 3   13
x13  3x12 x 2  3x1 x 22  x 23  1
x13  3x1 x 2 x1  x 2   x 23  1
x13  3  2 1  x 23  1

x13  x 23  5

x

3
1

 x 23



3

 53

x19  3x16 x 23  3x13 x 26  x 29  125





x19  3x1 x 2  x13  x 23  x 29  125
3

x19  32 5  x 29  125
3

x19  x 29  5

Cara 2:
Gunakan identitas: Jika a  b  c  0 , maka a 3  b 3  c 3  3abc .
x1  x 2  1

x1  x 2  1  0
x13  x 23  13  3  x1  x 2  1
x13  x 23  1  3  2  1
x13  x 23  5  0

x   x 
3 3
1

3 3
2

  5  3  x13  x 23  5
3

x19  x 29  125  15x1 x 2 

3

x19  x 29  125  152

3

x19  x 29  125  120
x19  x 29  5

6. Diberikan r adalah bilangan real sedemikian sehingga

3

r

1
3

r

 2 . Nilai dari r 3 

Solusi:
Gunakan identitas: Jika a  b  c  0 , maka a 3  b 3  c 3  3abc .
1
3
r
2
3
r
3

 1 
   2   0
r   
3
r


 r
3

3

 1
  
3
r


3

 1

   23  3  3 r   
3
r




   2


 1
r     8  6
 r
 1
r       14  0
 r
3 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

1
 ....
r3

3

 1
 1
3
r       14  3  r      14
 r
 r
1
r 3  3  42  2744
r
1
r 3  3  2786
r
3

7. Tentukan banyak pasangan bilangan bulat m, n  untuk mn  0 dan m 3  n 3  99mm  333
.
Solusi:
Gunakan identitas: a 3  b 3  c 3  3abc 



1
a  b  c  a  b 2  a  c 2  b  c 2
2



m 3  n 3  99mm  333

m 3  n 3  99mn  333  0
m 3  n 3   33  3mn 33  0
3





1
m  n  33 m  n 2  m  332  n  332
2
m  n  33 atau m  n  33
Dari m  n  33 diperoleh pasangan  3,3 , dengan banyak pasangannya 1 buah.

Dari m  n  33 diperoleh pasangan 0,33 , 1,32 , 2,31 , … , 33,0 , dengan banyak
pasangannya 34 buah.
Jadi, banyaknya pasangan adalah 35 buah.
8.

1 
1 
 1  1  1  
Nilai dari 1  1  1  ...1 
 adalah ….
1 
 2  3  4   2012  2013 
Solusi:
1 
1   3  4  5   2013  2014 
 1  1  1  
     ...

1 

1  1  1  ...1 
 2  3  4   2012  2013   2  3  4   2012  2013 
2014
 1007

2

9. Nilai dari 12  2 2  32  4 2  ...  1992  2002 adalah ….
Solusi:
Cara 1:

12  2 2  32  4 2  ...  1992  2002



 

 





 12  2 2  3 2  4 2  5 2  6 2  ...  1992  2002



 1  21  2  3  43  4  5  65  6  ...  199  200199  200
 3  7  11  ...  399

100
 3  399
2
 20100
Cara 2:


12  2 2  32  4 2  ...  1992  2002



 







 12  3 2  2 2  5 2  4 2  ...  1992  1982  2002
4 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

 1  3  23  2  5  45  4  ...  199  198199  198  2002

 1  5  9  ...  397  2002
100
1  397  40000

2
 19900  40000
 20100
10. Diberikan segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat positif
yang membentuk barisan aritmetika Jika luas segitiga adalah 96 cm2, maka kelilingnya
adalah ….
Solusi:
Ambillah sisi-sisi segitiga tersebut adalah a  b, a, a  b .

a  b2  a 2  a  b2
a 2  2ab  b 2  a 2  a 2  2ab  b 2

a 2  4ab  0
aa  4b  0
a  0 (ditolak) atau a  4b (diterima)
Sisi-sisi segitiga tersebut adalah 3b,4b,5b

a

ab

ab

Kesimpulan:
Jika segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat positif yang
membentuk barisan aritmetika, maka sisi-sisinya berbanding sebagai 3 : 4 : 5.
Luas = 96
1
a  b b  96
2
1
3b b  96
2
2
b 2  96   64
3
b8
b  8  a  4b  4  8  32 cm
Jadi, keliling segitiga adalah a  b  a  a  b  3a  3  32  96 cm.

5 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015