BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 - Analisa Tegangan Statik Sistem Perpipaan Pada Pompa Air Umpan ( Feed Water Pump ) Dengan Metode Elemen Hingga Dan Bantuan Software Caesar Ii Versi. 5.10

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Perpipaan

Pipa digunakan untuk mengalirkan fluida (zat cair atau gas) dari satu atau beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping

sistem ) terdiri dari gabungan pipa-pipa yang memiliki panjang total relatif pendek

dan digunakan untuk mengalirkan fluida dari suatu peralatan ke peralatan lainnya yang beroperasi pada suatu plant. Sistem perpipaan dilengkapi dengan komponen-komponen seperti katup, flens, belokan, percabangan, nozzle, reducer, tumpuan, isolasi, dan lain-lain.

Dalam dunia industri, biasa dikenal beberapa istilah mengenai sistem perpipaan seperti piping dan pipeline. Piping adalah sistem perpipaan di suatu plant, sebagai fasilitas untuk mengantarkan fluida (cairan atau gas) antara satu komponen ke komponen lainnya untuk melewati proses-proses tertentu. Piping ini tidak akan keluar dari satu wilayah plant.Sedangkan Pipeline adalah sistem perpipaan untuk mengantarkan fluida antara satu plant ke plant lainnya yang biasanya melewati beberapa daerah.Ukuran panjang pipa biasanya memiliki panjang lebih dari 1 km bergantung jarak antar plant.

Sistem perpipaan dapat ditemukan hampir pada semua jenis industri, dari sistem pipa tunggal yang sederhana sampai sistem pipa bercabang yang sangat kompleks. Contoh sistem perpipaan adalah, sistem distribusi air minum pada gedung atau kota. sistem pengangkutan minyak dari sumur bor ke tandon atau tangki penyimpan, sistem distribusi udara pendingin pada suatu gedung, sistem distribusi uap pada proses pengeringan dan lain sebagainya.

Sistem perpipaan meliputi semua komponen dari lokasi awal sampai dengan lokasi tujuan antara lain, saringan (strainer), katup atau kran, sambungan, nosel dan sebagainya. Untuk sistem perpipaan yang fluidanya liquid, umumnya dari lokasi awal fluida, dipasang saringan untuk menyaring kotoran agar tidak menyumbat aliran fuida. Saringan dilengkapi dengan katup searah ( foot valve) yang fungsinya mencegah aliran kembali ke lokasi awal atau tandon. Sedangkan sambungan dapat berupa sambungan penampang tetap, sambungan penampang berubah, belokan (elbow) atau sambungan bentuk T (Tee).

2.2 Teori Tegangan

Pengetahuan mengenai sifat-sifat mekanik material sangat penting.Melalui pengetahuan ini dapat diperkirakan tegangan-tegangan yang terjadi pada sistem perpipaan.Dalam kode ditetapkan aturan-aturan agar pada sistem perpipaan tidak terjadi tegangan yang berlebih sehingga dapat terhindar dari kegagalan.Secara umum teori tegangan pada sistem perpipaan merupakan pengembangan dari teori tegangan dalam mekanika.Oleh sebab itu, dapat digunakan dalam perhitungan dan analisis tegangan pada sistem perpipaan.

2.2.1. Tegangan Satu Arah (Uniaxial)

Tegangan uniaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja hanya terjadi dalam satu arah. Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah

.Keadaan tegangan ini pada aplikasi suatu batang lurus berpenampang A dengan gaya dan arah yang ditunjukkan seperti gambar 2.1. Dianggap bahwa tegangan terbagi rata diseluruh penampang yang tegak lurus dengan luasan pada benda, dimana gaya yang bekerja terdapat pada koordinat sumbu x.

A S

I Gambar 2.1 Distribusi Tegangan Uniaxial

Akibat dari gaya-gaya yang bekerja pada benda, maka akan terbentuk sudut potong pada benda sebesar . Dimana dengan sudut tersebut akan diproyeksikan nilai tegangan – tegangan yang terjadi pada benda tersebut seperti tegangan geser dan tarik dalam arah

. Kesetimbangan gaya dan tegangan dapat dilihat pada gambar 2.2.

ANALIS

STA

A DATA

Gambar 2.2 Distribusi Tegangan Uniaxial

Persamaan untuk distribusi tegangan pada gambar 2.2 dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

dimana: = tegangan (N/ )

σ P = gaya (N)

2 A = luas penampang ( ) P P

Gambar 2.3 distribusi tegangan pada penampang sederhanaGambar 2.4 Distribusi Tegangan Uniaxial terhadap sudut

Pada gambar 2.3 terlihat beberapa tegangan yang terdapat pada benda yang membentuk sudut . Dengan menuliskan bentuk persamaan dari gambar tersebut kedalam kesetimbangan gaya maka akan diperoleh nilai tegangan tarik dan tegangan geser.

Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut bekerja pada arah yang samadengan tegangan , dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.1.

) =

= (1

= 0 , maka persamaan 2.3 akan berubah menjadi persamaan 2.4 : =

(2.3) Pada saat kondisi

) =

(2.1) Untuk menentukan nilai dapat diubah ke dalam bentuk A dengan menggunakan persamaan 2.2 :

= = (

,dapat dilihat pada persamaan 2.3:

(2.2) Dengan demikian nilai pada persamaan 2.2, dapat disubstitusikan kedalam persamaan 2.1 sehingga akan diperoleh persamaan tegangan tarik yang bekerja terhadap sumbu

− ) = =

= (

( − ) =

(2.4) Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut bekerja pada arah yang sama dengan tegangan , dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.5 :

− = 0 = =

= (2.5)

Melalui persamaan trigonometri diketahui bahwa : 2 = 2

1 =

2 Dengan merubah persamaan trigonometri diatas kedalam persamaan trigonometri pada persamaan tegangan geser maka akan dihasilkan persamaan akhir untuk tegangan geser, yaitu pada persamaan 2.6 :

= (2.6)

2 Pada saat kondisi , akan diperoleh tegangan geser:

= 0 dan = 45 = 0 = 45

1 °

) = =

2(0) 2(45

=0 =

2 Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasan .Tegangan tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.4.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik maksimum adalah : = 0

Syarat ( 2 )

2 = 0 0 +

−2 � 2 � = 0

2 −2 � 2 � = 0

2 = 0 2 =

− −1

2 =

−1

( 0) =

2 = 0, 90, 180

, = 0,

2 Sehingga maximum pada dapat diperoleh dengan memasukkan = 0 nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum.

= (1) =

= ( 2.7)

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah . Dengan demikian tegangan geser maksimum merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah : = 0

sin2 �σ θ 2 �

= 0 σ x

2 � � cos2θ = 0

2 2 = 0

3 ,

4 Sehingga dengan memasukkan besaran sudut yang menghasilkan tegangan geser maksimum akan diperoleh nilai maksimum dari tegangan geser yaitu pada persamaan 2.8 :

′

= = sin 2 = =

2 =

( 2.8 )

2.2.1.1 Lingkaran Mohruntuk Tegangan Uniaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar. Penyederhanaan persamaan untuk lingkaran mohr dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan trigonometri dalam aturan kosinus sebagai berikut.

cos 2 = −

Cos

2 = − (1 − )

cos 2 = 2 − 1

2cos 2 = 1 + 2

cos =

2 Persamaan untuk tegangan tarik pada arah dengan menggunakan penyederhanaan aturan kosinus.

1 = ( 2 )

2 =

( 2.9 ) −

( 2.12 )

)

−

= (

)

−

2 (

Dengan demikian persamaan lingkaran mohr diperoleh pada persamaan 2.12: (

)

= = (

)

−

2 )

)

(

)

= (

)

= (

Persamaan untuk tegangan geser pada permukaan yaitu : =

)

= (

)

( −

2 )

= (

)

−

2 (

2 ( 2.10 ) ( =

)

= (

)

( −

2 2 )

2 ( 2.11 ) Pada penjumlahan eliminasi yang sama sehingga akan menghasilkan persamaan lingkaran mohr sebagai berikut:

)

= (

2
(
2
2
2

2 O M A

′

2 − ₂ Gambar 2.5 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Uniaxial

Gambar 2.5 pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah

untuk menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

2.2.2. Tegangan Dua Arah (Biaxial)

Tegangan biaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja terjadidalam dua arah. Tegangan dalam dua arah meliputi tegangan terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ).

Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah . sehingga dengan menggunakan kesetimbangan energi akan diperoleh persamaan persamaan untuk tegangan geser dan tegangan tarik. Pada tegangan biaxial terdapat tiga tegangan yang bekerja pada tiap garis yang sama yaitu tegangan pada sudut

, tegangan pada luasan sumbu y dan tegangan pada sumbu x yang diproyeksikan terhadap satu garis yang sama.

y n θ x

θ x

Gambar.2.6 tegangan biaksial Dari gambar 2.6 akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik dan geser dengan menggunakan kesetimbangan gaya pada satu sumbu garis yang sama.Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut bekerja pada arah yang samadengan tegangan dan pada dua luasan yang berbeda dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.13.

sin θ =0

− cos θ − =

sin θ cos θ + = ( ( sin θ) sin θ cos θ) cos θ +

2 = cos sin

θ +

= ( ) + ( ( 2.13 )

) cos 2θ

−

2 Jadi persamaan untuk menentukan tegangan maksimal pada tegangan dua arah

adalah :

(2.14)

− Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut bekerja pada arah yang sama dengan tegangan dan pada dua gaya yang bekerja pada permukaan dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.15(Lit. Timosenko, hal 47).

= ( ) + ( ) cos 2θ

2 ,

θ = 0, π

θ = 0 sin2 θ = 0

− (σ x − σ y ) sin2

2 � sin2θ = 0

− σ

= 0 0 + −2 �

2 � cos2θ

− σ

− − = 0 =

2 � + �

[� σ

Syarat untuk mendapatkan tegangan tarik maksimum adalah : = 0

(2.15) Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasan .Tegangan tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.6 diatas.

)sin 2θ

−

= (

= −

( )

( ) −

− =

σ
σ ^y )

( σ ^x
σ y

σ ^y )
( σ ^x

�

σ ^x

� + �

σ ^x −σ ^y

� ( 2.16)

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah : τ

= 0 �

σ x − σ y

2 � sin2θ

= 0

2 �

σ x − σ y

2 � cos2θ = 0 2 = 0

4 ,

(1) =

−σ ^y )

Tegangan tarik maksimum diperoleh dengan mensubsitusikan nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum untuk tegangan biaxial.

( σ ^x

−σ ^y )

cos 2θ =

� σ x

2 � + �

σ x − σ y

2 � cos0

( σ ^x

σ ^y

4 Dengan demikian akan diperoleh nilai dari tegangan geser maksimum dengan memasukkan besaran dari nilai sudut yang menghasilkan tegangan maksimum.

Sehingga akan diperoleh tegangan geser maksimum untuk biaxial ditunjukkan pada persamaan 2.17 : _{x y}

σ −σ

= ) τ � �sin2 (

θ _{x y}

4 σ −σ o

= ) τ � �sin 2 (45

2 _{x y} σ −σ

= ( 2.17)

τ max � �

2.2.2.1 Lingkaran Mohr untuk Tegangan Biaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar.

( ) ( ) _x _{y x y} σ σ σ −σ

= cos 2θ

2 ( ) ( ) _{x y x y} σ σ σ −σ

σ − cos 2θ

θ _{x y}

2 σ −σ

= τ � �sin2θ

σ ^y

O
σ ^y
(
( − )
( )
σ y 2 − σ ^x
σ ^y

σ ^x

)]

)

= (

^x −σ ^y

)

2 ( − )

2 =

2 ( − )

2 =

2 Gambar 2.7 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Biaxial

C ′

2 σ ^x

− σ

σ x

− (

[ σ

Sehingga dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap persamaan tegangan akan terbentuk persamaan lingkaran dasar dalam bentuk tegangan umum yang dapat menentukan nilai maksimum dan nilai minimum tegangan geser dan tegangan tarik.

[ σ

− (

σ ^x

)]

= (

σ ^x −σ ^y

)

2 θ

2 τ

= �

σ ^x −σ ^y

�

sin

2 M B

Gambar 2.7 pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah

2.2.3 Tegangan Utama (Principal Stress)

Tegangan maksimum atau minimum pada suatu batang dapat digambarkan pada sebuah elemen yang mendapat beban. Dimana penjabaran tegangan yang terjadi dapat diuraikan, sehingga nantinya mendapatkan persamaan minimum dan maksimum untuk mencari nilai suatu tegangan. Titik centroid pada benda akan menjabarkan tegangan-tegangan yang terjadi, sehingga untuk mendapatkan persamaan akan lebih mudah.

y y x a

θ θ

θ x b

Gambar.2.8 tegangan utama Tegangan tarik utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya tarik utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan tarik pada sumbu x dan tegangan tarik terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan tarik utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris.

Tegangan tarik pada luasan cos θ

θ terletak pada satu garis dengan tegangan dan y σ sin θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik utama yang terlihat pada persamaan 2.18 berikut :

A A A A = σ x x cos θ + σ y y sin θ- 2 τ xy cos θ sin θ

θ θ θ

A ( A ( A A

x y xy

σ = σ cos θ) cos θ+ σ sin θ)sin θ - 2 τ cos θ sin θ

θ θ θ θ θ

2 x cos y sin xy cos

σ = σ θ+ σ θ- 2 τ θ sin θ

θ −

= ( )+( ) cos 2 xy ( 2.18) θ - 2 τ sin 2θ

Tegangan geser utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya geser utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan geser pada sumbu x dan tegangan geser terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan geser utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris.

Tegangan geser cos sin θ dan σ y

θ yang terletak pada satu garis dengan tegangan θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan geser utama yang terlihat pada persamaan 2.19(Lit.Timosenko hal 75).

− − = 0

= − −

− −

= ( ( ( ) − ) + ) −

( )

= − −

1 =

2 − 2 + � 2 � − � 2 �

1 =

� − � 2 + 2 −

= � − � 2 +

= (2.19)

� − � + Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang mampu diterima oleh beban. Tegangan tarik maksimum merupakan batas yang diizinkan dalam pemberian gaya berupa pembebanan. Tagangan tarik maksimum pada tegangan utama memiliki syarat dalam penentuan nilai sudut yang dibentuk.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik utama maksimum adalah : = 0

−

�� + � � 2 − 2 2 �

2 = 0

− 0 + (2 −2 � � 2 − 2 2 ) = 0

2 −� − � 2 − 4 2 = 0 � − � 2 = −4

2 2 −4 =

2 � − �

�

2 � 2 + 2 �

−

= 0 ��

Tegangan geser utama maksimumadalah batas nilai tegangan tertinggi yang mampu diterima oleh benda pada pembentukan sudut tertentu, dimana nilai sudut yang dibentuk dapat ditentukan dengan menentukan titik maksimum dari tegangan geser utama.Syarat untuk menentukan tegangan geser utama maksimum mempengaruhi besarnya pembebana yang mampu diterima oleh benda. Syarat untuk memperoleh tegangan geser utama maksimum adalah :

2 �

� + �� −

= �

− �

2 � − 2 �

� + � −

= �

2 � − 2

� + � −

2 =

= 0

� + � −

2 =

−4 � � − �

� 2 = � − �

Sehingga Tegangan Tarik Utama Maximum adalah : =

�

2 � 2 − 2

2 =

�

� + � −

2 �

2 2 −

− (

� � 2 + −2 2 ) = 0

2 � − � 2 − 2 2 = 0 � − � 2 = 2

2 2 � − � =

2 � − � 2 =

1 � − � 2 = � �

2 � − �

2 2 = � �

2 Sehingga Tegangan Geser Maximum Utama adalah : −

= � � 2 +

−

2 = � �

2 −

� � −

2 = � � � � +

2 −

= � � �

2.2.3.1. LingkaranMohr Tegangan Utama

Lingkaran mohr untuk tegangan utama dibentuk dari persamaan dasar dari lingkaran dengan menjumlahkan persamaan pada tegangan tarik utama dan tegangan geser utama.Persamaan yang diperoleh merupakan dasar untuk membentuk lingkaran.Tegangan maksimum dan minimum dapat dihitung melalui perhitungan untuk titik terjauh pada lingkaran sepanjang sumbu x dan tegangan tarik utama minimum dapat dihitung melalui penentuan titik terdekat pada sumbu x. Persamaan – persamaan tersebut dapat dilihat pada lingkaran mohr pada gambar 2.9.

� − � − −

2 F y B H

. � � E

2 D O C

2 ₂

1 ₂ −

��
2

2 .

� � x G

Gambar 2.9 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Utama Dengan demikian nilai – nilai tegangan yang dapat diperhitungkan pada pembebana yang diberikan dapat dilihat berdasarkan gambar yang dilukis berdasarkan perhitungan dari nilai – nilai tegangan tarik dan geser pada sudut pembentuk.Diagram mohr merupakan bentuk dari semua tegangan yang mempengaruhi benda yang dapat dilihat melalui gambar.

2.3. Sistem Penumpu

Pipe support adalah salah satu bagian yang penting dalam sistem perpipaan atau di suatu plant.Sistem penumpu berfungsi untuk menahan dan mengkondisikan suatu sistem perpipaan sehingga aman sampai waktu yang telah ditentukan, bahkan diharapkan berfungsi selama pipa masih digunakan.

2.3.1. Momen Lentur (Bending Momen)

Jadi momen lentur merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen lentur juga dinotasikan dengan M. Momen lentur lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

2.3.2. Gaya geser

Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan, gaya geser lebih sering digunakan daripada tahanan geser.

2.3.3. Gaya dan Momen pada tumpuan

Ketika pipa dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser.Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik tersebut.Untuk menentukan besarnya resultan pada tumpuan dapat menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan.

Berikut ini adalah contoh analisa 1 dimensi arah x untuk menentukan arah gaya dan momen pada sebuah pipa yang ditumpu.

P A B a b

R Ax

L Ay By

R R

Gambar 2.10 Free Body Diagram kesetimbangan gaya dan momen

Dari diagram benda bebas diatas akan didapatgaya–gaya reaksi yang bekerja pada tiap tumpuan yangterlihat pada persamaan dari gambar 2.10 :

− = 0

Persamaan momen untuk batasan ≤ ≤

x x

= ( ) v

= ( )

( ) = 0

∑ = 0 −

∑ = 0

= −

∑ = 0

) =

) = 0 (

− (

Nx Untuk nilai x = 0 = 0

Untuk nilai x = a =

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh : = 0

∑ = 0

− = =

Untuk nilai x = 0 =

Untuk nilai x = a =

Sedangkan persamaan momen untuk batasan ≤ ≤

P M Nx v a x-a x

= 0 ∑

(

( ( − ) − ) = 0

= ) − ( − )

= ( ) − ( − )

Untuk nilai x = a =

Untuk nilai x = l = 0

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh : = 0

∑ = 0

− − =

− =

− Untuk nilai x = a =

− Untuk nilai x = l

−

= −

Dari hasil penurunan persamaan diatas untuk momen dan gaya geser akan didapat bentuk diagram untuk masing-masing persamaan momen dan gaya geser dimana gambar yang dihasilkan berdasarkan bentuk dari diagram benda bebas pada gambar 2.11 :

Gambar 2.11 Diagram gaya geser dan momen lentur

A B L a b P

−

2.4 Klasifikasi Tegangan

Tegangan yang tejadi dalam sistem perpipaan dapat dikelompokkan ke dalam dua kategori, yakni Tegangan Normal (Normal Stress) dan Tegangan Geser (Shear Stress). Tegangan normal terdiri dari tiga komponen tegangan, yang masing-masing adalah:

1. Tegangan Longitudinal (Longitudinal Stress), yaitu tegangan yang searah panjang pipa.

2. Tegangan Tangensial atau Tegangan Keliling (Circumferential Stres

s atau Hoop Stress), yaitu tegangan yang searah garis singgung penampang pipa.

3. Tegangan Radial (Radial Stress), yaitu tegangan searah jari-jari penampang pipa.

Tegangan Geser terdiri dari dua komponen tegangan, yang masing-masing adalah: 1.

Tegangan Geser (Shear Stress), yaitu tegangan akibat adanya gaya yang berimpit atau terletak pada luas permukaan pipa.

2. Tegangan Puntir atau Tegangan Torsi (Torsional Stress), yaitu tegangan yang terjadi akibat momen puntir pada pipa.

2.4.1 Tegangan Longitudinal ( Longitudinal Stress)

Tegangan Longitudinal merupakan jumlah dari Tegangan Aksial (Axial

Stress ), Tegangan Lentur (Bending Stress) dan Tegangan Tekanan Dalam

(Internal Pressure Stress). Mengenai ketiga tegangan ini dapat diuraikan berikut ini.

2.4.1.1 Tegangan Aksial

Tegangan aksial adalah tegangan yang ditimbulkan oleh gaya F

yang bekerjasearah dengan sumbu pipa, dan dapat diperlihatkan seperti gambar 2.12: Gambar 2.12Tegangan Aksial

Dimana :

ax =

(2.20)

σ ax

Am = luas penampang pipa

=tegangan aksial =

– di

4 (do

2 do = diameter luar ) di = diameter dalam Fax = gaya normal (N)

2.4.1.2 Tegangan Lentur (Bending Stress)

Tegangan yang ditimbulkan oleh momen M yang bekerja diujung-ujung benda. Dalam hal ini tegangan yang terjadi dapat berupa Tensile Bending.

Tegangan lentur maksimum terletak pada permukaan pipa dan nol pada sumbu pipa, dapat ditunjukkan pada gambar 2.13: Gambar 2.13.Bending Momen

(2.21)

Tegangan maksimum terjadi pada dinding terluar dari pipa (2.22)

= =

Dimana :

M = momen bending c = jari-jari terluar pipa I = Momen inersia penampang

( do – di )

I =

64 Z = section modulus

2.4.2 Tegangan Geser

Berbeda dengan tegangan normal akibat gaya aksial, Tegangan geser terjadi pada permukaan pipa dimana gaya yang bekerja terletak pada permukaan pipa atau bekerja sejajar terhadap permukaan pipa. Tegangan geser terjadi diakibatkan oleh gaya yang bekerja sejajar dengan permukaan pipa dan karena adanya momen torsi yang terdapat pada pipa, momen torsi ini dapat berupa dua gaya yang bekerja sejajar dengan arah yang berlawanan (momen kopel).

2.4.2.1 Akibat gaya geser (V)

Tegangan geser akibat gaya geser (V) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.23: (2.23)

= max

Dimana :

V = Gaya Geser A = Luas penampang

Tegangan ini mempunyai nilai minimum di sumbu netral (di sumbu simetri pipa) dan bernilai nol pada titik dimana tegangan lendut maksimum ( yaitu pada permukaan luar dinding pipa). Karena hal ini dan juga karena besarnya tegangan ini biasanya sangat kecil, maka tegangan ini dapat diabaikan.

2.4.2.2 Akibat momen puntir

Tegangan geser akibat momen puntir (Mt) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.24 (Lit. Hibeller, Hal 143) : (2.24)

= max

Dimana :

Mt = Momen Puntir

J = Momen Inersia Polar Tegangan ini terjadi akibat adanya momen yang bekerja pada pipa yang mengakibatkan adanya pergeseran sudut terhadap sumbu pipa, momen yang bekerja dapat berupa momen ataupun gaya yang mengakibatkan terjadinya puntiran.

2.4.3 Tegangan Torsi

Suatu bentangan bahan dengan luas permukaan tetapdikenai suatu puntiran ( twisting ) pada setiap ujungnya danpuntiran ini disebut juga dengan torsional, dan bentangan bendatersebut dikatakan sebagai poros ( shaft ).Distribusi tegangan bervariasi dari nol pada pusat poros sampai dengan maksimum pada sisi luar poros, seperti diilustrasikan pada gambar 2.14:

Gambar 2.14. Distribusi Tegangan Geser

2.4.3.1 Momen Inersia( Polar )

Untuk suatu batang bulat berlubang (pipa) dengan diameter luar D dan

diameter dalam D i , momen kutub inersia (polar momen of inertia) penampang melintang luasnya, biasanya dinotasikan dengan J (Lit.Hibbeler, hal 72).

Dimana :

4 J = (D – D i )

32 Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat

diperoleh dengan memberi nilai D i = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat matematis dari geometri penampang yang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada batang atau poros bulat yang dikenai torsi.

2.4.3.2 Regangan geser

Suatu garis membujur a-b digambarkan pada permukaan poros tanpa beban.Setelah suatu momen punter T dikenakan pada poros, garis a-b bergerak menjadi a- b’ seperti ditunjukkan pada gambar berikut.Sudut γ, yang diukur dalam radian, diantara posisi garis akhir dengan garis awal didefinisikan sebagai regangan geser pada permukaan poros. Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada batang poros tersebut, dapat ditunjukkan pada gambar 2.15:

Gambar 2.15. Regangan Geser

2.5 Persamaan Tegangan Pada Sistem Perpipaan

Persamaan tegangan pada sistem perpipaan merupakan persamaan yang dapat diturunkan dari persamaan untuk tegangan yang sesuai dengan aplikasi

1,2

tersebut. Pada dasarnya persamaan tegangan yang dihasilkan pada tiap kondisi yang berbeda diperoleh dari persamaan untuk tegangan utama, yang membedakan persamaan tegangan pada tiap-tiap kondisi itu adalah tegangan terhadap sumbu x dan tegangan terhadap sumbu y. Pada kondisi bending tegangan terhadap sumbu x tidak berlaku atau diabaikan dengan sudut pembentuk dengan nilai 90 derajat. Secara umum akan terlihat pada gambar 2.16.

Gambar 2.16 Sistem Perpipaan Sederhana Maka akan berlaku persamaan Tegangan Utama dengan ketentuan dimana pada gambar diatas menunjukkan bahwa, arah tegangan terhadap sumbu x adalah 0, dan hanya ada tegangan yang bekerja terhadap sumbu y. Tegangan geser yang terjadi pada gambar diatas adalah tegangan geser akibat gaya geser yang bekerja searah dengan luas penampang pipa, secara umum dapat dilihat pada persamaan dibawah ini (Lit. Timosenko hal 43 ).

2 −

1,2

� � ± ��

2 Dimana

dan pada kondisi lentur pada sistem penumpu akan berubah menjadi persamaan yang sesuai dengan keadaan dari bentuk beam yang dalam hal ini berbentuk pipa dimana tidak terjadi tegangan dalam arah sumbu x ( =0).

= 0( tidak ada tegangan terhadap sumbu x ) =

= Dimana :

M = momen bending C = jari-jari terluar pipa I = Momen inersia penampang V = Gaya Geser A = Luas penampang

2
2 1,2
2 1,2

2 ±

2 �

2 − ��

2 �

��

2 �

−

2 � ± ��

= � 0 +

2 �

� ± �� −

= �

1,2

Sehingga akan diperoleh persamaan untuk tegangan lentur pada sistem penumpu yaitu :

2
2
��

2.6 Metode Elemen Hingga

Metode Elemen Hingga adalah salah satu dari metode numerik yang memanfaatkan operasi matrix untuk menyelesaikan masalah-masalah fisik.

Metode ini dibangun sebagai metode numeric untuk analisa tegangan, tapi sekarang pemakainanya telah meluas sebagai metode yang umum untuk banyak permasalahan engineering kompleks dan ilmu-ilmu fisika.Mengandung banyak perhitungan, pertumbuhannya berhubungan dekat dengan pengembangan teknologi komputer.

Metode Elemen Hingga digunakan dengan membagi suatu benda menjadi bebrapa bagian dan bagian-bagian tersebut disebut dengan mesh. Beberapa mesh yang terbentuk dari suatu benda dan terdiri dari beberapa titik (node). Nilai dan jumlah titik (node) ditentukan oleh jumlah mesh.

Node 3 Node 1 Node 2 Node 4 Mesh 2 Mesh 3

Mesh 1

Gambar 2.15 Gambar Pembagian Mesh pada benda n= m+1 (2.25)

dimana : n= jumlah node m= jumlah mesh

Dengan demikian, pada persamaan 2.15 didapat bahwa jumlah titik (node) pada pembagian elemen sama dengan jumlah mesh ditambah satu.

2.6.1 Node (U)

Node atau titik merupakan dasar dalam penghitungan tegangan. Dimana perpindahan node akibat pemberian gaya yang berupa pembebanan pada benda yang merupakan nilai dari pertambahan panjang atau perpindahan node ( ∆u). Nilai dari perubahan panjang akan mempengaruhi nilai kekakuan dari pipa (k). Semakin besar jarak perpindahan antar node pada suatu mesh akibat pembebanan berupa gaya maka akan semakin besar tegangan yang diterima pada mesh dimana node berada. Dimana nilai perpindahan node dirumuskan dengan persamaan 2.26 :

U (2.26)

i+1 i

∆u = U Dimana : ∆u : Perpindahan Node U i : node urutan ke-i U : node urutan ke-i + 1

i+1

2.6.2 Konstanta Kekakuan (K)

Nilai konstanta kekakuan dipengaruhi oleh nilai gaya dan perpindahan node ( ∆u). Dimana jika semakin besar nilai perpindahan node pada pembebanan yang sama maka akan menghasilkan nilai Konstanta Kekakuan (

) yang lebih kecil, sebaliknya jika nilai perpindahan node kecil pada pembebanan yang sama maka akan menghasilkan nilai Konstanta Kekakuan (k) yang lebih besar.

Nilai konstanta kekakuan pada Metode Elemen Hingga diperoleh dengan meggunakan persamaan dari konstanta kekakuan pegas yang di tunjukkan pada gambar (2.10 )

Gambar 2.16 Konstanta kekakuan pegas

Dimana nilai konstanta pegas yang diberikan pada persamaan (2.27) = ∆

(2.27) Dimana : F : Gaya k : Konstanta Pegas

x ∆ F

∆x : Pertambahan Panjang Untuk kondisi benda yang mengalami perubahan panjang atau penambahan panjang akibat gaya yang dibebankan pada benda yang dibagi menjadi beberapa elemen, defleksi atau lendutan yang terjadi mengakibatkan benda mengalami perpanjangan searah sumbu pusat benda, sehingga pertambahan panjang akibat pengaruh gaya ditentukan berdasarkan penurunan persamaan 2.27

= Untuk persamaan tegangan

∆

Untuk persamaan pertambahan panjang Persamaan umum untuk menghubungkan nilai tegangan dan pertambahan panjang dapat dilihat pada persamaan 2.28

= (2.28)

Dimana : : Tegangan : Modulus Elastisitas : Regangan Sehingga dengan mensubtitusikan persamaan tegangan dan pertambahan panjang kedalam persamaan 2.27 akan menghasilkan nilai konstanta kekakuan secara umum yang ekuivalen dengan konstanta kekakuan pegas yang terlihat pada persamaan 2.29

∆

= (2.29)

= � � ∆ Dimana :

F : Gaya yang bekerja

A : Luas permukaan elemen

E : Modulus elastisitas Elemen

∆ : Pertambahan panjang Persamaan 2.29 ekuivalen dengan persamaan 2.27 pada kondisi yang sama, sehingga nilai konstanta kekakuan dapat diwakilkan dengan persamaan pada benda yang mengalami perpanjangan akibat lendutan oleh beban F yang bekerja padanya. Persamaan untuk nilai diperoleh dengan mensubtitusikan persamaan 2.29 kedalam persamaan 2.27 sehingga akan diperoleh persamaan kekakuan untuk Metode Elemen Hingga yang terlihat pada persamaan 2.30

Persamaan untuk konstanta pegas = ∆

Persamaan untuk konstanta Metode Elemen = � � ∆

Hingga � � ∆ = ∆

(2.30) = � � Dimana :

k : Nilai kekakuan elemen A : Luas permukaan elemen E : Modulus elastisitas Elemen L : Panjang Elemen

Dengan demikian, persamaan 2.30 merupakan persamaan untuk konstanta metode elemen hingga secara umum yang digunakan dengan mengasumsikan keadaan yang sama dengan konstanta kekakuan pegas.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 - Analisa Tegangan Statik Sistem Perpipaan Pada Pompa Air Umpan ( Feed Water Pump ) Dengan Metode Elemen Hingga Dan Bantuan Software Caesar Ii Versi. 5.10