limit dan kontinuitas ut

MATEMATIKA EKONOMI

LIMIT , KONTINUITAS DAN TURUNAN

Tito Adi Dewanto S.TP
tito math’s blog
titodewanto@yahoo.com

Limit
 Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai
x mendekati a dari arah kanan maka
dikatakan bahwa limit f(x) untuk x
mendekati a dari kanan sama dengan
L dan dinotasikan:

lim f ( x)  L

x a

Limit
 Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai

x mendekati a dari arah kiri maka
dikatakan bahwa limit f(x) untuk x
mendekati a dari kanan sama dengan
l dan dinotasikan:

lim f ( x)  l

x a

Limit
 Bila L = l maka dikatakan bahwa limit
fungsi f(x) untuk x mendekati a sama
dengan L dan dinotasikan:

lim f ( x)  L  l
xa

 Bila L ≠ l maka dikatakan bahwa limit
fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak
ada.

Contoh 1 – Mencari LIMIT dengan TABEL
tables unt mencari

Jawab:
Kita buat 2 tabel, seperti dibawah, pertama nilai x
mendekati 3 dari kiri, dan kedua dengan x mendekati 3 dari
kanan.

Limit Penting!

lim 2x  4  10
x3

10

lim f (x)  L

Def: Ditulis

3

x c

jika x → c, maka f (x) → L
x

2

2.9

2.99

2.999

3

3.001

3.01

3.1

4

f (x)

8

9.8

9.98

9.998

?

10.002

10.02

10.2

12

Contoh 2
x2  x  6 0
lim

x2
x2
0
Buat Grafiknya ?.

Which is undefined!
Tapi nilai limitnya ada!!!!
Apa yang terjadi saat x = 2?

x2  x  6
(x  3)(x  2)

 lim
 lim (x  3)  5
lim
x2
x2
x2
x2
x2
x2  x  6
NOTE : f ( x ) 
graphs as a straight line.
x2
7

Atau grafik berbentuk Garis Lurus

Contoh 3
f (x) = (x2 – 9)/(x + 3) pada

a.

b.

f (-3) = 0/0

x = -3

Adalah bentuk tak tentu!

x2  9
lim

x  3 x  3

-6

-3

The limit exist!

c.

x2  9
 f ( 3)
lim
x  3 x  3

-6

Therefore the function is not continuous
at x = -3.
You can use table on your calculator to verify this.

8

Sifat Limit

Sifat Limit

Contoh 4
(Mencari LIMIT dengan subtitusi langsung)

1.

lim

x

4 2

Substitusi x=4.

x4

2.

lim
x6

62
36

x2

4

x3 63 9

Substitusi x= 6

Contoh 5

(untuk x mendekati a)

Contoh 6

a)

 x 3
lim 
=



x 9
 x 9 

 ( x  3)( x  3) 
lim 

x 9
 ( x  9)( x  3) 




x 9
 lim 
 lim 

x 9
x 9 ( x  9)( x  3)




b)

 4  x2 
 (2  x)(2  x) 
lim  2
 = lim 
x 2 2 x  x 3

 x2  x 2 (2  x) 

 2 x
= lim 

2
x 2
 x 
2  (2) 4

 1
2
(2)
4

1  1
 6
x 3

Limit di Tak Hingga
 Secara umum, limit fungsi dari

untuk x mendekati tak hingga atau minus
tak hingga sama dengan nol, dituliskan :

Contoh 7

Untk x mendekati 

 2 x3  3x 2  2 
1. lim  3

2
x 



x
x
x
100
1



 2 x3 3x 2 2
 3  3

3
x
 lim  3 x 2 x
x  x
  x  100 x  1
 3
x3
x3
x3
x
3 2


 2  x  x3

 lim 

x 
1
100
1
 1  2  3 
x x
x 


2
 2
1








 4 x  5 x  21 
lim  3

x  7 x  5 x 2  10 x  1


2

2.



4 x 2 5 x 21
 3 3


3
x
x
x
 lim  3

2
x  7 x
5
10
1
x
x


 3  3  3  3
x
x
x 
 x
21
 4 5


 x x 2 x3
 lim 
x 
5 10 1
7  2  3
x x
x


0

7
0







3.

 x2  2 x  4 
lim 

x 
x
12
31



 x2 2x 4 
 
 
x x
 lim  x
x 
 12 x  31 
 x
x 


4

 x2 x 
 lim 
x 
31 
 12 

x 

2

12



Cobalah ?

Soal: Hitunglah

Kontinuitas
 Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada
suatu titik x = a bila:
 f(a) terdefinisi
 lim f ( x) , yaitu
xa



lim f ( x)  f (a)
xa

lim f ( x)  lim f ( x)

xa

xa

Contoh 9
f (x) = (x2 – 9)/(x + 3) pada

a.
b.

f (-3) = 0/0

x = -3

Adalah bentuk tak tentu!

x2  9
lim

x  3 x  3

-6

-3

The limit exist!

c.

x2  9
 f ( 3)
lim
x  3 x  3

-6

Therefore the function is not continuous
at x = -3.
You can use table on your calculator to verify this.

20

Soal dan Pembahasan

Pembahasan

Soal
 Diketahui:

 x 2  1, x  1
f ( x)  
 2 x, x  1

Carilah (jika ada):
1. lim f ( x) 2. lim f ( x)
x 1

x 1

3. lim f ( x)
x1

Soal
 Diketahui:

 Hitung

 x 2  1, x  1
f ( x)   2
 x  x, x  1

lim f ( x) dan lim f ( x) !
x 1

 Selidiki apakah

x 1

lim f ( x)
x1

ada!

 Jika ada, berapa nilainya?

Soal
 Cari titik diskontinu fungsi berikut:


x  3x
f ( x) 
x3



x 4
f ( x)  3
x 8

2

2

Ada 3 jenis diskontinu yaitu :

(i) Diskontinue titik lowong
(ii) Diskontinue tak terhingga
(iii) Diskontinue terhingga
DISKONTINUE TITIK LOWONG

(i)
º
a

f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

DISKONTINUE TERHINGGA

DISKONTINUE TERHINGGA

(ii)

Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit
di x=a

L2

L1

a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

Diskontinue Tak Terhingga
20
15
10
5

F(x) lim
=
x a 

1

 x  a

n



-8

-6

-4

-2

2
-5
-10
-15
-20

40

lim
F(x) =
x a

30

1

 x  a

  if n is even
20

n

10

-2

2

4

6

-10
-20

F(x) =
lim
x a



1

 x  a

20

n

  if n is odd

15
10
5

-8

-6

-4

-2

2
-5
-10
-15

(iv)

f(a) ada
lim f ( x) ada
xa

f(a)

lim f ( x)  f (a)
x a

a
f(x) kontinu di x=a

contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan
alasannya

x2  4
a. f ( x) 
x2

 x2  4

b. f ( x)   x  2 , x  2
 3
,x  2

 x  1, x  2
f
(
x
)

c.
 2
 x  1, x  2

Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)

b. f(2) = 3
( x  2)( x  2)
x2  4
lim
 lim x  2  4
 lim
x 2 x  2
x 2
x 2
( x  2)

f(x) tidak kontinu
di x=2

lim f ( x)  f (2)
x 2

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
kontinu di x=2

c.

f (2)  2 2  1  3

lim f ( x)  lim x  1  3

x 2

x 2

lim f ( x)  lim x  1  3
2

x 2 

lim f ( x)  3
x 2

x 2

lim f ( x)  f (2)
x 2

Karena semua syarat dipenuhi  f(x) kontinu di x=2

Definisi Turunan Fungsi

f(a  h)  f(a)
f ' (a)  Limit
,
h  0
h

CONTOH 1.

Carilah turunan fungsi f(x)  3 - 2x,
pada x  1

JAWAB

f(x)  3 - 2x, pada x  1 adalah f ' (1)
f(1  h) - f(1)
f ' (1)  Limit
h  0
h
{3 - 2(1  h)} - {3 - 2(1)}
f ' (1)  Limit
h  0
h
 2h
f ' (1)  Limit
 Limit  2  2
h  0
h  0
h
Jadi turunan fungsi f(x)  3 - 2x, pada x  1
adalah f ' (1)  -2

Contoh 2

Tentukan turunan dari :
Jawab :

Y = 3x2

3( x  h)  3 x
y'  lim
h 0
h
2
2
2
3 x  6hx  3h  3 x
 lim
h 0
h
2
6hx  3h
 lim
 lim 6 x  3h
h 0
h 0
h
 6x
2

2

Turunan

SOAL LATIHAN
1. Carilah tu runan dari fungsi - fungsi berikut
untuk nilai - nilai x yang disebutkan
a.

f(x)  5 - 2x, pada x  4

b.

f(x)  x 3  x 2 , pada x  2

1 3
2. Diketahui f(x)  x  2 x 2  7 x, dengan
3
daerah asal D f  {x / x  R}
a.

Carilah f ' (a) dengan a  R

b.

Jika f ' (a)  19, carilah nilai a yang mungkin