Soal Latihan dan Pembahasan. pdf

1

Transformasi
1.

M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0. R adalah rotasi sejauh 90 searah jarum
jam dengan pusat O. Tentukan matriks transformasi yang bersesuaian dengan R o M !
Jawab :

 0 1   0 − 1  − 1 0 
 
 = 

R  M = 
−
−
1
0
1
0
0

1

 
 

2.

1 0 
 0 1
 dan M 2 = 
 . Tentukan bayangan titik (2,-5) oleh
 0 − 1
 1 0
transformasi M 2  M 1

Diketahui M 1 = 

Jawab :

 2   0 1  1 0 

 = 
 

( M 2  M 1 )
 − 5   1 0   0 − 1

 2   0 − 1  2   5 

 = 
 
 =  
 − 5  1 0   − 5  2 

3. Tentukan bayangan titik (3,2) karena pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan
terhadap garis x = 5 !
Jawab :

4.

( x ' ' , y ' ') =

( x + 2(l − k ), y ) = (3 + 2(5 − 3),2) = (7,2)

Tentukan bayangan lingkaran x 2 + y 2 = 1 karena transformasi yang bersesuaian dengan
 2 0

 0 1

matriks 
Jawab :

 x'   2 0 
  = 

 y'   0 1 
x2 + y 2 = 1





x   2x 
x = 12 x'
 =   ⇒
y  y 
y = y'

( 12 x') 2 + ( y' )2 = 1 ⇔
5.

1
4

x2 + y 2 = 1 ⇔ x2 + 4 y 2 = 4

Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 karena pencerminan terhadap sumbu X kemudian
diputar dengan rotasi sejauh 90 dengan pusat O !
Jawab :

 x' '   0 − 1  1 0  

  = 
 
 
 y ' '   1 0   0 − 1 
y = 2x + 3
x' ' = 2 y ' '+ 3 ⇔ x − 2 y − 3 =
6.

x  y
x = y' '
 =   ⇒
y  x
y = x' '
0

Tentukan matriks transformasi yang bersesuaian dengan perputaran sebesar
dan berlawanan dengan arah perputaran jarum jam !

π
terhadap O

6

2

Jawab :

− sin π6  
 = 
cos π6  

 cos π6

 sin π
6

7. T1

1
2

−

3
1
2

 1 3
 = 
3  2  1

1
2

1
2

− 1

3 
 1 2

 dan T2 bersesuaian
 0 3

adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks 

3 0 
 . Tentukan matriks yang bersesuaian dengan T2  T1 !
 1 − 2

dengan matriks 
Jawab :

3 0 

T2  T1 = 
 1 − 2
8.

 1 2  3 6 


 = 

 0 3  1 − 4

Tentukan matriks yang bersesuaian dengan M y = x  R90  M x


Jawab :

 0 1   0 − 1  1 0   1 0 
 
 
 = 

M y = x  R90   M x = 
 1 0   1 0   0 − 1  0 1 
9.

Tentukan matriks yang menyatakan perputaran sebesar
dengan pencerminan terhadap garis x + y = 0 !

π
3

terhadap O dan dilanjutkan

Jawab :

 0 − 1 

M y = − x  Rπ = 
3
 − 1 0  

−

1
2
1
2

3

1
2
1
2


3
1 
 = − 12  3

 1 − 3





10. Tentukan bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 !
Jawab :

 x'   1 k   x   1 3   1   10 
  = 
   = 
   =  
 y'   0 1   y   0 1   3  3 
11. Tentukan bayangan titik (4,-8) yang dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan

rotasi ( O,60 ) !

Jawab :

 x'   − 1 0   4 
  = 
 
 +
 y'   0 1   − 8 
− 12 3 
 x' '   12

  = 1
1

 y ' '   2 3
2


 2.6   8 

 = 

 0   − 8
 8   4 + 4 3


 = 

 − 8  4 3 − 4 

12. Bayangan titik A(x,y) karena refleksi terhadap garis x = -2, dilanjutkan refleksi terhadap

garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O bersudut π2 radian adalah (-4,6).
Tentukan koordinat titik A !
Jawab :

3

( Rπ  M y = 3  M x = − 2 )( x, y ) = (− 4,6)
2

( Rπ )(2(− 2) − x,2.3 − y ) = (− 4,6)
2

( Rπ )(− 4 − x,6 − y ) = ( − 4,6)
2

 0 − 1  − 4 − x 

 
 =
 1 0   6− y 
 y − 6   − 4

 = 
 ⇒
 − x − 4  6 

 − 4


 6 
x = − 10
y= 2

Jadi A(− 10,2)

13. T suatu transformasi linear yang memetakan titik-titik (0,1) dan (1,0) berturut-turut
menjadi titik-titik (1,0) dan (0,1). Tentukan bayangan titik (-1,2) oleh transformasi T !
Jawab :

 a b
 maka :
Misal T = 
c
d


 a b   0 1  1 0
b

 
 = 
 ⇔ 
 c d   1 0  0 1
d
 0 1   − 1  2 
   =  
Sehingga 
1
0

  2   − 1

a   1 0
 0 1
 = 
 ⇒ T = 

c   0 1
 1 0

14. Tentukan bayangan titik-titik A(2,1), B(6,1) dan C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu Y

dilanjutkan rotasi ( O,90 ) !

Jawab :

 x' '   0 − 1  − 1 0   2 6 5   − 1 − 1 − 3 
  = 
 
 
 = 

y
'
'
1
0
0
1
1
1
3
−
2
−
6
−
5
  
 

 

Jadi A’’(-1,-2), B’’(-1,-6) dan C’’(-3,-5)
15. Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dilanjutkan dengan transformasi

 − 2 1
 menghasilkan titik (1,-8), maka tentukan nilai a+ b !
 1 2

sesuai matriks 
Jawab :

 − 2 1  − 1 0

 

 1 2  0 1
 2a + b   1 

 = 

 − a + 2b   − 8 

 a  1 
  = 

 b   − 8
a= 2
⇒
b= −3

a + b = 2 + (− 3) = − 1
16. Tentukan luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1) dan S(-1,-1)

karena dilatasi (O,3) dilanjutkan rotasi pusat O bersudut

π
2

!

Jawab :

 x' '   0 − 1  3 0   − 1 3 3 − 1  − 6 − 6 3 3 
  = 
 
 
 = 

 y ' '   1 0   0 3   2 2 − 1 − 1  − 3 9 9 − 3 

4

Y
(-6,-9)

(3,9)

Jadi Luas = 12 x 9 = 108

(-6,-3)

(3,-3)

17. Jika titik P(2,-3) dicerminkan terhadap garis lurus m menghasilkan bayangan P’(4,5), maka
tentukan persamaan garis m !
Jawab :
m
P(2,-3)

M

P’(4,5)

 2+ 4 − 3+ 5
,
 = M (3,1)
2 
 2
5 − ( − 3)
1
m1 =
= 4 ⇒ m2 = −
4− 2
4
Persamaan garis m adalah :

Koordinat M 

y − 1 = − 14 ( x − 3) ⇔ x + 4 y − 7 = 0

18. Tentukan bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x !
Jawab :

x = y'
 x'   0 1   x   y 
  = 
   =   ⇒
y = x'
 y'   1 0   y   x 
y = 2x + 2
x' = 2 y '+ 2 ⇔ y =

1
2

x− 1

19. Tentukan persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat O sejauh 90 ,

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x !
Jawab :

 x' '   0 1   0 − 1 
  = 
 
 
 y' '   1 0   1 0  
x − 2y + 4 = 0
x' '− 2(− y ' ' ) + 4 = 0 ⇒ x +

x  x 
x = x' '
 = 
 ⇒
y  − y
y = − y' '
2y + 4 = 0

5

20. Tentukan bayangan garis 2x + y + 4 = 0 yang dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan

 1 2

 0 1

dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks 
Jawab :

x = y"
 x"   1 2   0 1   x   2 x + y 
  = 
 
   = 
 ⇒
x" = 2 x + y ⇒ x" = 2 y"+ y ⇔ y = x"− 2 y"
 y"   0 1   1 0   y   x 
2x + y + 4 = 0
2 y"+ x"− 2 y"+ 4 = 0 ⇒ x + 4 = 0
 − 3
 dan
 2

21. Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 karena translasi dengan matriks 

 1

dilanjutkan dengan  
 − 1
Jawab :

 x"   x   − 3 + 1
  =   + 
 =
 y"   y   2 − 1 
2x + 3y = 6
2( x"+ 2) + 3( y"− 1) = 6 ⇒

x = x"+ 2
 x − 2

 ⇒
y = y"− 1
 y + 1
2x + 3y − 5 = 0

22. Tentukan bayangan garis y = -3x + 3 oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan refleksi
terhadap garis y = x !
Jawab :

 x"   0 1 
  = 

 y"   1 0 
y = − 3x + 3

1 0 


 0 − 1

− x" = − 3 y"+ 3 ⇒ y =

1
3





x  − y
x = y"
 = 
 ⇒
y  x 
y = − x"

x+ 1
 3

23. Parabola y = x 2 − 4

dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian digeser   . Tentukan
 − 1
ordinat titik potong hasil transformasi dengan sumbu Y !
Jawab :

x = x"− 3
 x"   1 0   x   3   x + 3 
  = 
   +   = 
 ⇒
y = − y"− 1
 y"   0 − 1  y   − 1  − y − 1
y = x 2 − 4 ⇒ − y"− 1 = ( x"− 3) 2 − 4 ⇒ y = − x 2 + 6 x − 6
Titik potong dengan sumbu X yaitu di y = 0 + 0 − 6 = − 6

24.
Jawab :

 x"   1
  = 
 y"   2
x − 2y + 3 =

x = 12 y"− 19 x"
 1 − 2   x   5 x − 12 y 

   = 
 ⇒
y = 5 y"− 8 x"
 2 − 5   y   8 x − 19 y 
0 ⇒ 12 y"− 19 x"− 2(5 y"− 8 x" ) + 3 = 0 ⇒ − 3 x + 2 y + 3 = 0

2

3 

6

25.
Jawab :

 x'   − 1 0 
  = 

 y'   0 1 
y = x2 − 4 x − 5





x   − x
x = − x'
 = 
 ⇒
y  y 
y = y'

y ' = (− x' ) 2 − 4(− x' ) − 5 ⇒ y = x 2 + 4 x − 5