Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG
110803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG
110803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
: Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada
Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan
Metode Elemen Hingga
Kategori
: Skripsi
Nama
: Tulus Joseph Herianto Marpaung
Nomor Induk Mahasiswa
: 110803054
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Marihat Situmorang, M.Kom
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP. 196312141989031001
NIP. 196209011988031002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP. 196209011988031002
i
PERNYATAAN
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2015
Tulus Joseph Herianto Marpaung
110803054
ii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas bimbingan-Nya
yang telah memberikan kekuatan dan kebijaksanaan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Penerapan Persamaan Navier-Stokes
Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga.”
Sesuai dengan judul tulisan ini, diharapkan tulisan ini menjadi salah satu
batu loncatan dalam pengembangan analisis persamaan Navier-Stokes dengan
metode elemen hingga dalam kehidupan kita. Disamping itu, tulisan ini juga
merupakan salah satu syarat dalam menempuh ujian Sarjana Sains jurusan
Matematika di FMIPA USU Medan yang harus dipenuhi.
Dengan terwujudnya tulisan ini, penulis mengucapkan terimakasih banyak
kepada :
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam,
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 1 dan
Ketua Departemen Matematika yang selalu memberikan tenaga dan
pikiran untuk mendorong serta mengarahkan penulis dalam penulisan
skripsi ini.
3. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom, selaku Dosen Pembimbing 2
yang memberikan motivasi dan ilmu pengetahuan kepada penulis.
4. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen Pembanding 1 yang
memberikan ilmu tentang persamaan diferensial parsial yang lebih
mendalam.
5. Bapak Dr. Sawaludin, M.IT selaku Dosen Pembanding 2 yang
membantu dalam perbaikan penulisan pada skripsi ini.
6. Bapak Victor E. Ginting, Universitas of Wyoming, AS dalam yang
memberikan pengarahan dalam menghubungkan persamaan differensial
tekhususnya persamaan Navier-Stokes dengan metode elemen hingga.
7. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika dan Staf Administrasi
FMIPA USU khususnya Staf Administrasi di Departemen Matematika
FMIPA USU.
iii
8. Orang tua saya Saidi Posma Hamonangan Marpaung (+) / Risma Ida
Anita br. Tambunan yang selalu mendoakan saya dan menyemangati
saya dalam penulisan skripsi ini serta memberikan semua yang saya
butuhkan dalam penyusunan skripsi ini.
9. Kakak saya Rissa Isabella Taruli Marpaung, S.Pd yang membantu ilmu,
motivasi dan doa selalu dari awal sampai akhir.
10. Adik saya Roni Genevent Tonang yang membantu dalam penyusunan
skripsi ini.
11. Keluarga semua yang tidak bisa saya sebut satu persatu dalam doa dan
dukungan selalu kepada saya untuk menjadi seseorang yang lebih baik.
12. Kekasih saya, Dewi Murni br. Simarmata yang memberikan motivasi
dan doa selalu kepada saya disaat saya merasakan jenuh dalam
penyusunan skripsi ini.
13. Kawan-kawan seperjuangan Matematika stambuk 2011.
14. Akun facebook Kartun Ngampus yang memberikan hiburan selalu.
Terakhir, penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini,
oleh karena itu penulis meminta kritik dan saran yang membangun dari pembaca
sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih atas perhatian saudara dan
saudari. Semoga tulisan ini bermanfaat dalam dunia pendidikan dan kiranya Tuhan
memberikan karunia-Nya kepada kita semua. Amin.
Medan,
Juli 2015
Hormat Penulis
Tulus Joseph. H. Marpaung
NIM. 110803054
iv
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
ABSTRAK
Banyak bencana alam sering terjadi. Salah satu bencana alam tersebut yaitu
kejadian atau peristiwa yang sering berhubungan dengan fluida. Misalnya, banjir
dan angin topan. Banjir yang terjadi merupakan pergerakan berlebihan dari suatu
fluida cair. Dimana banyak penyebab yang membuat fluida tersebut bergerak secara
tidak wajar. Umumnya Persamaan Navier-Stokes serangkaian persamaan yang
menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaanpersamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel
fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan
eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes
menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Gaya-gaya yang
bekerja pada suatu fluida adalah gaya-gaya benda (body forces) dan gaya-gaya
permukaan (surface forces). Untuk menyelesaikan penurunan persamaan Navier
Stokes, maka diselesaikan dengan cara Analitik atau Teori, yakni Metode Elemen
Hingga dengan mensubtitusi tegangan normal dan tegangan geser pada gaya-gaya
yang bekerja pada elemen fluida maka akan diperoleh keseimbangan gaya-gaya
yang bekerja pada elemen fluida, dan kemudian disubtitusi ke persamaan kontinutas
dan viskositas kinematik sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum yang
dikenal dengan persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berlaku untuk fluida
dengan viskositas tidak sama dengan nol. Penelitian ini dimaksudkan agar diperoleh
cara untuk menanggulangi bencana alam yang berhubungan dengan pergerakan
fluida berlebihan pada suatu wadah.
Kata kunci : Metode Elemen Hingga, Persamaan Navier-Stokes, model aliran
fluida, tegangan normal, tegangan geser
v
APPLICATION OF NAVIER-STOKES EQUATIONS
FLUID MOVEMENT IN THE TUBE
FINITE ELEMENT METHOD
ABSTRACT
There are so many natural disasters are common. One of the natural disaster which
happened that are often associated with the fluid. For example, floods and
hurricanes. Flooding that occurs is excessive movement of a fluid liquid. Where
many causes that make the fluid move unnaturally. Generally the Navier-Stokes
equations that describe the movement of a set of equations of a fluid such as liquid
and gas. These equations states that the change in the momentum of fluid particles
depend only on the viscous force of internal and external pressure the viscous force
acting on the fluid. Therefore, the Navier-Stokes equation describes the balance of
the forces acting on the fluid. The forces acting on a fluid are styles of objects (body
forces) and surface forces (surface forces). To complete decline Navier Stokes
equations, then solved by Analytical or theory, namely the Finite Element Method
to substitute the normal stress and shear stress on the forces acting on the fluid
element will be obtained the balance of the forces acting on the fluid element, and
then substituted into the equation so that the kinematic viscosity continuity and
momentum conservation equation known as the Navier Stokes equations. This
equation applies to fluids with viscosities not equal to zero. This study aimed to
obtain a way to cope with natural disasters related to the movement of excessive
fluid in a container.
Keywords: Finite Element Method, Navier-Stokes equations, fluid flow models,
normal stress, shear stress
vi
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
x
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Bab 1.
Bab 2.
Bab 3.
Bab 4.
Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
1.6. Metodologi Penelitian
1
2
2
3
3
4
Tinjauan Pustaka
2.1. Dasar Fluida
2.2. Bilangan Reynolds
2.3. Laminar dan Turbulent Flow
2.4. Persamaan Navier-Stokes
2.5. Metode Elemen Hingga
2.6. Elemen Linier 1 Dimensi
2.7. Elemen Hingga
2.8. Formula Weak
2.9. Metode Galerkin
5
5
6
7
10
12
17
23
25
Metode Penelitian
3.1. Rancangan Penelitian
3.2. Teknik Analisis Data
3.3. Diagram Alir Penelitian
26
26
27
Hasil Pembahasan
4.1. Persamaan Dasar dalam Dinamika Fluida
4.2. Kondisi Awal dan Batas
4.3. Aliran Asimetrik
4.4. Formulasi Weak
4.5. Metode Standar Galerkin
4.6. Simulasi Model dengan Comsol 4.2a
28
29
31
32
34
35
vi
Bab 5.
Kesimpulan dan Saran
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
41
41
Daftar Pustaka
42
vii
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
2.1.
2.2.
4.1.
Judul
Data Elemen
Data Elemen
Data yang akan dimasukkan pada model
viii
Halaman
16
22
35
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
1.1.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Judul
Penuangan Air
Visualisasi zat warna yang beruntun dan pengukuran kecepatan
aliran saluran (setelah percobaan terkenal oleh Osborne Reynolds
pada tahun 1883): (a) aliran laminar, Re rendah, (b) aliran transisi,
Re moderat, dan (c) aliran turbulen, Re besar
Elemen Linier
Fungsi Bentuk Linier
Elemen Satu Dimensi untuk Pendekatan Distribusi Temperatur
Batang Termal dengan Beberapa Elemen
Fungsi Berat untuk Nodal 3
Fungsi-fungsi Berat untuk (a) Nodal Pertama ,(b) Nodal Bagian
Dalam (c) Nodal Terakhir dalam Grid 1 Dimensi
Batang Tumpuan Sederhana
Contoh buatan dengan wilayah � dan batas-batas � , � , � ��� �
Mesh dengan elemen segiempat
Besar gaya pada permukaan
Grafik Kecepatan Partikel terhadap Waktu
Pergerakan Fluida dalam Tabung
Pergerakan Fluida dalam tabung Setelah Satu Detik
Tekanan pada saat : a. t=0 detik ; b. t = 0,025 detik ; c. t = 0,075
detik, d. t = 0,125 detik, e. t = 0,375 detik, f. t = 0,4 detik, g. t = 1 detik
ix
Halaman
1
7
12
14
15
16
18
19
23
33
36
37
37
38
39
39
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG
110803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG
110803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
: Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada
Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan
Metode Elemen Hingga
Kategori
: Skripsi
Nama
: Tulus Joseph Herianto Marpaung
Nomor Induk Mahasiswa
: 110803054
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juli 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Marihat Situmorang, M.Kom
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP. 196312141989031001
NIP. 196209011988031002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP. 196209011988031002
i
PERNYATAAN
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2015
Tulus Joseph Herianto Marpaung
110803054
ii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas bimbingan-Nya
yang telah memberikan kekuatan dan kebijaksanaan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Penerapan Persamaan Navier-Stokes
Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga.”
Sesuai dengan judul tulisan ini, diharapkan tulisan ini menjadi salah satu
batu loncatan dalam pengembangan analisis persamaan Navier-Stokes dengan
metode elemen hingga dalam kehidupan kita. Disamping itu, tulisan ini juga
merupakan salah satu syarat dalam menempuh ujian Sarjana Sains jurusan
Matematika di FMIPA USU Medan yang harus dipenuhi.
Dengan terwujudnya tulisan ini, penulis mengucapkan terimakasih banyak
kepada :
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam,
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 1 dan
Ketua Departemen Matematika yang selalu memberikan tenaga dan
pikiran untuk mendorong serta mengarahkan penulis dalam penulisan
skripsi ini.
3. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom, selaku Dosen Pembimbing 2
yang memberikan motivasi dan ilmu pengetahuan kepada penulis.
4. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen Pembanding 1 yang
memberikan ilmu tentang persamaan diferensial parsial yang lebih
mendalam.
5. Bapak Dr. Sawaludin, M.IT selaku Dosen Pembanding 2 yang
membantu dalam perbaikan penulisan pada skripsi ini.
6. Bapak Victor E. Ginting, Universitas of Wyoming, AS dalam yang
memberikan pengarahan dalam menghubungkan persamaan differensial
tekhususnya persamaan Navier-Stokes dengan metode elemen hingga.
7. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika dan Staf Administrasi
FMIPA USU khususnya Staf Administrasi di Departemen Matematika
FMIPA USU.
iii
8. Orang tua saya Saidi Posma Hamonangan Marpaung (+) / Risma Ida
Anita br. Tambunan yang selalu mendoakan saya dan menyemangati
saya dalam penulisan skripsi ini serta memberikan semua yang saya
butuhkan dalam penyusunan skripsi ini.
9. Kakak saya Rissa Isabella Taruli Marpaung, S.Pd yang membantu ilmu,
motivasi dan doa selalu dari awal sampai akhir.
10. Adik saya Roni Genevent Tonang yang membantu dalam penyusunan
skripsi ini.
11. Keluarga semua yang tidak bisa saya sebut satu persatu dalam doa dan
dukungan selalu kepada saya untuk menjadi seseorang yang lebih baik.
12. Kekasih saya, Dewi Murni br. Simarmata yang memberikan motivasi
dan doa selalu kepada saya disaat saya merasakan jenuh dalam
penyusunan skripsi ini.
13. Kawan-kawan seperjuangan Matematika stambuk 2011.
14. Akun facebook Kartun Ngampus yang memberikan hiburan selalu.
Terakhir, penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini,
oleh karena itu penulis meminta kritik dan saran yang membangun dari pembaca
sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih atas perhatian saudara dan
saudari. Semoga tulisan ini bermanfaat dalam dunia pendidikan dan kiranya Tuhan
memberikan karunia-Nya kepada kita semua. Amin.
Medan,
Juli 2015
Hormat Penulis
Tulus Joseph. H. Marpaung
NIM. 110803054
iv
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
ABSTRAK
Banyak bencana alam sering terjadi. Salah satu bencana alam tersebut yaitu
kejadian atau peristiwa yang sering berhubungan dengan fluida. Misalnya, banjir
dan angin topan. Banjir yang terjadi merupakan pergerakan berlebihan dari suatu
fluida cair. Dimana banyak penyebab yang membuat fluida tersebut bergerak secara
tidak wajar. Umumnya Persamaan Navier-Stokes serangkaian persamaan yang
menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaanpersamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel
fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan
eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes
menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Gaya-gaya yang
bekerja pada suatu fluida adalah gaya-gaya benda (body forces) dan gaya-gaya
permukaan (surface forces). Untuk menyelesaikan penurunan persamaan Navier
Stokes, maka diselesaikan dengan cara Analitik atau Teori, yakni Metode Elemen
Hingga dengan mensubtitusi tegangan normal dan tegangan geser pada gaya-gaya
yang bekerja pada elemen fluida maka akan diperoleh keseimbangan gaya-gaya
yang bekerja pada elemen fluida, dan kemudian disubtitusi ke persamaan kontinutas
dan viskositas kinematik sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum yang
dikenal dengan persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berlaku untuk fluida
dengan viskositas tidak sama dengan nol. Penelitian ini dimaksudkan agar diperoleh
cara untuk menanggulangi bencana alam yang berhubungan dengan pergerakan
fluida berlebihan pada suatu wadah.
Kata kunci : Metode Elemen Hingga, Persamaan Navier-Stokes, model aliran
fluida, tegangan normal, tegangan geser
v
APPLICATION OF NAVIER-STOKES EQUATIONS
FLUID MOVEMENT IN THE TUBE
FINITE ELEMENT METHOD
ABSTRACT
There are so many natural disasters are common. One of the natural disaster which
happened that are often associated with the fluid. For example, floods and
hurricanes. Flooding that occurs is excessive movement of a fluid liquid. Where
many causes that make the fluid move unnaturally. Generally the Navier-Stokes
equations that describe the movement of a set of equations of a fluid such as liquid
and gas. These equations states that the change in the momentum of fluid particles
depend only on the viscous force of internal and external pressure the viscous force
acting on the fluid. Therefore, the Navier-Stokes equation describes the balance of
the forces acting on the fluid. The forces acting on a fluid are styles of objects (body
forces) and surface forces (surface forces). To complete decline Navier Stokes
equations, then solved by Analytical or theory, namely the Finite Element Method
to substitute the normal stress and shear stress on the forces acting on the fluid
element will be obtained the balance of the forces acting on the fluid element, and
then substituted into the equation so that the kinematic viscosity continuity and
momentum conservation equation known as the Navier Stokes equations. This
equation applies to fluids with viscosities not equal to zero. This study aimed to
obtain a way to cope with natural disasters related to the movement of excessive
fluid in a container.
Keywords: Finite Element Method, Navier-Stokes equations, fluid flow models,
normal stress, shear stress
vi
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
x
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Gambar
Bab 1.
Bab 2.
Bab 3.
Bab 4.
Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
1.6. Metodologi Penelitian
1
2
2
3
3
4
Tinjauan Pustaka
2.1. Dasar Fluida
2.2. Bilangan Reynolds
2.3. Laminar dan Turbulent Flow
2.4. Persamaan Navier-Stokes
2.5. Metode Elemen Hingga
2.6. Elemen Linier 1 Dimensi
2.7. Elemen Hingga
2.8. Formula Weak
2.9. Metode Galerkin
5
5
6
7
10
12
17
23
25
Metode Penelitian
3.1. Rancangan Penelitian
3.2. Teknik Analisis Data
3.3. Diagram Alir Penelitian
26
26
27
Hasil Pembahasan
4.1. Persamaan Dasar dalam Dinamika Fluida
4.2. Kondisi Awal dan Batas
4.3. Aliran Asimetrik
4.4. Formulasi Weak
4.5. Metode Standar Galerkin
4.6. Simulasi Model dengan Comsol 4.2a
28
29
31
32
34
35
vi
Bab 5.
Kesimpulan dan Saran
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
41
41
Daftar Pustaka
42
vii
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
2.1.
2.2.
4.1.
Judul
Data Elemen
Data Elemen
Data yang akan dimasukkan pada model
viii
Halaman
16
22
35
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
1.1.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Judul
Penuangan Air
Visualisasi zat warna yang beruntun dan pengukuran kecepatan
aliran saluran (setelah percobaan terkenal oleh Osborne Reynolds
pada tahun 1883): (a) aliran laminar, Re rendah, (b) aliran transisi,
Re moderat, dan (c) aliran turbulen, Re besar
Elemen Linier
Fungsi Bentuk Linier
Elemen Satu Dimensi untuk Pendekatan Distribusi Temperatur
Batang Termal dengan Beberapa Elemen
Fungsi Berat untuk Nodal 3
Fungsi-fungsi Berat untuk (a) Nodal Pertama ,(b) Nodal Bagian
Dalam (c) Nodal Terakhir dalam Grid 1 Dimensi
Batang Tumpuan Sederhana
Contoh buatan dengan wilayah � dan batas-batas � , � , � ��� �
Mesh dengan elemen segiempat
Besar gaya pada permukaan
Grafik Kecepatan Partikel terhadap Waktu
Pergerakan Fluida dalam Tabung
Pergerakan Fluida dalam tabung Setelah Satu Detik
Tekanan pada saat : a. t=0 detik ; b. t = 0,025 detik ; c. t = 0,075
detik, d. t = 0,125 detik, e. t = 0,375 detik, f. t = 0,4 detik, g. t = 1 detik
ix
Halaman
1
7
12
14
15
16
18
19
23
33
36
37
37
38
39
39