PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF DUPLIKASI TITIK DAN GRAF DUPLIKASI SISI DARI GRAF SIKEL Cn - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

(1)

PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF DUPLIKASI TITIK

DAN GRAF DUPLIKASI SISI DARI GRAF SIKEL

C

Astri Narindra1, Bayu Surarso2, Widowati3 1,2,3

Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

astri.narindra@yahoo.com bayus@undip.ac.id wiwied_mathundip@yahoo.com

ABSTRACT. Let = ( , ) be a simple, finite and undirected graph with a vertex-set and edge-set . A graceful labeling of a graph is an injective mapping from to {0, 1, 2, …, } such that there is an bijective mapping

∗_{( )} _{from to}_{{0, 1, 2, …, }}_with ∗_{( ) =} _|_{( )}₋_{( )} _|_{. The graph which}

admits graceful labeling is called a gracefull graph. Duplication of a vertex of graph G produces a new graph by adding a new vertex ′ in such a way that ( ′ ) = ( ). Duplication of an edge of graph G produces a new graph by adding a new edge ′ ′ in such a way that ( ′ ) = ( ) ∪{ ′ } − { } and ( ′ ) = ( ) ∪{ ′ }−{ }. In this final project, we derive graceful labeling for duplication of an arbitary vertex in cycle , duplication of an arbitary edge in even cycle and also the jointsum of two copies of cycle . From this final project, we know that graph with duplication of an arbitary vertex is graf graceful, then graph with duplication of an edge is graf graceful if even and also graph jointsum of two copies is graph graceful.

Keywords: Graceful labeling, duplication of a vertex, jointsum

I. PENDAHULUAN

Pelabelan graph merupakan salah satu topik dalam teori graph. Salah satu macam pelabelan graf yang mengalami perkembangan adalah pelabelan graceful. Secara historis, pelabelan graceful diperkenalkan pertama kali oleh Rosa [7] pada tahun 1967 dengan nama -valuation, sedangkan Golomb menyebut plabelan tersebut dengan pelabelan graceful.

Beberapa kajian tentang pelabelan graceful telah banyak dibahassalah satunya tentang Some new graceful graphs oleh Vaidya, S.K. and Bijukumar, L [9].Selain itu pelabelan graceful juga dapat dilabelkan pada graf duplikasi titik dan graf duplikasi sisi dari graf sikel serta jointsum dua copian dari graf sikel dengan menggabungkan titik copian pertama dengan titik copian kedua dengan sebuah path. Pada tulisan ini, dikaji pelabelan graceful yang dipaparkan oleh [9].

II. HASIL DAN PEMBAHASAN

Definisi 2.1. [9]Diberikan titik dari graf . Sebuah graf baru adalah graf hasil penduplikasian yang diperoleh dengan menduplikasikan titik pada graf dengan menambahkan titik ′ dengan ( ′ ) = ( ).

(2)

Definisi 2.2. [9] Diberikan titik dari graf . Sebuah graf baru adalah graf yang diperoleh dari penduplikasian dari sisi pada graf G dengan menambahkan sisi baru ′ ′ dengan ( ′ ) = ( )∪{ ′ }−{ } dan ( ′ ) = ( ) ∪{ ′ }−{ } .

Definisi 2.3. [9] Dengan memperhatikan dua copian dari , Graf Jointsum dari adalah graf yang diperoleh dengan menghubungkan titik dari copian satu ke titik copian dua dengan menambahkan sisi baru.

Teorema 2.2.1 [ 9 ]

Graf hasil duplikasi sebarang titik dari graf sikel merupakan graf graceful. Bukti :

Diberikan , , . . . , adalah titik-titik dari graf sikel dan graf adalah graf yang diperoleh dari menduplikasikan sebarang titik dari graf sikel . Misalkan diduplikasikan titik maka terdapat penambahan titik baru yaitu ′ . Pembuktian teorema tersebut dibagi menjadi 7 kasus sebagai berikut :

Kasus 1: jika ≡ 0( 4) ; = 8 ( ′ ) = 0

≤ ≤ −

1≤ ≤

( ) = ( + 2)− ( ) + ( ) , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( − + )− , untuk i genap

( ) = ( + 2)− ( − ) + , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( − )− , untuk i genap

+ 1≤ ≤ + ( + 1)

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap + 1≤ ≤ + ( + 1)

( ) = ( + 2) – (( )) , jika k genap dan i genap atau

, jika k ganjil dan i ganjil

= ( ) , jika k ganjil dan i genap

≤ ≤

1≤ ≤ −3

( ) = ( + 2)− − , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( ) + , untuk i genap

( ) = ( + 2)− + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

−2≤ ≤

, = ( + 2)−

( )

+ ( )

( ) = ( + 2)− ( − + )−( −( −1) )

k ganjil

k genap

k ganjil

(3)

+ 1≤ ≤

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap

, jika k genap dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil , jika k genap dan i genap Kasus 2: Jika ≡ 0( 4) ; ≠ 4, ≠8

( ′ ) = 0

≤ ≤

untuk1≤ ≤

( ) = + − , untuk i ganjil

= − − , untuk i genap

Untuk = ( ) = ( + 1) + −

( ) = − − , untuk i ganjil

= + − , untuk i genap

Untuk + 1≤ ≤ + + 1

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap atau ( ) = + 2−( ) , untuk i = + + 2

Untuk + + 3 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

= ( ) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

≤ ≤

untuk1≤ ≤ −

( ) = ( + 2)− − , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( ) + , untuk i genap

( ) = ( + 2)− + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

Untuk = − + 1, ( ) = ( − ) + ( + 2)

Untuk − + 2≤ ≤

( ) = ( + 2) − ( − ) + ( −2) − ( ) , untuk i ganjil

=( + 2)− ( − ) + ( −4)− ( ) , untuk i genap

Untuk + 1 ≤ ≤

k ganjil

k genap

k ganjil

(4)

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

Kasus 3. Jika = 4, untuk pelabelan graceful pada graf .tidak mengacu pada aturan pelabelan graceful manapun dan berdiri sendiri seperti ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Pelabelan graceful pada graf duplikasi titik dari graf Kasus 4. Jika ≡ 1( 4)

( ′ ) = 0

≤ ≤

1≤ ≤

( ) = ( + 2)− ( ) + , untuk i genap

= ( + 2)− − , untuk i ganjil

( ) = ( + 2)− ( ) + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

+ 1≤ ≤ + ( −1)

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap

+ −1≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( )) , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

= ( ) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

≤ ≤

1≤ ≤ −

( ) = ( + 2)− ( ) , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( ) ( ) , untuk i genap

( ) = ( + 2)− − , untuk i ganjil

k ganjil

k genap

k ganjil

(5)

= ( + 2)− + , untuk i genap

+ 1− ≤ ≤

( ) = ( + 2) − − , untuk i genap

=( + 2)− + , untuk i ganjil

( ) = ( + 2) − + , untuk i genap

=( + 2)− − , untuk i ganjil

+ 1 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

Kasus 5. Jika ≡ 2( 4) , = 6, graf berkorespondensi dan merupakan pelabelan graceful seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 2. Pelabelan Graceful Graf Kasus 6. Jika ≡ 2( 4); ≠ 6

( ′ ) = 0

≤ ≤

untuk1≤ ≤

( ) = ( + 2)− ( ) − , untuk i genap

= ( + 2)− + , untuk i ganjil

( ) = ( + 2)− ( ) − , untuk i ganjil

= ( + 2)− + , untuk i genap

Untuk + 1≤ ≤ + ( −1)

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap

Untuk = + , ( ) =

k genap

k ganjil

(6)

Untuk + + 1≤ ≤

( ) = ( + 2) – (( )) , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

= ( ) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

≤ ≤

untuk1≤ ≤ −

( ) = ( + 2)− ( )−( ) , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( ) + ( ) , untuk i genap

( ) = ( + 2)− + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

Untuk = − , ( ) = ( )

Untuk − + 2≤ ≤

( ) = ( + 2) − ( ) ( ) , untuk i genap

=( + 2)− ( ) ( ) , untuk i ganjil

Untuk + 1 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

Kasus 7. Jika ≡ 3( 4) ( ′ ) = 0

≤ ≤

untuk1≤ ≤

( ) = ( + 2)− + , untuk i genap

= ( + 2)− − , untuk i ganjil

( ) = ( + 2)− ( ) + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

Untuk + 1≤ ≤ + ( −1)

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap

Untuk + ≤ ≤

( ) = ( + 2) – (( ) ) , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

k ganjil

k genap

k ganjil

(7)

= , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

≤ ≤

untuk1≤ ≤ −

( ) = ( + 2)− ( )+ ( ) , untuk i ganjil

= ( + 2)− −( ) , untuk i genap

( ) = ( + 2)− − , untuk i ganjil

= ( + 2)− + , untuk i genap

Untuk − + 1≤ ≤

( ) = ( + 2) −

=( + 2)− ( ) ( )

Untuk + 1 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

Teorema 2.2.2

Duplikasi dari sebarang sisi pada sikel dengan genap merupakan pelabelan graceful.

Bukti [9]:

Diberikan , , . . . , adalah titik-titik dari graf sikel dimana adalah genap dan graf G adalah graf yang diperoleh dari duplikasi sebarang sisi dari . Tanpa mengurangi keumuman diasumsikan bahwa ’ = ′ ′ merupakan penambahan sisi baru dari hasil duplikat sisi = pada . Pembuktian teorema tersebut dibagi menjadi 3 kasus sebagai berikut :

Kasus 1. Jika = 4 = 8 . Pelabelan untuk korespondesni graf pada dan menjadi terpisah dan untuk pelabelan graceful dan ditunjukkan pada Gambar 3.

Gambar 3. Pelabelan Graceful Graf dan Kasus 2. Jika ≡ 0( 4); ≠ 4, ≠ 8

Pelabelan titik ∶ {0, 1, …, + 3} untuk graf sikel didefinisikan sebagai berikut :

( ′ ) = + 4

( ′ ) =

k ganjil

(8)

Untuk 1 ≤ ≤ + 2

( ) = ( + 3)– ( ) , untuk i ganjil

= , untuk i genap

( ) = , untuk = + 3

Untuk + 4≤ ≤ −1

( ) = ( + 3)– , untuk i genap

= , untuk i ganjil ( ) = + 2

Kasus 3. Jika ≡ 2( 4)

Pelabelan titik ∶ {0, 1, …, + 3} untuk graf sikel didefinisikan sebagai berikut :

( ′ ) = − 1

( ′ ) =

Untuk 1 ≤ ≤ + 2

( ) = ( + 3)–( ) , untuk i ganjil = , untuk i genap Untuk + 3≤ ≤

( ) = ( + 3)– , untuk i genap = , untuk i ganjil Teorema 2.2.3

Jointsum dari dua copian pada sikel merupakan pelabelan graceful.

Bukti [9]:

Dinotasikan titik salinan pertama dari dengan , , . . . , dan titik salinan dua dengan , , .. . , . Gabungan dua salinan dari dengan sisi baru akan menjadi graf yang resultan. Tanpa mengurangi keumuman,

diasumsikan sisi baru dengan , jadi

, , . . . , ; , , . . . , akan membentuk spanning path di G. Pembuktian teorema tersebut dibagi menjadi 4 kasus sebagai berikut :

Kasus 1. Jika ≡ 0( 4)

Pelabelan titik ∶ {0,1, …, 2 + 1} untuk graf sikel didefinisikan sebagai berikut :

≤ – 1

( ) = , untuk i ganjil = −( −1), untuk i genap

≤ ≤ −1

( ) = − , untuk i genap = , untuk i ganjil

= ; ( ) = 0 + 1 ≤ ≤

(9)

, untuk i genap

≤ ≤ 2

( ) = (2 + 1)–( ) , untuk i ganjil

= , untuk i genap Kasus 2. Jika ≡ 1( 4)

Pelabelan titik ∶ {0,1, …, 2 + 1} untuk graf sikel didefinisikan sebagai berikut :

( ) = 0

2 ≤ ≤

( ) = + , untuk i ganjil = ( + 1) − , untuk i genap Untuk ≤ ≤ −1

( ) = ( + 1) + , untuk i ganjil = + , untuk i genap Untuk ≤ ≤ 2

( ) = ( 2 + 1)– , untuk i ganjil

= ( ) , untuk i genap Kasus 3. Jika ≡ 2( 4)

Pelabelan titik ∶ {0,1, …, 2 + 1} untuk graf sikel didefinisikan sebagai berikut :

1≤ ≤ –2

( ) = , untuk i genap = ( 2 + 1)– , untuk i ganjil

( ) = ( )– ( )– 1

( ) = 0

Untuk + 1 ≤ ≤ −1

( ) = , untuk i ganjil = ( 2 + 1) – , untuk i genap

( ) = , untuk =

Untuk + 1 ≤ ≤ + 2

( ) = , untuk i genap = ( 2 + 1) – , untuk i ganjil

Untuk + 3 ≤ ≤2

( ) = ( 2 + 1) – , untuk i ganjil

= , untuk i genap Kasus 4. Jika ≡ 3( 4)

Pelabelan titik ∶ {0,1, …, 2 + 1} untuk graf sikel didefinisikan sebagai berikut :

(10)

( ) = ( )− , untuk i ganjil = , untuk i genap

( + 1) / 2 ≤ ≤ −2

( ) = ( )− , untuk i genap = , untuk i ganjil

( ) = 0

≤ ≤ 2

( = ( 2 + 1)– , untuk i ganjil = , untuk i genap

III. KESIMPULAN

Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa graf hasil duplikasi sebarang titik dari graf sikel merupakan graf graceful, graf hasil duplikasi sebarang sisi pada graf sikel dengan genap merupakan graf graceful, graf hasil dua copian dari graf sikel yang disebut sebagai merupakan graf graceful.

IV. DAFTAR PUSTAKA

[1] Acharya B. D., Construction of certain infinite families of graceful graph

from a given graceful graph, Def. Sci.J., 32(3)(1982), 231-236.

[2] Barrientos, Christian., The Gracefulness of union of cycles and complete

bipartite graphs, J. Combin. Math. Combin. Compt. 52(2005), 69-78.

[3] Eshghi, Kourosh. Introduction to Graceful Graphs. Sharif University of Technology. 2002

[4] Gallian J. A., A dynamic survey of graph labeling, The Electronics Journal of Combinatorics, (2010), 32-61.

[5] Harary F., Graph theory, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1994. [6] Lipshutz, Seymour dan Marc Lars Lipson., Matematika Diskrit, Mc Graw

Hill Bok Co., Salemba Teknika.

[7] Rosa. A, On certain valuations of the vertices of a graph,Theory of

graphs,International Symposium, Rome, July (1966), Gordon and Breach,

New York and Dunod Paris(1967), 349-355.

[8] Sekar C., Studies in Graph Theory, Ph.D Thesis, Madurai Kamaraj University, 2002.

[9] Vaidya, S. K, Bijukumar, L, Some new graceful graphs, Int. J. of mathematics and soft comp.,1(1)(2011) 37-45.

(1)

= ( + 2)− + , untuk i genap

+ 1− ≤ ≤

( ) = ( + 2) − − , untuk i genap

=( + 2)− + , untuk i ganjil

( ) = ( + 2) − + , untuk i genap

=( + 2)− − , untuk i ganjil

+ 1 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

Kasus 5. Jika

≡

2( 4) , = 6

,

graf berkorespondensi dan merupakan

pelabelan graceful seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 2. Pelabelan Graceful Graf

Kasus 6. Jika

≡

2( 4);

≠

( ′ ) = 0

≤ ≤

untuk1≤ ≤

( ) = ( + 2)− ( ) − , untuk i genap

= ( + 2)− + , untuk i ganjil

( ) = ( + 2)− ( ) − , untuk i ganjil

= ( + 2)− + , untuk i genap

Untuk + 1≤ ≤ + ( −1)

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap Untuk = + , ( ) =

k

genap

k

ganjil

k

ganjil

(2)

Untuk + + 1≤ ≤

( ) = ( + 2) – (( )) , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap = ( ) , jika k ganjil dan i genap atau

, jika k genap dan i ganjil

≤ ≤

untuk1≤ ≤ −

( ) = ( + 2)− ( )−( ) , untuk i ganjil

= ( + 2)− ( ) + ( ) , untuk i genap

( ) = ( + 2)− + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

Untuk = − , ( ) = ( ) Untuk − + 2≤ ≤

( ) = ( + 2) − ( ) ( ) , untuk i genap

=( + 2)− ( ) ( ) , untuk i ganjil

Untuk + 1 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap

Kasus 7. Jika

≡

3( 4)

( ′ ) = 0

≤ ≤

untuk1≤ ≤

( ) = ( + 2)− + , untuk i genap

= ( + 2)− − , untuk i ganjil

( ) = ( + 2)− ( ) + , untuk i ganjil

= ( + 2)− − , untuk i genap

Untuk + 1≤ ≤ + ( −1)

( ) = + 2– ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil = , jika k ganjil dan i ganjil atau

, jika k genap dan i genap Untuk + ≤ ≤

( ) = ( + 2) – (( ) ) , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap

k

ganjil

k

genap

k

ganjil

(3)

= , jika k ganjil dan i genap atau , jika k genap dan i ganjil

≤ ≤

untuk1≤ ≤ −

( ) = ( + 2)− ( )+ ( ) , untuk i ganjil

= ( + 2)− −( ) , untuk i genap

( ) = ( + 2)− − , untuk i ganjil

= ( + 2)− + , untuk i genap

Untuk − + 1≤ ≤ ( ) = ( + 2) −

=( + 2)− ( ) ( )

Untuk + 1 ≤ ≤

( ) = ( + 2) – ( ( )) , jika k ganjil dan i genap atau , jika k dan i ganjil

= , jika k ganjil dan i ganjil atau , jika k genap dan i genap

Teorema 2.2.2

Duplikasi dari sebarang sisi pada sikel

dengan genap merupakan pelabelan

graceful.

Bukti [9]:

Diberikan

, , . . . ,

adalah titik-titik dari graf sikel

dimana adalah genap

dan graf G adalah graf yang diperoleh dari duplikasi sebarang sisi dari

Tanpa

mengurangi keumuman diasumsikan bahwa

’ =

′ ′

merupakan penambahan

sisi baru dari hasil duplikat sisi

pada

. Pembuktian teorema tersebut

dibagi menjadi 3 kasus sebagai berikut :

Kasus 1

.

Jika

= 4 = 8

. Pelabelan untuk korespondesni graf pada

dan

menjadi terpisah dan untuk pelabelan graceful

dan

ditunjukkan

pada Gambar 3.

Gambar 3. Pelabelan Graceful Graf

dan

Kasus 2. Jika

≡

0( 4);

≠

Pelabelan titik

∶

{0, 1, …, + 3}

untuk graf sikel

didefinisikan sebagai

berikut :

( ′ ) = + 4 ( ′ ) =

k

ganjil

(4)

Untuk 1 ≤ ≤ + 2

( ) = ( + 3)– ( ) , untuk i ganjil = , untuk i genap

( ) = , untuk = + 3 Untuk + 4≤ ≤ −1

( ) = ( + 3)– , untuk i genap = , untuk i ganjil

( ) = + 2

Kasus 3. Jika

≡

2( 4)

Pelabelan titik

∶

{0, 1, …,

+ 3}

untuk graf sikel

didefinisikan sebagai

berikut :

( ′ ) = − 1 ( ′ ) =

Untuk 1 ≤ ≤ + 2

( ) = ( + 3)–( ) , untuk i ganjil = , untuk i genap Untuk + 3≤ ≤

( ) = ( + 3)– , untuk i genap = , untuk i ganjil

Teorema 2.2.3

Jointsum

dari dua copian pada sikel

merupakan pelabelan graceful.

Bukti [9]:

Dinotasikan titik salinan pertama dari

dengan

, , . . . ,

dan titik salinan

dua dengan

, , .. . ,

. Gabungan dua salinan dari

dengan sisi

baru akan menjadi graf yang resultan. Tanpa mengurangi keumuman,

diasumsikan sisi baru dengan

jadi

, , . . . , ; , , . . . ,

akan membentuk spanning path di G.

Pembuktian teorema tersebut dibagi menjadi 4 kasus sebagai berikut :

Kasus 1. Jika

≡

0( 4)

Pelabelan titik

∶

{0,1, …, 2 + 1}

untuk graf sikel

didefinisikan

sebagai berikut :

≤ – 1

( ) = , untuk i ganjil = −( −1), untuk i genap

≤ ≤ −1

( ) = − , untuk i genap = , untuk i ganjil

= ; ( ) = 0 + 1 ≤ ≤

(5)

, untuk i genap

≤ ≤ 2

( ) = (2 + 1)–( ) , untuk i ganjil = , untuk i genap

Kasus 2. Jika

≡

1( 4)

Pelabelan titik

∶

{0,1, …, 2 + 1}

untuk graf sikel

didefinisikan

sebagai berikut :

( ) = 0

2 ≤ ≤

( ) = + , untuk i ganjil = ( + 1) − , untuk i genap Untuk ≤ ≤ −1

( ) = ( + 1) + , untuk i ganjil = + , untuk i genap Untuk ≤ ≤ 2

( ) = ( 2 + 1)– , untuk i ganjil = ( ) , untuk i genap

Kasus 3. Jika

≡

2( 4)

Pelabelan titik

∶

{0,1, …, 2 + 1}

untuk graf sikel

didefinisikan

sebagai berikut :

1≤ ≤ –2

( ) = , untuk i genap = ( 2 + 1)– , untuk i ganjil

( ) = ( )– ( )– 1 ( ) = 0

Untuk + 1 ≤ ≤ −1

( ) = , untuk i ganjil = ( 2 + 1) – , untuk i genap

( ) = , untuk =

Untuk + 1 ≤ ≤ + 2

( ) = , untuk i genap = ( 2 + 1) – , untuk i ganjil Untuk + 3 ≤ ≤2

( ) = ( 2 + 1) – , untuk i ganjil = , untuk i genap

Kasus 4. Jika

≡

3( 4)

Pelabelan titik

∶

{0,1, …, 2 + 1}

untuk graf sikel

didefinisikan

sebagai berikut :

Untuk 1≤ ≤

(6)

( ) = ( )− , untuk i ganjil = , untuk i genap

( + 1) / 2 ≤ ≤ −2

( ) = ( )− , untuk i genap = , untuk i ganjil

( ) = 0 ≤ ≤ 2

( = ( 2 + 1)– , untuk i ganjil = , untuk i genap