Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel, Graf Path dan Graf Kipas - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF
SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS

SKRIPSI

Oleh :
NUR DIAN PRAMITASARI
J2A 009 064

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2013

MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF
SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS

NUR DIAN PRAMITASARI
J2A 009 064

Skripsi
Diajukan Sebagai Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Pada
Jurusan Matematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2013
i

HALAMAN PENGESAHAN

Judul

:

Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel, Cinf Path,
dan Graf Kipas

Nama

:

NurDianPramitasari

NIIrlI

:

J2A009 064

Telah diujikan pada sidang Tugas

dandinyatakanluluspadatanggal

Alfiir tanggal2g Juli 2013.

f Qustus

2Al3.

Semarang, 2
Mengetahui,
a.n. Ketua Junrsan Matematika

ffiffi".s
Ee kffiffi
}:% W:.
t4twm3t004

$ushrs

2013

Panitia Penguji Tugas Akhir
Ketua,

Drs. Solichin Zaki. M.Kom
NIP. 1953 1219197903 1001

HAI"ATfiAN PEI\TGESAHAN

."

Judut

:

Multiplisitas Sikel dari Crraf ToaI pada Crmf Sikd, eilafPar&
dan

Nama
Nhd
T€ffi dit{i*m

CrafKipas

: NurDiannramitsstri
: l2A0@ 064

@

sfidang Trryas

Akhir tanggal 29

J,{u

Se,maranrg,

2013.

J AArs+us zOfi

,:u**Ansota

tubfimbinsry

GL,,,.I
I

Felr*Sitr *Si.M.Si. Ph-D
NIP 197312202ffi121OO1

t963n05198t03 100 t

ll1

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyusun tugas
akhir ini.
Tugas akhir yang berjudul “Multiplisitas Sikel dari Graf Total pada
Graf Sikel, Graf Path, dan Graf Kipas ” ini disusun sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Semarang.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada yang terhormat :
1. Drs. Solikhin Zaki, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains
dan Matematika UNDIP.
2. Farikhin, S.Si, M.Si, Ph.D selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar
membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas
Akhir ini.
3. Drs. Bayu Surarso, M.Sc, Ph.D selaku dosen pembimbing II yang dengan
sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan
Tugas Akhir ini.
4. Semua pihak yang telah memberikan dukungan serta bantuan kepada penulis
dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna.
Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi

iv

kesempurnaan Tugas Akhir ini. Semoga Tugas Akhir ini bisa membawa manfaat
bagi penulis sendiri khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Semarang,

Juli 2013

Penulis

v

ABSTRAK

Diberikan graf � dengan himpunan titik (�) dan himpunan sisi (�). Graf total
dari graf � dinotasikan dengan (�) didefinisikan sebagai himpunan titik dari
� adalah (�) ∪ (�), dengan (�) adalah himpunan titik yang diperoleh
dari penambahan satu titik di setiap sisi � = � � pada graf �. Sedangkan
multiplisitas sikel dari graf total pada graf � adalah jumlah maksimal sikel sisi
yang disjoin dari graf total pada graf �. Dalam tugas akhir ini, dipelajari tentang
multiplisitas sikel dari graf total pada graf �� , �� , dan dibahas tentang
multiplisitas sikel dari graf total pada graf � . Hasil penelitian ini, telah diketahui
bahwa multiplisitas sikel dari graf total pada graf �� adalah � + 1 dan
multiplisitas sikel dari graf total pada graf �� is � − 1. Selanjutnya, telah

dibuktikan multiplisitas sikel dari graf total pada graf

untuk � ganjil atau

� 2 + 16�−18
6

�

adalah

� 2 + 17�−18
6

untuk � genap, dengan � adalah titik pada graf �.

Kata Kunci : multiplisitas sikel, graf total, graf sikel, graf path, graf kipas.

vi

ABSTRACT

Let � be a graph with vertex set (�) and edge set (�). The total graph of �,
denoted by T(G) is defined as the vertex set of (�) is (�) ∪ (�), with (�)
is the vertex set obtained by addition of a vertex to each edge � = � � in �. The
cycle multiplicity of graph total of graph � is defined as maximum number of
edge disjoint cycles in �. In this paper, we discuss the cycle multiplicity of total
graph of �� , �� , and will be discuss the cycle multiplicity of total graph of � . It
has been known that the cycle multiplicity of total graph of n-cycle is � + 1, cycle
multiplicity of total graph of �� graph is � − 1. We show a partern for cycle
multiplicity of total graph of fan graph is
even, with � is vertex of G.

� 2 + 17�−18
6

if � odd or

� 2 + 16�−18
6

Keywords: cycle multiplycity, total graph, cycle graph, path graph, fan graph.

vii

if �

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.............................................................................................

i

HALAMAN PENGESAHAN ...............................................................................

ii

KATA PENGANTAR ..........................................................................................

iv

ABSTRAK ............................................................................................................

vi

ABSTRACT ..........................................................................................................

vii

DAFTAR ISI .........................................................................................................

viii

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................

x

DAFTAR TABEL..............................................................................................

xiii

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................

xiv

BAB I

BAB II

PENDAHULUAN .............................................................................

1

1.1

Latar Belakang .........................................................................

1

1.2

Rumusan Masalah .....................................................................

2

1.3

Pembatasan Masalah .................................................................

2

1.4

Tujuan Penulisan ......................................................................

3

1.5

Metode Penulisan......................................................................

3

1.6

Sistematika Penulisan ...............................................................

3

TEORI PENUNJANG ........................................................................

5

2.1

Pengertian Graf .........................................................................

5

2.2

Operasi – operasi pada graf .....................................................

10

2.3

Fungsi Bilangan Bulat Terbesar.................................. .............

12

2.4

Jenis-jenis Graf .........................................................................

13

viii

2.5

Multiplisitas Sikel ....................................................................

21

PEMBAHASAN .................................................................................

22

3.1

Graf Total ..................................................................................

22

3.2

24

3.3

Multiplikasi Sikel dari Graf Total Pada graf � .........................

Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Sikel Cn .............

24

3.4

Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Path Pn ..............

33

3.5

Multiplisitas Sikel dari Graf Total Pada Graf Kipas Fn ............

38

PENUTUP ..........................................................................................

57

4.1

Kesimpulan ...............................................................................

57

4.2

Saran ........................................................................................

57

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................

58

BAB III

BAB IV

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 2.3
Gambar 2.4

Graf � 1 ...........................................................................................

6

Graf � 3 ...........................................................................................

9

Graf � 2 ...........................................................................................

7

Graf �7 merupakan graf terhubung dan Graf �8 merupakan

graf tidak terhubung ..................................................................... 10

Gambar 2.5

Graf �1 ∪ �2 ................................................................................. 11

Gambar 2.6

Graf G1  G2 .................................................................................. 11

Gambar 2.7

Graf �1 × �2 ................................................................................. 12

Gambar 2.8 (a) Graf sederhana , (b) Graf Ganda, dan (c) Graf semu ................... 14
Gambar 2.9 (a) Graf berhingga (b) Graf tak berhingga ........................................ 15
Gambar 2.10 (a) Graf tak berarah dan (b) Graf berarah ....................................... 16
Gambar 2.11 Graf Sikel....................................................................................... 16
Gambar 2.12 Graf Path ....................................................................................... 17
Gambar 2.13 Graf Nol ......................................................................................... 17
Gambar 2.14 Graf Komplit ................................................................................. 18
Gambar 2.15 Graf Kipas ..................................................................................... 18
Gambar 2.16 Graf Bipartit................................................................................... 19
Gambar 2.17 Graf Bipartit Komplit .................................................................... 20
Gambar 2.18 Graf Bintang .................................................................................. 20
Gambar 2.19 Graf � ............................................................................................ 21
Gambar 3.1

Graf G dan Total Graf G ............................................................... 22

x

Gambar 3.3.1 Graf Sikel C3 .................................................................................. 25
Gambar 3.3.2 Graf Total dari Graf Sikel C3 ......................................................... 25
Gambar 3.3.3 Graf Sikel C4 .................................................................................. 26
Gambar 3.3.4 Graf Total dari Graf Sikel C4 ......................................................... 26
Gambar 3.3.5 Graf Sikel C5 .................................................................................. 27
Gambar 3.3.6 Graf Total dari Graf Sikel C5 ......................................................... 27
Gambar 3.3.7 Graf Sikel C6 .................................................................................. 28
Gambar 3.3.8 Graf Total dari Graf Sikel C6 ......................................................... 28
Gambar 3.3.9 Graf Sikel C7 .................................................................................. 29
Gambar 3.3.10 Graf Total dari Graf Sikel C7 ....................................................... 29
Gambar 3.4.1 Graf Path P2................................................................................... 32
Gambar 3.4.2 Graf Total dari Graf Path P2 .......................................................... 32
Gambar 3.4.3 Graf Path P3.................................................................................... 33
Gambar 3.4.4 Graf Total dari Graf Path P3 ........................................................... 33
Gambar 3.4.5 Graf Path P4................................................................................... 34
Gambar 3.4.6 Graf Total dari Graf Path P4 ........................................................... 34
Gambar 3.4.7 Graf Path P5.................................................................................... 35
Gambar 3.4.8 Graf Total dari Graf Path P5 ........................................................... 35
Gambar 3.4.9 Graf Path P6.................................................................................... 36
Gambar 3.4.10 Graf Total dari Graf Path P6 ......................................................... 36
Gambar 3.5.1 Graf Kipas

3

................................................................................. 39

Gambar 3.5.2 Graf Total dari Graf Kipas

3

........................................................ 39

Gambar 3.5.3 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf kipas

xi

3

..................... 40

Gambar 3.5.4 Graf Kipas

4

................................................................................. 41

Gambar 3.5.5 Graf total dari graf Kipas

4 ...........................................................

Gambar 3.5.6 Himpunan sikel sisi yang disjoin pada graf Kipas
Gambar 3.5.7 Graf Kipas

5

5

........................................................ 43

Gambar 3.5.9 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas
6

.................... 45

6 .........................................................

Gambar 3.5.12 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas
7

5

............................................................................... 45

Gambar 3.5.11 Graf total dari graf Kipas

Gambar 3.5.13 Graf Kipas

.................... 43

................................................................................. 43

Gambar 3.5.8 Graf Total dari Graf Kipas

Gambar 3.5.10 Graf Kipas

4

41

6

45

.................. 47

............................................................................... 47

Gambar 3.5.14 Graf total dari graf Kipas

7 .........................................................

Gambar 3.5.15 Himpunan sisi sikel yang disjoin pada graf Kipas

xii

7

47

.................. 49

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1

Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Sikel ....................... 30

Tabel 3.2

Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Path ........................ 37

Tabel 3.3

Multiplikasi Sikel dari Graf Total pada Graf Kipas ...................... 49

xiii

DAFTAR SIMBOL

G

: Graf

(�)

: Total graf dari G

V(G)

: Himpunan titik graf G

E(G)

: Himpunan sisi graf G

U(G)

: Himpunan titik pada graf total G

�

: Titik ke i

�

: Sisi ke i

�=��

: sisi yang menghubungkan � ke �

: Titik ke i

��
��

: Graf path dengan n titik

Fn

: Graf kipas dengan n titik

Kn

: Graf komplit dengan n titik

: Graf sikel dengan n titik

: Graf Nol dengan n titik

�

: Himpunan sikel sisi yang disjoin

: Kardinalitas
��(�)
�� [

�� [

�� [

≤

: Notasi untuk Multiplisitas sikel (Cycle Multiplicity) dari graf G

�� ]

�� ]
�

]

: Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf sikel
: Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf path
: Notasi untuk Multiplisitas sikel dari total graf pada graf kipas
: Kurang dari atau sama dengan
xiv

[]

: Bilangan bulat terbesar

∎

: Tanda akhir pembuktian

xv

BAB I
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang
Matematika dikenal sebagai Mother of Science, karena matematika

merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai kelebihan
dibandingkan cabang – cabang ilmu lainnya. Selain itu matematika juga
mempunyai banyak manfaat, karena banyak permasalahan dalam kehidupan yang
dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep – konsep matematika. Dengan
berkembangnya zaman dan kemajuan teknologi, maka matematika ikut pula
berkembang. Diantara banyaknya bagian matematika yang terus berkembang,
yang menarik untuk dikaji lebih lanjut adalah teori graf.
Secara umum graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari
objek – objek yang disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan takterurut yaitu sisi (edge). Himpunan titik G dinotasikan dengan V (G), sedangkan
himpunan sisi dinotasikan dengan E (G) [2].
Menurut catatan sejarah, masalah jembatan Konigsberg adalah masalah
yang pertama kali menggunakan graf (1736). Oleh karena itu, Euler (1707-1782)
menjadi Bapak dari Teori Graf sebagaimana topologi ketika dia merumuskan
mengenai masalah terkenal yang takterpecahkan di atas [5]. Peristiwa itulah yang
menjadi tombak sejarah munculnya Teori Graf dan terus berkembang sampai
sekarang karena kajiannya berhubungan dengan pemecahan masalah sehari – hari.

1

2

Meskipun masalah graf telah banyak diteliti oleh para ahli matematika,
tetapi penelitian tentang multiplisitas sikel dari suatu graf belum banyak dilakukan
orang, begitu juga multiplisitas sikel dari graf total tertentu. Multiplisitas sikel
dari graf � adalah banyaknya sikel sisi yang disjoin di graf � yang dinotasikan
dengan ��(�) [3].

Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang multiplisitas sikel dari graf total

pada graf sikel Cn, graf path Pn, dan graf kipas Fn berdasarkan [1].

1.2

Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam tugas
akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf
sikel Cn ?
2. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf
path Pn ?
3. Bagaimana mendapatkan multiplisitas sikel dari graf total pada graf
kipas Fn ?

1.3

Pembatasan Masalah
Permasalahan dalam tugas akhir ini hanya dibatasi pada multiplisitas sikel

dari graf total pada graf sederhana, berhingga, dan tidak berarah.

3

1.4

Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan tugas akhir ini sebagai berikut :

1. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn .
2. Mempelajari multiplisitas sikel dari graf total pada graf path Pn .
3. Menentukan multiplisitas sikel dari graf total pada graf kipas Fn .

1.5

Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir ini adalah

metode tinjauan pustaka (Study Literature), yaitu dengan memahami beberapa
jurnal mengenai graf dan pustaka-pustaka lain yang melandasi teori tentang graf
seperti tertera dalam daftar pustaka. Terlebih dahulu penulis akan menjabarkan
materi-materi dasar yang berkaitan dengan graf, seperti pengertian graf dan
definisi-definisi yang berkaitan dengan graf. Penulis juga akan memberikan
pengertian mengenai multiplisitas sikel dari graf total. Selanjutnya, menentukan
multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn,graf path Pn, dan graf kipas Fn.

1.6

Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini meliputi empat bab, yaitu

pendahuluan, teori penunjang, pembahasan dan penutup.
Bab I merupakan pendahuluan yang mencakup latar belakang, rumusan
masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan dan sistematika
penulisan.

4

Bab II merupakan teori – teori penunjang yang terdiri dari penjelasan
mengenai pengertian graf, adjacent dan incident, graf terhubung, multiplisitas
sikel, graf sikel Cn , graf path Pn, dan graf kipas Fn, serta teori – teori lain yang
berkaitan.
Bab III merupakan pembahasan tentang bagaimana mendapatkan
multiplisitas sikel dari graf total pada graf sikel Cn , graf path Pn, dan graf kipas
Fn, serta bagaimana membuktikan yang telah diperoleh.
Bab VI merupakan penutup yang berisi kesimpulan dari penulisan karya
tulis ini, dan juga saran yang diberikan sebagai pertimbangan bagi penulis
selanjutnya.

BAB II
TEORI PENUNJANG

2.1

Pengertian Graf
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun

memiliki

banyak

terapan

sampai

saat

ini.

Graf

digunakan

untuk

mempresentasikan objek – objek diskrit dan hubungan antara objek – objek
tersebut. Graf menggambarkan struktur tersebut dalam beberapa objek yang
dinyatakan dengan noktah, bulatan, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan
dengan garis. Secara sistematis, graf didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.1.1 [2]
Graf G adalah himpunan tak-kosong yang berhingga dari objek – objek yang
disebut titik (vertex) bersama dengan himpunan pasangan tak-terurut (yang
mungkin kosong) dari titik – titik berbeda di G yang disebut sisi (edge).
Himpunan titik dari G dinotasikan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan
dengan E (G).
Banyaknya unsur di V disebut derajat (order) dari G dan dilambangkan
dengan p(G) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran (size) dari G dan
dilambangkan dengan q(G), jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order
dan size dari G tersebut cukup ditulis p dan q [2]. Dengan kata lain, Graf G adalah
himpunan tak-kosong V(G) yang berhingga dari objek – objek yaitu titik dengan
himpunan pasangan tak-terurut E(G) dari objek – objek yang disebut sisi.

5

6

Contoh 2.1.1:
Perhatikan graf

yang memuat titik V(G) dan himpunan sisi E(G) seperti

berikut ini :
V(G) =

1, 2, 3, 4, 5, 6

E(G)=

1, 2, 3, 4, 5, 6

Graf G tersebut secara lebih jelas dapat digambar sebagai berikut.
v1

v2

e1

e2

e6

v3

v6

G:

e3

e5
v5

v4

e4

Gambar 2.1 Graf G1
Graf G1 mempunyai 6 titik sehingga order G1 adalah p = 6. Graf G1 mempunyai 6
sisi sehingga size graf G1 adalah q = 6.

Definisi 2.1.2 [2]
Sisi

= ( , ) dikatakan menghubungkan titik

sisi pada graf , maka
sementara itu
(�

dan

dan . Jika

= ( , ) adalah

adalah titik yang terhubung langsung (� � � ),

dan , serta dengan

� ). Untuk selanjutnya, sisi

dan

adalah titik yang terkait langsung

= ( , ) akan ditulis

=

.

7

Contoh 2.1.2
Dari Gambar 2.1 di atas, titik
(terkait langsung) dan titik

1 dan

2

1

dan

1

serta

1

dan

2

adalah incident

adalah adjacent (terhubung langsung).

Definisi 2.1.3 [2]
pada graf G adalah banyak sisi pada graf G yang terkait

Derajat dari suatu titik

di G dinotasikan dengan

langsung dengan titik . Derajat suatu titik

�

.

Suatu titik berderajat 0 disebut suatu titik terisolasi dan titik yang berderajat 1
disebut titik ujung.

Contoh 2.1.3
e1

v1

v2
e2

v4

v3

Gambar 2.2 Graf G2

Dari Gambar 2.2 titik
�

3

= 1, titik

mempunyai derajat 0,
Sedangkan titik

4

2

1

dan

3

mempunyai derajat 1,

mempunyai derajat 2,
�

4

= 0. Titik

disebut titik terisolasi.

1

�

dan titik

�

1

= 1 dan

2

= 2 dan titik

3

disebut titik ujung.

4

8

Definisi 2.1.4 [9]
Suatu walk (jalan) yang panjangnya k dalam graf G adalah urutan k sisi G
yang berbentuk.
uv, vw, wx,..., yz
Walk ini dinotasikan dengan uv, vw, wx,..., yz dan disebut
Semua sisi dalam walk tidak perlu berbeda (boleh sama).

�

antara u ke z.

Definisi 2.1.5 [9]
Jika semua sisi (tetapi tidak perlu semua titik) suatu walk berbeda, maka
walk itu disebut trail. Jika semua titiknya berbeda, maka trail itu disebut path.
Panjang path adalah banyak sisi dalam path tersebut.

Definisi 2.1.6 [9]
Suatu walk (jalan) tertutup dalam graf G merupakan urutan sisi G
berbentuk uv, vw, wx, ..., yz, zu. Jika semua sisinya berbeda, maka walk itu disebut
trail tertutup (closed trail). Jika titik-titiknya juga berbeda maka trail itu disebut
sikel (cycle).

Contoh 2.1.4
Berikut ini adalah contoh graf yang memuat walk, trail, dan path.

9

v

w

u

x

z

(i)

y

Gambar 2.3 Graf �

uvwxywvzy adalah walk yang panjangnya 8 antara u dan y, yang memuat sisi
vw dua kali, titik v, w, dan y dua kali.

(ii)

Walk vzywxy adalah trail yang bukan path (karena titik y ada dua).

(iii) Walk vwxyz tidak ada titik yang diulang, karena itu merupakan path.
(iv) Walk tertutup uvwyvzu adalah trail tertutup yang bukan merupakan sikel
(karena titik v muncul dua kali)
(v)

Trail tertutup vwxyv dan vwxyzv semuanya adalah sikel.

Definisi 2.1.7 [9]
Graf G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik v dan
w

di G, terdapat path yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf G

dikatakan tidak terhubung (disconnected) jika ada pasangan titik di G yang tidak
mempunyai path.

Contoh 2.1.5
Berikut adalah contoh graf terhubung dan tidak terhubung.

10

v1

v2
v4

v3

v7

v6

v5

G7
v1

v2
v3 v7

v6

v5

v8

v4

G8
Gambar 2.4 Graf G7 merupakan graf terhubung dan G8 merupakan graf
tidak terhubung

2.2

Operasi – operasi pada Graf

Definisi 2.2.1 [2]
Gabungan (union) dari
�

=�

1

∪ �(

2)

dan

kali graf H, � > 2, maka ditulis

1

dan
=

=� .

Contoh 2.2.1

G1

2,

G2

ditulis
1

∪

=
2

1

∪

2

adalah graf dengan

. Jika graf G terdiri atas �

11

1

∪

2

Gambar 2.5 Graf � ∪ �

Definisi 2.2.2 [2]
Penjumlahan dari
dengan �

dan

=�

∈ �

2

}.

1

1

∪ �(

dan
2)

2

=

ditulis dengan
=

dan

1

∪

+

1
2

adalah graf

2

∪{

∈ �

|

1

Contoh 2.2.2

G1

G2

G1  G2
Gambar 2.6 Graf G1  G2

Definisi 2.2.3[2]
Perkalian kartesius dari
�

=�

1

× �(

2)

1

dan

∈ (

1 ).

ditulis

dan dua titik ( 1 ,

langsung (adjacent) jika hanya jika
1 1

2

1

=

1

=

1

2)

dan (

dan

2 2

×

1,

∈ (

2

adalah graf dengan

2)

dari G terhubung

2)

atau

2

=

2

dan

12

Contoh 2.2.3

u1
G1 :

v2

G2 : v1

v3

u2
(u1,v1)

(u1,v2)

(u1,v3)

(u2,v2)

(u2,v3)

G1 X G2 :

(u2,v1)

Gambar 2.7 Graf � × �
2.3

Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
Fungsi bilangan bulat terbesar “[]” memiliki daerah asal/domain adalah

himpunan semua bilangan real dan daerah hasil/range adalah himpunan bilangan
bulat.

Definisi 2.3 [8]
Untuk suatu bilangan real , [ ] adalah suatu bilangan bulat terbesar yang
kurang dari atau sama dengan , yaitu [ ] adalah bilangan bulat tunggal yang
memenuhi

−1