Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta
Barisan
Deret
ANALISIS REAL
(BARISAN DAN DERET)
Kus Prihantoso Krisnawan
August 30, 2012
Yogyakarta
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum
dari suatu barisan.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum
dari suatu barisan.
Contoh: Misalkan diberikan sebuah barisan (un ) yang
didefinisikan sbb: u0 = u1 = u2 = 1 dan
un+3 Un+2
det
= n!, n ≥ 0.
un+1
un
Buktikan bahwa un ∈ Z untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+3 =
un+2 un+1
n!
+
un
un
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
1·1 1
+ =2
1
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
u4
=
1·1 1
+ =2
1
1
2·1 1
+ =3
1
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
u4
=
u5
=
1·1 1
+ =2
1
1
2·1 1
+ =3
1
1
3·2 2·1
+
=4·2
1
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
u4
=
u5
=
u6
=
u7
=
u8
=
1·1 1
+ =2
1
1
2·1 1
+ =3
1
1
3·2 2·1
+
=4·2
1
1
4·2·3 3·2·1
+
=5·3
2
2
5·3·4·2 4·3·2·1
+
=6·4·2
3
3
6·4·2·5·3 5·4·3·2·1
+
=7·5·3
4·2
4·2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 1)n! + n!
(n + 2)n!
=
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
=
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 1)n! + n!
(n + 2)n!
=
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 2)n(n − 2) · · ·
shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
=
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 1)n! + n!
(n + 2)n!
=
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 2)n(n − 2) · · ·
shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
Dan karena n bilangan bulat maka (n + 2)n(n − 2) · · · juga
bilangan bulat.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika
untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian hingga xn > ǫ
untuk n > nǫ .
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika
untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian hingga xn > ǫ
untuk n > nǫ .
Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the
squeezing principle (teorema apit).
The squeezing principle
i. Jika an ≤ bn ≤ cn untuk setiap n dan jika (an ) dan (cn )
konvergen ke L < ∞ maka (bn ) juga konvergen ke L.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika
untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian hingga xn > ǫ
untuk n > nǫ .
Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the
squeezing principle (teorema apit).
The squeezing principle
i. Jika an ≤ bn ≤ cn untuk setiap n dan jika (an ) dan (cn )
konvergen ke L < ∞ maka (bn ) juga konvergen ke L.
ii. Jika an ≤ bn untuk setiap n dan (an ) menuju takhingga
maka (bn ) juga menuju takhingga.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (xn ) adalah barisan bilangan real
sedemikian sehinga
lim (2xn+1 − xn ) = L.
n→∞
Tunjukkan bahwa barisan (xn ) konvergen ke L.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap
ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian sehingga jika n ≥ nǫ , berlaku
L − ǫ < 2xn+1 − xn < L + ǫ
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap
ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian sehingga jika n ≥ nǫ , berlaku
L − ǫ < 2xn+1 − xn < L + ǫ
Sehingga
L−ǫ
2(L − ǫ)
2
k−1
(L − ǫ)
<
<
···
<
2xn+1 − xn < L + ǫ
4xn+2 − 2xn+1 < 2(L + ǫ)
2k xn+k − 2k−1 xn+k−1 < 2k−1 (L + ǫ)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh
(1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ǫ)
<
2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ǫ)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh
(1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ǫ)
1
(1 − k )(L − ǫ)
2
<
<
2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ǫ)
1
1
xn+k − k xn < (1 − k )(L + ǫ)
2
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh
(1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ǫ)
1
(1 − k )(L − ǫ)
2
<
<
2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ǫ)
1
1
xn+k − k xn < (1 − k )(L + ǫ)
2
2
pilih k sdm shg | 21k xn | < ǫ dan | 21k (L ± ǫ)| < ǫ. maka untuk m ≥ n + k
L − 3ǫ < xm < L + 3ǫ.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Krisnawan
√
n
n=1
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Solusi: Nilai xn =
√
n
√
n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Solusi: Nilai xn =
√
n
√
n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat
diperoleh
n = (1 + xn )n
n
n
n
2
xnn−1 + · · · + xnn .
xn + · · · +
xn +
= 1+
n−1
2
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Solusi: Nilai xn =
√
n
√
n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat
diperoleh
n = (1 + xn )n
n
n
n
2
xnn−1 + · · · + xnn .
xn + · · · +
xn +
= 1+
n−1
2
1
Sehingga
n>
Krisnawan
n
2
xn2 ,
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
dengan demikian
xn <
untuk n ≥ 2.
Krisnawan
r
2
,
n−1
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
dengan demikian
xn <
r
selanjutnya, karena 0 ≤ xn <
q
untuk n ≥ 2.
Krisnawan
2
,
n−1
2
n−1
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
dengan demikian
xn <
untuk n ≥ 2.
r
2
,
n−1
q
2
selanjutnya, karena 0 ≤ xn < n−1
q
2
konvegen ke 0 maka (xn ) konvergen
dan karena barisan n−1
ke 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan
sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan
ak
n
2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa
lim an = 0.
n→∞
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan
sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan
ak
n
2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa
lim an = 0.
n→∞
Bukti: Definisikan barisan (bn ) sbb:
bn = max{|ak |, 2n−1 ≤ k < 2n }.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan
sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan
ak
n
2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa
lim an = 0.
n→∞
Bukti: Definisikan barisan (bn ) sbb:
bn = max{|ak |, 2n−1 ≤ k < 2n }.
Jika kita jabarkan deret ini maka didapatkan
b1
=
b2
=
b3
=
bn
···
=
max{|a1 |}
max{|a2 |, |a3 |}
max{|a4 |, |a5 |, |a6 |, |a7 |}
max{|a2n−1 |, |a2n−1 +1 |, · · · |a2n −1 |}
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
Krisnawan
n
2
≤ k < n, maka
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
n
2
≤ k < n, maka
sehingga
0 ≤ bn ≤
bn−3
b1
bn−1
bn−2
≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1
2
2
2
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
n
2
≤ k < n, maka
sehingga
0 ≤ bn ≤
Dengan limn→∞
bn−3
b1
bn−1
bn−2
≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1
2
2
2
2
b1
2n−1
= 0, maka didapat limn→∞ bn = 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
n
2
≤ k < n, maka
sehingga
0 ≤ bn ≤
Dengan limn→∞
bn−3
b1
bn−1
bn−2
≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1
2
2
2
2
b1
2n−1
= 0, maka didapat limn→∞ bn = 0.
Di lain pihak kita dapatkan |an | ≤ bn , untuk setiap n, sehingga
dengan teorema squeez didapatkan bahwa
(an ) konvergen ke 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1
untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap
n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1
untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap
n.
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0
sedemikian sehingga |xn | ≤ M untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1
untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap
n.
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0
sedemikian sehingga |xn | ≤ M untuk setiap n.
Teorema Weierstrass: Barisan monoton yang terbatas
merupakan barisan konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Contoh: Buktikan bahwa barisan (an ), yang didefinisikan,
s
r
q
√
an = 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1
adalah barisan konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Contoh: Buktikan bahwa barisan (an ), yang didefinisikan,
s
r
q
√
an = 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1
adalah barisan konvergen.
Bukti: Barisan an adalah barisan monoton naik karena
an ≤ an+1 .
Kita akan buktikan bahwa barisan ini terbatas.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Perhatikan bahwa
s
r
√
1 + 2 + 3 + ··· + n
v
v
u
s
u
u
r
u2 u
2
3 · 23
n · 2n
t2 · 2
t
+
+
+
·
·
·
+
=
2
2n
22
23
an =
q
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Perhatikan bahwa
s
r
√
1 + 2 + 3 + ··· + n
v
v
u
s
u
u
r
u2 u
2
3 · 23
n · 2n
t2 · 2
t
+
+
+
·
·
·
+
=
2
2n
22
23
v
v
u
s
u
u
r
√ u1 u
2
3
n
t
t
=
+
2
+
+ ··· +
2
3
2
2n
2
2
s
r
q
√
√
2 1 + 1 + 1 + · · · + 1.
<
an =
q
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
√
√
dengan demikian an < bn 2 < 2 2 untuk setiap n ((an )
terbatas).
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
√
√
dengan demikian an < bn 2 < 2 2 untuk setiap n ((an )
terbatas).
Karena barisan (an ) naik dan terbatas maka (an ) konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies)
Contoh
Tentkan hasil dari
√
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√ +√
n+ n+1
1+ 2
2+ 3
3+ 4
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies)
Contoh
Tentkan hasil dari
√
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√ +√
n+ n+1
1+ 2
2+ 3
3+ 4
Jawab: Perhatikan bahwa
√
√
√
√
1
k +1− k
√
=
= k +1− k
√
k +1−k
k + k +1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies)
Contoh
Tentkan hasil dari
√
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√ +√
n+ n+1
1+ 2
2+ 3
3+ 4
Jawab: Perhatikan bahwa
√
√
√
√
1
k +1− k
√
=
= k +1− k
√
k +1−k
k + k +1
Sehingga jumlahan di atas sama dengan
√ √
√ √
√ √
√
√
√
( 2− 1)+( 3− 2)+( 4− 3)+· · ·+( n + 1− n) = n + 1−1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
(a + 1)(ak − 1)
= k
2
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
(a + 1)(ak − 1)
= k
2
2
sehingga
1
=
ak+1 − 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
(a + 1)(ak − 1)
= k
2
2
sehingga
untuk k ≥ 1.
1
1
1
=
−
ak+1 − 1
ak − 1 ak + 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
(1)
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
=
1
1
1
1
−
+
−
a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1
1
1
−
+··· +
an − 1 an+1 − 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
1
1
1
1
−
+
−
a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1
1
1
−
+··· +
an − 1 an+1 − 1
1
1
=
−
a1 − 1 an+1 − 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
1
1
1
1
−
+
−
a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1
1
1
−
+··· +
an − 1 an+1 − 1
1
1
=
−
a1 − 1 an+1 − 1
1
1
−
.
=
2 an+1 − 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Dengan demikian
1
1
1
+ ··· +
+
a0 + 1
an + 1 an+1 − 1
Krisnawan
=
1
1
1
1
+ −
+
a0 + 1 2 an+1 − 1 an+1 − 1
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Dengan demikian
1
1
1
+ ··· +
+
a0 + 1
an + 1 an+1 − 1
=
=
=
1
1
1
1
+ −
+
a0 + 1 2 an+1 − 1 an+1 − 1
1
1
+
a0 + 1 2
1
untuk semua n ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
1
s
q
Krisnawan
n+1
2
+
q
n−1
2
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
=
1
s
q
q
n+1
2
Krisnawan
n+1
2
+
1
+
q
q
n−1
2
2
n−1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
=
=
1
s
q
q
q
n+1
2
1
n+1
2
+
n+1
2
n+1
2
−
Krisnawan
+
−
q
q
n−1
2
2
n−1
2
q
n−1
2
n−1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
=
=
1
s
q
q
q
n+1
2
1
n+1
2
+
n+1
2
n+1
2
−
Krisnawan
+
−
q
q
q
n−1
2
2
n−1
2
n−1
2
n−1
2
=
r
n+1
−
2
Pertemuan 1, 2, & 3
r
n−1
.
2
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
p
n+
n=1
1
√
n2 − 1
=
49
X
n=1
r
Krisnawan
n+1
−
2
r
n−1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
n=1
p
n+
1
√
n2 − 1
49
X
r
n+1
n−1
−
=
2
2
n=1
r
r
r
r
1+1
1−1
2+1
2−1
=
−
+
−
2
2
2
2
r
r
r
r
3+1
3−1
4+1
4−1
−
+
−
+
2
2
2
2
r
r
49 + 1
49 − 1
−
+··· +
2
2
r
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
n=1
p
n+
1
√
n2 − 1
49
X
r
n+1
n−1
−
=
2
2
n=1
r
r
r
r
1+1
1−1
2+1
2−1
=
−
+
−
2
2
2
2
r
r
r
r
3+1
3−1
4+1
4−1
−
+
−
+
2
2
2
2
r
r
49 + 1
49 − 1
−
+··· +
2
2
r
r
r
2−1
48 + 1
49 + 1
= −
+
+
2
2
2
r
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
n=1
p
n+
1
√
n2 − 1
=
=
=
=
49
X
r
n+1
n−1
−
2
2
n=1
r
r
r
r
1+1
1−1
2+1
2−1
−
+
−
2
2
2
2
r
r
r
r
3+1
3−1
4+1
4−1
−
+
−
+
2
2
2
2
r
r
49 + 1
49 − 1
−
+··· +
2
2
r
r
r
2−1
48 + 1
49 + 1
−
+
+
2
2
2
√
1
7
− √ + √ + 5 = 5 + 3 2.
2
2
r
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
r
lim
x→∞
!
q
√
√
x+ x+ x− x
=
Krisnawan
p
√
x + x + x −x
lim q
p
√
√
x→∞
x+ x+ x+ x
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
r
lim
x→∞
!
q
√
√
x+ x+ x− x
=
p
√
x + x + x −x
lim q
p
√
√
x→∞
x+ x+ x+ x
r
q
1+
=
lim s
x→∞
1+
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
r
1
x
+
1
x
q
1
x3
+1
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
r
lim
x→∞
!
q
√
√
x+ x+ x− x
=
p
√
x + x + x −x
lim q
p
√
√
x→∞
x+ x+ x+ x
r
q
1+
=
lim s
x→∞
1+
=
Krisnawan
1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
r
1
x
+
1
x
q
1
x3
+1
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1)
x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1)
x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Deret
ANALISIS REAL
(BARISAN DAN DERET)
Kus Prihantoso Krisnawan
August 30, 2012
Yogyakarta
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum
dari suatu barisan.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum
dari suatu barisan.
Contoh: Misalkan diberikan sebuah barisan (un ) yang
didefinisikan sbb: u0 = u1 = u2 = 1 dan
un+3 Un+2
det
= n!, n ≥ 0.
un+1
un
Buktikan bahwa un ∈ Z untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+3 =
un+2 un+1
n!
+
un
un
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
1·1 1
+ =2
1
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
u4
=
1·1 1
+ =2
1
1
2·1 1
+ =3
1
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
u4
=
u5
=
1·1 1
+ =2
1
1
2·1 1
+ =3
1
1
3·2 2·1
+
=4·2
1
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah
un+2 un+1
n!
+
un
un
Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh
un+3 =
u3
=
u4
=
u5
=
u6
=
u7
=
u8
=
1·1 1
+ =2
1
1
2·1 1
+ =3
1
1
3·2 2·1
+
=4·2
1
1
4·2·3 3·2·1
+
=5·3
2
2
5·3·4·2 4·3·2·1
+
=6·4·2
3
3
6·4·2·5·3 5·4·3·2·1
+
=7·5·3
4·2
4·2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 1)n! + n!
(n + 2)n!
=
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
=
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 1)n! + n!
(n + 2)n!
=
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 2)n(n − 2) · · ·
shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Search for a pattern
Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah
un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus
yang diperoleh adalah benar.
Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
un+3
=
=
=
un+2 un+1 + n!
(n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n!
=
un
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 1)n! + n!
(n + 2)n!
=
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
(n + 2)n(n − 2) · · ·
shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
Dan karena n bilangan bulat maka (n + 2)n(n − 2) · · · juga
bilangan bulat.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika
untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian hingga xn > ǫ
untuk n > nǫ .
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika
untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian hingga xn > ǫ
untuk n > nǫ .
Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the
squeezing principle (teorema apit).
The squeezing principle
i. Jika an ≤ bn ≤ cn untuk setiap n dan jika (an ) dan (cn )
konvergen ke L < ∞ maka (bn ) juga konvergen ke L.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Definisi:
i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞
jika dan hanya jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ
sedemikian hingga |xn − L| < ǫ untuk setiap n > nǫ .
ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika
untuk setiap ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian hingga xn > ǫ
untuk n > nǫ .
Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the
squeezing principle (teorema apit).
The squeezing principle
i. Jika an ≤ bn ≤ cn untuk setiap n dan jika (an ) dan (cn )
konvergen ke L < ∞ maka (bn ) juga konvergen ke L.
ii. Jika an ≤ bn untuk setiap n dan (an ) menuju takhingga
maka (bn ) juga menuju takhingga.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (xn ) adalah barisan bilangan real
sedemikian sehinga
lim (2xn+1 − xn ) = L.
n→∞
Tunjukkan bahwa barisan (xn ) konvergen ke L.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap
ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian sehingga jika n ≥ nǫ , berlaku
L − ǫ < 2xn+1 − xn < L + ǫ
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap
ǫ > 0 terdapat nǫ sedemikian sehingga jika n ≥ nǫ , berlaku
L − ǫ < 2xn+1 − xn < L + ǫ
Sehingga
L−ǫ
2(L − ǫ)
2
k−1
(L − ǫ)
<
<
···
<
2xn+1 − xn < L + ǫ
4xn+2 − 2xn+1 < 2(L + ǫ)
2k xn+k − 2k−1 xn+k−1 < 2k−1 (L + ǫ)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh
(1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ǫ)
<
2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ǫ)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh
(1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ǫ)
1
(1 − k )(L − ǫ)
2
<
<
2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ǫ)
1
1
xn+k − k xn < (1 − k )(L + ǫ)
2
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh
(1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ǫ)
1
(1 − k )(L − ǫ)
2
<
<
2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ǫ)
1
1
xn+k − k xn < (1 − k )(L + ǫ)
2
2
pilih k sdm shg | 21k xn | < ǫ dan | 21k (L ± ǫ)| < ǫ. maka untuk m ≥ n + k
L − 3ǫ < xm < L + 3ǫ.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Krisnawan
√
n
n=1
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Solusi: Nilai xn =
√
n
√
n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Solusi: Nilai xn =
√
n
√
n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat
diperoleh
n = (1 + xn )n
n
n
n
2
xnn−1 + · · · + xnn .
xn + · · · +
xn +
= 1+
n−1
2
1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Solusi: Nilai xn =
√
n
√
n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat
diperoleh
n = (1 + xn )n
n
n
n
2
xnn−1 + · · · + xnn .
xn + · · · +
xn +
= 1+
n−1
2
1
Sehingga
n>
Krisnawan
n
2
xn2 ,
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
dengan demikian
xn <
untuk n ≥ 2.
Krisnawan
r
2
,
n−1
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
dengan demikian
xn <
r
selanjutnya, karena 0 ≤ xn <
q
untuk n ≥ 2.
Krisnawan
2
,
n−1
2
n−1
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan
Deret
Limit Barisan
dengan demikian
xn <
untuk n ≥ 2.
r
2
,
n−1
q
2
selanjutnya, karena 0 ≤ xn < n−1
q
2
konvegen ke 0 maka (xn ) konvergen
dan karena barisan n−1
ke 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan
sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan
ak
n
2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa
lim an = 0.
n→∞
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan
sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan
ak
n
2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa
lim an = 0.
n→∞
Bukti: Definisikan barisan (bn ) sbb:
bn = max{|ak |, 2n−1 ≤ k < 2n }.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan
sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan
ak
n
2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa
lim an = 0.
n→∞
Bukti: Definisikan barisan (bn ) sbb:
bn = max{|ak |, 2n−1 ≤ k < 2n }.
Jika kita jabarkan deret ini maka didapatkan
b1
=
b2
=
b3
=
bn
···
=
max{|a1 |}
max{|a2 |, |a3 |}
max{|a4 |, |a5 |, |a6 |, |a7 |}
max{|a2n−1 |, |a2n−1 +1 |, · · · |a2n −1 |}
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
Krisnawan
n
2
≤ k < n, maka
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
n
2
≤ k < n, maka
sehingga
0 ≤ bn ≤
bn−3
b1
bn−1
bn−2
≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1
2
2
2
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
n
2
≤ k < n, maka
sehingga
0 ≤ bn ≤
Dengan limn→∞
bn−3
b1
bn−1
bn−2
≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1
2
2
2
2
b1
2n−1
= 0, maka didapat limn→∞ bn = 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Limit Barisan
Selanjutnya karena an =
b
0 ≤ bn ≤ n−1
2 ,
ak
2
untuk
n
2
≤ k < n, maka
sehingga
0 ≤ bn ≤
Dengan limn→∞
bn−3
b1
bn−1
bn−2
≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1
2
2
2
2
b1
2n−1
= 0, maka didapat limn→∞ bn = 0.
Di lain pihak kita dapatkan |an | ≤ bn , untuk setiap n, sehingga
dengan teorema squeez didapatkan bahwa
(an ) konvergen ke 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1
untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap
n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1
untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap
n.
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0
sedemikian sehingga |xn | ≤ M untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1
untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap
n.
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0
sedemikian sehingga |xn | ≤ M untuk setiap n.
Teorema Weierstrass: Barisan monoton yang terbatas
merupakan barisan konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Contoh: Buktikan bahwa barisan (an ), yang didefinisikan,
s
r
q
√
an = 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1
adalah barisan konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Contoh: Buktikan bahwa barisan (an ), yang didefinisikan,
s
r
q
√
an = 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1
adalah barisan konvergen.
Bukti: Barisan an adalah barisan monoton naik karena
an ≤ an+1 .
Kita akan buktikan bahwa barisan ini terbatas.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Perhatikan bahwa
s
r
√
1 + 2 + 3 + ··· + n
v
v
u
s
u
u
r
u2 u
2
3 · 23
n · 2n
t2 · 2
t
+
+
+
·
·
·
+
=
2
2n
22
23
an =
q
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
Perhatikan bahwa
s
r
√
1 + 2 + 3 + ··· + n
v
v
u
s
u
u
r
u2 u
2
3 · 23
n · 2n
t2 · 2
t
+
+
+
·
·
·
+
=
2
2n
22
23
v
v
u
s
u
u
r
√ u1 u
2
3
n
t
t
=
+
2
+
+ ··· +
2
3
2
2n
2
2
s
r
q
√
√
2 1 + 1 + 1 + · · · + 1.
<
an =
q
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
√
√
dengan demikian an < bn 2 < 2 2 untuk setiap n ((an )
terbatas).
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Search for a pattern
Limit Barisan
Barisan Monoton
Barisan Monoton
r
Misalkan bn = 1 +
√
bn+1 = 1 + bn
q
1+
p
√
1 + · · · + 1 maka
Kita tahu
√bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka
bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
√
√
dengan demikian an < bn 2 < 2 2 untuk setiap n ((an )
terbatas).
Karena barisan (an ) naik dan terbatas maka (an ) konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies)
Contoh
Tentkan hasil dari
√
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√ +√
n+ n+1
1+ 2
2+ 3
3+ 4
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies)
Contoh
Tentkan hasil dari
√
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√ +√
n+ n+1
1+ 2
2+ 3
3+ 4
Jawab: Perhatikan bahwa
√
√
√
√
1
k +1− k
√
=
= k +1− k
√
k +1−k
k + k +1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies)
Contoh
Tentkan hasil dari
√
1
1
1
1
√
√ +√
√ + ··· + √
√ +√
n+ n+1
1+ 2
2+ 3
3+ 4
Jawab: Perhatikan bahwa
√
√
√
√
1
k +1− k
√
=
= k +1− k
√
k +1−k
k + k +1
Sehingga jumlahan di atas sama dengan
√ √
√ √
√ √
√
√
√
( 2− 1)+( 3− 2)+( 4− 3)+· · ·+( n + 1− n) = n + 1−1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
(a + 1)(ak − 1)
= k
2
2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
(a + 1)(ak − 1)
= k
2
2
sehingga
1
=
ak+1 − 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 =
Tunjukkan bahwa
an2 +1
2 ,
dengan n ≥ 1.
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+
=1
a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1
an + 1 an+1 − 1
untuk semua n ≥ 1.
Jawab: Perhatikan bahwa
ak+1 − 1 =
ak2 − 1
(a + 1)(ak − 1)
= k
2
2
sehingga
untuk k ≥ 1.
1
1
1
=
−
ak+1 − 1
ak − 1 ak + 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
(1)
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
=
1
1
1
1
−
+
−
a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1
1
1
−
+··· +
an − 1 an+1 − 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
1
1
1
1
−
+
−
a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1
1
1
−
+··· +
an − 1 an+1 − 1
1
1
=
−
a1 − 1 an+1 − 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Persamaan (1) sama dengan
1
1
1
=
−
ak + 1
ak − 1 ak+1 − 1
untuk k ≥ 1. Sehingga
1
1
+ ··· +
a1 + 1
an + 1
1
1
1
1
−
+
−
a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1
1
1
−
+··· +
an − 1 an+1 − 1
1
1
=
−
a1 − 1 an+1 − 1
1
1
−
.
=
2 an+1 − 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Dengan demikian
1
1
1
+ ··· +
+
a0 + 1
an + 1 an+1 − 1
Krisnawan
=
1
1
1
1
+ −
+
a0 + 1 2 an+1 − 1 an+1 − 1
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Dengan demikian
1
1
1
+ ··· +
+
a0 + 1
an + 1 an+1 − 1
=
=
=
1
1
1
1
+ −
+
a0 + 1 2 an+1 − 1 an+1 − 1
1
1
+
a0 + 1 2
1
untuk semua n ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
1
s
q
Krisnawan
n+1
2
+
q
n−1
2
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
=
1
s
q
q
n+1
2
Krisnawan
n+1
2
+
1
+
q
q
n−1
2
2
n−1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
=
=
1
s
q
q
q
n+1
2
1
n+1
2
+
n+1
2
n+1
2
−
Krisnawan
+
−
q
q
n−1
2
2
n−1
2
q
n−1
2
n−1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Tentukan
49
X
1
p
√
n + n2 − 1
n=1
Jawab: Kita punya
1
p
√
n + n2 − 1
=
=
=
1
s
q
q
q
n+1
2
1
n+1
2
+
n+1
2
n+1
2
−
Krisnawan
+
−
q
q
q
n−1
2
2
n−1
2
n−1
2
n−1
2
=
r
n+1
−
2
Pertemuan 1, 2, & 3
r
n−1
.
2
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
p
n+
n=1
1
√
n2 − 1
=
49
X
n=1
r
Krisnawan
n+1
−
2
r
n−1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
n=1
p
n+
1
√
n2 − 1
49
X
r
n+1
n−1
−
=
2
2
n=1
r
r
r
r
1+1
1−1
2+1
2−1
=
−
+
−
2
2
2
2
r
r
r
r
3+1
3−1
4+1
4−1
−
+
−
+
2
2
2
2
r
r
49 + 1
49 − 1
−
+··· +
2
2
r
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
n=1
p
n+
1
√
n2 − 1
49
X
r
n+1
n−1
−
=
2
2
n=1
r
r
r
r
1+1
1−1
2+1
2−1
=
−
+
−
2
2
2
2
r
r
r
r
3+1
3−1
4+1
4−1
−
+
−
+
2
2
2
2
r
r
49 + 1
49 − 1
−
+··· +
2
2
r
r
r
2−1
48 + 1
49 + 1
= −
+
+
2
2
2
r
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
sehingga
49
X
n=1
p
n+
1
√
n2 − 1
=
=
=
=
49
X
r
n+1
n−1
−
2
2
n=1
r
r
r
r
1+1
1−1
2+1
2−1
−
+
−
2
2
2
2
r
r
r
r
3+1
3−1
4+1
4−1
−
+
−
+
2
2
2
2
r
r
49 + 1
49 − 1
−
+··· +
2
2
r
r
r
2−1
48 + 1
49 + 1
−
+
+
2
2
2
√
1
7
− √ + √ + 5 = 5 + 3 2.
2
2
r
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
r
lim
x→∞
!
q
√
√
x+ x+ x− x
=
Krisnawan
p
√
x + x + x −x
lim q
p
√
√
x→∞
x+ x+ x+ x
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
r
lim
x→∞
!
q
√
√
x+ x+ x− x
=
p
√
x + x + x −x
lim q
p
√
√
x→∞
x+ x+ x+ x
r
q
1+
=
lim s
x→∞
1+
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
r
1
x
+
1
x
q
1
x3
+1
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi
q
p
√
√
Tentukan limx→∞
x+ x+ x− x
Jawab:
r
lim
x→∞
!
q
√
√
x+ x+ x− x
=
p
√
x + x + x −x
lim q
p
√
√
x→∞
x+ x+ x+ x
r
q
1+
=
lim s
x→∞
1+
=
Krisnawan
1
2
Pertemuan 1, 2, & 3
r
1
x
+
1
x
q
1
x3
+1
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1)
x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan
Deret
Deret Berjatuhan
Example
1. Find the gcd of 1704 and 224!
Answer:
1704 = 7 · 224 + 136
224 = 1 · 136 + 88
136 = 1 · 88 + 48
88 = 1 · 48 + 40
48 = 1 · 40 + 8
40 = 5 · 8
Thus, gcd(1704, 224) = 8.
2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Answer:
x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1)
x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3