Menentukan Entering Variable Leaving Variable

  Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia

  MODEL TRANSPORTASI - II MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-9

  

Menentukan

Entering Variable & Leaving Variable



  Tahap selanjutnya dari teknik pemecahan persoalan transportasi adalah menentukan entering dan leaving variable.

  

  Tahap ini dilakukan setelah diperoleh solusi fisible basis awal.

  

  Ada dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan entering dan leaving variable, yaitu :

  b)

  Metode Multipliers

Metode Stepping Stone

  

  Setelah solusi fisibel basis awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah berikutnya adalah menekan ke bawah biaya transpor dengan memasukkan variabel non- basis (yaitu alokasi komoditas ke kotak kosong) ke dalam solusi.

  

  Proses evaluasi variabel non-basis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian mengalokasikan kembali dinamakan metode stepping- stone.

  

  Variabel non-basis = kolom-kolom yang tidak mempunyai nilai

  

  Variabel basis = kolom-kolom yang mempunyai nilai Beberapa hal penting dalam penyusunan jalur stepping stone : 1.

  Arah jalur yang diambil : baik searah maupun berlawanan arah dengan jarum jam adalah tidak penting dalam membuat jalur tertutup.

  2. Jalur-jalur dimulai dari setiap kotak kosong (variabel non basis) yang harus diteruskan ke kotak-kotak terisi (variabel

basis), dan pada akhirnya kembali ke kotak kosong awal.

  3. Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong.

  4. Jalur yang dibuat harus/hanya mengikuti kotak terisi (dimana pada kotak ini terjadi perubahan arah), kecuali pada kotak kosong yang sedang dievaluasi.

  5. Namun, baik kotak terisi maupun kosong dapat dilewati dalam penyusunan jalur tertutup.

  6. Suatu jalur dapat terjadi perpotongan.

  7. Sebuah penambahan dan sebuah pengurangan yang sama besar harus kelihatan pada setiap baris kolom pada jalur itu.

  Contoh 1

  Karena dari langkah 1 diperoleh solusi fisibel awal dari metoda VAM dengan Z = 1920 dan tabel distribusinya sbb : Maka dari tabel VAM di samping, dilakukan

  70 50 perhitungan solusi

  70 10 optimum.

  80

  Loop 1 :

  80

  70

  50

  70

  10 X

  12

  = Jalur :

  X

  12 X

  13 X

  23 X

  22 X

  12

  Loop 2 :

  80 70 50 70 10

  X

  21

  = Jalur :

  X

  21 X

  11 X

  13 X

  23 X

  21

  Loop 3 :

  80 70 50 70 10

  X

  32

  = Jalur :

  X

  32 X

  31 X

  

11

X

  13 X

  23 X

  22 X

  32

  Loop 4 :

  80 70 50 70 10

  X

  33

  = Jalur :

  X

  33 X

  31 X

  11 X

  13 X

  33

  

  Jalur stepping stone untuk semua kotak kosong (Variabel Non Basis) :

   X  X  X  X  X

  X

  12

  12

  13

  23

  22

  12  X  X  X  X  X

  X

  21

  21

  11

  13

  23

  21  X  X  X  X  X  X  X

  X

  32

  32

  31

  11

  13

  23

  22

  32  X  X  X  X  X

  X

  33

  33

  31

  11

  13

  33

  

  Perubahan biaya yang dihasilkan dari masing-masing jalur :  C = C – C + C – C = 5 – 6 + 12 – 10 = +1

  12

  12

  13

  23

  22  C = 15 – 8 + 6 – 12 = +1

  21  C = 9 – 3 + 8 – 6 + 12 – 10 = +10

  32  C = 10 – 3 + 8 – 6 = +9

  33 Karena tidak ada calon entering variabel (semua kotak kosong memiliki C positif), berarti solusi sudah optimum. ij

  

  Solusinya :

  Contoh 2

  Jika diasumsikan solusi fisibel awal diperoleh dari NWCR dengan Z = 2690 dan tabel distribusinya sbb : Maka dari tabel NWCR di samping, dilakukan

  120 perhitungan solusi

  30 50 optimum.

  60

  20

  60

  20

  60

  20

  60

  20

  60

  20

  

  Jalur stepping stone untuk semua kotak kosong (variabel non-basis): X  X  X  X  X  X

  12

  12

  22

  21

  11

  12 X  X  X  X  X  X  X  X

  13

  13

  33

  32

  22

  21

  11

  13 X  X  X  X  X  X

  23

  23

  33

  32

  22

  23 X  X  X  X  X  X

  31

  31

  21

  22

  32

  31

  

  Perubahan biaya yang dihasilkan dari masing-masing jalur :  C = 5 – 10 + 15 – 8 = +2

  12  C = 6 – 10 + 9 – 10 + 15 – 8 = +2

  21  C

  = 12 – 10 + 9 – 10 = +1

  32  C = 3 – 15 + 10 – 9 = – 11

  31

  

  Hanya nilai X yang memiliki perubahan biaya

  31 negatif (C = – 11), sehingga X adalah variabel

  31

  31 nonbasis dengan nilai C negatif, yang jika dimasukkan ij ke solusi yang ada akan menurunkan biaya.

  

  Jika terdapat dua atau lebih variabel nonbasis dengan C ij negatif, maka dipilih satu yang memiliki perubahan menurunkan biaya yang terbesar.

  

  Jika terdapat nilai kembar, piling salah satu secara sembarang.

  

  Karena telah menentukan X adalah entering variabel,

  31 kemudian harus ditetapkan berapa yang akan dialokasikan ke kotak X (tentunya ingin dialokasikan

  31 sebanyak mungkin ke X ).

  31

  

  Untuk menjaga kendala penawaran dan permintaan, alokasi harus dibuat sesuai dengan jalur stepping stone yang telah ditentukan untuk X

  31

  

Karena pada Loop 4, komoditas yang paling kecil adalah X = 20 (yang

₃₂

bertanda negatif), maka nilai komoditas tersebut dipilih sebagai koefisien

yang mengurangi dan menambah setiap komoditas pada jalur Loop 4 sesuai tanda yang telah ditentukan sebelumnya.

  120 30 – 20 50 + 20 0 + 20 20 – 20

  60

  Iterasi 1 : 120

  70

  10

  20

  60

  

 Proses stepping stone yang sama untuk mengevaluasi kotak

kosong harus diulang, untuk menentukan apakah solusi telah optimum atau apakah ada calon entering variabel

Metode Multiplier (1)

   Metode ini adalah variasi metode stepping stone.

  

  Pada metode ini tidak perlu menentukan semua jalur tertutup variabel nonbasis. Sebagai gantinya, nilai-nilai C ij ditentukan secara serentak dan hanya jalur tertutup untuk entering variabel yang diidentifikasi

  

  Langkahnya :

  i V untuk setiap kolom dengan menggunakan j hubungan C = U + V untuk semua basis dan

  ij i j tetapkan nilai nol untuk U .

  1

  Metode Multiplier (2) 2.

  Hitung perubahan biaya, C untuk setiap variabel ij nonbasis dengan menggunakan rumus C = C – U – V .

  ij ij i j

  2. Jika terdapat nilai C negatif, maka solusi belum ij

  optimal. Kemudian pilih variabel X dengan nilai C ij ij negatif terbesar sebagai entering variabel.

  3. Alokasikan komoditas ke entering variabel, X sesuai

  ij proses stepping stone. Lalu kembali ke langkah 1.

  

  Misal solusi fisibel awal diperoleh dari metode NWCR 120 30 50

  20

  60

  

  V

  3

   = 7 U

  2

   = 0 U

  1

   = 4 U

  3

   = 3

  Tentukan nilai-nilai baris & kolom dengan asumsi U

  2

  V

   = 8

  1

  60 V

  20

  120 30 50

  1 = 0

   = 6

  

  Biaya-biaya pada variabel Basis (kotak isi) : C = 8 C = 15

  11

  21 C = 10 C = 9 C = 10

  22

  32

  33

  

  Diasumsikan : U = 0

  1

  

  Nilai-nilai U dan V : i j

  X  U + V = C X  U + V = C

  11

  1

  1

  11

  32

  3

  2

  32 0 + V = 8

  U = 6

  1

  3 V = 8

  X  U + V = C

  21

  2

  1

  21

  33

  3

  3

  33 U = 7 V = 4

  2

  3 X  U + V = C

  22

  2

  2

  22 V = 3

  2

  

  Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak kosong) : C = C – U – V

  ij ij i j

  C = C – U – V = 5 – 0 – 3 = 2

  12

  12

  1

  2 C = C – U – V = 6 – 0 – 4 = 2

  13

  13

  1

  3 C

  = C – U – V = 12 – 7 – 4 = 1

  23

  23

  2

  3 C = C – U – V = 3 – 6 – 8 = – 11

  31

  31

  3

  1

  

  C negatif, menunjukkan bahwa solusi yang ada belum

  31 optimal dan X adalah entering variabel.

  31

  60

  31

  20 dari X

  

Karena pada loop tersebut, komoditas yang paling kecil adalah X = 20

₃₂ (yang bertanda negatif), maka nilai komoditas tersebut dipilih sebagai

koefisien yang mengurangi dan menambah setiap komoditas pada jalur

loop tersebut sesuai tanda yang telah ditentukan sebelumnya.

  120 30 – 20 50 + 20 0 + 20 20 – 20

  60

  Iterasi 1 : 120

  70

  10

  20

  60

  

  Setelah mendapatkan solusi pada iterasi 1, maka nilai- nilai U , V dan C pada tabel iterasi 1 harus dihitung lagi i j ij untuk uji optimalitas dan menentukan entering variabel.

  

  Lakukan hal tersebut di atas berulang-ulang hingga diperoleh kondisi optimum.

  

  Solusi optimum untuk contoh di atas ini memerlukan iterasi yang sama dengan metode stepping stone dan alokasi yang sama akan terjadi pada setiap iterasi.

  Iterasi 1 : 120 10 70

  20

  60 V

  1

   = 8

  V

  2

   = 3 V

  3

   = 15 U

  1

   = 0 U

  2

   = 7 U

  3

   = -5

  

  Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak kosong) : C = C – U – V = 5 – 0 – 3 = 2

  12

  12

  1

  2 C = C – U – V = 6 – 0 – 15 = -9

  13

  13

  1

  3 C = C – U – V = 12 – 7 – 15 = -10

  23

  23

  2

  3 C = C – U – V = 9 – (– 5) – 3 = 11

  32

  32

  3

  2

  

  C dan C negatif, menunjukkan bahwa solusi yang ada

  13

  23 belum optimal.

  

  C X dipilih sebagai entering variabel karena memiliki

  23 23 paling kecil (paling negatif) .

  

  Buat loop yang dimualia dari X

  23

  

  Lakukan alokasi ulang komoditas pada loop tersebut, Ulangi terus langkah-langkah tersebut hingga diperoleh tabel tranportasi optimum, yaitu tabel transportasi yang tidak memiliki C negatip.

  V = 8 V = 13 V = 15

  1

  2

  3 U = 0

  1 U = -3

  2 U = -5

  3

  

  Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak kosong) : C = C – U – V = 5 – 0 – 13 = -8

  12

  12

  1

  2 C = C – U – V = 6 – 0 – 15 = -9

  13

  13

  1

  3 C

  = C – U – V = 15 – (– 3) – 8 = 10

  21

  21

  2

  1 C = C – U – V = 9 – (– 5) – 13 = 1

  32

  32

  3

  2

  

  C dan C negatif, menunjukkan bahwa solusi yang

  12

  13 ada belum optimal dan X dipilih sebagai entering

  13 C paling kecil (paling

  variabel karena memiliki

  13 negatif) .

  V

  1

   = 8

  V

  2

   = 4 V

  3

   = 6 U

  1

   = 0 U

  2

   = 6 U

  3

   = -5

  

  Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak kosong) : C = C – U – V = 5 – 0 – 4 = 1

  12

  12

  1

  2 C = C – U – V = 15 – 6 – 8 = 1

  21

  21

  2

  1 C

  = C – U – V = 9 – (– 5) – 4 = 10

  32

  32

  3

  2 C = C – U – V = 10 – (– 5) – 6 = 9

  33

  33

  3

  3

  

  Seluruh C di atas sudah menunjukkan nilai positif ij semuanya, sehingga dapat disimpulkan bahwa tabel transportasi iterasi 3 di atas telah optimum.

  

  Apakah solusi optimumnya sama dengan hasil Stepping Stone ? Apakah sama juga dengan metode VAM ?