Menentukan Entering Variable Leaving Variable
MODEL TRANSPORTASI - II MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-9
Riani Lubis Jurusan Teknik Informatika Jurusan Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
1
Menentukan Menentukan
Entering Variable & Leaving Variable
Tahap selanjutnya dari teknik pemecahan persoalan t transportasi adalah menentukan entering dan leaving t i d l h t k t i d l i variable. Tahap ini dilakukan setelah diperoleh solusi fisible basis awal.
Ada dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan entering dan leaving variable, yaitu :
b) ) Metode Multipliers p
2
Metode Stepping Stone
Setelah solusi fisibel basis awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah berikutnya adalah menekan ke transportasi langkah berikutnya adalah menekan ke bawah biaya transpor dengan memasukkan variabel non- basis (yaitu alokasi komoditas ke kotak kosong) ke dalam basis (yaitu alokasi komoditas ke kotak kosong) ke dalam solusi.
Proses evaluasi variabel non-basis yang memungkinkan Proses evaluasi variabel non basis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian mengalokasikan kembali dinamakan metode stepping- mengalokasikan kembali dinamakan metode stepping stone.
Variabel non-basis = kolom-kolom yang tidak mempunyai Variabel non basis = kolom kolom yang tidak mempunyai nilai
Variabel basis = kolom-kolom yang mempunyai nilai V i b l b i k l k l i il i
3
Beberapa hal penting dalam penyusunan jalur stepping stone :
1. Arah jalur yang diambil : baik searah maupun berlawanan arah dengan jarum jam adalah tidak penting dalam membuat jalur tertutup.
2. Jalur-jalur dimulai dari setiap kotak kosong (variabel non basis) yang harus diteruskan ke kotak-kotak terisi (variabel basis), dan pada akhirnya kembali ke kotak kosong awal.
3. Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong.
4. Jalur yang dibuat harus/hanya mengikuti kotak terisi (dimana pada kotak ini terjadi perubahan arah), kecuali (di d k t k i i t j di b h
h) k li pada kotak kosong yang sedang dievaluasi.
5. N Namun, baik kotak terisi maupun kosong dapat dilewati b ik k t k t i i k d t dil ti dalam penyusunan jalur tertutup.
6. Suatu jalur dapat terjadi perpotongan. S t j l d t t j di t
6
7. Sebuah penambahan dan sebuah pengurangan yang sama 4 besar harus kelihatan pada setiap baris kolom pada jalur itu. besar har s kelihatan pada setiap baris kolom pada jal r it
Contoh 1 Contoh 1 Karena dari langkah 1 diperoleh solusi fisibel awal dari
metoda VAM dengan Z = 1920 dan tabel distribusinya sbb : t d VAM d Z 1920 d t b l di t ib i bb
Maka dari Maka dari tabel VAM di samping samping, dilakukan
70
50
perhitungan perhitungan solusi
70
10
optimum. optimum
80
80
5
Loop 1 :
70
50
70
10
80 X
12
= Jalur :
X
12 X
13 X
23 X
22 X
12 6 C
12
= C : 5 - 6 + 12 - 10 = + 1
Loop 2 :
70
50
70
70
10
10
80 Jalur : X =
X X
X X
X
21
21
11
13
23
21 C : C =
15 - 8 + 6 - 12 = + 1 7
21
Loop 3 :
70
50
70
70
10
10
80 Jalur : X =
X X
X X
X X
X
32
32
31
11
13
23
22
32 C : C =
= + 10 9 - 3 + 8 - 6 + 12 -10 8
32
Loop 4 :
70
50
70
70
10
10
80 Jalur : X =
X X
X X
X
33
33
31
11
13
33 C : C =
= + 9 10 - 3 + 8 - 6 9
33
Jalur stepping stone untuk semua kotak kosong (Variabel Non Basis) : X X X X X X
12
12
13
23
22
12 X X X X X X
21
21
11
13
23
21 X X X X X X X X
32
32
32
32
31
31
11
11
13
13
23
23
22
22
32
32 X X X X X X
33
33
31
11
13
33
Perubahan biaya yang dihasilkan dari masing-masing j jalur : C = C – C + C – C = 5 – 6 + 12 – 10 = +1
12
12
13
23
22
C = 15 – 8 + 6 – 12 = +1
21
21
C = 9 – 3 + 8 – 6 + 12 – 10 = +10
32
C C = 10 – 3 + 8 – 6 = +9 10 3 + 8 6 +9
33
33 Karena tidak ada calon entering variabel (semua kotak kosong memiliki C kosong memiliki C positif), berarti solusi sudah optimum. positif), berarti solusi sudah optimum. 10 ij ij
Solusinya : y
11
Contoh 2 Contoh 2
Jika diasumsikan solusi fisibel awal diperoleh dari NWCR
dengan Z = 2690 dan tabel distribusinya sbb : d Z 2690 d t b l di t ib i bbMaka dari Maka dari tabel NWCR di samping, samping dilakukan
120
perhitungan perhitungan solusi
30
30
50
50
optimum. optimum
60
60
20
20
12
60
5
20
30 120 : Loop 1 13
30
60
50
50
20
30 120 : Loop 2 14
30
60
5
20
30 120 : Loop 3 15
30
60
5
20
30 120 : Loop 4 16
30
Jalur stepping stone untuk semua kotak kosong (variabel g g ( non-basis):
X X X X X X
12
12
12
12
22
22
21
21
11
11
12
12 X X X X X X X X
13
13
33
32
22
21
11
13 X
X X X X X X X X X X X
23
23
33
32
22
23 X X X X X X
31
31
21
22
32
31
Perubahan biaya yang dihasilkan dari masing-masing
jalur : C = 5 – 10 + 15 – 8 = +2 Pilih C yang y g12
12
memiliki nilai C = 6 – 10 + 9 – 10 + 15 – 8 = +2
21
negatif paling C C = 12 – 10 + 9 – 10 = +1 = 12 – 10 + 9 – 10 = +1
32
besar (nilai C = 3 – 15 + 10 – 9 = – 11 paling kecil) 17
31
Hanya nilai X y y yang g memiliki perubahan p biaya y
31
31
negatif (C = – 11), sehingga X adalah variabel
31
31
nonbasis dengan nilai C negatif, yang jika dimasukkan
ij
ke solusi yang ada akan menurunkan biaya. k l i d k k bi Jika terdapat dua atau lebih variabel nonbasis dengan C
ij
negatif, maka dipilih satu tif k di ilih t yang memiliki perubahan iliki b h menurunkan biaya yang terbesar.
Jika terdapat nilai kembar, piling salah satu secara Jika terdapat nilai kembar piling salah satu secara sembarang.
Karena telah menentukan X Karena telah menentukan X adalah entering variabel adalah entering variabel,
31
kemudian harus ditetapkan berapa yang akan dialokasikan ke kotak X dialokasikan ke kotak X (tentunya ingin dialokasikan (tentunya ingin dialokasikan
31
31 sebanyak mungkin ke X ).
31
Untuk menjaga kendala penawaran dan permintaan, j g p p , alokasi harus dibuat sesuai dengan jalur stepping stone yang telah ditentukan untuk X 18
31 Karena pada Loop 4, komoditas yang paling kecil adalah X = 20 (yang 32 bertanda negatif), maka nilai komoditas tersebut dipilih sebagai koefisien bertanda negatif) maka nilai komoditas tersebut dipilih sebagai koefisien yang mengurangi dan menambah setiap komoditas pada jalur Loop 4 sesuai tanda yang telah ditentukan sebelumnya.
120 30 – 20 50 + 20 0 + 20 0 + 20 20 – 20
20
20
60
60
19
60
60
70
10
20 120
20
20
Proses stepping stone yang sama untuk mengevaluasi kotak kosong harus diulang, untuk menentukan apakah solusi telah kosong harus diulang untuk menentukan apakah solusi telah optimum atau apakah ada calon entering variabel
21
Metode Multiplier (1) Metode ini adalah variasi metode stepping stone. pp g
Pada metode ini tidak perlu menentukan semua jalur Pada metode ini tidak perlu menentukan semua jalur tertutup variabel nonbasis. Sebagai gantinya, nilai-nilai C
ij
ditentukan secara serentak dan hanya jalur tertutup untuk ditentukan secara serentak dan hanya jalur tertutup untuk entering variabel yang diidentifikasi
Langkahnya :
i
V untuk setiap kolom dengan menggunakan
j
hubungan h b C C = U U + V + V untuk semua basis dan t k b i d ij i j tetapkan nilai nol untuk U . 23
1
Metode Multiplier (2)
2. Hitung perubahan biaya, C g p y , untuk setiap variabel p
ij ij
nonbasis dengan menggunakan rumus C = C – U – V . ij ij ij ij i i j j
2. Jika terdapat nilai Jika terdapat nilai C C negatif, maka solusi belum negatif maka solusi belum ij ij
2
optimal. Kemudian pilih variabel X dengan nilai C ij ij negatif terbesar sebagai entering variabel. negatif terbesar sebagai entering variabel.
3 Alokasikan komoditas ke entering variabel, X Alokasikan komoditas ke entering variabel X sesuai sesuai
3.
ij proses stepping stone. Lalu kembali ke langkah 1.
24
Misal solusi fisibel awal diperoleh dari metode NWCR
120
30
50
20
60
25
Tentukan nilai-nilai baris & kolom dengan asumsi U = 0
1 V = 8 V = 3 V = 4
1
2
3 U = 0 U = 0
1
120 U U = 7
2
30
50 U = 6
3
20
60
26
Biaya-biaya pada variabel Basis (kotak isi) : Biaya biaya pada variabel Basis (kotak isi) : C = 8 C = 15
11
21 C C = 10 = 10 C C = 9 = 9 C C = 10 = 10
22
32
33
Diasumsikan : U = 0
1
Nilai-nilai U dan V :
i j
X U + V = C X U + V = C
11
11
1
1
1
1
11
11
32
32
3
3
2
2
32
32
0 + V = 8
U = 6
1
3 V
V = 8 = 8
1
X U + V = C
21
2
1
21
33
3
3
33 U U = 7
7 V V = 4
4
2
3 X U + V = C
22
2
2
22 V = 3
2
27
Perubahan biaya untuk semua variabel non basis (kotak Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak kosong) : C = C – U – V ij ij i j
C C = C C – U U – V
V = 5 – 0 – 3 = 2
5
3
2
12
12
12
12
1
1
2
2
C = C – U – V = 6 – 0 – 4 = 2
13
13
1
3
C C = C C – U U – V V = 12 – 7 – 4 = 1
12
7
4
1
23
23
2
3
C = C – U – V = 3 – 6 – 8 = – 11
31
31
3
1
C negatif, menunjukkan bahwa solusi yang ada belum
31 optimal dan X optimal dan X adalah entering variabel. adalah entering variabel.
31
31
28
Buat loop yang dimulai dari X
31 120
30
30
5
60
20
29 Karena pada loop tersebut, komoditas yang paling kecil adalah X = 20 32
(yang bertanda negatif), maka nilai komoditas tersebut dipilih sebagai (yang bertanda negatif) maka nilai komoditas tersebut dipilih sebagai
koefisien yang mengurangi dan menambah setiap komoditas pada jalur loop tersebut sesuai tanda yang telah ditentukan sebelumnya.120 30 – 20 50 + 20 0 + 20 0 + 20 20 – 20
20
20
60
60
30
60
60
70
10
20 120
20
31
Setelah mendapatkan solusi pada iterasi 1, maka nilai- nilai U , V dan C pada tabel iterasi 1 harus dihitung lagi
i j ij untuk uji optimalitas dan menentukan entering variabel.
Lakukan hal tersebut di atas berulang ulang hingga Lakukan hal tersebut di atas berulang-ulang hingga diperoleh kondisi optimum.
Solusi optimum untuk contoh di atas ini memerlukan iterasi yang sama dengan metode stepping stone dan iterasi yang sama dengan metode stepping stone dan alokasi yang sama akan terjadi pada setiap iterasi.
32
Iterasi 1 : V = 8 V = 3 V = 15
1
2
3 U U = 0 = 0
1
120 U U = 7
2
10
70 U = -5
3
20
60
33
Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak y ( kosong) :
C = C – U – V = 5 – 0 – 3 = 2
12
12
12
12
1
1
2
2
C = C – U – V = 6 – 0 – 15 = -9
13
13
1
3
C = C – U – V = 12 – 7 – 15 = -10
23
23
23
23
2
2
3
3
C = C – U – V = 9 – (– 5) – 3 = 11
32
32
3
2
C dan C negatif, menunjukkan bahwa solusi yang ada
13
23
belum optimal. belum optimal
X dipilih sebagai entering variabel karena memiliki C
23
23
paling kecil (paling negatif) . paling kecil (paling negatif) Buat loop yang dimualia dari X
23
34 Lakukan alokasi ulang komoditas pada loop tersebut, Lakukan alokasi ulang komoditas pada loop tersebut sehingga diperoleh tabel distribusi iterasi 2. Ulangi terus langkah-langkah tersebut hingga diperoleh tabel tranportasi optim m tranportasi optimum, yaitu tabel transportasi yang tidak ait tabel transportasi ang tidak memiliki C negatip.
V V = 8
8 V V = 13 V
13 V = 15
15
1
2
3 U = 0
1 U = -3
2 U = -5
3
35
Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak Perubahan biaya untuk semua variabel non basis (kotak kosong) : C C = C C – U U – V
V = 5 – 0 – 13 = -8
5
13
8
12
12
12
12
1
1
2
2
C = C – U – V = 6 – 0 – 15 = -9
13
13
1
3
C C = C C – U U – V V = 15 – (– 3) – 8 = 10 15 ( 3)
8
10
21
21
2
1
C = C – U – V = 9 – (– 5) – 13 = 1
32
32
3
2
C dan C negatif, menunjukkan bahwa solusi yang
12
13
ada belum optimal dan X ada belum optimal dan X dipilih sebagai dipilih sebagai entering entering
13
13
variabel karena memiliki C paling kecil (paling
13
negatif) . ega )
36
V
1
= 8
V
2
= 4
V
3
= 6 U
1
= 0
2
= 6 U
3
= -5
37
Perubahan biaya untuk semua variabel non-basis (kotak Perubahan biaya untuk semua variabel non basis (kotak kosong) : C C = C C – U U – V
V = 5 – 0 – 4 = 1
5
4
1
12
12
12
12
1
1
2
2
C = C – U – V = 15 – 6 – 8 = 1
21
21
2
1
C C = C C – U U – V V = 9 – (– 5) – 4 = 10 9 ( 5)
4
10
32
32
3
2
C = C – U – V = 10 – (– 5) – 6 = 9
33
33
3
3
Seluruh C di atas sudah menunjukkan nilai positif j p
ij ij
semuanya, sehingga dapat disimpulkan bahwa tabel transportasi iterasi 3 di atas telah optimum. p p
Apakah solusi optimumnya sama dengan hasil Stepping Apakah solusi optimumnya sama dengan hasil Stepping Stone ? Apakah sama juga dengan metode VAM ?
38