File | Teknik Informatika'10
STATISTIKA & PROBABILITAS
Modul 02
LANJUTAN A). DATA TAK BERKELOMPOK
KUARTIL : Harga / nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama, setelah
data diurutkan kecil ke besar.
Kuartil
i = 1 , 2 , 3.
n
4
à K2 = 2 K1 à K3 = 3 K1
Contoh-contoh:
a). Data 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11 à n = 7
à K1 = data ke
= data ke 2 = 6,
à K2 = data ke 2 K1 = data ke 4 = 8,
à K3 = data ke 3 K1 = data ke 6 = 10
b). Data 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11, 11
à K1 = harga ke
à n=8
= harga ke 2 ¼ = 6 + ¼ (7-6) = 6 ¼
à K2 = harga ke 2 K1 = harga ke 4 ½ = 8 + ½ (10-8) = 9
à K3 = harga ke 3 K1 = harga ke 6 ¾
= 10 + ¾ (11-10) = 10 ¾
DESIL : Harga / nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama, setelah
data diurutkan kecil ke besar.
Desil
i = 1 , 2 , 3 , …… 9.
à D2 = 2 D1
n
10
à D3 = 3 D1 à ……..……à D9 = 9 D1
Cara-cara perhitungan Desil sama dengan cara-cara pada perhitungan
Kuartil.
PERSENTIL : Harga / nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama,
setelah data diurutkan kecil ke besar.
Persentil
i = 1 , 2 , 3 , …… 99.
à P2 = 2 P1
à P3 = 3 P1 à ………..…à P99 = 99 P1
Cara-cara perhitungan Persentil sama dengan cara-cara perhitungan pada
Kuartil.
RATA-RATA UKUR ( U )
Jika diketahui data: x1, x2, x3,………………… xn, maka rata-rata ukurnya adalah
U=
Contoh: Jika diketahui data: 2, 4, 8, maka rata-rata ukurnya adalah
U =
=
=4
RATA-RATA HARMONIK ( H )
Jika diketahui data: x1, x2, x3,………………… xn, maka rata-rata harmoniknya adalah
H =
Contoh: Jika diketahui data: 2, 4, 8, maka rata-rata harmoniknya adalah
H =
=
=
= 3,43
Contoh penerapan pada soal:
Ali pergi dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 10 km/jam.
Pulangnya dari kota B ke kota A dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam.
Ditanyakan: berapa kecepatan rata-rata Ali pergi-pulang ?
Jawab:
Jawab:
Kecepatan Ali pergi-pulang adalah kecepatan harmonik:
H =
=
=
= 13
km/jam
B. DATA BERKELOMPOK
B.1. DATA BERKELOMPOK TANPA KELAS
Data nilai mata kuliah Statistik
No. Urut
Nilai ( xi )
Frekuensi (fi )
fi xi
1
35
1
35
2
45
2
90
3
55
5
275
4
65
15
975
5
75
25
1875
6
85
20
1700
7
95
12
1140
Jumlah
80
6090
Mean =
=
= 76,125
Median = ½ ( data ke 40 + data ke 41 ) = ½ ( 75 + 75 ) = 75
Modus = data baris ke 5 = 75
Kuartil: K1 =data ke
= data ke 20 ¼ = 65 + ¼ (65-65) = 65
K2 =data ke 2 K1 = data ke 40 ½ = 75+ ½ (75-75) = 75
K3 =data ke 3 K1 = data ke 60 ¾ = 85+ ½ (85-85) = 85
B.2. DATA BERKELOMPOK DENGAN KELAS
Data nilai mata kuliah Statistik
No
Kelas Nilai
Frekuensi (fi )
Nilai Tengah (xi)
fi xi
1
31 – 40
1
35,5
35,5
2
41 – 50
2
45,5
91,0
3
51 – 60
5
55,5
277,5
4
61 – 70
15
65,5
982,5
5
71 – 80
25
75,5
1887,5
6
81 – 90
20
85,5
1710,0
7
91 – 100
12
95,5
1146,0
n = 80
-
6.130,0
LebarKelas=10
Jumlah
Mean =
=
= 76,62
Median = b + p (
)
= 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 6,8 = 77,3
b = batas bawah kelas median, ialah kelas di mana median terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana median terletak
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi di bawah kelas median
f = frekuensi kelas di mana median berada
Modus = b + p (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 6,67 = 77,17
b = batas bawah kelas modus, ialah kelas di mana modus terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana modus terletak
b1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
b2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
Kuartil: Ki = b + p (
)
i = 1, 2, 3
b = batas bawah kelas kuartil, ialah kelas di mana kuartil terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana kuartil terletak
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi di bawah kelas kuartil
f = frekuensi kelas di mana kuartil berada
K1 = data ke
K1 = b + p (
= data ke 20
) = 60,5 + 10 (
) = 60,5 + 10 ( 0,8 ) = 68,5
K2 =data ke 2 K1 = data ke 40
K2 = b + p (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 10 ( 0,68 ) = 77,3
K3 = …. ?
Desil: Di = b + p (
)
i = 1, 2, 3, …… 9
b = batas bawah kelas desil, ialah kelas di mana desil terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana desil terletak
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi di bawah kelas desil
f = frekuensi kelas di mana desil berada
D1 = data ke
= data ke 8
D2 =data ke 2 D1 = data ke 16
D2 = b + p (
D3 = …. ?
) = 60,5 + 10 (
D4 = …. ?
) = 60,5 + 10 ( 0,53 ) = 65,8
D5 = …. ?
……………..
B.3. DATA BERKELOMPOK DENGAN PENYEDERHANAAN
Dipilih fi tertinggi, berarti dipilih A = 75,5, jadi
Maka
Mean
Data nilai mata kuliah Statistik
= A+p(
)
ci
=
D9 = …. ?
No
Kelas Nilai
Frekuensi (fi )
Nilai Tengah (xi)
ci
fi ci
1
31 – 40
1
35,5
-4
-4
2
41 – 50
2
45,5
-3
-6
3
51 – 60
5
55,5
-2
- 10
4
61 – 70
15
65,5
-1
- 15
5
71 – 80
25
75,5
0
0
6
81 – 90
20
85,5
1
20
7
91 – 100
12
95,5
2
24
n = 80
-
-
9
LebarKelas=10
Jumlah
Mean
= A+p(
= 75,5 + 10 (
)
) = 75,5 + 1,125 = 76,625
Soal-Soal Latihan
1. Hitunglah Mean, Median, Modus, Kuartil 1 s/d 3 dari data berikut ini:
Statistik Jam lembur dalam data berkelompok:
Jam
Jumlah
Lembur
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 - 69
Pegawai
2
6
14
17
8
3
2. Diketahui data
4, 6, 6, 8, 10, 10, 11, 11, 12, 4, 6, 6, 4, 10, 9, 11, 11 , 4, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13, 14.
a. Susunlah tabel data berkelompok tanpa kelas dari data tersebut di atas,
kemudian tentukan mean, median, modus, dan kuartil 1-3.
b. Susunlah tabel data berkelompok dengan kelas (lebar 3) dari data tersebut di
atas, kemudian tentukan mean, median, modus, dan kuartil 1-3.
c. Tentukan mean dari data tersebut dengan bantuan penyederhanaan.
3. Dari 3 bilangan, diketahui yang terkecil adalah 39, dan yang tebesar adalah 75.
Berikut ini adalah rata-rata ketiga bilangan tersebut, kecuali:
a. 49
b. 52
c. 53
d. 59
e. 60
4. Jika setiap harga/nilai dari suatu data dikalikan 10, kemudian masing-masing
dikurangi 5, maka data yang baru menghasilkan rata-rata sama dengan 65.
Berapakah rata-rata data mula-mula ?
5. Nilai Mean (harga rata-rata) dari data berikut ini adalah 6,95.
Nilai (xi)
fi
4
2
5
4
6
9
7
11
8
a
9
7
Tentukan nilai a ? Tentukan Median, Kuartil K1, K2, dan K3.
6. Diketahui data pengukuran : 6, 13, 16, 10, 11, 13, 10, 8, 16. Dari data ini diperoleh,
Kecuali:
a. Median = 11
b. rata-rata = 11 4/9
c. K3 = 14 1/3 d. K1 = 10
7. Nilai Mean (harga rata-rata) dari data berikut ini adalah 62,5.
Berat (xi)
fi
50-54
5
55-59
10
60-64
A
65-69
2
Tentukan nilai A ? Tentukan Median, Kuartil K 1, K2, dan K3.
70-74
10
Modul 02
LANJUTAN A). DATA TAK BERKELOMPOK
KUARTIL : Harga / nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama, setelah
data diurutkan kecil ke besar.
Kuartil
i = 1 , 2 , 3.
n
4
à K2 = 2 K1 à K3 = 3 K1
Contoh-contoh:
a). Data 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11 à n = 7
à K1 = data ke
= data ke 2 = 6,
à K2 = data ke 2 K1 = data ke 4 = 8,
à K3 = data ke 3 K1 = data ke 6 = 10
b). Data 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11, 11
à K1 = harga ke
à n=8
= harga ke 2 ¼ = 6 + ¼ (7-6) = 6 ¼
à K2 = harga ke 2 K1 = harga ke 4 ½ = 8 + ½ (10-8) = 9
à K3 = harga ke 3 K1 = harga ke 6 ¾
= 10 + ¾ (11-10) = 10 ¾
DESIL : Harga / nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama, setelah
data diurutkan kecil ke besar.
Desil
i = 1 , 2 , 3 , …… 9.
à D2 = 2 D1
n
10
à D3 = 3 D1 à ……..……à D9 = 9 D1
Cara-cara perhitungan Desil sama dengan cara-cara pada perhitungan
Kuartil.
PERSENTIL : Harga / nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama,
setelah data diurutkan kecil ke besar.
Persentil
i = 1 , 2 , 3 , …… 99.
à P2 = 2 P1
à P3 = 3 P1 à ………..…à P99 = 99 P1
Cara-cara perhitungan Persentil sama dengan cara-cara perhitungan pada
Kuartil.
RATA-RATA UKUR ( U )
Jika diketahui data: x1, x2, x3,………………… xn, maka rata-rata ukurnya adalah
U=
Contoh: Jika diketahui data: 2, 4, 8, maka rata-rata ukurnya adalah
U =
=
=4
RATA-RATA HARMONIK ( H )
Jika diketahui data: x1, x2, x3,………………… xn, maka rata-rata harmoniknya adalah
H =
Contoh: Jika diketahui data: 2, 4, 8, maka rata-rata harmoniknya adalah
H =
=
=
= 3,43
Contoh penerapan pada soal:
Ali pergi dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 10 km/jam.
Pulangnya dari kota B ke kota A dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam.
Ditanyakan: berapa kecepatan rata-rata Ali pergi-pulang ?
Jawab:
Jawab:
Kecepatan Ali pergi-pulang adalah kecepatan harmonik:
H =
=
=
= 13
km/jam
B. DATA BERKELOMPOK
B.1. DATA BERKELOMPOK TANPA KELAS
Data nilai mata kuliah Statistik
No. Urut
Nilai ( xi )
Frekuensi (fi )
fi xi
1
35
1
35
2
45
2
90
3
55
5
275
4
65
15
975
5
75
25
1875
6
85
20
1700
7
95
12
1140
Jumlah
80
6090
Mean =
=
= 76,125
Median = ½ ( data ke 40 + data ke 41 ) = ½ ( 75 + 75 ) = 75
Modus = data baris ke 5 = 75
Kuartil: K1 =data ke
= data ke 20 ¼ = 65 + ¼ (65-65) = 65
K2 =data ke 2 K1 = data ke 40 ½ = 75+ ½ (75-75) = 75
K3 =data ke 3 K1 = data ke 60 ¾ = 85+ ½ (85-85) = 85
B.2. DATA BERKELOMPOK DENGAN KELAS
Data nilai mata kuliah Statistik
No
Kelas Nilai
Frekuensi (fi )
Nilai Tengah (xi)
fi xi
1
31 – 40
1
35,5
35,5
2
41 – 50
2
45,5
91,0
3
51 – 60
5
55,5
277,5
4
61 – 70
15
65,5
982,5
5
71 – 80
25
75,5
1887,5
6
81 – 90
20
85,5
1710,0
7
91 – 100
12
95,5
1146,0
n = 80
-
6.130,0
LebarKelas=10
Jumlah
Mean =
=
= 76,62
Median = b + p (
)
= 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 6,8 = 77,3
b = batas bawah kelas median, ialah kelas di mana median terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana median terletak
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi di bawah kelas median
f = frekuensi kelas di mana median berada
Modus = b + p (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 6,67 = 77,17
b = batas bawah kelas modus, ialah kelas di mana modus terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana modus terletak
b1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
b2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
Kuartil: Ki = b + p (
)
i = 1, 2, 3
b = batas bawah kelas kuartil, ialah kelas di mana kuartil terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana kuartil terletak
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi di bawah kelas kuartil
f = frekuensi kelas di mana kuartil berada
K1 = data ke
K1 = b + p (
= data ke 20
) = 60,5 + 10 (
) = 60,5 + 10 ( 0,8 ) = 68,5
K2 =data ke 2 K1 = data ke 40
K2 = b + p (
) = 70,5 + 10 (
) = 70,5 + 10 ( 0,68 ) = 77,3
K3 = …. ?
Desil: Di = b + p (
)
i = 1, 2, 3, …… 9
b = batas bawah kelas desil, ialah kelas di mana desil terletak
p = panjang atau lebar kelas dimana desil terletak
n = banyaknya data
F = jumlah semua frekuensi di bawah kelas desil
f = frekuensi kelas di mana desil berada
D1 = data ke
= data ke 8
D2 =data ke 2 D1 = data ke 16
D2 = b + p (
D3 = …. ?
) = 60,5 + 10 (
D4 = …. ?
) = 60,5 + 10 ( 0,53 ) = 65,8
D5 = …. ?
……………..
B.3. DATA BERKELOMPOK DENGAN PENYEDERHANAAN
Dipilih fi tertinggi, berarti dipilih A = 75,5, jadi
Maka
Mean
Data nilai mata kuliah Statistik
= A+p(
)
ci
=
D9 = …. ?
No
Kelas Nilai
Frekuensi (fi )
Nilai Tengah (xi)
ci
fi ci
1
31 – 40
1
35,5
-4
-4
2
41 – 50
2
45,5
-3
-6
3
51 – 60
5
55,5
-2
- 10
4
61 – 70
15
65,5
-1
- 15
5
71 – 80
25
75,5
0
0
6
81 – 90
20
85,5
1
20
7
91 – 100
12
95,5
2
24
n = 80
-
-
9
LebarKelas=10
Jumlah
Mean
= A+p(
= 75,5 + 10 (
)
) = 75,5 + 1,125 = 76,625
Soal-Soal Latihan
1. Hitunglah Mean, Median, Modus, Kuartil 1 s/d 3 dari data berikut ini:
Statistik Jam lembur dalam data berkelompok:
Jam
Jumlah
Lembur
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 - 69
Pegawai
2
6
14
17
8
3
2. Diketahui data
4, 6, 6, 8, 10, 10, 11, 11, 12, 4, 6, 6, 4, 10, 9, 11, 11 , 4, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13, 14.
a. Susunlah tabel data berkelompok tanpa kelas dari data tersebut di atas,
kemudian tentukan mean, median, modus, dan kuartil 1-3.
b. Susunlah tabel data berkelompok dengan kelas (lebar 3) dari data tersebut di
atas, kemudian tentukan mean, median, modus, dan kuartil 1-3.
c. Tentukan mean dari data tersebut dengan bantuan penyederhanaan.
3. Dari 3 bilangan, diketahui yang terkecil adalah 39, dan yang tebesar adalah 75.
Berikut ini adalah rata-rata ketiga bilangan tersebut, kecuali:
a. 49
b. 52
c. 53
d. 59
e. 60
4. Jika setiap harga/nilai dari suatu data dikalikan 10, kemudian masing-masing
dikurangi 5, maka data yang baru menghasilkan rata-rata sama dengan 65.
Berapakah rata-rata data mula-mula ?
5. Nilai Mean (harga rata-rata) dari data berikut ini adalah 6,95.
Nilai (xi)
fi
4
2
5
4
6
9
7
11
8
a
9
7
Tentukan nilai a ? Tentukan Median, Kuartil K1, K2, dan K3.
6. Diketahui data pengukuran : 6, 13, 16, 10, 11, 13, 10, 8, 16. Dari data ini diperoleh,
Kecuali:
a. Median = 11
b. rata-rata = 11 4/9
c. K3 = 14 1/3 d. K1 = 10
7. Nilai Mean (harga rata-rata) dari data berikut ini adalah 62,5.
Berat (xi)
fi
50-54
5
55-59
10
60-64
A
65-69
2
Tentukan nilai A ? Tentukan Median, Kuartil K 1, K2, dan K3.
70-74
10