Linear Programming (Pemrograman Linier)

  Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2012/2013

  Dual Problem 

  Transpose dari LP (Primal) 

  Bukan lagi masalah optimal bagi peubah keputusan 

  Masalah optimal bagi sumber daya 

  Untuk mempelajari efek perubahan- perubahan koefsien dan ketersediaan sumber daya pada hasil optimal

   Seolah-olah sumber daya mempunyai ‘harga’ dan menjadi aset: konsep “shadow price”

   Bagaimana memanfaatkan aset tersebut dengan optimal

  

Menentukan Dual Problem dari

suatu LP (Primal) 

  LP semula dinamakan Primal Problem 

  Jika Primal kasus max → Dual kasus min 

  Jika Primal kasus min → Dual kasus max 

  Dibedakan dari tipe permasalahan ◦

  Masalah max yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala ≤

  ◦ Masalah min yang normal: semua peubah non negatif dan semua kendala

  ≥

  Secara Umum 

  . . . ... ... . .

               

  2 ^{2 1 1 2 2 2 22 1 12 1 1 2 21 1 11 2 2 1 1} m i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s y b y b y b w i ^{n m mn n n m m m m m m}

  ... min

  . . . ... ... . .

  ) ,..., , 1 ( ...

  2 ^{2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1} n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c z j ^{m n mn m m n n n n n n                  }

  ... max

  ) ,..., , 1 ( ...

  Primal

  peubah mewakili setiap kendala

  ◦ Dengan setiap

  Transpose dari Primal

  ◦ Normal min ◦

  Dual:

  

  Normal Max

  ◦

     

  Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual untuk LP Normal Primal: max z (x ₁ ≥0) (x ₂ ≥0) …

  (x _n ≥0)   x ₁ x ₂ … x _n a ₁₁ a _{12 …} a _{1n ≤b1} a ₂₁ a _{22 …} a _{2n ≤b2} …     … … a _m1 a _{m2 …} a _mn ≤b _m y ₁ y ₂ … y _m

  Dual: min w   (y ₁ ≥0) (y ₂ ≥0) …

  (y _m ≥0)   ≥c ₁ ≥c _{2 …} ≥c _n  

  Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i

  Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual untuk LP non normal Primal: max z (x ₁ ≥0) (x ₂ ≥0) …

  (x _n ≥0)   x ₁ x

₂

… x _n a ₁₁ a _{12 …} a _{1n ≤b1} a ₂₁ a _{22 …} a _{2n ≥b2} …     … … a _m1 a _{m2 …} a _mn =b _m y ₁ y ₂ … y _m

  Dual: min w   (y ₁ ≥0) (y ₂ ≤

  0) … (y _m urs)  

  ≥c ₁ ≥c _{2 …} ≥c _n   Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual untuk LP Non Normal Primal: max z (x ₁ ≥0) (x ₂ ≤0) …

  (x _n urs)   x ₁ x

₂

… x _n a ₁₁ a _{12 …} a _{1n ≤b1} a ₂₁ a _{22 …} a _{2n ≥b2} …     … … a _m1 a _{m2 …} a _mn =b _m y ₁ y ₂ … y _m

  Dual: min w   (y ₁ ≥0) (y ₂ ≤

  0) … (y _m urs)  

  ≥c ₁ ≤ c _{2 …} =c _n   Kendala dual ke-j bersesuaian dengan peubah Peubah dual ke-i bersesuaian dengan kendala primal ke -i

Contoh LP Dakota sebagai Primal

  x ₁ : jumlah bangku x ₂ : jumlah meja x ₃ : jumlah kursi

  , , (jam carpentry)

  8 5 . 5 .

  1

  2 (jam finishing)

  20 5 .

  1

  2

  4 (bahan kayu)

  48

  6 . 8 .

  20

  30 60 max

  3 ^{2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1}    

           x x x x x x x x x x x x t s x x x z Konsep Dual untuk Masalah Dakota _

Seolah-olah Dakota akan menjual seluruh sumber daya

(aset) nya, kepada pihak lain. _ Peubah dari dual adalah harga dari setiap sumber daya

  ◦ Kayu dengan harga y ¹

  ◦ Jam fnishing dengan harga y

²

  ◦ Jam carpentry dengan harga y ³ _

  Fungsi obyektif adalah minimum total biaya yang harus dikeluarkan oleh pihak pembeli aset ◦

  Total persediaan kayu 48 unit (dengan harga y ^{1 )} ◦

  Total persediaan jam fnishing 20 jam (dengan harga y ^{2 )} ◦ Total persediaan jam carpentry 8 jam (dengan harga y ^{3 )}

  3 ^{2 1}

  8

  20 48 min y y y w    Konsep Dual untuk Masalah Dakota 

  Kendala pada Dual: ‘konsep opportunity cost’, 

  Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan bangku lebih besar daripada harga bangku

   Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan meja lebih besar daripada harga meja

   Nilai aset dengan komposisi sesuai pembuatan kursi lebih besar daripada harga kursi max z 60 x 30 x 20 x    _{1 2 3} s . t . 8 x 6 x x 48 (bahan kayu) ₁    _{2 3}

  x : jumlah ₁

  4 x 2 x 1 . 5 x 20 (jam finishing) ₁    _{2 3}

  bangku

  2 x 1 . 5 x . 5 x 8 (jam carpentry)

  x : jumlah meja ₁    _{2 3 2} x : jumlah kursi

  x , x , x _{1 2 3}  ³ Harga setiap aset/sumber daya adalah y ,i=1, _i 2, 3

  Produk Nilai Jual Aset Harga produk Yang dipakai untuk produksi 8 y 4 y 2 y ₁

    _{2 3}

  60 Bangku

  6 y 2 y 1 . 5 y ₁   _{2 3}

  30 Meja

  y 1 .

  5 y . 5 y

  20 ₁   _{2 3} Kursi

  8 y 4 y 2 y

  60 ₁    _{2 3} 6 y _{1 } 2 y _{2 } 1 . 5 y _{3 }

  30 y 1 . 5 y . 5 y

  20 ₁    _{2 3}

Dalam bentuk Tabel Primal vs Dual Dakota Problem

  30 5 .

           y y y y y y

y y y

y y y t s y y y w

  3

²

^{1 3}

²

^{1 3}

²

^{1 3 2 1}    

  20 48 min

  8

  4 . 8 .

  2

  60

  6

  2

  1

  Primal: max z (x ₁ ≥0 ) (x ₂ ≥0 )

  (x ₃ ≥0 )   x ₁ x ₂ x ₃

  20 5 . 5 .

  , ,

  Dual

  

≥60 ≥30 ≥20  

  (y ₃ ≥0 )  

    (y ₁ ≥0 ) (y ₂ ≥0 )

  1.5 0.5 ≤8 y ₁ y ₂ y _m Dual: min w

  2

  4 2 1.5 ≤20

  6 1 ≤48

  8

  1

  

Contoh Primal Pada Diet Problem

min z 50 x 20 x 30 x 80 x     _{1 2 3 4} s.t.

  (Calorie

  400 x 200 x 150 x 500 x 500 ₁     _{2 3 4}

  constraint) (Chocolate

  3 x

  2

  6 ₁  x  ₂

  constraint) (Sugar constraint)

  2 x 2 x 4 x 4 x

  10 ₁     _{2 3 4}

  (Fat constraint)

  2 x 4 x x 5 x

  8 ₁     _{2 3 4} x , x , x , x _{1 2 3 4} 

  

Konsep Dual untuk Diet Problem

_ Pada primal, peubah adalah jumlah makanan yang harus dibeli

  ◦ Memenuhi kebutuhan nutrisi

  ◦ _ Dengan biaya minimum Pada dual, kita seolah-olah menjadi kolektor nutrisi:

  ◦ Kalori, coklat, gula dan lemak

  ◦ _ Sejumlah kebutuhan yang harus dipenuhi pada Primal Nutrisi tersebut adalah aset yang kita jual

  ◦ Keputusan: berapa harga per nutrisi agar keuntungan _ maksimum

  Kendala dari sudut pandang calon pembeli: ◦

  

Harga nutrisi sesuai komposisinya jika dibuat makanan harus

lebih murah daripada harga makanan masing-masing

  (Calorie constraint) (Chocolate constraint)

  , , , _{4 3 2 1 } x x x x ^{4 3 2 1}

  2 2 200 y y y y _{   4 3 1} 4 150 y y y _{  4 3 1}

  4

  2 3 400 y y y y _{   4 3 2 1}

  2

  4 ^{3 2 1}

  3 _{2 1   x} x

  2

  6

  400 200 150 500 500 _{4 3 2 1    } x x x x

     

  x x x x z

  20 50 min

  30

  80

  2 _{4 3 2 1    } x x x x

  (Sugar constraint) (Fat constraint) s.t. x ₁ : jumlah Brownie x ₂ : jumlah Ice Cream x ₃ : jumlah Soda x ₄ : jumlah Cheesecake y ₁ : harga per unit kalori y ₂ : harga per unit coklat y ₃ : harga per unit gula y ₄ : harga per unit lemak

  4

  5

  

8

  2 _{4 3 2 1    } x x x x

  2

  4

  4

  10

  80

  30

  20

  50

  Brownie Ice cream Soda Cheesecake

  Makanan Nilai Jual Nutrisi Harga makanan

  5 4 500 y y y _{ }

  400 y _{1    } 3 y ₂ 2 y ₃ 2 y ₄

  pandang pembeli koleksi

  200 y _{1    } 2 y ₂ 2 y ₃ 4 y ₄

  20

  nutrisi kita

  150 y _{1   } 4 y y _{3 4}

  30 500 y _{1   } 4 y ₃ 5 y ₄

  nutrisi? Pendapatan maksimum:

• Jumlah/persediaan setiap nutrisi kali harga setiap unit nutrisi max w 500 y

  6 y 10 y 8 y     _{1 2 3 4}

Dalam bentuk Tabel Dual vs Primal Diet Problem

     

  

, , ,

_{4 3 2 1 } y y y y

  5 4 500 _{4 3 1   } y y y

  80

  30 4 150 _{4 3 1   } y y y

  2 2 200 _{4 3 2 1    } y y y y

  4

  20

  2 3 400 _{4 3 2 1    } y y y y

  2

  50

  Primal: min z (x ₁ ≥0 ) (x ₂ ≥0 )

  

(x

₃ ≥0 ) (x ₄ ≥0 )  

  10 6 500 max

  8

  ≤50 ≤20 ≤30 ≤80  s.t. ^{4 3 2 1}

  Dual: max w   (y ₁ ≥0) (y ₂ ≥0) (y ₃ ≥0)  

  1 5 ≥8 y ₁ y ₂ y _m

  4

  2

  4 4 ≥10

  2

  2

  X ₁ x ₂ x ₃ x ₄ 400 200 150 500 ≥500 3 2 ≥6

  y y y y w

  Teorema Dual (Weak Duality)

     

   yb

  y y x untuk untuk w z

  

    m ... y y y _{2 1}

  x x x ... ^{2 1} x

   _n

       

       

               

  Solusi feasibel dari primal:

  2 ^{2 1 1 2 2 2 22 1 12 1 1 2 21 1 11 2 2 1 1} m i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s y b y b y b w i ^{n m mn n n m m m m m m}

  ... min

  . . . ... ... . .

  ) ,..., , 1 ( ...

  2 ^{2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1} n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c z j ^{m n mn m m n n n n n n                  }

  ... max

  . . . ... ... . .

  ) ,..., , 1 ( ...

  Solusi feasibel dari dual:

  cx 

  Contoh Weak Duality pada Dakota Problem

  1

  

  1

  1

  1

  x

     

  110

  20

      

  1

  30

  1

  60    

  z

  110 

      

           x x x x x x x x x x x x t s x x x z

  Solusi feasibel dari primal.

  20 5 .

  Dengan nilai

  z: Tidak ada solusi dual feasibel dengan w<110 Semua solusi dual feasibel mempunyai w≥110

  , , (jam carpentry)

  8 5 . 5 .

  1

  2 (jam finishing)

  1

  3 ^{2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1}    

  2

  4 (bahan kayu)

  48

  6 . 8 .

  20

  30 60 max

  z w

  Solusi feasibel dari Dual.

           y y y y y y y y y y y y t s y y y w

  680 

  w

  48    

  10

  20

  10

  8

  680

  y      

  10 

  10

   

  3 ^{2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1}    

  Dengan nilai

  20 48 min

  8

  4 . 8 .

  2

  60

  6

  2

  1

  30 5 .

  1

  20 5 . 5 .

  Tidak ada solusi primal feasibel dengan z>680 , ,

  w: Semua solusi primal feasibel mempunyai z≤680

  w z

Teorema Dual (Strong Duality)

  Solusi optimal dari primal:

  Solusi optimal dari dual:

  Maka akan berlaku: Jika BV adalah basis optimal bagi primal maka solusi optimal dari dual adalah:

       

       

   _n

  x x x ... ^{2 1} x

    m ... y y y _{2 1}

  

  y w z min max 

  b y x

  c 

  1 _

  

  B

_BV c y Solusi Dual Dakota Problem berdasarkan Teorema Dual:

  Basis optimal bagi

  s , x , x BV   ^{1 3 1 }

  primal

  1

  2

  8  _{ 1}  

   

  c

  20

  60 _{BV  } 

  B

  2

  4  

     .

  5 1 . 5   _{ 1}  

  y c B

   _BV

  10

  10    y , y 10 , y

  10   

  Solusi optimal bagi ^{1 2 3} dual:

  w

  48

  20

  10

  8 10 280          

  Harga setiap aset/sumber daya Dengan harga jual adalah: aset: $280 ^- Kayu (y ) seharga $0 ₁ ^- Jam fnishing (y ) seharga $10 ₂

  Membaca Solusi Dual dari Optimal Tableau _ Solusi dual dapat diperoleh dari baris nol tableau optimal (Primal) _ Tergantung dari tipe permasalahan primal, max atau min _ Karena peubah dual mewakili kendala dual:

  ◦ Tergantung pula dari tanda pada kendala ( , , =) ≤ ≥

  Tanda pada kendala Solusi Dual ke-i dari baris nol tableau optimal

  ≤ Koefsien s _i

  ≥ (-) Koefsien e _i

  = Koefsien a _i

  PRIMAL kasus MAX PRIMAL kasus MIN

  Tanda pada kendala Solusi Dual dari baris nol tableau optimal

  ≤ Koefsien s _i

  ≥ (-) Koefsien e _i

• - M

  = Koefsien a _i

• + M

Tableau Optimal Dakota’s _ Problem Semua kendala pada Dakota’s Problem Primal adalah _

  ≤ _

Solusi dual (y , i=1, 2, 3), berhubungan dengan masing-masing kendala

_i Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah koefsien s i , i=1, 2, 3

  Tablea u 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV z=28

  Baris 0

  1

  5

  10 10 280 s1=2 Baris 1 -2

  1 2 -8

  24

  4 Baris 2 -2

  1 2 -4 8 x3=8 Baris 3

  1 1.25 -0.5

  1.5 2 x1=2

  y y y

  10

  10   ^{1 2 3   } min w max z 280  

  Harga setiap aset/sumber daya adalah:

• ^- Kayu (y ) seharga $0
₁ ^- Jam fnishing (y ) seharga $10 ₂

Tableau Optimal Diet’s Problem

  BV _{z=90 x3=1} e4=5 _{e1=4 32 x2=3} ^{z x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 a1 a2 a3 a4 rhs 1 -2,75 -50 0 -2,5 -7,5 02,5-M 7,5-M 7,5-M 90 Baris 1 0 -0,25 1 1 0 0,25 -0,25 0 -0,25 0,25 1} _{Baris 2 0 3,75 -4 0 -1,75 -0,25 1 0 1,75 0,25 -1 5 Baris} 3 -1

• ^{- 495,6}
_Baris ^{1 - 126,2 -46,6 36,4 -1 126,2 46,6 -36,4 432} _{4 1,5 1 0 -0,5 0,5 3} ^ Semua kendala pada Diet’s Problem Primal adalah ≥ _ Solusi dual (y _{ i} , i=1, 2, 3, 4), berhubungan dengan masing-masing kendala Sehingga pada baris nol tableau optimal primal, solusi dual adalah (-) koefsien e _i , i=1, 2, 3, 4

  Harga setiap aset nutrisi adalah: _- Kalori (y

• _{- 1} ) seharga $0

  Coklat (y ₂ ) seharga $2.5 _- Gula (y ₃ ) seharga $7.5 _-

  Lemak (y ₄ ) seharga $0 Dengan harga jual maksimum $90

      5 .

  7 5 .

  2 _{4 3 2 1}  y y y y

  90 min max  

  z w

  

Konsep Shadow Prices (Harga

Bayangan) 

  Shadow Price kendala ke-i suatu LP: ◦

  Ukuran seberapa banyak perbaikan nilai optimal z jika jumlah sumber daya (koefsien rhs) bertambah satu unit

   Dapat dianalisis dari konsep dual max z baru max z lama

• Δb harga bayangan kendala ke i  

  _{i }

  

• min z baru min z lama Δb harga bayangan kendala ke i  

  _{i }

   Konsep Shadow Price dari Dakota’s Problem 

  Nilai optimal keuntungan 

  Diperoleh pada ketersediaan: 

  48 unit kayu 

  20 jam fnishing 

  8 jam carpentry Dari dual: 

  Setiap unit kayu berharga $0 

  Setiap jam fnishing berharga $10 

  Setiap jam carpentry berharga $10 280 max  z

  

  Nilai optimal z dapat dinyatakan dalam peubah dual:

  max z 48 y 20 y 8 y    _{1 2 3}

  48

  

20

  10

  8 10 280          

   Harga bayangan fnishing hour adalah:

   Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan fnishing hour bertambah 1 jam b 20 b

  21 ₂   

₁

max z 48 y 20 y 8 y max z ' 48 y 21 y 8 y       _{1 2 3 1 2 3}

  48

  21

  10

  8 10 290          

  Perbaikan z sebesar y = ₂ $10: Shadow

  Price

   Solusi optimal peubah dual ke-i adalah shadow price dari kendala ke-i masalah Primal

• baru max lama max

   Harga bayangan kayu adalah:

  

Perbaikan (penambahan) nilai z ketika

persediaan kayu bertambah 1 unit

   Harga bayangan carpentry hour adalah:

   Perbaikan (penambahan) nilai z ketika persediaan carpentry hour bertambah 1 jam ^{i i}

  

Δb y z z

  lama max baru max

  1  _i Δb _i y z z

  

  $ ₁  y

  10 $ ₃  y Konsep Complementary Slackness

  Dengan logika: 

  

Sumber daya yang habis terpakai (s i atau e i =0),

pasti sangat berharga 

  

Penambahan satu unit dari sumber daya tsb akan

menaikkan nilai z (harga bayangan y >0) _i 

  

Sumber daya yang tidak habis terpakai (s atau e

_{i i} >0), dianggap tidak berharga (harga bayangan y =0) _i

  ◦ Tidak perlu melakukan penambahan, tidak akan menaikkan nilai z Teorema Complementary Slackness

  

x akan primal optimal dan y akan dual

optimal jika dan hanya jika:

  Peubah primal Peubah Dual

      

      

   _n

  x x

   ¹

  x   m

  ... y y y _{2 1}

  

  y

  ) ,..., 1 ( m i y s _{i i}  

  ) ,..., 1 ( n j x e _{j j}   Dari Dakota’s Problem BFS : x

  2 , x , x 8 , s 24 , s s , z 280 ₁        _{2 3 1 2 3}

   _ Kayu bersisa 24 unit

  Finishing hour habis terpakai → penambahan akan

  s i _ meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi

  Carpentry hour habis terpakai → penambahan akan meningkatkan nilai z dengan tambahan produksi _ Perbaikan nilai z berdasarkan konsep shadow price

  Tambahan kayu, $0 _

  y i _ Tambahan fnishing hour $10

  Tambahan carpentry hour $10

  s y ( i

  1 ,..., m ) _{i i}  