Pertemuan 14 Turunan Parsial 14.1 Pendahuluan - 14 Turunan Parsial

  

Pertemuan 14

Turunan Parsial

  14.1 Pendahuluan

  Dalam mempelajari fenomena dunia nyata, suatu obyek yang diselidiki biasanya tergantung pada dua atau lebih variabel. Jadi kita perlu memperluas ide awal Kalkulus mengenai fungsi atas satu variabel menjadi fungsi atas beberapa variabel. Turunan dari fungsi atas beberapa variabel lebih bervariasi dan menarik karena banyaknya cara berbeda tiap variabel saling berinteraksi. Integralnya pun mengarah pada variasi penerapan yang lebih beragam.

  14.2 Fungsi atas Beberapa Variabel

  Definisi 14.1 Fungsi atas variabel bebas

  Misalkan

   adalah suatu himpunan atas -tuples bilangan real ( ). Suatu fungsi

  nilai real

   pada adalah suatu aturan yang memetakan suatu bilangan real unik ( )

  ke tiap elemen dalam

  . Himpunan merupakan domain fungsinya. Himpunan nilai yang

  dipilih oleh

   adalah range fungsinya. Simbol merupakan variabel terikat dari , dan

  dikatakan sebagai suatu fungsi dari hingga . Kita sebut pula

   variabel bebas

  sebagai variabel input fungsi dan sebagai variabel output fungsi.

  Contoh 14.1 Menghitung fungsi Nilai dari pada titik

  ( ) √ ( ) adalah ( ) √ √ dikenal sebagai fungsi jarak dari titik pusat ke titik ( ) dalam koordinat ruang

  Kartesius.□ Contoh 14.2 Domain dan Ranges

  a. Fungsi atas 2 variabel

  b. Fungsi atas 3 variabel

  Definisi 14.2 Titik interior dan titik batas, terbuka, tertutup

  Suatu titik

  ( ) dalam suatu daerah (himpunan) dalam bidang- adalah suatu titik

  interior dari

   jika merupakan pusat dari suatu lingkaran dengan jari-jari positif yang

  terletak seluruhnya dalam

   (Gambar 14.1). Suatu titik ( ) adalah titik batas dari jika

  tiap lingkaran yang berpusat di

  ( ) mengandung titik-titik yang terletak di luar dan

  titik-titik yang terletak di dalam . (Titik batas itu sendiri tidak harus berada di dalam ).

Titik-titik interior dalam suatu daerah, sebagai suatu himpunan, membentuk interior dari

daerah tersebut. Titik-titik batas daerah tersebut membentuk batasnya. Suatu daerah

terbuka jika hanya terdiri atas titik-titik interior. Suatu daerah tertutup jika mengandung

seluruh titik-titik batasnya (Gambar 14.2).

Gambar 14.1 Titik-titik interior dan titik-titik batas dari suatu daerah

  . Suatu titik interior pasti merupakan titik dari . Suatu titik batas belum tentu merupakan bagian dari .

  th

  ed, p.967) (Thomas’s Calculus, 11 Gambar 14.2 Titik-titik interior dan titik-titik batas dari suatu unit lingkaran dalam bidang.

  th

  ed, p.967) (Thomas’s Calculus, 11 Definisi 14.3 Daerah terbatas dan tidak terbatas dalam bidang

  

Suatu daerah dalam bidang dikatakan terbatas jika terletak di dalam suatu cakram

(lingkaran) dengan jari-jari tertentu. Suatu daerah dikatakan tidak terbatas jika sebaliknya.

  Definisi 14.4 Level curve, grafik, permukaan

  Himpunan titik-titik dalam bidang dimana suatu fungsi

  ( ) memiliki suatu nilai konstan ( ) disebut suatu level curve dari . Himpunan seluruh titik ( ( )) dalam

  ruang, untuk

  ( ) dalam domain dari , disebut sebagai graph (grafik) dari . Grafik dari

  disebut juga surface (permukaan) ( ).

  Contoh 14.3 Menggambar fungsi atas 2 variabel Gambarkan grafik dan plot level curves

  ( ) ( ) ( ) , dan ( ) dalam domain dari dalam bidang tersebut.

  Jawaban Domain dari adalah keseluruhan bidang- , dan range dari adalah himpunan atas bilangan real kurang dari sama dengan

  . Grafiknya merupakan parabola , yang sebagian ditunjukkan dalam Gambar 14.3. Level curve

  ( ) adalah himpunan titik-titik dalam bidang- dimana ( ) yang merupakan lingkaran dengan jari-jari berpusat di titik pusat. Demikian pula, level curves

  ( ) dan ( ) (Gambar 14.3) adalah lingkaran ( ) ( )

  Level curve ( ) hanya terdiri atas titik pusatnya sendiri (masih tetap merupakan level curve).□

Gambar 14.3 Grafik dan level curve yang dipilih dari fungsi .

  ( )

  th

  ed, p.967) (Thomas’s Calculus, 11

  Definisi 14.5 Level surface

  Himpunan titik-titik

  ( ) dalam ruang dimana suatu fungsi atas tiga variabel memiliki

  suatu nilai konstan ( ) disebut sebagai suatu level surface dari .

  Definisi 14.6 Titik-titik interior dan batas untuk daerah ruang

  Suatu titik

  ( ) dalam suatu daerah dalam suatu ruang adalah suatu titik interior

  dari

   jika merupakan pusat dari suatu bola solid yang terletak seluruhnya dalam

  (Gambar 14.4a). Suatu titik

  ( ) adalah titik batas dari jika tiap bola yang berpusat

  di

  ( ) mengandung titik-titik yang terletak di luar dan titik-titik yang terletak di

  dalam

   (Gambar 14.4b). Interior dari adalah himpunan titik-titik interior dari . Batas

  dari adalah himpunan titik-titik batas dari .

Suatu daerah dikatakan terbuka jika keseluruhannya terdiri atas titik-titik interior. Suatu

daerah dikatakan tertutup jika mengandung seluruh batasnya.

Gambar 14.4 Titik-titik interior dan titik-titik batas dari suatu daerah dalam ruang.

  th

  ed, p.970) (Thomas’s Calculus, 11

14.3 Turunan Parsial

  Definisi 14.7 Turunan parsial terhadap dan terhadap

  Turunan parsial dari

  ) adalah ( ) terhadap pada titik (

  ) ( ) (

  |

  ( ) dengan catatan limitnya ada.

  Turunan parsial dari

  ) adalah ( ) terhadap pada titik (

  ) ( ) (

  ( )| |

  ( )

  dengan catatan limitnya ada.

  Contoh 14.4 Mencari turunan parsial pada suatu titik Temukan nilai dari

  ⁄ dan ⁄ pada titik ( ) jika ( )

  Jawaban Untuk menemukan

  ⁄ , kita perlakukan sebagai suatu konstanta dan turunkan terhadap :

  ) (

  Nilai ⁄ pada ( ) adalah ( ) ( )

  Untuk menemukan ⁄ , kita perlakukan sebagai suatu konstanta dan turunkan terhadap

  : )

  ( Nilai

  ⁄ pada ( ) adalah ( ) □ Contoh 14.5 Mencari turunan parsial pada suatu fungsi Tentukan ⁄ jika ( ) . Jawaban Kita perlakukan sebagai suatu konstanta dan sebagai suatu hasil kali dari dan :

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  Contoh 14.6 Turunan parsial bisa jadi berbeda Tentukan dan jika

  ( ) Jawaban Kita perlakukan sebagai suatu pecahan. Dengan sebagai konstanta, kita peroleh

  ( ) ( ) ( )

  ( ) ( )

  ( )( ) ( ) ( ) ( )

  Dengan sebagai konstanta, kita peroleh ( )

  ( ) ( )

  ( ) ( ) ( )( ) ( )

  ( ) ( ) Contoh 14.7 Turunan parsial implisit Tentukan

  ⁄ jika persamaan mendefinisikan sebagai suatu fungsi atas dua variabel bebas dan dan turunan parsialnya ada. Jawaban Kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap

  , dengan menganggap sebagai konstanta dan sebagai fungsi terdiferensiasi atas :

  ( ) ( ) (

  ) Contoh 14.8 Mencari slope suatu permukaan dalam sumbu- Bidang

  . Tentukan slope dari tangent parabola beririsan dengan parabola pada ( ) (Gambar 14.5).

Gambar 14.5 Tangent terhadap kurva irisan dari bidang dan permukaan

  pada titik ( ).

  th

  (Tho ed, p.970) mas’s Calculus, 11 Jawaban Slope merupakan nilai dari turunan parsial

  ⁄ pada ( ): | ( )

  ( )| ( ) |

  ( ) ( )

  Untuk mengeceknya, kita dapat memperlakukan parabola tersebut sebagai suatu grafik fungsi satu variabel dalam bidang ( ) dan mencari slopenya pada

  . Slope yang dihitung dengan menggunakan turunan biasa, adalah |

  ( )| |

  Contoh 14.9 Fungsi atas 3 variabel Jika

  , dan adalah variabel-variabel bebas dan ( ) ( ) maka

  [ ( )] ( ) ( )

  ( ) ( ) Contoh 14.10 Hambatan listrik paralel Jika resistor dari , dan ohm terhubung secara paralel untuk membuat suatu resistor

  (Gambar 14.6). Tentukan nilai dari saat ⁄ , dan ohm.

Gambar 14.6 Resistors yang disusun seperti ini dikatakan terhubung secara paralel.

  Persamaan hambatan dihitung dengan rumus

  th

  ed, p.989) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban Untuk menemukan nilai dari , kita perlakukan dan sebagai konstanta dan

  ⁄ dengan menggunakan turunan implisit kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap : ( ( )

  ) ( )

  Saat , dan , jadi dan

  ( ( ) )

  Turunan Parsial dan Kekontinuan Suatu fungsi

  ( ) dapat memiliki turunan parsial baik terhadap dan pada suatu titik tanpa fungsi tersebut kontinu di sana. Hal ini berbeda dengan fungsi-fungsi atas satu variabel, dimana keberadaan suatu turunan mengakibatkan kekontinuan. Namun demikian, jika turunan-turunan parsial dari ( ) ada dan kontinu sepanjang lingkaran yang berpusat di

  ). ( ), maka kontinu pada (

  Contoh 14.11 Parsial ada, namun diskontinu Misal

  ( ) { (Gambar 14.7).

  a. Temukan limit dari saat ( ) mendekati ( ) sepanjang garis .

  b. Buktikan bahwa tidak kontinu pada titik pusat.

  ⁄ ada di titik pusat.

  c. Tunjukkan bahwa baik turunan parsial ⁄ maupun

Gambar 14.7 Grafik fungsi pada Contoh 14.11 terdiri atas garis dan dan empat kuadran terbuka pada bidang-

  . Fungsinya memiliki turunan parsial pada titik pusat, namun tidak kontinu di sana.

  th

  ed, p.990) (Thomas’s Calculus, 11

  Jawaban

  a. Karena ( ) selalu nol sepanjang garis (kecuali di titik pusat), kita peroleh ( )|

  ( ) ( ) ( ) ( )

  b. Karena ( ) , limit pada bagian (a) membuktikan bahwa tidak kontinu pada ( ).

  c. Untuk menemukan ⁄ pada ( ), kita perlakukan tetap pada . Maka pada Gambar 14.7. Slope dari

  ( ) untuk seluruh , dan grafik adalah garis garis ini pada suatu adalah ⁄ . Jadi, ⁄ pada ( ). Demikian pula, pada suatu

  ⁄ ⁄ merupakan slope dari garis , jadi pada ( ).□

  Turunan Parsial Tingkat Kedua Saat kita menurunkan sebuah fungsi

  ( ) dua kali, kita menghasilkan turunan tingkat keduanya. Turunan-turunan ini biasanya dinotasikan sebagai Persamaan tersebut berarti ( ) ( ) dan seterusnya. Perhatikan urutan dimana turunan dikerjakan: pertama turunkan terhadap ( ) , baru terhadap . Contoh 14.12 Mencari turunan parsial tingkat kedua Jika , tentukan

  ( ) Jawaban

  ( ) ( )

  Sehingga, ( )

  ( ) ( )

  ( ) ( )

  ( ) ( )

  ( ) Teorema 14.1 Teorema Turunan Gabungan

  Jika , dan terdefinisi di dalam suatu daerah

  ( ) dan turunan parsialnya

  terbuka yang mengandung titik

  ( ) dan seluruhnya kontinu pada ( ), maka

  ( ) ( ) Contoh 14.13 Memilih tingkat turunan Tentukan jika

  ⁄ Jawaban Simbol memberitahu kita untuk menurunkan fungsi

  ⁄ pertama terhadap dan kemudian terhadap

  . Jika kita tunda penurunannya terhadap , melainkan menurunkannya terhadap terlebih dahulu, maka kita dapatkan jawabannya dengan lebih cepat. Dalam dua langkah, a

  Jika kita turunkan terhadap terlebih dahulu, kita peroleh ⁄ juga.□ Contoh 14.14 Menghitung turunan parsial tingkat empat Tentukan jika ( ) . Jawaban Pertama kita turunkan terhadap variabel

  , lalu , lalu kembali, dan terakhir terhadap : Teorema 14.2 Teorema Increment untuk fungsi atas dua variabel

  Misalkan bahwa turunan parsial pertama dari

  ( ) terdefinisi sepanjang suatu daerah

  terbuka dan kontinu pada

  ). Maka yang mengandung titik ( ) dan bahwa (

  perubahan

  ( ) ( )

  dalam nilai dari

   yang dihasilkan perpindahan dari ( ) ke titik lain ( )

  dalam

   memenuhi persamaan dengan bentuk ( ) ( )

  dimana tiap saat .

  Definisi 14.8 Fungsi terdiferensiasi

  Sebuah fungsi

  ) ada ( ) terdiferensiasi pada ( ) jika ( ) dan (

  dan

   memenuhi suatu persamaan dengan bentuk ( ) ( )

  dimana tiap

   saat . Kita katakan diferensiabel jika terdiferensiasi pada setiap titik dalam domainnya. Akibat Teorema 14.2 Kekontinuan dari turunan parsial berarti terdiferensiasi

  Jika turunan parsial dan dari suatu fungsi

  ( ) kontinu sepanjang suatu daerah

  terbuka , maka terdiferensiasi pada setiap titik dari .

  Teorema 14.3 Terdiferensiasi berarti kontinu

  ( ) terdiferensiasi pada ( ), maka kontinu pada (

  Jika suatu fungsi ).

14.4 Aturan Rantai

  Teorema 14.4 Aturan Rantai untuk fungsi dua variabel bebas

  Jika dan dan jika

  ( ) memiliki turunan-turunan parsial kontinu ( ) ( ) merupakan fungsi-fungsi terdiferensiasi atas , maka komposisi ( ( ) ( ))

  adalah fungsi terdiferensiasi atas

   dan ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

  ( ) ( )

  atau

  Contoh 14.15 Menerapkan aturan rantai Gunakan aturan rantai untuk menemukan turunan dari terhadap sepanjang jalur . Apakah nilai turunannya saat

  ⁄ ? Jawaban Kita terapkan aturan rantai untuk menemukan

  ( ) ( )

  ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

  Dalam contoh ini, kita dapat memeriksa hasilnya dengan perhitungan langsung. Sebagai suatu fungsi atas , sehingga

  ( ) Pada nilai yang diberikan dari

  , ( (

  ) )

  ⁄

  Teorema 14.5 Aturan Rantai untuk fungsi tiga variabel bebas

  Jika

  ( ) adalah fungsi terdiferensiasi dan , dan adalah fungsi-fungsi

  terdiferensiasi atas

  , maka adalah fungsi terdiferensiasi atas dan Contoh 14.16 Perubahan nilai fungsi sepanjang spiral Tentukan

  ⁄ jika Dalam contoh ini nilai dari berubah sepanjang jalur suatu spiral. Apakah nilai turunannya pada saat

  ? Jawaban

  ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

  ( ( ) )

  Teorema 14.6 Aturan Rantai untuk dua variabel bebas dan tiga variabel tengah

  Misalkan bahwa

  ( ) ( ) ( ), dan ( ). Jika keempat

  fungsi tersebut terdiferensiasi, maka

   memiliki turunan-turunan parsial terhadap dan ,

  dengan rumus

  Contoh 14.17 Menerapkan Teorema 14.6 Ekspresikan

  ⁄ dan ⁄ dalam suku atas dan jika Jawaban

  ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Jika

  ( ) ( ) ( ), maka Jika ( ) ( ), maka

  Contoh 14.18 Turunan Parsial Nyatakan

  ⁄ dan ⁄ dalam suku atas dan jika Jawaban

  ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

  Teorema 14.7 Rumus untuk turunan implisit

  Misalkan bahwa

  ( ) terdiferensiasi dan bahwa persamaan ( ) mendefinisikan sebagai suatu fungsi terdiferensiasi atas . Maka pada suatu titik dimana , Contoh 14.19 Turunan implisit Gunakan Teorema 14.7 untuk menemukan . Jawaban Ambil

  ( ) . Maka Perhitungan ini lebih pendek dibandingkan dengan perhitungan satu variabel untuk mencari turu a implisit sebagaima a ya g sebelum ya per ah kita pelajari.□

14.5 Nilai Ekstrim dan Saddle Points

  Definisi 14.9 Local maximum, local minimum

  Misalkan

  ( ) terdefinisi dalam suatu daerah yang mengandung titik ( ). Maka

  

1. ( ) adalah nilai local maximum dari jika ( ) ( ) untuk seluruh domain

titik

  ( ) dalam suatu lingkaran terbuka yang berpusat di ( ). ( ) adalah nilai local minimum dari jika ( ) ( ) untuk seluruh domain 2.

  titik ( ) dalam suatu lingkaran terbuka yang berpusat di ( ).

  Teorema 14.8 Uji turunan tingkat pertama untuk nilai ekstrim lokal

  Jika

  ( ) memiliki suatu nilai local maximum atau minimum pada suatu titik interior ( ) dari domainnya dan jika turunan parsial tingkat pertamanya ada, maka ( )

  dan ( ) .

  Definisi 14.10 Titik kritis

  

Suatu titik interior dari domain suatu fungsi dan nol, atau salah

  ( ) dimana baik

  satu atau kedua dan tidak ada, merupakan titik kritis dari .

  Definisi 14.11 Titik pelana (saddle point)

  Suatu fungsi terdiferensiasi

  ( ) memiliki suatu titik pelana pada suatu titik kritis ( )

  jika dalam setiap lingkaran terbuka yang berpusat di

  ( ) terdapat domain titik-titik ( )

  dimana

  ( ) ( ) dan domain titik-titik ( ) dimana ( ) ( ). Titik yang

  bersesuaian

  ( ( )) pada permukaan ( ) disebut suatu titik pelana dari permukaan tersebut (Gambar 14.8).

Gambar 14.8 Titik-titik pelana pada titik pusat.

  th

  ed, p.1029) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 14.20 Mencari nilai ekstrim lokal Temukan nilai ekstrim lokal dari .

  ( ) Jawaban Domain dari adalah keseluruhan bidang (jadi tidak ada titik-titik batas) dan turunan parsial dan ada dimanapun. Oleh karenanya, nilai ekstrim lokal dapat terjadi hanya pada saat

  Satu-satunya kemungkinan adalah pada titik pusat, dimana nilai dari adalah nol. Karena tidak pernah negatif, kita dapat melihat bahwa titik pusatnya merupakan suatu lokal minimum (Gambar 14.9).

  □

Gambar 14.9 Grafik fungsi adalah parabola . Fungsi tersebut

  ( ) memiliki suatu nilai lokal minimum pada titik pusat.

  th

  ed, p.1029) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 14.21 Menentukan titik pelana Tentukan nilai ekstrim lokal (jika ada) dari .

  Jawaban Domain dari adalah keseluruhan bidang (jadi tidak ada titik-titik batas) dan turunan parsial dan ada dimanapun. Oleh karenanya, nilai ekstrim lokal dapat terjadi hanya pada titik pusat

  ( ). Namun demikian, sepanjang sumbu- positif, memiliki nilai ( ) ; sepanjang sumbu- positif, memiliki nilai ( ) . Oleh karena itu, setiap lingkaran terbuka dalam bidang- yang berpusat di ( ) mengandung titik-titik dimana fungsi tersebut positif dan negatif. Fungsi tersebut memiliki suatu titik pelana pada titik pusat (Gambar 14.10) dibandingkan suatu nilai ekstrim lokal. Kita simpulka bahwa fu gsi tersebut ti ak memiliki ilai ekstrim lokal.□

Gambar 14.10 Titik pusatnya merupakan titik pelana dari fungsi . Tidak

  ( ) ada nilai ekstrim lokal.

  th

  ed, p.1030) (Thomas’s Calculus, 11

  Teorema 14.9 Uji turunan tingkat dua untuk nilai ekstrim lokal Misalkan bahwa

  ( ) dan turunan parsial tingkat pertama dan keduanya kontinu dalam sebuah lingkaran berpusat pada ( ) dan bahwa ( ) ( ) . Maka, i. memiliki suatu local maximum pada ( ) jika dan pada ( ). ii. memiliki suatu local minimum pada ( ) jika dan pada ( ). iii. memiliki suatu titik pelana pada ( ) jika pada ( ). iv. Tes tidak memiliki kesimpulan pada ( ) jika pada ( ). Dalam kasus ini, kita harus menemukan cara lain untuk menentukan sifat dari pada ( ).

  Contoh 14.22 Menemukan nilai ekstrim lokal Temukan nilai ekstrim lokal dari fungsi

  ( ) Jawaban Fungsi tersebut terdefinisi dan terdiferensiasi untuk seluruh dan dan domainnya tidak memiliki titik batas. Oleh karenanya fungsi tersebut memiliki nilai ekstrim hanya pada titik- titik dimana dan bernilai nol. Dengan demikian, atau Oleh karenanya, titik

  ( ) merupakan satu-satunya titik dimana dapat memiliki nilai ekstrim. Untuk mengeceknya, kita hitung Diskriminan dari pada ( ) ( ) adalah

  ( )( ) ( ) Kombinasi dari a memberitahu kita bahwa memiliki suatu local maximum pada ( ). Nilai dari pada titik ini adalah

  ( ) .□ Contoh 14.23 Mencari nilai ekstrim lokal Tentukan nilai ekstrim lokal dari ( ) . Jawaban Karena terdiferensiasi dimana saja (Gambar 14.11), dapat diasumsikan nilai ekstrim hanya pada a Dengan demikian, titik pusat merupakan satu-satunya titik dimana mungkin memiliki suatu nilai ekstrim. Untuk melihat apa yang terjadi, kita hitung Diskriminannya, bernilai negatif. Oleh karenanya, fungsi tersebut memiliki suatu titik pelana pada

  ( ). Kita simpulkan bahwa ( ) ti ak memiliki ilai ekstrim lokal.□

Gambar 14.11 Permukaan memiliki suatu titik pelana pada titik pusat.

  th

  ed, p.1031) (Thomas’s Calculus, 11

  Contoh 14.24 Menemukan absolute extrema Temukan nilai absolut maksimum dan minimum dari

  ( ) pada daerah segitiga pada kuadran pertama yang dibatasi oleh garis . Jawaban Karena terdiferensiasi, satu-satunya tempat dimana dapat mengasumsikan nilai-nilai ini adalah titik-titik di dalam segitiga (Gambar 14.12) dimana dan titik-titik pada batasnya.

  a. Titik interior. Untuk ini kita peroleh merujuk pada titik tunggal ( ) ( ). Nilai dari adalah

  ( )

b. Titik batas. Kita ambil segitiga satu sisi pada satu waktu:

  Pada ruas

i. . Fungsi

  ( ) ( ) sekarang dapat dianggap sebagai fungsi atas terdefinisi pada interval tertutup

  . Nilai-nilai ekstrimnya dapat muncul pada titik-titik ujung ima a ( ) ima a ( ) dan pada titik-titik ujung dimana

  ( ) . Satu-satunya titik interior dimana ( ) adalah , dimana

  ( ) ( ) Pada ruas ii. dan

  ( ) ( ) Kita tahu dari sifat simetri dari dalam dan dan dari analisis yang baru saja dilakukan bahwa calon untuk ruas ini adalah

  ( ) ( ) ( ) Kita telah menghitung nilai-nilai iii. pada titik-titik ujung dari , jadi hanya perlu melihat pada titik-titik interior dari

  . Dengan , kita peroleh ( ) ( ) ( )

  Dengan menetapkan ( ) diperoleh

  Pada nilai ini, a ( ) (

  ) Akhirnya, kita daftarkan seluruh calon:

  ( ⁄ ). Nilai maksimum adalah , dimana dianggap pada ( ). Nilai minimum adalah , dimana dianggap pada ( ) dan

  ( ).□ Gambar 14.12 Daerah segitiga ini adalah domain dari fungsi pada Contoh 14.24.

  th

  ed, p.1031) (Thomas’s Calculus, 11

14.6 Turunan Parsial dengan Variabel Terikat

  Contoh 14.25 Menemukan turunan parsial dengan variabel bebas terbatas yang diketahui Tentukan

  ⁄ pada titik ( ) ( ) jika dan dan adalah variabel-variabel bebas. Jawaban Tidaklah umum untuk menghapus dalam ekspresi . Oleh karenanya, kita turunkan kedua persamaan secara implisit terhadap

  , dengan menganggap dan sebagai variabel- variabel bebas dan dan sebagai variabel-variabel terikat. Diperoleh Persamaan-persamaan ini sekarang dapat digabungkan untuk menyatakan ⁄ dalam suku

  , dan . Kita selesaikan persamaan di atas untuk ⁄ diperoleh dan substitusikan ke persamaan sebelumnya Nilai dari turunan ini pada

  ( ) ( ) adalah ( )( )

  ( ( ) ) ( )

  ( )

  Contoh 14.26 Menemukan turunan parsial dengan variabel notasi terbatas yang diketahui Temukan jika ⁄ ) dan .

  ( Jawaban Dengan bebas, kita peroleh

  ( ) ( ( ) ( )

  ) ( )

14.7 Formula Taylor untuk Dua Variabel

  Rumus Taylor untuk ( ) pada titik ( )

  Misalkan ( ) dan turunan parsialnya hingga tingkat adalah kontinu dalam suatu daerah persegi terbuka yang berpusat di titik ( ). Maka, melalui ,

  ( ) ( ) ( )| )|

  ( ) ( )

  ( )|

  ( )

  ( | |

  ( ) ) ( ) (

  ( ) ( ) Rumus Taylor untuk ( ) pada titik pusat

  ( ) ( ) ) (

  ) (

  ( ) |

  ( ) ( )

  ( )

  Contoh 14.27 Menemukan perkiraan kuadratik Tentukan suatu perkiraan kuadratik untuk ( ) di dekat titik pusat. Seberapa akurat perkiraan tersebut jika

  | | dan | | ? Jawaban Kita ambil untuk persamaan di atas:

  ( ) ( ) ( ) ) (

  )

  ( )

  ( dengan ( ) | ( ) |

  ( ) ( )

  ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) |

  ( ) ( )

  kita peroleh ( ) ( ) ( ))

  ( Error dalam perkiraan tersebut adalah

  ( ) |

  ( )

  Turunan ketiganya tidak pernah melebihi dalam nilai absolut karena merupakan hasil kali sinus dan cosinus. Juga,

  | | dan | | . Dengan demikian, | ( )| (( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

  Errornya tidak akan melebihi