Materi 9 INTEGER PROGRAMMING CUTTING PLANE ALG

INTEGER PROGRAMMING

  Widha Kusumaningdyah, ST., MT 2012

INTEGER PROGRAMMING

  

INTRODUCTION

INTEGER PROGRAMMING (IP)

• • Untuk permasalahan optimasi dengan beberapa

  atau semua variabel keputusan bernilai bulat(integer).

• • Tidak dapat diselesaikan langsung dengan

  metode simpleks karena adanya beberapa atau semua variable yang berupa bilangan bulat

  melanggar salah satu asumsi metode simpleks (semua variable keputusan adalah bilangan real / tidak harus bulat).

KLASIFIKASI IP

  Integer programming dapat diklasifikasikan menjadi empat (berdasarkan banyaknya variable keputusan yang bernilai bulat): 1) Pure Integer Programming

semua variable keputusan harus bernilai bilangan bulat

  2) Mixed Integer Programming (MIP)

tidak semua variable keputusan berupa bilangan bulat

  3) Binary Integer Programming (BIP) semua variable keputusan memiliki nilai berupa bilangan biner (0 atau 1).

  4) Mixed Binary Integer Programming (MBIP)

Jika beberapa variable keputusan memiliki nilai biner,

beberapa variable keputusan memiliki nilai integer dan

sisanya memiliki nilai real (boleh pecahan).

PROBLEM IP

  

Permasalahan yang mengharuskan variabel keputusan bernilai integer

diantaranya adalah  Investasi  Multiperiode Budgeting  Routing

    Knapsack Vehicle Loading  Set Covering  Scheduling  Mixed Product  Location  Distribution  Assignment  Transportasi  ….

CONTOH PROBLEM IP

1. PENJADWALAN PEKERJA (SCHEDULING)

• • Bank Swasta buka mulai jam 9 pagi sampai dengan jam 5 sore. Banyaknya

  konsumen yang datang ke bank cukup bervariasi sehingga banyaknya teller yang diperlukan pada setiap jam juga berbeda. Teller merupakan tenaga outsourcing, pihak bank bisa menentukan pada jam berapa teller tersebut harus mulai bekerja. Setiap teller bekerja selama 5 jam sehari. Tentukan banyaknya setiap teller yang harus masuk pada setiap jam supaya biaya yang dikeluarkan bank minimal !

  Periode Jumlah teller yang diperlukan

  9

  10

• – 10

  10

  12

• – 11

  11

  14

• – 12

  12

  16

• – 1

  1

  18

• – 2 2 - 3

  17

  3

  15

• – 4

  4

  10

• – 5

  X1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Xi: banyaknya teller yang mulai masuk kerja pada jam ke i

X5 X4

2. CAPITAL BUDGETING • Punya uang utk investasi Rp 14.000.000.

• Ada 4 jenis kesempatan investasi :
• – Investasi 1 : butuh Rp 5.000.000 , akan berkembang mjd Rp 8.000.000
• – Investasi 2 : butuh Rp 7.000.000 , akan berkembang mjd Rp 11.000.000
• – Investasi 3 : butuh Rp 4.000.000 , akan berkembang mjd Rp 6.000.000
• – Investasi 4 : butuh Rp 3.000.000 , akan berkembang mjd Rp 4.000.000

  FORMULASI : Capital Budgeting Model ILP : x : investasi ke i , i=1,2,3,4 i x = 0 jika tidak mengambil investasi i i

  = 1 jika mengambil investasi i Maksimasi : Z = 8x + 11x + 6x + 4x

  1

  2

  3

4 Kendala :

  1

  2

  3

  4 x {0,1} , i = 1,2,3,4

  5x + 7x + 4x + 3x ≤ 14

   i

3. CONTOH & FORMULASI : Capital Budgeting

• Apabila ditambah kendala :
• – Kita hanya dapat membuat paling banyak dua investasi
• – Jika investasi 2 diambil, maka investasi 4 juga diambil
• – Jika investasi 1 diambil, maka investasi 3 tidak dapat diambil
• Model matematikanya :

  Maksimasi : Z = 8x + 11x + 6x + 4x

  1

  2

  3

4 Kendala :

  1

  2

  3

  4 x + x + x + x

  5x + 7x + 4x + 3x ≤ 14

  1

  2

  3 4 ≤ 2 x

  2 – x 4 ≤ 0 x + x ≤ 1

  1

  3 x  {0,1} , i i = 1,2,3,4

3. KNAPSACK PROBLEM

• • Terdapat 7 jenis barang, setiap jenis barang mempunyai

  ukuran dan keuntungan yang berbeda sbb :

  Barang

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7 ke- Ukuran

  5

  7

  4

  3

  4

  3

  7 Nilai

  8

  11

  6

  4

  6

  5

  6

  3 , barang

• Alat angkut hanya mampu mengangkut 40 m manakah yang seharusnya diangkut?

4. PEMILIHAN LOKASI PABRIK

• Perusahaan berencana untuk mendirikan satu atau beberapa pabrik untuk memenuhi permintaan produk pada berbagai daerah (pasar). Terdapat 4 lokasi dimana pabrik dapat dibangun dan terdapat 12 pasar yang harus dipenuhi oleh perusahaan. Produk akan langsung dikirim dari pabrik ke pasar.
• Biaya untuk mendirikan pabrik dan kapasitas pabrik di masing-masing lokasi adalah sebagai berikut:

  A B C D

  Biaya Investasi 1000 1500 700 400 Kapasitas 2000 4000 1000 900

• Biaya untuk mengirim barang dari suatu pabrik ke pasar adalah sebagai berikut

  1

  2

  3

  4

  5

  

6

  7

  8

  9

  10

  11

  12 A

  3

  4

  1

  2

  3

  5

  5

  2

  3

  4

  5

  5 B

  6

  6

  4

  5

  7

  3

  4

  1

  2

  4

  4

  4 C

  4

  2

  3

  5

  4

  5

  4

  3

  6

  5

  4

  3 D

  5

  5

  2

  3

  4

  5

  5

  6

  2

  3

  5

  5

  Tentukan dimanakah pabrik harus dibangun dan berapa pabrik yang harus dibangun??

• Permintaan 500 200 400 100 600 400 200 250 200 300 220 100

5. DIET PROBLEM

  13

  2 Kebutuhan : energy(2000kcal), protein(55g), calcium(800mg)

  19

  80

  14

  2 Pork with beans 260g 260

  20

  22

  4

  8 Cherry pie 170g 420

  9

  2 Wholemilk 237cc 160 8 285

  Food Serving size

  Energy (kcal) Protein (g)

  13

  3 Eggs 2 large 160

  24

  12

  32

  4 Chicken 100g 205

  3

  2

  4

  Max serving allowed Oatmeal 28g 110

  Calcium (mg) Price per serving (cents)

  54

  Formulasi : DIET PROBLEM

  x x x x x x     

24 Minimisasi 3 :

  4

  1

  4

  8

  13

  32

  4 110 205 160 160 420 2000 260

  6

  5

  4

  3

  2

  6

  55

  5

  4

  3

  2

  1

  6

  5

  4

  3

  2

  1                  x x x x x x x x x x x x x x x x x x

  14

  2

  3

  8

  2

  1

  19

  20

  

9

  13

  5

  Pembatas:

  2

  2

  2

  6

  3

  4

  6

  5

  4

  3

  2

  1             x x x x x x

  800

  80 22 285

  54

  12

6. BLENDING • Perusahaan eaglefood akan memproduksi cereal dalam kemasan sebesar 2 pound.

  Cereal yang diproduksi harus memenuhi kebutuhan gizi dalam sehari. Kebutuhan gizi dalam sehari dapat dilihat dalam tabel berikut ini:

  Grain A B C

  Minimum Daily Harga per pound 3300 4700 3800 Requirement Protein per pound

  22

  28

  21

  3 Riboflavin per pound

  16

  14

  25

  2 Phosphorus per pound

  8

  7

  9

  1 Magnesium per pound

  5 6 0.425

• • Terdapat tiga alternatif bahan baku yang dapat digunakan, bahan baku tersebut

  bisa dicampur untuk memproduksi cereal.

• • Tentukan bagaimana perbandingan(komposisi) bahan baku A, B dan C dalam

  cereal sehingga biaya untuk memproduksi cereal minimum!

  FORMULASI : MODEL Variabel keputusan

• xi = jumlah mobil tipe ke-i yang diproduksi
• yi = 1 jika mobil tipe ke-i diproduksi, dan yi=0 jika tidak Formulasi : Maks z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 Subject to: x1 ≤ M y1 x2 ≤ M y2 x3 ≤ M y3 1000
• – x1 ≤ M (1 – y1) 1000
• – x2 ≤ M (1 – y2) 1000
• – x3 ≤ M (1 – y3) 1.5 x1 + 3 x2 + 5 x3

  ≤ 6000

  30 x1 + 25 x2 + 40 x3 ≤ 60000 x1, x2, x3 ≥ 0 dan integer

7. SET COVERING PROBLEM

• Propinsi sukolilo mempunyai 6 kota
• Pemerintah berencana untuk membangun kantor pusat pemadam kebakaran. Pada kantor pusat pemadam kebakaran akan ditempatkan kendaraan pemadam kebakaran, peralatan pemadam kebakaran dan personelnya, sehingga jika ada kebakaran maka petugas akan berangkat dari kantor pusat pemadam kebakaran menuju lokasi kebakaran.
• Petugas tidak boleh mencapai lokasi kebakaran lebih dari 15 menit (waktu tempuh) dari stasiun pemadam kebakaran.
• Waktu yang dibutuhkan dari kota yang satu ke kota yang lain adalah sebagai berikut.

  Kota ke-

  1

  2

  3

  

4

  5

  6

  1

  10

  20

  30

  30

  20

  2

  10

  25

  35

  20

  10

  3

  20

  25

  15

  30

  20

  4

  30

  35

  15

  15

  25

  5

  30

  20

  30

  15

  14

  6

  20

  10

  20

  25

  14

• Tentukan dimanakah kantor pusat pemadam kebakaran harus dibangun supaya banyaknya kantor yang harus dibangun tidak banyak(minimal) sehingga dana APBD bisa dihemat untuk dialokasikan pada bidang lain?

7. SET COVERING PROBLEM (CONT’D)

• • Sebuah kota dapat dicover oleh stasiun pemadam kebakaran jika jarak

  tempuhnya tidak lebih dari 15 menit
• Covering set untuk setiap kota

  Kota Covering sets (15 menit) 1 1,2 2 1,2,6 3 3,4 4 3,4,5 5 4,5,6 6 2,5,6

FORMULASI SET COVERING PROBLEM

  = 1 jika dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i = 0 jika TIDAK dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i Fungsi tujuan : Minimum Z= x

  Variabel keputusan : x

  i

• x
• x
• x
• x

• + x

• x

  1

• x
• x
• x
• x
• x
• x
• x
• x
• x

  ≥ 1 x

  ≥ 1

  6

  5

  2

  ≥ 1 x

  6

  5

  4

  ≥ 1 x

  5

  4

  3

  4

  2

  3

  ≥ 1 x

  2

  1

  ≥ 1 x

  2

  1

  x

  6 Fungsi pembatas:

  5

  4

  3

  6

8. ASSIGNMENT (PENUGASAN)

  

Pak Ali harus menugaskan stafnya untuk mengerjakan tugas-tugas pada divisinya. Pak Ali

memiliki 5 staf yaitu Rita, Tari, Rani, Nira, Tara. Divisi pak ALi harus menyelesaikan 5

tugas. Pak Ali menemui kesulitan dalam menugaskan kelima stafnya karena Rita tidak

mempunyai keahlian dalam mengerjakan tugas 2 sedangkan Tari tidak mampu

mengerjakan tugas 1. Biaya menugaskan setiap staff adalah berbeda beda karena untuk

bisa menyelesaikan tugas dengan baik, staff seringkali harus mendapatkan pelatihan dan

biaya akomodasi yang berbeda beda. Biaya menugaskan setiap staff untuk mengerjakan

satu tugas adalah sebagai berikut:

  Tugas Staff

  1

  2

  3

  4

  5 Rita

  4

  10

  6

  5 Tari

  5

  1

  5

  10 Rani

  3

  5

  8

  4

  7 Nira

  4

  2

  7

  1

  10 Tara

  8

  8

  2

  10

  5 Bagaimanakah cara menugaskan kelima staff tersebut supaya biaya yang harus

  dikeluarkan perusahaan minimal?

  INTEGER PROGRAMMING

METODE CUTTING PLANE

IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE

• Temukan solusi optimal untuk Linier Problem (menggunakan prosedur standar).
• Tambahkan fungsi pembatas khusus (disebut

  

cuts) untuk menghasilkan titik ekstrim optimal

integer.

• Cuts tidak menghilangkan titik feasible integer asal.
• The cuts must through at least one feasible or infeasible integer point

• • Number of cuts is independent of the size of the

  problem

IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE

• Contoh permasalahan ILP:

IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE PENDEKATAN GRAFIS

• Solusi:

IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE PENDEKATAN ALJABAR

• Tabel Optimal LP:
• Buat cuts
• – Dengan asumsi bahwa semua variable (termasuk slacks) adalah integer.

IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE PENDEKATAN ALJABAR

• Langkah untuk membuat cuts:
• – Pilih ‘baris sumber’
• – Faktorkan baris sumber
• – Buat cuts dari faktor baris sumber
• – Buat persamaan dari cuts
• Selesaikan problem dari fraksi pecahan
• – Tambahkan fungsi pembatas pada tabel simples optimal
• – Gunakan dual simplex untuk menyelesaikan

  permasalahan, jika tabel optimal tidak feasible.

• – Buat fraksi selanjutnya hingga semua variable integer.

1. MEMBUAT CUTS Pilih baris sumber Faktorkan baris sumber

  Buat persamaan dari cuts

  Faktor baris sumber

• – x

2 Buat cuts dari faktor baris sumber

2. SELESAIKAN DENGAN SIMPLEX

• Table baru :
• Selesaikan dengan dual simplex
• – Hasil:

• • Buat cut selanjutnya hingga semua variabel integer

• Final Result:

  LATIHAN

• References:
• – Eunike, Agustina. Materi Ajar Penelitian Operasional 1. PSTI
• – Universitas Brawijaya. 2012 – Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman.

  Introduction to Operations Research. 7th ed. The McGraw-Hill Companies, Inc, 2001.

• – Hamdy A. Taha. Operations Research: An

  Introduction. 8th Edition. Prentice-Hall, Inc, 2007